geometrie analitic˘a si diferential˘a

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  • Contract POSDRU/86/1.2/S/62485

    Geometrie Analitica si Diferentiala

    POSDRU Bucuresti * 23 octombrie 2012

  • Prefata

    Continutul acestui text se adreseaza studentilor si profesorilor de la universitatile ce au n programa analiticaelemente de Geometrie Analitica si Diferentiala. Actualul mod de prezentare a materialului nglobeazaexperienta noastra si a autorilor mentionati n bibliografie privind predarea matematicii n universitatile deprofil tehnic. Pe baza experientiei dobandite n mai multi ani de predare, cursul a suferit modificari care i-aumbunatatit continutul si au permis aducerea lui la o forma didactico-stiintifica cat mai adecvata.

    Notiunile sunt expuse gradual pornind de la ideea de liniarizare, specifica modelelor ideale si folosind peRn ca model standard de spatiu euclidian. Aceste notiuni au fost selectate atat dupa cerintele planurilor denvatamant, cat si dupa capacitatea de nsusire a cunostintelor la nivelul anilor de studii I si II, insistand caminimul de cunostinte necesar viitorilor absolventi de facultate sa fie acoperit.

    Capitolele si paragrafele acestei carti se refera la:- elemente fundamentale de geometrie analitica plana si n spatiu;- aspecte locale si globale ale teoriei curbelor si suprafetelor, elemente intrinseci ale unei curbe sau ale unei

    suprafete, formule de calcul;- bazele teoriei tensorilor, a derivarii covariante si a operatorilor diferentiali (gradient, hessiana, divergenta,

    rotor si laplacian);Exemplele si problemele care nsotesc textul de baza asigura functionalitatea manualului oferindu-i un grad

    avansat de independenta n raport cu bibliografia existenta.

  • Cuprins

    MB.1.Vectori liberi 71.1 Vectori liberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Adunarea vectorilor liberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Inmultirea unui vector liber cu un scalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Coliniaritate si coplanaritate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5 Proiectie ortogonala pe o dreapta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6 Produs scalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7 Produs vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.8 Produs mixt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.9 Exercitii/probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    1.9.1 Enunturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.9.2 Solutii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    1.10 Exercitii/probleme propuse spre rezolvare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    MB.2.Reper cartezian 232.1 Reper cartezian. Sistem de coordonate carteziene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 Trecerea de la reperul cartezian la reperul cilindric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3 Trecerea de la reperul cartezian la reperul sferic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4 Exercitii/probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    2.4.1 Enunturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.4.2 Solutii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    2.5 Exercitii/probleme propuse spre rezolvare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    MB.3.Dreapta in spatiu 293.1 Ecuatiile dreptei n spatiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2 Dreapta determinata de un punct si un vector nenul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.3 Dreapta determinata de doua puncte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.4 Dreapta orientata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.5 Exercitii/probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    3.5.1 Enunturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.5.2 Solutii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    3.6 Exercitii/probleme propuse spre rezolvare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    MB.4.Planul n spatiu 334.1 Ecuatia planului n spatiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    4.1.1 Planul determinat de un punct si un vector normal nenul . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.1.2 Plane particulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.1.3 Planul determinat de trei puncte necoliniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.1.4 Planul determinat de un punct si doi vectori necoliniari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.1.5 Ecuatia normala a planului (Hesse) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    4.2 Plan orientat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.3 Semispatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.4 Reuniunea si intersectia a doua plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.5 Fascicule de plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    3

  • MATEMATICA*M* MB. GEOMETRIE

    4.6 Exercitii/probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.6.1 Enunturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.6.2 Solutii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    4.7 Exercitii/probleme propuse spre rezolvare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    MB.5.Unghiuri si distante n spatiu 435.1 Unghiuri n spatiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    5.1.1 Unghiul dintre doua drepte orientate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.1.2 Unghiul dintre doua plane orientate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.1.3 Unghiul dintre o dreapta orientata si un plan orientat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    5.2 Distante n spatiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.2.1 Distanta de la un punct la o dreapta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.2.2 Distanta de la un punct la un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.2.3 Perpendiculara comuna a doua drepte oarecare din spatiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.2.4 Distanta dintre doua drepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    5.3 Exercitii/probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.4 Exercitii/probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    5.4.1 Enunturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.4.2 Solutii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    5.5 Exercitii/probleme propuse spre rezolvare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    MB.6.Schimbari de repere n spatiu 556.1 Translatia reperului cartezian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.2 Rotatia reperului cartezian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.3 Problema rezolvata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.4 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

    MB.7.Conice 597.1 Tipuri de conice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597.2 Reducerea la forma canonica a ecuatiei unei conice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

    7.2.1 Metoda valorilor proprii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627.2.2 Metoda roto-translatiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

    7.3 Intersectia dintre o dreapta si o conica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647.4 Pol si polara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.5 Diametru conjugat cu o directie data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687.6 Axele unei conice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707.7 Exercitii/probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707.8 Exercitii/probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    7.8.1 Enunturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747.8.2 Solutii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    7.9 Exercitii/probleme propuse spre rezolvare . . . . . . . . . . . .