14437305 calcul integral[1]

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

1/208

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

2/208

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

3/208

CALCUL INTGRAL

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

4/208

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

5/208

CALCUL INTGRAL

Jacques FarautCollection dirige par Daniel Guin

17, avenue du HoggarParc dactivits de Courtabuf, BP 112

91944 Les Ulis Cedex A, France

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

6/208

ISBN : 2-86883-912-6

Tous droits de traduction, dadaptation et de reproduction par tous procds rservs pour touspays. Toute reproduction ou reprsentation intgrale ou partielle, par quelque procd que ce soit, despages publies dans le prsent ouvrage, faite sans lautorisation de lditeur est illicite et constitue unecontrefaon. Seules sont autorises, dune part, les reproductions strictement rserves lusage privdu copiste et non destines une utilisation collective, et dautre part, les courtes citations justifiespar le caractre scientifique ou dinformation de luvre dans laquelle elles sont incorpores (art. L.122-4, L. 122-5 et L. 335-2 du Code de la proprit intellectuelle). Des photocopies payantes peuventtre ralises avec laccord de lditeur. Sadresser au : Centre franais dexploitation du droit de copie,3, rue Hautefeuille, 75006 Paris. Tl. : 01 43 26 95 35.

c 2006, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc dactivits de Courtabuf,91944 Les Ulis Cedex A

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

7/208

TABLE DES MATIRES

Avant-propos v

I Mesure et intgrale 1

I.1 Mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1I.2 Intgrale des fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . . . . 7I.3 Fonctions intgrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

II Mesure de Lebesgue 23

II.1 Un thorme de prolongement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23II.2 Mesure de Lebesgue sur R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29II.3 Intgrales au sens de Riemann et au sens de Lebesgue . . . . . 35

III Espaces Lp 41

III.1 Ingalits de Hlder et de Minkowski, espaces Lp . . . . . . . . 41III.2 Espaces Lp, thorme de Riesz-Fischer . . . . . . . . . . . . . 44III.3 Lespace de Hilbert L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

IV Intgration sur un espace produit 55

IV.1 Produit de deux espaces mesurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 55IV.2 Intgration sur un espace produit . . . . . . . . . . . . . . . . 57

V Intgration sur Rn 65V.1 Mesure de Lebesgue sur Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65V.2 Mesure superficielle sur la sphre . . . . . . . . . . . . . . . . . 67V.3 La formule de changement de variables . . . . . . . . . . . . . 70

VI Mesures de Lebesgue-Stieltjes 81

VI.1 Intgrale de Riemann-Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

8/208

Calcul intgral

VI.2 Mesures de Lebesgue-Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83VI.3 Thorme de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84VI.4 Convergence des mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

VII Fonctions dfinies par des intgrales 93

VII.1 Continuit, drivabilit, analyticit . . . . . . . . . . . . . . . . 93VII.2 Intgrales semi-convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97VII.3 Intgrales de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102VII.4 Intgrales de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

VIII Convolution 113

VIII.1 Convolution et invariance par translation. Exemples . . . . . . 113

VIII.2 Convolution et espaces Lp(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116VIII.3 Approximation de lidentit et rgularisation . . . . . . . . . . 121VIII.4 Convolution des mesures bornes . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

IX Transformation de Fourier 129

IX.1 Transformes de Fourier des fonctions intgrables . . . . . . . 130IX.2 Transformes de Fourier des fonctions de carr intgrable . . . 136IX.3 Transformes de Fourier des mesures bornes . . . . . . . . . . 138

X Sries de Fourier 147X.1 Coefficients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148X.2 Convergence en moyenne quadratique . . . . . . . . . . . . . . 149X.3 Convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152X.4 Convergence ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154X.5 Convergence au sens de Cesaro . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

XI Applications et complments 163

XI.1 Polynmes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

XI.2 quation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173XI.3 Problme de lisoprimtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178XI.4 Phnomne de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180XI.5 La srie de Fourier dune fonction continue converge-t-elle ? . . 182XI.6 Jeu de pile ou face et mesure de Lebesgue . . . . . . . . . . . . 184XI.7 Thorme de la limite centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

Bibliographie 193

Index 195

iv

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

9/208

AVANT-PROPOS

La thorie de lintgration sest dveloppe partir du calcul des aires et desvolumes. Laire dun rectangle est gale au produit a b des longueurs des cts, et,laire dune runion de deux parties disjointes tant gale la somme des aires,laire dun triangle est gale la demi-somme du produit de la longueur dunct par la longueur de la hauteur correspondante. Ensuite laire dun polygonesobtient en le dcomposant en une runion disjointe de triangles. Pour mesurerlaire dun disque de rayon r on le considre comme une runion dune suiteinfinie croissante de polygones, et cest ainsi quon montre que son aire est gale r2 (r tant le rayon, et le nombre tant dfini comme le demi-primtre

dun cercle de rayon 1). Une question se pose alors : peut-on mesurer laire dunepartie quelconque du plan ? Nous devons prciser la question : peut-on attribuer chaque partie A du plan un nombre (A), laire de A, nombre rel positif ounul, ou + ? Cette application doit possder les proprits quon attend de lamesure des aires :

(1) Si A est un rectangle dont les longueurs des cts sont gales a et b, alors(A) = a b.

(2) Si {An} est une suite de parties disjointes deux deux, alors

n=1

An

=

n=1

(An).

(3) Si A et B sont deux parties gales , cest--dire sil existe une isomtriequi transforme A en B, alors (A) = (B).

La rponse cette question est ngative, comme cela a t dmontr par Vitali.Ceci conduit modifier le problme pos. On nexige plus de pouvoir mesurerlaire de toute partie du plan, mais seulement celle dune famille M contenant lesrectangles et stable par runion dnombrable. Les ensembles de la famille M sontappels ensembles mesurables. Ainsi pos le problme admet une solution. Avantdtudier la mesure des aires, nous considrerons la mesure de Lebesgue qui est

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

10/208

Calcul intgral

la solution dun problme analogue pos en dimension un. Ltape suivante est laconstruction de lintgrale par approximation partir de lintgrale de fonctionstages. Dans le cas de lintgrale de Riemann, les fonctions tages considres

sont les fonctions en escalier. En revanche, dans le cas de lintgrale de Lebesgue, cesont des fonctions tages dun type plus gnral : les fonctions mesurables tages.Cette gnralisation est essentielle car elle conduit aux noncs fondamentaux dela thorie de lintgration comme le thorme de convergence domine de Lebesgueet celui de Riesz-Fischer, qui nont pas danalogue dans le cas de lintgrale deRiemann.

La prsentation que nous avons choisie des lments de base de la thoriede la mesure et de lintgrale est proche de celle de lexcellent ouvrage de W.

Rudin, Analyse relle et complexe. Le chapitre I est une prsentation ensemblisteaboutissant aux thormes de convergence monotone et de convergence dominede Lebesgue. Cest au chapitre II quil est montr quil existe une mesure sur ladroite relle pour laquelle la mesure dun intervalle est gale sa longueur. Lesespaces fonctionnels Lp sont tudis au chapitre III. Le thorme de Riesz-Fischerdit que ce sont des espaces norms complets, et ce rsultat est fondamental pourles applications lanalyse fonctionnelle. Le thorme de Fubini que nous voyonsau chapitre IV permet le calcul des intgrales multiples considres au chapitre V.

Dans la prsentation fonctionnelle de la thorie de lintgration, la dfinition

de base est la mesure de Radon qui est une forme linaire positive sur lespace desfonctions continues support compact. Le thorme de Riesz permet de relier lesdeux points de vue : ensembliste et fonctionnel. Nous prsentons cette relation auchapitre VI dans le cas particulier de la droite relle.

Nous avons particulirement dvelopp le chapitre VII sur les fonctions dfi-nies par des intgrales, car nous estimons que son contenu est important par sesapplications lanalyse. Nous tudions en particulier le comportement asympto-tique dintgrales par la mthode de Laplace et par celle de la phase stationnaire

dans le cas des intgrales simples.Les trois chapitres suivants, VIII, IX et X, contiennent les lments de base

de lanalyse harmonique en une variable : convolution sur le groupe additif desnombres rels et analyse de Fourier.

Le calcul intgral est un outil essentiel de lanalyse mathmatique et du calculdes probabilits. Nous lavons illustr en choisissant sept applications qui sontprsentes dans le dernier chapitre. Lquation de la chaleur est importante his-toriquement. Ce sont en effet les travaux de Fourier sur cette quation qui sont lorigine de lanalyse qui porte son nom. Les polynmes orthogonaux interviennentdans de nombreuses questions de physique mathmatique, et leur tude fait ap-pel des domaines varis des mathmatiques : algbre linaire, analyse complexe,

vi

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

11/208

Avant-propos

thorie spectrale, analyse combinatoire. La solution du problme de lisoprimtreest une belle application de lanalyse de Fourier la gomtrie.

Nous ne parlons pas dans ce livre des relations qui existent entre le calcul

intgral et les notions de base du calcul des probabilits. Nous les avons cependantillustres dans deux des complments du chapitre XI : le jeu de pile ou face et lamesure de Lebesgue, et le thorme de la limite centrale.

Chacun des chapitres est suivi dexercices. Certains dentre eux constituentdes complments prsents sous forme de problmes. La bibliographie est loindtre exhaustive. Nous avons seulement indiqu quelques ouvrages classiques dela thorie de la mesure et de lintgration. En plusieurs occasions, nous utilisonsdes rsultats danalyse fonctionnelle pour lesquels nous faisons rfrence au livrede C. Albert, Topologie, et aussi celui de V. Avanissian, Initiation lanalyse

fonctionnelle. Les termes nouveaux sont dfinis dans le texte leur premireoccurence et sont alors crits en caractres italiques. Lindex plac la fin dulivre permet de retrouver cette premire occurence.

Ce livre sadresse aux tudiants de licence de mathmatiques. Il a t rdig partir des notes dun cours donn la facult des sciences de Tunis, et de cellesdun cours donn luniversit Louis Pasteur de Strasbourg. Je tiens remercierDaniel Guin de mavoir encourag tirer de ces notes la matire de ce livre.

vii

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

12/208

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

13/208

I

MESURE ET INTGRALE

Lun des principaux objectifs de ce cours de calcul intgral est la constructionde la mesure et de lintgrale de Lebesgue. Nous commenons par dire ce quest unemesure. Cest une fonction densemble. une partie A dun ensemble X on associeun nombre (A), la mesure de A. Immdiatement, une difficult se prsente car,en gnral, (A) nest dfinie que pour certaines parties de X, appeles ensemblesmesurables. On dfinit ensuite lintgrale dune fonction. Ce chapitre contient

deux thormes fondamentaux du calcul intgral : le thorme de convergencemonotone et le thorme de convergence domine.

I.1. Mesure

Si X est un ensemble, une famille A de parties de X est appele algbre deBoole si

- et X appartiennent A ;- si A appartient A, alors son complmentaire Ac aussi;- si A et B appartiennent A, alors leur runion A B et leur intersection

A B aussi.Un ensemble M de parties de X est appel tribu(ou -algbre de Boole) si M

est une algbre de Boole telle que, si {An} est une suite dlments de M, alorsleur runion n=1An appartient galement M. Le couple (X,M) dun ensembleX et dune tribu M de parties de X est appel espace mesurable et les partiesappartenant M sont appels ensembles mesurables.

De la dfinition dune tribu on dduit immdiatement les proprits suivantes.Soit (X,M) un espace mesurable.

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

14/208

Chapitre I. Mesure et intgrale

- Si A et B sont deux ensembles mesurables, alors leur diffrence A \ B =A (Bc) est aussi mesurable.

- Si

{An

}est une suite densembles mesurables, leur intersection est aussi

mesurable car n=1

An = n=1

Acn

c.

Sur un ensemble X non vide, il existe toujours au moins deux tribus : la tribuconstitue des deux parties et X, et la tribu P(X) de toutes les parties de X.On dit quune tribu M est plus petite quune tribu M si tout lment de Mappartient M. La tribu {, X} est la plus petite des tribus sur X, et P(X)la plus grande. Une intersection quelconque de tribus est une tribu. Si

Dest un

ensemble de parties de X, il existe une plus petite tribu contenant D, savoirlintersection M des tribus contenant D. (Il en existe au moins une : P(X).) Ondit que M est la tribu engendre par D.

Si X est un espace topologique, on notera B(X) la tribu borlienne de X,cest--dire la tribu engendre par les ouverts de X. Ses lments sont appelsensembles borliens. Notons que tout ouvert, tout ferm est un ensemble borlien.Si X = R, la tribu borlienne B(R) est engendre par les intervalles, car toutouvert de R est une runion dnombrable dintervalles ouverts. Soit en effet

un ouvert de R et considrons les intervalles ouverts I =]a, b[ contenus dans pour lesquels les extrmits a et b sont des nombres rationnels. Ces intervallesconstituent une famille dnombrable et leur runion est gale . Si X = R2,la tribu borlienne B(R2) est engendre par les rectangles car tout ouvert de R2

est une runion dnombrable de rectangles ouverts. En effet tout ouvert de R2

est la runion des rectangles R =]a, b[]c, d[ contenus dans pour lesquels lescoordonnes a,b,c,d des sommets sont des nombres rationnels, et ces rectanglesconstituent une famille dnombrable. Plus gnralement la tribu borlienne de Rn

est engendre par les pavs. Rappelons quun pav est un produit dintervalles.

Si (X,M) est un espace mesurable, une fonction f dfinie sur X valeursdans [, ] est dite mesurable si limage rciproque par f de tout intervalle de[, ] est mesurable. Pour que f soit mesurable il faut et suffit que, pour toutnombre rel , lensemble

f1(], ]) = {x X | f(x) > } ()soit mesurable. En effet, si f possde cette proprit, lensemble

f1([, ]) = {x | f(x) } = n=1

x | f(x) > 1

n

2

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

15/208

I.1. Mesure

est aussi mesurable. Par passage au complmentaire on montre que f1([, ])et f1([, [) sont mesurables et par intersection que limage rciproque parf de tout intervalle de [

,

] est mesurable. Notons que dans (

) on peut

remplacer ], ] par [, ], ou [, [, ou [, ].Si f et g sont deux fonctions mesurables sur X valeurs relles, et si est

une fonction continue sur R2 valeurs relles, alors la fonction h dfinie par

h(x) =

f(x), g(x)

est mesurable. En effet, pour tout nombre rel , lensemble

= {(u, v) R2 | (u, v) > }

est un ouvert, et est donc gal une runion dnombrable de rectangles ouverts

=

n=1

Rn, Rn =]an, bn[]cn, dn[.

Les ensembles

{x |

f(x), g(x)

Rn} = {x | an < f(x) < bn}

{x | x < g(x) < dn}

sont mesurables, et de mme lensemble

{x | h(x) > } = {x | f(x), g(x) } = n=1

{x | f(x), g(x) Rn}est mesurable. On en dduit que la somme et le produit de deux fonctions mesu-rables sont mesurables.

Soit {fn} une suite de fonctions mesurables valeurs dans [, ]. Alors lafonction g = supn

0 fn est mesurable. En effet

{x | g(x) > } =n=0

{x | fn(x) > }.

De mme la fonction g = lim supn fn est mesurable. En effet

limsupn

fn(x) = infm0

supnm

fn(x)

.

Si pour tout x la suite{

fn

(x)}

a une limite f(x), alors la fonction f est mesurable.Une fonction f valeurs complexes est dite mesurable si sa partie relle et sa

partie imaginaire sont mesurables.

3

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

16/208


Si X est un espace topologique et si M = B est la tribu borlienne de X,une fonction mesurable est appele fonction borlienne. Notons que les fonctionscontinues sont borliennes.

Une fonction est dite tage si elle ne prend quun nombre fini de valeurs. Unefonction mesurable tage f sur un espace mesurable (X,M) est une combinaisonlinaire de fonctions caractristiques densembles mesurables,

f =Ni=1

aiAi (Ai M).

Rappelons que la fonction caractristique A dune partie A X est la fonction

qui est gale 1 sur A et 0 sur le complmentaire de A.Proposition I.1.1. Soit (X,M) un espace mesurable et soit f une fonction me-surable valeurs dans [0, ]. Il existe une suite croissante {un} de fonctionsmesurables tages valeurs dans [0, [ telle que, pour tout x X,

limnun(x) = f(x).

Dmonstration. Pour tout entier n > 0, et pour 1

i

n2n, posons

An,i =

x i 1

2n f(x) < i

2n

,

Bn = {x | f(x) n}.

Ces ensembles sont mesurables. Soit un la fonction mesurable tage dfinie par

un =n2n

i=1i 1

2nAn,i + nBn.

Montrons que un(x) un+1(x). Pour cela on remarque que, quand on passe de n n + 1, chaque ensemble An,i est partag en deux,

An,i = An+1,2i1 An+1,2i.

Si x An,i, un(x) = i12n , et

si x

An+1,2i1, un+1(x) =

2i 22n+1

=i 1

2n,

si x An+1,2i, un+1(x) = 2i 12n+1

>i 1

2n.

4

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

17/208

I.1. Mesure

Dautre part, Bn est la runion de Bn+1 et des ensembles An+1,i, i variant den2n+1 + 1 (n + 1)2n+1. Si x Bn, un(x) = n, et

si x Bn+1, un+1(x) = n + 1 > n,si x An+1,i, un+1(x) = i 1

2n+1 n (n2n+1 + 1 i (n + 1)2n+1).

Montrons maintenant quen tout point x la suite {un(x)} converge vers f(x). Eneffet, si f(x) < , pour n > f(x),

f(x) un(x) 12n

,

et, si f(x) = , un(x) = n.

Remarquons que si la fonction f est borne (f(x) M < ), la suite {un}converge vers f uniformment.

Une mesuresur un espace mesurable (X,M) est une application de M dans[0, ] vrifiant

- () = 0,- si A et B sont deux ensembles mesurables disjoints,

(A B) = (A) + (B),- si {An} est une suite densembles mesurables deux deux disjoints,

n=1

An

=

n=1

(An).

La somme du second membre peut tre gale +, si lun des nombres (An)est gale +

, ou si la srie est divergente.

Le nombre (A) est appel la mesure de lensemble mesurable A. La mesure(X) de X est appele la masse totale de la mesure . Un espace mesur est untriplet (X,M, ) o est une mesure dfinie sur lespace mesurable (X,M).

Soit X un ensemble et M = P(X) la tribu de toutes les parties de X. Pourx0 X, la mesure de Dirac x0 est dfinie par

x0(E) =1 si x0 E0 sinon.

La mesure de comptage est dfinie par (E) = #(E), o #(E) dsigne le nombredlments de E.

5

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

18/208


Soit {xn} une suite de points de X et {n} une suite de nombres 0. Posons

(E) = {n|xnE}

n.

Ce nombre est bien dfini,

(E) =n=1

nE(xn),

et est une mesure sur (X,M). Pour le vrifier considrons une suite {Ak} den-

sembles deux deux disjoints, et soit E leur runion. Alors

E(x) =k=1

Ak(x),

et

(E) =n=1

n

k=1

Ak(x)

= k=1

n=1

nAk(x)

= k=1

(Ak).

Nous avons utilis le fait suivant : si {upq} est une suite double de nombres 0,alors

p=1

q=1

upq

=

q=1

p=1

upq

( +).

Cette galit signifie que soit les deux membres sont finis et gaux, soit ils sont

tous les deux infinis. Une telle mesure est appele mesure discrte.Si X est un espace topologique et B est la tribu borlienne de X, une mesure

sur lespace mesurable (X,B) est appele mesure borlienne.Soient X = R et B la tribu borlienne de R. Nous montrerons au chapitre II

quil existe une unique mesure sur lespace mesurable (R,B) telle que, si I estun intervalle dextrmits a et b,

(I) = b a.

Cette mesure sappelle la mesure de Lebesgue de R. Nous verrons dautresexemples importants de mesures au chapitre V.

6

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

19/208

I.2. Intgrale des fonctions positives


Nous aurons considrer des fonctions prenant la valeur + et des ensemblesde mesure infinie. Nous adoptons les conventions suivantes :

a + = + a = , si a [0, ],a = a = , si a ]0, ],0 = 0 = 0.

Fixons un espace mesur (X,M, ). Nous dfinissons dabord lintgrale dunefonction mesurable tage, puis cette dfinition sera tendue au cas dune fonction

mesurable positive par passage la borne suprieure.Soit f une fonction mesurable tage valeurs dans [0, ], soient 1, . . . , N

les valeurs prises par f et

Ej = {x X | f(x) = j} (j = 1, . . . , N ).Lintgrale de f est dfinie par

X

f d =N

j=1

j(Ej).

Si f est une combinaison linaire de fonctions caractristiques densembles mesu-rables,

f =

ni=1

aiAi ,

alors

X

f d =n

i=1

ai(Ai).

Il existe en effet des ensembles mesurables disjoints Ck tels que tout ensemble Aisoit une runion de certains des ensembles Ck,

Ai =

pk=1

ikCk ,

o les nombres ik sont gaux 0 ou 1. Par suite

(Ai) =pk=1

ik(Ck).

7

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

20/208


La fonction f scrit

f =

ni=1

ai pk=1

ikCk

=

pk=1

ni=1

aiik

Ck .

Si x appartient lensemble Ck, alors

f(x) =

ni=1

aiik.

Lensemble Ej est donc gal la runion des ensembles Ck pour lesquelsni=1 aiik = j . Par suite lintgrale de f scrit

X

f d =

Nj=1

j(Ej)

=N

j=1

j

{k|ni=1 aiik=j}

(Ck)

=

pk=1

ni=1

aiik

(Ck)

=

ni=1

ai pk=1

ik(Ck)

=

ni=1

ai(Ai).

Soit maintenant f une fonction mesurable valeurs dans [0, ] ; lintgraledef est dfinie par

X

f d = sup

X

u d

u E(X,M), 0 u f

,

o E(X,M) dsigne lespace des fonctions mesurables tages dfinies sur X. Cestun nombre rel positif ou nul, ou +.On vrifie facilement les proprits suivantes de lintgrale. Si f et g sont deux

fonctions mesurables valeurs dans [0, ], et si f g, alorsX

f d X

g d.

Si f est une fonction mesurable valeurs dans [0, ] et si est un nombre rel 0,

X

f d =

X

f d.

8

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

21/208


Si E est un ensemble mesurable et si f est une fonction mesurable valeurs dans[0, ], on note

Ef d =

X f Ed.

Si (E) = 0, alorsE

f d = 0.En revanche, ladditivit de lintgrale nest pas vidente. Elle sera dmontre

en utilisant le thorme fondamental suivant.

TheoremeI.2.1 (Theoreme de convergence monotone (ou theoreme de Beppo-Levi)).

Soit {fn} une suite croissante de fonctions mesurables valeurs dans [0, ] :fn(x)

fn+1(x) (x

X, n

N).

Posonsf(x) = lim

n fn(x).

Alors la fonction f est mesurable etX

f d = limn

X

fn d.

Nous utiliserons le lemme suivant.

LemmeI.2.2. Soit u une fonction mesurable tage valeurs dans [0, ]. Pourun ensemble mesurable E, on pose

(E) =

E

ud.

Alors est une mesure sur lespace mesurable (X,M).

Dmonstration. La fonction u scrit

u =ni=1

aiAi ,

avec ai 0, Ai M. Soit {Ek} une suite densembles mesurables deux deuxdisjoints et soit E leur runion, alors

(E) =

ni=1

ai(Ai E) =ni=1

ai

k=1

(Ai Ek)

= k=1

ni=1

ai(Ai Ek)

= k=1

(Ek).

9

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

22/208


Dmonstration du thorme I.2.1. Comme limite simple de la suite des fonctionsmesurables fn, la fonction f est mesurable. La suite des intgrales

X

fnd estcroissante ; soit a sa limite. Puisque fn

f,

X

fn d X

f d,

et par suite

a X

f d.

Soit u une fonction mesurable tage telle que 0 u f. Nous allons montrerque

X

u d a,

ce qui implique X

f d a,

et le thorme sera dmontr. Soit c un nombre rel, 0 < c < 1. Posons

En =

{x

X

|fn(x)

cu(x)

}.

Les ensembles En sont mesurables, En En+1, etn=1

En = X.

Dautre part

Xfn d En

fn d cEnud.

Daprs le lemme

limn

En

u d =

X

ud,

et par suite

a cX

ud.

Cette ingalit a lieu pour tout c, 0 < c < 1, donc a X

u d et a X

f d .

Il existe un nonc relatif une suite dcroissante de fonctions mesurables.Voir ce sujet lexercice 1.

10

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

23/208


CorollaireI.2.3(Lemme de Fatou). Soit {fn} une suite de fonctions mesurables valeurs dans [0, ], alors

X

lim infn fn

d lim inf

nX

fn d.

Dmonstration. La suite des fonctions

gk = infnk

fn

est croissante, de limite lim infn fn. La suite des nombres

ak = infnk

X

fn d

est croissante de limite lim infnX

fn d. Pour n k, gk fn, doncX

gk d ak,

et daprs le thorme de convergence monotone (I.2.1)

limk

X

gkd =

X

lim infn fn

d.

Nous obtenons finalementX

lim infn fn

d lim

kak = lim inf

n

X

fn d.

Lingalit peut tre stricte comme le montre lexemple suivant : soient X =

]0, [, et fn(x) = nenx

, alors0

fn(x)dx = 1, x > 0, limn fn(x) = 0.

Nous pouvons maintenant montrer ladditivit de lintgrale.

Proposition I.2.4. Soient f et g deux fonctions mesurables valeurs dans [0, ].

AlorsX

(f + g) d =X

f d +X

g d.

11

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

24/208


Dmonstration. Si f et g sont tages,

f =

ni=1

aiAi , g =

pj=1

bjBj (Ai, Bj M),

alors X

(f + g) d =ni=1

pj=1

(ai + bj)(Ai Bj)

=n

i=1

ai(Ai) +

p

j=1

bj(Bj) = X f d + X g d.Si f et g sont mesurables, il existe des suites croissantes de fonctions mesurablestages un et vn telles que

limn un(x) = f(x), limn vn(x) = g(x).

Pour tout n,

X

(un + vn) d = X

un d + X

vn d,

et daprs le thorme de convergence monotone, quand n tend vers linfini,X

(f + g) d =

X

f d +

X

g d.

Cette proprit dadditivit se gnralise comme suit.

TheoremeI.2.5. Soit{fn} une suite de fonctions mesurables valeurs dans [0, ].La fonction F dfinie par

F(x) =

n=1

fn(x)

est mesurable et X

F d =n=1

X

fnd.

Dmonstration. Posons

Fn(x) =n

k=1

fk(x).

12

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

25/208

I.3. Fonctions intgrables

Daprs la proposition prcdente,

X

Fnd =

n

k=1

X

fkd.

La suite des fonctions Fn est croissante de limite F, donc, daprs le thorme deconvergence monotone (I.2.1),

X

F d = limn

X

Fn d =

k=1

X

fk d.

Soient une mesure sur lespace mesurable (X,M) et h une fonction mesurable

0 sur X. Pour un ensemble mesurable E, posons(E) =

E

hd.

Alors est une mesure sur (X,M). On dit que est la mesure de densit h parrapport .


Soit (X,M, ) un espace mesur. Une fonction f dfinie sur X valeurs com-plexes est dite intgrable si elle est mesurable et si

X

|f| d < .

Si f est valeurs relles, lintgrale de f est par dfinition le nombre

X f d = X f+ d X f

d,

et si f est valeurs complexes, f = u + iv, o u et v sont des fonctions valeursrelles,

X

f d =

X

u d + i

X

v d.

Lensemble L(X,M, ) des fonctions intgrables est un espace vectoriel sur C,et, si f et g sont intgrables, C,

X

(f + g) d = X

f d + X

g d,X

(f) d =

X

f d.

13

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

26/208


Si (X,M, ) = (R,B, ), o est la mesure de Lebesgue que nous tudieronsen II.2, et quand il sera ncessaire de le prciser, on dira intgrable au sens deLebesgue, pour distinguer cette notion de celle de fonction intgrable au sens de

Riemann. Nous verrons en II.3 quune fonction intgrable au sens de Riemannest intgrable au sens de Lebesgue. Sagissant de lespace mesur (R,B, ), nousnous permettrons dutiliser la notation classique

f(x)dx,

au lieu de

],[ fd.Proposition I.3.1. Si f est une fonction intgrable,

X

f d

X

|f| d.

Dmonstration. Il existe un nombre complexe de module un tel queX

f d = X

f d.

Notons que la partie relle de f, note (f), vrifie lingalit (f) |f|, etpar suite

X

f d =

X

f d =

X

f d

=

X

(f) d X

|f| d.

Voici le deuxime thorme fondamental de la thorie de lintgration, le tho-

rme de convergence domine. Nous en donnons dabord un premier nonc pro-visoire.

TheoremeI.3.2. Soit {fn} une suite de fonctions intgrables vrifiant :- en tout point x la suite{fn(x)} a une limite f(x),- il existe une fonction positive intgrable g telle que, pour tout n et tout x,

|fn(x)| g(x).Alors la fonction f est intgrable et

limn

X

fn d =X

f d.

14

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

27/208


Dmonstration. La fonction f, tant limite simple dune suite de fonctions mesu-rables, est mesurable, et, puisque |f| g, la fonction f est intgrable. Nous allonsmontrer que

limn

X

|fn f| d = 0.

Lnonc sen dduira puisque

X

fn d X

f d

X

|fn f| d.

En appliquant le lemme de Fatou la suite des fonctions

hn = 2g |fn f|,nous obtenons

X

2g d lim infn

X

(2g |fn f|) d

=

X

2g d lim supn

X

|fn f| d.

Donc

lim supn

X

|fn f| d = 0,

et

limn

X

|fn f| d = 0.

Un ensemble N est dit ngligeablesil est mesurable et sil est de mesure nulle.Une runion dnombrable densembles ngligeables est ngligeable. On dit quuneproprit P a lieu presque partout sur un ensemble E sil existe un ensemblengligeable N tel que la proprit ait lieu en tout point de E\ N. Par exempleon dit que deux fonctions f et g sont gales presque partout, et on note

f(x) = g(x) p.p.,

sil existe un ensemble ngligeable N tel que f(x) = g(x) en tout point du com-plmentaire de N. Si f et g sont deux fonctions intgrables gales presque par-tout, leurs intgrales sont gales. De mme on dit quune suite de fonctions {fn}converge vers f presque partout, et on note

limn fn(x) = f(x) p.p.,

15

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

28/208


sil existe un ensemble ngligeable N tel que

limn

fn(x) = f(x)

en tout point x du complmentaire de N.

Proposition I.3.3. Soit f une fonction mesurable valeurs dans [0, ].(i) Pour tout nombre > 0,

{x | f(x) } 1

X

f d.

(ii) Si X f d = 0, alors f est nulle presque partout.Dmonstration. Posons

E = {x | f(x) },alors f E , et donc

X

f d (E).

Si

X

f d = 0, alors pour tout > 0, (E) = 0, et lensemble

{x | f(x) > 0} = n=1

E1n

est ngligeable.

Si f est une fonction mesurable valeurs dans [0, ] telle queX

f d < ,

alors f est finie presque partout, cest--dire que lensemble

N = {x | f(x) = }est ngligeable.

Dans la suite nous serons amens considrer des fonctions f qui ne sontdfinies que presque partout, cest--dire dans le complmentaire dun ensemblengligeable. Une fonction f dfinie dans le complmentaire dun ensemble ngli-

geable N est dite mesurable si la fonction f, dfinie parf(x) = f(x) si x N, f(x) = 0 si x N,

16

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

29/208


est mesurable. De mme f est dite intgrable si f est intgrable, et on pose alors

X

f d =

X

f d.Le thorme de convergence domine de Lebesgue peut tre reformul de la

faon suivante.

TheoremeI.3.4(Theoreme de convergence dominee). Soit{fn} une suite de fonc-tions intgrables vrifiant

- pour presque tout x la suite{fn(x)} a une limite f(x),- il existe une fonction positive intgrable g telle que, pour tout n et presque

tout x,|fn(x)| g(x).

Alors la fonctionf (qui en gnral nest dfinie que presque partout) est intgrableet

limn

X

fn d =

X

f d.

TheoremeI.3.5(Integration terme a terme dune serie). Soit {fn} une suite de fonctions mesurables.

(i) Alors

X

n=1

|fn| d =

n=1

X |fn| d.Ou bien les deux membres sont gaux un nombre rel fini 0, ou bien ils sonttous deux infinis.

(ii) Si les deux membres sont finis, chaque fonction fn est intgrable, et lasrie

n=1

fn(x)

converge presque partout. Sa somme est une fonction intgrable et

X

n=1

fn

d =n=1

X

fn d.

Dmonstration. (a) Posons

G(x) =n=1

|fn(x)|.

Daprs le thorme sur lintgration terme terme dune srie de fonctions posi-tives (I.2.5),

X

Gd =n=1

X

|fn| d.

17

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

30/208


(b) Si G est intgrable, G(x) est fini presque partout, la srie

n=1 |fn(x)|

converge presque partout, et il en est de mme de la srie

n=1

fn(x).

Notons F(x) la somme de cette srie. La fonction F est dfinie presque partout.Posons

Fn(x) =n

k=1

fk(x).

Pour presque tout x,limnFn(x) = F(x),

et

|Fn(x)| n

k=1 |fk(x)| G(x).Nous pouvons donc appliquer le thorme de convergence domine (I.3.4) :

X

F d = limn

X

Fnd

= limn

nk=1

X

fkd =

k=1

X

fkd.

En gnral, il se peut quune partie dun ensemble ngligeable ne soit pasmesurable. Si cependant cest le cas, on dit que lespace mesur (X,M, ) estcomplet. Sil nest pas complet il est possible de le complter. On dfinit la tribucomplte comme suit : une partie E X appartient M sil existe A, B Mtels que

A E B, (B \ A) = 0,et on pose (E) = (A). Alors M est une tribu, et est une mesure sur lespacemesurable (X,M). Pour le montrer considrons une suite {En} densembles deM. Pour tout n il existe des ensembles An et Bn de M tels que

An En Bn, (Bn \ An) = 0.

18

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

31/208

Exercices

Alors

n=1

An

n=1

En

n=1

Bn,

et

n=1

Bn \n=1

An

= 0

puisquen=1

Bn \n=1

An n=1

(Bn \ An).

On montre aussi que (X,M, ) est un espace mesur complet.

Exercices

ExerciceI.1. Soit (X,M, ) un espace mesur.a) Soit {An} une suite dcroissante densembles mesurables. Montrer que, si

(A1) < , alorslimn(An) =

n=1An

.

Est-ce encore vrai sans faire lhypothse (A1) < ?b) Soit {fn} une suite dcroissante de fonctions mesurables 0. Montrer

que, si f1 est intgrable,

limn

X

fn d =

X

limn fn

d.

Est-ce encore vrai sans faire lhypothse que f1 est intgrable ?

ExerciceI.2. Soit (X,M, ) un espace mesur et soit{

An}

une suite densemblesmesurables. Pour un entier m 1 on note Bm lensemble des x X quiappartiennent au moins m des ensembles An. Montrer que Bm est mesurableet que

(Bm) 1m

n=1

(An).

ExerciceI.3. Soit (X,M) un espace mesurable, et soit {fn} une suite de fonctionsmesurables valeurs relles ou complexes. Montrer que lensemble des pointsx

X o la suite

{fn

(x)}

est convergente et mesurable.Indication : on pourra montrer que lensemble des points x X o la suite{fn(x)} est de Cauchy et mesurable.

19

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

32/208


ExerciceI.4. Montrer que, pour , > 0,

0

xex

1 ex dx =n=0

1

( + n)2 .

ExerciceI.5. Soient , > 0.a) Montrer que 1

0

x1

1 + xdx =

n=0

(1)n + n

.

Indication : on pourra utiliser lidentit

11 t = 1 + + t

n + tn+1

1 t .

En dduire que

n=0

(1)nn + 1

= ln 2,

n=0

(1)n2n + 1

=

4.

b) Montrer que, si 0 < < 1,

0

x1

1 + xdx =

1

+

n=1

(1)n 22 n2 .

ExerciceI.6. Le but de cet exercice est dvaluer lintgrale de Gauss

ex2

dx =

.

a) Montrer que

limn

n0

1 x

2

n

ndx =

0

ex2

dx.

Vrifier que n0

1 x

2

n

ndx =

n

2

0cos2n+1 d.

b) Lintgrale de Wallis Im est dfinie par

Im =

2

0cosm d,

20

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

33/208

Exercices

et on tablit que

I2n =1 3 (2n 1)

2 4 (2n)

2, I2n+1 =

2 4 (2n)3 5 (2n + 1)

.

Montrer que

1 I2nI2n+1

I2n1I2n+1

= 1 +1

2n,

limn

I2n

I2n+1= 1,

et que

Im

m (m ).c) En dduire que

0ex

2dx = 12

.

ExerciceI.7. Soient > 1, 0. Montrer que

limm

m0

x(ln x)

1 xm

mdx =

0

x(ln x)ex dx.

En dduire que 0

ex ln x dx = ,

o est la constante dEuler dfinie par

= limm

mk=1

1

k ln m

.

21

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

34/208

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

35/208

II

MESURE DE LEBESGUE

Nous allons montrer dans ce chapitre quil existe une mesure sur la tribuborlienne de la droite relle telle que la mesure dun intervalle soit gale salongueur. Cest la mesure de Lebesgue de la droite relle. Pour cela nous tablironsdabord un thorme de prolongement qui sera aussi utilis ultrieurement pourla construction du produit de deux mesures au chapitre IV.

II.1. Un thorme de prolongement

Soit X un ensemble et A une algbre de Boole de parties de X. Dans cettesection les ensembles de A seront appels ensembles lmentaires, et une combinai-son linaire de fonctions caractristiques densembles lmentaires sera appellefonction lmentaire.

TheoremeII.1.1. Soit une application

: A [0, ],

telle que, si {An} est une suite densembles de A deux deux disjoints dont larunion A est aussi un ensemble lmentaire, alors

(A) =

n=1

(An).

On suppose que est -finie, cest--dire quil existe une suite densembles XndeA tels que, pour tout n, (Xn) < , et dont la runion est gale X. Alors

se prolonge de faon unique en une mesure sur la tribuM engendre parA.

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

36/208

Chapitre II. Mesure de Lebesgue

Ce prolongement, que nous noterons aussi, possde les proprits suivantes.(1) Soit E un ensemble mesurable. Pour tout > 0 il existe une suite {An}

densembles lmentaires telle que

E n=1

An,

et n=1

(An) (E) + .

(2) Soit f une fonction intgrable, relativement lespace mesur (X,M, ).Il existe une suite

{fn}

de fonctions lmentaires intgrables telle que

limn

X

|fn f| d = 0.

Dmonstration. Lunicit rsulte de la remarque suivante : si et sont deuxmesures sur lespace mesurable (X,M), les ensembles mesurables E pour lesquels(E) = (E) constituent une sous-tribu de M. Ainsi, si les mesures et con-cident sur une famille densembles qui engendre M, elles sont gales.

La dmonstration de lexistence se fait en plusieurs tapes.

(a) Soit {An} une suite densembles lmentaires dont la runion contient unensemble lmentaire A, alors

(A) n=1

(An).

PosonsBn = AAn,Cn =

nk=1

Bk \n1k=1

Bk, C1 = B1.

Les ensembles Cn sont lmentaires, deux deux disjoints, et

A =n=1

Bn =n=1

Cn, Cn Bn An,

donc

(A) =n=1

(Cn) n=1

(An).

24

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

37/208

II.1. Un thorme de prolongement

On dfinit la mesure extrieure (E) dune partie E de X par

(E) = inf

k=1(An)

An A, E

n=1

An

.

Daprs ce qui prcde, si E est un ensemble lmentaire, alors (E) = (E).

(b) Si {En} est une suite de parties de X, de runion E, alors

(E)

n=1 (En).

Si (En) = pour un certain n, cest vident. Supposons que (En) < pour tout n. Soit > 0. Pour tout n il existe une suite densembles lmentairesAn,k telle que

En k=1

An,k,

k=1

(An,k) (E) + 2n

.

Puisque

E n=1

k=1

An,k,

il en rsulte que

(E) n=1

k=1

(An,k) n=1

(En) + .

Cette ingalit ayant lieu pour tout > 0,

(E) n=1

(En).

(c) La diffrence symtrique de deux parties A et B de X est lensembleAB = (A \ B) (B \ A), ce qui peut se traduire par AB = |A B |.Dfinissons lcart de A et B par

(A, B) = (AB).

25

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

38/208


On tablit sans peine les proprits suivantes.

(A, B) (A, C) + (C, B),(A1 A2, B1 B2) (A1, B1) + (A2, B2),(A1 A2, B1 B2) (A1, B1) + (A2, B2),(A1 \ A2, B1 \ B2) (A1, B1) + (A2, B2),

|(A) (B)| (A, B).Une partie E de X est dite intgrablesil existe une suite densembles lmentairesAn tels que (An) < pour tout n, et

limn (An, E) = 0.

Si E et F sont des ensembles intgrables, alors E F, E F et E\ F sont int-grables. Soit E une partie de X. Sil existe une suite {En} densembles intgrablestelle que

limn (En, E) = 0,

alors E est intgrable.

NotonsM lensemble des parties de X qui sont runions de suites densembles

intgrables. Nous allons montrer que M est une tribu, et que la restriction de M est une mesure sur lespace mesurable (X,M).

(d) Si A et B sont deux ensembles intgrables, alors

(A) + (B) = (A B) + (A B).

Il existe deux suites {An} et {Bn} densembles lmentaires telles que, pourtout n, (An) 0 ilexiste une suite {In} dintervalles telle que

E n=1

In,

et

n=1

(In)

(E) + .

(iii) Sif est une fonction intgrable, il existe une suite de fonctions intgrablesen escalier telle que

limn

R

|fn f| d = 0.

Rappelons quune fonction en escalier dfinie sur un intervalle dextrmits et ( < ) est une fonction f pour laquelle il existe une subdivision

= x0 < x1 < < xn = ,et des nombres A0, . . . An1 tels que

f(x) = Ai si x ]xi, xi+1[.

Dmonstration du thorme II.2.1. Elle se fait en plusieurs tapes.

(a) Si I1, . . . , I n sont des intervalles deux deux disjoints, tous contenus dansun intervalle I, alors

nk=1

(Ik) (I).

30

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

43/208

II.2. Mesure de Lebesgue sur R

Notons ak et bk les extrmits de Ik, a et b celles de I. Nous pouvons supposerque

a a1 b1 a2 bn b,et alors

nk=1

(bk ak) b a.

(b) Si K = [a, b] est un intervalle ferm born contenu dans la runion desintervalles ouverts Uk =]ak, bk[ (k = 1,

, n), alors

(K) n

k=1

(Uk).

Lextrmit a appartient lun des intervalles Uk, soit Uk1 . Si bk1 b, il existek2 tel que bk1 appartienne Uk2. Nous construisons ainsi une suite dindices kijusqu ce que bkm > b. Ainsi

ak1 < a < bk1 , akm < b < bkm, aki+1 < bki < bki+1,

et par suite

(K) mi=1

(Uki).

(c) Si {In} est une suite dintervalles dont la runion contient lintervalle I,alors

(I) n=1

(In).

Nous pouvons supposer que (In) < pour tout n. Considrons dabord lecas o (I) < . Soit > 0. Il existe un intervalle ferm born K I tel que

(I) (K) + ,

et des intervalles ouverts Un tels que In Un, et(Un) (In) + 2n.

31

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

44/208


Les intervalles ouverts Un recouvrent le compact K, on peut donc en extraire unrecouvrement fini, et, daprs (b),

(K) n=1

(Un).

Par suite

(I) k=1

(In) + 2.

Ceci tant vrai pour tout > 0, le rsultat annonc sen dduit.Si (I) = , pour tout A > 0 il existe un intervalle compact K contenu dans

I tel que (K) A. La dmonstration se poursuit comme prcdemment.(d) Si {In} est une suite dintervalles deux deux disjoints dont la runion

est un intervalle I, alors

(I) =n=1

(In).

De (a) il rsulte que pour tout N

Nn=1

(In) (I),

et daprs (c)

(I) n=1

(In).

(e) Si

{En

}est une suite densembles lmentaires deux deux disjoints dont

la runion est aussi un ensemble lmentaire, alorsn=1

(En) = (E).

Nous pouvons supposer que les ensembles En sont des intervalles. LensembleE est la runion dintervalles Ik (k = 1, , K) que lon peut supposer deux deux disjoints. Daprs (d)

(Ik) =n=1

(Ik En),

32

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

45/208

II.2. Mesure de Lebesgue sur R

et aussi

(En) =K

k=1

(Ik En),

et le rsultat annonc sen dduit.

Lespace mesur (R,B, ) est invariant par translation, cest--dire que si Eest un ensemble borlien et a est un nombre rel, lensemble E + a est aussiborlien et

(E + a) = (E).

En effet la tribu borlienne est la plus petite tribu contenant les intervalles, et letranslat dun intervalle est un intervalle, par suite le translat dun ensemble bo-

rlien est aussi un ensemble borlien. Soit a un nombre rel. Pour tout borlien E,posons

(E) = (E + a).

Ceci dfinit une mesure sur (R,B), et pour tout intervalle I

(I) = (I),

donc = .

Proposition II.2.3. Si est une mesure sur (R,B) qui est invariante par transla-tion et pour laquelle la mesure dun intervalle born est finie, alors il existe uneconstante c telle que = c.

Dmonstration. Posons c = ([0, 1[). Soit I = [a, b[ un intervalle dont les extrmitsa et b sont des nombres rationnels. Des proprits dadditivit et dinvariance dela mesure on dduit que

([a, b[) = c(b a).La proposition rsulte alors du fait que les intervalles de ce type engendrent latribu borlienne B de R.

Dans cette section nous appelerons mesurable une partie de R appartenant la tribu complte de la tribu borlienne B relativement la mesure de Lebesgue, cest--dire quun ensemble E est mesurable sil existe deux ensembles borliensA et B tels que

A E B, (B \ A) = 0.

La mesure de E est alors par dfinition(E) = (A).

33

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

46/208


Proposition II.2.4. Soit E un ensemble mesurable.

(i) (E) = inf{(U) | U ouvert, E U}.(ii) (E) = sup

{(K)

|K compact, K

E

}.

Dmonstration. (a) Si (E) = cest vident. Supposons (E) < et soit > 0.Il existe une suite dintervalles In telle que

E n=1

In,

n=1

(In) (E) + ,

et, pour tout n, il existe un intervalle ouvert Un contenant In tel que

(Un) (In) + 2n.

Soit U la runion des intervalles Un. Cest un ouvert qui contient E et

(U) k=1

(Un) n=1

(In) + (E) + 2.

(b) Supposons dabord que (E) < , et soit > 0. Il existe un intervallecompact I tel que

(E I) (E) .Posons F = I\ E. Daprs (a) il existe un ouvert U contenant F tel que

(U) (F) + .

Puis posons K = I\

U. Cest un compact contenu dans E et

(I) = (K) + (U I) (K) + (F) + ,

donc

(K) (I) (F) = (E I) ,et par suite

(K) (E) 2.Si (E) = , pour tout A > 0 il existe un intervalle compact I tel que

(E I) A, et la dmonstration se poursuit comme prcdemment .

34

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

47/208

II.3. Intgrales au sens de Riemann et au sens de Lebesgue

II.3. Intgrales au sens de Riemannet au sens de Lebesgue

Rappelons dabord la dfinition de lintgrale au sens de Riemann sur unintervalle ferm born [a, b] de R. Soit u une fonction en escalier dfinie sur [a, b].Il existe une subdivision

a = x0 < x1 < . . . < xn = b,

et des nombres A0, . . . , An1 tels que

u(x) = Ai si x

]xi, xi+1[.

Lintgrale de u est dfinie par

ba

u(x)dx =n1i=1

Ai(xi+1 xi).

On vrifie que cette dfinition est indpendante du choix de la subdivision et quelintgrale est une forme linaire sur lespace E0(a, b) des fonctions en escalier sur[a, b].

Si f est une fonction dfinie sur [a, b] valeurs relles et borne, on pose

U0(f) = supb

a

u(x)dx u E0(a, b), u f,

V0(f) = infb

a

v(x)dx v E0(a, b), v f.

La fonction f est dite intgrable au sens de Riemannsi U0(f) = V0(f). Lintgraleau sens de Riemann de f est alors le nombreb

a

f(x)dx = U0(f) = V0(f).

Pour quune fonction borne f soit intgrable au sens de Riemann il faut et ilsuffit que pour tout > 0, il existe deux fonctions u, v E0(a, b) telles que

u f v,ba

(v u)dx .

Considrons maintenant un espace mesur complet (X,M, ) et supposonsque la masse totale de la mesure soit finie : (X) < . Pour une fonction f

35

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

48/208


dfinie sur X valeurs relles et borne, posons

U(f) =

X

u d u E(X,M), u f,V(f) =

X

v d v E(X,M), v f.

(Rappelons que E(X,M) dsigne lespace des fonctions mesurables tages dfiniessur X.) Si f est mesurable alors U(f) = V(f), et

X

f d = U(f) = V(f).

Rciproquement nous allons voir que si U(f) = V(f), alors f est mesurable. Eneffet si cest le cas, pour tout > 0, il existe u, v E(X,M) telles que

u f v,X

(v u) d .

Ainsi il existe des suites {un} et {vn} de fonctions mesurables tages telles que

un

f

vn,

X

(vn

un) d

1

n

.

PosonsUn = sup

knuk, Vn = inf

knvk.

Les fonctions Un et Vn sont mesurables tages, la suite {Un} est croissante, lasuite {Vn} est dcroisante et

X (Vn Un) d 1

n.

De plus

limn

X

Un d = U(f), limn

X

Vn d = V(f).

Posonsg(x) = lim

nUn(x), h(x) = limnVn(x).

Les fonctions g et h sont mesurables, et g f h. Du thorme de convergencemonotone (I.2.1) il rsulte que

X

(h g) d = V(f) U(f) = 0,

36

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

49/208

Exercices

donc f = g = h presque partout, et

X

f d =

U(f) =

V(f).

Ainsi f est intgrable relativement lespace mesur (X,M, ) si et seulement siU(f) = V(f).

Considrons le cas o X = [a, b], M est la tribu complte de la tribu bor-lienne relativement la mesure de Lebesgue, et = est la mesure de Lebesgue.Pour toute fonction f dfinie sur [a, b] valeurs relles et borne,

U0(f) U(f) V(f) V0(f).

Ainsi, si f est intgrable au sens de Riemann elle est intgrable au sens deLebesgue, et les deux dfinitions dintgrale concident. Par contre une fonction fpeut tre intgrable au sens de Lebesgue sans tre intgrable au sens de Riemann,cest--dire que U(f) = V(f), mais que U0(f) < V0(f). Cest en effet le cas pourla fonction f dfinie sur [0, 1] par

f(x) =

1 si x Q [0, 1],0 sinon.

Dans ce cas U0(f) = 0, V0(f) = 1, U(f) = V(f) = 0.

Exercices

ExerciceII.1. Ensemble triadique de Cantor. Soit un nombre rel tel que 0 < 1. On va dfinir une suite dcroissante de ferms Fn [0, 1]. Lensemble deCantor K sera dfini par

K =

n=0

Fn.

La suite Fn est dfinie par rcurrence de la faon suivante. On pose F0 = [0, 1].Lensemble F1 est le complmentaire dans F0 de lintervalle ouvert de centre 12et de longueur 3 :

F1 = I11 I21 , I11 =

0,

1

2

6

, I21 =

12

+

6, 1

.

On effectue sur chacun des intervalles I11 et I21 la mme opration en remplaant

par

3 . Ainsi, siFn = I

1n . . . I2

n

n , Ikn = [a

kn, b

kn] (1 k 2n),

37

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

50/208


alorsFn+1 = I

1n+1 . . . I2

n+1

n+1 ,

avecI2k1n+1 =

akn,

akn + bkn

2

2 3n+1

, I2kn+1 =akn + bkn

2+

2 3n+1 , bkn

.

a) Montrer que

(Fn) = 1 3

29

2n13n

.

b) Montrer que K est un ensemble compact dintrieur vide, et que (K) =1

.c) Considrons les dveloppements triadiques infinis des nombres de [0, 1].

Tout nombre x [0, 1] scritx = 0, a1a2 . . . an . . . ,

o {an} est une suite de nombres gaux 0, 1 ou 2, cest--dire

x =n=1

an

3n.

Lcriture nest pas unique lorsque x est un nombre triadique, cest--dire si

x =

Nn=1

an

3n(aN = 0),

qui scrit x = 0, a1a2 . . . aN, car x est aussi gal

x =N1

n=1aN

3n+

aN13N

+

n=N+12

3n,

cest--dire quil scrit aussi

x = 0, a1a2 . . . aN1aN . . . an . . . ,

o aN = aN 1, et an = 2 si n N + 1.Montrer que lensemble de Cantor K1 est gal lensemble des nombres qui

scriventx = 0, a1a2 . . . an . . .

o{

an}

est une suite de nombres gaux 0 ou 2. Montrer que K1

nest pasdnombrable. Ainsi K1 est un ensemble compact non dnombrable de mesurenulle.

38

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

51/208

Exercices

ExerciceII.2 (Thorme dEgoroff). SoitB la tribu borlienne de R, et soit E unensemble borlien de mesure finie, (E) < . Soit {fn} une suite de fonctionsmesurables dfinies sur E valeurs relles, convergeant en tout point de E vers

une fonction f.a) Pour fix, et pour tout entier n on pose

Fn = {x E | |fn(x) f(x)| > }, Gn =kn

Fk.

Montrer quelimn(Gn) = 0.

b) Montrer que, pour tous > 0 et > 0, il existe un borlien A E, demesure (A) < , et un entier N tel que

n N, x E\ A, |fn(x) f(x)| .

c) Montrer que, pour tout > 0, il existe un borlien A E, de mesure(A) , tel que la suite {fn} converge uniformment sur E\ A.Indication : appliquer le rsultat de b) des suites {k} et {k} convenables.ExerciceII.3 (Thorme de Lusin). Soit B la tribu borlienne de R, et soit E un

ensemble borlien de mesure finie, (E) < .a) Soit f une fonction mesurable tage valeurs relles dfinie sur E. Mon-

trer que, pour tout > 0, il existe un compact K E tel que (E\ K) etque f soit continue sur K.Indication : on utilisera le fait suivant ; soit A un borlien de mesure finie. Pourtout > 0 il existe un compact K A tel que (A \ K) .

b) Soit f une fonction mesurable dfinie sur E valeurs relles. Montrerque, pour tout > 0, il existe un borlien A tel que (A) et que f soitcontinue sur E

\A.

Indication : on considrera une suite {fn} de fonctions mesurables tages tellesque |fn| |fn+1| qui converge vers f en tout point de E, et on appliquera lethorme dEgoroff (exercice II.2).

39

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

52/208

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

53/208

III

ESPACES Lp

Les espaces Lp jouent un rle important en analyse fonctionnelle. Nous verronsdans ce chapitre que Lp est un espace de Banach, cest--dire un espace normcomplet. Cest le thorme de Riesz-Fischer. En particulier L2 est un espace deHilbert. Cest un rsultat important par ses applications lanalyse. Il ny apas dnonc analogue pour lintgrale de Riemann, et nous avons ici lune desprincipales justifications de lintroduction de la thorie de lintgrale de Lebesgue.

III.1. Ingalits de Hlder et de Minkowski, espaces Lp

Soit (X,M, ) un espace mesur. Pour 1 p < , on note Lp(X,M, )lensemble des fonctions mesurables f valeurs complexes telles que

X

|f|p d < ,

et, pour une telle fonction, on pose

fp =

X

|f|p d 1p

.

Pour p = 1 il est clair que L1(X,M, ) est un espace vectoriel, cest lespace desfonctions intgrables, et f f1 est une semi-norme. Pour p > 1 ce sont lesingalits de Hlder et de Minskowski qui permettent de montrer que

Lp(X,M, )

est un espace vectoriel et que f fp est une semi-norme sur cet espace. Nousallons dabord tablir le lemme de convexit suivant.

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

54/208

Chapitre III. Espaces Lp

LemmeIII.1.1. Soient et 0, tels que + = 1, et soient u, v [0, ].Alors

uv

u + v.

Dmonstration. On peut supposer que 0 < u, v < , sinon lingalit est vidente,et donc poser u = es, v = et. La fonction exponentielle tant convexe,

es+t es + et,

cest--direuv u + v.

Deux nombres rels positifs p et q sont appels exposants conjugus sils vri-fient la relation

1

p+

1

q= 1.

Cette relation implique que p et q sont suprieurs 1. Notons que p = 2 est gal son conjugu q = 2. Si p tend vers 1 alors q tend vers linfini. On dira que 1 et sont conjugus.

TheoremeIII.1.2(Inegalites de Holder et de Minkowski).Soient

pet

qdeux expo-sants conjugus, 1 < p, q < , et soient f et g deux fonctions mesurables

valeurs dans [0, ]. Lingalit de Hlder scritX

fg d

X

fp d 1p

X

gq d 1q

,

et lingalit de Minkowski

X(f + g)

p

d 1p X fp d

1p

+

X g

p

d 1p

.

Dmonstration. (a) Ingalit de Hlder. Posons

A =

X

fp d 1p

, B =

X

gq d 1q

.

Si A = 0, alors f = 0 p.p., donc

X

f g d = 0. Si A = , lingalit est vidente.On peut donc supposer que 0 < A, B 0.

Puisque, pour p > 1, la fonction t tp est convexe,f + g

2

p 12 (fp + gp),et donc

X

(f + g)p d < .

Appliquons lingalit de Hlder au produit f(f + g)p1,X

f(f + g)p1 d

X

fp d 1p

X

(f + g)p d 1q

,

car (p 1)q = p. De mme avec le produit g(f + g)p1,X

g(f + g)p1 d

X

gp d

1p

X

(f + g)p d

1q,

et additionnons ces deux ingalits,X

(f + g)p d

X

fp d 1p

+

X

gp d 1p

X

(f + g)p d1q

.

Lingalit dmontrer sen dduit.

CorollaireIII.1.3. Pour1 p < lensembleLp(X,M, ) est un espace vectorielsurC et lapplication f fp est une semi-norme sur cet espace vectoriel.

43

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

56/208


Dmonstration. Cest une consquence de lingalit de Minkowski.

Soient p et q deux exposants conjugus, 1 < p, q < , soient f une fonctionde L

p

et g une fonction de Lq

. De lingalit de Hlder on dduit que le produitf g est intgrable et que

X

fg d

X

|f|p d 1p

X

|g|qd 1q

.

Cette ingalit est aussi appel ingalit de Hlder. Lorsque p = q = 2, cestlingalit de Schwarz.

Une fonction mesurable valeurs complexes est dite essentiellement bornesil existe un nombre M tel que

({x | |f(x)| > M}) = 0.La borne infrieure des nombres M pour lesquels ceci a lieu est appele la bornesuprieure essentielle de f, et est note f. On note L(X,M, ) lensembledes fonctions mesurables valeurs complexes essentiellement bornes. LensembleL(X,M, ) est un espace vectoriel sur C et lapplication f f est unesemi-norme sur cet espace vectoriel.

Si f L1 et g L alors f g est intgrable, etX

fg d g

X

|f| d.

En effet, pour presque tout x,

|f(x)g(x)| g|f(x)|.

III.2. Espaces Lp, thorme de Riesz-Fischer

Soient (X,M, ) un espace mesur et 1 < p 0. Il existe N tel que

n, m N, fn fmp ,et soit k tel que nk N, alors

n N, fn fp fn fnkp + fnk fp 2,donc

limn fn fp = 0.

Proposition III.2.3. Lespace L(X,M, ) est complet.

Dmonstration. Soit {fn} une suite de Cauchy de lespaceL(X,M, ). Les ensembles En,m dfinis par

En,m = {x | |fn(x) fm(x)| > fn fm}sont ngligeables, et leur runion E lest aussi. Sur le complmentaire de E lasuite {fn} est une suite de Cauchy pour la norme uniforme, donc la suite {fn}converge sur le complmentaire de E vers une fonction f. Pour x E on posef(x) = 0. La fonction ainsi dfinie f appartient L(X,M, ), et

limn fn f.

Rappelons quune fonction intgrale tage est une combinaison linaire defonctions caractristiques densembles intgrables. Supposons 1 p < . Sif Lp(X,M, ), il existe une suite {fn} de fonctions intgrables lmentaires quiconverge vers f au sens de Lp, cest--dire que

limn

fn

f

p = 0.

En effet, si f est positive, il existe daprs I.1.1 une suite {fn} de fonctions me-surables tages telle que

0 fn f, limn fn(x) = f(x).

Puisque (f fn)p fp, il rsulte du thorme de convergence domine (I.3.4),que

limnX(f fn)

p

d = 0.

Le rsultat annonc sen dduit.

47

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

60/208


Sous les hypothses du thorme II.1.1, si 1 p < , pour toute fonctionf Lp(X,M, ), il existe une suite de fonctions lmentaires intgrables quiconverge vers f au sens de

Lp. Pour p = 1 cest la dernire partie de lnonc du

thorme II.1.1. La dmonstration stend au cas 1 p < .

Pour terminer cette section nous allons noncer un thorme dapproximationtrs utile en analyse. Lorsque X =], [ est un intervalle ouvert de R ( < ), que M = B est la tribu borlienne de X et que = est la mesure deLebesgue, nous noterons Lp(X) et Lp(X) au lieu de Lp(X,B, ) et Lp(X,B, ).On note Cc(X) lespace des fonctions continues sur X support compact contenudans X. Rappelons que le support dune fonction f est ladhrence de lensemble

des points o cette fonction est non nulle,

supp(f) = {x R | f(x) = 0}.

TheoremeIII.2.4. Supposons 1 p < . Soit f une fonction de Lp(X). Il existeune suite {fn} de fonctions de Cc(X) qui converge vers f au sens deLp.

Dmonstration. Considrons lensemble F des fonctions f de Lp(X) possdantcette proprit, cest--dire pour lesquelles il existe une suite {fn} de fonctions deCc(X) qui converge vers f au sens de Lp. Notons que Fest un espace vectoriel, etque, si {fn} est une suite de fonctions de Fqui converge vers une fonction f ausens de Lp, alors f appartient F. Nous devons montrer que F= Lp(X). Soit fla fonction caractristique dun intervalle born dextrmits a et b, et soit fn lafonction trapze dfinie comme suit : elle est nulle si x a 1

nou si x b + 1

n, et

fn(x) =

n(x a) + 1 si a 1n x a,

1 si a x b,n(b x) + 1 si b x b + 1n .

La fonction fn appartient Cc(X), et

limn

X

|fn f|pd = 0.

Ceci montre que f appartient F. Par suite toute fonction intgrable lmentaireappartient F, et de ce qui prcde il rsulte que F= Lp(X).

48

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

61/208

III.3. Lespace de Hilbert L2

III.3. Lespace de Hilbert L2

Si f et g sont deux fonctions de carr intgrable, alors leur produit est int-grable. Cest une consquence de lingalit de Schwarz. Lintgrale

(f|g) =X

f(x)g(x) d(x)

ne dpend que des classes dquivalence de f et g (rappelons que f1 et f2 sontquivalentes si f1 et f2 sont gales presque partout). On dfinit ainsi un produitscalaire sur L2(X,M, ) qui en fait un espace prhilbertien. Si la mesure estconcentre sur un ensemble fini, lespace L2(X,M, ) est de dimension finie (on

dit quune mesure est concentre sur un ensemble E si la mesure (Ec) ducomplmentaire de E est nulle). Nous supposerons dans la suite que ce nest pasle cas. On dit quune suite {fn} de fonctions de L2(X,M, ) converge en moyennequadratique vers une fonction f si

limn

X

|fn(x) f(x)|2 d(x) = 0.

Lespace L2(X,M, ) est complet daprs le thorme de Riesz-Fischer (III.2.2),ce qui snonce :

TheoremeIII.3.1. L2(X,M, ) est un espace de Hilbert.

Ce thorme a des consquences importantes. Rappelons les principales pro-prits des systmes orthogonaux et des bases hilbertiennes (cf. par exempleAlbert, chapitre V, ou Avanissian, chapitre 13).

Un systme orthogonal {n}n0 de lespace de Hilbert H = L2(X,M, ) estune suite dlments telle que, pour tout n, n = 0, et, si m = n,

(m|n) = 0.

Cest un systme orthonorm si de plus, pour tout n,

n = 1.Soit {n} un systme orthonorm. Notons Fle plus petit sous-espace ferm conte-nant {n}, et P le projecteur orthogonal sur F. Pour toute suite {an}n0 de 2(N),la srie

n=0

ann

est convergente en moyenne quadratique, et sa somme est un lment de F.

49

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

62/208


Rappelons que 2(N) dsigne lespace des suites a = {an}0 de nombres com-plexes qui sont de carr sommable, cest--dire que

n=0

|an|2 < .

Muni du produit scalaire

(a|b) =n=0

anbn,

cest un espace de Hilbert. (Remarquons que2

(N

) =L2

(Y,N,

), oY

=N

,N = P(N) et est la mesure de comptage.)Pour tout f H, posons

an = (f|n).

Alorsn=0

|an|2 = P f2 f2,

cest lingalit de Bessel, etn=0

ann = P f

en moyenne quadratique. Le systme {n} est dit total sil engendre un sous-espace dense de H. Une base hilbertienne est un systme orthonorm total. Pourquun systme orthogonal soit une base hilbertienne il faut et il suffit que, pourtout f

H,

n=0

|(f|n)|2 = f2.

(Il suffit en fait que ce soit vrai pour un ensemble total de fonctions f.) Dans cecas lapplication de 2(N) dans H dfinie par

a = {an}n0 f =

n=0

ann

est un isomorphisme isomtrique.

50

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

63/208

Exercices

Exercices

Dans tous les exercices qui suivent, on considre un espace mesur (X,M, ).

ExerciceIII.1. Soient p,q,r 1 tels que 1p + 1q = 1r , et soient f et g deuxfonctions mesurables 0. Montrer que

f gr fpgq .

ExerciceIII.2. Soient p , q , r 1 tels que 1p + 1q + 1r = 1, et soient f, g et h desfonctions mesurables 0. Montrer que

X

f(x)g(x)h(x) d(x)

f

p

g

q

h

r.

ExerciceIII.3. Soient p, q 1, et soient f et g des fonctions mesurables positivestelles que

X

f(x)g(x) d(x) = fpgq .

Montrer quil existe des constantes a et b telles que

af(x)p = bg(x)q p.p.

Indication : on montrera dabord que, si , 0 et + = 1, et si u, v > 0sont tels que

uv = u + v,

alors u = v.

ExerciceIII.4. Soient p, q > 1 tels que 1p+1q = 1. une fonction g de Lq(X,M, )

on associe la forme linaire L sur Lp(X,M, ) dfinie par

L(f) =X

f(x)g(x) d(x).

Montrer que L dfinit une forme linaire sur Lp(X,M, ), et montrer que sanorme,

L = sup{fLp|fp1}

|L(f)|,

est gale gq .ExerciceIII.5. Soit f une fonction mesurable valeurs complexes. On pose

(p) =

X

|f(x)|p d(x),

51

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

64/208


etI = {p 1 | (p) < }.

a) Montrer que I est un intervalle, cest--dire que, si p1, p2 I, alors[p1, p2] I.b) On suppose que f nest pas nulle presque partout. Montrer que la fonction

ln est convexe sur I.c) Soient p , q , r 1 tels que q < p < r. Montrer que

Lq(X,M, ) Lr(X,M, ) Lp(X, M, ),

et que, si f Lp(X, M, ),

fp max(fq , fr).

ExerciceIII.6. Soit q 1, et soit f une fonction de Lq(X,M, ). Le but delexercice est de montrer que

limpfp = f.

a) Montrer que, pour p 1 et > 0,

{x X | |f(x)| } 1p 1

fp.

En dduire que, pour < f,

lim infp fp .

b) On suppose que f < . Montrer que, si p > q,

fp f1qp f

qpq .

En dduire quelim supp

fp f.

ExerciceIII.7 (Ingalit de Hardy). On suppose que X =]0, [, que M est latribu borlienne, et que est la mesure de Lebesgue. On suppose que 1 < p < .Soit f une fonction de Lp(]0, [). On pose

F(x) =1

x

x0

f(t)dt.

52

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

65/208

Exercices

Montrer que

Fp pp

1fp.

Indication : on supposera dabord que f est une fonction continue supportcompact, et on montrera par une intgration par parties que

0F(x)pdx = p

0

Fp1(x)F(x)x dx.

ExerciceIII.8 (Critre de Vitali). Soit {n}n0 un systme orthonorm de fonc-tions de L2([0, 1]). On pose

n(x) =x0

n(t)dt (0 x 1).

a) Montrer quen=0

|n(x)|2 x.

b) Montrer que {n} est une base hilbertienne de L2([0, 1]) si et seulementsi il y a galit pour tout x.

ExerciceIII.9 (Fonctions de Rademacher et de Walsh). Considrons le dveloppe-ment dyadique infini dun nombre x [0, 1],

x = 0, a1a2 . . . an . . . =n=1

an

2n,

o les nombres an = an(x) sont gaux 0 ou 1. Lcriture nest pas uniquelorsque x est un nombre dyadique,

x =

Nn=1

an

2n(aN = 1),

ce qui scrit x = 0, a1 . . . aN. En effet x scrit aussi

x =

N1n=1

an

2n+

n=N+1

1

2n,

cest--direx = 0, a1 . . . aN1aN . . . a

n . . . ,

53

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

66/208


avec aN = 0 et an = 1 si n N + 1. Pour un tel nombre dyadique x nous

conviendrons dutiliser la premire criture. Autrement dit on suppose que ledveloppement dyadique de x contient une infinit de zros.

La fonction de Rademacher n est dfinie sur [0, 1] : 0(x) = 1, et, si n 1,

n(x) =

1 si an(x) = 0,

1 si an(x) = 1.a) Montrer que {n}n0 est un systme orthonorm.b) Montrer que {n}n0 nest pas une base hilbertienne de L2([0, 1]).

Indication : on pourra montrer que, pour tout n 0,10

1(x)2(x)n(x)dx = 0.

c) La fonction de Walsh k est dfinie sur [0, 1] par : 0(x) = 1, et, si ladcomposition dyadique de lentier k scrit

k = 2n1 + 2n2 + + 2np (n1 > n2 > np 0),alors

k(x) = n1+1(x)n2+1(x) . . . np+1(x).

Montrer que les fonctions k constituent un systme orthonorm.Indication : on montrera que, si n1 > n2 > nP 1, alors10

n1(x)n2(x) . . . np(x) dx = 0.

d) Soit f une fonction de L2([0, 1]), on pose

F(x) =

10

f(t) dt.

Montrer que la fonction F est continue et que, si F 0, alors f est nulle presquepartout.

On suppose que, pour tout k 0,10

f(x)k(x) dx = 0.

Montrer que

Fk

2n = 0 (n 0, k = 0, 1, . . . , 2n).

En dduire que {k}k0 est une base hilbertienne de L2([0, 1]).

54

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

67/208

IV

INTGRATION SUR UN ESPACE PRODUIT

Nous verrons au chapitre suivant comment lvaluation dune intgrale mul-tiple peut se ramener des valuations successives dintgrales simples. Ce seraune consquence des rsultats gnraux tablis dans ce chapitre sur le produit dedeux espaces mesurs et lintgration sur un espace produit : ce sont les thormesde Fubini et de Fubini-Tonelli.

IV.1. Produit de deux espaces mesurs

Soient (X,M, ) et (Y,N, ) deux espaces mesurs. On appelle rectangle me-surable une partie du produit X Y de la forme R = A B, o A M, B N.Nous allons montrer quil existe une mesure unique sur la tribuMN engendrepar les rectangles mesurables telle que si R = A B est un tel rectangle,

(R) = (A)(B).

Une runion finie de rectangles mesurables sera appele dans cette section en-semble lmentaire. Les ensembles lmentaires constituent une algbre de Boole,que nous noterons A. En effet, si A1, A2 M, B1, B2 N,

(A1 B1) (A2 B2) = (A1 A2) (B1 B2),

et, si A M, B N,

(A B)c = (Ac) Y A Bc.

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

68/208

Chapitre IV. Intgration sur un espace produit

Proposition IV.1.1.

(i) Soit Q MN, alors, pour x X, lensemble

Qx = {y Y | (x, y) Q}appartient N.

(ii) Soit f une fonction dfinie sur X Y valeurs dans [, ], mesurablepour la tribuMN. Pour tout x X la fonction fx, dfinie par

fx(y) = f(x, y),

est mesurable pour la tribuN.

Dmonstration. (a) Soit S lensemble des parties Q de M N telles que, pourtout x X, lensemble Qx appartienne N. Lensemble Scontient les rectanglesmesurables. Ainsi, pour montrer (i), il suffit de montrer que S est une tribu.Cela provient du fait que lapplication Q Qx commute avec les oprationslmentaires sur les ensembles :

(Qc)x = (Qx)c, (P Q)x = Px Qx,

n=1

Qnx

= n=1

(Qn)x.

(b) La proprit (ii) rsulte de la relation

{y | fx(y) > } = {(x, y) | f(x, y) > }x.

Rappelons que lespace mesur (X,M, ) est dit -fini sil existe une suitedensembles mesurables Xn tels que

(Xn) < , X =n=1

Xn.

TheoremeIV.1.2. Soient (X,M, ) et (Y,N, ) deux espaces mesurs -finis. Ilexiste une mesure unique sur lespace mesurable (X Y,MN) telle que, pourtout rectangle mesurable R = A B,

(R) = (A)(B).

La mesure est note .

56

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

69/208

IV.2. Intgration sur un espace produit

Dmonstration. Soit Q un ensemble lmentaire. Il peut tre dcompos en unerunion finie de rectangles mesurables deux deux disjoints,

Q =ni=1

(Ai Bi) (Ai M, Bi N).

Si une telle mesure existe, ncessairement

(Q) =

ni=1

(Ai)(Bi).

On vrifie que ce nombre ne dpend pas de la dcomposition choisie, et ainsi cetteformule dfinit une application : A [0, ]. Notons que, si Q est un ensemblelmentaire,

(Q) =

X

(Qx)d(x).

Daprs le thorme de prolongement (II.1.1), il suffit dtablir le fait suivant :si {Qn} est une suite croissante densembles lmentaires dont la runion Q estaussi un ensemble lmentaire, alors

limn(Qn) = (Q).

Pour x X fix, les ensembles (Qn)x constituent une suite croissante de runionQx, donc

limn

(Qn)x

= (Qx),

et, daprs le thorme de convergence monotone,

limnX

(Qn)x

d(x) =X

(Qx)d(x),

cest--direlimn(Qn) = (Q).


Considrons deux espaces mesurs (X,M, ) et (Y,N, ). Nous supposonsquils sont tous deux -finis et notons la mesure produit, = . Si A

57

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

70/208


et B (A M, B N) sont de mesure finie nous dirons que R = A B est unrectangle intgrable. Une combinaison linaire

f =

ni=1

iAiBi

de fonctions caractristiques de rectangles intgrables sera appele fonction int-grable lmentaire. Pour x fix dans X,

fx =ni=1

iAi(x)Bi

est une fonction mesurable tage sur Y et la fonction F dfinie sur X par

F(x) =

Y

fx(y)d(y) =

ni=1

i(Bi)Ai(x)

est mesurable tage sur X. De plus

XF(x)d(x) =

n

i=1i(Ai)(Bi) = XY

fd.

Ainsi, pour toute fonction intgrable lmentaire,XY

f d =

X

Y

fxd

d(x) =

Y

X

fyd

d(y).

Nous allons voir que cette proprit a lieu pour toute fonction intgrable surX Y.

LemmeIV.2.1. Soit E un ensemble ngligeable de X

Y, cest--dire que E estmesurable et que (E) = 0. Alors, pour presque tout x de X,

(Ex) = 0.

Dmonstration. Nous devons montrer que lensemble

S = {x X | (Ex) > 0}

est ngligeable. Puisque S est la runion des ensembles

Sn =

x X (Ex) 1

n

(n N),

58

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

71/208


il suffit de montrer que lensemble Sn est ngligeable. Fixons n, et soit > 0.Puisque (E) = 0, il existe une suite {Rk} de rectangles mesurables telle que

E k=1

Rk, k=1

(Rk) n

(thorme II.1.1). Pour x Sn,k=1

(Rk)x (Ex) 1

n,

donc, par intgration sur x,

1n

(Sn) k=1

X

(Rk)x

d(x) = k=1

(Rk) n

.

Ainsi, pour tout > 0, (Sn) , et Sn est ngligeable. TheoremeIV.2.2(Theoreme de Fubini). Soit f une fonction intgrable sur XY.Pour presque toutx deX la fonctionfx est intgrable surY. La fonctionF dfiniesur X par

F(x) = Y

fxd

est intgrable sur X et XY

f d =

X

Fd.

Dmonstration. Daprs la proposition II.1.2 il existe une suite {uk} de fonctionsintgrables lmentaires sur X Y telle que

f(x, y) =

k=1

uk(x, y) p.p.k=1

XY

|uk|d < .

Daprs le thorme I.2.5 sur lintgration terme terme dune srie de fonctionspositives,

X

k=1

Y

|uk(x, y)|d(y)

d(x) =

k=1X

Y

|uk(x, y)|d(y)

d(x)

=k=1

XY

|uk|d < .

59

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

72/208


Donc, pour presque tout x,

k=1

Y |uk(x, y)|d(y) < .

De plus, daprs le lemme V.2.1, pour presque tout x,

f(x, y) =k=1

uk(x, y) p.p.

Nous pouvons appliquer le thorme I.3.5 sur lintgration terme terme dune

srie : pour presque tout x la fonction fx est intgrable et, pour un tel x,Y

f(x, y)d(y) =

k=1

Y

uk(x, y)d(y).

Posons

F(x) =

Y

f(x, y)d(y),

Uk(x) = Y

uk(x, y)d(y).

La fonction F est dfinie presque partout, et, pour presque tout x,

F(x) =k=1

Uk(x).

De plus

|Uk(x)

| Y |uk(x, y)

|d(y),

X

|Uk|d XY

|uk|d,

donc k=1

|Uk|d < .

Nous appliquons encore une fois le thorme I.3.5 sur lintgration terme termedune srie,

X

F d =k=1

X

Ukd =k=1

XY

ukd.

60

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

73/208


Puisque

k=1

XYukd = XY

fd,

nous avons bien montr queXY

f d =

X

Y

f(x, y)d(y)

d(x).

TheoremeIV.2.3(Theoreme de Fubini-Tonelli). Soit f une fonction mesurable surX Y valeurs dans [0, ]. La fonction F dfinie par

F(x) = Y

f(x, y)d(y)

est mesurable, et X

F(x)d(x) =

XY

fd.

Dmonstration. Il existe une suite {fn} de fonctions intgrables sur X Y tellesque

0 fn fn+1 f,et, pour tout (x, y)

X

Y,

limn fn(x, y) = f(x, y).

Posons

Fn(x) =

Y

fn(x, y)d(y).

Daprs le thorme de Fubini (V.2.2),

X

Fnd = XY

fnd,

et, daprs le thorme de convergence monotone (I.2.1), pour tout x,

F(x) = limnFn(x).

En appliquant une nouvelle fois le thorme de convergence monotone on en dduitque

X

Fnd = limn

X

Fnd = limn

XY

fnd =

XY

fd.

Dans la pratique on combine les thormes de Fubini (IV.2.2) et de Fubini-Tonelli (IV.2.3) de la faon suivante :

61

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

74/208


CorollaireIV.2.4. Soit f une fonction mesurable sur X Y valeurs complexes.

(i)X

Y |f(x, y)|d(y)d(x) = YX |f(x, y)|d(x)d(y).Ou bien les deux membres sont gaux un nombre rel fini 0, ou bien ils sonttous les deux infinis.

(ii) Sils sont finis, pour presque tout x de X, la fonction fx est intgrable surY. La fonction F dfinie sur X par

F(x) = Y fxdest intgrable sur X et

XYf d =

X

Fd.

Il faut remarquer que le thorme I.3.5 en est un cas particulier. Cest le caso Y = N et est la mesure de comptage,

({k}) = 1 (k N).Dans le cas o X = Y = N et = est la mesure de comptage, on obtientlnonc suivant sur les sries doubles :

Soit {upq} une srie double termes complexes.

(i)

p=0

q=0

|upq| =

q=0

p=0

|upq|.Ou bien les deux membres sont gaux un nombre rel fini, ou bien ils sont tousles deux infinis.

(ii) Sils sont finis,

p=0

q=0

upq

=

q=0

p=0

upq

.

Les sries qui interviennent dans chacun des deux membres sont toutes absolumentconvergentes.

62

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

75/208

IV.2. Exercices

Exercices

ExerciceIV.1. Soit (X,M) un espace mesurable et soit f une fonction mesurablesur X valeurs relles. Montrer que lensemble

E = {(x, y) X R | f(x) y}

est mesurable relativement lespace mesurable produit (XR,MB), o Best la tribu borlienne de R.

ExerciceIV.2. a) En calculant lintgrale de la fonction f

f(x, y) = exy

,

sur un domaine convenable de R2, montrer que, pour , > 0,0

(ex ex) dxx

= ln

.

b) De mme en considrant la fonction f,

f(x, y) = sin xy,

montrer que

limA

A0

(cos x cos x) dxx

= ln

.

ExerciceIV.3. Soit f la fonction

f(x, y) = exy sin x.

a) Montrer que, pour A > 0, la fonction f est intgrable sur [0, A]

[0,

[.

b) Montrer que

limA

A0

sin x

xdx =

2.

ExerciceIV.4. Soit D = {(x, y) | x > 0, y > 0}. Calculer lintgraleD

dxdy

(1 + y)(1 + x2y).

En dduire que 1

0

ln xx2 1 dx =

2

8.

63

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

76/208


ExerciceIV.5. Montrer quil existe une constante A > 0 telle que, si les fonctionsf et g sont de carr intgrable sur ]0, [,

D

f(x)g(y)x + y

dxdy Af2g2,

o D = {(x, y) R2 | x > 0, y > 0}.Indication : on pourra montrer que

D

f(x)g(y)

x + ydxdy =

0

1

1 + t

0

f(ty)g(y)dy

dt,

puis appliquer lingalit de Schwarz.

64

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

77/208

V

INTGRATION SUR Rn

La thorie de la mesure trouve son origine dans le calcul des aires et des vo-lumes. Nous y arrivons maintenant aprs avoir dvelopp la thorie de la mesurede Lebesgue. Nous considrons dans ce chapitre des questions qui font intervenir,outre le calcul intgral, lalgbre linaire et le calcul diffrentiel. Nous introdui-rons dans ce chapitre la fonction gamma dEuler car elle permet dvaluer denombreuses intgrales.

V.1. Mesure de Lebesgue sur Rn

Il existe une unique mesure borlienne n sur Rn telle que la mesure du pavQ = I1 In, produit des n intervalles I1, . . . I n soit gale

n(Q) = (I1) (In),o dsigne la mesure de Lebesgue sur R. Lexistence dune telle mesure est uneconsquence du thorme IV.1.2, et lunicit vient du fait que la tribu borlienneBn de Rn est engendre par les pavs. La mesure n sappelle mesure de Lebesguede Rn. Elle est invariante par translation, cest--dire que, pour tout ensembleborlien E, et tout vecteur a de Rn,

n(E + a) = n(E).

Proposition V.1.1. Soit une mesure borlienne sur Rn qui est invariante partranslation et pour laquelle tout ensemble compact est de mesure finie. Il existeune constante c telle que

= cn.

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

78/208

Chapitre V. Intgration sur Rn

Dmonstration. Cest une simple gnralisation de la proposition II.2.3. Soit Q0 =[0, 1[ [0, 1[, cube unit produit de n intervalles de longueur 1, et posonsc = (Q0). Si Q = [a1, b1[

[an, bn[ est un pav pour lequel les nombres ai

et bi sont rationnels, des proprits dadditivit et dinvariance par translation dela mesure on dduit que

(Q) = c(b1 a1) (bn an).

La proposition rsulte alors du fait que les pavs de ce type engendrent la tribu Bn.

Proposition V.1.2. Soit T une transformation affine deRn,

T : x Ax + b,

o A est un transformaion linaire inversible et b est un vecteur deRn. Pour toutborlien E deRn,

n(

T(E)

= | det A|n(E).

Dmonstration. La mesure dfinie sur la tribu Bn par

(E) = n

T(E)

est invariante par translations, et, si E est compact, (E) est fini. Daprs laproposition prcdente (VI.1.1), la mesure est proportionnelle la mesure deLebesgue, = cn, avec c = n

T(Q0)

= n

A(Q0)

. Nous allons montrer que

c = | det A|. Notons que c = c(A) vrifie

c(A1A2) = c(A1)c(A2), c(I) = 1

(A1 et A2 sont deux transformations linaires inversibles de Rn, et I est la trans-formation identique). Si D est une matrice diagonale,

D =

d1. . .

dn,

alors D(Q0) est un pav dont les longueurs des cts sont les nombres|d1

|, . . . ,

|dn

|,

doncc(D) = |d1 dn| = | det D|.

66

8/14/2019 14437305 Calcul Integral[1]

79/208

V.2. Mesure superficielle sur la sphre

Supposons que U soit une transformation orthogonale et soit Bn la boule unitouverte de Rn

Bn =

{x

Rn

| x

< 1

},

pour la norme euclidienne,

x =

x21 + + x2n.

Puisque U(Bn) = Bn, de la relation

n

U(Bn)

= c(U)n(Bn)

on dduit que c(U) = 1. Le rsultat sen dduit car toute transformation linaireA de Rn peut tre dcompose en

A = U1DU2,

o D est une matrice diagonale, U1 et U2 sont orthogonales.

CorollaireV.1.3. Soit T une transformation affine deRn,

T x = Ax + b.

Si f est une fonction positive mesurable surRn, ou sif est une fonction valeurscomplexes intgrable surRn, alors

Rn

f(y)dn(y) = | det A|Rn

f(T x)dn(x).

V.2. Mesure superficielle sur la sphre

Soit S la sphre unit de Rn,

S = {x Rn | x21 + + x2n = 1}.

Lapplication]0, [S Rn \ {0}, (r, u) ru,

est un homomorphisme. Il lui correspond un isomorphisme des tribus borliennesde ]0, [S et de Rn \ {0}.

67

14437305 calcul integral[1]

Documents