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  • Cours de Mcanique du Point matriel Chapitre 4 : Energtique SMPC1

    Prof. M. EL BAZ Automne 2013 Page 1 / 5

    Chapitre 4 : Etude Energtique

    I Travail et Puissance dune force

    I.1)- Puissance dune force Soit un point matriel M de vitesse ! !/! , par rapport un rfrentiel R, soumis une force !. La puissance de ! dans le rfrentiel R est dfinie par: ! ! = !.! !/! . La puissance dpend du rfrentiel et son unit est le Watts (W). Si la puissance est positive, ! ! > 0, la force est dite motrice. Si la puissance est ngative, ! ! < 0, la force est dite rsistante. Si la puissance est nulle, ! ! = 0, Il sagit dune force qui ne travail pas. Cest le cas dune force perpendiculaire au mouvement du point matriel ou dun point matriel immobile.

    I.2) Travail dune force

    1.2.1) Travail lmentaire dune force : Lorsquon veut dplacer un objet, leffort fourni est dautant plus grand que la distance parcourue est grande et que la force appliquer est grande. Cet effort peut dpendre aussi de la trajectoire suivie pour dplacer lobjet. Le travail, est une notion physique qui va rendre compte de cet effort. Le travail lmentaire de la force ! appliqu au point matriel M lors de son dplacement lmentaire !!" est donn par !" = !.!!" = ! ! !". 1.2.2) Travail dune force : Soit un point matriel M, dcrivant une trajectoire (C) par rapport un rfrentiel R. On suppose que le point matriel passe par le point M1 linstant t1 et par le point M2 linstant t2. Le travail de la force ! lors de ce dplacement est: !!!!! ! = !.!!"!!!! = ! ! !"!!!! . Lunit du travail est le Joule [Joule=N.m]

    La force est dite motrice si son travail est positif ! > 0. La force est rsistante si son travail est ngatif ! < 0. La force ne travail pas si son travail est nul ! = 0.

    II- Forces conservatives Energie potentielle

    II.1) Dfinition Une force est dite conservative si son travail entre deux point M1 et M2 dpend uniquement de la position de dpart et de la position darrive. Autrement dit, le travail est indpendant du chemin suivi pour aller de M1 vers M2.

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    Dfinition quivalente : Une force ! est dite conservative si elle drive dun potentiel; c..d. quil existe une fonction scalaire Ep tel que ! = grad !!. !! est alors appel lnergie potentielle du point M. Remarques : Lnergie potentielle nest dfinie qu une constante prs ; c..d. que !! et !! = !! + ! (o C est une constante), donnent lieu la mme force conservative : ! = grad !!! = grad !! + ! = grad !!. Puisque rot grad ! = 0, quelque soit la fonction f, pour vrifier quune force ! est conservative, il suffit de vrifier que rot ! = 0. II.2) Exemples :

    II.2.1) La force de Pesanteur Dans un rfrentiel Galilen R(O;X,Y,Z), on considre le mouvement dun point matriel M de masse m soumis la pesanteur terrestre: ! = !"!. Le travail du poids quand le point matriel se dplace de M1 vers M2 est !!!!! ! = !.!!"!!!! = !"#$!!!! !!!!! ! = !" !! !! = !" Lnergie potentielle peut tre calculer en utilisant la relation ! = grad !! et elle est donne par !! = !"# + ! o C est une constante dintgration. II.2.2) La force de rappel dun ressort On considre le mouvement dun point matriel attach un ressort de raideur k. En se basant sur le schma cot, la force de rappel du ressort est donne par ! = ! ! = !"! Le travail de cette force quand le point matriel se dplace de M1 vers M2 est !!!!! ! = !.!!"!!!! = !"#"!!!! !!!!! ! = 12 !!!! 12 !!!! . Lnergie potentielle dont drive la force de rappel est donne par : !! = 12 !!! + !

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    II.3) Travail dune force conservative On remarque daprs les exemples prcdents que le travail fourni par la force quand le point matriel se dplace de M1 vers M2 est gal loppos de la variation de lnergie potentielle entre ces deux positions : !!!!! ! = !! = !! !! !! !! Travail lmentaire: Cest un rsultat gnral puisquon a !!! = grad !!.!!" et pour le travail lmentaire !" = !.!!" = grad !!.!!". On obtient donc que : !" = !!!. Le travail lmentaire peut tre exprim en fonction de la puissance de la faon suivante !" = ! ! !", ce qui permet de trouver la relation suivante entre lnergie potentielle et la puissance dune force : ! ! = !!!!" III Energie cintique

    III.1) Dfinition Lnergie cintique dun point matriel M de masse m anim dune vitesse ! !/! par rapport un rfrentiel Galilen, R, est dfinie par !! = 12!!! !/! ou encore, en fonction de la quantit de mouvement !! = 12! !! !/! . III.2) Thorme de la puissance: Enonc : La puissance de la rsultante, !!"#, de toutes les forces extrieures appliques un point matriel dans un rfrentiel Galilen est gale la drive de son nergie cintique: ! !!"# = !!!!" Preuve : La puissance de la rsultante des forces extrieures peut tre exprime de la faon suivante ! !!"# = !!"#.!(!/!) = !!(!/!).!(!/!) = ! !!(!/!)!" .!(!/!) o on a utilis le PFD dans un rfrentiel Galilen. Dautre part nous avons la relation suivante !!!!" = !!!(!/!)!" = ! !.!!" = 2!!!" .! En remplaant dans la premire relation on trouve

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    ! !!"# = 12! !!!!" = !!!!" . III.3) Thorme de lnergie cintique Enonc : Dans un rfrentiel Galilen, la variation de lnergie cintique, entre deux position M1 et M2 dun point matriel soumis un ensemble de forces extrieurs (dont la rsultante est not !!"#) est gal au travail de cet rsultante entre ces deux points : !!!!! !!"# = !! = !! !! !! !! Preuve : Pour le travail lmentaire on a la relation suivante !" !!"# = ! !!"# !" = !!! qui est lexpression locale du thorme de lnergie cintique : !!!!! !!"# = !! IV Energie mcanique

    IV.1) Dfinition Dans un rfrentiel Galilen, lnergie mcanique (nergie totale) dun point matriel est gale la somme de son nergie cintique et de son nergie potentielle: !! = !! + !! IV.2) Thorme de lnergie mcanique Enonc : La variation de lnergie mcanique dun point matriel entre deux positions M1 et M2 est gale au travail des forces non conservatives agissant sur le point matriel: !! = !! !! !! !! =!!!!! !!" Preuve : Le travail de la rsultante des forces extrieures agissant sur un point matriel M est gale la variation de lnergie cintique. Dautre part le travail de cette rsultante est gal la somme des travaux des forces conservatives et des forces non conservatives : !!!!! !!"# = !! = !! !! !" !!!!! !!"# =!!!!! !! +!!!!! !!" o !!"# : dnote la rsultante de toutes les forces agissant sur M. !! : dnote la rsultante de toutes les forces conservatives agissant sur M. !!" : dnote la rsultante de toutes les forces non-conservatives agissant sur M. On a donc lgalit suivante : !! !! =!!!!! !! +!!!!! !!" Or!!!!! !! = !!, ce qui donne le rsultat !! =!!!!! !!" IV.3) Conservation de lnergie mcanique Lnergie mcanique dun systme conservatif est conserve au cours du temps: !! = !! + !! = !! = constante ou encore !!!!" = 0

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    V- Equilibre et stabilit dun systme conservatif

    V.1) Positions dquilibre: Dans un rfrentiel Galilen, On considre un point matriel soumis des forces conservatives dont la rsultante est ! . La position dquilibre du point matriel correspond un extremum de lnergie potentielle. Donc, si M0 est une position dquilibre les drives premires de lnergie potentielle doivent tre nulles en ce point : !!!!" !! = !!!!" !! = !!!!" !! V.2) Stabilit de lquilibre: La position dquilibre est dite stable si le point matriel y retourne spontanment suite une perturbation lloignant de cette position. Dans le cas contraire lquilibre est instable. V.2.1) Equilibre stable Ep minimale: Soit un point matriel M ayant la position dquilibre M0. M0 est une position dquilibre stable si lnergie potentielle est minimale en ce point. Dans le cas dun mouvement une dimension (Ep(x)), la drive seconde de lnergie potentielle par rapport la variable x est positive dans une position dquilibre stable : !!!!!!! !! > 0 c..d. que le point M0 est un minimum de la fonction Ep(x). Le travail lmentaire de la force ! quand le point matriel est loign de sa position dquilibre est ngatif : !" = !.!!" = !!! < 0 V.2.2) Equilibre instableEp maximale: M0 est une position dquilibre instable si lnergie potentielle est maximale en ce point. Dans le cas dun mouvement une dimension (Ep(x)), la drive seconde de lnergie potentielle par rapport la variable x est ngative dans une position dquilibre instable : !!!!!!! !! < 0 c..d. que le point M0 est un maximum de la fonction Ep(x). Le travail lmentaire de la force ! quand le point matriel est loign de sa position dquilibre est positif : !" = !.!!" = !!! > 0