određeni integrali
TRANSCRIPT
![Page 1: Određeni integrali](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082206/5895a7981a28abf35c8b7380/html5/thumbnails/1.jpg)
Odredeni integral- formule i zadaci -
2008/2009
(Odredeni integral) 2008/2009 1 / 8
![Page 2: Određeni integrali](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082206/5895a7981a28abf35c8b7380/html5/thumbnails/2.jpg)
Osnovna svojstva odredenog integrala
∫ b
a(f1(x) + f2(x))dx =
∫ b
af1(x)dx +
∫ b
af2(x)dx
∫ b
aαf (x)dx = α
∫ b
af (x)dx
(Odredeni integral) 2008/2009 2 / 8
![Page 3: Određeni integrali](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082206/5895a7981a28abf35c8b7380/html5/thumbnails/3.jpg)
Osnovna svojstva odredenog integrala
∫ b
a(f1(x) + f2(x))dx =
∫ b
af1(x)dx +
∫ b
af2(x)dx
∫ b
aαf (x)dx = α
∫ b
af (x)dx
(Odredeni integral) 2008/2009 2 / 8
![Page 4: Određeni integrali](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082206/5895a7981a28abf35c8b7380/html5/thumbnails/4.jpg)
Osnovna svojstva odredenog integrala
∫ b
a(f1(x) + f2(x))dx =
∫ b
af1(x)dx +
∫ b
af2(x)dx
∫ b
aαf (x)dx = α
∫ b
af (x)dx
(Odredeni integral) 2008/2009 2 / 8
![Page 5: Određeni integrali](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082206/5895a7981a28abf35c8b7380/html5/thumbnails/5.jpg)
Osnovna svojstva odredenog integrala
Definicija
Ako je funkcija f (x) definisana u tacki a onda je∫ a
af (x)dx = 0.
Definicija
Ako je funkcija f (x) integrabilna na odsecku [a, b], a < b, onda je∫ a
bf (x)dx = −
∫ b
af (x)dx .
(Odredeni integral) 2008/2009 3 / 8
![Page 6: Određeni integrali](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082206/5895a7981a28abf35c8b7380/html5/thumbnails/6.jpg)
Osnovna svojstva odredenog integrala
Definicija
Ako je funkcija f (x) definisana u tacki a onda je∫ a
af (x)dx = 0.
Definicija
Ako je funkcija f (x) integrabilna na odsecku [a, b], a < b, onda je∫ a
bf (x)dx = −
∫ b
af (x)dx .
(Odredeni integral) 2008/2009 3 / 8
![Page 7: Određeni integrali](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082206/5895a7981a28abf35c8b7380/html5/thumbnails/7.jpg)
Osnovna svojstva odredenog integrala
Definicija
Ako je funkcija f (x) definisana u tacki a onda je∫ a
af (x)dx = 0.
Definicija
Ako je funkcija f (x) integrabilna na odsecku [a, b], a < b, onda je∫ a
bf (x)dx = −
∫ b
af (x)dx .
(Odredeni integral) 2008/2009 3 / 8
![Page 8: Određeni integrali](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082206/5895a7981a28abf35c8b7380/html5/thumbnails/8.jpg)
aditivnost po odsecku integracije
Teorema
Neka je a < c < b i neka je funkcija f (x) integrabilna na odsecku [a, c] iintegrabilna na odsecku [c , b]. Onda je f (x) integrabilna na odsecku [a, b]i vazi ∫ b
af (x)dx =
∫ c
af (x)dx +
∫ b
cf (x)dx .
(Odredeni integral) 2008/2009 4 / 8
![Page 9: Određeni integrali](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082206/5895a7981a28abf35c8b7380/html5/thumbnails/9.jpg)
aditivnost po odsecku integracije
Teorema
Neka je a < c < b i neka je funkcija f (x) integrabilna na odsecku [a, c] iintegrabilna na odsecku [c , b]. Onda je f (x) integrabilna na odsecku [a, b]i vazi ∫ b
af (x)dx =
∫ c
af (x)dx +
∫ b
cf (x)dx .
(Odredeni integral) 2008/2009 4 / 8
![Page 10: Određeni integrali](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082206/5895a7981a28abf35c8b7380/html5/thumbnails/10.jpg)
Njutn-Lajbnicova formula
Teorema
Neka je funkcija f (x) neprekidna na odsecku [a, b] i neka je F (x) bilo kojaprimitivna funkcija za f (x) na [a, b]. Onda vazi∫ b
af (x)dx = F (b)− F (a).
(Odredeni integral) 2008/2009 5 / 8
![Page 11: Određeni integrali](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082206/5895a7981a28abf35c8b7380/html5/thumbnails/11.jpg)
Njutn-Lajbnicova formula
Teorema
Neka je funkcija f (x) neprekidna na odsecku [a, b] i neka je F (x) bilo kojaprimitivna funkcija za f (x) na [a, b]. Onda vazi∫ b
af (x)dx = F (b)− F (a).
(Odredeni integral) 2008/2009 5 / 8
![Page 12: Određeni integrali](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082206/5895a7981a28abf35c8b7380/html5/thumbnails/12.jpg)
Zadaci
Zadatak 1.∫ 12 (x2 − 2x + 3)dx
Zadatak 2.∫ 40
dx1+√
xdx
Zadatak 3.∫ 21 x ln x dx
Zadatak 4.∫ 10
ex
1+e2x dx
(Odredeni integral) 2008/2009 6 / 8
![Page 13: Određeni integrali](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082206/5895a7981a28abf35c8b7380/html5/thumbnails/13.jpg)
Zadaci
Zadatak 1.∫ 12 (x2 − 2x + 3)dx
Zadatak 2.∫ 40
dx1+√
xdx
Zadatak 3.∫ 21 x ln x dx
Zadatak 4.∫ 10
ex
1+e2x dx
(Odredeni integral) 2008/2009 6 / 8
![Page 14: Određeni integrali](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082206/5895a7981a28abf35c8b7380/html5/thumbnails/14.jpg)
Zadaci
Zadatak 1.∫ 12 (x2 − 2x + 3)dx
Zadatak 2.∫ 40
dx1+√
xdx
Zadatak 3.∫ 21 x ln x dx
Zadatak 4.∫ 10
ex
1+e2x dx
(Odredeni integral) 2008/2009 6 / 8
![Page 15: Određeni integrali](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082206/5895a7981a28abf35c8b7380/html5/thumbnails/15.jpg)
Zadaci
Zadatak 1.∫ 12 (x2 − 2x + 3)dx
Zadatak 2.∫ 40
dx1+√
xdx
Zadatak 3.∫ 21 x ln x dx
Zadatak 4.∫ 10
ex
1+e2x dx
(Odredeni integral) 2008/2009 6 / 8
![Page 16: Određeni integrali](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082206/5895a7981a28abf35c8b7380/html5/thumbnails/16.jpg)
Zadaci
Zadatak 1.∫ 12 (x2 − 2x + 3)dx
Zadatak 2.∫ 40
dx1+√
xdx
Zadatak 3.∫ 21 x ln x dx
Zadatak 4.∫ 10
ex
1+e2x dx
(Odredeni integral) 2008/2009 6 / 8
![Page 17: Određeni integrali](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082206/5895a7981a28abf35c8b7380/html5/thumbnails/17.jpg)
Izracunavanje povrsina nekih figura u ravni
Primer 1.
Naci povrsinu figure F u ravni ogranicene osom Oy , delom grafika funkcijey = x2 i tangentom tog grafika, povucenom u tacki (1, 1).
Primer 2.
Izracunati povrsinu figure u ravni ogranicene elipsom sa poluosama a i b.
Primer 3.
Izracunati povrsinu figure u ravni ogranicene funkcijama f (x) = x2 if (x) = x3.
Primer 4.
Izracunati povrsinu figure u ravni ogranicene funkcijama f (x) = 8x ,f (x) = 1
x2 i f (x) = x .
(Odredeni integral) 2008/2009 7 / 8
![Page 18: Određeni integrali](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082206/5895a7981a28abf35c8b7380/html5/thumbnails/18.jpg)
Izracunavanje povrsina nekih figura u ravni
Primer 1.
Naci povrsinu figure F u ravni ogranicene osom Oy , delom grafika funkcijey = x2 i tangentom tog grafika, povucenom u tacki (1, 1).
Primer 2.
Izracunati povrsinu figure u ravni ogranicene elipsom sa poluosama a i b.
Primer 3.
Izracunati povrsinu figure u ravni ogranicene funkcijama f (x) = x2 if (x) = x3.
Primer 4.
Izracunati povrsinu figure u ravni ogranicene funkcijama f (x) = 8x ,f (x) = 1
x2 i f (x) = x .
(Odredeni integral) 2008/2009 7 / 8
![Page 19: Određeni integrali](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082206/5895a7981a28abf35c8b7380/html5/thumbnails/19.jpg)
Izracunavanje povrsina nekih figura u ravni
Primer 1.
Naci povrsinu figure F u ravni ogranicene osom Oy , delom grafika funkcijey = x2 i tangentom tog grafika, povucenom u tacki (1, 1).
Primer 2.
Izracunati povrsinu figure u ravni ogranicene elipsom sa poluosama a i b.
Primer 3.
Izracunati povrsinu figure u ravni ogranicene funkcijama f (x) = x2 if (x) = x3.
Primer 4.
Izracunati povrsinu figure u ravni ogranicene funkcijama f (x) = 8x ,f (x) = 1
x2 i f (x) = x .
(Odredeni integral) 2008/2009 7 / 8
![Page 20: Određeni integrali](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082206/5895a7981a28abf35c8b7380/html5/thumbnails/20.jpg)
Izracunavanje povrsina nekih figura u ravni
Primer 1.
Naci povrsinu figure F u ravni ogranicene osom Oy , delom grafika funkcijey = x2 i tangentom tog grafika, povucenom u tacki (1, 1).
Primer 2.
Izracunati povrsinu figure u ravni ogranicene elipsom sa poluosama a i b.
Primer 3.
Izracunati povrsinu figure u ravni ogranicene funkcijama f (x) = x2 if (x) = x3.
Primer 4.
Izracunati povrsinu figure u ravni ogranicene funkcijama f (x) = 8x ,f (x) = 1
x2 i f (x) = x .
(Odredeni integral) 2008/2009 7 / 8
![Page 21: Određeni integrali](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082206/5895a7981a28abf35c8b7380/html5/thumbnails/21.jpg)
Izracunavanje povrsina nekih figura u ravni
Primer 1.
Naci povrsinu figure F u ravni ogranicene osom Oy , delom grafika funkcijey = x2 i tangentom tog grafika, povucenom u tacki (1, 1).
Primer 2.
Izracunati povrsinu figure u ravni ogranicene elipsom sa poluosama a i b.
Primer 3.
Izracunati povrsinu figure u ravni ogranicene funkcijama f (x) = x2 if (x) = x3.
Primer 4.
Izracunati povrsinu figure u ravni ogranicene funkcijama f (x) = 8x ,f (x) = 1
x2 i f (x) = x .
(Odredeni integral) 2008/2009 7 / 8
![Page 22: Određeni integrali](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082206/5895a7981a28abf35c8b7380/html5/thumbnails/22.jpg)
Izracunavanje povrsina nekih figura u ravni
Primer 5.
Izracunati povrsinu figure u ravni ogranicene funkcijama f (x) = x , 5− x if (x) = 2x .
Primer 6.
Izracunati povrsinu figure u ravni ogranicene funkcijamaf (x) = x2 − 2x + 2 i f (x) = −x2 + 6.
(Odredeni integral) 2008/2009 8 / 8
![Page 23: Određeni integrali](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082206/5895a7981a28abf35c8b7380/html5/thumbnails/23.jpg)
Izracunavanje povrsina nekih figura u ravni
Primer 5.
Izracunati povrsinu figure u ravni ogranicene funkcijama f (x) = x , 5− x if (x) = 2x .
Primer 6.
Izracunati povrsinu figure u ravni ogranicene funkcijamaf (x) = x2 − 2x + 2 i f (x) = −x2 + 6.
(Odredeni integral) 2008/2009 8 / 8
![Page 24: Određeni integrali](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082206/5895a7981a28abf35c8b7380/html5/thumbnails/24.jpg)
Izracunavanje povrsina nekih figura u ravni
Primer 5.
Izracunati povrsinu figure u ravni ogranicene funkcijama f (x) = x , 5− x if (x) = 2x .
Primer 6.
Izracunati povrsinu figure u ravni ogranicene funkcijamaf (x) = x2 − 2x + 2 i f (x) = −x2 + 6.
(Odredeni integral) 2008/2009 8 / 8
![Page 25: Određeni integrali](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082206/5895a7981a28abf35c8b7380/html5/thumbnails/25.jpg)
Izracunavanje zapremine
Primer 1.
Naci zapreminu tela koje nastaje rotacijom funkcije f (x) = x − x2 okox-ose.
Primer 2.
Naci zapreminu tela koje nastaje rotacijom funkcije f (x) = x3 − x + 1 okox-ose.
Primer 3.
Naci zapreminu tela koje nastaje rotacijom funkcija f (x) = x3 i f (x) = x2
oko x-ose.
(Odredeni integral) 2008/2009 9 / 8
![Page 26: Određeni integrali](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082206/5895a7981a28abf35c8b7380/html5/thumbnails/26.jpg)
Izracunavanje zapremine
Primer 1.
Naci zapreminu tela koje nastaje rotacijom funkcije f (x) = x − x2 okox-ose.
Primer 2.
Naci zapreminu tela koje nastaje rotacijom funkcije f (x) = x3 − x + 1 okox-ose.
Primer 3.
Naci zapreminu tela koje nastaje rotacijom funkcija f (x) = x3 i f (x) = x2
oko x-ose.
(Odredeni integral) 2008/2009 9 / 8
![Page 27: Određeni integrali](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082206/5895a7981a28abf35c8b7380/html5/thumbnails/27.jpg)
Izracunavanje zapremine
Primer 1.
Naci zapreminu tela koje nastaje rotacijom funkcije f (x) = x − x2 okox-ose.
Primer 2.
Naci zapreminu tela koje nastaje rotacijom funkcije f (x) = x3 − x + 1 okox-ose.
Primer 3.
Naci zapreminu tela koje nastaje rotacijom funkcija f (x) = x3 i f (x) = x2
oko x-ose.
(Odredeni integral) 2008/2009 9 / 8
![Page 28: Određeni integrali](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082206/5895a7981a28abf35c8b7380/html5/thumbnails/28.jpg)
Izracunavanje zapremine
Primer 1.
Naci zapreminu tela koje nastaje rotacijom funkcije f (x) = x − x2 okox-ose.
Primer 2.
Naci zapreminu tela koje nastaje rotacijom funkcije f (x) = x3 − x + 1 okox-ose.
Primer 3.
Naci zapreminu tela koje nastaje rotacijom funkcija f (x) = x3 i f (x) = x2
oko x-ose.
(Odredeni integral) 2008/2009 9 / 8