I. DUDASTELIAN GRDINARU CALCUL INTEGRAL CU APLICAII VOLUMUL 1 Descrierea CIP a Bibliotecii Naionale a Romniei DUDA, I. Calcul integral cu aplicaii. / I. Duda, Stelian Grdinaru Bucureti: Editura Fundaiei Romnia de Mine, 2007 Bibliogr.2 vol. ISBN 978-973-725-823-6 general Vol. 1. 2007 ISBN 978-973-725-824-3 I. Grdinaru, G 517.3(075.8) Editura Fundaiei Romnia de Mine, 2007 Redactor: Mihaela TEFAN Tehnoredactor: Stelian GRDINARU Coperta: Cornelia PRODAN Bun de tipar: 25.04.2007; Coli tipar: 36,5 Format: 16/70100 Editura i Tipografia Fundaiei Romnia de Mine Splaiul Independenei nr.313, Bucureti, Sector 6, O.P. 16 Tel./Fax: 444.20.91; www.spiruharet.ro e-mail: contact@edituraromaniademaine.ro UNIVERSITATEASPIRUHARET FACULTATEADEMATEMATIC I INFORMATIC I. DUDASTELIAN GRDINARU CALCUL INTEGRAL CU APLICAII VOLUMUL 1 EDITURA FUNDAIEI ROMNIA DE MINE BUCURETI, 2007

5

CUPRINS Prefa 7 Capitolul1.Integrala nedefinit 1.1. Generaliti..9 1.2. Schimbarea de variabil la integrala nedefinit..11 13. Integrarea prin pri .....26 1.4. Integrale recurente ..35 1.5. Integrarea funciilor raionale .69 1.5.1. Integrareafunciilorraionale elementare ..70 1.5.2. Integrarea funciilor raionale prin descompunerea n fracii simple 76 1.6. Integrarea funciilor exponeniale.......97 1.7. Integrarea funciilor hiperbolice .110 1.7.1. Relaii fundamentale. Integrale generale de funcii hiperbolice ... 110 1.7.2. Integrale recurente care conin funcii hiperbolice ..116 1.7.3. Integrarea funciilor raionale nch , sh , th x x x.122 1.7.4. Integrarea funciilor raionale n , ch , shxe x x 125 1.8. Integrarea funciilor iraionale 132 1.8.1. Integrarea funciilor iraionale pe cazuri particulare ....132 1.8.2.Integrarea funciilor quasiraionale.144 1.8.3.Substituiile lui Euler ..149 1.8.4.Alte metode de integrare a funciilor iraionale..153 1.9. Integrarea funciilor trigonometrice167 1.9.1.Integralelede forma ( ) sin , cos R x x dx . 167 1.9.2.Integrale de funcii trigonometrice particulare ...172 1.9.3.Integrale trigonometricediverse ...174 1.9.4.Integrarea funciilor iraionale cu ajutorul substituiilordefuncii trigonometrice. 193 1.10. Integrale binome ..197 1.11. Integrale abeliene..213 1.12. Integrale diverse ...230 Capitolul2. Integrala definit2.1. Sume Riemann. Noiunea de integral definit .246 2.2. Formula lui Leibniz Newton ...251 62.3. Proprietile integralei definite ...258 2.4. Formula de integrare prin pri pentru integrala definit ...272 2.5. Alte proprieti ale integrale definite......280 2.6. Formule de medie pentru integrala definit....300 2.7. Inegaliti integrale ....310 2.8. Formule derecuren la integrala definit.....323 2.9.Existena primitivelor unei funcii continue ..341 2.10. Calculul aproximativ al integralelor definite ...365 Capitolul3.Aplicaii ale integralei definite n geometrie 3.1. Calculul ariilor suprafeelorplane definite n coordonate carteziene 385 3.2. Calculul ariilor n coordonate parametrice ..394 3.3. Calculul ariilor n coordonate polare ...409 3.4. Lungimea unui arc de curb plan reprezentat n coordonate carteziene 427 3.5. Lungimea unui arc de curb plan reprezentat n coordonate parametrice . 446 3.6. Lungimea unui arc de curb plan reprezentat n coordonate polare .. 460 3.7. Calculul volumelor solidelor . .465 Capitolul4. Aplicaii ale integralei definite n mecanic 4.1. Aplicaii generale ale integralei definite n mecanic ...503 4.2. Calculul momentelorstatice i al momentelorde inerie. Centre de greutate. Teoremele lui Pappus - Guldin ..... 519 4.3. Probleme diverse ...580

Bibliografie .....585 7 Prefa Culegereadeproblemeseadreseazcuprecderestudenilordin anul I i II de la Facultatea de Matematic - Informatic, putnd fi folosit ns i de studenii facultilor cu profil economic sau tehnic i, de ce nu, de eleviidinultimulandeliceu,caresepregtescpentruexamenulde bacalaureat sau pentru admiterea n nvmntul superior.Autorii i-au propus s descrie pe scurt cele mai importante metode de calcul integral,dezvoltnd i generaliznd integrale ce apar n cursurile de matematici superioare din anii II i III.Culegereaareunscopdidactic,aceladeaofericititoruluiun numrctmaimaredeexerciiirezolvate,oferindmaimultesoluiide rezolvare a acestora. Fiecarecapitolestensoitdeoscurtprezentareteoretici completatcuexerciiirezolvateipropuse.Calculelesuntfcute amnunitiarproblemelepropusesuntnsoitedeindicaii corespunztoare. Autorii 8 9 1. INTEGRALANEDEFINIT 1. 1.Generaliti. 1. FieJ R un interval i: f J R . Se spune cf admite primitiv pe Jdac exist o funcie: , F J R astfel nct: ( ) iFderivabil peJ( ) ii 'F f peJ 2.FunciaFse numete primitiva lui, fiar mulimea tuturor primitivelor lui, fnotat( ) , f x dx se numete integrala nedefinit a funciei, fvom nota:

( ) ( )F x f x dx C = + unde Ceste o constant real aditiv. 3. DacFiGsunt primitivele a dou funcii if gdefinite ca mai sus, iaridou numere reale, atunci: ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx F x G x + = + saupe scurt: ( ) f g F G + = + 4. Operaia de determinare a unei primitive se numete integrare.Integrarea funciilor se face cu ajutorul tabloului primitivelor funciilor elementare. 5.Metodaschimbriivariabileiimetodaintegrriiprinpripermit reducereaintegralelornedefinitelaceledintablou.ncontinuare,vom presupunecfunciile care apar sub integrale admit primitive pe domeniile indicate, dac intervalulde integrare nu este dat, se va considera domeniul maximdedefiniie;prezenaconstanteiCsevaomite;nvadesemnaun numr natural, iar, ,..., , , 0 a b sunt constante, presupuse date.

10A. Tabloul primitivelor funciilor elementare 1.1 1xx dxx+=+,, x R 1 a.*11ln , dx x xx = = \ b.12 ,02dxx xx = = > c.21 12 ,0 dx xx x = = d. ( )11 1 ,0,21n nn dx x nx n x= = 2. ,0,1lnxxaa dx x a aa= > \ a. ,, x xa e e dx e x = = \ 3. sin cos , x dx x x = \ 4. cos sin ,x dx x x = \ 5. { }21ctg ,\ /sindx x x k kx = \ ] 6.( )21tg ,\ 2 1 /cos 2dx x x k kx = + \ ] 7. a.2 2arcsin , dx xx aaa x= < b.2 2arccos , dx xx aaa x= < 11 8. 2 22 2ln , dxx x a x ax a= + > 9. ( )2 22ln , dxx x a xx a= + + +\ 10. 2 21ln , 2dx x ax ax a a x a= + 11. a .2 21arctg ,,0dx xx ax a a a= +\ b. 2 21arcctg ,,0dx xx ax a a a= +\

1.2.Schimbarea de variabil la integrala nedefinit

Fie, I J \intervale,iarf i funciidefiniteprincompunerea fI J\,astfel nct: ( ) i derivabil peI( ) ii f admite primitiv peIAtunci funcia( ) f Dadmite primitive i vom avea:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ),f x x dx F x C C = + \ saupe scurt : ( ) ,f F C C = + D D \. Observaie n aplicaii este util s inem seama de:

12 B.Tabloul general al primitivelorfunciilor compuse 1. ( ) ( )( )1,11xx x dx + = + a.( )( )( ) ( ) 1 ln ,0xdx x xx = = b.( )( )( ) ( )1 2 ,02xdx x xx = = > c.( )( ) ( )( )212 ,0xdx xx x = = d. ( )( ) ( ) ( )( )11 ,01n nxn dx xx n x = = 2.( )( )( ),0,1lnxxaa x dx a aa = > 2 . ( )( )( ), x xa e e x dx e = = 3. ( ) ( ) ( ) sin cos x x dx x = 4. ( ) ( ) ( ) cos sin x x dx x = 5.( )( )( ) { }2ctg , \ /sinxdx x x k kx = \ ] 6.( )( )( ) ( )2tg , \ 2 1 /cos 2xdx x x k kx = + \ ] 7. a. ( )( )( )( )2 2arc sin ,arcsinx dx xx aaa x = < 13 b. ( )( )( )( )2 2arc cos , x dx xx aaa x = < 8.( )( )( ) ( ) ( )2 22 2ln , x dxx x a x ax a = + > 9.( )( )( ) ( )( )2 22 2ln ,0x dxx x a ax a = + + + 10.( )( )( )( )2 21ln2x dx x ax a a x a = + 11. a. ( )( )( )2 21arctg , 0x dx xax a a a = + 11. b. ( )( )( )2 21arcctg , 0x dx xax a a a = + Dacinemseamac( ) , x dx d = atuncilegturantretablourileAiBeste dat de: ( ) ( ) ( ) () ()f x x dx f d F = = Uneori pentru simplitatea scrierii notm: ( ) ( ) , u x x dx du = =iar ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x x dx f u du F u = = Observaie ( ) ( ) ( ) ( )1 , f x dx F x f ax b dx F ax b a ba= + = + \ 14Aplicaii directe 1. a.1lndxax bax b a= ++ b. ( )( )111nnax bax b dxa n+++ = + c.( )( )( )11 11n ndxn aax b ax b= + + 2.1 ax axe dx ea= 3.2 2 2 2 2 221 1 1 1arc tg arc tgdx dx x axb ba x b a a ab bbxa aa= = =+ + 4.2 2 2 2 2 221 1 1 1ln ln22bxdx dx ax bab ba x b a a ab ax bbxxa aa= = = + + ( ) 0,0 a b 5.2222 2 2 221 1lndx dx b bx xa a a aa x bbxa = = + + + + +

saudac notm ax u = 1, dx dua= atunci: ( ) ( )2 2 2 2 22 2 2 2 21 1 1 ln lndx duu u b ax a x ba a aa x b u b= = + + = + ++ + Moduloo constant aditiv, cele dou primitive coincid.ntr-adevr, ( )2 22 2 2 2 21 1 1 1ln ln ln lnb bax a x b a x x a x xa a a a a a + + = + + = + + +

6.2 2 22 2 21lndxax a x baa x b= + 15 7.( )221arctg ,0dx x ab bx = + 8.( )221ln ,02dx xb xx = + 9.( )( )( )2222lndxx xx a = + + + 10. ( )( )2222lndxx xx = + Pentruexerciiile11i12vomnota 24 , p q = discriminantulecuaieide gradul doi:

20 x px q + + = Astfel pentru: a. 2220, 2 2px px q x < + + = + + b. 2220, 2 2px px q x > + + = + 11.a.22 2arctg , 0dx x px px q += + ++ + 12. a. 22ln ,02dx px x px qx px q = + + + + < + + b. 22ln ,02dx px x px qx px q = + + + + >+ + Observaie Dac n egalitatea( ) ( ) f x dx F x = lum, F f atunci are loc relaia: f f = 16 Aplicaii directe 1.( ) ( ) ( )2 2 2 22 21 1ln ln2 2x dxx a dx x ax a= + = ++ 2.( )2 2 2 22 2 2 222x dx x dxx a dx x ax a x a= = + = ++ + 3.( )( )2 2 2 2 22 21 1 12 x2x dxdxax ax a = = ++ + Exerciii rezolvate S se calculeze primitivele urmtoare: 1.ln, 0xdx xx> Soluie 1. Alegem( ) ln , x x =iar( )1. xx = Astfel: ( ) ( )( )22ln 1ln2 2xxdx x x dx xx = = = Soluie 2.ntruct( )1lnxx=se obine:

22ln ln 1ln2 2x xdx dx xx = = Soluie 3. Notndlnx t =i difereniind n ambii membrii, avem 1dx dtx=Apoi:

22ln 1ln2 2x tdx t dt xx= = = 2.23, 49 16dxxx< Soluie 1.Alegem4 , x t =iar 1,3.4dx dt a = =

( )2 2 2 221 1 1 4arcsin arcsin4 4 4 39 163 4dx dx dt txax a tx = = = = 17 Soluie 2.Observm cintegrala dat se mai poate scrie: 2 22149 1634dx dxxx=

Notnd 34 =obinem: 2 21 1 1 3arcsin arcsin4 4 4 4dx xxx= = 3.( )1001 2dxx Soluie.Notm 1 2 ( ), x x =iar( ) 2; x = atunci: ( ) ( )100 1100 99 100 991 1 1 1 12 2 100 1 2 991 2 198 1 2dxx x += = = = + 4. 41x dxx + Soluie. Notm 2,3, x a = =iar2 , x = apoi: ( )22 4 2 22 21 2 1 1 1arctg arctg9 2 2 2 3 6 33x dx x dx xx a ax = = = = + + + 5.cos, sin 0sinx dxa b xa b x+ + Soluie.Notndsin , x t =integrala dat se rescrie:

1ln sindta b xa bt b= ++ 6.2 2 2cos, , 0sinx dxa ba b x+ Soluie.Cu schimbareasin , x t =integrala devine:

2 2 2 221 1 1 1arctg arctgdt dt t bta aa b t b b a aatb bb= = =+ + Prin urmare, revenind la notaia iniial: 2 2 2cos 1arctg sinsinx dx bxa b x a a = + 18 7.25xxe dxe + Soluie. Notnd,5,xe t a = =obinem:

( ) ( )2 2 22 2ln ln 5x xdtt t a e et a= + + = + ++ 8.222,44xxxe dxee< Soluie.Notm 24 ,xe t = deunderezult 2 24 ,xe t = iarprin difereniere 22 2 ,xe dx t dt = astfel:

222 1 44xxxe dx t dtdt t ete= = = = 9.2 2sin cosdxx x Soluie. ntruct 2 2sin cos 1, x x + integrala se poate scrie succesiv: 2 22 2 2 2 2 21 sin cos 1 1tg ctgsin cos sin cos cos sinx xdx dx dx dx x xx x x x x x+= = + = 10.4sin 21 cosxdxx + Soluie.Alegem 2cos , x t = iar2sin cos . x xdx dt = Cumsin 2 2sin cos , x x x =vom obine:

( )( )( )24 2 222sin cossin 2ln 11 cos 11 cosx x dxx dtdx t tx tx= = = + ++ ++ saun varibila iniial

( )2 44sin 2ln cos 1 cos1 cosxdx x xx= + ++ 11. a. 2tg x dx b. ( )3tg tg x x dx + Soluie.S observm c( )21 tg tg . x x + = ntr-adevr: 19 ( )2 2 222 2 2sin sin cos 11 tg 1 tgcos cos cosx x xx xx x x++ = + = = =Astfel: a. ( ) ( )2 2 2tg 1 tg 1 1 tg x dx x dx x dx dx = + = + = (tg ) tg x dx x x x= = b. ( ) ( ) ( )23 2tgtg tg tg 1 tg tg tg2xx x dx x x dx x x dx+ = + = = 12.22 2,24x xdx xx + +< Soluie.Observndcintegrantulestedeforma 1 1 f gfg g f+= + , putem scrie: ( )22 2 1 12 2 22 24x xdx dx dx x xx xx + += + = + +

S-a inut seama c: a. ( )2 2 ,dxa x dx a xa x= + = ++ iar b. ( )2 2dxa x dx a xa x= = 13.,0dxx ax a x a> >+ Soluie. Integrantul se mai poate rescrie: ( ) ( )1 12x a x ax a x ax a x a ax a x a+ + = = + + + iar,dac inem seama c: a.( )3 2 3x a dx x a + = + b.( )3 2,3x a dx x a =

atunci:

( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 31 2 2 12 3 3 3dxx a x a x a x aa ax a x a = + + = + + + 20

14.( )2sin, \ 2 1 |cos 2x dxx k kx + \ ]Soluie. Notndcos ,sin , x t x dx dt = = integrala se rescrie:

2 2sin 1 1cos cosx dx dtx t t x= = = 15.( ),01dxxx x>+ Soluie.Notm: ( ) ( )11 , 2x x xx + = = apoi: ( )( )( )( )12 2 2ln2 11xdx dxdx xxx xx x= = =++ ( )2ln 1 x = + 16.( )21, 0xxx x> Soluie. Dezvoltnd la numrtor, integrala devine: ( )2 3123211 2 1 1 12 2ln312xx x xdx dx dx dx dx xxx x x x xx + += = + = = +

22ln 2 x xx= + 17.33 2sin xdxx Soluie. Alegem 3, x u =iar3 2.3dxdux=Apoi scriem: 333 2sin3 sin 3cos 3cosxdx t dt t xx= = = 18.2 35x x dx + Soluie.Efectum schimbarea de variabil:21 3 3 2 25 5 3 2 . x u x u x dx u du + = + = = Rescriem apoiintegrala sub forma:

( )32 3 2 3 31 2 2 252 53 3 9 9x x dx u u du u du u x + = = = = + 19.( )( ),, dxx a x bx a x b Soluie.Integrantul se poate rescrie i sub forma: ( )( )( ) ( )( )( )1 1 1 1 1x a x bx a x b b a x a x b b a x b x a = = Prin urmare: ( )( )1lndx x bx a x b b a x a= 20. ( )2,0,dxx aax x Soluie.Deoarece: ( )2 22 222 2 224 2 4 2 2a a a a aax x x x x b x b = + + = = cu2ab = integrala dat se rescrie:

( )2 222arcsin arcsindx dx x b x ab aax xb x b = = = 21.2 21 arcsindxx x Soluie.Notmarcsin , x t = unde21dxdtx=

Deaicirezult c:

22 21 1arcsin1 arcsindx dtt t xx x = = = 22. ( )2arccos,1,11x xdx xx+ Soluie.Integrala se mai poate rescrie sub forma: 22 2 2 2arccos arccos1 1 1x x dx xI dx dxx x x+= = + unde:

2arccos1dxxx=

Pentru a doua integral, se noteazarccos , t x = iar21dxdtx= , astfel c:

222arccos 1arccos2 21x tdx t dt xx= = =

21arccos arccos2I x x = 23. ( )22arctgln 1 1,0,1 2xe x xdx xx+ + + + Soluie.Notm I, integrala dat,care se vascrie:

( )22 2 2arctg ln 11 1 1xe x dx dxI dx xx x x= + + ++ + + Pentru prima integral, alegem: arctg , x t t x = 21dxdtx=+ astfel:

2arctg1t txedx e dt ex= =+

saun variabila iniial:

arctgxI e =Pentru a doua integral, notm: ( )222ln 11x dxx t dtx+ = =+ aa nct:

( ) ( )2 2 2 221 1 1ln 1 ln 11 2 4 4x dxx t dt t xx+ = = = ++ Ultima integral este:

2arctg1dxxx =+ n final:

( )2 2 arctg1ln 1 arctg4xI e x x = + + + 23 24.3 21,x x dx x + \ Soluie.Notm 2 21 , x t + =iar. x dx t dt =Mai departe: ( ) ( )5 33 2 2 2 2 2 4 211 15 3t tx x dx x x dx t t dt t t dt + = + = = = sau n variabila iniial: ( ) ( )5 33 2 2 21 111 15 3x x dx t x + = + + 25.( )321 2 5 x x x dx + + + Soluie.NotmIintegrala dat. Observm c( )222 5 1 4. x x x + + = + +Schimbnd1 , x u + =iar, dx du =integrala devine:

3 24 I u u du = + apoi alegem 2 24, t u = +cu, tdt udu =astfel c:

( )52 2 2 2 4 2 3444 45 3tI u u udu t t dt t dt t dt t = + = = = ( ) ( )5 32 21 44 45 3I u u = + +n variabila x se obine,n final:

( ) ( )5 32 21 42 5 2 55 3I x x x x = + + + + Exerciii propuse 1. 1,lndx x ex x> ( ) :ln ln R x 2. 21,24 1dxxx>

21: ln 2 4 12R x x + 3.( )352 3 x dx +

( )855:2 316R x + 244. 41,1 93xdxxx

1 3 1: ln12 3 1xRx + 5. sin,3 2cosxdxxx\

1: ln 3 2cos2R x 6. sin cos,,sin cos 4 4x xdx xx x +

: ln sin cos R x x 7. 3sin cos ,,4 4x xdx x 41: cos4R x 8. 21 tg, 0,1 tg2xxx + +

( ) : ln 1 tgR x + 9. 24,9xxexe+\

21: arctg3 3xeR

10. 21, ,1 lndxx eex x ( ) : arcsin ln R x 11. 1 12 5, 10x xxdx x+ ++\ 2 5:5 ln5 2 ln 2x xR 25 12.1,22 1 2 1dxxx x>+ + ( ) ( )( )3 3 1: 2 1 2 16R x x + 13. 2sin 2,1 cosxdx xx+\ 21: 1 cos2R x + 14.{ }2cos,\ |sinxdx x k kx \ ] 1:sinRx 15. ( ), 01dxxx x>+ : arctg R x 16. ( ), 0, dxx x ax x a + 1: lnxRa x a + 17.( )2, 0, 22dxxx x

( ) :arcsin 1 R x 18.{ }2, \ 1,55 4dxxx x \

1 5: ln6 1xRx+ 19. ( )2 4tg tg ,,2 2x x dx x +

31: tg3R x2620.2arcctg, 1x xxx++\( )2 21 1: ln 1 arcctg2 2R x x + 21.( )22ln 1,1x x xxx+ + ++\ ( )2 2 21: 1 ln 12R x x x + + + +

22.5 21,x x dx x + \

( ) ( ) ( )7 5 32 2 21 2 1: 1 1 17 5 3R x x x + + + + 23.( )21 2 3,x x x dx x \ ( )321: 2 33R x x

24.( )2 4, 0,12 2xdxxx x+ 21 1: arcsin23xR 25.,x xdxxe e+\ ( ):arctgxR e

1.3.Integrarea prin pri Fie, : u v I \ \(Iinterval)doufunciiderivabilecuderivatele continue pe I. Atunci are loc relaia: udv uv v du =

numit i formula integrrii prin pri. 27 Exerciii rezlovate 1.,xx e dx x\ Soluie. Alegem, ,xdv e dx u x = =de unde xv e =i. du dx =Astfel: ( ) 1x x x x x xx e dx x e e dx x e e x e = = = 2.ln , 0 x x dx x > Soluie.Alegemdv x dx = iln . u x =De aici, 22xv =i.dxdux=Apoi:

2 221 1 1ln ln ln2 2 2 2x xx x dx x x dx x x dxx= = = ( )2 221ln 2ln 12 4 4x xx x x = = 3.arctg x x dx Soluie.Notmarctg u x =i. dv x dx =Deaicirezult: 21dxdux=+ i 22xv =Integrala devine:

2 221: arc tg arc tg2 2 1Jx xI x x dx x dxx= = +

unde: ( )22 21 111 arctg1 1xJ dx dx x xx x+ = = = + + nlocuind mai sus pe J, se obine:

3arctg2 2xI x = 4.2 xx e dx Soluie.NotmIintegrala dat. Alegem:

22x xdu xdx u xv e dv e dx= = = =

Apoi: 282 22x x xI x e dx x e xe dx = =

unde integrala din membrul drept este (vezi exerciiul 1) ( ) 1x xxe dx x e =

n final,rezult: ( ) ( )2 22 1 2 2x x xI x e x e x x e = = + 5. 2ln x x dx Soluie.Alegem:

2 3ln3dxduu xxdv x dx xv== = = Urmeaz c: ( )3 3 3 3 32 3 21 1 1ln ln ln 3ln 1 ln3 3 3 3 9 3 9x x x x xx x dx x x dx x x dx x xx= == = = 6. 2 2ln x x dx Soluie.Alegem:

23 22lnln3xdu dxu xxx dv x dxv= = = = Apoi: 3 32 2 2 3 2 22 ln 2ln ln ln ln3 3 3 3x x xx x dx x x dx x x x dxx= = unde, din exerciiul anterior: ( )32ln ln 19xx x dx x = iarn final, rezult: ( ) ( )3 32 2 2 3 22ln ln ln 1 9ln 2ln 23 27 27x xx x dx x x x x x = = + 7. ln ,0 x dx x > Soluie.Alegem: lndxu x duxdv dxv x= = = =

29 Apoi: ( )1ln ln ln 1 ln ln 1 x dx x x x dx x x dx x x x x xx= = = = 8. arctg , x dx x\ Soluie. Se noteaz: 21arctg1u x du dxxdv dxv x= = + = =

Deducem de aici c: 2arctg arctg1xx dx x x dxx= +

Pentru integrala din membrul drept alegem( )21 x x = +i( ) 2 , x x =astfel c:

( )( )( ) ( )221 1 1ln ln 11 2 2 2x dxxdx x xx x= = = ++ n final:

( )21arctg arctg ln 12x dx x x x = + 9. ( ) arccos ,1,1 x dx x Soluie.Alegem: 21arccos 1du dxu xxdv dxv x= = = =

Apoi: 2arccos arccos1xx dx x x dxx= +

Se observ c integrala din membrul drept devine cu substituia( )21 x x = i( ) 2 x x = ( )( )( )2212 1x dxxdx x xx x= = = iarn final: 2arccos arccos 1 x dx x x x = 3010.( )2ln 1 , 1 x x dx x + > Soluie. NotmcuIintegrala dat i alegem:

( )22ln 11dxduu x xxdv dxv x== + = =

apoiintegrm prin pri: ( ) ( )2 22 ln 1 ln 11x dxI x x dx x x xx= + = +

Dar integrala din membrul secund se poate rescrie: ( )2 22 221 11 2 1x dx x dxx dx xx x= = = Astfel:

( )2 2ln 1 1 I x x x x = + 11.( )2ln 1 x dx + Soluie.Alegem:

( )222ln 11xu x duxdv dxv x = + = + = =

iar apoi: ( ) ( )22 22ln 1 ln 1 21xx dx x x dxx+ = + +

ns: ( )222 2 21 111 arctg1 1 1xxdx dx dx x xx x x+ = = = + + + astfel:

( ) ( )2 2ln 1 ln 1 2 2arc tg x dx x x x x + = + + 12. ( ) ( ) cos ln 1 cos , , x x dx x + Soluie.Notm Iintegrala din enun i alegem: ( )sinln 1 cos1 coscossinxdxu x duxdv x dxv x = + = + = =

Apoi: 31 ( )2sinsin ln 1 cos1 cosxI x x dxx= + ++ Ultima integral se poate rescrie succesiv: ( )21 cos1 cos sin1 cosxdx x dx x xx= = + n final: ( ) sin ln 1 cos sin I x x x x = + + 13.( )2sin 2 ln 1 cos x x dx + Soluie.NotmIintegraladat.Vomefectua,mainti,schimbareade variabil:

2 1 cos i 2sin cos x t x t x x dx dt + = =dar sin 2 2sin cos , x x x =aa c , dx dt = iarintegrala dat se reduce la: ln I t dt =

Din exerciiul 7: ( ) ln ln 1 t dt t t = n final: ( ) ( )2 21 cos ln 1 cos 1 I x x = + +

14. , 0xx e dx x> Soluie. NotmIintegrala dat. Observm c: 22xeI x x dxx= iar dac schimbm i,2dxx t dtx= =atunci: 32tI t e dt=

Mai departe, integrm prin pri alegnd: 3 23 t tu t du t dtdv e dt v e = = = =

Aadar,

( )3 2 3 22 3 2 6t t t tI t e t e dt t e t e dt = + = Pentru ultima integral se procedeaz la o nou integrare prin pri: 22t tdu t dt u tv e dv e = = = = 32astfel c: 2 22 ,t t tt e dt t e t e dt = +

unde t t t t tte dt te e dt te e = + = Se nlocuiete mai sus acest rezultat: ( ) ( )3 2 3 22 6 2 2 2 3 6 6t t t t tI t e t e t e e t t t e = = + + +iardac se revine la notaia iniial cu , t x = se obine: ( )2 3 6 6xI x x x x e= + + + 15. 2,,cos 2 2xdx xx Soluie. Vom integra prin pri alegnd: 2 tgcosu xdu dxdxv x dvx== = = Astfel: 2sintg tg tgcos cosx xdx x x x dx x x dxx x= = + = ( ) costg tg ln coscosxx x dx x x xx= + = + Observaie Prezentmpescurtaazisametodacoeficienilornedeterminaidrepto caleteoreticdededucereaunorprimitivemaigeneralecalculatecu metoda integrrii prin pri. Metodaconstndeterminareaunorcoeficieniconstanterealecare aparnexpresiileunorprimitiveacrorformgeneralsepresupune cunoscut. Nu existo teorie general n acest sens. Pentru o clas destul de restrns s-a putut aplica aceast cale.

33 Exerciii rezolvate 1.cosxe xdx Am vzut la paragraful anterior c: cos (cos sin )x xe xdx e x x = + Vom presupune c: cos ( cos sin )x xe xdx e A x B x = + cuAiBapriorinedeterminai.Derivmnultimaegalitatetermencu termen,n ambii membrii i apoi grupm convenabil, astfel c:

cos ( cos sin+ cos sin )x xe x e A x B xB x A x = +

cos ( ) cos ( )sinx xe x e A B x B A x = + + Identificm,apoi,coeficieniinederminaiailuicos ,xe x respectiv, sinxe xn ambii membrii;rezult sistemul:

10A BA B + = + = acruisoluieeste: 2 2 2 2, A B = =+ +. nlocuind valorile lui i, A Bobinem valoarea integralei: 2 2cos ( cos sin )xxee xdx x x = ++

Aplicaie. S se calculeze: cos 2xe xdx Soluie. Cutm soluie de forma: cos 2 ( cos 2 sin 2 )x xe xdx e A x B x = + Derivmnambiimembriinultimaegalitateiidentificndcoeficienii nedeterminai, rezult sistemul:

2 12 0A BA B + = = a crui soluie este: 2 1,5 5A B = = . nlocuim mai sus i rezult, n final: cos 2 (2sin 2 cos 2 )5xxee xdx x x= 34 2.( )ln ( ) (ln( ))kn n kP x xdx Q x T x = unde, , n k ` ( )nP xi 1( )nQ x+sunt polinoame cu,ngradP n =1grad 1,nQ n+ = +iar(ln )kT xpolinom cugrad 1kT k = +n nedeterminataln . x Aplicaii.S se calculeze:

2ln x xdx Soluie. Suntem n cazul1, 3. n k = =Punem:

2 2 2ln ( )(ln ln ) x xdx Ax Bx C x D x E = + + + + Derivm n ambii membrii termen cu termen i apoi grupm convenabil:

2 2 22ln (2 )(ln ln ) ( )( ln )Dx x Ax B x D x E Ax Bx C xx x= + + + + + + +

2 2 2ln 2 ln ln (2 2 ) ln ( 2 ) ln x x Ax x B x AD A x x BD B x = + + + + + +

1 1( ) 2 ln BE BD C x CDx x+ + + + Identificm coeficienii nedeterminai:

20lnln1x xxxxxx2 102 ( 1) 0( 2) 0( ) 02 00ABA DB DB E DCCD==+ =+ =+ === 35 1.4.Integrale recurente Exerciii rezolvate 1. , ,n xnI x e dx x n = R NSoluie. Se integreaz prin pri, alegnd:

1 n nx xu x du nx dxdv e v e = = = = Astfel:

11n x n x n xn nI x e n x e dx x e nI= = Prin urmare: 1, 1n x n xn nI x e dxdx x e nI n= = Aplicaie. S se calculeze:

33xI x e dx = Pentru0, n = 0I se calculeaz plecnd de la definiie:

0x xI e dx e = = Pentru fiecare1, n calculul lui nI se face aplicnd relaia de recuren: ( )11x x x xI xe dx xe e x e = = = ( ) ( )2 2 222 1 2 2x x x xI x e dx x e x e x x e = = = + ( ) ( )3 3 3 2 3 23 23 3 2 2 3 6 6x x x xI x e dx x e I x x x e x x x e = = = + = + 2. ln , 0,nnI x dx x n = > N36Soluie. Efectum o integrare prin pri. Alegem:

1ln lnn ndxdu n x u xxdv dxv x = = = = Astfel:

11ln ln lnn n nn nI x x n x dx x x nI= = de unde:

*1ln ln , 0, n nn nI x dx x x nI x n= = > N Aplicaie.S se calculeze:

33ln ,0 I x dx x = > Pentru0, n =0, I x =apoi innd cont de relaia de recuren vom calcula: ( )1ln ln ln 1 I x x x x x x = = =

( )2 2 22 12 2ln ln 2 ln 2 ln 1ln 2 ln 2 (ln 2ln 2)I x dx x x I x x x xx x x x x x x x= = = == + = +

( ) ( )3 3 33 22 3 2ln ln 3 ln3 ln 2 ln 2 ln 3ln 6ln 6I x dx x x I x xx x x x x x x x x= = = + = + 3. ln , 1, ,0nnI x x dx n x = >NSoluie. Integrm prin pri alegnd:

1lnln1ndxdu n xu xxx dv xdxv dx += = = =+ 37 Apoi:

1 11 11lnln ln ,11 1 1nn nn nn x x nI x x x dx x I nx + += = + + Prin urmare: ( ) ( )11ln ln , 1,11 1n nn nx nI x x dx x I n += = + + Aplicaie.S se calculeze:

2 33ln I x x dx = Se calculeaz 101xI+=+ plecnd de la definiie, iar pentru1 n se utilizeaz relaia de recuren:

4 43 33 411 9 4ln ln 14 4 416 33 3 3x xI x x x = =

4433 2 4 2322 9 4 27 8ln ln 1 ln ln 24 416 3 64 33 3xI x x x x x x = = + 4. sin ,,x nnI e x dx x n= R NSoluie. Vom integra prin pri:

1sin cossin1nnx xdu n x x dxu xv e dv e dx = = = = Avem:

11sin sin cosJx n x nnnI e x e x x dx =

38Efectum o nou integrare prin pri n ultima integral, notat J,pentru:

( )2 211 sin cos sinsin cos1n nnxxdu n x x x dxu x xdv e dxv e = = = = ( ) ( )1 2 21 1sin cos 1 sin 1 sin sinx n x n nJ e x x e n x x x dx = 121 1 1 1sin cosx nn n nn nJ e x x I I I = + +

121 1sin cosx nn nn nJ e x I I = +nlocuind expresia lui J mai sus vom putea scrie:

( )2122 2 211sin sin cosx n x nn n nnnn nI e x e x x I I = + ( )( )2122 2 211 sin sin cosxnn nnnn eI x x n x I + = + n final se obine: ( )( )122 2 2 21sin sin sin cos , 2xx n nn nnneI e x dx x x n x I nn n = = + + + Aplicaie.S se calculeze:

2sinxe x dx Pentru1,2 n = =calculm: ( )2 02sin sin 2cos5 5xeI x x x I= +sau 39 ( )22sin sin 2cos5 5xxeI x x x e= + 5.2 2,,nnI x x adx x n = + R NSoluie. Integrm prin pri,alegnd:

2 22 21 1n nx dxduu x ax ax dv xdxvn+= = + + = =+

12 2 12 211 1nnnJx x dxI x a xn nx a++= + + ++.

( )2 2 22 2 22 2 2 2nnnx x a axdxJ dx x x adx ax a x a + = = + =+ + ( )2 1 2 2 22 222nn nx dxI a x I a x a dxx a= = + =+ ( )22 1 2 2 2 2 2 21nn nnII ax x a a n x x adx = + + +. Prin urmare: ( )2 2 1 2 221nn nJ I a n I ax x a= + +Apoi nlocuind expresia lui J mai sus obinem:

( )21 22 2 1 2 22111 1 1 1nnn n na nx aI x a I I x x an n n n+= + + ++ + + +

( )( )212 2 2 221111 1 1nn na nxI x a x a In n n + = + + + + + Deaici rezult, n final: 40

( )( )212 2 2 2 2 221,22 2nnn na nxI x x adx x a x a I nn n= + = + + + + Aplicaie. S se calculeze folosind relaia de recuren de mai sus:

2 2 2x x adx + Soluie. Notm 2 2 22I x x adx = + Fixm2 n = i inem seama c:

2 2 2 2 2 202 2x dxI x adx x x a x x x ax a= + = + = + +

( )( )2 2 22 2 2 2 22 2lnnx a adx x x a I a x x ax a+ = + + + ++ sau

( )22 2 2 20ln2 2x aI x a x x a = + + + +Prin urmare:

( )22 2 2 2 2 2 22 04 4x aI x x adx x a x a I = + = + + =

( )( )2 42 2 2 2 2 2 2 2ln4 8 8x a ax a x a x x a x x a = + + + + +saumai simplu:

( )( )42 2 2 2 2 222 ln8 8x aI x a x a x x a = + + + + +6.2 2, nnI x a xdx x a = < Soluie.Ca i la exerciiul anterior vom face o integrare prin pri alegnd: 41

2 22 21 1n nx dxduu a xa xx dv xdxvn+= = = =+

1 22 211 1 1nn n nx aI a x I Jn n n+= ++ + + unde am notat:

2 2nnxdxJa x= Pentru a evalua integrala nJvom proceda ca la exerciiul 5.Astfel:

( )( )1 1 2 2 1 2 22 22 2 2 1n n nnnx dxJ x x a x dx x a xa xn x a xdx = = = ++ Deaici se obine: ( )1 2 221nn nJ x a x n I= + nlocuimnJmai sus i rezolvm ecuaia n necunoscuta:nI

( )21 2 12 2 2 22111 1 1 1n nn n na nx axI a x I I a xn n n n+ = + + + + +

( )( )212 2 2 221111 1 1nn na nxI x a a x In n n + = + + + + n final, se obine: ( )12 2 2 2 2 2 221, 22 2nnn nx nI x a xdx a x a x a I nn n= = + + + 42 Aplicaie.S se calculeze:

3 2 2x a xdx Notm 3 2 23I x a xdx = .Folosindrelaiaderecurenobinutmaisus vom avea:

( )22 2 2 2 23 125 5xI a x a x a I = +Dar: ( ) ( )2 2112I x a xdx x xdx = = unde ( )2 2, x a x = astfel c:

( ) ( )3 32 2 2 211 2 12 3 3I a x a x = = Apoi:

( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 2 2325 15x aI a x a x a x a x =

( )( )32 2 2 2313 215I x a a x = + 7.2 2, nnxdxI xx a= +R Soluie.Aducemintegralasuboformconvenabiliapoiintegrmprin pri:

( )1 1 2 22 22 n nnxI x dx x x a dxx a = = + =+ ( ) ( )1 2 2 2 2 2 1 2 21 1n n nnx x a n x x adx x x a n J = + + = + 43 unde: ( )2 2 222 2 2 22 2 2 2 2 2nn nnnx x axdx xJ x x adx dx a dxx a x a x a+= + = = ++ + + sau:

22 n n nJ I aI = +nlocuim mai sus valoarea lui nJ , astfel c: ( ) ( )1 2 2 221 1nn n nI x x a n I a n I= + ( )1 2 2 221nn nnI x x a a n I= + iar n final:

12 2 222 21,2n nn nxdx x nI x a a I nn nx a= = + + Aplicaie. S se calculeze:

3231x xA dxx+=+ Soluie.Observm c:

2 32 23 1 1 1 12 73 1 3 13 3 3 3x xA I I x I I x I = + = + + = + +1Ise va calcula plecnd de la definiie:

2 212 2 2 222x dx xI dx x ax a x a= = = ++ + iar3Idin relaia de recuren obinut mai sus: 44

2 2 22 2 2 23 17 7 71 1 1 13 3 3 3 3x x xI x I x x x+= + + = + + += +8.2 2, nnxdxI x aa x= < Soluie. Raionm ca laexerciiul 7

( )1 1 2 2 1 2 22 2n n nnxI x dx x a x dx x a xa x = = = + ( ) ( )( )2 2 22 2 2 1 2 22 21 1nn nx a xn x a xdx x a x n dxa x + = + = ( ) ( )21 2 2 22 2 2 21 1n nnx xx a x a n dx n dxa x a x= + Astfel obinem ecuaia n:nI ( ) ( )1 2 2 221 1nn n nI x a x a n I n I= + De aici obinem, n final:

12 2 222 21, 2n nn nxdx x nI a x a I nn na x= = + Aplicaie.S se calculeze:

3211x xA dxx+ = Soluie.Cu ajutorul relaiei de recuren (pentru1 a = ) putem scrie c:

2 32 23 1 0 1 1 0 1 02 31 13 3 3 5x xA I I I x I I I x I I = + = + + = + Dar: 45

02arcsin ,1dxI xx= =

21211xI xx= = nlocuind pe 0I i 1In expresia lui A obinem:

32 251 1 arcsin3 3xA x x x = iar n final:

( )2 215 1 arcsin3A x x x = + 9. 2 2, ,nnxdxI x nx a= +R N Soluie. Printr-o simpl transformare se observ c:

( )2 2 2 21 22 222 2 2 2nnnn nx x a ax xI dx x dx aIx a x a + = = = + + Astfel: 1222 2: ,21n nn nxdx xI aI nx a n= = + Aplicaie. S se calculezeintegrala:

32 2x dxx a + Soluie.Notnd 3I integraladat,seobine,cuajutorulrelaieide recuren:

3 223 12 22x xI dx aIx a= = + 46unde 1Ise calculeaz direct:

( )2 212 21ln2x dxI x ax a= = ++ astfel c:

( )2 22 23ln2 2x aI x a = +10.( )2 2n ndxIx a=+ Soluie.Observm c integrala se mai scrie:

( )( ) ( ) ( )2 2 221 2 2 22 2 2 2 2 21 1 1n n n nx a xdx xI dxa a ax a x a x a+ = = ++ + + sau

12 21 1n n nI I Ja a= +unde:

( ) ( )22 2 2 21 22n n nx dx xdxJ xx a x a= =+ + Pentru a evalua,nJse va face o integrare prin pri cu: ( )( ) ( )( )1 12 2 2 22 22 1 1 1211 n n n nndu dxu xx dx dtx dxvdvt n tx a n x ax a = = = = = = =+ + + Astfel se obine: 47

( ) ( )( )( )1 12 2 2 21 12 1 2 1n n nx dxJn nx a x a = + + + sau

( )( )( )1 12 212 12 1n n nxJ Inn x a = + + nlocuim expresia lui nJ mai sus i efectum calculele:

( ) ( )( )1 1 1 2 2 22 21 1 12 1 2 1n n n nxI I Ia a n a nx a = + + +

( )( ) ( ) ( )1 1 2 22 2 2 22 1 1, 12 1 2 1n n n ndx n xI I na n a nx a x a = = + + + Aplicaie.S se calculeze:

( )2 22 2dxIx a=+ Soluie.Din relaia de recuren,pentru2 n =deducem c:

2 12 2 2 21 12 2xI Ia a x a= + Cum:

12 21arctgdx xIx a a a= =+ rezult c:

23 2 2 2 3 2 21 1 1arctg arctg2 2 2x x ax xIa a a x a a x a a = + = + + + 11. ( )2,0, 22nnxdxI x aax x= 48Soluie 1. Efectum schimbarea de variabil

22 4 x at dx at dt = =Astfel:

( )( )222 2 2 4 22 42 24 4 1nnnnat at dtt dtI aa t a t t= = Maideparte,observmcintegraladinmembruldreptnotatcu 2nJ se poate calcula din exerciiul 8pentru 1 a =i 2 : n n

2 2 122 2 222 112 21n nn nt dt t nJ t Jn nt= = + Am gsit astfel urmtoarele relaii de recuren:

( )22 122 2 22 22 112 22nn nnn nI a Jt nJ t Jn nxta= = += Soluie 2.Aducem integrala dat la o form convenabil i apoi aplicm o integrare prin pri. Astfel:

( )( )11 1 22 22 2 222 2 2nn nna x ax dxI x dx a x ax x dxax x ax x = = ( )1 2 1 212 1 2n nnaI x ax x n x ax xdx = + ( )( )1 21 21222 12nnn nx ax xI aI x ax x n dxax x= + ( ) ( )1 21 12 2 1 1nn n n nI aI x ax x an I n I += + 49 Se rezolv ecuaia obinut, n raport cu:nI ( ) ( )1 21 11 2 1 1 2nn n nan I aI n I x ax x + = sau

( ) ( ) ( )1 2122 1, 12 1 1 2 1 1 2 1 12n nn n nxdx x ax x n aI I I nan an anax x+ = = + Aplicaie.S se calculeze:

2222 x dxIax x= Soluie. Din relaia de recuren deducem c:

( )22 4324 22 2314 42I a JtJ t Jxta== += Pentru 2221, ,1t dtn Jt= = care se obine din exerciiul 8 alegnd1 a =i : x t

2211 arcsin4 2t tJ ta= +nlocuim apoi 2Jn expresia lui 4, Jastfel c:

32 243 31 1 arcsin4 8 8t tJ t t ta= +n continuare se nlocuiete4Jn relaia care ne d pe 2Ii apoi se revinela schimbarea:.2xta=Lsm pe seama cititoruluiefectuareacalculelor!50n final,se obine: 2 3 2 22 263arcsin2 2 2x dx x ax ax x aaax x ax x+ = + 12.sinnnI x dx = Soluie. Scriem integrala sub forma:

1sin sinnnI x x dx= i lum apoi:

( )2 11 cos sin sinsin cosn ndu n x x dx u xdv x dx v x = = = = Rezult: ( )1 2 2cos sin 1 sin cosn nnI x x n x x dx = + = ( ) ( )1 2 2cos sin 1 sin 1 sinn nx x x n x x dx = + = ( ) ( )12cos sin 1 1nn nx x n I n I= + Rezolvnd n raport cu nI se obine,n final:

121 1sin cos sin , 2n nn nnI x dx x x I nn n= = + Aplicaie.S se calculeze:

44sin I x dx = Soluie.Conform relaiei de recuren: 51

34 21 3cos sin4 4I x x I = +Dar: ( )22sin sin sin sin cos I x dx x x dx x x dx= = = =

( )22sin cos 1 sin= sin cos x x x dx x x x I = + =

de unde deducem c:

21sin cos2 2xI x x = iarn final, se gsete:

443 3 1sin cos sin sin cos8 8 4xI x dx x x x x = = Putem simplifica scrierea dac se observ c:

1sin cos sin 22x x x =i221 cossin2xx=Astfel:

43 3 1 1 1 1sin 2 sin 2 sin 48 8 2 4 4 8xI x x x = sau

43 1 1sin 2 sin 48 4 32xI x x = + 13.cosnndxIx= Soluie. Se observ c:

2 2cos cosnndxIx x= iar dac alegem:

( )2121sin2cos cos1tgcosnnx dx udu nxxv x dvx = = = = se obine: 52 ( ) ( )22 1 2tgsin tgtgsin2 2cos cos cos cosnn n n nx x x x x dxI n dx nx x x x = = = ( )2-2tg1 cos2cos cosn nx xn dxx x= sau mai departe: ( ) ( )21tg 2 2cosn n nn xI n I n Ix= + iarn final: ( )21sin 22cos 1 cos 1n nn ndx x nI I nx n x n= = + Aplicaie.S se calculeze:

44cosdxIx= Soluie.Din relaia de recuren, pentru4 n =obinem:

4 23sin 23cos 3xI Ix= +unde:

22tgcosdxI xx= = iar dup nlocuire:

43sin 2tg3cos 3xI xx= +sau n final:

( )241tg 2 cos3I x x = +53 14. tg , ,2 2nnI x dx x = Soluie. Se observ c:

( )2 2tg tg tg 1 1n nnI x dx x x dx = = + = ( )2 2 121tg tg tg tg1n n nnx x dx x dx x In = = Astfel:

121tg tg , 21n nn nI x dx x I nn= = Aplicaie. S se calculeze:

55tg I x dx = Soluie.Din relaia de recuren:

45 31tg4I x I = Apoi: ( )2 23 11 1tg tg ln cos2 2I x I x x = = +Astfel: 4 251 1tg tg ln cos4 2I x x x = 15. ( ) ctg , 0,nnI x x = Soluie. Rescriem succsesiv integrala dup cum urmeaz: 54

( )2 22ctg ctg 1 ctg 1

n nn nI x dx x x dx I = = + = + ( )2 121ctg ctg ctg , 21n nnx x dx I x nn + = + Astfel: 121ctg ctg21n nn nI x dx x I nn= = Aplicaie.S se calculeze:

44ctg I x dx = Soluie.Raionnd ca mai sus, scriem:

34 31ctg3I x I =

23 01ctg2I x I =

0I x =nlocuind de jos n sus relaiile gsite deducem c:

4 3 21 1ctg ctg ctg3 2x dx x x x = + 16. sin , nnI x x dx x = R Soluie. Notm:

1 sin cosn nu x du nx dxdv x dx v x = = = = iefectum o integrareprin pri: 55

1cos cosn nnI x x n x x dx= + n ultima integral alegem:

( )2 11cos sinn ndu n x dx u xdv x dx v x dx = = = = i,efectund o nou integrare prin pri,gsim:

( )1 1 2cos sin 1 sinn n nIx x dx x x n x x dx = . nlocuind acest rezultat n expresia lui,nIobinem:

( )12sin cos sin 1 , 2n n nn nI x x dx x x nx x nn I n= = + Aplicaie. S se calculeze:

33sin I x x dx = Soluie. Vom scrie succesiv relaiile:

3 23 1cos 3 sin 6 I x x x x I = + ( )1sin cos cos cos sin cos I x x dx x x dx x x x dx x x x = = = + = nlocuind 1In expresia lui 3, Iobinem: ( ) ( )3 2 3 23cos 3 sin 6 cos 6sin 6 cos 3 6 sin I x x x x x x x x x x x x x = + + = + + 17. ( ) arcsinnnI x dx = Soluie.Alegem: 56

( )12arcsin(arcsin )1nnn xu x du dxxdv dxv x = = = = i efectum o prim integrare prin pri: ( )( )12arcsinarcsin1nnnJxI x x n x dxx= . Notm: ( )12arcsin1n xJ x dxx= Pentru a calcula ultima integral, vom nota: ( )( )( )2122 21 arcsinarcsin11 1nnn xu xdux xdv dxx v x == = = Astfel:

( ) ( ) ( )( ) ( )212 22122arcsin1 arcsin 1 11 1 arcsin 1nnnnxJ x x n xdxxx x n I= + == + nlocuim expresia luiJmai sus, astfel c: ( ) ( ) ( )122arcsin 1 arcsin 12n nn nI x x n x x nn I n= + Aplicaie. S se calculeze: 22arcsin I x dx = Soluie.57 2 222 arcsin 2 1 arcsin I x x x x x = + + unde am inut seama c: 0I x =18.nnxI dxa bx=+ Soluie. Considerm: 12nnu xdu nx dxdxdvv a bxa bx b = = == + + apoi integrm prin pri: 12 2 2 2 n nnnx n x nI a bx x a bx dx a bx Jb b b b= + + = + unde integrala: 1 nJ x a bx dx= + se va descompune astfel: ( )11nn nx a bxx xJ dx a dx b dxa bx a bx a bx+= = + + + + 1 n nJ aI bI= +nlocuind mai sus deducem c: 12 22nn n nnaI x a bx I nIb b= + saun final: ( )12 2,12 1 2 1n nn nx x n aI dx a bx I nn b n ba bx= = + + ++

58Aplicaie. S se calculeze: 22 3x dxx + Soluie.Suntem n cazul2, 2, 3. n a b = = =Notm 2Iintegrala dat. Putem scrie conform relaiei de recuren: 2 22 12 4 22 315 5 32 3xdx xI x Ix= = + + 1 02 2 22 39 3 32 3x dx xI x Ix= = + + 022 33dxI xa bx= = ++ Efectund nlocuirile de jos n sus,obinem: 2222 8 2 4 22 3 2 3 2 315 15 9 9 32 3xdx xI x x x xx = = + + + + sau n final: 222 8 42 315 3 1352 3x dxx xx = + + 19.( )2 32arctg arctg) , ) 11n nn nx x x xa I dx b Jxx= =++ Soluie.Se consider mai nti: 112arctg1nnx xJ dxx =+ care se integreaz prin pri alegnd: 59 ( )( )1222 2 22arctg111 1 1arctg1nnnxxn xxudu dx dxxx x xxdvv ex == + + + + == + Astfel: ( )( )( ) ( )2 2112 2 2 2 2arctgarctgarctg111 1 1 1 1nn nnxxxx x ex x eJ e n dx dxx x x x x+= + + + + + + ( ) ( )11 22arctg1 11nn n n nxxJ e n J n J Jx = ++ Rezult de aici relaia de recuren pentru nJ( ) ( )1arctg1 222 1 , 21nxn n nxn J e J n J nx = >+ Apoi,pentru integralele,nIse observ c: ( )( )( ) ( )223 32 22 2arctgxarctgx arctgx11 11 1nn nnx x ex e x eI dx dx dxx xx x++= = ++ ++ + de unde deducem c: 2, n n nI J J n+= + NAplicaie. S se calculezeintegralele: ( )2 332arctgxarctgx, 11x x ee dx dxxx++ undeconformnotaiilordemaisusavemdecalculatintegralele 2I si respectiv 3. J Fie pentru nceput: 60

( )33 32arctg1xx eJ dxx=+ Alegem3, n = respectiv2 n = nrelaiaderecurencorespunztoare integralei nJ ,astfel: 23 2 1,2arctg21xxJ e J Jx= + 2 1 02arctg21xxJ e J Jx= + ( )0 322arctgarctg12 11xxxJ dx exxe += =++

nlocuind mai sus urmeaz c: 12 2 2arctg arctgarctg11 1 1x xxxe x eJ ex x x+= = + + + Pe de alt parte, pentru2 n =nu se poate aplica relaia de recuren, astfel c pentru a evalua pe2Jvom scrie:

( )( )( ) ( )2 22 22 3 3 322 2 2arctg arctg arctgarctg111 1 1x x xxx xx e e x eJ dx e dx dxxx x x+= = = ++ + + sau

2 0 2J J J = 2 02arctg1 124 1xxJ I ex+= =+

nlocuind valorile lui 0 1 2, , J J Jn relaia ce ne d pe 3, Jobinem: 61 232 2 2arctg arctgarctg1 21 4 1 1x xxx e x eJ ex x x+= ++ + + n final, gsim: ( )33 32arctg1xx eJ dxx=+ Evalum acum integrala 3I . Conform relaiei de recuren: 2 2 3I J J = +unde: ( )22arctg14 1xeJ xx= ++ ( )232arctg4 34 1xeJ x xx= + ( )222 32 2arctgarctg2 14 24 1 2 1xxe xJ J x ex x+ = =+ + astfel: 2 222 2arctg arctg2 11 2 1x xx xI e ex x= =+ + Exerciii propuseI.Ssestabileascrelaiiderecurenpentruurmtoareleintegrale nedefinite: 1.n xnI x e dx= 1: ,1n xn nR I x e nI n= + 622.,ln , ,m nm nI x x dx m n = N 1, , 1: ln1 1mnm n m nx nR I x Im m+= + + 3. cosx nnI e x dx=

( )( )22 2 2 21: cos sin ,2n nnne xR I x n x I nn a n a= + + + + 4.2 2 nnI x x adx =

( )12 2 2 2 221: , 22 2nn nx nR I x a x a a I nn n= + + + + 5.2 2nnxdxIx a=

12 2 221: ,2nn nx nR I x a a I nn n= + + 6.2 2nnxI dxx a= 122: , 21nn nxR I aI nn= + 7.( )2 2n ndxIx a= ( ) ( ) ( )1 1 2 22 22 1 1: , 22 1 2 1n n nn xR I I na n a nx a = +

8. ( ) ( )2, , 2 0,2nnxdxI x aax x= +

63 : R( )22 12 22 2 222 2112cu2nn nnn nI a Jt nJ t a Jn nx at= = = 9. cosnnI dx = 121 1: cos sinnn nnR I x x In n= +10.1, 0sinnnI dx xx= ( )21cos 2: , 21 sin 1n nnx nR I I nn x n= + 11. cos , nnI x x dx x = R ( )12:sin cos 1 ,2n nn nR I x x nx x nn I n= + 12. ( ) arccosnnI x dx = ( ) ( ) ( )122: arccos 1 arccos 1 ,2n nn nR I x x n x x nn I n= 13.5,22 5nnxI xx= > 12:2 5 2 , 15nn nR I x x nI n= + 14. ,nnI x ax b dx = + , 0 a b ( )( )( )12 2: ,12 3 2 3nn nx bnRI ax b ax b I nb n a n= + + + + 15.,sin cosm nm nI x x dx = 64

1 1, , 2sin cos 1:m nm n m nx x nR I Im n m n+ = ++ + II. Plecnd de la relaiile de recuren stabilite n acest paragraf sau propuse spre determinare,s se demonstreze identitile:1. ( ) ( )( )1 21 ... 1 ! , ,nn x n n n xx e dx x nx nn x n e x n = + + R N( ) ( )1 22. ln ln ln 1 ln ... 1 ,0,nx n n ndx x x n x nn x n x n = + + > N( )( )( )1 2 11 223. ln ln ln ln... 11 11 1

n mnm n n n n n n nnA A A xx x dx x x xm mm m+ = + + + ++ + , ,0 n m x > Na) dac n este par: ( ) ( )11 3 521 1 1tg tg tg tg ... 1 tg1 3 5nn n n nx x x x x xn n = + + b) dac n este impar:

( )211 3 521 1 1 tgtg tg tg tg ... 1 ln cos1 3 5 2

nn n n nxx dx x x x xn n n+ = + + + ,2 2x III. Folosind relaiile de recuren stabilite n acest paragraf, s se calculeze primitivele: 1.5 xx e dx ( )3 2: 3 6 6xR e x x x + + +65 2.( )31xx x e dx + ( )3 2: 3 5 4xR e x x x + 3.231ln x dxx ( )3 2 23: 2ln 6ln 94R x x x +4.3 2ln x x dx

( )4 21: 8ln 4ln 132R x x x +5.2cosxe n dx ( )1: cos 2 2sin 2 510xR e x x +6.2sinxe x dx ( )1: cos 2 2sin 510xR e x x 7.4sin x x dx

( ) ( )4 2 3: 12 24 cos 4 24 sin R x x x x x x + + 8.3cos x x dx

( ) ( )2 3: 3 6 cos 6 sin R x x x x x x + 9.4ln x dx ( )4 3 2: ln 4ln 12ln 24ln 24 R x x x x x + +6610.2 21 x x dx + ( )( )2 2 21 1: 2 1 1 ln 18 8R x x x x x + + + +11.2 21 x x dx ( )( )2 2 21: 1 2 1 ln 18R x x x x x + 12.2 21 x xdx ( )2 21 1: 1 2 1 arcsin8 8R x x x x + 13.221x dxx +

( )2 21 1: 1 ln 12 2R x x x x + + +14.221x dxx 2 21 1: 1 ln 12 2R x x x x + + 15.221x dxx

21: 1 arcsin2 2xR x x +16.421xdxx +

3: arctg3xR x x + +67 17.421xx

31 1: ln2 2 1x xR xx + ++ 18.( )2221x dxx +

21 1: arctg2 1 2xR xx ++ 19.( )221x dxx

21 1 1: ln2 1 2 1x xRx x + + 20.( )321dxx + ( )( )2223 51 3: arctg8 81x xR xx+++ 21.( )321dxx ( )( )2223 51 3 1: ln8 8 11x xxRxx++ 22. 222x dxx x

( )3 226: 3arcsin 12 2x x xR xx x+ + 6823.222xx x + 3 2226: 3ln 1 22 2x x xR x x xx x + + + ++ 24.4sin x dx 1 1 3:sin 4 sin 232 4 8R x x x +25.4cos x dx

1 1 3: sin 4 sin 232 4 8R x x x + +26.4sindxdxx 21 1: ctg 23 sinR xx + 27.4cosdxdxx

21 1: tg23 cosR xx + 28.4tg x dx 21 1: tg 43 cosR x xx + 29.4ctg xdx 21 1: ctg 43 sinR x xx 69 30.2arcsin2xdx 2 2: 2 2 4 arcsin arcsin2 2x xR x x x + +31.2arccos x dx 2 2: 2 2 1 arccos arccos R x x x x x +32.32 1xdxx ( )3 21: 2 1 5 3 2 235R x x x x + + +

1.5.Integrarea funciilor raionale Fie( ) Pxi( ) Qxpolinoame. O funcie raional ( )( )PxQx se zice proprie dac grad ( ) grad ( ). Px Qx < Dacfunciaraionalesteimproprie,semparte ( ) Px la ( ), Qx astfel nct:

( ) ( )( )( ) ( )Px RxCxQx Qx= + , undegrad ( ) grad ( ), Rx Qx < ( ) Cx i( ) Rx sunt,respectiv,ctulirestul mpririi luiP la Q, iar( )( )RxQx funcie raional proprie.n cele ce urmeaz vom considera doar funcii raionale proprii. 70 1.5.1. Integrareafunciilorraionale elementare Funciile( ) f x de forma: ( ) iAx a () ii ( ),mAx a m` ( ) iii2,Ax Bx px q++ +unde 24 0 p q < ( ) iv( )2,nAx Bx px q++ + unde24 0 p q