calcul diferential si integral

Download Calcul Diferential Si Integral

Post on 28-Jan-2016

242 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Calcul Diferential Si Integral

TRANSCRIPT

Capitolul I

Cerasela Petrescu Victoria Stanciu

CAIET DE SEMINAR-ANALIZA MATEMATIC I

Capitolul II. Calcul diferenial multidimensional

Limite, derivate pariale i difereniale

Fie . Vom subnelege c a este de forma , cu

Definim distana pe astfel:

Dac , cu , iar , cu atunci

Atunci (R, d) este spaiu metric.

Definim norma elementului x n :

.

Fie A o mulime oarecare. Atunci:

A este deschis dac i numai dac exist r > 0 astfel nct B(a,r)A, unde B(a,r) este bila de centru a i raz r.A este nchis dac i numai dac complementara ei este deschis.A este compact dac i numai dac este nchis i mrginit.

A este conex dac nu exist i separate (adic i ) nevide, astfel nct .

Fie D o submulime deschis a lui , a un punct al lui D i .

Definiii. i) Funcia f are limita n a dac pentru > 0 exist = () > 0 aa nct cu s avem .

ii) Fie funcia , definit pe un deschis D din . Dac pentru un anumit punct a al lui D i un anumit versor , funcia f(a+th) este derivabil n t = 0, derivata respectiv se numete derivata lui f n a dup direcia h i se noteaz .

iii) Derivatele lui f dup direciile vectorilor ai bazei canonice a lui , se numesc derivatele pariale ale lui f n a i se noteaz .

iv) Fie , , fiecare component fiind derivabil parial pe un deschis D din . Atunci matricea de funcii:

se numete matricea jacobian a lui f.

n cazul n care m = n, determinantul matricei jacobiene se numete jacobianul lui f i se noteaz .

Se numete gradientul lui f i se noteaz gradf sau .

v) O funcie , definit pe un deschis D din , se numete difereniabil n punctul dac exist o funcie liniar aa nct:

.Propoziie. Orice funcie difereniabil n a este continu n acest punct.

Propoziie. Dac este difereniabil n , atunci f este derivabil dup orice direcie , iar .

Teorem. ( Criteriu de difereniabilitate) Dac derivatele pariale ale funciei exist pe o vecintate V a punctului i sunt continue n acest punct, atunci f este difereniabil n a.

Funcii de clas i formula lui Taylor; extreme locale

Considerm un deschis D i o funcie ale crei derivate pariale exist n fiecare punct D. Dac este la rndul ei derivabil parial n raport cu variabila, derivata respectiv se numete derivata parial de ordinul doi a lui f n raport cu variabilele , i se noteaz

Atunci cnd toate derivatele pariale de ordinal 2 ale lui f sunt definite n a, ele formeaz elementele unei matrice de tipul n

numit matrice hessian.

Teorem. ( Criteriul lui Schwarz). Dac sunt definite pe o vecintate a punctului a i continue n a, atunci .

Corolar. Dac f este de clas , atunci pentru orice permutare a indicilor avem .

Fie o funcie de clas i . Pentru orice ntreg j cu , definim difereniala de ordinul j a lui f n punctul a ca fiind polinomul omogen de grad j n variabilele cu coeficienii dai de derivatele pariale de ordin j ale lui f n acest punct:

.

innd seama de corolarul precedent, dac f este de clas putem scrie

,unde membrul drept se calculeaz ridicnd formal la puterea j expresia

Pentru orice dou puncte diferite , notm

i se numete segmentul de capete a i b. Definim polinomul Taylor de grad k asociat lui f in punctul a:

.

Teorem. (Formula lui Taylor). Dac este o funcie de clas pe o mulime deschis, convex D , atunci pentru orice dou puncte exist un punct aa nct:

. Extreme locale

Definiie. Un punct se numete punct de maxim (respectiv minim) local pentru f dac exist o vecintate V a punctului astfel nct pentru orice s avem f(x) ( respectiv f(x) ). n ambele cazuri spunem c este un punct de extrem local.

Propoziie. (Condiia necesar de extrem local). Dac f este difereniabil pe D i are un punct de extrem local , atunci toate derivatele ei pariale se anuleaz n acest punct ( este punct critic al lui f).

Teorem (Condiia suficient de extrem local). Fie f o funcie de clas pe o mulime deschis D iD un punct critic al lui f.i)

Dac este pozitiv definit, f are n un punct de minim local strict.ii)

Dac este negativ definit, f are n un punct de maxim local strict. iii)

Dac forma ptratic este nedefinit atunci nu este punct de extreme pentru f. Teorema funciile implicite, teorema de inversare local, dependen funcional i extreme cu legturi

Teorem. (Teorema funciilor implicite). Fie D un deschis din o

funcie de clas i (a,b) D o soluie a ecuaiei f(x,y)=0, pentru care:

.

Definiie. i) Fie o funcie ntre doi deschii din .Dac f este bijectiv

iar f i sunt funcii de clas , atunci f se numete difeomorfism.

ii) O funcie , definit pe un deschis D din se numete un

difeomorfism local n punctul dac punctele a i f(a) admit ctre o vecintate

deschis U i V astfel nct s fie un difeomorfism ntre U i V.

Teorema de inversare local. Fie D un deschis din i o funcie

de clas cu jacobianul nenul ntr-un anumit punct . Atunci f este un difeomorfism local.

Definiie. Un sistem de r funcii de clas se numesc funcional

independente n punctul dac matricea lor jacobian

are rangul r n acest punct.

Teorema dependenei funcionale. Considerm r+1 funcii de clas , , definite pe un deschis D din . Dac sunt funcional independente ntr-un punct D, iar sunt funcional dependente n orice punctD, atunci exist o vecintate deschis UD a lui i o funcie , de clas pe un deschis , astfel nct pentru U s avem:

.

Definiie. Fie o funcie de clas pe un deschis D din i alte r funcii de clas a cror anulare definete r restricii sau legturi ntre variabilele. Un punct aparinnd mulimii:

se numete punct de extrem local al lui f cu legturile dac exist o bil deschis aa nct f(x) - f() sa pstreze un semn pentru .

Teorem. (Condiia necesar de extrem cu legturi). Fie un punct de extrem local al lui f cu legturile . Dac funciile sunt funcional independente n , atunci exist constantele reale ( numite multiplicatori ai lui Lagrange) aa nct s fie un punct critic al funciei:

. Probleme rezolvate

1. S se studieze existena urmtoarelor limite i n caz c exist, s se calculeze:

Soluie. a) b)

c)

Lum y = mx, m. Avem . Prin urmare aceast limit nu exist deoarece depinde de alegerea lui m.

d)

Cum i , rmne s calculm limita

Avem i deci: . Cum , rezult c i obinem astfel

2. S se studieze continuitatea urmtoarelor funcii:

b)

Soluie. a) f este pe . S studiem continuitatea funciei n origine.

Fie irul din . Evident .

Avem: , deci f nu e continu n (0,0).

b) f este pe . Vom studia continuitatea funciei n origine.

Funcia este continu n (0,0) . Avem: Avem:

Prin urmare f este continu n (0,0).3.Calculai derivatele pariale ale funciei f = xy+yz-2zx .

Solutie. Avem ; ; .4. Fie , = 2y . S se calculeze cu ajutorul definiiei, derivatele pariale de ordinul nti ale lui f n punctele (0,0) i (-1,1).

Soluie: Observm c f este continu n cele dou puncte.

5. Fie funcia . S se calculeze derivatele pariale de ordinul nti ale lui f.

Soluie. Pentru (x,y) (0,0), avem:

Derivatele pariale n origine le calculm folosind definiia. Astfel:

6. S se calculeze difereniala de ordinul I a funciei.

Soluie.

7. Calculai diferenialele indicate pentru urmtoarele funcii:

a) ;

b) ;

c) .Soluie. a) Avem c:

Obinem astfel c:

b)c)

Avem:

Aadar,

8. S se studieze difereniabilitatea de ordinul nti n punctele indicate pentru urmtoarele funcii:

a) n punctul (0,0);b)

Soluie. a) S calculm derivatele pariale ale funciei n origine.

Pentru , limita nu exist.

Deci o condiie necesar ca funcia s fie difereniabil este ca .

n mod asemntor se obine:

Pentru , derivata parial nu exist.

a) Cazul .

Pentru ca f s fie difereniabil n punctul (0,0) este suficient s existe o funcie i astfel nct:

Rezult , deci i . De aici deducem c funcia f este difereniabil n punctul (0,0).

b) Dinrezult c funcia f este continu n (0,0). Avem:

Ca i la punctul precedent pentru ca f s fie difereniabil n punctul (0,0) este suficient s existe o funcie i astfel nct:

Atunci rezult c i deci

ns i deci .De aici deducem c funcia f este difereniabil n punctul (0,0).

9. S se demonstreze c funcia f(x,y) = este difereniabil n origine, dar nu este de clas C1.

Soluie: Avem:

Derivatele pariale sunt continue n orice punct (x,y) (0,0), dar n origine nu sunt continue, deoarece nu exist, deci f nu este de clas C1(R2).

=sin=0 => f este difereniabil n origine.

10. S se studieze difereniabilitatea de ordinul nti i continuitatea derivatelor pariale n punctul (0,0) pentru funcia:

Soluie. Avnd n vedere c , obinem c f este funcie continu pe . Avem:

innd cont de inegalitile de mai jos :

i ,

rezult continuitatea derivatei pariale n punctul (0,0).

Analog se demonstreaz continuitatea derivatei pariale n punctul (0,0).Rezult astfel difereniabilitatea funciei f.

11. Fie funcia S se arate c:

a) dei funcia nu ndeplinete condiiile din criteriul lui Schwarz n (0,0).b) f ndeplinete