INSA de Rouen - MECA3 - Anne 2012-2013

RDM : Rsistance des MatriauxSommaire1 Introduction 3

1.1 Hypothses fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.1 Gomtrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Dformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.3 Contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.4 Matriaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Dmarche de rsolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Calcul des forces extrieures 42.1 Principe fondamental de la statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Liaisons cinmatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Efforts intrieurs 53.1 Convention de signes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2 Relations diffrentielles pour les barres droites - Diagrammes defforts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.2.1 Relations diffrentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2.2 Diagrammes defforts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.3 Relations diffrentielles pour les barres courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4 Traction-Compression 7

5 Flexion 85.1 Flexion pure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

5.1.1 Contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85.1.2 Moments quadratiques par rapport laxe y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

5.2 Flexion dvie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85.3 Flexion compose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85.4 Barres courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85.5 Sections composites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

6 Cisaillement 106.1 Cisaillement simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106.2 Cisaillement en flexion simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

6.2.1 Contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106.2.2 Moments statiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

7 Torsion 117.1 Contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

7.1.1 Expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117.1.2 Moment quadratique polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

8 Ressort hlicodal 128.1 Sollicitations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128.2 Flche du ressort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

9 Calcul des structures : Thormes nergtiques 139.1 Effort unitaire fictif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139.2 Rciprocit du travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139.3 Rciprocit des dplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139.4 Thorme de Mohr-Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139.5 Thorme de Castigliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1

9.6 Mthode grapho-analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149.6.1 Enonc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149.6.2 Aires simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

10 Systmes hyperstatiques 1510.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1510.2 Degr dhyperstatisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1510.3 Mthode de rsolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

11 Critres de rsistance 1611.1 Quantits limites usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1611.2 Critres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1611.3 Etats particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

12 Sollicitation par choc 1712.1 Enonc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1712.2 Mthode de rsolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

13 Treillis 1813.1 Enonc du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1813.2 Mthode usuelle de rsolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1813.3 Mthode de Ritter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

14 Flambement 1914.1 Phnomne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1914.2 Flambement lastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1914.3 Modle complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1914.4 Flambement et conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2

1 Introduction

1.1 Hypothses fondamentalesLa Rsistance des Matriaux prend en compte les hypothses de la Mcanique des Milieux Continus et en ajoute dautres pour lasimplification du modle.

1.1.1 Gomtrie

On se place dans la thorie des barres : ltude porte sur des solides dformables lancs au repos

On introduit alors la notion daxe (coordonne x) et de section normale (plan yz) pour permettre une rduction du tridimensionnelvers lunidimensionnel. Laxe va dfinir si les barres sont droites (par portions), courbes, ou gauches (tridimensionnelles)

Selon les sollicitations, on parlera plus aisment de poutres, darbres, de tirants, de poteaux, etc.

1.1.2 Dformations

Hypothse de Bernoulli-Navier : Les sections planes et normales laxe avant dformation le restent aprs dformation.(Cette hypothse nest pas forcment respecte en cisaillement)

1.1.3 Contraintes

Hypothse de Saint-Venant : La modlisation nest valable qu une certaine distance des conditions limites de la poutre.Autrement dit, loin de tout point dapplication des forces, les efforts concernant les contraintes et les dformations produits pardeux groupes de forces quivalentes et statiques sont identiques.

Efforts extrieurs :

forces (unit : N) moments (unit : N.m) efforts distribus :

linaires (unit : N.m1) surfaciques (pression, unit : N.m2) volumiques (poids propre, unit : N.m3)

Lhypothse de Saint-Venant permet de relier une effort distribu une force statique quivalente.

Efforts intrieurs : Lhypothse de Saint-Venant permet de sparer ce qui se passe le long de laxe et dans une certaine section, cequi introduit la notion defforts internes.

forces/efforts axiaux/normaux : N efforts tranchants T (Ty, Tz) moment de torsion Mt moments de flexion M f (M f y, M f z)

A chacun de ces types defforts est associ un type de sollicitation simple.

1.1.4 Matriaux

La Mcanique des Milieux Continus pose les hypothses suivantes :

Conservation de la masse Conservation de la quantit de mouvement Conservation du moment cintique Petites dformations Elasticit linaire isotrope (loi de Hooke gnralise)

3

1.2 NotationsDformations spcifiques : Pour tre conforme aux covnentions internationales, on va parler de dformations spcifiques (allonge-

ments spcifiques , glissements spcifiques ). Ladjectif "spcifique" indique le caractre adimensionnel.

Tenseur des contraintes :

11 12 1321 22 2331 32 33

=1 12 1321 2 2331 32 3

1.3 Dmarche de rsolutionLa rsolution en RDM doit toujours suivre les tapes qui suivent, si besoin est daller jusquau bout selon le problme pos. Gnrale-ment, il sagit de chercher dimensionner en dterminant dabord le comportement de la barre ou en localisant ses sections dan-gereuses, l o les contraintes sont maximales.

Etapes de rsolution :

Bilan des forces extrieures Calcul des ractions Etude des variations des efforts intrieurs le long de laxe Calcul des dformations

2 Calcul des forces extrieures

2.1 Principe fondamental de la statiqueDans le cadre de la RDM, on peut aisment le problme sur une seule dimension : la barre, tridimensionnelle, devient une simpleligne sans paisseur. De mme, pour une barre courbe, labscisse curviligne s peut tre utilise en replacement de labscisse x usuelle.

Par cette simplification, le Principe fondamental de la statique se rduit un problme plan, cest dire trois quations :

les rsultantes verticales (suivant z dans la convention qui sera adopte par la suite) les rsultantes horizontales (suivant x) les moments dans le plan (autour de y)

2.2 Liaisons cinmatiquesParmi toutes les liaisons existantes permettant de modliser, de situer et de calculer les ractions, on sintressera seulement aux troisprincipales, que lon retrouve sempiternellement en RDM :

Appui simple (Ponctuelle) :

V

Articulation (Rotule) :

V

H

Encastrement :

V

HM

4

3 Efforts intrieurs

3.1 Convention de signesConsidrons une barre en quilibre statique, et une section de celle-ci :

Pour conserver lquilibre statique sur chaque tronon, on doit dfinir les efforts intrieurs.

x =n n x

F

M

F

M

L o la normale sortante et laxe x ont le mme sens, cest la face positive. Sur cette face, les efforts intrieurs sont positifs silssont orients comme les axes. On retrouve le contraire sur les faces ngatives.

G x

z

y

N

Tz

Ty

Mt

M f z

M f y

N

Tz

M f yN

TzM f y

A gauche dune section, les efforts intrieurs vaudront la somme des forces exerces gauche, le signe dfini par la convention.A droite, on retrouve le mme fonctionnement.

3.2 Relations diffrentielles pour les barres droites - Diagrammes defforts3.2.1 Relations diffrentielles

Si lon considre un tronon dpaisseur dx dune barre droite subissant une force liniquef =

p(x)q(x)r(x)

au centre de gravit de

chaque face, on aura :dNdx

=p(x) dTydx

=q(x) dTzd = r(x)

dNdx

=p(x) dm fydx

= Tz(x)dm fzd =Ty(x)

N N

T +dT

M+dM

TM P

dx

Dans la mesure o lon simplifie la barre pour un problme plan, on ne sintressequ deux de ces relations :dTdx

=P et dMdx

= T en considrant P= r(x), T = Tz et M = m fy

Une autre faon de le retenir est dassembler les deux relations :d2Mdx2

=dTdx

=P

3.2.2 Diagrammes defforts

Le diagramme defforts est une reprsentation des efforts le long de la barre considre. Elle suit la convention de signes poseprcdemment et utilise les relations diffrentielles.

Par convention due aux relations diffrentielles, laxe positif de M est invers par rapport celui de T .

Exemple :

5

l l lP 2P

V1 =43P V4 =

53P

T T43P

13P

53P

M M43Pl 5

3Pl

3.3 Relations diffrentielles pour les barres courbesSur une barre courbe de rayon R, on considre un tronon courbe de longueur ds= Rd subissant un effort radial linique P.Suivant lintgrale curviligne, on choisit repre dans lequel appliquer le Principe fondamental de la statique.Ceci nous amne ces trois relations :

dNd

= TdTd

= PRN dMds

= TR

On peut retrouver les relations pour une barre plane en posant R+ et d 0

6

4 Traction-Compression

La barre va subir un effort axial N : N N

l

A

Les tenseurs de contrainte et de dformation sont donc respectivement :

=

0 00 0 00 0 0

et =ll

0 0

0 ll

0

0 0 ll

avec

=NA

l =NlEA

7

5 Flexion

5.1 Flexion pure5.1.1 Contraintes

Contrainte normale : M fy = =M fy z

Iydans la section considre.

Contrainte tangentielle : Tz = 0 = = 0

y

z

La contrainte maximale est atteinte lune des extrmits.

Elle prend la forme max =M fyWy

avec Wy =Iyzmax

le module de rsistance en flexion.

5.1.2 Moments quadratiques par rapport laxe y

Iy est le moment quadratique par rapport laxe y de la section. Comme la section est dpaisseur nulle, il prend la forme :

Iy =A

z2dA

Rectangle : Iy =bh3

12 b

h Cercle : Iy =pid4

64d

Dans le cas de sections composes (forme complexe), il suffit de calculer le moment quadratique dans chaque section simple etde sommer lensemble par le thorme de Huygens :

IAy = IBy+A(zB zA)2

On prendra alors pour A et B les centres de gravit respectifs.

5.2 Flexion dvieLa flexion nest pas uniquement suivant y ou z. Cette sollicitation se dcompose alors en deux sollicitations simples M fy et M fz .

y

z

On a =M fy z

Iy M fz y

Iz

Pour un cercle, on aura simplement =M f r

I

5.3 Flexion compose

A la flexion dvie sajoute la contrainte normale, on a alors dans le cas le plus gnral : =NA+M fy z

Iy M fz y

Iz

5.4 Barres courbesLaxe neutre ne passe plus par le centre de gravit et se trouve une excentration e. La distribution des contraintes sur la section nestplus une distribution linaire.

On considre que le centre de gravit se trouve la distance R du centre de courbure et laxe neutre la distance r = R eLa position de la fibre neutre en N ( = 0) suivant z dans la section est donne par :

A

zr zdA= 0 = e

IGAR

La contrainte devient alors (z) =M fyA e

zr z centre sur laxe neutre.

8

5.5 Sections compositesSi la section est compose de deux matriaux de sections et de modules respectifs A1,E1 et A2,E2, on aura des contraintes diffrentesdans chaque matriau.

La position de laxe neutre est donne par zN =A1z1E1+A2z2E2A1E1+A2E2

avec z1 et z2 les centres de gravit de chaque section.

Les deux contraintes seront 1(z) =M fy zE1E1I1+E2I2

et 2(z) =M fy zE2E1I1+E2I2

centres sur laxe neutre et limites par les matriaux.

9

6 Cisaillement

6.1 Cisaillement simple

Pour un cisaillement simple, on retrouve =TA

6.2 Cisaillement en flexion simple6.2.1 Contrainte

Dans un cas de flexion simple, la variation du moment de flexion cre un cisaillement

Tz dont la contrainte est =TzSy(z)b(z) Iy

avec Sy(z) le moment statique suivant y de la section rduite Ab(z) la largeur de la section par rapport z

y

z

Az

On remarquera que la contrainte de cisaillement suit une forme parabolique par morceaux et atteint son maximum sur laxeneutre.

6.2.2 Moments statiques

Le moment statique sexprime comme suit pour la section rduite A :

Sy =A

zdA

On peut aussi lexprimer diffremment grce au centre de gravit de cette section homogne zG =SyA

Ainsi, Sy = zGA. On peut donc simplifier le calcul de la contrainte en posant =Tz zGAb(z) Iy

avec zG fonction de z

Pour un cercle, la contrainte maximale devient max =43TA

. Pour un rectangle, elle est max =32TA

.

10

7 Torsion

7.1 Contrainte7.1.1 Expression

Le cisaillement produit par un moment de torsion sur une section est =Mt rIG

.

avec r la distance par rapport au centre de gravit de la section.IG le moment quadratique polaire de la section.

7.1.2 Moment quadratique polaire

Le moment quadratique polaire est dfini comme suit :

IG =A

r2dA=A

(y2+ z2

)dS

On a de mme IG = Iy+ Iz au mme point.

Ainsi on a :

Pour un rectangle, IG =(h+b)b2h2

12

Pour un cercle, IG =pid4

32

11

8 Ressort hlicodalConsidrons un ressort de rayon extrieur R et de n spires.

La section des spires est un cercle de diamtre d.

R

d

P

P

8.1 SollicitationsLapplication dun effort tranchant P sur le ressort va crer deux sollicitations :

Un moment de torsion Mt = PR = max =Mt

d2

IG=

16PRpid3

Un cisaillement T = P = max =43TA=

16P3pid2

La contrainte maximale devient max =16PRpid3

(1+

d3R

).

On peut remarquer que le cisaillement est une sollicitation ngligeable devant la torsion. Le cisaillement ninflue rellement que pourles ressorts pais devant leur rayon de courbure.

8.2 Flche du ressortA partir de :

Le cisaillement maximal rduit max =16PRpid3

Lnergie lastique du ressort en torsion U = GIG2

2=

GIG2

(MtGIG

)2[N = J/m]

Le travail de la force W = P f [J = Nm] avec f la flche La longueur totale la fibre neutre : l = 2npiR

On obtient la relation suivante : f =64nPR3

Gd4=

1KP

On peut remarquer que lnergie lastique accumule par la torsion est trs grande, ce qui explique lutilisation du ressort pour limiterles efforts sur les structures puisquune grande partie de nergie transmise va se retrouver absorbe par le ressort.

On a alors deux conditions de fonctionnement :

max a f fa

12

9 Calcul des structures : Thormes nergtiquesUn calcul de structures ncessite de prendre en compte contraintes et dformations. Les thormes nergtiques permettent le calculdes dplacements.

9.1 Effort unitaire fictifSi lon considre une barre sollicite par plusieurs groupes de forces, leffort fictif unitaire est leffort adimensionnel de valeur 1ncessaire pour reproduire un dplacement gnralis (dplacement ou rotation) quivalent.

9.2 Rciprocit du travailSi lon applique successivement deux groupes defforts extrieurs F1 et F2, on peut dcomposer le travail produit sur la barre.

On a alors le travail L= L11+L12+L22 avec W11 : le travail produit par F1 sur les dplacements issus de F1W22 : le travail produit par F2 sur les dplacements issus de F2 W12 : letravail produit par F1 sur les dplacements issus de F2

Cette dcomposition tant possible en posant L21, on obtient la relation de rciprocit du travail :

W12 =W21

9.3 Rciprocit des dplacementsSi lon considre cette mme barre et que lon cherche calculer ses dplacements, on a le calcul de dplacement suivant : = 11+12+22 avec 11 : le dplacement produit par F1 au point dapplication de F1

22 : le dplacement produit par F2 au point dapplication de F2 12 : ledplacement produit par F1 au point dapplication de F2

On a lors la rciprocit suivant :

12 = 21

9.4 Thorme de Mohr-MaxwellSoit un barre encastre-libre sollicite par des forces axiales dont on cherche le dplacement lextrmit libre, et dont la sollicitationaxiale est alors N(x).On va dabord considrer cette barre subissant uniquement un effort fictif 1 donnant W21 = 1 .

Leffort fictif cre une sollicitation axiale n(x) et le dplacement associ (dx) =n(x)dxEA

.

Le travail de N(x) avec le dplacement issu de leffort fictif donne : dW12 = N(x)(dx) =N(x)n(x)dx

EAComme les efforts fictifs sont adimensionnels et les deux travaux rciproques, on a :

=l

N(x)n(x)EA

dx

Par extension, =l

NnEA

dx+l

M fym fyEIy

dx+l

M fzm fzEIz

dx+l

MtmtEIp

dx+l

kTtGA

dx

avec k un coefficient dpendant de la forme de la section (on travaille gnralement avec les contraintes maximales)

9.5 Thorme de Castigliano

Le thorme de Castigliano donne le dplacement gnralis sous cette forme : n=UeXn

avec Ue lnergie de la structureXn leffort extrieur gnralis

Le thorme de Menalbrea est son corollaire concernant les conditions aux limites :UeVi

= 0 si Vi est une raction gnralise.

13

En reprenant la forme du thorme de Mohr-Maxwell, le dplacement caus par leffort unitaire gnralis Pi devient :

i =l

NNPiEA

dx+l

M fyM fyPi

EIydx+

l

M fzM fzPi

EIzdx+

l

MtMtPi

EIpdx+

l

kTTPiGA

dx

9.6 Mthode grapho-analytique9.6.1 Enonc

On cherche calculer les intgrales de Mohr-Maxwell sans passer par la lourdeur de lintgrale. Cette mthode ne marche que surdes barres droites puisquelle ncessite des sollicitations n(x) issues de leffort fictif linaires.

Soit :

m est une fonction linaire (de coefficient directeur tan()) AM laire sous la courbe de M xG le centre de gravit de laire AM

I =l

M(x)m(x)dx= AMm(xG)

9.6.2 Aires simples

Triangle

0 l

M0

AM =12M0l

xG =23l

Parabole convexe

0 l

M0

AM =M0l

3

xG =3l4

Parabole concave

0 l

M0

AM =2M0l

3

xG =5l8

Trapze

0 l

M2M1

AM = A1+A2 =(M1+M2) l

2

14

10 Systmes hyperstatiques

10.1 DfinitionUn systme de barres est dit hyperstatique si, aprs avoir crit les quations dquilibre, on reste incapable de calculer les effortsintrieurs.On peut distinguer deux catgories dans lhyperstatisme :

les systmes extrieurement hyperstatiques : les liaisons qui maintiennent le systme amnent plus dinconnues que le PFSne peut en rsoudre (dans un problme plan, 4 inconnues suffisent). On peut par exemple les retrouver dans un problmedencastrement double ou de poutre continue (chemin de fer), etc.

les systmes intrieurement hyperstatiques : les ractions sont toutes dtermines sans aucun problme grce au PFS maisil est impossible de calculer les efforts intrieurs. Ces problmes se retrouvent par exemple pour des systmes composites etdes systmes ferms empchant de "couper" la barre en deux, etc.

Les systmes hyperstatiques sont rsolus grce des conditions donnes par le thorme de Menalbrea.

10.2 Degr dhyperstatismeLe degr dhyperstatisme N correspond au nombre defforts intrieurs qui ne peuvent tre connus en ayant pos les quationsdquilibre. ce nombre dpend :

du nmobre total de ractions (inconnues externes) du nombre total dquations dquilibre (2D:3 ; 3D:6) des articulations intrieures des contours plans ferms (chaque contour introduit trois inconnues internes) des symtries gomtriquesDans le cas de symtries gomtriques, trois cas se distinguent :

Efforts symtriques :N(x) et M(x) sont des fonctions symtriquesT (x) est une fonction antisymtrique : annulation au plan de symtrie

Efforts symtriques :N(x) et M(x) sont des fonctions antisymtriques : annulation au plan de symtrieT (x) est une fonction symtrique

Efforts quelconques : aucune rduction de lhyperstatisme nest possible

10.3 Mthode de rsolutionLa mthode la plus courante consiste transformer le systme hyperstatique par un systme de base ou fondamental qui a des con-ditions aux limites modifies dans le sens de la rduction du nombre dinconnues. Cette rduction du nombre dinconnues passegnralement par la considration des dformations et des dplacements totaux du systme.

En utilisant la superposition des dplacements, on peut dfinir le dplacement total et le dcomposer en fonction des effortsappliqus au point considr pour calculer les inconnues manquantes.

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11 Critres de rsistance

11.1 Quantits limites usuellesLes critres de rsistance sont tablis partir de ltude des structures de diffrents matriaux. En fonction de la nature des diffrentsmatriaux, on peut constater que lon atteint ltat limite quand lune ou plusieurs quantits atteignent leurs limites :

Quantit Sollicitation gnrale (3D)sollicitation quivalenteen traction-compression

uniaxiale (1D)contrainte normale 1 e = 1

allongement spcifique 1 =1 (2+3)

Ee =

1E

contrainte tangentielle 2 =13

2e =

12

nergie spcifique de dformation We We =21 +

22 +

23

2E+E(12+23+13) We =

212E

nergie spcifique dviatrice Wd Wd =1+6E

((12)2+(13)2+(23)2

)Wd =

1+3E

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11.2 CritresLtat limite est obtenu, dans le cas dune sollicitation gnrale, lorsque la quantit A devient gale la quantit B dans le cadre dunesollicitation quivalente de traction-compression.

Les cinq critres prcdents nous permettent notamment de calculer, de telle sorte avoir e a

Premier critre : eI = 1

Deuxime critre : eII = 1 (2+3)Troisime critre - critre de Tresca : eIII = 13Quatrime critre : eIV =

21 +

22 +

23 +2 (12+23+13)

Cinquime critre - critre de Von Mises : eV =

12

((12)2+(13)2+(23)2

)11.3 Etats particuliersPour = 0,3

Etat plan Barres Torsion Flexion + Torsion

1 ,2 1,2 =2 1

2

2+42 M f ,Mt

eI = 1 eI =2+

12

2+42 eI = M f eI =

M f2+

12

M2f +M

2t

eII = 12 eII =(2+

12

2+42

)

(2 1

2

2+42

)eII = 1,3 M f eII = 0.35M f +0.65

M2f +M

2t

eIII = 12 eIII =2+42 eIII = 2 M f eIII =

M2f +M

2t

eIV =21 +

22 +212 eIV =

2+32 eIV = 1.73 M f eIV =

M2f +

34M2t

eV =21 +

22 12 eV =

2+2,62 eV = 1.61 M f eV =

M2f +

2,64M2t

Pour le cas de la sollicitation compose en flexion-torsion, on a :

max =M fWax

avec Wax =Iaxzmax

max =MtWp

avec Wp =I0rmax

; I0 = 2Iax et zmax = rmax = max =Mt

2Waxdo la relation exprime directement en terme des moments.

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12 Sollicitation par choc

12.1 EnoncUne sollicitation par choc est caractrise par lapplication de forces extrieurs avec des variations brusques.

h

P

On considre une poutre verticale de longueur l comme ci-contre.Une charge de poids P va tomber sur la poutre depuis une hauteur h. La poutre subissant le choc vaalors se dformer de .

Le travail de P est alors L= P(h+ )

Lnergie de dformation de la poutre donne We =EA 2

2l

Dans un cas sans choc, la force P naurait produit quun travail Lstat = Pstat

Dans le modle lastique, tout le travail L de la force est absorb par la dformation de la poutre.On a L=We

Ceci implique 2stat stath= 0 avec stat =2PlEA

obtenu par Lstat =We,stat

Comme > 0, la solution est alors =

1+

1+h

stat

stat =statLe multiplicateur de choc peut sexprimer dans le cas o une vitesse et non pas une hauteur est considre :

= 1+

1+

EcEp

= 1+

1+

v2

gstat

On a de mme la relation =stat

On peut remarquer que > 2 et que son effet diminue avec lamplitude de stat . Ainsi, les contraintes dynamiques sont au moinsdeux fois suprieures aux contraintes statiques. Si lon souhaite rduire ce coefficient, il faut faire en sorte dagrandir lamplitude destat , notamment en utilisant des ressorts.

12.2 Mthode de rsolutionConsidrant la relation obtenue, il suffit de calculer stat en se ramenant un systme statique (la charge P en chute sur la poutre estremplace par un effort statique P dj appliqu).

De fait, stat se calcule avec les thormes nergtiques, de la mme manire que dans les cas hyperstatiques.

Si cas hyperstatique il y a, il faut commencer par poser le systme statique. On rsout ensuite le systme hyperstatique par lesmthodes usuelles avant de calculer stat .

Une fois stat connu, on peut calculer et toutes les grandeurs dynamiques qui nous intressent.

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13 Treillis

13.1 Enonc du problmeUn treillis est un systme de barres articules. On retrouve ce type de structures dans le gnie civil et larchitecture : ponts, aroports,gares, etc. Ces btiments comptent alors des nuds par centaines ou milliers, quil faut alors rsoudre. Mme si ce calcul est lourdsans outil informatique, lintrt du treillis est la suppression des flexions.

Les articulations des treillis peuvent tre des soudures, des boulons ou des systmes bagues. On peut ngliger les contrainteset dformations en flexion, et donc modliser les encastrements par des articulations, grce la rigidit du systme : considrant unensemble de poutres, le moment dinertie global devient trs important.

13.2 Mthode usuelle de rsolutionLes moments tant ngligs, seules subsistent les forces axiales. La rsolution se "rduit" alors au calcul des forces axiales chaquenud.

Ainsi, on isole chaque articulation pour y poser les deux quations statiques qui la concernent. Au niveau global, ce sont les troisquations planes du PFS que lon retrouve.Pour que le systme soit statique, avec nbarres barres et nnoeuds nuds, on a alors cet quilibre pour le nombre dinconnues :

nbarres+3 = 2nnoeuds

Dans le cas o des forces sappliquent sur les poutres et non les nuds du treillis, il suffit de les rpartir :

al blP

V1 =Pba+b

V2 =Paa+b

Pba+b

Paa+b

13.3 Mthode de RitterSi les ractions sont calcules et que lon cherche des efforts intrieurs particuliers, on va sectionner plusieurs barres dans le treillis,quon va alors isoler.

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14 Flambement

14.1 PhnomneLe flambage est une perte de lquilibre stable dune structure en compression qui survient dans certaines conditions dues troistypes de facteurs :

la gomtrie de la pice les efforts appliqus les proprits du matriau

Le flambage nest pas une sollicitation, cest un phnomne assimil une rupture en RDM, notamment car il implique des grandsdplacements. Lors du flambement, la ligne moyenne dune barre droite cesse dtre une droite et devient sensible dautressollicitations.

14.2 Flambement lastique

P P

On a pour les barres droites, lexpression de la dformeEIv(x) =M(x) avec V (x) la flche.Or, M(x) = Pv(x)

Ainsi, on a lquation diffrentielle EIv+Pv= 0

On a alors la solution v(x) =C1 sin(x)+C2 cos(x) avec 2 =PEI

Ici, les conditions aux limites (v(0) = 0, v(l) = 0) donnent :

v(x) =C2 sin(x)

P= k2pi2EIl2

avec P la valeur pour laquelle se produit le flambement

On pose alors la force critique au premier mode de flambement (k = 1) : Pcr =pi2EImni

l2favec ici l f = l

On en dduit la contrainte de compression au flambement : f =PcrA=pi2E 2

avec =l fimin

le coefficient de sveltesse

et iy =

IyA

le rayon dinertie

14.3 Modle complet

Le cas lastique nous donne f =pi2E 2

.

Ceci nest vrai que pour le cas lastique, donc pour f 6 e, cest dire pour > 0 = pi

Ee

Jusqu la rupture, on peut montrer que le cas plastique sapproxime par f = a+b (b< 0).

La rupture est atteinte f = r, cest--dire = 1 =rab

f

1 0

r

e

rupture plastique lastique

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14.4 Flambement et conditions aux limites

Reprenons lexpression de la force critique : Pcr =pi2EImin

l2f.

La longueur l f exprime ici dpend des conditions aux limites de la poutre. On lexprime par l f = l

l

P

P

= 1

P

P

= 2

P

P

=12

P

P

=

22

Il est noter que si lon dcide de bloquer le premier flambement en rajoutant une condition supplmentaire, le flambementnapparatra que sur son deuxime mode.

De plus pour k = 2, on a Pcr2 = 22Pcr = 4Pcr. Ceci permet dloigner le risque de flambement de manire significative.

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IntroductionHypothses fondamentalesGomtrieDformationsContraintesMatriaux

NotationsDmarche de rsolution

Calcul des forces extrieuresPrincipe fondamental de la statiqueLiaisons cinmatiques

Efforts intrieursConvention de signesRelations diffrentielles pour les barres droites - Diagrammes d'effortsRelations diffrentiellesDiagrammes d'efforts

Relations diffrentielles pour les barres courbes

Traction-CompressionFlexionFlexion pureContraintesMoments quadratiques par rapport l'axe y

Flexion dvieFlexion composeBarres courbesSections composites

CisaillementCisaillement simpleCisaillement en flexion simpleContrainteMoments statiques

TorsionContrainteExpressionMoment quadratique polaire

Ressort hlicodalSollicitationsFlche du ressort

Calcul des structures : Thormes nergtiquesEffort unitaire fictifRciprocit du travailRciprocit des dplacementsThorme de Mohr-MaxwellThorme de CastiglianoMthode grapho-analytiqueEnoncAires simples

Systmes hyperstatiquesDfinitionDegr d'hyperstatismeMthode de rsolution

Critres de rsistanceQuantits limites usuellesCritresEtats particuliers

Sollicitation par chocEnoncMthode de rsolution

TreillisEnonc du problmeMthode usuelle de rsolutionMthode de Ritter

FlambementPhnomneFlambement lastiqueModle completFlambement et conditions aux limites