Amar Bapic

Odredeni integral. Primjena odredenog integrala.

Tuzla, 2014.

Sadraj1 Odredeni integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Povrina ravnog lika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Duina luka krive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4 Zapremina rotacionog tijela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5 Povrina rotacijske plohe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6 Tablica osnovnih integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1

Amar Bapic

1. Odredeni integralJedan od problema koji vodi do pojma odredenog integrala je pojam povrine. Za likove poput trougla, pravougaonika, trapezai sl. racunanje njihovih povrina i ne predstavlja toliko velik problem, jer imamo "gotove" formule za njihovo racunanje kojese veu za elementarna matematicka znanja.

Medutim, neka je lik ciju mi povrinu elimo izracunati , odozgo ogranicen grafikom neprekidne i pozitivne funkcije fna segmentu [a, b], sa strana pravima x = a i x = b, a odozdo osom x (slika ispod). Lik formiran na opisani nacin naziva sekrivolinijski trapez (x = a, x = b su osnovice trapeza).

b

f

x = a x = b

a

f

O

Slika 1: Krivolinijski trapez

Povrina krivolinijskog trapeza, ukoliko ona postoji, ne moe se izracunati metodom elementarne geometrije, jer je graffunkcije f "zakrivljen".Problem povrine krivolinijskog trapeza se upravo svodi na racunanje odredenog integrala pomocu funkcije koja gradi trapezi segmenta [a, b] koji predstavlja njegove granice.

Za racunanje odredenog integrala najlaki i najbri nacin je pomocu sljedece formule, koju cemo iskazati kao teorem.

Teorem 1.1 (Newton-Leibnizova formula): Ako je funkcija f (x) neprekidna na [a, b], tada postoji na tom odsjeckuneodredeni integral

f (x)dx = F(x) + c, te vrijedi sljedeca jednakost:

ba

f (x)dx = F(x)ba= F(b) F(a)

2

Amar Bapic

VANIJE OSOBINE ODREENOG INTEGRALA:

1.a

af (x)dx = 0

2.b

af (x)dx =

ab

f (x)dx

3.b

af (x)dx =

ca

f (x)dx +b

cf (x)dx (a < c < b)

4. Ako je f parna funkcija, tada jeaa

f (x)dx = 2a

0f (x)dx

5. Ako je f neparna funkcija, tada jeaa

f (x)dx = 0

Kao i kod neodredenih, tako i kod odredenih integrala postoji metod parcijalne integracije.

Teorem 1.2 : Neka su u = u(x) i v = v(x) neprekidne i derivabilne funkcije na segmentu [a, b]. Tada je ba

udv = uvba

ba

vdu

Prije nego to krenemo na rjeavanje zadataka, treba napomenuti da prilikom racunanja odredenih integrala, ukolikouvedemo smjenu imamo dvije opcije: ili cemo uvesti nove granice po toj smjeni ili cemo voditi pocetne granice do kraja iponovo se vratiti na pocetnu varijablu (u ovom slucaju granice stavljamo u male zagrade "()"). Pokaimo to na jednostavnomprimjeru.

3

Amar Bapic

Primjer 1.1 : Izracunati vrijednost integrala1

0

1 + xdx.

I nacin:

10

1 + x dx =

{sm jena : t = 1 + x | d x = 1 t = 1 + 1 = 2

dt = dx x = 0 t = 1 + 0 = 1}

=

21

t dt =

21

t12 dt =

t1+12

1 + 12

21=

t32

32

21=

23

t32

21

=23(2

32 1 32

)=

23 (8 1)

II nacin:

10

1 + x dx =

{sm jena : t = 1 + x | d

dt = dx

}

=

(1)(0)

t dt =

(1)(0)

t12 dt =

t1+12

1 + 12

(1)(0)

=t

32

32

(1)(0)

=23

t32

(1)(0)

=23

(1 + x)32

10=

23((1 + 1)

32 (1 + 0) 32

)=

23 (8 1)

Zadatak 1.1 : Izracunaj sljedece integrale!

1.8

0(1 +

2x + 3

x) dx

2.0pi/4

3x4 + 3x2 + 1x2 + 1

dx

3.pi/4pi/4

dxcos2 x

4.2

1x(lnx + 1) dx

5.pipi

x(sinx 1) dx

6.4

1

1 +

xx2

dx

7.3

1

sin(lnx)x

dx

8.2/2

2/2

dx1 x2

9.1/21/2

dx1 x2

10.pi/20

sin x(1 + cos2 x) dx

11.1

0

dxex + ex

12.R

0

R2 x2 dx, R x

13.4

0x

x2 + 9 dx

14.pi/20

ex sin x dx

15.pi/20

cos x sin2 x dx

4

Amar Bapic

1.

80

(1 +

2x + 3

x) dx =

80

dx +

80

2xdx +

80

3xdx

=

80

dx +

2

80

x12 dx +

80

x13 dx

= x80+

2 x32

32

80+

x43

43

80

= 8 +2

23

83 +34 3

84

= 8 +16

23 8 + 3

4 3

(23)4

= 8 +163 16 + 3

4 3

(24)3

= 8 +163 4 + 3

4 16

=124

3

2.

0pi/4

3x4 + 3x2 + 1x2 + 1

dx =

0pi/4

3x2(x2 + 1)x2 + 1

dx +

0pi/4

1x2 + 1

dx

= 3

0pi/4

x2 dx +

0pi/4

1x2 + 1

dx

= 3 x3

3

0pi/4 + arctan x 0pi/4= 0

(pi

4

)3+ arctan 0 arctan

(pi

4

)=pi3

64+

2

2

3.pi/4pi/4

dxcos2 x

= tan xpi/4pi/4

= tanpi

4+ tan

pi

4= 1 + 1= 2

5

Amar Bapic

4.

21

x(lnx + 1) dx =

ln x + 1 = u x dx = dv1x dx = du

x22 = v

=

x2

2(ln x + 1)

21

21

x dx

= 2(ln 2 + 1) 12

(ln 1 + 1) 12 x

2

2

21

= 2 ln 2 + 2 12 1 + 1

4

= 2 ln 2 +8 6 + 1

4

= 2 ln 2 +34

5.

pipi

x(sinx 1) dx = x = u (sin x + 1)dx = dvdx = du cos x x = v

= x(cos x + x)

pipi +pipi

(cos x + x) dx

= x cos xpipi x2 pipi + sin x pipi + x22 pipi

= pi (1) (pi (1)) pi2 + pi2 + pi2

2 pi

2

2= 2pi

6.

41

1 +

xx2

dx =

41

1x2

dx +

41

x12 x2 dx

=

41

x2 dx +4

1

x32 dx

=x1

141+

x12

1241

= 1x

41 2

x

41

= 14+ 1 1 + 2

=74

6

Amar Bapic

7.

31

sin(lnx)x

dx =

ln x = t x = 1 t = 01xdx = dt x = 3 t = ln 3

=

ln 30

sin t dt

= cos tln 30

= cos 0 + cos(ln 3)= cos(ln 3) 1

8.

2/2

2/2

dx1 x2

= arcsin x2/2

2/2

= arcsin 22

arcsin 22

= 2 arcsin 22

= 2 pi

4

= pi2

9.1/21/2

dx1 x2 =

12

ln1 + x1 x

1/21/2=

12

ln

32

12

12 ln

12

32

=

12

ln | 3| 12

ln13

=

12

(ln 3 ln 31

)=

12

(ln 3 + ln 3)

= ln 3

7

Amar Bapic

10.pi/2

0

sin x(1 + cos2 x) dx =

cos x = t x = 0 t = 1 sin xdx = dt x = pi2 t = 0

= 0

1

(1 + t2) dt

=

10

dt +

01

t2 dt

= t10+

t3

3

10

= 1 +13

=43

11.

10

dxex + ex

=

10

exdxex(ex + ex)

=

10

exdx1 + e2x

=

ex = t x = 0 t = 1exdx = dt x = 1 t = e

=

e1

tt2 + 1

dt

=

t2 = z2tdt = dz tdt = dz

=12

(e)(1)

dzz

=12

ln z(e)(1)

=12

ln(t2 + 1)e1

=12

(ln |e2 + 1| ln 2

)=

12

lne2 + 1

2

8

Amar Bapic

12.

R0

R2 x2 dx =

x = R sin t x = 0 sin t = 0 t = 0dx = R cos t dt x = R sin t = 1 t = pi2

=

pi2

0

R2 R2 sin2 t R cos t dt

= R2

pi2

0

1 sin2 t cos t dt

= R2

pi2

0

cos2 t dt

= R2

pi2

0

1 + cos2t2

dt

=R2

2

pi2

0

dt +

pi2

0

cos 2t dt

=

2t = z t = 0 z = 0dt = dz2 t = pi2 z = pi

=R2

2

pi2

0

dt +12

pi0

cos z dz

=

R2

2

t pi20+

12

sin tpi0

0

=

R2pi4

13.

40

x

x2 + 9 dx =

x2 + 9 = t2 x = 0 t = 3x dx = t dt x = 4 t = 5

=

53

t2 dt =t3

3

53

=125

3 27

3

=983

9

Amar Bapic

14.pi/2

0

ex sin x dx =

u = ex sin x dx = dvdu = ex dx cos x = v

= ex cos xpi/20+

pi/20

ex cos x dx

= 1 +

pi/20

ex cos x dx

=

u = ex cos x dx = dvdu = ex dx sin x = v

= 1 + ex sin xpi/20

pi/20

sin x dx

= 1 + epi2

pi/20

sin x dx

2

pi/20

ex sin x dx = 1 + epi2

pi/20

ex sin x dx =1 + e

pi2

2

15.pi/2

0

cos x sin2 x dx =

sin x = t x = 0 t = 0cos x dx = dt x = pi2 t = 1

=

10

t2 dt

=t3

3

10

=13

10

Amar Bapic

2. Povrina ravnog likaPovrina ravnog lika ogranicenog osom Ox, krivom y = f (x) i pravim x = a i x = b, definie se formulom:

P = b

a| f (x)|dx.

Slika 2: Povrina ravnog lika ogranicenog osom Ox

Ukoliko u okviru intervala [a, b] funkcija f (x) mijenja znak u tacki c, tada formula postaje

P = c

af (x)dx

bc

f (x)dx.

Slika 3: Promjena znaka funkcije u tacki c

11

Amar Bapic

Ako je lik ogranicen sa dvije krive i neka su tacke x1 i x2 rjeenja jednacine f1(x) = f2(x), tada je povrina tog lika:

P = x2

x1f2(x)dx

x2x1

f1(x)dx = x2

x1| f2(x) f1(x)| dx

Slika 4: Povrina ravnog lika ogranicenog sa dvije krive

Zadatak 2.1 : Naci povrinu lika ogranicenog lukom krive y = x2 + x + 1 i pravima x = 0, y = 0 i x = 1!

P =

10

(x2 + x + 1) dx

=

10

x2 dx +

10

x dx +

10

dx

=x3

3

10+

x2

2

10+ x

10

=116

Iz prethodnog primjera i samog principa racunanja povrine vidimo da smo eksplicitno izrazili y preko x. Medutim, nekadacemo biti u situaciji da y necemo uvijek moci ekplicitno izraziti, zato pokuamo obratno, tj. da izrazimo x preko y. U tomslucaju granice nam vie nisu tacke na apscisi, nego tacke na ordinati, tj. osi Oy. Sljedeci zadatak nam to upravo pokazuje.

12

Amar Bapic

Zadatak 2.2 : Naci povrinu ogranicenu lukom krive x = 6 y y2 i osom Oy.

P =

23

(6 y y2) dy

= 6

23

dy 23

y dy 23

y2 dy

= 6y23 y22 23 y33 23

=125

6

Zadatak 2.3 : Izracunati povrinu ogranicenu lukom krive y = tan x, pravom x =pi

4i osom Ox.

P =

pi/40

tan x dx

=

pi/40

sin xcos x

dx

=

cos x = t x = pi4 t =

22 sin x dx = dt x = 0 t = 1

=

2/2

1

dtt

= ln |x|2/21

= ln

22

+ ln 1

= ln

22

= ln22

= ln

2

13

Amar Bapic

Zadatak 2.4 : Naci povrinu ogranicenu lukom krive y = x2 i pravom x + y = 2

Granice

y = y

x2 = 2 xx2 + x 2 = 0

x1 = 1,x2 = 2

P =

12

(2 x) dx 12

x2 dx

= 2

12

dx 12

x dx 12

x2 dx

= 2x12 x22 12 x33 12

= 2 + 4 12+ 2 1

3 8

3

=92

Zadatak 2.5 : Izracunati povrinu ogranicenu lukom krive y = 1x , pravima x = 1, y = 0, x = a (a > 1). Cemu tei P akoa 0.

P =

a

1

1x

dx

= ln |x|

a1

= ln a

lima0

P = ln lima0

a = +

14

Amar Bapic

Zadatak 2.6 : Izracunati povrinu elipsex2

a2+

y2

b2= 1!

x2

a2+

y2

b2= 1 y = b

1 x

2

a2

P = 4P1

= 4b

a0

1 x

2

a2dx =

t = xa x = 0 t = 0a dt = dx x = a t = 1 = 4ab

10

1 t2 dx =

t = sin z t = 0 z = 0dt = cos t dt t = 1 z = pi2

= 4ab

pi/20

1 sin2 z cos z dz = 4ab

pi/20

cos2 z dz = 4ab

pi/20

1 + cos 2z2

dz =

2z = u z = 0 u = 0dz = du2 z = pi2 u = pi

= 4ab4

pi

0

du +

pi0

cos u du

= ab (u pi0 + sin u pi0) = abpiZadatak 2.7 : Izracunati povrinu lika ogranicenog sa y = sin x i y = cos x i segmentom [0, pi2 ].

P = P1 + P2

=

pi/40

sin x dx +

pi/2pi/4

cos x dx

= cos xpi/40+ sin x

spi/2pi/4=

22

+ 1 + 1

22

= 2 2

15

Amar Bapic

Zadatak 2.8 : Izracunati povrinu odredenu lukom krive y = ln x i pravim y = 12 , x = e i x = e2.

P =

e2e

(ln x 1

2

)dx =

e2e

ln x dx 12

e2e

dx =

u = ln x dx = dvdu = dxx x = v

= x ln xe2e

e2e

dx 12

xe2e= 2e2 e 3

2xe2e= 2e2 e 3

2e2 +

32

e =e2 + e

2

Zadatak 2.9 : Naci povrinu ogranicenu lukom parabole y2 = 4a(a + x), lukom krunice x2 + y2 = 4a2 i tangentom kruniceu tacki (2a, 0).

y2 = 4a(a + x) y =

4a2 + 4ax

x2 + y2 = 4a2 y =

4a2 x2

16

Amar Bapic

P = 2

2a

0

(4a2 + 4ax

4a2 x2

)dx

= 22a

2a0

1 +

xa

dx 2a

0

(2a)2 x2 dx

=

1 + xa = t

2 x = 0 t = 1dx = 2at dt x = 2a t = 3x = 2a sin t x = 0 t = 0

dx = 2a cos t dt x = 2a t = pi2

= 24a2

3

1

t2 dt 2api/2

0

cos2t cos t dt

= 2

4a2 t33

3

1 2a

pi/20

cos2 t dt

= 243a2 4a23 2a

pi/20

1 + cos 2t2

dt

= 2t = z t = 0 z = 0dt = dz2 t = pi2 z = pi

= 2

43a2 4a23 a2pi

0

(1 + cos z) dz

= 243a2 4a23 a2 z pi0 a2

pi0

cos z dz

= 2

(4

3a2 4a2

3 api

2 a

2sin z

pi0

)= 8

3a2 8a2

3 api

Zadatak 2.10 : Izracunati povrinu lika ogranicenog sa lukom krive y2 = 2x + 1, te pravom y = x 1.

P =

11

y2 12

dy

+

31

(y + 1) dy 3

1

y2 12

dy

=

12

y33 11 y 11 +

y22 31 + y 31 12 y33 31 + 12y 31

=12

13 + 13 1 1 + 92 12 + 3 + 1 92 + 16 + 32 12

=

12 4

3+

143

=163

17

Amar Bapic

3. Duina luka krive1. Duina luka l, krive y = f (x) izmedu tacaka sa apsicama x = a i x = b je:

l =

ba

1 + y2 dx

2. Ako je kriva data u parametarskom obliku, x = (t), y = (t), onda je:

l =

t2t1

2 + 2 dt

Zadatak 3.1 : Naci obim kruga x2 + y2 = a2.

x2 + y2 = a2

y =

a2 x2

y =

a2 x2 |

y =1

2

a2 x2 (2)x

y = xa2 x2

|2

y2 =x2

a2 x2

l = 4

a0

1 +

x2

a2 x2 dx = 4a

0

a2 x2 + x2

a2 x2 dx = 4a

0

a2

a2 x2 dx = 4aa

0

1a2 x2

dx = 4

a0

11 ( xa )2

dx

=

xa = t x = 0 t = 0dx = adt x = a t = 1 = 4a

10

11 t2

dt = 4a arcsin t10= 4a arcsin 1 = 2api

Zadatak 3.2 : Izracunati duinu luka krive y = ln(cos x) izmedu tacaka sa apscisama x = 0, x =pi

4.

y = ln(cos x) |

y =1

cos x sin x |2

y2 =sin2 xcos2 x

l =

pi/40

1 +

sin2 xcos2 x

dx =

pi/40

cos2 x + sin2 x

cos2 xdx =

pi/40

1cos x

cos xcos x

dx =

pi/40

cos x1 sin2 x dx

=

sin x = t x = 0 t = 0cos x dx = dt x = pi4 t = 22 =

2/2

0

dt1 t2 =

12

ln1 + t1 t

2/20 = 12ln

1 +

22

1

22

ln 1

=12

ln

2 +

2

2 2 2 +

2

2 +

2

= 12 ln6 + 2

2

2

= 12 ln(3 + 2)

18

Amar Bapic

Zadatak 3.3 : Naci duinu luka krive y2 = x3 koji odsjeca prava x =43

.

y2 = x3

y =

x3

y = x32 |

y =32

x12 |2

y2 =94

x

l = 2

4/30

1 +

94

x dx = 2

4/30

4 + 9x

2dx =

4/30

4 + 9x dx =

4 + 9x = t2 x = 0 t = 2dx = 2t9 dt x = 43 t = 4

=29

42

t2 dt =2t3

27

42=

128 1627

=11227

Zadatak 3.4 : Naci duinu luka krive zadane sa x = cos3 t, y = sin3 t, t [0,pi

2

].

x = cos3 t |x = 3 cos2 t sin t |2

x2 = 9 cos4 t sin2 t

y = sin3 t |y = 3 sin2 t cos t |2

y2 = 9 cos2 t sin4 t

l =

pi/20

9 cos4 t sin2 t + 9 cos2 t sin4 t dt = 3

pi/20

cos2 t sin2 t(cos2 t + sin2 t) dt = 3

pi/20

cos t sin t dt

=

sin t = x t = 0 x = 0cos t dt = dx t = pi2 x = 1 = 3

10

x dx =3x2

2

10=

32

19

Amar Bapic

4. Zapremina rotacionog tijelaGraf funkcije y = f (x) vrtimo oko x-osi. Postavlja se pitanje: Koja je zapremina V tijela dobijenog rotacijom lika odredenoggrafom funkcije f te pravcima x = a, x = b i y = 0? (vidi sliku ispod).

Odgovor daje sljedeca formula:

Vx = pi

ba

y2 dx

Medutim, isto tako moemo graf y = f (x) rotirati oko x-osi, pri cemu je rotacijski interval [a, b] na x-osi. Ukoliko je graf zadatsa x = g(y), njegovu zapreminu isto moemo izracunati bilo da se radi o rotaciji oko x-ose ili y-ose, pri cemu se rotacijskiinterval [c, d] nalazi na y-osi. Formule moemo pregledno iskazati sljedecom tabelom:

Integracija po / Rotacija oko x-osi y-osi[a, b] na x-osi Vx = pi

ba

y2 dx Vy = 2pib

axy dx

[c, d] na y-osi Vx = 2pid

cyx dy Vy = pi

dc

x2 dy

20

Amar Bapic

Zadatak 4.1 : Izvesti obrazac za zapreminu lopte poluprecnika r.

Neka je lopta nastala rotacijom krunice x2 + y2 = r2 oko x-ose. Iz date jednacine imamo da je y2 = r2 x2 i rotacijski intervalje [r, r]. Dakle, zapremina je:

Vx = pi rr

(r2 x2) dx = 2pi( r

0r2 dx

r0

x2 dx)= 2pir2x

r0 2pi x

3

3

r0= 2pir3 2

3pir3 =

43

r3pi

Zadatak 4.2 : Naci zapreminu tijela koji nastaje rotacijom dijela povri ogranicene krivom y = x2 i pravim x = 0, x = 1 iy = 0.

1. oko x-ose

Vx = pi

10

(x2)2 dx = pi

10

x4 dx = pi x5

5

10=pi

5

2. oko y-ose

Vy = 2pi

10

x x2 dx = 2pi1

0

x3 dx = 2pi x4

4

10=pi

2

Zadatak 4.3 : Izracunati zapreminu tijela koje opisuje elipsa b2x2 + a2y2 = a2b2, rotacijom oko

1. x-ose

2. y-ose

1.

b2x2 + a2y2 = a2b2 a2y2 = a2b2 b2x2

y2 = b2 b2

a2x2

Vx = pi

aa

(b2 b

2

a2x2

)dx = 2pi

a

0

b2 dx a

0

b2

a2x2 dx

= 2pib2 x a0 2pib2a2 x33 a0 = 2piab2 23piab2 = 43ab2pi

2. y =

b2 b2

a2x2

xy = x

b2 b

2

a2x2

Vy = 2pi

aa

x

b2 b

2

a2x2 dx = 4pi

a0

x

b2 b

2

a2x2 dx =

b2 b2a2 x2 = t2 x = 0 t = b2 b2a2 x dx = 2t dt x = 1 t = 0x dx = a2b2 t dt

= 4pi a

2

b2

0b

t2 dt = 4pi a2

b2

b0

t2 dt = 4pia2

b2 x

3

3

b0= 4pi

a2

b2 b

3

3=

43

a2bpi

21

Amar Bapic

Zadatak 4.4 : Naci zapreminu tijela koji nastaje rotacijom dijela povri ogranicene krivim y = x2(1 x2), y = 0 oko x-ose.

y = 0 x2(1 x2) = 0 x = 0 x = 1 x = 1

Vx = pi

11

x4(1 x2)2 dx = 2pi1

0

x4(1 2x2 + x4) dx = 2pi1

0

x4 dx 4pi1

0

x6 + 2pi

10

x8 dx

= 2pi x5

5

10 4pi x

7

7

10+ 2pi x

9

9

10=

25pi 4

7pi +

29pi =

16315

pi

5. Povrina rotacijske plohePovrina koju opisuje luk krive y = f (x), izmedu tacaka sa apsicama x = a i x = b, rotiranjem oko x-ose, data je formulom:

Px = 2pi

ba

y

1 + y2 dx

Ako se luk obrce oko y-ose, imamo analognu formulu:

Py = 2pi

dc

x

1 + x2 dy

. Ukoliko je kriva zadata parametarski, tj. x = x(t), y = y(t), t [t1, t2], onda je formula za P data sa:

P = 2pi

t2t1

y

x2 + y2 dt

Zadatak 5.1 : Izvesti obrazac za racunanje povrine sfere poluprecnika r!

x2 + y2 = r2 y2 = r2 x2 y =

r2 x2

y =

r2 x2 |

y =1

2

r2 x2 (2)x

y = xr2 x2

|2

y2 =x2

r2 x2

Px = 2 2pir

0

r2 x2

1 +

x2

r2 x2 dx = 4pir

0

r2 x2 + x2 dx = 4rpi

r0

dx = 4rpi xr0= 4r2pi

22

Amar Bapic

Zadatak 5.2 : Izracunati povrinu tijela nastalog rotacijom krive y =

1 x2 oko x-ose izmedu tacaka x = 0 i x = 12 .

y =

1 x2 |

y = x1 x2

|2

y2 =x2

1 x2

Px = 2pi

1/20

1 x2

1 +

x2

1 x2 dx = 2pi1/2

0

1 x2

1 x2 + x2

1 x2 dx

= 2pi

1/20

1 x2 1

1 x2dx = 2pi

1/20

dx = 2pi x1/20= pi

Zadatak 5.3 : Izracunati povrinu koja nastaje rotacijom krive x = a(1 sin t), y = a(1 cos t) oko x-ose.

y = 0 a(1 cos t) = 0 cos t = 1 t1 = 0, t2 = 2pi

y = a(1 cos t) |y = a sin t |2

y2 = a2 sin2 t

x = a(1 sin t) |x = a cos t |2

x2 = a2 cos2 t

Px = 2pi

2pi0

a(1 cos t)

a2 sin2 t + a2 cos2 t dt = 2api

2pi0

(1 cos t)

a2(sin2 t + cos2 t) dt

= 2api

2pi0

(1 cos t) a dt = 2a2pi2pi

0

dt 2a2pi2pi

0

cos t dt

= 2a2pi t2pi0 2a2pi sin t

2pi0= 4a2pi2

23

Amar Bapic

6. Tablica osnovnih integrala

1.

dx = x + c

2.

xn dx =xn+1

n + 1+ c (n , 1)

3. dx

x= ln |x|

4.

ex dx = ex + c

5.

ax dx =ax

ln a+ c (a > 0, a , 1)

6.

cos x = sin x + c

7.

sin x = cos x + c

8. dx

sin2x= ctanx + c

9. dx

cos2x= tan x + c

10. dx

1 x2= arcsin x + c

11. dx

1 + x2= arctan x + c

12. dx

x2 + 1= ln

x + x2 + 1 + c13.

dxx2 1

= lnx + x2 1 + c

14. dx

1 x2 =12

ln1 + x1 x

+ c

24