calculul diferential

Download Calculul Diferential

Post on 15-Jun-2015

1.965 views

Category:

Documents

15 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

learn

TRANSCRIPT

1CUPRINS CUPRINS ........................................................................................................................ 1 CAPITOLUL I RELAII MULIMI NUMRABILE I NENUMRABILE........................... 2 1. Relaii. Definiie. Proprieti generale....................................................................... 2 2. Tipuri de relaii ......................................................................................................... 3 3. Numere cardinale..................................................................................................... 5 4. Exerciii rezolvate..................................................................................................... 7 CAPITOLUL II SPAIU TOPOLOGIC. SPAIU METRIC. SPAIU BANACH............... 14 1. Spaiu topologic ..................................................................................................... 14 2. Caracterizarea topologic a punctelor unei mulimi ............................................... 16 3. Spaiu metric.......................................................................................................... 18 4. Norm. Spaiu vectorial normat.............................................................................. 20 5. Exerciii rezolvate................................................................................................... 24 2CAPITOLUL I RELAII MULIMI NUMRABILE I NENUMRABILE 1. Relaii. Definiie. Proprieti generale Se consider cunoscute noiunile de: mulime, clas, operaii cu mulimi i logic matematic. Definiia1.1.1.FieAiB doumulimioarecare.Senumeterelaiede coresponden ntre mulimileAiBtripletul notat astfel:( ) ; ; G A B =unde: G A B = , numit graficul (graful) relaiei; A- domeniul dedefiniie sau sursa relaiei; B- codomeniul sau adresa relaiei; Observaia 1.1.1. a)DacB A atunci relaia este notat cu( ) , G A i se numete relaie n A , iar graficul su este mulimea 2G A . b)( ) , x y G dac i numai dac; x y ( xeste n relaiacuy ); c)( ) , x y G dac i numai dac; x y ( xnu este n relaiacuy ); d)Fie( ) P A B numrulprilormulimiiA B .Mulimeatuturorrelaiilor ( ) ; ; G A B =este n coresponden biunivoc cu mulimea( ) P A B . e)DaccardA n = ,atunci( ) 2ncardPA = .ntr-adevr knC prindefiniie reprezintmulimeatuturorsubmulimilorcuk elementeformatedintr-o mulime cunelemente i 0 1... ... 2k n nn n n nC C C C + + + + + = Exemplu: a){ } 1, 2, 3 , A =( ) { } { } { } { } { } { } { } { }1, 1 , 2 , 3 , 1, 2 , 1, 3 , 2, 3 , 1, 2, 3 P A ={ } ( ) 2 P A , { } 2 A ,2 A b)DacM esteomulimei( ) P M mulimeaprilorluiM ,atunci mulimea( ) ( ) { }, G a A A P Ma A = estegraficulrelaieide apartenen. Definiia 1.1.2. FieAiBdou mulimi oarecare i( ) ; ; G A B =o relaie ntre celedoumulimi.Senumeterelaieinvers(reciprocsausimetric)arelaiei relaia ( )1 1; ; = G B Adefinit astfel: ( )1, x y Gdac i numai dac( ) , x y G sau 1y xdac i numai dacx y . 3Definiia1.1.3.Fie, , A B C treimulimioarecarei( )1 1; ; GA B = i ( )2 2; ; = GB C dourelaiioarecare.Relaia 2 1 = ,datdetripletul( ) , , G A C ,n cazul n care exist, se numete compusa relaiilor 1i 2 i este definit astfel: x z dac i numai dac exist y B astfel nct 1x y i 2 y z . Propoziia1.1.1.Dac( )1 1; ; GA B = ,( )2 2; ; GB C = iexist 2 1 = , atunci exist 1 i are loc relaia: ( )11 1 12 1 1 2 = = Propoziia1.1.2.Compunerearelaiiloresteooperaiaasociativ,adic,dac 1 2 3, , sunt relaii care se pot compune n ordinea 3 2 1 atunci: ( ) ( )3 2 1 3 2 1 3 2 1 = = Observaia 1.1.2. Relaia este generalizarea noiunii de funcie, adic: Fie( ) ; ; G A B =o relaie care verific proprietatea: x y ix z rezulty z = , atunci relaia este funcia: f A B . 2. Tipuri de relaii Aici se definesc cteva tipuri de relaii care sunt foarte ntlnite n practic. Definiia 1.2.1. Dac( ) , G A =ndeplinete urmtoarele proprieti: 01 x y implic y x , pentru orice, x y A (simetria); 02 x x , pentru oricex A (reflexivitatea); 03 x y i y zimplic x z , oricare ar fi , , x y z A (tranzitivitatea), atunci se numete relaie de echivalen n mulimeaA . Definiia1.2.2.Dacrelaia( ) , G A = verificproprietatea[x y iy x , implic ] x y =atunci relaia este o relaie antisimetric. Definiia1.2.3.OrelaiedefinitnmulimeaA careestereflexivi antisimetricse numete relaie de preordine. Orice relaie de preordine care este i tranzitiv se numete relaie de ordine. Exemple: a)FieAiBdou mulimi oarecare, relaia" " numit relaia de echipoten definit astfel: A B dacinumaidacexist: f A B ,f bijectiv;esteorelaiede echivalen. Rezolvare: 4 01 A A ntr-adevr dac se consider funcia identic: 1 :AA A ,( ) 1 =A x xEste evident c aceast funcie este o funcie bijectiv. Conform cu definiia relaiei" " se obine:A A . 02 A B implicB A . ntr-adevrdinA B rezultcexist: f A B bijectiv;darsetiecorice funciebijectivesteiinversabiliinversasaestebijectiv.Deciexist 1: f B Abijectiv din care rezultB A . 03 TrebuieartatcA B iB C implicA C .ntr-adevrdinfaptulc A B iB C rezult c exist: f A B bijectiv i: gB C bijectiv; deci exist : h A C ;h g f =bijectiv.AtunciA C .Verificnd 0 01 3 dindefiniia1.2.1.s-a demonstrat c relaia de echipoten este o relaie echivalent. b)n mulimea numerelor reale se tie c exist relaia" " definit astfel: x y dacxare imaginea pe axa real la stnga imaginii luiy . Relaia" " este o relaie de ordine pe mulimea numerelor reale. 01 x x (reflexivitatea): 02 x y iy x implicx y = (antisimetria); 03 x y iy z implicx z (tranzitivitatea). Orice mulime nzestrat cu o relaie de ordine de numete mulime ordonat. Definiia 1.2.4. Fie( ) , G A =o relaie de echivalen definit n mulimeaAi x A , un element oarecare a luiA , atunci mulimea notat astfel xsau xCi definit astfel{ } / = = xx C y A y xpoart denumirea de clas de echivalen a elementuluix , definit de relaia de echivalen. Definiia 1.2.5. Mulimea tuturor claselor de echivalen a mulimiiAdefinit de relaia de echivalen se numete mulimea ct a mulimiiA , determinat de relaia de echivalen i se noteaz astfel:/ A( A factorizat la) . Propoziia 1.2.1. Fie( ) , G A =o relaie de echivalen a mulimiiA ; atunci au loc relaiile: a) 2 x C x = , pentru oricex A ; b) x y =dac i numai dacx y . Demonstraie: a)Fiex A unelementoarecare,deoarece( ) , G A = esteorelaiede echivalen,datoritreflexivitiiacesteirelaiisepoatescriecx x deci x x . b)" " Se presupune c x y = ; rezult , x y y rezultx y sauy x . " " S presupunem cx y i trebuie s demonstrm c x y , dar pentru aceasta trebuie artat c: 5 . y xx y Fie z x trebuie artat c z y ; ntr-adevr din faptul c z x rezult z x , dar dinipotezsetiecx y ,cumrelaiaesteorelaiedeechivaleneaestei tranzitiv rezult z y . Deci z y rezult x y . Cealalt incluziune se demonstreaz n mod asemntor. Observaia 1.2.1.a)Din propoziia 1.2.1 rezult c dou clase de echivalen ori sunt disjuncte ori sunt egale i este evident cx AA x=. b)OricerelaiedeechivalenpeA determinopartiieaacesteimulimin clase de echivalen modulo. 3. Numere cardinale ntr-unuldinexempleleanterioares-adefinitnoiuneadeechipotenis-a artatcaceastrelaieesteorelaiedeechivalen.Cuajutorulacesteirelaiise definesc numerele cardinale i se clasific mulimile dup numrul elementelor lor. Definiia1.3.1.FieA omulimeoarecare,dacA N sespunecA esteo mulime numrabil. (Orice mulime echipotent cu mulimea numerelor naturale este o mulime numrabil). Exemplu: 1. 2 2 1,+N NP p - sunt mulimi numrabile 2.Q mulime numrabil (Exerciiu) Rezolvare: 1.Dupcumsetie,pentruaartacmulimea 2Npestenumrabiltrebuie artatcesteechipotentcuN;adictrebuieconstruitofunciecudomeniulNi codomeniul 2Np funcie care s fie bijectiv. Fie 2: N Npf ,() 2 f n n =este evident c aceast funcie este att injectiv, ct i bijectiv.n mod asemntor se arat c 2 1 +N Np, construind funcia 2 1:+ N Npf ,() 2 1 f n n = + . FieTmulimea total i( ) P Tmulimea prilor acestei mulimi. Fie ( ) A P To mulime oarecare. Definiia 1.3.2. Mulimea{ } ( ) / ~ = CAB P B A Tse numete cardinalul mulimii A sau clasa de echivalen definit deA n mulimea( ) P T .Dac: 6A are un element rezult1 = CA

A are dou elemente2 = CA

~ N A , atunci 0= CA se citete alef zero i reprezint cel mai mic infinit. ~ R A , atunci 0= CA se citete puterea continuului i este un infinit mai mare dect 0 . Definiia1.3.3.Omulimeinfinitcarenuesteechipotentcumulimea numerelor naturale se numete mulime nenumrabil. O categorie foarte important de mulimi nenumrabile sunt mulimile sin clasa de echivalen puterea continuului, adic cele echipotente cu mulimea numerelor reale. Cunumerelecardinalesepotdefinioperaiideadunare,nmulireiridicarela putere(cndnumerelecardinalesuntfiniteacesteoperaiisecunosc).Definiiace urmeazpentruacesteoperaiipoatefifolositincazulncarenumerelecardinale sunt infinite. Definiia1.3.4.Fiecardn A = ,cardm B = ,undeAiB suntdoumulimi oarecare din( ) P T . 10( ) card; n m A B + = A B =20( ) cardn m AB = 30card m Bn A ={ } / :BA f f B A = - mulimea tuturor funciilor ce pot fi definitep B cu valori nA. Exemplu: 0 0 0 + =2 2 1,+= = N Np pA B 2 2 1 + = = N N Np pA BMulimea tuturor numerelor cardinale infinite este o mulime ordonat care are un prim elementi aceste este 0 , dar care nu are un ultim element (deci cu alte cuvinte mulimea numerelor cardinale infinite nu este mrginit superior, vezi exerciiul 5b). Propoziia1.3.4.(TEOREMALUICANTOR):Mulimeatuturornumerelorreale cuprinse n intervalul[ ] 0,1este o mulime nenumrabil.Demonstraie:Sepresupuneprinabsurdcmulimeanumerelorrealedin intervalul[ ] 0,1 estenumrabil;atunciacestenumerepotfipusencoresponden biunivoc cu termenii unui ir dup cum urmeaz: 1 1 1 11 1 2 30, ... ...nb a a a a = 2 2 2 22 1 2 30, ... ...nb a a a a =. 1 2 30, ... ...n n n nn nb a a a a =. unde:{ } 0,1, 2, 3,..., 9jia 7Searatprinconstruciecmaiexistncunnumrsubunitarcarenuface parte din irul anterior. ntr-adevr dac se consider numerele: 1 2 30, ... ...nb a a a a =unde: 11 1 1 10; 9; a a a a 22 2 2 20; 9; a a a a. 0; 9;nn n n na a a a.Se observ c: 1b bcel puin prin prima cifr 2b bcel puin prin a doua cifr .nb bcel puin prin an -a cifr . D