gavriil paltineanu analiza matematica calcul diferential

Download Gavriil PALTINEANU Analiza Matematica Calcul Diferential

Post on 23-Oct-2015

122 views

Category:

Documents

35 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Culegere de probleme

TRANSCRIPT

  • Seria MATEMATIC

    ANALIZ MATEMATIC Calcul diferenial

  • MATHEMATICAL ANALYSIS

    Differential calculus

    The present book is the first part of the cours of Mathematical Analysis given by the author for many years at the Technical University of Civil Engineering of Bucharest. It contains: Sequences and Series of Numbers, Sequences and Series of Functions, Power Series, Taylors Series, Metric Spaces, Normed and Hilbert Spaces, Functions of Several Variables, Limits and Continuity, Partial Derivatives, Differentiable Functions, Taylors Formula, Local Extremum of a Function, Implicit Functions, Local Conditional Extremum, Dependent Functions.

    This list itself demonstrates that the book provides the engineering disciplines with the necessary information of differential calculus of functions with one and several variables.

    We tried to offer the fundamental material concisely and without distracting details. We focused on the presentation of basic ideas of differential calculus in order to make it detailed and as comprehensible as possible. The numerous examples also serve this aim.

    Besides students in tehnical faculties and those starting a mathematics course, the book may be useful to engineers and scientists who wish to refresh their knowledge about some aspects of mathematics.

    Lucrarea a fost realizat n cadrul Contractului de Grant nr. 39643 / 11.08.1998, CNFIS, cod 54, acordat

    de ctre Banca Mondial i Guvernul Romniei.

  • Prof. univ. dr. GAVRIIL PLTINEANU

    ANALIZ MATEMATIC

    Calcul diferenial

    Seria MATEMATIC

  • ANALIZ MATEMATIC

    4

    Editura AGIR Bucureti, 2002

  • ASOCIAIA GENERAL A INGINERILOR DIN ROMNIA EDITURA AGIR, 2002 Editur acreditat de C.N.C.S.I.S. Toate drepturile pentru aceast ediie sunt rezervate editurii. Adresa: Editura AGIR Calea Victoriei, nr. 118, sector 1, 70179 Bucureti Telefon: 401-212 81 04; 401-212 81 06 (redacie) 401-211 83 50 (difuzare) Fax: 401-312 55 31; E-mail: office@agir.ro Referent: prof. univ. dr. Gheorghe Bucur, Facultatea de Matematic, Universitatea Bucureti Redactor: ing. Adina NEGOI Coperta: Camelia BOGOI Bun de tipar: 15.08.2002; Coli de tipar: 11,75 ISBN 973-8130-90-5 Imprimat n Romnia

  • Prefa

    Lucrarea se adreseaz studenilor din anul nti din universitile tehnice i are la baz experiena de peste 20 de ani a autorului n predarea cursului de Analiz Matematic la Facultatea de Construcii Civile i Industriale din Universitatea Tehnic de Construcii Bucureti. Materialul prezentat corespunde programei analitice din semestrul nti i este mprit n patru capitole: iruri i serii de numere reale, iruri i serii de funcii reale, Spaii metrice. Spaii normate i Spaii Hilbert, Calculul diferenial al funciilor de mai multe variabile.

    n vasta ofert de cursuri de Analiz Matematic de pe piaa crii din ara noastr, diferena este dat de msura n care se pstreaz un echilibru rezonabil ntre rigoare i accesibilitate. Acesta a fost criteriul de baz n scrierea acestui curs i sperm c, mcar parial, am reuit acest lucru.

    Bucureti, februarie 2002

    G. Pltineanu

  • Cuprins

    1. IRURI I SERII DE NUMERE REALE............................................................ 9

    1.1. Numere reale.................................................................................................. 9 1.2. iruri de numere reale (complemente)......................................................... 16 1.3. Dreapta ncheiat. Limitele extreme ale unui ir ......................................... 21 1.4. Serii numerice convergente i divergente.................................................... 25 1.5. Serii cu termeni pozitivi............................................................................... 27 1.6. Criterii de convergen pentru serii cu termeni oarecare ............................. 39 1.7. Calculul aproximativ al sumei unor serii ..................................................... 41 1.8. Serii absolut convergente............................................................................. 44 1.9. Operaii cu serii convergente ....................................................................... 47

    2. IRURI I SERII DE FUNCII REALE ........................................................... 49

    2.1. Convergent simpl (punctual) i convergen uniform .......................... 49 2.2. Formula Taylor ............................................................................................ 60 2.3. Serii Taylor i Mac Laurin........................................................................... 66 2.4. Serii de puteri............................................................................................... 71

    3. SPAII METRICE. SPAII NORMATE. SPAII HILBERT .......................... 79

    3.1. Spaii metrice. Principiul contraciei ........................................................... 79 3.2. Spaii normate.............................................................................................. 87 3.3. Spaii Hilbert................................................................................................ 88 3.4. Serii n spaii normate.................................................................................. 92 3.5. Funcii elementare Formulele lui Euler ....................................................... 96 3.6. Funcii de matrice ........................................................................................ 99 3.7. Elemente de topologie n n ...................................................................... 102 3.8. Limite de funcii ........................................................................................ 112 3.9. Funcii continue ......................................................................................... 118 3.10. Proprietile funciilor continue pe mulimi compacte i conexe ............ 122

    4. CALCULUL DIFERENIAL AL FUNCIILOR DE MAI MULTE VARIABILE..................................................................................................... 128

    4.1. Derivate pariale Difereniabilitate ............................................................ 128 4.2. Difereniabilitatea funciilor vectoriale. Matrice iacobiene ....................... 136 4.3. Difereniabilitatea funciilor compuse ....................................................... 138 4.4. Difereniala de ordinul nti i invariana formei sale ............................... 142

  • 1. iruri i serii de numere reale

    9

    4.5. Derivate pariale de ordin superior. Difereniale de ordin superior ........... 144 4.6. Derivatele pariale de ordinul doi ale funciilor compuse de dou

    variabile..................................................................................................... 150 4.7. Formula Taylor. Extremele funciilor de mai multe variabile ................... 152 4.8. Teorema de inversiune local .................................................................... 158 4.9. Transformri regulate ................................................................................ 162 4.10. Funcii implicite....................................................................................... 165 4.11. Funcii dependente i independente......................................................... 170 4.12. Extreme cu legturi.................................................................................. 175 4.13. Schimbri de variabile ............................................................................. 180 4.14. Elemente de teoria cmpurilor................................................................. 182

    BIBLIOGRAFIE................................................................................................... 188

  • 1. iruri i serii de numere reale

    1.1. Numere reale

    n cele ce urmeaz vom nota cu mulimea numerelor naturale, adic mulimea { }0,1,2, , ,nK K i cu { }* \ 0=

    Pe mulimea numerelor naturale sunt definite dou operaii: adunarea (notat cu +) i nmulirea (notat cu ).

    Deoarece elementele din nu sunt simetrizabile nici fa de adunare, nici fa de nmulire, operaiile de scdere i mprire nu sunt posibile n . ( nu are structur de grup nici fa de adunare, nici fa de nmulire).

    *

    Pentru a face posibil operaia de scdere, la mulimea numerelor naturale se adaug mulimea numerelor negative i se obine astfel mulimea numerelor ntregi { }, , , 2, 1,0,1,2, , ,n n= K K K K ( ), ,+ este inel comutativ. Urmtoarea extensie a numerelor este mulimea numerelor raionale , adic mulimea numerelor de forma p q , unde p, q , q 0, p i q prime ntre ele. n sunt definite cele patru operaii aritmetice: adunarea, scderea, nmulirea i mprirea (cu excepia mpririi la zero). Din punct de vedere algebric este corp comutativ.

    ( , ,+ )nc din antichitate s-a observat c mulimea numerelor raionale nu este

    suficient de bogat pentru a servi la exprimarea msurii oricrei mrimi din natur. Construcii geometrice foarte simple se conduc la mrimi a cror msur nu se poate exprima cu ajutorul numerelor raionale. Cel mai simplu exemplu este diagonala unui ptrat de latur 1. ntr-adevr, conform teoremei lui Pitagora, ptratul lungimii acestei diagonale este 2 i este binecunoscut faptul c nu exist nici un numr raional al crui ptrat s fie egal cu 2. Este deci necesar s adugm la mulimea numerelor raionale i numere de alt natur, pe care le numim numere iraionale i obinem mulimea numerelor reale .

    Dac primele extensii ale mulimii numerelor naturale i anume i , au fost determinate de necesiti algebrice, extensia de la la este determinat de necesiti topologice (de convergen). Mulimea numerelor raionale sufer de o anumit "incompletitudine", deoarece, n aceast mulime exist iruri monotone i