redacŢia revistei - colegiulharlau.info nr 1.pdf · o probleme de geometrie rezolvate sintetic,...
TRANSCRIPT
REDACŢIA REVISTEI
Redactor şef: Ioan Săcăleanu
Membrii redacţiei:
Aurel Neicu Gheorghe Oancea,
Constantin Nastase, Monica Elena Ambros,
Mircea Popa Constantin Raţă
Adresa redacţiei: LICEUL TEORETIC „ŞTEFAN CEL MARE” HÎRLĂU, Str. Mihai Eminescu, nr.5,
Tel/Fax 0232/720911, web: http://hirlau.licee.edu.ro
SUMAR
CUVÂNT ÎNAINTE
ARTICOLE ŞI NOTE MATEMATICE
o Calculatoarele în ştiinţa modernă
o Pe marginea unei probleme de geometrie
o Aplicaţii metrice ale unei ecuaţii de gradul al II lea
o Demonstraţii geometrice ale unor relaţii algebrice o Probleme de geometrie rezolvate sintetic, vectorial şi analitic o Derivata unui determinant o Clase de resturi complexe modulo prim
REFERATE ALE ELEVILOR
o Câteva probleme pentru cei mici
o Soluţii geometrice ale unei probleme de fizică o Metoda reducerii la absurd în algebră o Relaţii vectoriale şi metrice (între puncte remarcabile în triunghi)
o O teoremă şi aplicaţiile ei
CONCURSUL “ Micii matematicieni”
o Prezentarea concursului ediţia I, 6 mai 2006 o Probleme de concurs. Bareme de corectare o Rezultatele concursului „Micii matematicieni”, ediţia I
TESTE DE EVALUARE o Matematica pitică
o Matematica gimnazială
o Matematica liceală
o Examene Naţionale
PROBLEME PROPUSE
Micii MATEMATICIENI
1
Cuvânt înainte Matematica este în general definită ca ştiinţa ce studiază modelele de structură, schimbare şi spaţiu.
În sens modern, matematica este investigarea structurilor abstracte definite în mod axiomatic folosind logica formală. Cuvântul "matematică" vine din grecescul μάθημα (máthema) care înseamnă "ştiinţă, cunoaştere sau învăţare"; μαθηματικός (mathematikós) înseamnă "cel care îndrăgeşte învăţarea".
Din punct de vedere istoric, ramurile majore ale matematicii au derivat din necesitatea de a face calcule comerciale, de a măsura terenuri şi de a predetermina evenimente astronomice cu scopuri agriculturale.Aceste domenii specifice pot fi folosite pentru a delimita în mod generic tendinţele matematicii până în ziua de astăzi, în sensul delimitării a trei tendinţe specifice: studiul structurii, spaţiului şi al schimbărilor. Studiul structurii se bazează în mod generic pe teoria numerelor: iniţial studiul numerelor naturale, numere pare, numere impare apoi numere întregi, continuând cu numere raţionale şi în sfârşit numere reale, întotdeauna corelate cu operaţiile aritmetice între acestea, toate acestea făcând parte din algebra elementară. Investigarea în profunzime a acestor teorii şi abstractizarea lor a dus în final la algebra abstractă care studiază printre altele inele (algebră) şi corpuri, structuri care generalizează proprietăţile numerelor în sensul obişnuit. Conceptul indispensabil în fizică de vector, generalizat în sensul de spaţiu vectorial şi studiat în algebra lineară este comun studiului structurii şi studiul spaţiului.
Studiul spaţiului porneşte în mod natural de la geometrie, începând de la geometria euclidiană şi trigonometria familiară în trei dimensiuni şi generalizată apoi la geometrie neeuclidiană, care joacă un rol esenţial în teoria relativităţii. O mulţime de teorii legate de posibilitatea unor construcţii folosind rigla şi compasul au fost încheiate de teoria Galois. Ramurile moderne ale geometriei diferenţiale şi geometriei algebrice abstractizează studiul geometriei în direcţii distincte: geometria diferenţială accentuează uzul sistemului de coordonate şi al direcţiei, pe când geometria algebrică defineşte obiectele mai degrabă ca soluţii la diverse ecuaţii polinomiale. Teoria grupurilor investighează conceptul de simetrie în mod abstract, făcând legătura între studiul structurii şi al spaţiului. Topologia face legătura între studiul spaţiului şi studiul schimbărilor, punând accent pe conceptul continuității.
Studiul schimbării este o necesitate mai ales în cazul ştiinţelor naturale, unde măsurarea şi predicţia modificărilor unor variabile este esenţială. Calculul diferenţial a fost creat pentru acest scop, pornind de la definiţia relativ naturală a funcţiilor dintre diverse dimensiuni şi rata lor de schimbare în timp, metodele de rezolvare ale acestora fiind ecuaţiile diferenţiale. Din considerente practice, este convenabil să se folosească numerele complexe în această ramură.
Matematica……un cuvânt care ne duce cu gândul la formule complicate, la teoreme şi la leme aplicabile doar în ora de clasă dar nu şi în viaţa cotidiană. La ce foloseşte să ştii să „socoteşti”, în afară de numărat bani? La ce sunt bune limitele de şiruri, derivatele sau integralele dacă nu vrei să te faci profesor de matematică, inginer sau economist? Aşa o fi? Nimic nu este mai fals decât asimilarea matematicii cu „socotitul”, cu aritmetica. Studiul numerelor e doar o mică parte, cei drept, de extremă dificultate, a corpului matematic. În fapt, matematica e o limbă a raţiunii. Lucrul cu concepte matematice formează în primul rând disciplina operaţiilor mentale. Aici se învaţă ce înseamnă o definiţie, o ipoteză, o concluzie şi elementara organizare logică a lui „ce se dă şi ce se cere”. Nu există exerciţiu mai bun pentru rigoarea demonstrativă decât geometria.
„Matematica, spunea Cristian Tudor Popescu, într-un articol din „Adevărul”, te face
să simţi ce înseamnă structura, esenţa. Ea nu admite urechismul, bâjbâiala, aproximaţiile
iresponsabile, demagogia şi dezvăluie automat impostura”.
Colectivul de redacţie
Micii MATEMATICIENI
2
ARTICOLE ŞI NOTE MATEMATICE
Calculatoarele în ştiinţa modernă de Florin Manolache
Sfârşitul secolului XX si începutul secolului XXI sunt marcate de accelerarea progresului
tehnologic, propulsat de cercetarea ştiinţifică şi de globalizarea informaţiei prin intermediul
Internetului.
Cu câteva decenii în urma, ştiinţele erau dominate de creion, hârtie şi laborator.
Majoritatea profesorilor universitari şi cercetatorilor ar fi considerat neserioasă o teza de doctorat
bazată în exclusivitate pe rezultate obţinute pe calculator. În ziua de azi, un cercetător ştiinţific
care nu foloseşte tehnica de calcul nu poate fi competitiv.
Evoluţia folosirii calculatoarelor în cercetarea ştiinţifică are o istorie foarte interesantă şi
complexă, având componente sociale, politice şi economice.
În a doua jumătate a secolului XX, cercetarea ştiinţifică de performanţă era propulsată de
războiul rece. Până la sfârşitul anilor '80, existau un număr redus de institute cu finanţare
foarte bună, dotate cu supercomputere extrem de scumpe şi performante.
Produsele cercetării din aceste laboratoare erau în general secrete, fiind aplicate la dezvoltarea
tehnologiilor şi materialelor folosite pentru scopuri militare. În mod paradoxal, contribuţia
majoră a acestor laboratoare a fost dezvoltarea unor limbaje de programare şi librării de software
foarte elaborate şi performante care mai sunt încă folosite şi astăzi. Aceasta se datorează în
principal faptului că laboratoarele respective aveau nevoie de software care să fie stabil şi
eficient.
La sfârşitul războiului rece, grosul finanţării pentru cercetarea ştiinţifică a migrat de la
aplicatii militare la teme energetice, medicale şi de comunicaţii. Aceasta a dus la reorientarea
profesională a unui numar mare de cercetători şi specialişti, însoţită de relaxarea secretomaniei şi
eliberarea în societatea civilă a multor dintre rezultatele tehnologice obţinute din cercetarea
militară. Consecinţa directă a fost apariţia standardelor deschise pentru software şi hardware,
globalizarea informaţiei şi a transporturilor, şi explozia tehnologică din anii 90.
Din punct de vedere a ştiinţei, beneficiile cele mai importante au fost calculatoarele ieftine
şi rapide, crearea de software open source, şi apariţia Internetului ca mijloc principal de
comunicaţie şi documentare.
În cele ce urmează vom analiza fiecare dintre aceste componente şi impactul major asupra
cercetării ştiinţifice.
Un PC mediu care poate fi cumpărat în zilele noastre pentru un preţ modest are o putere de
calcul şi memorie comparabilă cu un mainframe care deservea în anii 80 un întreg grup de
cercetare, costa multe milioane de dolari, şi era folosit pentru proiectarea programelor spaţiale.
Chiar dacă afirmaţia de mai sus suna impresionant, este impractic
să încercăm să construim staţii spaţiale folosind calculatorul din sufragerie. Cea mai mare
problemă este dată de cantitatea de memorie care nu permite simulări realiste în trei dimensiuni.
Majoritatea simulărilor numerice din secolul XX au fost făcute în plan, dar de multe ori a treia
dimensiune aduce modificări surprinzătoare a concluziilor cercetării.
Soluţia practică pentru simulări numerice care pot explora sisteme fizice reale este folosirea
clusterelor de calculatoare. Acestea sunt grupuri de calculatoare care sunt interconectate în reţea
şi lucrează împreună pentru rezolvarea unei singure probleme.
Pentru a folosi calculatoare în mod eficient, este nevoie de software performant şi stabil.
Nu ne putem aştepta ca un produs farmaceutic de care depinde viaţa a milioane de oameni să fie
proiectat folosind software comercial de tip Windows care se comportă diferit şi dă rezultate
Micii MATEMATICIENI
3
diferite de fiecare dată când este utilizat. Cercetarea ştiinţifică serioasă trebuie să
genereze rezultate corecte, care pot fi reproduse, şi care pot fi verificate de alte colective de
cercetare pe sisteme de calcul diverse. Din acest motiv, soluţia optimă a fost oferită de
standarde deschise şi software de tip open source.
Un standard deschis este o descriere a unei componente (de exemplu fişier) care permite
oricărei persoane să construiască o aplicaţie care să folosească acea componentă.
Un software este "open source" dacă este distribuit împreună cu sursele, astfel încât orice
utilizator să poată înţelege cum merge aplicaţia respectivă şi să-l poată perfecţiona sau modifica
pentru nevoile proprii. Întrucât softul "open source" este perfecţionat de mulţi utilizatori şi este
folosit într-o gamă largă de condiţii, este mult mai stabil şi performant decât softul comercial de
uz casnic. În plus are marele avantaj că oricine poate să-l folosească şi să-l modifice fără a avea
probleme legale, întrucât este gratuit.
Este foarte interesant de remarcat cum un produs gratuit, în urma unui efort colectiv, poate
deveni de calitate mult mai bună decât un produs comercial.
Cele mai populare exemple de soft "open source" sunt distribuţiile Linux care sunt
folosite în toate clusterele de calculatoare şi laboratoarele serioase de cercetare, dar pot fi folosite
la fel de bine şi în şcoli sau acasă. Este interesant de remarcat că majoritatea softului de foarte
bună calitate folosit în cercetarea militară în timpul războiului rece este disponibil ca soft "open
source". Un alt mare avantaj al softului "open source" este că, fiind bazat pe standarde deschise,
odată învăţat este valabil pentru totodeauna, în timp ce softul comercial este schimbat şi trebuie
re-învăţat la fiecare câţiva ani.
În cele din urmă, rezultatele cercetării ştiinţifice capătă realmente valoare doar când pot fi
comunicate altor colective de cercetare sau părţi interesate. Dezvoltarea comunicaţiilor şi
globalizarea Internetului a dus la posibilităţi de documentare care ar fi părut science fiction cu
trei decade în urmă.
Internetul a apărut ca un proiect de comunicaţii finanţat pentru scopuri militare, apoi a fost
extins pentru comunicaţii în scop educaţional între universităţi, apoi a fost adaptat la nevoile
comerciale şi ale utilizatorilor casnici, oferind practic un mediu de comunicaţie la scară
planetară. Cele mai multe rezultate ştiinţifice sunt acum disponibile
pentru consultare pe paginile de web ale universităţilor şi institutelor de cercetare, astfel făcând
comunicarea mult mai rapidă şi mai eficientă.
În concluzie, evoluţia cercetării ştiinţifice din ultimile decade arată că un efort colectiv
bazat pe globalizarea informaţiei, pe folosirea softului "open source" şi a standardelor deschise,
duce la avans tehnologic rapid.
Director of Scientific for the Mellon College of Science
University, Pittsburgh, Pennsylvania, U.S.A
Pe marginea unei probleme de geometrie de Florentina Sârbu
Vom face câteva consideraţii fizice pornind de la următoarea problemă de geometrie
elementară :
“ Fie (OZ bisectoare XOY cu 0120mXOY . Dreapta intersectează (OX,(OZ şi (OY în punctele
A,M respectiv B.Atunci 1 1 1
OM OA OB
1 1 1
a b f
.”
Pentru a demonstra această problemă, construim AS OM , S OB .
Micii MATEMATICIENI
4
B
A
R
y B b
f
M
O
A z
x
a
S
060060
060
060060
A
B B
’
A
’
V F
f
1x
2x
'O
Se observă că AOS este echilateral OS=a. Din teorema fundamentală a asemănării
BOM BSAOM OB
AS BS
1f b
a b a f
1 1 1b a
ab f a b
.
În fizică, există o lege valabilă
pentru oglinzi sferice, care se
exprimă printr-o relaţie matematică
analoagă celei demonstrate în
problema anterioară, şi anume:
1 2
1 1 1
x x f în care semnificaţia
mărimilor este dată în figura:
unde 1x - distanţa de la obiectul
AB la vârful oglinzii V.
2x - distanţa de la imaginea A’B’ la
vârful oglinzii.
f - distanţa focală a oglinzii
Trebuie menţionat că această lege este
valabilă în cadrul aproximaţiei gaussiene, adică
atunci când se lucrează cu raze de lumină foarte
apropiate de axa optică principală (OV) şi care
fac unghiuri foarte mici cu aceasta.
Pornind de la această similitudine, s-ar putea imagina un
instrument cu ajutorul căruia să se poată determina distanţa focală a
oglinzilor sferice, cu condiţia particularizării prin care AB OM .
Acest dispozitiv ar consta în:
- două tije fixate în O la un unghi de 0120
- rigla gradată, OR, cu diviziunea zero în O, fixată
împreună cu cele două tije şi orientată pe direcţia bisectoarei
unghiului AOB
- latură mobilă AB cu posibilitatea de culisare pe laturile
OA şi OB astfel încât AB OR .
Acest dispozitiv se aşează în interiorul calotei sferice
ce reprezintă oglinda astfel încât punctul O sa fie în vârful oglinzii.
O
Micii MATEMATICIENI
5
O rază de lumină care pleacă
din A, incidentă în vârful oglinzii sub
unghiul de 60 se va reflecta sub un
unghi tot de 60 (legea reflexiei:
măsura unghiului de reflexie este egală
cu măsura unghiului de incidenţă) iar o rază de lumină incidentă la oglindă
prin punctul F (focar) se va reflecta
paralel cu axa optică principală, dând
reală a lui A în punctul B. Conform
principiului reversibilităţii mersului
razelor de lumină, imaginea reală a lui
B se va forma în A. Acest lucru se
întâmplă pentru toate poziţiile laturii
AB situate în dreapta focarului F.
Pentru poziţiile situate în între V şi F,
imaginile formate sunt virtuale şi nu
mai pot fi proiectate de-a lungul tijelor
OB, respectiv OA.
Situaţia limită, când AB trece prin F corespunde momentului în care imaginile punctelor A
şi B se formează şa infinit, deci practic nu pot fi observare. Este situaţia în care pe rigla OR se
poate citi distanţa de la V la F, adică distanţa focală a oglinzii.
Trebuie încă o dată menţionat că, teoretic, se lucrează în aproximaţia gaussiană, situaţie în
care 1a x şi 2b x , atunci când A este obiect şi V imaginea lui A.
De asemenea, un astfel de instrument ar putea fi utilizat numai pentru oglinzi concave în
care se formează imaginea reală (ce pot fi prinse pe un ecran, un suport) şi nu ar putea fi folosit
în cazul oglinzilor convexe la care focarul însuşi este un punct virtual, iar imaginile sunt de
asemenea virtuale.
Profesoară, Liceul Teoretic « Ştefan cel Mare » , Hîrlău
Aplicaţii metrice ale unei ecuaţii de gradul al II lea de Ioan Sǎcǎleanu
Fie ABC şi un punct variabil D BC . Considerǎm ecuaţia :
2 2 2 2 2 2 2 0 1a X a c b X b AD , unde AD este parametru.
1. Pentru orice poziţie D BC , ecuaţia (1) are numai soluţii reale.
Discriminantul ecuaţiei este
2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 24 4a c b a b AD a AD a b c a b c
2 2 2 24 4 16a AD a b c a b c a b c a b c a AD p p a p b p c
unde 2
a b cp
este semiperimetrul ABC .
Folosind formula lui Heron, se obţine 2 2 24 16a AD S .
Ducând ,AH BC H BC şi folosind formula ariei 2
AH aS
şi, apoi teorema lui
Pitagora deducem cǎ 2 24 0a HD .
A
B
ORF
b
a
1x
2x
X
( )O060
060
Micii MATEMATICIENI
6
Prin urmare, ecuaţia (1) are numai soluţii reale.
2. Analizând ordinea punctelor B ; H ; D ; C pe dreapta BC , se obţine cǎ una din soluţiile
ecuaţiei este 1
DCx
BC .
Deci, dacǎ C BD atunci 1
CDx
BC , iar dacǎ C BD atunci
1
CDx
BC
3. Ecuaţia (1) are o singurǎ soluţie dacǎ şi numai dacǎ D este proiecţia lui A pe dreapta BC.
Particularizând poziţia punctului D, vom deduce unele relaţii metrice în triunghiul oarecare
şi în cel dreptunghic.
1. Teorema lui Stewart :
O soluţie a ecuaţiei este 1
DCx
BC . Înlocuind în ecuaţie obţinem succesiv :
2
2 2 2 2 2 2 0DC DC
a a c b b ADBC BC
2
2 2 2 2 2 2
20
CD DCBC BC AB AC AC AD
BC BC
2 2 2 2 2 2 0BC CD BC DC AB DC AC DC AC BC AD BC
2 2 2 0BC DC DC BC AB DC AC BC DC AD BC .
Cum DC BC DB obţinem teorema lui Stewart : 2 2 2BC DC DB AB DC AC DB AD BC .
Dacǎ C BD atunci 2 2 2AB DC AD BC AC DB BC DC DB (teorema lui Stewart
în ABD şi ceviana AC)
Dacǎ C BD atunci 2 2 2AB DC AC BD AD CB BC DC DB (teorema lui Stewart
în ABC şi ceviana AD sau ACD cu ceviana AB).
2. Teorema lui Pitagora generalizatǎ
Considerǎm D este proiecţia lui A pe dreapta BC. Rezultǎ cǎ D H şi cǎ ecuaţia (1) are o
singurǎ soluţie şi anume 2 2 2
1 2 22
a c bx x
a
. Dar, soluţia este 1
DCx
BC . Prin urmare,
2 2 222 2 2
22
2
a c b DC DCBC AB AC BC
a BC BC
. Obţinem teorema lui Pitagora
generalizatǎ : 2 2 2 2AB BC AC HC BC .
3. Teorema medianei
Luând D M , mijlocul segmentului BC obţinem 1
2
DCx
BC , o soluţie a ecuaţiei (1) .
Înlocuind în (1), deducem lungimea medianei : 2
2 2 2 2 2 21 10
2 2a a c b b AM
2 2 2
22
4
b c aAM
(teorema medianei)
Micii MATEMATICIENI
7
4. Lungimea bisectoarei interioare
Din teorema bisectoarei rezultǎ cǎ D BC şi cǎ o soluţie este 1
DC bx
b cBC
. Folosind
relaţiile lui Viette , din 2 2
1 2 2
b ADx x
a
obţinem
2 2
2 2
b AD b cx
a b
. Înlocuind în
2 2 2
1 2 2
a c bx x
a
avem succesiv:
2 2 2 2 2
2 2
b b AD b c a c b
b c a b a
22 2 2 2 2 2 2 2b a b AD b c a c b b bc
2 2 2 3 4 32 2
2
bca b c bc b b cb AD
b c
4 3 2 2 2 2 2 3 4 32
2
2b b c b c bca b c bc b b cAD
b c
3 2 2 2 32
2
2b c b c bca bcAD
b c
2
2
bcAD b c a b c a
b c
2
2
4bc p p aAD
b c
(lungimea bisectoarei)
………………..
Fie ABC dreptunghic în A. Ţinând cont de teorema lui Pitagora ecuaţia (1) devine
2 2 2 2 22 0 2a X b X b AD
5. Teorema catetei
Luând D H obţinem singura soluţie a ecuaţiei (2) şi anume 2
1 2 2
bx x
a . Dar
22
2
HC HC AC HCx AC BC HC
BC BC BCBC (teorema catetei)
6. Teorema a doua a înǎţimii
Luând D H obţinem singura soluţie a ecuaţiei (2) şi anume 2
2
CH bx
BC a . Înlocuind în (2) ,
obţinem 2 4
2 2 2
2 22 0
b ba b AH
a a
2 2 2
2
2
b a bAH
a
. Cu teorema lui Pitagora
deducem cǎ 2 2
2
2
b c b cAH AH
a a
(teorema a II a în ǎlţimii)
Profesor, Liceul Teoretic « Ştefan cel Mare » , Hîrlău
Micii MATEMATICIENI
8
Demonstraţii geometrice ale unor relaţii algebrice de Mircea Popa
.I Inegalitatea între media aritmetică şi media geometrică (două metode)
Soluţia 1: Se construieşte ABCD pătrat de latură a+b, AFQE, BGMF, CHNG, DEPH
dreptunghiuri de dimensiuni a şi b MNPQ pătrat de latură a–b (figura V.1.a).
Scriind aria ABCD în două moduri:AABCD = (a+b)2
şi AABCD = 4AAFQE+AMNPQ=4ab+(a–b)2
obţinem (a+b)2 = 4ab+(a–b)
2 (a+b)
2 4ab
2
ba ab .
Soluţia 2: Se construiesc cercurile tangente de diametre a, respectiv b.
Se construieşte triunghiul OAO’, cu OO’=2
ba , OA=OT–O’T’=
2
ba şi AO’= ab , obţinut
din aplicarea teoremei lui Pitagora (figura 1.b). Deci OO’ > AO’ 2
ba ab .
.II Inegalitatea mediilor: media aritmetică media geometrică media armonică
Se construieşte semicercul de diametru AC=AB+BC=a+b, deci de rază DE=2
ba . Se
construieşte ACE (dreptunghic) şi BEAC. Conform teoremei înălţimii BE= ab (figura 2).
Se construieşte EFED, BFDE. Din BEDFBE rezultă FB=ba
2ab
.
Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza este mai mare decât fiecare dintre catete 2
ba
ab ba
2ab
.
.III Suma întregilor (metoda 1)
A B
C D
F
M G
H
E Q
P
N a
b a
b
O O’
A
T T’
Figura 1.a Figura 1.b
A B D C
E F
a b
2
ba
ab
ba
2ab
Figura 2
Micii MATEMATICIENI
9
Se construiesc pătrate de latură unitatea (fig.3). Calculăm aria figurii obţinute:
1+2+3+...+n = 2
n
2
n2
Sn=2
1)n(n
.IV Suma întregilor (metoda 2) şi suma cuburilor
Se construiesc, pe rânduri: un pătrat de latură 1, două pătrate de latură 2, trei pătrate de latură
3, ..., n pătrate de latură n (fig.4). Sunt asemenea ABC (cu AB = ½ BC) şi AMN AM = ½
MN 1+2+3+4+...+n=2
1n(n+1).
Figura obţinută este echivalentă cu AMN (sunt echivalente două câte două triunghiurile
haşurate) 112 +22
2 +33
2 + ...
+nn
2=
2
1)n(n2
1
1
3+2
3+3
3+...+n
3 =
8
1)(nn 22
.V Numărul de aur
În Elementele sale, Euclid dădea următoarele probleme:
„Să se taie o dreaptă dată (segment) în aşa fel încât dreputunghiul cuprins de dreapta întreagă
şi unul din segmente să fie egal cu pătratul segmentului rămas.” (Cartea a II-a, propoziţia 11)
„Să se împartă un segment de dreaptă în medie şi extremă raţie.” (Cartea a VI-a, propoziţia
30).
Fie segmentul AB dat. Se construieşte segmentul BO perpendicular pe AB, de mărime ½ din
AB, apoi cercul cu centrul în O şi rază BO, care va tăia segmentul AO în P (figura 5.1). Se
construieşte cercul de centru A şi rază AP, care taie AB în M.
Punctul M împarte segmentul AB în raportul (secţiunea) de aur, numărul 2
15
AM
AB
fiind numit numărul de aur.
Folosind teorema lui Pitagora, se găseşte valoarea acestui raport astfel:
Figura 3 n pătrate
n pătrate
B C
A
1
2
3
...
n
M n(n+1) N
Figura 4
Micii MATEMATICIENI
10
2
15
1)5BO(
2BO
POBOAB
2BO
POAO
2BO
AP
2BO
AM
AB
22
.
Pornind de la pătratul de latură unitatea, se poate obţine numărul de aur ca în figura V.5.2: în
CDE, conform teoremei lui Pitagora, avem EC=2
5, M este intersecţia cercului de centru E şi
rază EC cu AB AM=2
15 .
z
Observaţii: 1. Având dreptunghiul ABPM astfel construit, cu dimensiunile în raportul de aur, unde
ABCD pătrat, dreptunghiul CDMP are aceeaşi proprietate: are laturile în raportul de aur.
Decupând iarăşi un pătrat obţinem succesiv dreptunghiuri de aur din ce în ce mai mici (fig.5.3).
Obţinem dreptunghiuri din ce în ce mai mari dacă adăugăm câte un pătrat pe latura mai mare
a dreptunghiului de aur de la care pornim: AMNQ pătrat BPNQ dreptunghi de aur, ş.a.m.d.
(fig.5.4).
2.Se numeşte triunghi de aur triunghiul isoscel ABC cu 2
15
BC
AB
DC
AD (fig.5.5).
.VI Suma seriei geometrice
Se construieşte pătratul AA1DC de latură 1, B1A1B, A1B1=r. Se duce CB1, CB1AA1=E (figura V.6).
Se construiesc pătratele A1A2D1B1, A2A3D2B2 (cu B2 intersecţia CE cu A2D1, A3A4D3B3 (cu
B3 intersecţia CE cu A3D2), ş.a.m.d. Din asemănări de triunghiuri se obţin A2B2=r2, A3B3=r
3,
ş.a.m.d.
D C
B1
B2
B3
B4
B5
1
1
1–r
r r
2
r3
r4
Figura .6 D1
D2
D3 D4
O
O M B
P
Figura 5.1
A E D
M
B C ½ ½
1
Figura 5.2
A
D M
B C P
Fig. 5.3. Fig. 5.4. Fig.5.5.
Q N
B C P
A M D
A B
C
D
Micii MATEMATICIENI
11
AE = 1 + r + r2 + r
3 + ...
Din CBB1EAC se obţine 1BB
AC
CB
AE 1 + r + r
2 + r
3 + ... =
r1
1
Profesor , Şcoala « Petru Rareş », Hîrlău
Probleme de geometrie rezolvate sintetic, vectorial şi analitic de Aurel Neicu
În această notă, voi trata sintetic, vectorial şi analitic două probleme de geometrie.
Problema 1 : În paralelipipedul dreptunghic / / / /ABCDA B C D avem AB=a, BC=b, /AA c .
Notăm cu E şi F proiecţiile lui D pe AC, respectiv pe / /A C şi cu P, Q proiecţiile lui /C pe / /B D , respectiv pe /BD .
Arătaţi că /DEF C PQ dacă şi numai dacă 2 2 2b a c .
( O.J.M. clasa a VIII a / 2001)
Soluţia I (folosind vectorii)Pentru a arăta că /DEF C PQ este suficient să arătăm că
vectorii normali ai celor două plane sunt perpendiculari.
Deoarece DE AC şi /DE AA rezultă că /DE AA C şi cu
/ /A C AA C obţinem /DE A C , dar /A C DF , deci
/A C DEF .
Prin urmare, vectorul normal al planului DEF este /A C
.Analog, se arată că vectorul normal al planului /C PQ este /BD
.
Ţinând cont că / 0A A AB ; / / / / / / /A C A B A A A D BC AB A A şi
/ / /BD BB BC BA BC AB A A obţinem valoarea produsului scalar :
2 22 2
/ / / 2 / / 2 2 22A C BD BC A A AB b A A A A AB AB b c a
.
Avem : /DEF C PQ / / 0A C BD 2 2 2 2 2 20b c a b c a .
Soluţia II (folosind coordonate)
În raport cu reperul ortogonal /; , ,D DC DA DD avem următoarele exprimări analitice :
/ 0, ,A b c ; ,0,0C a ; , ,0B a b ; / 0,0,D c ; / , ,A C a b c şi / , ,BD a b c .
Atunci exprimarea produsului scalar este: / / 2 2 2A C BD a b c .
Deci : /DEF C PQ / / 0A C BD 2 2 2 2 2 20b c a b c a
Micii MATEMATICIENI
12
Soluţia III (sintetic) Se arată cu uşurinţă că / /A BCD este dreptunghi.
Prin urmare, /DEF C PQ / /A C BD / /A BCD are diagonalele perpendiculare
/ /A BCD devine pătrat /A B BC / 2 2A B BC / 2 / 2A A A B 2BC2 2 2c a b .
Problema 2 : Fie cubul / / / /ABCDA B C D şi M, N, P, Q astfel încât 3
4AP AB ;
/ / /2
3A Q A D ; / / /1
4A M A B şi
2
3BN BC . Arătaţi că PQ BMN .
Soluţia I ( vectorial) Avem : PQ PB BM MQ / /1
4AB BM MA A Q
/ / / /1 1 2
4 4 3AB BM A B A D
2
3BM BC BM BN .
Rezultă că vectorii PQ , BM şi BN sunt coplanari. Cum BM
şi BN sunt vectori necoliniari, deci formează o bază a planului
BMN rezultă că PQ BMN .
Soluţia II (folosind coordonate) Pentru arăta că PQ BMN
este suficient să verificăm că vectorul normal n a planului
BMN este ortogonal cu vectorul PQ , adică 0PQ n
Fie reperul ortogonal /; , ,A AD AB AA Notăm cu l , latura cubului.Avem exprimările
analitice : 0,0,0A ; ,0,0B l ; , ,0C l l ; 0, ,0D l ; / 0,0,A l ; / ,0,B l l ; / 0, ,D l l ;
/ /,0,0 ,0,0AB l A B l şi / / 0, ,0 0, ,0A D l BC l . Din 3
4AP AB rezultă
3,0,0
4
lP
, iar din / / /2
3A Q A D obţinem
20, ,
3
lQ l
, de unde 3 2
, ,4 3
l lPQ l
(1) Din
/ / /1
4A M A B şi
2
3BN BC găsim ,0,
4
lM l
şi 2
, ,03
lN l
. Ecuaţia planului BMN
este :
4 3
1 3
1
10 1
240 1 0
0 0 1 3 4
0 120 1
3
L L
C l C
x y z
x zll
l ll
l
lll
2
033
4
x l zl
ll
4 3 4 0x z l .
Vectorul normal are coordonatele 4,0,3n . Cum 3 2
4 0 3 04 3
l lPQ n l rezultă că
PQ BMN .
Soluţia III (sintetic) Fie punctul S astfel ca /A MSQ paralelogram.
Din /MS A Q BN BS BMN . Cum QS, /A M , PB sunt paralele şi congruente rezultă
că BPQS paralelogram, de unde PQ BS şi cum BS BMN rezultă PQ BMN .
Profesor, Liceul Teoretic « Ştefan cel Mare » , Hîrlău
Micii MATEMATICIENI
13
Derivata unui determinant de Mihaela Manole
Fie RR :ija funcţii derivabile pe n...,,2,1ji,, R , iar RR :a ,
R. x
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
xa
nnnn
n
n
,
...
..........................
...)(
)(...)()(
)(
21
22221
11211
Atunci xa este o funcţie derivabilă pe R şi
R.
x
xaxaxa
xaaxa
xaxaxa
xan
j
nnnn
jnjj
n
,
...
..................................
...
.................................
...
)('1
21
''
2
'
1
11211
(*)
Demonstraţie. Derivabilitatea funcţiei xa pe R rezultă din faptul că se obţine prin operaţii
elementare cu funcţiile n...,,2,1ji,,a ij care sunt presupuse derivabile.
Deoarece determinantul este o suma de produse de forma:
(1) R.
xxaxaxasignxa nn
Pn
,...2211
Obţinem relaţia (*) prin derivarea relaţiei (1):
R
xxaxaxaxasignxan
j
nnjj
Pn
,...'...'1
2211
.
Aplicaţii :
1.Să se demonstreze că:
cbacba
xxx
xxx
coscoscos
sinsinsin
coscoscos
sinsinsin
R, x unde R.xcba ,,,,,,
Soluţie:Într-adevăr, fie RR :f ,
cba
xxx
xxx
xf
coscoscos
sinsinsin
Evident f este derivabilă şi conform relaţiei (*), putem scrie
Micii MATEMATICIENI
14
0
000
coscoscos
sinsinsin
sinsinsin
sinsinsin
coscoscos
coscoscos
'
xxx
xxx
cba
xxx
xxx
cba
xxx
xxx
xf
Cum R xxf ,0' , rezultă că )(xf este constantă pe R şi deci )0()( fxf R x
adică tocmai ceea ce trebuia demonstrate.
2. Fie
1111
061220
0345
1
)(234
245
xxx
xxx
xf . Să se demonstreze că 1x este rădăcină dublă pentru xf .
Soluţie: Se observă că 0
1111
061220
0345
1111
)1( f .
0
0000
061220
0345
1
1111
0000
0345
1
1111
061220
061220
1
1111
061220
0345
0245
)('234
245
234
245
23
245
234
34
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xf şi
deci, dacă ,01',1 fx adică 1x este rădăcină dublă pentru xf .
3.Fie Rbaf ,: o funcţie de n ori derivabilă şi: ....210 bxxxxa n
Atunci există bac , astfel încât:
ijnji
n
n
n
n
nn
n
xxcfn
xfxfxf
xxx
xxx
1
10
11
1
1
0
10
!
1
...)(
...
...
1...11
Soluţie:
Se consideră funcţia
bax
xfxfxfxf
xxxx
xxxx
xF
n
n
n
nnn
n
,,
....)(
.....
.....
1.....111
)(
10
10
10
Se constată uşor că
bax
xfxfxfxf
xxxn
xxx
xF
n
n
n
n
nn
n
n ,,
...)(
.....!
....0
1.....110
)(
10
10
10
Micii MATEMATICIENI
15
Evident 0)(...)()( 10 nxFxFxF , deci aplicând lui F de n ori teorema lui Rolle
rezultă că există bac , astfel încât .0cF n Scriind 0cF n şi dezvoltând
determinantul după prima coloană se obţine:
0
...
............
...
1...11
...
............
...
1...11
!
10
10
1
1
1
0
10
n
n
nn
nn
n
n
nn
n
xxx
xxxcf
xxx
xxxn
Iar de aici rezultă imediat relaţia cerută.
Prof. doctorand, Grupul Şcolar ,,Emil A.Dandea”, Tg Mureş
Clase de resturi complexe modulo prim de Krámli T.Iosif
Vă propun să parcurgem împreună, în cazul finit, procedeul de ,,scufundare” a unui corp,
prin adjoncţionarea unui element imaginar, într-un supracorp în care toate polinoamele cu
coeficienţi din acel corp să admită cel puţin o rădăcină. La sfârşitul acestui demers de (micro-)
cercetare, vom înţelege mai bine germinaţia ideii/nevoii de a considera numerele complexe,
însuşi mecanismul de extindere a corpului numerelor reale (R, +, •) în corpul numerelor
complexe (C, +, •) prin cooptarea unităţii imaginare ,,i”.
1. Consideraţi corpul comutativ al claselor de resturi modulo 7,
.6̂,5̂,4̂,3̂,2̂,1̂,0̂,,, 77 ZZ
Delimitaţi submulţimea lui 7Z care conţine toate pătratele elementelor sale:
.7
2 Z aaM
2. Listaţi toate ecuaţiile ax 2 , 7Za care nu au nicio soluţie in 7Z .
3. Ecuaţia 3̂2 x care este şi ea pe lista de la punctul 2. Imaginaţi-Vă, totuşi, o clasă de
resturi (fictivă, imaginară!) care, ridicată la pătrat, dă 3̂ . Daţi-i un nume acestei ficţiuni - eu
propun să o numim ,,unitate imaginară” -, şi, inventaţi-i şi o notaţie/simbol matematic, de
pildă ,, ”. Aşadar, prin definiţie, 3̂2 . Consideraţi acum, mulţimea
77 , Z yxyxK ; numiţi elementele acestei mulţimi drept ,,clase de resturi
complexe modulo 7 ” (în scrierea unui element ,. 7 Kyxz semnele adunării şi
înmulţirii sunt formal utilizate, fără nicio semnificaţie anume !). Câte elemente are 7K ?
4. Adoptaţi definiţiile:
ba , dbcadc
ba bcadbdacdc 3̂ ,
oricare ar fi clasele de resturi complexe 7, Kdcba . Echipaţi, apoi, mulţimea
7K cu aceste operaţii. Demonstraţi că, structura algebrică astfel construită, ( ,7 K , )
este corp comutativ.
Micii MATEMATICIENI
16
1. Puteţi arăta acum că, oricare din ecuaţiile ax 2 , 7Za admit două soluţii, fie
,,reale” (în 7Z ), fie ,,complexe” (în 7K ) care se pot scrie în forma ax 2,1 .
Completaţi golurile din tabelul de mai jos:
a
6̂5̂4̂3̂2̂1̂0̂
a
3̂
3̂
2. Putem, acum, să schiţăm o teorie sumară a ecuaţiilor de gradul al doilea cu coeficienţi în
7Z ,
0̂,,,,0̂ 7
2 acbacbxax Z
Arătaţi că, numărul tuturor ecuaţiilor de gradul al doilea cu coeficienţi în 7Z , este 294.
Dacă înmulţesc ecuaţia 0̂2 cbxax cu 1a , obţin o ecuaţie echivalentă, cu primul
coeficient 1̂ ,
0̂2 xx ; să numim aceste ecuaţii drept ,, ecuaţii reduse “. Câte ecuaţii
reduse sunt, în total ?
Demonstraţi că, fiecare dintre ecuaţiile reduse are două rădăcini care se obţin cu
formulele: ,4̂.2,1 x cu .3̂2
Aceste rădăcini sunt
,,reale şi distincte”, 21, xx 7Z 21 xx dacă şi numai dacă 4̂,2̂,1̂
,,reale şi egale”, 21 xx 7Z , dacă şi numai dacă 0̂ ,
,,complexe conjugate”, 72,1 Kbax , dacă şi numai dacă 6̂,5̂,3̂ .
Stabiliţi câte din ecuaţiile reduse sunt de prima, a doua şi a treia categorie ?
3. Verificaţi-vă noile cunoştinţe rezolvând următoarele exerciţii:
Efectuaţi în 7K calculul: 3̂1̂ 22̂ 2̂1̂ 2̂1̂
Rezolvaţi în 7K ecuaţiile: 0̂4̂2̂2 xx , 0̂2̂6̂2 xx , 0̂6̂2 xx
Pentru ecuaţiile reduse, operează formulele 1x 12 , xx 2x ,
21
2 . xxxxxx ? Verificaţi !
Scrieţi ecuaţia redusă cu o rădăcină 2̂1x
Derulaţi discuţia asupra naturii rădăcinilor ecuaţiei ,0̂1̂ 22 mxmx după
valorile parametrului 7Zm
Încercaţi să refaceţi întreg traseul ,,excursiei” noastre plecând de la elementul
imaginar definit prin egalitatea 5̂2 ; constituiţi corpul ,,7 K şi arătaţi că
este izomorf cu corpul ( ,7 K , ).
Construiţi câte o extindere a corpurilor ,,3Z şi respectiv, ,,5Z . Dezvoltaţi,
pentru amândouă, teoria ecuaţiilor de gradul al doilea în maniera arătată la punctul 6.
Micii MATEMATICIENI
17
Profesor, Grupul Şcolar ,,Emil A.Dandea” Tg Mureş
REFERATE ALE ELEVILOR
Câteva probleme pentru cei mici selectate şi rezolvate de un grup de elevi
1. Şase perechi de iepuri au câte şase iepuraşi. Aflaţi câţi iepuri sunt împreună ?
Soluţie ( Aryna Creangă , elevă , clasa a V a) :
1. Câţi iepuri sunt în familie ? 2+6=8 iepuri
2. Câţi iepuri sunt împreună ? 8 6=48 iepuri
2. Un croitor taie o bucată de pânză în 10 bucăţi. Fiecare tăietură durează 1 minut. În cât timp
realizează tăieturile ?
Soluţie ( Mădălina Matei , elevă, clasa a V a) :
Pentru a tăia pânza în 10 bucăţi se fac 9 tăieturi. Deci timpul scurs pentru cele 9 tăieturi este 9
1=9 min.
3. O portocală,o banană şi un măr costă 6000 lei.Află câţi lei costă fiecare ştiind că o portocală
costă cât 2 mere,iar o banană cât 3 mere.
Soluţie (Alina Sînziana Pintilii , elevă, clasa a V a) :
Cu banii de pe o portocală cumparăm 2 mere.Cu bani de pe o banană cumparăm 3 mere.Deci
cumparăm 6 mere cu 6000 lei.Prin urmare un măr costă 1000 lei.O portocală costă cât 2 mere,
adică 2000 lei,iar o banană cât 3 mere, adică 3000 lei.
4. Un fermier are în curte iepuri şi găini.Numărul găinilor este de 7 ori mai mare decât
numărul iepurilor.În total sunt 1890 picioare.Câţi iepuri şi câte găini are fermierul?
Soluţie (Codrin Niculescu, elev, clasa a XI a) :
Un iepure reprezintă o parte cu patru picioare. Numărul găinilor este 7 părţi cu 14 picioare.
Avem 14+4=18 picioare. Numărul de iepuri este:1890:18=105, iar numărul de găini este 105 ∙
7=735
Micii MATEMATICIENI
18
5. Un ţăran a lăsat drept moştenire celor doi fii ai săi o cireadă de vaci. Ei au vândut vacile în
afară de una şi au cumpărat 48 de oi. Unul dintre fii a oferit celuilalt două oi pentru a lua vaca.
Aflaţi câte vaci a lăsat moştenire ţăranul.
Soluţie (Codrin Niculescu, elev, clasa a XI a) :
Ei vor trebui să împartă şi ultima vacă în jumatate. Pentru a obţine jumătatea fratelui, unul îi dă
două oi. Deci o jumătate de vacă valorează cât două oi, iar o vacă valorează cât patru oi.
Dacă au cumpărat 48 de oi, atunci au vândut 48:4=12 vaci, iar împreună cu cea nevândută sunt în
total 13 vaci.
6. Bunicul şi-a sărbătorit la intervale egale până acum ziua de naştere de 18 ori. Câţi ani poate
avea bunicul ?
Soluţie (Codrin Niculescu, elev, clasa a XI a) :
Bunicul este născut pe 29 februarie.Prima aniversare are loc la 4 ani, iar a 18-a aniversare la 18
4=72 ani.Până la următoarea aniversare el poate avea 73, 74 sau 75 ani.
7. O cantitate de roşii se aşează în lădiţe.Dacă se pun câte 3 kilograme într-o lădiţă rămân 52
kilograme,iar dacă se aşează câte 7 kilograme rămân 4 lădiţe goale.Ce cantitate de roşii şi câte
lădiţe erau.
Soluţie (Andreea Ivănuţă , elev, clasa a V a) :
3kg……3kg…..3kg……rămân 52 kilograme
7kg……7kg…..7kg……rămân 4 lădiţe goale
Se iau cele 52 de kilograme rămase şi se adaugă la fiecare lădiţă câte 4 kg.Astfel se fac 13 lădiţe
cu câte 7 kg de roşii.Cu cantitatea de roşii din cele 4 lădiţe s-au mai făcut încă 3 lădiţe cu câte 7
kg.Deci sunt 13+3+4=20 lădiţe.Cantitatea de roşii este:16 ∙ 7=112 kg roşii.
8. Dacă într-o sală se aşează câte 2 elevi într-o bancă rămân 3 elevi în picioare,iar dacă se
aşează câte 3,rămân 4 bănci libere.Câte bănci şi câţi elevi sunt în clasă ?
Soluţie (Alexandru Şerban, elev, clasa a XI a) :
II…..II….II……II + 3 elevi
III….III….III…..III + 4 bănci libere
II-reprezintă banca cu 2 elevi
III-reprezintă banca cu 3 elevi
Cei 3 elevi care au rămas fără loc se vor aşeza câte unul în băncile cu 2 elevi,obţinându-se 3
bănci cu 3 elevi.Cele 4 bănci goale au avut la început câte 2 elevi fiecare.Deci în total 8
elevi.Aceşti 8 elevi se vor aşeza în băncile cu 2 elevi,obţinându-se 8 bănci cu câte 3
elevi.Deci avem în total 3+8+4=15 bănci şi 11 ∙ 3=33 elevi.
9. Se pot scoate dintr-o carieră de piatră 50 de blocuri de piatră având greutăţile de 370 kg, 372
kg, 374 kg, ... , 468 kg cu şapte camioane de 3 tone ?
Soluţie (Lucian Mihulcă, elev, clasa a XI a) :
Nu se poate. Dacă s-ar putea, atunci într-un anumit camion trebuie să fie puse cel puţin 8 pietre.
Dar chiar cele mai uşoare 8 pietre cântăresc : 370+372+374+376378+382+384=3016 kg
10. Într-un bloc sunt în total 20 apartamente de 2 si 4 camere.Ştiind că blocul are 54 camere,să
se afle câte apartamente sunt cu 2 şi câte cu 4 camere.
Soluţie (Alexandru Şerban , elev, clasa a XI a) :
Micii MATEMATICIENI
19
Presupunem că toate apartamentele sunt cu 4 camere.Atunci numărul de camere ar fi de
80.Diferenţa de 26 camere provine din faptul că sunt şi apartamente cu 2 camere.Înlocuim un
apartament cu 4 camere cu unul cu 2 camere.La o înlocuire diferenţa se micsorează cu 2
camere.Facem această înlocuire de câte ori se cuprinde 2 în 26,adică de 13 ori.Înseamnă că sunt
13 apartamente cu 2 camere şi 7 cu 4 camere.
11. Un calculator efectuează o înmulţire în 3 secunde şi o adunare în o secundă. Câte secunde îi
sunt necesare pentru a aduna produsele de câte două cifre distincte, ce se pot forma cu numerele
17384 ; 3002 şi 718 ? Justificaţi răspunsul .
Soluţie ( Andreea Buzilă , elevă, clasa a V a) :
Din cele 3 numere se pot forma 3 produse ce sunt efectuate în 3x3=9secunde . Pentru a suma
cele 3 produse calculatorul face 2 adunări în 2 secunde. În total, 9+2=11 secunde.
12. Suma a două numere este 132. Dacă înmulţim primul număr cu 9, iar pe al doilea cu 3,
obţinem două produse egale. Care sunt cele trei numere ?
Soluţie ( Adina Jitariu , elevă, clasa a V a) :
= 9 a Din reprezentarea precedentă
=3 b obţinem b=3 a
=a Numărul părţilor egale este1+3=4 părţi
= 132
=b că numărul a=132:4=33, iar b=33 3=99.
13. În 3 cutii sunt napolitane.În prima sunt cu 20 mai mult decât în celelalte două la un loc,iar
în a doua cu 20 mai puţin decât în a treia.Dacă din a doua cutie luăm 10 napolitane,vor rămâne
de 6 ori mai puţine decât în prima şi a treia la un loc. Câte napolitane sunt în cutie?
Soluţie ( Emanuela Iacob , elevă, clasa a V a) :
Avem 3 părţi + 90 napolitane.
90 napolitane reprezintă 3 părţi1 p=90:3=30
1)Câte napolitane sunt în a doua cutie?
30 +10=40(napolitane)
2)Câte napolitane sunt în a 3-a cutie?
40+20=60(napolitane)
3)Câte napolitane sunt în prima cutie?
40+60+20=120(napolitane)
14. Fie patru numere naturale.Diferenţa dintre al doilea şi al treilea este cât o treime din
primul,iar al patrulea număr este dublul primului.Dacă mărim primul şi al treilea număr cu 230
iar din al patrulea număr scădem dublul lui 230,cele
patru numere devin egale.Află dublul sumei
numerelor.
Soluţie ( Denisa Pletan , elevă, clasa a V a) :
Din reprezentarea grafică se poate vedea că 1p =230
Rezultă că primul număr este : 3p ∙ 230=690
230
460
230
1
4
2
3
10 20 20
10
2
3
1
Micii MATEMATICIENI
20
Al doliea număr este : 4p ∙ 230=920
Al treilea număr este: 3p ∙ 230=690
Al patrulea număr este : 6p ∙ 230=1380
15. Media aritmetică a 5 numere este 180.Ştiind că primele 3 numere sunt consecutive pare, că
suma ultimelor două este 720,iar al cincilea mai mare cu 120 decât dublul celui de-al
patrulea,află numerele.
Soluţie ( Andreea Ivănuţă , elevă, clasa a V a) :
Notăm cu a,b,c,d,e cele 5 numere .Din media aritmetică → a+b+c+d+e=180 ∙ 5=900
a+b+c= 900-720 =180
3p+6=1803p=1741p=174:3=58 .
Primul număr este 58
Al doilea număr este 60
Al treilea număr este 62.
3p +120=7203p=6001p=200
Al patrulea număr este 200
Al cincilea număr este 520.
16. La un concurs sportiv s-au susţinut 3 probe eliminatorii.După prima probă au fost eliminaţi
o treime şi 3 persoane din totalul participanţilor,după a doua probă o treime şi 3 persoane din
rest,rămânând 123 persoane.Câţi participanţi au fost la acel concurs ?
Soluţie ( Răzvan Ceucă , elev, clasa a V a) :
123 +3 =2p din R11p=126:2=63
R1=63 ∙ 3-3=186
186+3 reprezintă 2 treimi din numărul total de elevi
o treime din numărul total este 186:2=93.
Numărul total al elevilor este egal 93 ∙ 3= 279
Bibliografie: 1. Titus Popescu : « Matematică de vacanţă », , Ed. Sport Turism, Bucureşti 1986
2. Daniela Berechet,Florian Berechet,Maria Gardin,Florin Gardin,Constanta Badea,
« Matematica-culegere de exercitii si probleme clasa a IV-a »; Ed. Paralela 45,2004.
3. Angelica Călugăriţa : « Matematică distractivă » Editura DOR
Elevi, Liceul Teoretic « Ştefan cel Mare », Hîrlău
1 + 3
+ 3
-3
R1
2
R3
123
+2
+4
+ 120
d
e
a
b
c
Micii MATEMATICIENI
21
Soluţii geometrice a unei probleme de fizică
de Ioana Sârbu
Cu puţin timp în urmă, împreună cu un grup de colegi, mă aflam la un concurs de fizică .
Doream, cu toţii, să ne verifică în privinţa posibilităţilor noastre de a rezolva anumite probleme.
Numai că la un moment data am ajuns la un impas : ceea ce ştim de la lecţii nu ne ajută să ducem
la bun sfârşit rezolvarea următoarei probleme :
« Imaginea unui obiect liniar de 5 cm , situat la 30 cm de o lentilă convergentă se
formează la 60 cm de lentilă. Care este mărimea imaginii ? »
Înţelegeam că, din punct de
vedere fizic, există soluţie dar
depăşea nivelul clasei a VII a aşa
că am căutat , am căutat şi … am
găsit : rezolvarea geometrică .
Am construit mediana MN
în triunghiul dreptunghic / /A B O
şi am folosit proprietăţile ei: / /MN A B Şi
/ /,
,2
d A Bd M N . Cum
triunghiurile OAB şi OMN au
două unghiuri congruente fiind
opuse la vârf şi laturile AB şi
MN având lungimile egale cu 30
cm , rezultă că ele sunt
congruente . Obţinem că
AB MN şi cum AB=5 cm şi / /, 2 ,d A B d M N găsim imaginea / /A B are lungimea 10
cm .
Mai târziu, după ce am făcut cunoştinţă cu asemănarea triunghiurilor am văzut o altă
soluţie:
Din / /AB A B şi teorema fundamentală a asemănării obţinem că / /OAB OA B
/
/ /
/ / /
5 6010
30
OA AB AB OAA B cm
OA A B OA
, parcă mai simplă decât prima .
Elevă, Liceul Teoretic « Ştefan cel Mare », Hîrlău
Metoda reducerii la absurd în algebră
selectate şi rezolvate de un grup de elevi
1. Mulţimea numerelor prime este infinită (Teorema lui Euclid).
Soluţie ( Elena Huţanu , elevă , clasa a XI a) :
Presupunem, prin absurd, că mulţimea numerelor prime este finită conţinând 1
p ,2
p ,3
p ,…, n
p .
Considerăm numărul 1 2 ... 1nx p p p . Acest număr este prim căci altfel ar trebui să se dividă
cu cel puţin un , 1,kp k n . Cum , 1,kp k n divide 1 2 ... np p p rezultă că 1kp , absurd.
L
B’
A
P
M
N
A
B
30cm
60cm
?
5cm 1
2
Micii MATEMATICIENI
22
Din observaţia că , 1,kx p k n rezultă că mulţimea numerelor prime ar avea (n+1)
elemente, contradicţie. Prin urmare mulţimea numerelor prime este infinită.
2. Pentru orice x există şi este unic un număr întreg n pentru care 1n x n
(Proprietatea lui Arhimede)
Soluţie ( Elena Huţanu , elevă , clasa a XI a) :
Existenţa : Presupunem, prin absurd, că nu este adevărată propoziţia :
: 1x n n x n . Atunci există 0x astfel încât 0 1 ,n x n n .
Din 0 ,n x n rezultă că mulţimea numerelor întregi este finită, absurd.
Deci , pentru orice x există un număr întreg n pentru care 1n x n .
Unicitatea : Presupunem, prin absurd, că m,n : m n astfel încât 1n x n şi
1m x m . Înmulţind ultima inegalitate cu (-1) şi adunând-o cu prima, obţinem
n-m-1<0<n-m+1 1n m 0n m n-m=0m=n, contradicţie .
Prin urmare, este adevărată proprietatea lui Arhimede.
3. Aflaţi x,y,z ştiind că 2453 3 3x y z , .
Soluţie (Bogdan Burican , elev , clasa a XI a) :
Fără a restrânge generalitatea presupunem că x y z Vom arăta că x=0.
Presupunem, prin absurd, că x 0 y 0 si z 0 .Rezultă că 3x
3M , 3y
3M şi
3z
3M 33 3 3
x y z
M 2453M 11
3M , absurd .
Deci x=0 1 2453 3y z
2443 3y z
Arătăm că y=0
Presupunem, prin absurd, că y 0z 0. Din 3y
3M şi 3z
3M 33 3
y z
M
243M 10
3M , absurd
Deci y=0 . 1+ 3z=244 3
z=243 3
z=
5
3 z=5
Prin urmare, , , (0,0,5),(0,5,0),(5,0,0)x y z
4. Demonstraţi că, dacă a,b,c sunt numere reale distincte două câte două atunci ecuaţiile:
2
2
2
2 1 0
2 1 0
2 1 0
ax bx
bx cx
cx ax
nu au nici o rădăcină comună .
Soluţie ( Nathaly Ştefiuc , elevă , clasa a XI a) :
Presupunem, prin absurd, că ecuaţiile au o rădăcină comună 0x deci 2 2 2
0 0 0 0 0 02 1 2 1 2 1 0ax bx bx cx cx ax . Se observă că 0 0x . Găsim:
0
2( ) 2( )c b a cx
a b b c
, de unde 2 2 2a b c ab ac bc
2 2 20a b b c c a
Deci , a=b=c , ceea ce contrazice ipoteza.
Micii MATEMATICIENI
23
5. Există numere reale nenule x,y,z astfel încât: x+y+z =1 1 1
0x y z ?
Soluţie ( Dragoş Pascariu , elev , clasa a XI a) :
Vom demonstra că nu există astfel de numere.
Presupunem, prin absurd, că există numere reale nenule x,y,z astfel încât: x+y+z =1 1 1
0x y z
Obţinem că xy+xz+yz=0 . Rezultă că 2 2 2x y z 2
2 0x y z xy xz yz ,de unde
x=y=z=0, contradicţie.
Prin urmare nu există astfel de numere.
6. Demonstraţi că nu există nici o funcţie polinomială f cu proprietatea
2 32 ,f x x f x x
Soluţie ( Elena Negură , elevă , clasa a XII a) :
Presupunem, prin absurd, că există o funcţie polinomială de gradul n astfel încât să aibă loc
relaţia dată . Din proprietăţile gradului obţinem 2n=3+n , deci n=3 .
Cum 3 20 0f f x ax bx cx . Relaţia din enunţ devine :
6 4 2 3 3 22 ( ),ax bx cx x ax bx cx x , de unde a=2a deci a=0, ceea ce contrazice
faptul că grad 3f .
7. Rezolvaţi sistemul :
2 3
3 5
5
7
x y
x y
în mulţimea numerelor reale pozitive.
Soluţie (Adina Andrei, elevă , clasa a XII a) :
Se observă că sistemul admite soluţia x=2 , y=1 . Demonstrăm că nu există altă soluţie.
Presupunem, prin absurd, că există o soluţie 0 0,x y cu 0 2x . Din principiul bunei ordonări
avem două situaţii : 0 00 0x sau x .
Dacă 0 2x , atunci din prima ecuatie avem 3 2
0 05 1y x deci 0 1y , iar din a doua ecuatie 5 3
0 0 7 1y x deci 0 1y , contradicţie.
Analog , se demonstrează că nu este posibil ca 0 2x .
Deci 0 2x , de unde 0 1y .
8. Demonstraţi că nu există nici un sistem de numeraţie x pentru care numărul de 2007 cifre
2007... xaa a a
Soluţie ( Alexandra Găină , elevă , clasa a XI a) :
Presupunem, prin absurd, că există o bază de numeraţie x cu proprietatea din enunţ 0a şi
a<x. Transformând relaţia în baza x obţinem după simplificarea cu a : 2 2006 20061 ...x x x a
Cum 2006 2 20061 ...x x x x rezultă că 2006 2006x a x a , contrazice faptul că x bază .
Deci nu există un astfel de sistem de numeraţie .
9. Suma a 10 numere naturale nenule, distincte este 108.Demonstraţi că printre ele există cel
puţin două numere impare.
Soluţie ( Iulian Tincu , elev, clasa a IX a) :
Micii MATEMATICIENI
24
Fie *
1 2 10, ,...,a a a distincte cu 1 2 3 10
....... 108a a a a .
Presupunem, prin absurd, că există cel mult 2 nr. impare printre cele 10 numere există un
număr impar sau niciunul Dacă există un număr impar atunci celelalte sunt numere pare, de unde suma celor 10 numere
este număr impar108 impar (Absurditate).
Dacă nu există nici un număr impar atunci toate numerele sunt pare. Atunci suma celor 10
numere este cel puţin egală cu suma celor mai mici numere pare, distincte. Rezultă că
108 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 108 2 1 2 ... 10 108 110 , absurd.
Deci e printre ele există cel puţin două numere impare.
10. Demonstraţi că, dacă , ,a b c şi 3 32 4 0a b c , atunci a=b=c=0 .
Soluţie (Gabriela Scripcariu, elevă , clasa a IX a) :
Arătăm că c=0.
Presupunem, prin absurd, că 0c .Înmulţind relaţia din enunţ cu 3 2 , apoi reducând pe 3 4
între relaţia obţinută şi cea iniţială rezultă : 2 232 2 0ab c b ac .
Prin reducere la absurd, de aici deducem că 2ab c şi 2ac b căci altfel 2
3
2
22
c ab
b ac
,
contradicţie. Din presupunerea că 0c rezultă şi 0 , 0a b .Deci 2
2
2b c
c b , de unde
3 2b
c , contradicţie.
Deci c=0, rezultă 3 2 0a b . Prin urmare b=0, a=0 în caz contrar am avea 3 2a
b ,
contradicţie. În concluzie a=b=c=0 .
11. Demonstraţi că nu există , ,a b c astfel încât ,a b b c şi 2c a . Soluţie ( Adriana Murăraşu , elevă , clasa a IX a) :
Presupunem că există. Cum 0b a şi b a , rezultă 1b a . Analog 1c b . Prin
adunare obţinem 2c a 2c a , ceea ce contrazice relaţia 2c a .
Elevi, Liceul Teoretic « Ştefan cel Mare », Hîrlău
Relaţii vectoriale şi metrice
(între puncte remarcabile în triunghi)
de Lucian Rotaru
În acestă notă vom
stabili relaţiile vectoriale
între O – centrul cercului
circumscris ABC , G –
centrul de greutate al ABC ,
H – ortocentrul ABC şi I –
centrul cercului inscris
ABC .
B
A
C
H
G O I
B’
M
Micii MATEMATICIENI
25
Propoziţia 1: 2HA HB HC HO .
Demonstraţie.
Fie B’ simetricul lui B faţă de O ( )' ABCB C BB’ diametru
'B C BC şi 'B A AB , dar cum H ortocentru, adică AH BC şi CH AB , rezultă
AHCB’ paralelogram. Fiind paralelogram 'HA HC HB HA HB HC
'HB HB , iar cum ' 2HB HB HO ( HO vector mediană în 'BHB ) am ajuns la relaţia
dorită.
Propoziţia 2: OA OB OC OH .
Demonstraţie.
3 2OA OB OC OH HA OH HB OH HC OH HO OH .
Obs. Propoziţiile 1 şi 2 sunt cunoscute sub denumirea de Relaţiile lui J.J.Sylvester (1814-1897).
Propoziţia 3: 0GA GB GC .
Demonstraţie.
În AGC , GM este vector mediană deci 2GM GA GC . Cum 2
3GB MB şi
1
3GM BM ,
G fiind centrul de greutate al ABC , avem GA GB GC 2GM +
2
3MB =
2
3BM
2
3MB 0 .
Propoziţia 4: 3MA MB MC MG , unde M orice punct din planul ABC .
Demonstraţie. MA MB MC MG GA MG GB MG MC 3MG GA GB
3GC MG .
Propoziţia 5: Pentru ABC echilateral urmatoarele relaţii sunt echivalente:
5.1. 0HA HB HC
5.2. 0OA OB OC
5.3. 0IA IB IC
Micii MATEMATICIENI
26
A
B
P
I
D C
Demonstraţie. Folosidu-ne de propoziţia 4 si de faptul că într-un echilateral H,O,G şi I
coincid se demonstrează uşor relaţiile 5.1, 5.2 şi 5.3.
Propoziţia 6: 2 2 2 21 8cos cos cos 9OH R A B C R a b c .
Demonstraţie.
Conform propoziţiei 2 OH OA OB OC . Ridicând această relaţie la pătrat scalar şi ţinând
cont că OA=OB=OC=R ajungem la 2 23 2OH R OA OB OA OC OB OC .
Ştim că 2 2OA OC 2 2OM MA 2 2OM MC şi ţinând cont că M mijlocul lui (AC)
ajungem la OA OC = 2 2OM MA =2
2
4
bOM =
22
2
bR . Analog pentru OA OB şi OB OC .
Deci 2 2 2
2 2 23 2 32
a b cOH R R
= 2 2 2 29R a b c .
Altfel, OA OB OA OC OB OC = 2 cos2 cos2 cos2R A B C 2R ( 1 4cos A
cos cosB C ) şi deci 2 2 1 8cos cos cosOH R A B C .
Observaţie: În orice ABC avem:
a) cos cos cosA B C1
8
b) 2 2 2 29a b b R
Propoziţia 7: 2 ( 2 )OI R R r (relaţia lui Euler)
Demonstraţie.
Fie P un punct oarecare în planul ABC şi fie aPA r ,
bPB r şi cPC r vectorii de poziţie ai lui A, B, C.
Avem
1
b c
cr r
bPDc
b
b cbr cr
b c
(ştiind că
BD AB
DC AC
din teorema bisectoarei). Deoarece ID BD a
IA b cBA
rezultă că:
1
b c a
a b c
br cr araPD PA
ar br crb c b c b cPIa a b c a b c
b c b c
. Dar relaţia este valabilă pentru orice
punct P deci si pentru punctual O rezultă că 2
aOA bOB cOCOI
p
şi deci
2 2 2 2
2
2
2
4
R a b c abOA OB bcOB OC caOC OAOI
p
.
Cum 2
2
2
aOB OC R şi analoagele, obţinem:
Micii MATEMATICIENI
27
22
2 2 2 2
2
42 2
4 2 2
R a b c abc a b c abc RsOI R R R Rr R R r
p p p
.
Observaţie: În orice ABC avem 2R r (inegalitatea lui Euler).
Avem „egalitate” în cazul triunghiului echilateral.
Propoziţia 8 : Punctele O, G, H sunt coliniare şi 3OG OH .
Demonstraţie :
Din propoziţia 2 obţinem 3OG GA GB GC OH , de unde conform propoziţiei 3 avem
3OG OH . Deci, punctele O, G, H sunt coliniare . Ţinând cont propoziţia 6 obţinem relaţiile
metrice între O şi G, între G şi H.
Bibliografie :
o Ion Doru Albu, Ion Damian Bîrchi « Geometrie vectorială în liceu», Ed.Bîrchi
o Petre Năchilă « Algebră vectorială şi geometrie analitică », Ed. Paralela 45
Elev, Liceul Teoretic « Ştefan cel Mare », Hîrlău
O teoremă şi aplicaţiile ei de Cosmin-Alexandru Spînu
În lucrarea [1] este prezentată următoarea teoremă :
« Dacă f, g : (a,b) R, a 0<b, g(x)>0, 0
( )lim 1
( )x
f x
g x , şirul (akn)n>0 este convergent la
zero, k{1,2,...,n}, 1
lim ( )n
knn
k
g a
există, atunci : 1 1
lim ( ) lim ( )n n
kn knn n
k k
f a g a
. »
Demonstraţie:
I. Considerăm 1
lim ( )n
knn
k
g a
finită, deci şirul este mărginit şi cum, din ipoteză, g(x)>0, avem
relaţia 1
0 lim ( )n
knn
k
g a
M (1), iar 0
( )lim 1
( )x
f x
g x >0, ( ) a.î. pentru |x|< ( ) ,
( )1 ( ) ( ) ( ) ( )
( )
f xg x f x g x g x
M g x M M M
(2)
Şirul (akn)n>0 este convergent la zero N( ) a.î. pentru n> N( ), avem |akn|< ( ) , unde şi
( ) sunt exact cei utilizaţi mai sus. În (2), |x|< ( ) ,condiţie îndeplinită şi de termenii şirului,
căci pentru n> N( ), |akn|< ( ) .
Înlocuim în (2) x cu akn, n>N( ) ( ) ( ) ( ) ( )kn kn kn kng a f a g a g aM M
După însumare, pentru k de la 1 la n se obţine:
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )n n n n
kn kn kn kn
k k k k
g a f a g a g aM M
(3)
Din (1) 1 1
( ) ( )n n
kn kn
k k
M g a g a M
. Înmulţim inegalitatea cu M
1 1
( ) ( )n n
kn kn
k k
g a g aM M
(4)
Micii MATEMATICIENI
28
Din relaţiile (3) + (4) rezultă:1 1
( ) ( )n n
kn kn
k k
f a g a
1 1 1 1
( ) ( ) lim ( ) lim ( )n n n n
kn kn kn knn n
k k k k
f a g a f a g a
II. Considerăm 1
lim ( )n
knn
k
g a
= . Limita nu poate fi deoarece g(x)>0.
0
( )lim 1
( )x
f x
g x >0, ( ) a.î. pentru |x|< ( ) :
( )1
( )
f x
g x
( ) ( )1 1 1 (1 ) ( ) ( ) (1 ) ( )
( ) ( )
f x f xg x f x g x
g x g x (5) ;
lim 0knn
a
N( ) a.î. pentru n> N( ), avem |akn|< ( ) , unde şi ( ) sunt cei folosiţi mai
sus şi putem înlocui în (5) x cu akn.
Pentru n> N( ): (1 ) ( ) ( ) (1 ) ( )kn kn kng a f a g a
După însumare, pentru k de la 1 la n se obţine: 1 1 1
(1 ) ( ) ( ) (1 ) ( )n n n
kn kn kn
k k k
g a f a g a
(6)
În relaţia (6) înlocuim cu 1
2 şi apoi trecem la limită pentru n :
1 1 1
1 3lim ( ) lim ( ) lim ( )
2 2
n n n
kn kn knn n n
k k k
g a f a g a
Deoarece1
lim ( )n
knn
k
g a
= ,rezultă 1
lim ( )n
knn
k
f a
= .
În acest referat vom aplica teorema în calculul unor limite de şiruri.
1. 2 2 2
3 3 3
3 1 3 2 3lim sin sin ... sinn
n
n n n
Soluţie :Considerăm: f, g : 0;2
R, f(x)=sin x; g(x)=x; akn
2
3
3k
n . Sunt îndeplinite
ipotezele teoremei, adică: g(x)>0, 0 0
( ) sinlim lim 1
( )x x
f x x
g x x , şirul (akn)n>0 este convergent la 0.
Aplicând teorema avem: 2 2
3 3 31 1
3 3 3 ( 1)(2 1)lim sin lim lim 1
6
n n
n n nk k
k k n n n
n n n
2. 2
32 1 2 2 2
limcos cos ... cosn
ne
n n n n n n
Soluţie :
1 11 1
2 2 2 2lim cos ln limln cos lim ln cos lim ln 1 cos 1
n n n n
n n n nk kk k
k k k kA A
n n n n n n n n
Micii MATEMATICIENI
29
Considerăm f, g : [0;1) R ; f(x)=ln(1+x); g(x)=x; akn=2
cos 1k
n n . Sunt îndeplinite
ipotezele teoremei şi 1 1
2 2ln lim ln 1 cos 1 lim cos 1
n n
n nk k
k kA
n n n n
2
1
2lim sinn
nk
k
n n
.
Din nou f, g : 0;2
R, f(x)=sin
2x; g(x)=x
2; akn=
k
n n
22
3 31 1
( 1)(2 1) 2ln 2lim sin 2lim 2lim
6 3
n n
n n nk k
k k n n nA
n nn n
3. 2 2 2
2 1 2 2 2lim ...n
ntg tg tg
n n n
Soluţie :Considerăm: f, g : 0;2
R, f(x)=tgx ; g(x)=x; akn 2
2k
n . Sunt îndeplinite ipotezele
teoremei, adică: g(x)>0, 0 0
( )lim lim 1
( )x x
f x tgx
g x x , şirul (akn)n>0 este convergent la 0. Aplicând
teorema avem:2 2 2 2
1 1 1
2 2 2 2 ( 1)lim lim lim lim 1
2
n n n
n n n nk k k
k k n ntg k
n n n n
4. 2 2 2
3 1 3 2 3lim sin sin ... sinn
n
n n n
Soluţie :Considerăm: f, g : 0;2
R, f(x)=sin x; g(x)=x; akn 2
3k
n
Sunt îndeplinite ipotezele teoremei, adică: g(x)>0, 0 0
( ) sinlim lim 1
( )x x
f x x
g x x ,
şirul (akn)n>0 este convergent la 0. Aplicând teorema avem:
21
3lim sin
n
nk
k
n
2 2 21 1
3 3 3 ( 1) 3lim lim lim
2 2
n n
n n nk k
k n nk
n n n
5. 2 2 2
3 3 3
1 2lim 1 1 ... 1n
n
n n n
Soluţie : A=2 2 2
3 3 311 1
lim 1 ln limln 1 lim ln 1n n n
n n nkk k
k k kA
n n n
Micii MATEMATICIENI
30
Considerăm f, g : [0; ) R, f(x)=ln(1+x) ; g(x)=x ; akn=2
3
k
n. Sunt îndeplinite
ipotezele teoremei, adică: g(x)>0, 0 0
( ) ln(1 )lim lim 1
( )x x
f x x
g x x
, şirul (akn)n>0 este convergent la 0.
Aplicând teorema avem:2 2
2
3 3 3 31 1 1
1 ( 1)(2 1) 1ln lim ln 1 lim lim lim
6 3
n n n
n n n nk k k
k k n n nA k
n n n n
1ln
3A
1
33A e e
6. 2 2 2
3 3 33 3 3
1 2lim 1 1 ... 1n
nn
n n n
Soluţie : Considerăm f : [0; ) R cu f(x)= 3 1 1x şi akn
2
3
k
n cu lim 0kn
na
Căutăm g : [0; ) R cu g(x)>0 şi 0
( )lim 1
( )x
f x
g x .
Avem
13 3
0 0 0
1 11 1 11 lim lim lim
( ) ( ) 3 ( )x x x
xx x x
g x x g x g x
Pentru ca
0
1lim
3 ( )x
x
g x=1 putem
considera funcţia g(x) 03
x . Astfel sunt îndeplinite toate ipotezele teoremei. Aplicând teorema
avem: 2
33
1
lim 1 1n
nk
k
n
2
2
3 3 31 1
1 1 ( 1)(2 1) 1lim lim lim
3 3 18 9
n n
n n nk k
k n n nk
n n n
7. 2 2 2
1 2
lim ...
n
n n n
na a a n
Soluţie:
Considerăm f : 0; R cu f(x)=ax-1 şi akn= 2
k
n cu lim 0kn
na
. Căutăm g : [0; ) R cu
g(x)>0 şi 0
( )lim 1
( )x
f x
g x . Avem
0 0 0
1 11 lim lim ln lim
( ) ( ) ( )
x x
x x x
a a x xa
g x x g x g x
Micii MATEMATICIENI
31
Pentru ca 0
ln lim( )x
xa
g x=1 avem g(x)=x lna>0. Astfel sunt îndeplinite toate ipotezele
teoremei. Deci 2
1
lim 1
kn
n
nk
a
2 2 2
1 1
1 ( 1) lnlim ln ln lim ln lim
2 2
n n
n n nk k
k n n aa a k a
n n n
Probleme propuse:
1. 3
1
10lim arcsin
n
nk
k
n
2. 2
31
5lim arctg
n
nk
k
n
3. 2
31
lim 1 cosn
nk
k
n
4.
2
3
1
lim 1
kn
n
nk
e
Bibliografie:
Ilie Stănescu-Analiză matematică pentru clasa a XI a , Ed. AnandaKali, Sibiu, 1998
Elev, Liceul Teoretic « Ştefan cel Mare », Hîrlău
Concursul “ Micii matematicieni”
ediţia I, 6 mai 2006
O idee mai veche îşi gǎseşte împlinirea pe 6 mai 2006 şi anume, prima ediţie a
concursului „Micii matematicieni” , iniţiat şi organizat de catedra de matematicǎ a
Liceului Teoretic „Ştefan cel Mare”, Hîrlǎu în parteneriat cu I.S.J. Iaşi şi Asociaţia
„Recreaţii matematice” .
Concursul se adreseazǎ elevilor claselor a III-VIII a cu aptitudini, înclinaţii şi
interese pentru matematicǎ. El s-a nǎscut din dorinţa de a veni în sprijinul acelor elevi care
manifestǎ aptitudini pentru matematicǎ . Numitorul comun al acestei categorii de elevi este
disponibilitatea lor pentru muncǎ şi dorinţa lor de a se înscrie într-o competiţie ce vizeazǎ
performanţa.
Acest concurs este o iniţiativǎ care are menirea sǎ atragǎ cât mai mulţi elevi într-un
sistem competiţional deschis, transparent , cu niveluri diferite de dificultate. În acest fel, fiecare
concurent va realiza care este adevǎrata sa valoare şi care este poziţia sa exactǎ într-o ierarhie
realǎ. Considerǎm cǎ elevii au nevoie de cât mai multe concursuri, care sunt tot atâtea ocazii de
a-şi proba cunoştiţele şi valoarea intelectualǎ.
Micii MATEMATICIENI
32
Concursul „Micii matematicieni”, devine astfel o nouǎ oportunitate.
Având o participare de 196 elevi din zona Hîrlǎului, putem spune cǎ prima ediţie a
concursului a fost o reuşitǎ datoritǎ rezultatelor obţinute atât de copii din Hîrlǎu, cât şi de cei din
zonele limitrofe.
Organizatorii cu sprijinul sponsorilor au oferit premii în bani şi diplome tuturor
câştigǎtorilor concursului. Este o datorie de onoare sǎ mulţumesc pe aceastǎ cale sponsorilor
primei ediţii a concursului „Micii matematicieni” :
S.C. EUROFLORIS S.R.L. HIRLAU ;
S.C. HUTANU S.R.L. HIRLAU ;
A.F. ASOLTANEI , MAXUT;
ing. Marian Mihulcǎ – consilier local;
jurist Nicolae Popovici – consilier local;
conf. Dr. Marius Spânu – consilier local şi preşedinte de onoare a concursului;
catedra de matematică a Liceului „Ştefan cel Mare”, Hîrlău.
Pentru dezvoltarea acestui proiect educaţional , invitǎm toate persoanele care ne
împǎrtǎşesc ideele sǎ ni se alǎture şi sǎ contribuie cu ce au mai bun la realizarea unei adevǎrate
competiţii. Este agreatǎ ideea cǎ orice unitate şcolarǎ interesatǎ poate participa. În acest sens,
profesorii şi învǎţǎtorii care doresc sǎ se implice în buna organi- zare şi desfǎşurare a ediţiei a II
a, din martie 2007, a acestui concurs sunt rugaţi sǎ con- tacteze Liceul Teoretic „Ştefan cel
Mare”, Hîrlǎu.
În speranţa cǎ veţi gǎsi demersul nostru util, vǎ mulţumim anticipat pentru
participare.
Prof. Ioan Sǎcǎleanu,
Responsabil al catedrei de matematică
Probleme de concurs. Bareme de corectare
„Micii matematicieni”, ediţia I
Clasa a III a : Enunţuri
I
a. Verifică egalităţile: 1+3+5+7=4x4
1+3+5+7+9+11=6x6
b. Scrie rezultatul la fel ca la punctul a) pentru
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19
II
a. Aflaţi numărul m ştiind că 47 este mai mare decât 4m cu 28.
b. Aflaţi termenul necunoscut din egalitatea: 7 3 5 2 7 : 4x a
III Suma vârstelor a trei fraţi este 44. Al doilea frate are cu 3 ani mai mult decât primul, iar al
treilea frate cu 3 ani mai puţin decât triplul celui de-al doilea. Aflaţi vârsta fraţilor.
Micii MATEMATICIENI
33
IV Într-o încăpere sunt 9 copii. Fiecare dă mâna o singură dată cu fiecare din ceilalţi
copii. Câte strângeri de mână au loc? Justificaţi răspunsul.
Barem de corectare
I oficiu…………………………………………………………. ……………………..1p
a) 1+3+5+7=4+12=16=4x4……………………………………………………..…..2p
1+3+5+7+9+11=16+9+11=25+11=36=6x6……………………………………..3p
b) calculul sumei=100……………………………………………...……………….3p
100=10x10…………………………………………………………………...…..1p
II oficiu……………………………………………………………………….………. 1p
a) m-4=47-28……………………………………………………………….…..2p
m-4=19……………………………………………………………………….1p
m=23…………………………………………………………………………1p
b) calculul membrului stâng=18………………………………………………..3p
a : 4=11…………………………………………………………………...….1p a=44…………………………………………………………………...……..1p
III oficiu………………………………………………………………………………. 1p
reprezentarea grafică a datelor ………………………………………………………… 3p
aflarea celor 5 segmente egale: 44-9=35 ………………………………………………..2p
aflarea unui segment : 35:5=7 ani (primul frate )………………………………………..2p
al doilea frate : 7+3=10 ani …………………………………………………………… 1p
al treilea frate : 3x7+6=27 ani ………………………………………………………… 1p
IV oficiu………………………………………………………………………………. 1p
8 â â ă
7 â â ă
.............................................................
al optulea copil 1 â
primul copil str ngeri de m n
al doilea copil str ngeri de m n
str ngere
……………………………………………… 5p
În total : 1+2+3+…+7+8=36 â â ăstr ngeri de m n ………………………………………4p
Clasa a IV a : Enunţuri
I Se dau numerele: 2 2 3 7 3 5 2 6 : 4 5 10 10 100 5 60a x x x x x x
1442:7 3 107 128b x
Calculaţi diferenţa dintre produsul şi suma numerelor a şi b.
II Aflaţi :
a. numărul a din egalitatea: 1625: 11 4 : 5 13x a
b. determinaţi toate valorile lui a şi b din egalitatea:
264 : 3 20 5 16 44a xb x
III Pentru apărarea cetăţii Neamţului, Ştefan cel Mare şi-a trimis cei 420 plăieşi în apărare
astfel: pe latura dinspre Ozana a trimis de 3 ori mai puţini plăieşi decât pe latura dinspre podul
care ducea la poarta cetăţii. În turnurile de apărare a trimis cu 5 plăieşi mai mult decât jumătate
din ce a trimis să apere latura de sud a cetăţii. Latura de nord era apărată de tot atâţia plăieşi ca şi
cea din sud, adică cu 10 ostaşi mai mult decât pe latura dinspre Ozana. Câţi plăieşi erau la fiecare
dispozitiv de apărare?
Micii MATEMATICIENI
34
IV Orice număr natural este şmecher sau fraier. Ştim că dacă un număr este
şmecher, atunci numărul mărit cu 10 este şmecher; dacă un număr este fraier, rezultă că numărul
mărit cu 15 este tot fraier. Să se arate că numerele 20 şi 25 sunt sau şmechere, sau fraiere.
Barem de corectare
I oficiu……………………………………………………………………………..…. 1p
calculul parantezei ... =16…………………………………………………………… 1p
calculul primei paranteze ... =28 …………………………………………………… . 1p
calculul parantezei ... =12…………………………………………………………… 1p
calculul celei de a doua paranteze ... =490 ……………………………………… 1p
a=232…………………………………………………………………………………….1p
b=13……………………………………………………………………………………...1p
axb=3016……………………………………………………………………………… 1p
a+b=245 …………………………………………………………………………………1p
finalizare=2771 ………………………………………………………………………….1p
II oficiu…………………………………………………………………….…………. 1p
a) aflarea parantezei ... =125……………………………………………………….1p
aflarea parantezei ... =260 …………………………………………………………….1p
aflarea 11xa=264…………………………………………………………………………1p
finalizare a=24 ………………………………………………………………………….1p
b) aflarea parantezei ... =12………………………………………………………..1p
stabilirea egalităţii: 264 276X xY …………………………………………………..1p
aflarea 12X xY ………………………………………………………………………..1p
, 1,12 ; 2,6 ; 3,4 ; 4,3 ; 6,2 ; 12,1X Y ………………………………………2p
III oficiu………………………………………………………………………...……. 1p
reprezentarea grafică a datelor………………………………………………………… 3p
aflarea numărului de părţi=13……………………………………………………………1p
aflarea unei părţi=30 …………………………………………………………………….1p
:2 30 60
: 6 30 180
: 2 30 10 70
:2 30 10 70
:30 5 5 40
Ozana x
Pod x
Sud x
Nord x
Turnuri
……………….………………………………………………4p
IV oficiu………………………………………………………………………………. 1p
dacă 20 şmecher şi 25 fraier atunci:
o Din 20 şmecher 30 şmecher40 şmecher……………………………….2p
o Din 25 fraier40 fraier…………………………………………………… 1p
Deci 40 este şi şmecher şi fraier (fals) …………………………………………………1p
Dacă 20 fraier şi 25 şmecher atunci :
o Din 20 fraier35 fraier……………………………………………………..2p
o Din 25 şmecher35 şmecher………………………………………………1p
Deci 35 este şi şmecher şi fraier (fals) …………………………………………………1p
Micii MATEMATICIENI
35
Prin urmare, 20 şi 25 sunt sau şmechere, sau
fraiere…………………………………….1p
Clasa a V a : Enunţuri
I Aflaţi numerele de forma abcd , divizibile cu 15 ştiind că a+b=12.
II Calculaţi produsul 2 2 2100 1 100 2 ... 100 10 .
III Aflaţi suma cifrelor numărului 200610 1 .
IV Demonstraţi că media aritmetică a numerelor:1 2 3 102
...6 9 12 309
a ;
2 3 4 103...
6 9 12 309b ;
3 4 5 104...
6 9 12 309c este un număr divizibil cu 2.
Barem de corectare
I oficiu…………………………………………………………. ……………………..1p
3
15
5
......................................................................................1
........................................................................................1
abcd pabcd
abcd
p
0,5d ……………………………………………………………………………1p
0d şi 12 0,3,6,9a b c …………………………………………………1p
5d şi 12 0,3,6,9a b c …………………………………………………1p
12 , 9,3 ; 8,4 ; 7,5 ; 6,6 ; 5,7 ; 4,8 ; 3,9a b a b ………………..3p
finalizare……………………………………………………………………………..1p
II oficiu…………………………………………………………. …………………….1p
calculează produsele 1 1,2 2,...,10 10 …………………………………………… 3p
calculează diferenţele 100 1,100 4,...,100 100 …………………………………3p
finalizare: produsul=0……………………………………………………………….3p
III oficiu……………………………………………………………………………… 1p
calculează 2006
2006
10 100....0 ………………………………………………………..3p
calculează 2006
2005
10 1 99...9 ……………………………………………………… 3p
calculează 9 2005 18045 …………………………………………………………3p
IV oficiu…………………………………………………………. ……………………1p
scrie , ,3
a
a b cm a b c
……………………………………………………… 1p
1 2 3 2 3 4 102 103 104...
6 6 6 9 9 9 309 309 309a b c
……………………3p
calculează fiecare paranteză………………………………………………………..1p
obţine a+b+c=102…………………………………………………………………..2p
calculează 34am …………………………………………………………………1p
finalizare…………………………………………………………………………….1p
Clasa a VI a : Enunţuri
Micii MATEMATICIENI
36
I Aflaţi x din proporţia:
8
10
8 1 1 1 28 1 1 1
15 5 3 5 3 16
2,1 3 8
x
II Ştiind că x şi y sunt invers proporţionale cu 3 şi 4, să se determine valorile rapoaretelor 2 2
2
5
2
x y x ysi
x y x xy
.
III Fie unghiurile AOB si BOC , adiacente şi suplimentare; ,OD bisectoarea ,AOB iar
OE prelungirea semidreptei OD . Luăm un punct F în interiorul BOE.
a. Dacă FO AC şi 0 /24 25m EOC , să se calculeze m BOF ;
b. Dacă OF este bisectoarea unghiului m BOE şi OG , semidreapta opusă ei, să se
arate că 2m EOG m AOG m AOD .
IV Două numere naturale a şi b se numesc numere prietene(sau numere amiabile) dacă S(a)=b
şi S(b)=a, unde S(x) este suma divizorilor naturali ai lui x, mai mici decât x.
a. Arătaţi că 220 şi 284 sunt numere prietene.
b. Găsiţi (dacă există) prietenul numărului 1184.
Barem de corectare
I oficiu……………………………………………………………………………… 1p
32
30
128 1 2 5
215 5 15 3
32 2
15
x ……………………………………………………………… 3p
20 1 24
3 5 15x
………………………………………………………………………3p
2 1 3
15 5 5x …………………………………………………………………………… 2p
finalizare: x=3 ………………………………………………………………………… 1p
II oficiu…………………………………………………………………………….…. 1p
stabilirea egalităţii: 4
3x y ……………………………………………………………..2p
valoarea rapotului : 5 19
2 11
x y
x y
………………………………………………………..3p
valoarea rapotului : 2 2
2
25
28
x y
x xy
……………………………………………………….4p
III oficiu……………………………………………………………………………. 1p
a) Realizarea desenului…………………………………………………………………2p /90 90 2 4110mBOF mBOA mCOE ……………………………………….2p
b) Realizarea desenului…………………………………………………………………2p
mEOG mFOB mBOD mFOB mAOD …………………………………………..1p
mFOB mAOG mAOD ………………………………………………………………1p
finalizare: 2mEOG mAOG mAOD mAOG mAOD mAOG mAOD ………..1p
Micii MATEMATICIENI
37
IV oficiu……………………………………………………………………………….
1p
a) Descompunerea: 2220 2 5 11 …………………………………………………. 1p
calculul: 220 1 2 4 5 10 11 20 22 44 55 110 254S ………….. 2p
Descompunerea: 2284 2 71 284 1 2 4 71 142 220S ………………… ……. 2p
b) 51184 2 37 1184 1 2 4 8 16 32 37 74 148 296 592 1210S ……..2p
21210 2 5 11 1210 1 2 5 10 11 22 55 110 121 242 605 1184S ………2p
finalizare…………………………………………………………………………………………1p
Clasa a VII a : Enunţuri
I Determinaţi n , număr natural şi nenul pentru care
1 1 1 1... 4
1 2 2 3 3 4 1n n
II Fie ,a b , numere reale pozitive, ,2
a g
a bm m a b
şi
2h
abm
a b
( media aritmetică,
media geometrică, respective media armonică).
a. Să se demonstreze inegalitatea a g hm m m .
b. Dacă , ,a g hm m m sunt laturile unui triunghi dreptunghic, găsiţi o relaţie între a si b .
c. Aflaţi sinusul celui mai mic dintre unghiurile triunghiului.
III Determinaţi lungimea înălţimii unui trapez isoscel şi ortogonal cu bazele de 9 cm şi 3 cm.
IV Fie M , un punct oarecare pe înălţimea /AA a triunghiului ABC, iar H, ortocentrul său. Să
se arate că proiecţiile segmentului HM pe laturile AB , AC sunt invers proporţionale cu acele
laturi.
Barem de corectare
I oficiu……………………………………………………………………………… . 1p
calculul membrului stâng: 1n ……………………………………………………….7p
rezolvarea ecuaţiei: 1 4 5 25n n n …………………………………… 2p
II oficiu………………………………………………………………………………. 1p
a) Demonstrarea inegalităţii: a gm m …………………………………………… 2p
Demonstrarea inegalităţii: g hm m ………………………………………………... 2p
b) Scrierea relaţiei lui Pitagora: 2 2 2
a g hm m m ……………………………………..1p
Finalizare: 2 5a b ………………………………………………………… 2p
c) Relaţia:
2
4sin h
a
m abx
m a b
………………………………………………… 1p
Finalizare:5 1
sin2
x
…………………………………………………………….1p
III oficiu…………………………………………………………………………… 1p
Notăm trapezul cu ABCD: baze AB şi CD; AC CD O ; înălţimea MN cu O MN
Realizarea desenului …………………………………………………………………….2p
Micii MATEMATICIENI
38
Observaţia că ;AOB COD sunt dreptunghice în O
…………………………………4p
Determinarea înălţimii trapezului 62
DC ABMN cm
……………………………..3p
IV oficiu………………………………………………………………………………. 1p
Notăm /CH AB C , /BH AC B , ,MD AB D AB , ,ME AC E AC
Realizarea desenului …………………………………………………………………….2p
Aplicarea teoremei lui Thales în /
/
/
AC AHADM cuC H DM
C D HM ………………. 2p
Aplicarea teoremei lui Thales în /
/
/
AB AHAEM cu B H EM
B E HM ………………. 2p
Din / /
/ / AC ABABB ACC
AC AB ……………………………………………………2p
Finalizare ………………………………………………………………………………..1p
Clasa a VIII a : Enunţuri
I Ştefan cel Mare a pornit l-a luptă cu un grup de ostaşi aşezându-i în rânduri, sub forma unui
triunghi echilateral: în primul rând un ostaş ; în al doilea rând 2 ostaşi,ş.a.m.d. În ajutorul lor, vin
669 plăieşi , iar noua armată de ostaşi astfel formată se pot aşeza în rânduri sub forma unui pătrat
pe latura căruia sunt cu 8 luptători mai puţin decât pe latura triunghiului echilateral. Cu câţi
ostaşi porneşte Ştefan cel Mare la luptă?
II Dacă , ,x y z şi 2 2xy z z x y atunci 3x y .
III a) Arătaţi că, dacă , 0,x y atunci 2x y
y x .Când se realizează egalitatea?
b) Fie A, B, C, D patru puncte distincte în spaţiu.
Demonstraţi că, dacă 4CA CB DA DB
CB CA DB DA atunci AB CD .
IV Fie M mijlocul muchiei AB a cubului / / / /ABCDA B C D şi / /B C BC E
a. Demonstraţi că /D E MEC .
b. Determinaţi măsura unghiului format de planele ABC şi /D CM .
Barem de corectare
I oficiu………………………………………………………………………………. 1p
o Aşezarea ostaşilor………………………………………………...………….1p
o Stabilirea egalităţii: 2
1 2 3 ... 669 8 .........n n ……………..……4p
o Determinarea ecuaţiei : 2 33 1210 0n n ………………..………………..2p
o Numărul ostaşilor n=55……………………………………………………...2p
II oficiu……………………………………………………………………….………. 1p
o Determinarea egalităţii ………………………………...……………………2p
o Descompunerea: 2x z y z ……………………...………………….3p
o Scrierea celor 4 sisteme + finalizarea……………………..…………………4p
III oficiu………………………………………………………………...……………. 1p
Micii MATEMATICIENI
39
a) Demonstrarea
inegalităţii………………………………….……………………..3p
Realizarea egalităţii-condiţie…………………….………………………………1p
b) Concluzia CA=CB şi DA=DB…………………….……………………………..1p
Figura……………………………………………….……………………………1p
Cazul punctelor coplanare………………………….…………………………….1p
Cazul punctelor necoplanare……………………….…………………………….2p
IV oficiu………………………………………………………………………………..1p
a) Realizarea desenului……………………………………………………………..1p
Demonstrarea /D E EM ……………………………………………………….3p
Demonstrarea /D E EC ………………………………………………………..2p
b) Determinarea unghiului diedru corespunzător diedrului……………………… 2p
Aflarea măsurii cerute……………………………………………………………1p
Rezultatele concursului „Micii matematicieni”, ediţia I Clasa Nume si prenume Şcoala de provenienţǎ Profesorul îndrumǎtor Punctaj
obtinut
Premiul
acordat
III Coşer Ana Maria Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu Înv. Maria Budacea 38.50 I
III Huţanu Mǎdǎlina Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu Înv. Constanţa Dumitriu 30.00 II
III Poruşniuc Cosmin Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu Înv. Maria Budacea 30.00 II
III Sava Diana Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu Înv. Maria Budacea 30.00 II
III Cernescu Mihaela Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu …………………….. 29.00 III
III Scripcaru Gabriel Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu Înv. Constanţa Dumitriu 28.50 Menţiune
III Neicu Mara Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu Înv. Maria Budacea 27.00 Menţiune
III Ivanuţǎ Roxana Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu Înv. Maria Budacea 26.50 Menţiune
III Cǎlinescu Ana Maria Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu Înv. Constanţa Dumitriu 26.00 Menţiune
III Brînzǎ Carla Gabriela Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu Înv. Constanţa Dumitriu 24.50 Menţiune
III Tofan Remus Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu Înv. Constanţa Dumitriu 23.50 Menţiune
III Cǎlinescu Monica Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu Înv. Maria Creţu 22.00 Menţiune
III Ivancu Laurenţiu Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu Înv. Maria Budacea 22.00 Menţiune
IV Pletan Denisa Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu Înv. Maria Creţu 35.50 I
IV Aştefǎnesei Iulian Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu Înv. Maria Creţu 33.00 II
IV Boutiuc Mǎdǎlina Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu Înv. Maria Creţu 31.00 III
IV Timofte Raluca Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu Înv. Maria Creţu 31.00 III
IV Ceucǎ Rǎzvan Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu Înv. Maria Creţu 29.50 Menţiune
IV Barghel Anca Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu Înv. Emilia Oprea 29.00 Menţiune
IV Boca Ioana Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu Înv. Emilia Oprea 27.75 Menţiune
IV Amoşiesei Alexandra Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu Înv. Emilia Oprea 27.00 Menţiune
IV Iacob Emanuela Şc. Generală Bădeni Înv.Olga Şerban 26.00 Menţiune
IV Bordeanu Alexandru Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu Înv. Emilia Oprea 25.50 Menţiune
IV Cojocaru Lucian Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu Înv. Emilia Oprea 25.00 Menţiune
IV Creangǎ Simona Şc. Gen. cl. I-VIII, Slobozia Înv. Irina Sauciuc 25.00 Menţiune
IV Barǎu Larisa Ionela Şc.”GrigoreUreche”Cepleniţa Înv. Diana Galben 24.50 Menţiune
IV Cǎlinescu Rǎzvan Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu Înv. Maria Creţu 24.00 Menţiune
V Zaharia Denis Lic.”Ştefan cel Mare”, Hîrlǎu Prof. Gheorghe Oancea 30.50 I
V Oprea Bogdan Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu Prof. Ioan Rǎuţu 30.00 II
V Ştefǎnescu Alexandru Lic.”Ştefan cel Mare”, Hîrlǎu Prof. Gheorghe Oancea 27.50 III
V Velniciuc Vlad Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu Prof. Oana Spînu 26.50 Menţiune
VI Dorcu Lucreţia Cotnari Prof. A. Minciunǎ 21.00 I
VI Ungureanu Carmen Lic.”Ştefan cel Mare”, Hîrlǎu Prof.Constantin Nastase 18.00 II
VI Ciofu Mǎdǎlina Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu Prof. Petronela Ciobanu 14.00 III
VI Turcu Mǎdǎlina Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu Prof. Ioan Rǎuţu 12.00 Menţiune
VII Loghin Elena Mǎdǎlina Lic.”Ştefan cel Mare”, Hîrlǎu Prof. Aurel Neicu 17.50 II
Micii MATEMATICIENI
40
VII Curcǎ Ioana Lic.”Ştefan cel Mare”, Hîrlǎu Prof. Aurel Neicu 15.50 III
VII Oprea Otilia Lic.”Ştefan cel Mare”, Hîrlǎu Prof. Aurel Neicu 12.00 Menţiune
VII Apachiţei Ana Maria Lic.”Ştefan cel Mare”, Hîrlǎu Prof. Aurel Neicu 11.00 Menţiune
VII Atudosei Claudia Lic.”Ştefan cel Mare”, Hîrlǎu Prof. Aurel Neicu 11.00 Menţiune
VIII Ciofu Alexandra Lic.”Ştefan cel Mare”, Hîrlǎu Prof. Ioan Sǎcǎleanu 20.00 I
VIII Sava Amelia Cristina Lic.”Ştefan cel Mare”, Hîrlǎu Prof. Ioan Sǎcǎleanu 16.50 II
VIII Zapan Ana Maria Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu Prof. Ioan Rǎuţu 16.00 III
VIII Zamfir Carmen Adela Lic.”Ştefan cel Mare”, Hîrlǎu Prof. Ioan Sǎcǎleanu 13.25 Menţiune
Teste de evaluare
MATEMATICA PITICĂ
Admitere :clasa a V a variantǎ propusǎ, mai 2005
Subiectul I (20 puncte) Calculaţi :
a) 3x5-[39x5-(2x49+6x16) :2] :7=
b) 9+(9x9:9-9)+220-20x0=
Subiectul II (40 puncte) Aflaţi numărul a din:
a) 26339-(51627-a)=10 c) 4002-(a+2x870-14)=1
b) [(a-1):100+90]:10-10=0 d) [(a+270:3)x5+100]:600=1
Subiectul III (20 puncte)
Un olimpic, fiind întrebat de colegii sǎi ce loc a ocupat, a rǎspuns: ”Dacǎ un sfert din elevii care
s-au clasat înaintea mea ar fi fost clasaţi în urma mea, atunci numǎrul elevilor clasaţi în urma
mea ar fi fost de 3 ori mai mare decât al celor dinaintea mea” . Ce loc a ocupat dacǎ la olimpiadǎ
au participat 97 elevi?
Subiectul IV (10 puncte) Suma a două numere este 34. Primul are cifra unităţilor zero. Determinaţi al doilea număr.
Admitere :clasa a V a variantǎ propusǎ mai 2005 SUBIECTUL I (30 puncte)
Se dau numerele: a=2+2x3x{[(7x3-5)+2x6]:4+5}x10-[(10+100)x5-60]
b=1442:7-(3x107-128)
Calculaţi diferenţa dintre produsul şi suma numerelor a şi b.
SUBIECTUL II (30 puncte)
Aflaţi numărul necunoscut din :
a) [(a+260 :2)x3+4]x5=1985
b) 10xb=(2001-1001)+(4004-44)
c) 1625 :[(11xd-4) :13-5]=13
SUBIECTUL III (20 puncte)
Micii MATEMATICIENI
41
Media aritmetică a 5 numere este 180.Ştiind că primele 3 numere sunt consecutive pare,
că suma ultimelor două este 720,iar al cincilea mai mare cu 120 decât dublul celui de-al
patrulea,află numerele.
Subiectul IV (10 puncte) Suma a două numere este 34. Primul are cifra unităţilor zero. Determinaţi al doilea număr.
Admitere :clasa a V a variantǎ propusǎ mai 2005
Subiectul I (25 puncte)
Arătaţi că b este dublul lui a , dacă : 9 8 7 6 : 5 4: 3 2 1a ;
1 2 3 4:5 6 7 8 9b
Subiectul II (30 puncte) Aflaţi numărul necunoscut :
a) 14 4 : 13 3 7 2 4 13a ;
b) 24000 72: 2 9 796 :36 24035 2b .
Subiectul III (25 puncte) Scrieţi numărul 91 ca o sumă de două numere dintre care unul să fie cu 5 mai mare decât celălalt.
Subiectul IV (20 puncte) Un calculator efectuează o înmulţire în 3 secunde şi o adunare în o secundă. Câte secunde îi sunt
necesare pentru a aduna produsele de câte două cifre distincte, ce se pot forma cu numerele
17384 ; 3002 şi 718 ? Justificaţi răspunsul .
Admitere :clasa a V a variantǎ propusǎ mai 2006 Subiectul I (25 puncte)
Aflaţi m din egalitatea : 10: 630:9 4 6 3 918m .
Subiectul II (20 puncte)
Se dau numerele: 594 390 200 : 2 73a , 25 3 100 100 200 800: 2b
Comparaţi numerele a şi b .
Subiectul III (20 puncte) La ora de matematică Ana a fost prima care a rezolvat o problemă dată. Ea a explicat problema
la trei colegi, care la rândul lor au explicat-o la alţi trei colegi şi fiecare din aceştia la câte alţi trei
colegi. La sfârşitul orei toţi elevii ştiau problema. Câţi elevi avea acea clasă ? Justificaţi
răspunsul.
Subiectul IV (25 puncte) Suma a două numere este 462 . Unul dintre ele se termină în zero . Dacă se şterge acest zero,
obţinem al doilea număr . Găsiţi numerele . Justificaţi răspunsul .
Micii MATEMATICIENI
42
Admitere :clasa a V a variantǎ propusǎ mai 2006
Subiectul I (30 puncte)
Aflaţi valoarea lui m din egalitatea :
804:4 4 37 42:14 10 48: 32:8 7 6 253m .
Subiectul II (20 puncte)
Pe Strada Geometriei casele sunt numerotate de la 1 la 30 . Casa triunghiului are cel mai mare
număr par mai mic decât 20, iar pătratul locuieşte în casa care are cel mai mic număr impar de
două cifre . Câte case sunt între casele celor două figuri ? Justificaţi răspunsul.
Subiectul III (30 puncte)
Împărţind două numere naturale obţinem câtul 6 şi restul 7 .Adunând deîmpărţitul, împărţitorul,
câtul şi restul obţinem 727 . Aflaţi cele două numere.
Subiectul IV (10 puncte)
Trei duminici dintr-o lună cad în date pare . În ce zi cade data de 20 ? Justificaţi răspunsul .
Admitere :clasa a V a variantǎ propusǎ mai 2006
Subiectul I (25 puncte)
Aflaţi valoarea lui m din egalitatea : 1545: 201 2 95 3 18 :12 26m .
Subiectul II (30 puncte)
Se împart două numere naturale. Dacă împărţitorul, câtul şi restul sunt trei numere consecutive
având suma egală cu 30, să se afle deîmpărţitul.
Subiectul III (20 puncte)
Găsiţi numerele a , b , c ştiind că : a+b+c=99 ; a=100-50+3 şi c+a=89
Subiectul IV (15 puncte)
Un vecin al unui vecin al numărului 81 este egal cu un vecin al unui vecin al numărului77
Despre ce număr este vorba ? Justificaţi răspunsul .
MATEMATICA GIMNAZIALĂ
Teză: clasa a V a de prof. Ioan Sǎcǎleanu
1. Calculaţi: 2 0 3 2 1 27 5 3 3 4 :17 2 :3
.
2. Precizaţi valoarea de adevăr a propoziţiilor:
a) 5 1,2,4,6,8 ; b) 4065 5; c) 2,4 1,2,3,5 ; d)
0 ; e) 41 M .
3. Se dau mulţimile: A = / 2 7x x şi B = 12D . Enumeraţi elementele mulţimilor, precizaţi
cardinalul fiecăreia şi efectuaţi AB, BA, A \ B şi B \ A .
4. Aflaţi toate numerele de forma ab pentru care 2 376ab ba .
5. Aflaţi numărul a ştiind cǎ 132a b a c şi 4b c
6. Aflaţi numǎrul n dacă 251 2 1 2 3 ... 50 n
Micii MATEMATICIENI
43
7. Aflaţi numerele de forma 32x astfel încât ele sǎ fie divizibile cu 3.
8. Determinaţi toate numerele naturale nenule care împǎrţite la 4 dau câtul egal cu triplul restului
.
9. Dacǎ restul împǎrţirii unui numǎr la 10 este mai mare decât 5, spunem cǎ acel numǎr este
„favorabil” .
a) Daţi un exemplu de numǎr „favorabil” de trei cifre;
b) Aflaţi ultima cifrǎ a sumei a douǎ numere „favorabile”.
Teză: clasa a VI a de prof. Gheorghe Oancea
1. Determinaţi toate numerele de forma xyxx divizibile cu 12 .
2. Aflaţi cel mai mic număr natural care împărţit la 9 şi 12 dă restul 3 .
3. Calculaţi : 5 1 11 1 1 1 1
1 : 1627 12 15 60 270 405 360
.
4. Dana are o sumă de bani . În prima zi ea cheltuieşte o treime din sumă, a doua zi o
treime din rest, a treia zi o treime din noul rest, iar a patra zi restul, adică 12000 lei.
Ce sumă a avut Dana ?
5. Depăşind norma cu 20 % , un muncitor a realizat 180 piese . Care a fost norma
muncitorului ?
6. Dacă x şi y sunt direct proporţionale cu numerele 2 şi 3, aflaţi valoarea raportului
3 5
2 7
x y
x y
.
7. Se dau punctele O , A , B şi M . Ştiind că O AB , M este mijlocul segmentului
AB , OA=32 cm şi OM=40 cm, să se afle OB .
8. Fie semidreptele OA , OB , OC astfel încât OA Int BOC . Calculaţi m BOC
dacă / //29 4315om AOC şi / //31 29 17om AOB .
Teză: clasa a VII a de prof. Constantin Nastasă
1. Să se efectueze :
a) 1 5 7
49 8 36
; b)
3 10 4:
5 9 9
.
2. Rezolvaţi ecuaţiile :
a) 1 5 1
1 2 13 7 3
x x ; b) 3 4 3
2 20
x .
3. Să se afle două numere care au raportul 5
2 şi suma lor este 75 .
4. Să se rezolve ecuaţia :3 3 2 5 6
33 6 12
x x x .
5. Aflaţi perimetrul trapezuli isoscel ABCD având AD=BC=6 cm , AB=4 cm şi
120om BAD .
Micii MATEMATICIENI
44
6. Se dă triunghiul oarecare ABC cu ,BP AC P BC şi ,CM AB M AB .
Ştiind că AC= 8 dm , AB =12 dm şi BP=6 dm, să se afle aria triunghiului ABC şi înălţimea CM .
Teză: clasa a VIII a de prof. Aurel Neicu
Partea I : La problemele 1-9 scrieţi numai rezultatele.
1. Soluţia realǎ a ecuaţiei 24-3x=0 este egalǎ cu ….
2. Mulţimea soluţiilor inecuaţiei 2
13
2 xx se scrie ….
3. Dacǎ x+y=4 şi x-y=-2 atunci y=…..
4. Efectuând 18252 xx obţinem ….
5. a) Descompunerea trinomului 352 2 xx este ……
b) Soluţia naturalǎ a ecuaţiei 0352 2 xx este ……
6. a) Desenaţi un hexagon regulat.
b) numǎrul diagonalelor hexagonului este egal cu ……
7. Trei puncte A, B, C impart un cerc de razǎ 6 cm în trei arce congruente.
a) mǎsura arcului mic AB este egalǎ cu …… grade
b) aria triunghiului ABC este egalǎ cu …….. 2cm .
8. În figura 1, ABCD este pǎtrat
de laturǎ 2 cm, iar triunghiul AEB
este dreptunghic isoscel.
a) lungimea DE este egalǎ cu…..cm.
b) aria patrulaterului BCDE este…. 2cm
9. În figura 2, mǎsura arcului AB este egalǎ cu o90 şi mǎsura arcului BC este egalǎ cu o110
.Asociaţi
fiecare literǎ din coloana A cu cifra
din coloana B corespunzǎtoare mǎsurii
unghiului specificat în coloana A.
A B
a. mǎsura unghiului BAC este 1. o60
b. mǎsura unghiului ACB este 2. o80
c. mǎsura unghiului ABC este 3. o55
4. o45
Partea a II-a : La problemele 10-12 scrieţi rezolvǎrile complete.
10. Suma a douǎ numere a şi b este 156.
a) Aflaţi numerele ştiind cǎ raportul dintre numǎrul a mǎrit cu 24 şi numǎrul b micşorat cu 32
are valoarea 1.
b) Dacǎ a=50 şi b=106, calculaţi media aritmeticǎ ponderatǎ a celor douǎ numere ştiind cǎ a
are ponderea 3, iar b are ponderea 2.
11. Rezolvaţi în R sistemul
72312
1,0,1
13
2222yxyx
yyy
x
y
x
12. Fie triunghiul ABC, dreptunghic în A având AB=30 cm, AD înălţime şi BD=18 cm. Pe planul
(ABC) se ridică perpendiculara AM cu AM=10 cm.
a) Realizaţi desenul corespunzător enunţului, completând figura cu triunghiul MBC şi
înălţimea AS a triunghiului MAD .
b) Arătaţi că BC=50 cm.
A B
C
90
110
.2fig
A
B C
DE
2
_\
Micii MATEMATICIENI
45
c) Calculaţi aria triunghiului MBC .
d) Demonstraţi că AS MBC .
e) Calculaţi distanţa de la A la planul (MBC) .
f) Arătaţi că S este ortocentrul triunghiului MBC.
MATEMATICA LICEALĂ
Teză: clasa a IX a de prof. Constantin Nastasă
1. Să se demonstreze, prin metoda inducţie matematice, egalitatea :
*
1
1,
4 3 4 1 4 1
n
k
nn
k k n
.
2. Fie progresia geometrică 1n n
b
cu 4 8b şi raţia 2q . Să se determine :
a) suma primilor 100 de termeni ;
b) soluţiile ecuaţiei 3 4 ,x b x ;
c) valoarea raportului 10
15
b
b .
3. Să se demonstreze că ,pentru orice număr natural n, avem : 5 1n este divizibil cu 4.
4. Într-un reper ; ,O i j se dau punctele 1,2 , 1 , 3 , 5 , 1A B C şi 1, 2D .
a) Demonstraţi că patrulaterul ABCD este trapez.
b) Calculaţi distanţa dintre A şi B şi coordonatele mijlocului segmentului AB.
5. Fie funcţia :f cu 0 1f , *1 2,f n f n n .
a) Determinaţi 1f şi 2f .
b) Găsiţi expresia lui *,f n n .
Teză:clasa a X a de prof. Gheorghe Oancea
1. Demonstraţi egalitatea : 17 4 9 4 5 5 2 .
2. Raţionalizaţi fracţia : 1
2 3 5 .
3. Să se demonstreze egalitatea: 3 81 32 log 2 4 log 2 2 0,5 log 169 3 384
.
4. Determinaţi modulul şi argumentul redus pentru numărul complex
20
1 3
2 2
i
i
.
5. Să se determine parametrul real m pentru care funcţia :f este surjectivă, unde
2 , 1
3 5 , 1
x m xf x
x x
.
6. Să se rezolve ecuaţia : 2 2 22 5 2 2 3 2x x x x x x .
7. Să se rezolve ecuaţia : 12
12 24 5 2
2 5
xx
.
Micii MATEMATICIENI
46
8. Să se rezolve inecuaţia : 1
2
3 1log
3 20,5 1x
x
.
Teză:clasa a XI a de prof. Ioan Săcăleanu
.I 1. Se dau punctele 1,2 ; 2,3A B şi 4, 5C m .
a) Determinaţi m astfel încât punctele A, B, C să fie coliniare.
b) Determinaţi m astfel încât aria triunghiului ABC să fie egală cu 30 .
2. Rezolvaţi în ecuaţia
1 1
1 1 0
1 1
x
x
x
.
.II Calculaţi limitele:
24 3 2) lim 2 1 ;
2 3n
n na n
n
2 32 2 2) lim 3 3 3 ... 3 ;n
nb
2
1) lim ;
1
x
x
xc
x
2
1
sin 1) lim .
sin 3 2x
xd
x
.III 1. Studiaţi existenţa limitei în x=0 pentru 1 cos
: , limnx
nxn
x xef f x
x e
.
2. Determinaţi asimptotele graficului funcţiei 2
3
1
xf x
x
, aflând în prealabil
domeniul maxim de definiţie .
.IV 1. Fie şirul 1n n
x
definit prin 1 2x şi 2
1n n nx x x .
a) Arătaţi că şirul 1n n
x
are limită .
b) Arătaţi că lim nn
x
, folosind metoda reducerii la absurd .
c) Calculaţi 1
1lim
1
n
nk kx .
2. Fie x şi matricea
1 2 0 4
0 1 0
0 1 2
x x
A
x x
. Calculaţi *,nA n
a) folosind metoda inducţiei matematice; b) folosind binomul lui Newton .
Teză:clasa a XII a de prof. Monica-Elena Ambros
1. Să se determine integralele :
2 2) 4 , ; 2 2;a x x dx x
2
2
3 2) , 0;
1
x xb dx x
x x
3
8) ,
1
xc dx x
x
2
2) ,
4
xd dx x
x
1)
1 sin 3cose dx
x x 4
sin 2)
4 sin
xf dx
x
Micii MATEMATICIENI
47
2. Pe mulţimea , a numerelor reale se defineşte legea de compoziţie "*" astfel
2 3 .x y xy ax by
Să se determine ,a b astfel încât legea să fie comutativă şi asociativă .
3. a) Pe mulţimea se dă legea de compoziţie " " : 7 7 8x y xy x y .
Arătaţi că 1,H este parte stabilă a lui în raport cu legea " " .
b) Fie 0,2H şi aplicaţia 2 , , .x y xy x y x y H Arătaţi că "*" este o lege
de compoziţie pe H .
EXAMENE NATIONALE
Testare Naţională prof. Ioan Săcăleanu
I. (32p) Pe foaia de examen, scrieţi rezultatul corect lângă numărul din faţa exerciţiului.
1) Rezultatul calculului 0,8+ 0,1 9 este egal cu ….
2) Dintre numărul 3,14 şi partea întreagă a numărului mai mare este ….
3) Dacă a este număr impar atunci, dintre numerele 2
1a şi 2007 cel divizibil cu 4 este ….
4) Dacă 2n este 4% din 200 , atunci valoarea lui n este egală cu ….
5) Suma lungimilor bazelor unui trapez este egală cu lungimea ipotenuzei unui triunghi dreptunghic
având catetele de 6 şi 8. Lungimea liniei mijlocii a trapezului este egală cu…
6) Două dreptunghiuri cu aceeiaşi lăţime au rapoartele ariilor şi a perimetrelor egale. Ştiind că aria unuia
este 2007 2cm atunci celălalt are aria egală cu …
2cm .
7) Generatoarea, înăţimea şi raza bazei unui con circular drept sunt numere naturale consecutive. Aria
laterală a conului este egală cu …..
8) Volumul unei sfere de arie 236 cm este egal cu …
3cm
II. (12p) Pe foaia de examen, scrieţi rezultatul corect lângă numărul din faţa exerciţiului. Dintre cele patru variante de răspuns, scrise la fiecare cerinţă, doar una este corectă.
9) Dacă 2 3 5 , ,x y x y atunci valoarea expresiei 10 15x x y y este egală :
A. 25 B. 27 C. 26 D. 28
10) Calculul 3 sin30 30 6 cos45 cos30tg are ca rezultat :
A. 0 B. 3
2 C. 3 D.
1
2
11) Bisectoarea din A a triunghiului echilateral ABC intersectează cercul circumscris triunghiului în D.
Măsura arcului mare BD este egală cu :
A. 060 B. 90 C. 300 D.
0240
12) Triunghiul ABC are mediana AM egală cu 2 . Ştiind că AMB BAC atunci lungimea
laturii AC este egală cu:
A. 3 B. 2 C. 2 D. 1
III. (32p) Pe foaia de examen, scrieţi rezolvările complete.
13) Alba ca Zăpada şi cei şapte pitici au suma vârstelor egală cu S ani. Ştiind că piticii au
vârstele numere naturale consecutive, arătaţi că :
a) dacă S=216 şi Alba ca Zăpada are vârsta unuia dintre pitici atunci ea are vârsta celui
mijlociu.
b) dacă S=212 atunci Alba ca Zăpada nu poate avea vârsta unuia dintre pitici.
Micii MATEMATICIENI
48
14) Fie fracţia algebrică 2 222 223
9 2007
x xF x
x
.
a) Efectuaţi calculul 1 223x x .
b) Simplificaţi fracţia F .
c) Arătaţi că 2007-2005+2003-2001+….+5-3= 9 2006F
15) În figura alăturată, VABCD este o piramidă patrulateră regulată având lungimea laturii bazei
egală cu x , x>0 şi centrul bazei notat cu O. Pe muchia [VB] se consideră punctul S astfel
încât OS VB . Se ştie că aria unei feţe laterale a piramidei este egală cu aria unui triunghi
dreptunghic de latură x .
a) Retranscrieţi figura pe foaia de examen şi completaţi-o cu punctele M şi S .
b) Calculaţi muchia laterală a piramidei în funcţie de x şi deduceţi că feţele laterale sunt
triunghiuri echilaterale.
c) Calculaţi aria totală şi volumul piramidei în funcţie de x .
d) Arătaţi că S este mijlocul lui [VB] . Deduceţi că VB VD şi că 90m ASC .
e) Arătaţi că desfăşurarea laterală a piramidei nu poate fi un pătrat.
BACALAUREAT- proba D :.M 1.1 Prof. Ioan Săcăleanu
SUBIECTUL I ( 20p )
Pentru *n , se consideră punctele ,0 , 0, , 1,k k
k kB C k n
n n
şi suma vectorială
1
1
n
k k
k
S B C
. Notăm cu kA aria patrulaterului 1 1 , 2,k k k kB B C C k n , iar cu 1A aria 1 1OB C .
a) Să se calculeze aria triunghiului n nOB C .
b) Să se demonstreze că 2 2
2cos ,k p p k
k pB C B C
k p
, , 1,k p n .
c) Folosind eventual formula de la b), să se arate că patrulaterele , 1,i j j iB B C C i j n sunt
trapeze isoscele .
d) Să se calculeze 1 2 3 ... nA A A A
e) Să se determine numărul dreptelor , , 1,i jBC i j n
f) Să se demonstreze că n nS B C dacă şi numai dacă n=3 .
SUBIECTUL II ( 30p )
1.
a) Să se determine probabilitatea ca un element al mulţimii 1 2 3 20071 ,2 ,3 , ... ,2007i i i i să
fie real .
b) Să se calculeze 2
nA dacă al cincilea termen al dezvoltării 3 1n
xx
nu conţine pe x .
c) Dacă : 1,3 , 3 1f f x x x , să se calculeze 2f f .
d) Să se determine ,m n ştiind că 4 3 i este soluţie a ecuaţiei 2 0x m x n .
e) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia lg 3 1
2007 1x
.
2. Se consideră funcţia : 1,f , 2ln 1f x x x
Micii MATEMATICIENI
49
a) Să se calculeze / , 0,f x x
b) Să se calculeze
1 2lim
ln 1x
f x
x x
.
c) Să se demonstreze că f este strict crescătoare pe 1, .
d) Să se compare numerele a f şi b f e .
e) Să se calculeze , 1,f x dx x
SUBIECTUL III ( 20p )
Fie mulţimea matricelor de forma 2 3
1 4
x xX
x x
cu 1 2 3 4, , ,x x x x în progresie aritmeticǎ
neconstantǎ , în această ordine.
Notăm cu 2a X x a şi 2det 0G X X si X O
a) Demonstraţi cǎ orice matrice X , neinversabilǎ are forma 2
1 1
3 3X x
.
b) Calculaţi *,nA n , unde 2 2
6 6A
.
c) Arătaţi că înmulţirea matricelor este lege pe G, iar adunarea matricelor nu este lege pe G.
d) Să se determine matricea E G astfel încât ,X E E X X X G .
e) Să se arate că pentru orice A G există B G care verifică A B B A E , unde E
este matricea determinată la punctul d) .
f) Pentru *a găsiţi două matrici A şi B din a astfel încât detA<0 şi detB>0 .
g) Determinaţi a dacă pentru aX avem det X >0.
SUBIECTUL IV ( 20p )
Fie ,a b a<b şi funcţia : ,f a b , f x b x x a .
a) Să se calculeze / , ,f x x a b
b) Să se stabilească intervalele de monotonie şi punctele de extrem ale funcţiei f .
c) Arătaţi că 0 2 , ,2
b af x x a b
d) Să se rezolve ecuaţia 2
22
b ab x x a x y
e) Arătaţi că 2
2 2
b
a
b ax a b x dx
f) Determinaţi 1 1
20
1lim 1
n k
knk
k x k k x dxn
.
g) Să se demonstre că 21
4
b
xaf dx
.
BACALAUREAT: proba D .M 1.2 Prof. Ioan Săcăleanu
SUBIECTUL I ( 20p )
Micii MATEMATICIENI
50
În sistemul cartezian de coordonate Oxy, se consideră punctele 1,1A , 1, 1B .
Fie numărul complex 2
1z i şi P punctul de afix z .
a) Să se arate că P are coordonatele 0,2 şi că z AB .
b) Să se arate că ecuaţia dreptei AB este x+y=0 .
c) Să se determine distanţa de la P la dreapta AB .
d) Să se arate triunghiul ABP este dreptunghic .
e) Să se arate că ariile triunghiurilo PAO şi PBO sunt egale .
f) Să se calculeze cos AOP .
SUBIECTUL II ( 30p )
1. Se dă numărul complex 21 2 1z i i şi matricea 2
1
2 1
iA
.
a) Să se arate că 22
4
z iA
z
şi detA=z .
b) Să se verifice egalitatea 2
2 22A A z I O .
c) Să se determine câte numere naturale sunt în intervalul 8 92 ,2
d) Se consideră funcţia :f , 2007 2007f x x x . Să se calculeze 1 1f f
f
.
e) Să se calculeze 2 4 6 8
10 10 10 10C C C C .
2. Se consideră funcţia :f , 2007 2007f x x x
a) Să se calculeze / ,f x x
b) Să se calculeze
1
2006lim
1x
f x
x
.
c) Să se arate că f are două puncte de extreme local şi să se calculeze suma celor două valori
extreme .
d) Să se arate că f este funcţie impară.
e) Să se calculeze 2007
2007f x dx
SUBIECTUL III ( 20p )
Se consideră funcţia :f . Pe mulţimea numerelor reale definim legea de compoziţie
x y f x f y şi presupunem că această lege are element neutru, pe care-l notăm cu e.
a) Să se arate că , , ,x y z x y z x y z
b) Să se arate că 2
ef e .
c) Să se arate că ,2
ef x x x .
d) Să se arate că pentru orice x există x astfel încât x x x x e .
e) Să se determine e ştiind că este adevărată egalitatea
*1
1 2 3 ... ,2
n nn n
f) Înmulţind un număr real cu simetricul său faţă de legea obţinem pătratul elementului
neutru. Să se afle numărul.
Micii MATEMATICIENI
51
g) Să se determine e ştiind că simetricul oricărui element din intervalul 1,1 se
află tot în 1,1 .
SUBIECTUL IV ( 20p )
Se consideră funcţia : 0,f , ln ,nf x x x n şi şirul 1
e
nI f x dx .
a) Să se calculeze / , 0,f x x .
b) Să se determine asimptotele funcţiei f
c) Să se arate că f este concavă pe *0, , n .
d) Să se demonstreze că
11 1 !
!
n
n
x n
nf n
x
.
e) Să se arate că funcţia f este strict descrescătoare pe 1, .
f) Să se determine nI .
g) Să se arate că lim nn
I
.
BACALAUREAT: proba D .M 2 Prof. Ioan Săcăleanu
SUBIECTUL I ( 20p )
În sistemul cartezian de coordonate Oxy, se consideră dreapta (d) de ecuaţie 3 5 0x y şi
punctele 2,1A , 1,2B , ,P a b d .
a) Să se arate că punctele A , B şi P sunt coliniare.
b) Să se calculeze distanţa AB.
c) Să se determine ecuaţia perpendicularei în A pe dreapta (d) .
d) Să se arate că 2 2
2 1AP a b .
e) Să se arate că, dacă 2,1a atunci 2 10
3
aBP
.
f) Să se arate că punctele , 2,1P a b d cu a verifică
2 2 2 2
2 1 1 2 10a b a b .
SUBIECTUL II ( 30p )
1.
a) Să se calculeze suma pătratelor soluţiilor 2 3 1 0x x reale ale ecuaţiei .
b) Să se determine suma cuburilor coordonatelor vârfului parabolei 2 4 4y x x .
c) Să se rezolve ecuaţia lg 2 2007 0x .
d) Să se demonstreze că 1 2 2007 1 2 20071 ... 2007 1 ... 2007i i i i i i
e) Să se determine probabilitatea ca un element din 0,1,2,...,2006 să verifice simultan
condiţiile : 2 2sin cos 1n n şi numerele n-1 , n , n+1 să fie în progresie aritmetică .
2. Se consideră funcţia 1
: /2
f
, 1 2
1 2
xf x
x
.
a) Să se verifice că 2 1
1,1 2 2
f x xx
Micii MATEMATICIENI
52
b) Să se calculeze / 1,
2f x x .
c) Să se determine intervalele de monotonie ale funcţiei / 1: /
2f
,
/
2
4
1 2f x
x
.
d) Să se arate că
1 0
1 3lim lim
1x x
f x f f x
x x
e) Să se calculeze 1/3
0f x dx
SUBIECTUL III ( 20p )
Se consideră matricele 2
1 0
0 1I
, 2
0 0
0 0O
, 2
a bA
c d
, urma matricei
TrA a d , 2
1 0
0 1I
şi pe mulţimea 2 se defineşte legea de compoziţie " " prin
X Y X Y X Y , 2,X y .
a) Să se verifice că 2
2 2detA TrA A A I O .
b) Să se arate că 2 2 2, ,X Y X O O Y X Y .
c) Să se arate că 2 2,X X O X .
d) Să se arate că , dacă X Y Y X atunci det detX Y .
e) Să se arate că , dacă X X X X X X atunci TrX=0
f) Să se arate că, dacă 2 2X O O X atunci det 0X TrX
g) Să se determine x astfel încât 2 2 22007x I I O
SUBIECTUL IV ( 20p )
Se consideră funcţia : 1,f , ln 1 1xf x e x .
a) Să se calculeze / ,f x x .
b) Să se calculeze
0
1lim
1x
f x f
x
.
c) Să se determine asimptotele verticale ale funcţiei f .
d) Să se arate că f este strict descrescătoare pe 1,0
e) Să se arate că f este strict crescătoare pe 0, .
f) Să se arate că x=0 este punct de minim al funcţiei f .
g) Să se arate că 0 , 1,f x x
BACALAUREAT proba D .M 3 prof. Ioan Săcăleanu
SUBIECTUL I ( 20p )
a) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 1 1x .
b) Se consideră funcţia * *:f , 1x
f xx
. Arătaţi că
12007
2007f f
.
Micii MATEMATICIENI
53
c) Se consideră mulţimile 0,1,2,3,4A şi 4 ,B m x m x A . Să se
calculeze diferenţa A-B .
d) Să se afle perechea ,x y de numere naturale ştiind că x y şi 5 5 26x y .
e) Să se calculeze 2 2004 1
2007 2006 2006C C C
f) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale inecuaţia :2
2
1 1
2 2
x
x
.
SUBIECTUL II ( 30p )
1. a) Să se calculeze suma 1+7+13+…+55 .
b) Un obiect costă 200lei. Mărirea cu p% a obiectului este un sfert din mărirea cu 3%p a
obiectului . Aflaţi p .
c) Să se calculeze 3 3 3 3 3log 4 log 12 4 log 2 log 3 log 1 .
d) Să se determine cea de-a 2007-a cifră a numărului 2,1(37) .
e) Să se determine numărul întreg cel mai apropiat de numărul 3 .
2. Se consideră triunghiul ABC isoscel de perimetru 18 şi cu un unghi de la bază de 60 .
a) Să se determine măsura unghiului de la vârf.
b) Să se demonstreze că triunghiul ABC este echilateral.
c) Să se calculeze lungimea laturii triunghiului ABC.
d) Să se calculeze aria triunghiului ABC.
e) Să se determine lungimea diagonalei unui pătrat având aria 62 .
SUBIECTUL III ( 20p )
Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A având perimetrul 24 şi cateta AC media
aritmetică a celorlalte două laturi .Notăm cu M, N, P mijloacele laturilor BC, AC, respectiv AB .
a) Să se determine lungimea catetei AC.
b) Să se demonstreze că 5 4 3
BC AB AC .
c) Să se determine lungimile laturilor AB şi AC.
d) Să se afle aria triunghiului ABC.
e) Să se determine lungimea înălţimii corespunzătoare ipotenuzei .
f) Să se demonstreze că segmentele AM şi NP sunt congruente.
g) Să se determine lungimea segmentului AM
SUBIECTUL IV ( 20p )
Dacǎ restul împǎrţirii unui numǎr la 10 este mai mare şi egal cu 5, spunem cǎ acel numǎr este
« favorabil ». Notăm cu F mulţimea numerelor favorabile de două cifre.
a) Să se determine cel mai mic numǎr favorabil de patru cifre .
b) Să se determine cel mai mare numǎr favorabil de trei cifre .
c) Să se determine numărul de elemente ale mulţimii F .
d) Să se determine numărul de zerouri cu care se termină produsul elementelor mulţimii F .
e) Să se demonstreze că suma elementelor mulţimii F este multiplu de 57.
f) Să se determine ultima cifrǎ a sumei a douǎ numere favorabile
g) Aflaţi ab ştiind cǎ ab F şi ba F sunt numere favorabile ce nu pot fi descompuse ca
sumǎ de douǎ numere favorabile.
PROBLEME PROPUSE
Micii MATEMATICIENI
54
MATEMATICA PITICĂ P.1 : Ce număr face posibilă egalitatea:
2007 2007 1 2007 2006 2007 : 2007 2007 2007a
Mara Neicu, elevă, Hîrlău P.2: Un microbuz porneşte în traseu cu 4 pasageri. Ştiind că în prima staţie urcă un pasager, în a
doua staţie coboară doi, în a treia urcă trei, în a patra coboară patru pasageri şi aşa mai departe,
să se determine câte staţii are traseul de microbuz dacă în ultima staţie coboară toţi pasagerii.
Ioan Sǎcǎleanu, Hirlău
P.3 : Se considerǎ scǎderea abc cba xyz .
a) Arǎtaţi cǎ x z y .
b) Câte numere abc sunt dacǎ z = 5 ?
Alexandru Şerban, elev, Hîrlău P.4 : Suma tuturor numerelor ce se pot forma cu cifrele distincte a, b, c este minimă. Să se
determine cel mai mic număr abc .
Ioan Sǎcǎleanu, Hirlău
P.5 : Este posibilă adunarea: EURO EURO BANII , unde literele distincte reprezintă cifre
distincte ?
Codrin Niculescu, elev, Hîrlău
P.6 : Împǎrţirea exactǎ a numǎrului ab la o cifrǎ a sa are câtul tot o cifrǎ a sa . Aflaţi numǎrul
ab .
Ioan Sǎcǎleanu, Hirlău
P.7 : La concursul “Micii matematicieni” participă elevi din patru localităţi: Hîrlău, Deleni,
Scobinţi şi Cotnari. Dacă 21 elevi nu sunt din Hîrlău, 23 elevi nu sunt din Deleni, 22 elevi nu
sunt din Scobinţi şi 24 elevi nu sunt din Cotnari, aflaţi câţi elevi participă din fiecare localitate.
Aurel Neicu, Hirlău
P.8 : Într-un catalog sunt numerotaţi 10 elevi. Emi a observat că produsul numerelor de ordine al
colegilor din faţa lui este egal cu produsul numerelor de ordine al elevilor de după el din catalog.
Ce număr de ordine are la catalog Emi ?
Ioan Sǎcǎleanu, Hirlău P.9: Scrie numărul 2007 utilizând paranteze, operaţiile de adunare, scădere, înmulţire şi
împărţire.
a) folosind cifra 1 de 17;
b) folosind cifra 1 de 13 .
Mara Neicu, elevă, Hîrlău P.10: Succesorul succesorului unui numǎr este egal cu predecesorul predecesorului altui numǎr .
Arǎtaţi cǎ cele douǎ numere nu pot fi numere rǎsturnate.
Ioan Sǎcǎleanu, Hirlău
MATEMATICA GIMNAZIALĂ Clasa aV a
5.1 Calculaţi suma 1 1 1
...1 2 1 2 3 1 2 3 ... 2007
S
.
Costache Raţă, Deleni
5.2 Câte numere abc verificǎ egalitatea :
Micii MATEMATICIENI
55
2 5 50 1756 19 ?a bc abc
Elena Huţanu, elevă, Hîrlău
5.3 Determinaţi , ,x y z astfel încât 2 2
168xy xz x .
Ioan Sǎcǎleanu, Hirlău
5.4 Arătaţi că numărul 1 2 2006
1 2 ... 2006 2008 : 22007 2007 2007
este un număr natural,
pătrat perfect. Generalizare.
Gheorghe Oancea, Hirlău
5.5 Alba ca Zăpada şi cei şapte pitici au suma vârstelor egală cu 228. Ştiind că piticii au vârstele
numere naturale consecutive, arătaţi că Alba ca Zăpada nu poate avea vârsta unuia dintre
pitici.
Aurel Neicu, Hîrlău
5.6 Se dau următoarele 1 2 3 20071 ; 3 ; 3 , 3 , ... , 3
a) Arătaţi că produsul numerelor date este pătrat perfect.
b) Arătaţi că suma numerelor date este divizibilă cu 13.
c) Aflaţi restul împărţirii sumei numerelor date la 4 .
Constantin Nastasa, Hîrlău
5.7 Notǎm cu U x , ultima cifrǎ a numǎrului natural x .
a) Arǎtaţi cǎ, dacǎ 2 2 9U a b atunci 29 .U a b
b) Este adevǎratǎ reciproca afirmaţiei de la punctul a) ?
Ioan Sǎcǎleanu, Hirlău
5.8 Completaţi cu doi termeni şirul: 1 4 2 32 8
; ; ; ; ; ...2 1 16 4 1024
.
Ioan Sǎcǎleanu, Hirlău
Clasa a VI a
6.1 Demonstraţi că, dacă abc cab bca
ac cb ba atunci a b c .
Ioana Sârbu, elevă , Hirlău
6.2 Considerăm ABC şi D BC . Dacă AM este bisectoarea BAD şi AN este
bisectoarea BAC . Demonstraţi că AD AC dacă şi numai dacă 45mMAN .
Monica-Elena Ambros, Hirlău
6.3 Pe ipotenuza BC a triunghiului dreptunghic ABC cu 60m ABC , considerǎm punctele
,D M BC astfel ca DAM ACB . Demonstraţi cǎ oricare două afirmaţii implică pe cea
de a treia :
a) 60m ABC
b) AD este înǎlţime în ABC
c) AM este medianǎ în ABC .
Aurel Neicu, Hirlău
Micii MATEMATICIENI
56
6.4 Fie ABC cu 1
2AB AC şi
1
2mC mA . Demonstraţi cǎ ABC este triunghi
dreptunghic in B.
(o reciprocă a teoremei unghiului de 30 ) Cosmin-Alexandru Spînu, Hirlău
6.5 Fie *, ,a b c cu proprietatea că , ,a b c
b c a c a b sunt numere naturale consecutive.
Calculaţi 2 2 2a b c ştiind că 2 2 2a b c .
(în legătură cu E.12957 din GM 5 / 2005 ) Lucian Rotaru, elev,Hirlău
6.6 Ştiind că , , , ,ab a b xy ba x y yx , să se calculeze 2007 2007
ab xy .
Ioan Sǎcǎleanu, Hirlău
Clasa a VII a
7.1 Să se arate că expresia 2 2 2 2 2E n m n m n m m n n m este divizibilă cu 2
pentru orice ,m n
Costache Raţă, Deleni 7.2 Fie numerele reale a, b, c, d . Ştiind că suma oricăror două numere este egală cu produsul
celorlalte , să se afle numerele.
Ioan Sǎcǎleanu, Hirlău 7.3 Numărul natural n are numai doi divizori naturali : x şi y.
Notăm cu 2 2
s x y x y .
a) Arătaţi că numărul s nu poate fi pătrat perfect.
b) Determinaţi n astfel încât s să fie cub perfect.
Costache Raţă, Deleni
7.4 Dacǎ mediana BM, înǎlţimea AH şi bisectoarea CD ale triunghiului dreptunghic ABC sunt
concurente atunci BM este cea mai mare dintre mediane .
Ioan Sǎcǎleanu, Hirlău
7.5 Se considerǎ ABC şi M BC astfel încât AMB BAC .
Demonstraţi cǎ urmǎtoarele afirmaţii :
a) AM este medianǎ în ABC ;
b) 2 ;BC AB
c) 2AC AM sunt echivalente.
Gheorghe Oancea, Hirlău
7.6 Fie unghiul xOy şi punctele distincte ,A B Ox şi ,C D Oy astfel încât OB OC şi
2 2, , 0t v t v
t v cu t vOA OD OB OC
. Demonstraţi cǎ AD, BC şi una din
bisectoarele xOy sunt concurente dacǎ şi numai dacǎ t v .
Ioan Sǎcǎleanu, Hirlău
7.7 Fie ABC , isoscel de bază BC.
Să se demonstreze că pentru orice T IntC ABC IntBAC există un punct S AT astfel
încât mBSC mCBT mCDT .
Ioan Sǎcǎleanu, Hirlău
Micii MATEMATICIENI
57
Clasa a VIII a
8.1 Desenul de mai jos reprezintă desfăşurarea în plan a unui paralelipiped dreptunghic:
1) Aflaţi valorile lui x şi y .
2) Dacă figura se pliază formându-se o « cutie » , determinaţi :
a) punctele care coincid cu punctul P ?
b) volumul “cutiei” .
3) Se poate introduce în cutie o baghetă de lungime 20 cm (foarte subţire) astfel încât
capacul să fie închis ?
Costache Raţă, Deleni
8.2 Fie ABCD un dreptunghi cu AB = a, BC = b ( a < b ). Perpendiculara din B pe AC
intersectează latura [AD] în E şi se consideră perpendiculara în E pe planul (ABC) a.î. EM = b.
a) Demonstraţi că MA2 – MC
2 = a
2 – b
2
b) Determinaţi EM ştiind că d(E;(BMC)) = d(B;AC).
Aurel Neicu, Hirlău
8.3 Fie :f D şi :g cu
22 2 3 3
2 3
a x ac b c x c bcf x
a x b
şi
22 5 3g x a x a b x b .
a) Determinaţi a, b, c, D astfel ca funcţiile f şi g sǎ fie egale.
b) Pentru a=b=2 şi 1c , calculaţi distanţa dintre graficele funcţiilor f şi g.
Codruţ-Andrei Onofrei , Hirlău 8.4 Rezolvaţi în mulţimea numerelor întregi ecuaţia
2 2 2 210 6 4 4 2 0x xyz xy y z y
Mihai Crăciun , Paşcani
8.5 Ştiind că numerele reale a, b, x ,y, z verifică simultan condiţiile : a<b ; ;z a b şi
1
a x a y a z b
b x a y b
, să se demonstreze că :
a) Pentru orice a , b numere reale, valoarea lui x depinde de z.
b) Valoarea lui y este independentă de a, b, z dacă şi numai dacă maxx - minx =1 .
Ioan Sǎcǎleanu, Hirlău
B
ACK
J
F
D
EH
GL
M
N
P
9cm
12cm
15cm
x
cmy
cm
Micii MATEMATICIENI
58
8.6 Se consideră sistemul :
2
22
2 2
1 20
30
1 1 5
ax y
aa
x y
b x a y
, , , 0a b a .
a) Să se determine o relaţie între a şi b de forma , 0f a b astfel încât sistemul să fie
compatibil determinat .
b) Pentru , 0f a a , să se determine x şi y .
c) Să se determine o relaţie independentă de a şi b între x şi y .
Mihai Crăciun , Paşcani
8.7 Fie numerele *,a b cu a b şi a , b . Aflaţi valorile raţionale ale
expresiei 2
22 2a b a b b b b b a b .
Ioan Sǎcǎleanu, Hirlău
MATEMATICA LICEALĂ Clasa a IX a
9.1. Fie funcţia :f ,
3 2 22cos 2cos2 1 2cos 1 2cosX
f X X X X X .
Arătaţi că cos sin1 ,f f
Dragoş Pascariu, Hirlău
9.2. Aflaţi n ştiind cǎ aproximarea prin lipsǎ la o zecime a numǎrului 3 3 23n n este de
forma ,xxx x .
Ioan Sǎcǎleanu, Hirlău
9.3. Fie numerele reale ;a y xy x 2b y xy y şi 2c x x xy .
a) Sǎ se compare x şi y ştiind cǎ a, b, c sunt simultan strict negative.
b) Arǎtaţi cǎ existǎ o infinitate de numere raţionale x, y pentru care a, b, c sunt simultan
negative.
c) Pentru 1,0x şi y<0 , sǎ se demonstreze cǎ
2 22 2
2 2
1 14
x y y x y x
y xy y x x xy.
Codruţ-Andrei Onofrei, elev, Hîrlǎu
9.4. Fie D , o mulţime de numere reale cu proprietatea cǎ, din 2x D avem x D .
Demonstraţi cǎ D dacǎ şi numai dacǎ existǎ o funcţie :f D cu
0 0 ,xx x
f si f x f x D
.
Ioan Sǎcǎleanu, Hirlău
Micii MATEMATICIENI
59
9.5. Fie ABC şi punctele M, N, P cu ,M AB N AC şi AP AM AN .
Demonstraţi cǎ P BC dacǎ şi numai dacǎ AM CN
AB CA .
Constantin Nastasa, Hirlău
9.6. ABC are 90mA şi AB=36 şi AC=48. Considerǎm punctele ,M BC
,N AC P AB astfel încât BM=10, CN=8 şi AP=6.
a) Demonstraţi cǎ 0AM BN CP .
b) Arǎtaţi cǎ cevienele AM, BN şi CP nu sunt concurente.
Ioan Sǎcǎleanu, Hirlău
9.7. Sǎ se arate cǎ nu existǎ numere reale x, y pentru care
2 22 2 22 1x y y x y x y
unde a reprezintǎ partea întreagǎ a numǎrului real a .
Ioan Sǎcǎleanu, Hirlău
Clasa a X a
10.1 Sǎ se reprezinte grafic soluţiile reale ale ecuaţiei 2 21 3 1 3x y x y .
Lucian Rotaru,, Hirlău
10.2 Să se afle soluţiile reale ale ecuaţiei 16 10 8 34 31 0x x x x
Florin Bularda, Hîrlău
10.3 Fie şirul 1
1n
n
nx
, unde este o rădăcină cubică a unităţii . Arătaţi că pentru
orice n are loc egalitatea : 0 1
0 1 2... 1nn
n n n n nC x C x C x x .
Ioan Sǎcǎleanu, Hirlău
10.4 Fie funcţia *:f D ,
29
100 1
2 3 122 2 2 1
log
1 1lg
2 2 2 1
xx
x x
x x
C
x xC
x x x xf x C C
.
a) Stabiliţi domeniul de definiţie al funcţiei f .
b) Studiaţi bijectivitatea funcţiei f .
Codruţ-Andrei Onofrei, elev, Hîrlău
10.5 Sǎ se determine cifrele a, b astfel încât *...n
ab ab n .
Constantin Nastasa , Hirlău
10.6 Aflaţi ultimele douǎ cifre ale numǎrului 1 *70 6 6nn n
Ioan Sǎcǎleanu, Hirlău
10.7
a) Demonstraţi prin inducţie propoziţia : “ Dacă :f o funcţie strict crescătoare
atunci ,f n n n ” .
Micii MATEMATICIENI
60
b) Descoperiţi greşeala! Pentru ln ln ,f n n n n n , iar pentru
nf n e , ln ln , ln ,n ne n n e n n n n n . Deci
ln ,n n n .Pentru n=1 obţinem ln1 1 0 1 .
Aurel Neicu, Hirlău
10.8 Fie ABC şi funcţia *:f AB AC cu ,K L
BK CLf
AK AL .
Pentru orice M Int ABC definim mulţimea , , \M K L AB A C M KL
a) Pentru punctele distincte M şi N avem : M N MN BC .
b) Demonstraţi cǎ ,
1 , GK Lf K L , G fiind centrul de greutate al ABC .
c) Arǎtaţi cǎ funcţia f este surjectivǎ, dar nu este bijectivǎ.
d) Ştiind cǎ O G arǎtaţi cǎ G H , unde O, G şi H reprezintǎ centrul cercului
circumscris,centrul de greutate, respectiv ortocentrul ABC .
Ioan Sǎcǎleanu, Hirlău
Clasa aXI a
11.1 Fie matricea 30
0
a b c
A c a
b a
. Arătaţi că det A nu depinde de ,b c şi
determinaţi *,nA n .
Constantin Nastasa, Hirlău
11.2 Fie mulţimea matricelor de forma 2 3
1 4
x xX
x x
cu 1 2 3 4, , ,x x x x în progresie
aritmeticǎ neconstantǎ şi 2a X x a
a) Demonstraţi cǎ orice matrice X , neinversabilǎ are forma 2
1 1
3 3X x
b) Determinaţi a dacă pentru aX avem det X >0.
Ioan Sǎcǎleanu, Hirlău
11.3 Calculaţi
2
2limx ax a
x ax a b
b x b a x a b
dacă *,a b ,
unde […] reprezintă partea întreagă.
Ioan Sǎcǎleanu, Hirlău
11.4 Arătaţi că22 4
1 1
lim arcsin limn n
n n
k karctg
nk n
şi aflaţi valoarea lor comună.
Cosmin-Alexandru Spînu, elev, Hîrlău
Micii MATEMATICIENI
61
11.5 Şirul na este convergent şi are limita e .Să se calculeze lim nn
b
, unde
1
21
1sin
nk
n
k
ab
n n
.
Mihai Crăciun , Paşcani
11.6 Arătaţi că 2 2 22 2 3 1
lim ...2
n n n nn
ne e e e n
.
Cosmin-Alexandru Spînu, elev, Hîrlău
Clasa aXII a
12.1 Legea de compoziţie " " definitǎ pe G admite element neutru şi are proprietatea
, ,P x y z z x y x y z G
Demonstraţi cǎ legea " " este asociativǎ dacǎ şi numai dacǎ ea este comutativǎ .
Monica-Elena Ambros , Hirlău
12.2 Fie P un polinom cu coeficienţi întregi. Demonstraţi cǎ a este rǎdǎcinǎ a
polinomului P dacǎ şi numai dacǎ
,P t
t t at a
.
Gheorghe Oancea, Hirlău
12.3 Se consideră numerele *, ,a b c şi ecuaţia :
2 2 23 2
2 2 2
1 1 1 10
a b cX X X
a b c a b c a b c
Arătaţi că soluţiile ecuaţiei date sunt
în progresie geometrică, aritmetică şi respectiv armonică dacă şi numai dacă 2 2 2, ,a b c sunt
în progresie geometrică, aritmetică şi respectiv armonică.
Constantin Nastasa , Hirlău
12.4 Pentru numǎrul real 1q definim mulţimea
1 2
1 2 3 4
3 4
/ , , , secq
a aG X a a a a termeni con utivi ai unei progresii geometrice deratieq
a a
Demonstraţi cǎ adunarea şi înmulţirea matricelor structureazǎ qG ca un corp comutativ.
Aurel Neicu, Hirlău
12.5 Fie funcţia : , 0, ,f a a şi legea de compoziţie x yx y f f a
definitǎ pe ,G a . Sǎ se determine f ştiind cǎ *: , ,f G este izomorfism de
grupuri .
Ioan Sǎcǎleanu, Hirlău
12.6 Determinaţi mulţimea 1
, 0; ; , 0sin cos
dx x a ba x b x
.
Aurel Neicu, Hirlău
12.7 Arătaţi că
6
*
2 2 22
1/ , ,
b
a
b
a
dx a b
ax a x b
.
Ioan Sǎcǎleanu, Hirlău
Micii MATEMATICIENI
62