calcul diferential si integral

Download Calcul Diferential Si Integral

Post on 19-Feb-2016

400 views

Category:

Documents

41 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Matematica

TRANSCRIPT

  • CALCUL DIFERENTIAL SI INTEGRAL

    coordonator Paul FlondorRadu Gologan, Gavriil Paltineanu, Mircea Olteanu ,

    Antonela Toma, Tania-Luminita Costache,Jenica Cranganu, Marcel Roman,

    Monica Burlica , Vilhelm Kecs

  • 2*

  • 3*

  • Cuprins

    1 Spatiul Rn 7

    2 Elemente de topologie a spatiului Rn 9

    3 Functii continue 11

    4 Derivate partiale, diferentiala 14

    5 Extremele functiilor, formule Taylor 20

    6 Serii numerice 26

    7 Integrale improprii 31

    8 Siruri si serii de functii. Serii de puteri 35

    9 Functii definite prin integrale 39

    10 Integrala curbilinie 41

    11 Integrala dubla si integrala tripla 45

    12 Integrala de suprafata 49

    13 Formule integrale 52

    14 Exercitii rezolvate 5614.1 Spatiul Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5614.2 Elemente de topologie a spatiului Rn . . . . . . . . . . . . . . 5814.3 Functii continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6114.4 Derivate partiale, diferentiala . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6414.5 Extremele functiilor, formule Taylor . . . . . . . . . . . . . . 7514.6 Serii numerice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9514.7 Integrale improprii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10114.8 Siruri si serii de functii. Serii de puteri . . . . . . . . . . . . . 105

    4

  • CUPRINS 5

    14.9 Functii definite prin integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11014.10Integrala curbilinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11714.11Integrala dubla si integrala tripla . . . . . . . . . . . . . . . 12314.12Integrala de suprafata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12814.13Formule integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

    Bibliografie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

  • 6 CUPRINS

    *

  • Capitolul 1

    Spatiul Rn

    Prin definitie, Rn={ x = (x1,x2,...,xn) ; xiR, i=1,2,...,n}. Pentru omai buna ntelegere precizam ca : daca x = (x1,x2,...,xn), y= (y1,y2,...,yn),atunci x=y daca si numai daca x1= y1, x2= y2,..., xn= yn (n multimeanumerelor reale R).

    In particular: R1= R (dreapta reala ), R2 este planul (euclidian), iar R3spatiul.Avand n vedere structura algebrica definita de operatiile mai jos introdusevom numi multimea Rn spatiul euclidian n-dimensional si elementelesale puncte sau vectori. In acest context, numerele reale x1,x2,...,xn suntcomponentele lui x. Sa mai precizaam ca , n cazul planului (R2), vomnota x, y componentele (deci vom scrie, de exemplu, a= (x,y) ), iar n cazulR3 vom nota componentele cu x ,y ,z etc. Aceste notatii sunt traditionalesi au avantajul simplificarii notatiilor indiciale.

    Adunare. Daca x,yRn, x = (x1,x2,...,xn), y= (y1,y2,...,yn), definimx+ yRn prin x+ y= ( x1+ y1, ,x2+ y2,..., xn+,yn).

    Inmultire cu scalari. Daca xRn , x = (x1,x2,...,xn) si R definimxRn prin x=(x1, x2,..., xn).

    Se poate arata, cu usurinta , ca Rn mpreuna cu aceste doua operatiiformeaza un spatiu vectorial (peste R) de dimensiune n. In particular,x-y= ( x1- y1, ,x2- y2,..., xn- yn). Vom nota (ambiguu) 0 vectorul (0, 0..., 0)si-l vom numi origine. Vectorii e1=(1,0, ..., 0),..., en=(0, 0,...,1) formeaza obaza n Rn numita baza canonica . Componentele unui vector coincid cucoordonatele acestuia n baza canonica .

    Produs scalar. Daca x,yRn definim x y = x1y1 + x2y2+, ..., xnyn.Norma . Daca x Rn definim x=( x12+,x22+...+ x2)1/2 (se observa

    ca pentru n=1 se regaseste modulul unui numar real).Inegalitatea lui Cauchy. |x y|=x y pentru orice x,yRn .Proprietatile normei. Pentru orice x,yRn si R:

    1. x =0 ; x=0 daca si numai daca x=0.

    7

  • 8 CAPITOLUL 1. SPATIUL RN

    2. x+ yx+ y .3. x = || x .

    In timp ce i) si iii) se obtin cu usurinta , demonstratia lui ii) folosesteinegalitatea lui Cauchy.

    Distanta (euclidiana ). Daca x,yRn se defineste d(x,y) = x y.In plan, distanta dintre doua puncte reprezinta lungimea segmentului de

    dreapta care uneste cele doua puncte (distanta din geometria analitica ).Analog n spatiu. Se observa ca norma unui vector este distanta acestuia laorigine. Din proprietatile normei rezulta , fara dificultate, proprietatile debaza ale distantei:

    Proprietatile distantei. Pentru orice x,y,zRn:

    1. d(x, y)0 ; d(x, y) =0 daca si numai daca x=y .2. d(x, y) = d(y, x) .

    3. d(x, z) d(x, y) + d(y, z) .

    Ultima proprietate poarta numele de inegalitatea triunghiului preluandastfel numele unei binecunoscute inegalitati din geometria plana .

    Impreuna cu distanta introdusa , Rn este un spatiu metric. In general,un spatiu metric este o multime pe care s-a introdus o functie (de perechilede elemente din multime) care satisface conditiile i), ii). iii) de mai sus(verifica proprietatile distantei).

  • Capitolul 2

    Elemente de topologie aspatiului Rn

    Bila deschisa . Daca aRn si r>0, bila deschisa de centru a si deraza r este B(a, r) =

    {x;x Rn, d(x, a) < r}.

    In R bilele deschise sunt intervale deschise, n R2 discuri fara circumferintacare le margineste, iar n R3 bile fara sfera care le margineste. Astfel, deexemplu, n R2, (x,y)B(0, 1) daca si numai daca x2+y2 0 J astfel ncat daca j J sa rezulte d(xj , x) < .

    Un sir care are limita se zice convergent.

    9

  • 10 CAPITOLUL 2. ELEMENTE DE TOPOLOGIE A SPATIULUI RN

    Se observa ca din xj x si xj y rezulta x=y (unicitatea limitei).Forma geometrica a definitiei limitei (cum rezulta cu usurinta ) este:pentru orice bila deschisa centrata n x exista un rang astfel ncat termeniide rang mai mare ai sirului apartin bilei. Se remarca folosirea exclusiva adistantei pentru definitia limitei; deci aceasta definitie poate fi data n oricespatiu metric. Evident, n cazul R definitia de mai sus coincide cu cea data ,n liceu, pentru siruri de numere reale. Convergenta sirurilor n Rn se reducela convergenta (simultana a mai multor) sirurilor n R. Vom descrie acestfenomen doar n cazul particular R2 pentru a evita complicarea scrierii dincauza indicilor. Rezultatul este valabil n cazul general.

    Propozitia 2.1. (xk, yk) (x, y) n R2 daca si numai daca xk x siyk y n R.Demonstratia se bazeaza pe inegalitatile |x|, |y| (x2 + y2) 12 |x| + |y|pentru orice numere reale x,y.

    Este usor de generalizat inegalitatile de mai sus la cazul general Rn.In fond, putem afirma ca atat convergenta cat si limita sunt pe compo-nente.

    Punct aderent unei multimi. Un punct aRn este aderent multimiiARn daca exista un sir de puncte din A cu limita a.Desigur, orice punct din A este aderent multimii A (se poate lua un sirconstant etc.). Este simplu de vazut ca 0 este aderent intervalului deschis(0,1 ) dar nu apartine acestui interval.

    Legatura dintre puncte aderente si multimi nchise este data de :

    Teorema 2.1. O submultime ARn este nchisa daca si numai daca pentruorice punct a aderent multimii A avem aA.

    Frontiera . Daca ARn, se defineste frontiera FrA a multimii A cafiind multimea punctelor aderente atat multimii A cat si multimii Rn \ A.FrA este o multime nchisa .

    Vom reveni cu notiuni importante de topologie n sectiunea urmatoare.

  • Capitolul 3

    Functii continue

    In studiul calculului diferential al functiilor de mai multe variabile vomconsidera functii f : Rn Rm sau, mai general, functii f : A Rm,unde A este o submultime n Rn. Ca un prim exemplu de astfel de functii,util n cele ce urmeaza , vom considera proiectiile canonice ale spatiuluiRn.

    Proiectii canonice. Pentru i=1,2,..n vom nota pi functia, definita peRn si cu valori n R, pi(x1,x2,...,xn)=xi si o vom numi proiectia canonicade ordin i . Este clar c proiectiile canonice sunt functii liniare.

    Componentele unei functii. Fie f : A Rm (ARn). Pentrufiecare j=1,2...m definim fj : A Rn prin fj = pjf , unde pj este proiectiacanonica de ordin j n Rm , iar reprezinta compunerea functiilor.

    Functiile fj sunt componentele functiei f ; se scrie f=(f1,f2,...fm).Pentru a lamuri mai bine cele spuse sa notam cu x=(x1,x2,...,xn) vari-

    abila n Rn si cu y=( y1,y2,...,ym) variabila n Rm. Daca , pentru xA notamy=f(x), atunci se vede usor ca avem y1=f1(x1,x2,...,xn), ..., ym=fm(x1,x2,...,xn).

    In particular rezulta ca doua functii f,g : A Rm sunt egale daca sinumai daca f1=g1, ..., fm=gm. Multe proprietati ale functiilor se reduc laproprietati analoage ale componentelor.

    Astfel, de exemplu, o functie f : Rn Rm este liniara daca si numaidaca are (toate) componentele liniare.

    Functie continua . Fie f : A Rm (A Rn) si aA. Spunem cafunctia f este continua n (punctul) a daca : > 0 > 0 astfel ncatdaca x A, d(x, a) < sa rezulte d(f(x), f(a)) < . (s-a notat, pentrusimplitate, cu d atat distanta n Rn cat si cea n Rm ).

    Daca f este continua n orice punct din A atunci se zice continua peA.

    Se poate reformula conditia din definitia continuitatii ntr-o forma geo-metrica astfel: pentru orice bila deschisa B(f(a), ) exista o bila deschisaB(a, astfel ncat daca x A B(a, ) atunci f(x) B(f(a), ).

    11

  • 12 CAPITOLUL 3. FUNCTII CONTINUE

    Remarcam ca definitia continuitatii poate fi data , fara modificari formale,pentru functii definite pe un spatiu metric cu valori ntr-un spatiu metric.

    Propozitia 3.1. Compunerea a doua functii continue este o functie con-tinua .

    O caracterizare utila a continuiatii este cea cu siruri :

    Teorema 3.1. Functia f : A Rn (A Rn) este continua n punctul aAdaca si numai daca pentru orice sir (xk)k n A , xk a avem (f(xk))k f(a).

    Folosind teorema si caracterizarea convergentei sirurilor (a se vedea Capi-tolul 2) obtinem:

    Corolarul 3.1. Daca f : A Rm (A Rn), f=(f1,f2,...fm), atunci f estecontinua n aA daca si numai daca func