CURS 9, Analiza matematica, semestrul I, 2014–2015

1 Primitive

Definitia 1.1 Fie f : J → R, unde J ⊂ R este un interval. Functia F : J → R se numesteprimitiva a functiei f pe intervalul J , daca

1. F este derivabila pe J ;2. F ′(x) = f(x), ∀ x ∈ J .

Propozitia 1.2 Fie J ⊂ R un interval si f : J → R. Daca F1, F2 : J → R sunt doua primitiveale functiei f atunci exista c ∈ R astfel ıncat

F1(x) = F2(x) + c, ∀ x ∈ J.

Demonstratie. Functiile F1 si F2 fiind primitive pentru f , sunt functii derivabile pe J si F ′1(x) = F ′2(x) =

f(x), ∀ x ∈ J. Deci (F1 − F2)′(x) = 0 pentru orice x ∈ J , iar o functie cu derivata nula pe un interval este

constanta pe acel interval. Prin urmare exista c ∈ R astfel ıncat F1(x)− F2(x) = c, ∀ x ∈ J. �

Observatia 1.3 Fiind data F0 o primitiva a unei functii f pe un interval J , orice alta primitivaa lui f este de forma

F = F0 + c, c ∈ R.

Daca f este definita pe reuniuni de intervale, Definitia 1.1 se poate extinde, dar observatiaprecedenta nu este valabila. De exemplu, functia f : R \ {0} → R, f(x) = x, ∀ x ∈ R \ {0} admiteca primitive ambele functii F1, F2 : R \ {0} → R,

F1(x) =x

2, ∀ x 6= 0, F2(x) =

x

2, x < 0

x

2+ 1, x > 0

dar diferenta F2 − F1 nu este o constanta pentru toti x 6= 0.

F1(x)− F2(x) =

{0, x < 01, x > 0.

Definitia 1.4 Fie J ⊂ R un interval si f : J → R o functie care admite primitive pe J . Multimeatuturor primitivelor lui f se numeste integrala nedefinita a functiei f si se noteaza prin simbolul∫

f(x) dx.

Operatia de calculare a primitivelor unei functii se numeste integrare.

1

Observatia 1.5 Daca notam C = {f : J → R | f constanta} si observam ca

λ C = C, ∀ λ ∈ R∗; C + C = C

atunci pentru o functie f : J → R care are primitiva F vom scrie∫f(x) dx = F + C (1)

si ∫F ′(x) dx = F + C. (2)

Observatia 1.6 O functie f care admite primitive pe un interval J are proprietatea lui Darbouxpe acel interval. Aceasta deoarece derivata oricarei functii derivabile are proprietatea lui Darboux.Mai reamintim ca imaginea unui interval printr-o functie care are proprietatea lui Darboux este uninterval. Prin urmare, o functie care nu are aceasta proprietate pe un interval nu admite primitivepe acel interval.

De exemplu functia f : R→ R

f(x) =

{0, x < 01, x ≥ 0

nu admite primitive pe R deoarece f nu are proprietatea lui Darboux, f(R) = {0, 1}.

Teorema 1.7 Orice functie continua f : [a, b]→ R admite primitive.

Teorema 1.8 Fie f, g : J → R functii care admit primitive si fie λ ∈ R, λ 6= 0. Atunci functiilef + g si λf admit de asemenea primitive pe J si au loc relatiile:∫

(f(x) + g(x)) dx =

∫f(x) dx+

∫g(x) dx, (3)∫

λf(x) dx = λ

∫f(x) dx. (4)

Demonstratie. Daca F este o primitiva a lui f iar G o primitiva a lui g atunci F si G sunt derivabile siF ′ = f , G′ = g. De aici deducem ca F +G si λF sunt derivabile pe J si

(F +G)′ = F ′ +G′ = f + g, (λF )′ = λF ′ = λf,

adica F + G este o primitiva a lui f + g si λF este o primitiva a lui λf. Relatiile (3) si (4) rezulta din

Observatia 1.5. �

Observatia 1.9 Ipoteza λ 6= 0 este esentiala ın demonstrarea egalitatii (4). Intr-adevar, dacaλ = 0 atunci λf = 0 deci orice functie constanta este primitiva a lui λf . Asadar∫

λf(x) dx = 0 + C = C.

Pe de alta parte, daca λ = 0, atunci

λ

∫f(x) dx = {0}.

2

Deci, ın general are loc incluziunea

λ

∫f(x) dx ⊂

∫λf(x) dx,

incluziunea fiind stricta cand λ = 0.

Tabelul primitivelor

1.

∫xn dx =

xn+1

n+ 1+ C, J ⊂ R

2.

∫xa dx =

xa+1

a+ 1+ C, J ⊂ (0,+∞), a ∈ R \ {−1}

3.

∫ax dx =

ax

ln a+ C, J ⊂ R, a ∈ R+ \ {0, 1}

4.

∫1

xdx = ln |x|+ C, J ⊂ (−∞, 0) sau J ⊂ (0,+∞)

5.

∫1

x2 − a2dx =

1

2aln

∣∣∣∣x− ax+ a

∣∣∣∣+ C, J ⊂ R \ {−a, a}, a 6= 0

6.

∫1

x2 + a2dx =

1

aarctg

x

a+ C J ⊂ R, a 6= 0

7.

∫sinx dx = − cosx+ C, J ⊂ R

8.

∫cosx dx = sinx+ C, J ⊂ R

9.

∫1

cos2 xdx = tg x+ C, J ⊂ R \ {(2k + 1)π2 }, k ∈ Z

10.

∫1

sin2 xdx = −ctgx+ C, J ⊂ R \ {kπ}, k ∈ Z

11.

∫tgx dx = − ln | cosx|+ C, J ⊂ R \ {(2k + 1)π2 }, k ∈ Z

12.

∫ctgx dx = ln | sinx|+ C, J ⊂ R \ {kπ}, k ∈ Z

13.

∫1√

x2 + a2dx = ln(x+

√x2 + a2) + C, J ⊂ R, a 6= 0

14.

∫1√

x2 − a2dx = ln |x+

√x2 − a2|+ C, J ⊂ (−∞,−a) sau J ⊂ (a,∞), a > 0

15.

∫1√

a2 − x2dx = arcsin

x

a+ C, J ⊂ (−a, a), a > 0.

Teorema 1.10 (Formula de integrare prin parti) Daca f, g : J → R sunt functii de clasa C1

pe J (functii derivabile cu derivate continue) atunci functiile fg, f ′g, fg′ admit primitive multimilelor de primitive satisfac: ∫

f(x)g′(x) dx = fg −∫f ′(x)g(x) dx. (5)

3

Demonstratie. Functiile fg, f ′g, fg′ sunt continue deci admit primitive. Avem

(fg)′ = f ′g + fg′

si aplicand Teorema 1.8 egalitatii de mai sus obtinem∫(fg)′(x) dx =

∫f ′(x)g(x) dx+

∫f(x)g′(x) dx.

Din Observatia 1.5 avem ∫(fg)′(x) dx = fg + C,

de unde rezulta (5). �

Exemplul 1.11 Sa calculam

∫x cosx dx. Daca alegem f(x) = x, g′(x) = cosx atunci avem

f ′(x) = 1, g(x) = sinx. Din (5) gasim∫x cosx dx = x sinx−

∫sinx dx = x sinx+ cosx+ C.

Teorema 1.12 (Formula de schimbare de variabila) Fie I, J intervale din R si fie ϕ : I →J, f : J → R functii cu urmatoarele proprietati:1◦ ϕ derivabila pe I.2◦ f are primitive si fie F o primitiva a sa.Atunci functia (f ◦ ϕ) · ϕ ′ admite primitive si are loc∫

f(ϕ(t)) · ϕ ′(t) dt = F ◦ ϕ+ C. (6)

Demonstratie. Functiile F (ca primitiva pentru f) si ϕ sunt derivabile. Folosind teorema de derivare afunctiilor compuse rezulta ca F ◦ ϕ este derivabila pe I si

(F ◦ ϕ)′(t) = F ′(ϕ(t)) · ϕ ′(t) = f(ϕ(t)) · ϕ ′(t), ∀t ∈ I.

Deci F ◦ ϕ este o primitiva a functiei (f ◦ ϕ) · ϕ′. �

2 Integrala Riemann

Fie [a, b] un interval ınchis si marginit din R. Se numeste diviziune a intervalului [a, b] un sistemde puncte

∆ = {x0, x1, . . . , xn}, a = x0 < x1 < . . . < xn = b.

Multimea diviziunilor intervalului [a, b] o vom nota D[a, b]. Norma diviziunii ∆ se noteaza ‖∆‖si este cea mai mare dintre lungimile intervalelor [xi−1, xi ], i = 1, n.

‖∆‖ = max1≤i≤n

(xi − xi−1).

Un sistem de n puncte {ξ1, ξ2, . . . , ξn}, ξi ∈ [xi−1, xi ], i = 1, n se numeste sistem de puncteintermediare asociat diviziunii ∆.

4

Definitia 2.1 Fie f : [a, b]→ R. Numarul real

σ∆(f, ξi) =n∑i=1

f(ξi) · (xi − xi−1) (7)

se numeste suma Riemann asociata functiei f , diviziunii ∆ si sistemului de puncte intermediare(ξi)

ni=1.

Definitia 2.2 Functia f : [a, b] → R se numeste integrabila Riemann (integrabila) pe inter-valul [a, b] daca exista un numar real If cu urmatoarea proprietate:∀ε > 0,∃ηε > 0 astfel ca pentru orice diviziune ∆ ∈ D[a, b] cu ‖∆‖ < ηε si pentru orice alegere apunctelor intermediare (ξi)

ni=1 are loc

|σ∆(f, ξi)− If | < ε. (8)

Numarul If asociat functiei integrabile f : [a, b]→ R este unic determinat, se numeste integraladefinita (sau integrala Riemann) a functiei f si se noteaza

If =

∫ b

af(x) dx.

Multimea functiilor integrabile pe [a, b] o vom nota R([a, b]).Prin definitie ∫ a

af(x)dx = 0,

∫ b

af(x)dx = −

∫ a

bf(x)dx.

Interpretarea geometrica a integralei Riemann

Daca f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ [a, b] atunci suma Riemann reprezinta suma ariilor dreptunghiurilor debaza xi − xi−1 si ınaltime f(ξi), astfel ıncat σ∆(f, ξi) aproximeaza aria multimii din plan, numitasubgraficul functiei f

Df = {(x, y); x ∈ [a, b], 0 ≤ y ≤ f(x)}.

Suma Riemann cu partitie echidistanta, pentru integrala5/2∫0

12

(−x3 + 3x2 − 2x + 2

)dx

Observatia 2.3 Integrala definita a unei functii este un numar real spre deosebire de integralanedefinita care este o multime de functii (multimea primitivelor).

5

Teorema 2.4 Orice functie f : [a, b] → R integrabila Riemann eate marginita pe intervalul [a, b],adica exista m, M ∈ R astfel ıncat

m ≤ f(x) ≤M, ∀x ∈ [a, b].

Teorema 2.5 Fie f, g : [a, b]→ R, f ∈ R([a, b]) si g(x) = f(x), ∀x ∈ [a, b]\A, A ⊂ [a, b], multimefinita. Atunci g ∈ R([a, b]) si ∫ b

ag(x)dx =

∫ b

af(x)dx.

Aceasta teorema ne spune ca daca se modifica valorile unei functii integrabile ıntr-o multimefinita de puncte atunci functia nou obtinuta este integrabila si mai mult, integralele celor douafunctii coincid.

Teorema 2.6 Functia f : [a, b] → R este integrabila daca si numai daca are loc urmatoarea pro-prietate: exista I ∈ R astfel ıncat oricare ar fi (∆n)n un sir de diviziuni ale intervalului [a, b],∆n = {xn0 , xn1 , . . . , xnkn}, cu lim

n→∞‖∆n‖ = 0 si pentru orice sistem de puncte intermediare (ξni )kni=1,

ξni ∈ [xni−1, xni ], sirul sumelor Riemann (σ∆n(f, ξni ))n converge la I.∫ b

af(x) dx = lim

n→∞σ∆n(f, ξni ).

Teorema 2.7 Fie f, g : [a, b] → R integrabile pe intervalul [a, b] si λ ∈ R atunci f + g si λf suntintegrabile pe [a, b] si au loc∫ b

a(f(x) + g(x)) dx =

∫ b

af(x) dx+

∫ b

ag(x) dx,

∫ b

aλf(x) dx = λ

∫ b

af(x) dx.

Demonstratie. Exercitiu! �

Teorema 2.8 Fie f : [a, b]→ R integrabila cu f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ [a, b]. Atunci∫ b

af(x) dx ≥ 0.

Demonstratie. Exercitiu! �

Corolarul 2.9 1◦ Daca f, g : [a, b]→ R sunt functii integrabile si f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b] atunciare loc ∫ b

af(x) dx ≤

∫ b

ag(x) dx. (9)

2◦ Daca f : [a, b]→ R este o functie integrabila si m ≤ f(x) ≤M, ∀x ∈ [a, b] atunci

m(b− a) ≤∫ b

af(x)dx ≤M(b− a). (10)

Demonstratie. Exercitiu! �

6

Teorema 2.10 Fie f : [a, b] → R si fie c ∈ (a, b). Daca restrictiile functiei f la fiecare dinintervalele [ a, c ] si [ c, b ] sunt integrabile, atunci f este integrabila pe [a, b] si∫ b

af(x) dx =

∫ c

af(x) dx+

∫ b

cf(x) dx.

Teorema 2.11 (Formula lui Leibniz-Newton) Fie f : [a, b] → R o functie integrabila si careadmite primitive. Atunci pentru orice primitiva F are loc∫ b

af(x) dx = F (b)− F (a). (11)

Demonstratie. Vom folosi notatia ∫ b

a

f(x)dx = F (x)| ba

si vom citi ”F (x) luat ıntre a si b”.Consideram un sir arbitrar de diviziuni ∆n = {xn0 , xn1 , . . . , xnkn

} si aplicam pe intervalul [xni−1, xni ] teorema

lui Lagrange functiei derivabile F . Exista atunci un punct intermediar ξni ∈ (xni−1, xni ) astfel ca

F (xni )− F (xni−1) = F ′(ξni )(xni − xni−1) = f(ξni )(xni − xni−1).

Atunci sirul sumelor Riemann atasat este

σ∆n(f, ξni ) =

kn∑i=1

f(ξni )(xni − xni−1) =

n∑i=1

(F (xni )− F (xni−1)

)= F (b)− F (a)

si trecand la limita obtinem afirmatia. �

Observatia 2.12 Exista functii integrabile care nu admit primitive. De exemplu functia

g : [0, 1]→ R, g(x) =

1, x 6= 1

2

0, x =1

2

este integrabila pe [0, 1] (g se obtine din functia f : [0, 1]→ R, f(x) = 1, prin modificarea valorilor

ıntr-un singur punct x =1

2) si ∫ 1

0g(x) dx =

∫ 1

01 · dx = 1

dar g nu are primitive deoarece nu are proprietatea lui Darboux pe [0, 1].

Observatia 2.13 Exista functii care admit primitive pe un interval dar nu sunt integrabile pe acelinterval. De exemplu functia

f : [−1, 1]→ R, f(x) =

2x sin

1

x2− 2

xcos

1

x2, x 6= 0

0, x = 0

7

admite primitive. Se arata usor ca F : [−1, 1]→ R definita prin

F (x) =

x2 sin

1

x2, x 6= 0

0, x = 0

este derivabila si F ′ = f , deci este primitiva pentru f . Pe de alta parte functia f este nemarginitape [−1, 1], deci nu poate fi integrabila.

Teorema 2.14 (Clase de functii integrabile)

• Orice functie monotona f : [a, b]→ R este integrabila.

• Orice functie continua f : [a, b]→ R este integrabila.

Un caz intalnit ın practica este acela al functiilor continue pe portiuni adica al functiilorf : [a, b]→ R care satisfac:

• pe intervalul [a, b] exista un numar finit de puncte de discontinuitate ci ∈ (a, b) de speta I(exista limitele laterale si sunt finite);

• pe fiecare subinterval determinat de punctele de discontinuitate restrictiile functiei f suntcontinue.

Astfel de functii sunt de asemenea integrabile.

Teorema 2.15 (Teorema de medie) Daca f : [a, b] → R este continua, atunci exista c ∈ [a, b]astfel ıncat

1

b− a

∫ b

af(x) dx = f(c). (12)

Demonstratie. Functia f , fiind continua pe intervalul compact (marginit si ınchis) [a, b], este marginita siısi atinge marginile. Deci exista u, v ∈ [a, b], m,M ∈ R astfel ıncat

f(u) = m = infx∈[a,b]

f(x) si f(v) = M = supx∈[a,b]

f(x).

Deoarece m ≤ f(x) ≤M, ∀x ∈ [a, b], folosind (10), obtinem

f(u) = m ≤ 1

b− a

∫ b

a

f(x) dx ≤M = f(v).

Cum f este continua pe [a, b], f are proprietatea lui Darboux pe [a, b], deci exista c ∈ [a, b] astfel ıncat

f(c) =1

b− a

∫ b

a

f(x) dx. �

Observatia 2.16 Daca f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ [a, b] si scriem relatia (12) sub forma

f(c)(b− a) =

∫ b

af(x) dx

deducem ca exista c ∈ [a, b] astfel ıncat subgraficul functiei f are aceeasi arie cu dreptunghiul debaza b− a si ınaltime f(c).

8

Propozitia 2.17 1. Daca f : [a, b]→ R este continua, atunci are loc inegalitatea∣∣∣∣∫ b

af(x) dx

∣∣∣∣ ≤ ∫ b

a|f(x)| dx.

2. Daca f : [a, b]→ R este continua si pozitiva, iar [ c, d ] ⊂ [a, b], atunci∫ d

cf(x)dx ≤

∫ b

af(x)dx.

3. Daca f : [a, b]→ R este continua, pozitiva si neidentic nula pe (a, b), a < b, atunci∫ b

af(x)dx > 0.

Teorema 2.18 (Teorema de existenta a primitivelor unei functii continue) Fie f : [a, b]→R continua. Atunci functia F : [a, b]→ R definita prin

F (x) =

∫ x

af(t) dt, ∀x ∈ [a, b] (13)

este o primitiva a functiei f , care se anuleaza ın punctul a.

Demonstratie. Fie x0 ∈ [a, b] arbitrar fixat. Vom demonstra ca F este derivabila ın x0 si F ′(x0) = f(x0).Avem

F (x)− F (x0) =

∫ x

a

f(t)dt−∫ x0

a

f(t)dt =

∫ x

x0

f(t)dt.

Din teorema de medie aplicata functiei

∫ x

x0

f(t)dt rezulta ca exista ξx ın intervalul de extremitati x0, x, astfel

ca ∫ x

x0

f(t) dt = f(ξx)(x− x0).

Din ultimile doua relatii, daca tinem cont si de continuitatea functiei f , deducem

limx→x0

F (x)− F (x0)

x− x0= lim

x→x0

f(ξx) = f(x0).

Daca x0 = a sau x0 = b se considera limitele laterale la dreapta si respectiv, la stanga. Cum x0 a fost alesarbitrar, rezulta ca F ′ = f , deci F este primitiva pentru f . Avem evident si

F (a) =

∫ a

a

f(t)dt = 0. �

Teorema 2.19 (Formula de integrare prin parti) Daca f, g : [a, b] → R sunt functii deriv-abile cu derivate continue, atunci∫ b

af(x)g′(x) dx = f(x)g(x)| ba −

∫ b

af ′(x)g(x) dx. (14)

9

Demonstratie. Din formula de derivare a produsului

(fg)′(x) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)

deducem ca fg este o primitiva a functiei f ′g + fg′. Aplicand Formula Leibniz-Newton (11) obtinem

f(x)g(x)| ba = (fg)(b)− (fg)(a) =

∫ b

a

(fg)′(x)dx =

∫ b

a

[f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)]dx =

∫ b

a

f ′(x)g(x)dx+

∫ b

a

f(x)g′(x)dx

de unde deducem imediat afirmatia teoremei. �

Teorema 2.20 (Formula de schimbare de variabila) Fie ϕ : [a, b] → [c, d] o functie deriv-abila, cu derivata continua pe [a, b] si fie f : [c, d]→ R o functie continua. Atunci are loc formula∫ b

af(ϕ(t)) · ϕ′(t) dt =

∫ ϕ(b)

ϕ(a)f(x) dx. (15)

Demonstratie. Functia f fiind continua, admite primitive. Fie F o primitiva a lui f , deci

F ′(x) = f(x), ∀x ∈ [c, d]. (16)

Formula Leibniz-Newton (11) ne conduce la∫ ϕ(b)

ϕ(a)

f(x)dx = F (ϕ(b))− F (ϕ(a)). (17)

Folosind formula de derivare a functiilor compuse si (2.17) gasim

(F ◦ ϕ)′(t) = F ′(ϕ(t)) · ϕ′(t) = (f ◦ ϕ)(t) · ϕ′(t), ∀t ∈ [a, b].

Formula Leibniz-Newton (11) si (2.18) ne conduce la∫ b

a

(f ◦ ϕ)(t)ϕ′(t) = (F ◦ ϕ)(b)− (F ◦ ϕ)(a) =

∫ ϕ(b)

ϕ(a)

f(x)dx. �

Observatia 2.21 Fie a > 0 si fie f : [−a, a]→ R o functie continua. Atunci∫ a

−af(x)dx =

∫ a

0[f(x) + f(−x)]dx. (18)

Intr-adevar, putem scrie ∫ a

−af(x)dx =

∫ 0

−af(x)dx+

∫ a

0f(x)dx.

Pentru

0∫−a

f(x)dx alegem ϕ : R→ R, ϕ(t) = −t si aplicam formula de schimbare de variabila (15).

Gasim ∫ 0

−af(x)dx =

∫ ϕ(0)

ϕ(a)f(x)dx =

∫ a

0f(ϕ(t)) · ϕ′(t) dt = −

∫ a

0f(−x)dx.

Din ultimele doua relatii rezulta (18).

10

De aici deducem urmatoarea observatie, utila ın aplicatii.

Observatia 2.22 Fie a > 0 si fie f : [−a, a]→ R o functie continua.Daca f este functie para (f(−x) = f(x), ∀ x ∈ [−a, a]) atunci∫ a

−af(x)dx = 2

∫ a

0f(x)dx.

Daca f este functie impara (f(−x) = −f(x), ∀x ∈ [−a, a]) atunci∫ a

−af(x)dx = 0.

2.1 Aplicatii ale integralei definite

Teorema 2.23 Daca f : [a, b]→ R+ este continua atunci multimea plana

Df ={

(x, y) ∈ R2 | x ∈ [a, b], 0 ≤ y ≤ f(x)}

numita subgraficul functiei f , are arie si

aria(Df ) =

∫ b

af(x)dx. (19)

Corolarul 2.24 Daca f, g : [a, b]→ R sunt continue si f(x) ≤ g(x), ∀ x ∈ [a, b], atunci multimeaplana cuprinsa ıntre graficele functiilor f si g si dreptele x = a, x = b, adica multimea

Df,g ={

(x, y) ∈ R2 | x ∈ [a, b], f(x) ≤ y ≤ g(x)},

are arie si

aria(Df,g) =

∫ b

a[g(x)− f(x)]dx. (20)

Teorema 2.25 Daca f : [a, b]→ R+ este continua atunci corpul de rotatie determinat de f , adicamultimea

Vf ={

(x, y, z) ∈ R3 | x ∈ [a, b],√y2 + z2 ≤ f(x)

}are volum dat de formula

vol(Vf ) = π

∫ b

af2(x)dx. (21)

Teorema 2.26 Daca f : [a, b]→ R+ este o functie derivabila cu derivata continua atunci graficullui f are lungime finita data de

`f =

∫ b

a

√1 + (f ′)2dx. (22)

11