INFORME DE LABORATORIO DE FISICAMOMENTO DE INERCIA

PROFESOR: MSC. ING. JOSE ALEXANDER ORTEGA.POR: JULIO JAVIER SAMANIEGO CARRIÓNPARALELO: 62FECHA DE REALIZACIÓN: 03/08/2012FECHA DE ENTREGA: 17/08/2012

I TÉRMINO 2012 - 2013

ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL LITORAL

1. RESUMEN:

En la práctica realizada la clase anterior, nos dispusimos a verificar el momento de inercia de un sistema considerando dos masas puntuales, en la que primeramente se calculó la constate del resorte que fue obtenida a partir de los datos que nos proporciono un dinámetro utilizado como la fuerza que produce torque para distintos radios de las masas puntuales, luego se giraba un ángulo determinado para que la energía transmitida al resorte produzca un torque en el cual se obtenían los periodos en distintos radios, también se comprobó el momento de inercia y el teorema de los ejes paralelos o de Steiner utilizando un disco en cual se podían cambiar el eje de rotación mediante una serie de agujeros paralelos que tenia este.

Todo esto lo llevamos a cabo obteniendo los resultados teóricos calculados a partir de los datos recolectados de la práctica y las ecuaciones aprendidas en el aula de clase, luego procedimos a elaborar las gráficas correspondientes de IT vs. R2 (para el experimento de las masas puntuales y de este se obtuvo la pendiente que correspondía a la suma de las dos masas 2M) y Idisco vs d2 (para el teorema de los ejes paralelos o de Steiner, del cual se obtuvo la pendiente que nos proporcionaba la masa M del disco).

También se cálculos los errores absolutos de cada pendiente, y el porcentaje de error de la práctica experimental con respecto a la teórica para luego analizar todos los resultados y así demostrar los objetivos propuestos.

2. OBJETIVOS:

Verificar los momentos de inercia de masas puntuales y de un disco.

Comprobar el Teorema de los ejes paralelos o de Steiner.

3. INTRODUCCIÓN:

Torque:

Se define por torque o momento de rotación a la expresión dada por:

τ=F⃗ x r⃗

En la cual: τ = TorqueF⃗ = Fuerza aplicada r⃗ = brazo de momento

Momento de Inercia:

El momento de inercia es una magnitud que establece la resistencia que presenta un cuerpo a cambiar su velocidad angular. Con relación a un eje definido, el torque externo aplicado a un cuerpo rígido, se relaciona con la aceleración angular adquirida mediante la ecuación:

τ=Iα M.1

En el que I es el <momento de inercia>, α es la aceleración angular y τ es e torque aplicado. Si se tiene una distribución de masa discreta el momento de inercia puede calcularse con la ecuación:

I=∑mr2 M.2

Donde m son las masas puntuales y r la distancia al eje de rotación. Si la distribución de masa es continua para el cálculo se utilizará la integral:

I=∫r2dm M.3

Si se conoce el Momento de Inercia Io con relación a un eje que pasa por el centro de masa, es posible calcular el momento de inercia I de un cuerpo de masa M, con relación a un eje paralelo al primer eje situado a una distancia r, con el Teorema de Steiner o de ejes paralelos, expresado por:

I=I o+Mr2

Determinación experimental del Momento de Inercia.

El objeto cuyo momento de inercia se desea establecer se ajusta a un resorte de torsión fijo a una basa metálica. Si se ejerce un momento de torsión (torque) al resorte, este recorre un ángulo θ, al soltarlo el resorte ejerce un torque de restauración proporcional al ángulo θ, por lo tanto:

τ=−kθ M.5

Donde K es la constante del resorte, de aquí se puede establecer por igualdad de Torques:

Iα=−kθ M.6

Como α es l aceleración angular esta puede ser expresada como la segunda derivada del desplazamiento angular con respecto al tiempo, por lo tanto la ecuación puede ser expresada:

[ d2θd t 2 ]+[ KθI ]=0 M.7

La solución a la ecuación diferencial M.7 es:

θ=θ0 sin(ωt+d)

Esto significa que el Momento de Inercia del objeto acoplado al resorte puede establecerse conociendo el período de oscilación T y la constante del resorte K, al despejar I:

I= KT2

4 π 2M.8

Determinación de la constante K del resorte.

Si se aplica un torque al eje del resorte, donde F es la fuerza y r es el brazo del momento, el torque τ=−Kθ recuperador del resorte equilibra el torque externo aplicado es decir:

∑ τ=Fr−Kθ=0

De donde se puede despejar K:

K= Frθ

M.9

Momento de inercia de masas puntuales

El momento de inercia de 2 masas M puntuales e iguales, que se encuentran una distancia r del eje de rotación, de acuerdo a la ecuación M.2 es:

I=2Mr2 M.10

La Ec. M.9 se verifica ajustando dos cilindros de masa M, por medio de una varilla a distancias r iguales al eje de oscilación del resorte. Las masas con la varilla se constituyen como el objeto, sujeto al eje del resorte cuyo momento de inercia puede ser calculado por la Ec. M.8 conociendo la constante del resorte K y el período de oscilación.

El momento de inercia de la varilla con las masas IT será:

I T=IV+2M r2 M.11

Donde Iv es el momento de inercia de la varilla.

Momento de inercia de disco (Ejes Paralelos o

Steiner) La ecuación M.4 se verifica utilizando un disco metálico que se fija al eje del resorte en diferentes posiciones a lo largo del disco. Cambiando el eje de oscilación del disco, el momento de inercia del disco con relación a cada nuevo eje será:

I disco=I o+M d2 M.12

Donde Io es el momento de inercia del disco con relación al eje del resorte que pasa por el centro del disco y d la distancia del centro al eje de oscilación.

El momento del disco se obtiene de Ec. M.8 y es:

I disco=K T 2

4 π2

4. Equipo y Materiales:

Soporte Eje de torsión (varilla de acoplamiento) Cilindros (masa puntuales) Disco para eje de torsión Resorte de Torsión Balanza mecánica Cronómetro Calibrador Vernier Dinamómetro

5. Procedimiento Experimental:

Se deben tomar las dimensiones y la masa del disco y la varilla.

Procedimiento Experimental 1: Constante del Resorte

1. Colocar la varilla en el soporte previamente armado y ajustarla.

2. Fijar un ángulo determinado de oscilación, se recomienda que sea π rad para evitar que la varilla hiera a alguien por la velocidad que adquiere al regreso del giro.

3. Seleccionar un objeto representativo y usarlo como marco de referencia para medir el ángulo determinado previamente que va a girar la varilla con respecto a este.

4. Medir con el dinamómetro la fuerza F y su respectiva r con el calibrador, las r vienen dadas por hendiduras en la varilla a ciertas distancias del eje de oscilación. Es importante que el dinamómetro se encuentre paralelo al piso.

5. Anotar los datos tomados del dinamómetro en la tabla respectiva.

Procedimiento Experimental 2: Masas Puntuales

1. Ajustar las masas a diferentes distancias r del eje de oscilación de acuerdo a la figura.

2. Seleccionar un ángulo de oscilación, en este caso se trabajará con el que ya se eligió en el procedimiento anterior.

3. Para cada distancia mida el correspondiente período de oscilación usando el cronómetro.

4. Completar la tabla de datos de evaluación.

Procedimiento Experimental 3: Disco (Teorema de Steiner)

1. Fijar el disco metálico al soporte con el tornillo de ajuste pasando el eje del resorte por el centro del disco de acuerdo a la figura 8.

2. Medir el período de oscilación T con el cronómetro.

3. Cambiar la posición del disco utilizando las perforaciones a lo largo del radio del disco como en la figura 9, midiendo la distancia d correspondiente y el período de oscilación para cada nueva posición.

4. Registrar los datos en la tabla respectiva.

6. Resultados.

Datos generales.

Objetos Masa MedidaVarilla (120.0+-

0.5)gr0.57+-0.01m(longitud)

Cilindro (237.5+-0.5)gr

0.40+-0.01m(diámetro)

Disco (680.0+-0.5)gr

Procedimiento experimental 1: Constante del Resorte.

Exp. θ(rad) R +- 0.01(m) F +- 0.1(N) K= Frθ

1 2π 0.25 0.65 0.0252 2π 0.20 0.75 0.0243 2π 0.15 1.05 0.0254 2π 0.10 1.65 0.026

Kprom= 0.025

Cálculos:

1. K1=Frθ

=0.65∗0.252π

=0.025

2. K2=Frθ

=0.75∗0.202π

=0.024

3. K3=Frθ

=1.05∗0.152π

=0.025

4. K4=Frθ

=1.65∗0.102π

=0.026

Kprom=(K1 + K2 + K3 + K4 )/4

Kprom=(0.025+0.024+0.025+0.026 )/4 Kprom=0.025

Procedimiento experimental 2: Momento de Inercia.

Exp. R (m) R 2(m2) T (s ) T2 (s2) I T=K T2

4 π2

1 0.25 6.2(10)-2 6.90 47.6 0.030=30(10)-3

2 0.20 4.0(10)-2 5.55 30.8 0.020=20(10)-3

3 0.15 2.2(10)-2 4.45 19.8 0.012=12(10)-3

4 0.10 1.0(10)-2 3.42 11.7 0.0074=7.4(10)-3

5 0.05 0.2(10)-2 2.54 6.45 0.0041=4.1(10)-3

Cálculos:

1. R2= (0.25 )2=6.2 (10 )−2T2= (6.90 )2=47.6

I T 1=KT 2

4π 2=0.025∗47.6

4 π2=0.030

2. R2= (0.20 )2=4.0 (10 )−2T 2=(5.55 )2=30.8

I T 2=K T2

4 π2=0.025∗30.8

4 π2=0.020

3. R2= (0.15 )2=2.2 (10 )−2T2= (4.45 )2=19.8

I T 3=K T2

4 π2=0.025∗19.8

4 π2=0.012

4. R2= (0.10 )2=1.0 (10 )−2T2=(3.42 )2=11.7

I T 4=K T 2

4 π2=0.025∗11.7

4 π2=0.0074

5. R2= (0.05 )2=0.2 (10 )−2T2= (2.54 )2=6.45

I T 5=K T2

4 π2=0.025∗6.45

4 π2=0.0041

Gráfica: IT vs. R2

Cálculo de la Pendiente y su error absoluto.

Porcentaje de error para la pendiente.

Δb=±1.0 (10 )−2

10

Δb=±1 .0 (10 )−3

Δ a=±5.0 (10 )−3

10

Δa=±5 .0 (10 )−4

m=y2− y1x2−x1

m=29.0 (10 )−3−5.0 (10 )−3

6.0 (10 )−2−0.5 (10 )−2

m=24.0 (10 )−3

5.5 (10 )−2

m=0.44 Kg.

b

am=y2− y1x2−x1

m=ab

m=ab−1

a=24.0¿b=5.5 (10 )−2

Δm=±{|ΔmΔa |Δa+|ΔmΔb |Δ b}Δm=± {|b−1|Δa+|a−b−2|Δb}

Δm=±{|1b|Δ a+|−ab2 |Δb}Δm=±{| 1

5.5 (10 )−2|5.0 (10 )−4+|−24.0 (10 )−3

(5.5 (10 )−2 )2 |1.0 (10 )−3}Δm=± {0.0091+0.0079 }

Δm=± {0.0170 }

m=(0.44±0.02) Kg

Valor teórico = 2M = 2*237.5=(475.0+-0.5)gr=(0.4750+-0.0005)Kg.

Valor experimental = (0.44+-0.02)Kg.

Valor del intercepto con el eje Y (Inercia de la varilla)

Valor experimental: Iv=3.0 (10 )−3±1.0 (10 )−3 kg .m2

Valor Teórico: Iv=112M L2= 1

12(0.120 ) (0.57 )2=3.2 (10 )−3 Kg .m2

Porcentaje de error en el intercepto con el eje Y

%Error=|Valor teórico−Valor experimentalValor Teórico |∗100%%Error=|0.4750−0.440.4750 |∗100%%Error=|0.074|∗100%

%Error=|Valor teórico−Valor experimentalValor Teórico |∗100%%Error=|3.2−3.03.2 |∗100%%Error=|0.062|∗100%

Procedimiento experimental 3: Teorema de los ejes paralelos.

Ex. d (m) d2(m2) T (s ) T2 (s2) I disco=K T 2

4 π2

1 0.00 0.00 4.70 22.1 0.014=14(10)-3

2 0.04 0.002=2(10)-3 4.92 24.2 0.015=15(10)-3

3 0.08 0.006=6(10)-3 5.33 28.4 0.018=18(10)-3

4 0.12 0.014=14(10)-3 6.03 36.4 0.023=23(10)-3

5 0.16 0.026=26(10)-3 6.77 45.8 0.029=29(10)-3

Cálculos:

1. R2= (0.00 )2=0.00T 2=(4.7 )2=22.1

I T 1=KT 2

4π 2=0.025∗22.1

4 π2=0.014

2. R2= (0.04 )2=2 (10 )−3T 2=(4.92 )2=24.2

I T 2=K T2

4 π2=0.025∗24.2

4 π2=0.015

3. R2= (0.08 )2=6 (10 )−3T 2=(5.33 )2=28.4

I T 3=K T2

4 π2=0.025∗28.4

4 π2=0.018

4. R2= (0.12 )2=14 (10 )−3T2= (6.03 )2=36.4

I T 4=K T 2

4 π2=0.025∗36.4

4π 2=0.023

5. R2= (0.16 )2=0.026 (10 )−3T 2=(6.77 )2=45.8

I T 5=K T2

4 π2=0.025∗45.8

4 π2=0.029

Gráfica: IT vs. R2

Cálculo de la Pendiente y su error absoluto.

Δb=±4 (10 )−3

10

Δb=±0.4 (10 )−3

Δ a=±4 (10 )−3

10

Δa=±0.4 (10 )−3

m=y2− y1x2−x1

m=32 (10 )−3−16 (10 )−3

28 (10 )−3−3.0 (10 )−3

m=16 (10 )−3

25 (10 )−3

m=0.64 Kg.

b

am=y2− y1x2−x1

m=ab

m=ab−1

a=16¿b=25 (10 )−3

Δm=±{|ΔmΔa |Δa+|ΔmΔb |Δ b}Δm=± {|b−1|Δa+|a−b−2|Δb}

Δm=±{|1b|Δ a+|−ab2 |Δb}Δm=±{| 1

25 (10 )−3|0.4 (10 )−3+|−16 (10 )−3

(25 (10 )−3 )2|0.4 (10 )−3}Δm=± {0.02+0.01 }

Δm=± {0.03 }

m=(0.64±0.03)Kg

Porcentaje de error para la pendiente.

Valor teórico = (680.0 +- 0.5)gr. = (0.6800 +- 0.0005)Kg.

Valor experimental = (0.64 +- 0.03)Kg

Valor del intercepto con el eje Y (Inercia Inicial del disco)

Valor experimental: I o=14 (10 )−3±0.4 (10 )−3 kg .m2

Valor Teórico: Io=12M R2=1

2(0.680 ) (0.20 )2=13.6 (10 )−3 Kg .m2

Porcentaje de error en el intercepto con el eje Y

%Error=|Valor teórico−Valor experimentalValor Teórico |∗100%%Error=|0.6800−0.640.6800 |∗100%

%Error=|0.059|∗100%

%Error=|Valor teórico−Valor experimentalValor Teórico |∗100%%Error=|13.6−1413.6 |∗100%%Error=|0.03|∗100%

7. Discusión.

Concluida la experimentación con todo el equipo de laboratorio necesario para la práctica, desarrollamos los cálculos pertinentes para obtener nuestra tabla de datos y así construimos las gráficas IT vs. R2 desarrollada en base a la primera experiencia en la cual calculamos la constante del resorte y tomamos los datos de los periodos y Idisco vs d2 obtenida a partir de los datos que obtuvimos en la segunda experiencia en la que tratábamos de verificar el teorema de Steiner mediante un disco que tenia agujeros paralelos;

En primer lugar calculamos el valor de la constante del resorte en la cual obtuvimos un resultado de 0.025 N/m que fue el promedio una serie de experiencias ubicando los cilindros en radios distintos, con un mismo ángulo de giro.

En la primera gráfica (IT vs. R2) la pendiente de esta fue utilizada para determinar el valor experimental de la masa total de los cilindros, en la cual obtuvimos un valor de (0.44+-0.02)Kg. y comparándola con el valor teórico que es (0.4750 +- 0.0005)Kg. se desarrolló un error del 7.4%, también analizamos el intercepto con el eje Y de la gráfica en el cual se denotaba la Inercia de la Varilla en la cual su valor fue de (3.0±1.0)(10)-3 kg.m2 y comparándola con la Inercia teórica que la obtuvimos a partir de la fórmula I= 1/12 (ML2) y fue de (3.2)(10)-3

kg.m2 se obtuvo un error del 6.2%.

En la segunda gráfica (Idisco vs d2 ) la pendiente de esta fue utilizada para determinar el valor experimental de la masa del disco, en la cual obtuvimos un valor de (0.61+-0.03)Kg. y comparándola con el valor teórico que es (0.6800 +- 0.0005)Kg. se desarrolló un error del 3.2%, también analizamos el intercepto con el eje Y de la gráfica en el cual se denotaba la Inercia Inicial del disco con su eje en el centro de masa, en la cual su valor fue de (14±0.4)(10)-3 kg.m2 y comparándola con la Inercia teórica que la obtuvimos a partir de la fórmula I= ½(MR2) que fue de (13.6)(10)-3 kg.m2 se obtuvo un error del 3%.

Los errores obtenidos en la práctica en general no son muy altos, y estos se puede deber a una pequeña falla en la toma de los periodos con el cronómetro, en la medición con el dinamómetro, o en la medida con la regla, es decir todas las mediciones directas tomadas del experimento.

8. Conclusiones.

Se verificó los momentos de inercia de las masas puntuales mediante la comparación entre valor teórico calculado mediante fórmulas y el valor experimental obtenido observando el intercepto con el eje Y en la gráfica, los resultados fueron buenos y obtuvimos un error del 6.2% entre la relación de estos datos.

De igual manera se comprobó la inercia del disco en la que obtuvimos un error comparativo del 3%.

Finalmente quedó comprobado el teorema de los ejes paralelos o de Steiner ya que se obtuvo una gráfica lineal, lo que indica que las inercias iban aumentando proporcionalmente a la inercia Inicial, mientras los radios al cuadrado también aumentaban con respecto al eje de rotación.

9. Recomendaciones.

Tomar con mucha exactitud el periodo utilizando correctamente el cronómetro.

Para las oscilaciones del disco tomar un ángulo pequeño que no sobrepase los 45° para cada oscilación.

Las medidas de el radio para la varilla tiene que ser tomada desde el eje de rotación hasta el centro de masa del cilindro y no hasta sus extremos.

10. Bibliografía.

www. Wikipedia.org http://blog.espol.edu.ec/mvhinojo/files/2011/11/Reporte-Momento-de-Inercia1.pdf Manual de practicas de laboratorio de Física A.