El conjunto de los nmeros reales incluye:Nmeros naturales: se utilizan para especificar el tamao de un conjunto finito: 1,2,3,4,Nmeros enteros: Todos los enteros positivos y negativos junto con el nmero real 0, escribindose: -4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3,4Nmeros racionales: Se pueden escribir como la fraccin de dos nmeros enteros a y b 0, caracterizados porque su parte decimal sea finita o peridica como: 5.23 o 6.111Nmeros irracionales: siendo los nmeros en los que su parte decimal es infinita y no peridica, como es el caso de .Los nmeros reales pueden representarse por expresiones decimales infinitos donde un conjunto de nmeros se repitan indefinidamente como: 2.343434.

http://www.biol.unlp.edu.ar/alimentos/introduccion.pdfCapitulo 1: Conjuntos. Pertenencia. Extensin y comprensin. Cardinal. Referencial. Conjunto de Nmeros NaturalesCONJUNTOSINTRODUCCIN AL CONCEPTOLa palabra CONJUNTO nos remite, intuitivamente a una agrupacin o coleccin de objetos. Esta idea nos sirve para introducirnos en el concepto de conjuntos que, en matemtica es un trmino primitivo. Es decir no lo definimos, no contestamos a la pregunta qu es?. Sin embargo para que una coleccin de objetos sea un conjunto, deber cumplir algunas condiciones: UN CONJUNTO QUEDA DETERMINADO POR SUS ELEMENTOS QUE PERTENECEN A L..En smbolos lo escribimos as

Le ponemos como nombre una letra imprenta mayscula y lo leemos: A es el conjunto formado por m, t y hDiremos que h pertenece a A,En smbolosm pertenece a A, en smbolos:...................................t pertenece a A, en smbolos....................................k no pertenece a A,en smbolos: 8 no pertenece a A, en smbolos...................g no pertenece a A, en smbolos...................2) PARA QUE UN CONJUNTO EXISTA ES NECESARIO QUE SUS ELEMENTOS ESTN UNVOCAMENTE DEFINIDOS, (EXISTEN Y SON NICOS)As, el conjuntos formados por "las letras del nombre de mi abuelo" no es un conjunto para la matemtica, pues sus elementos varan segn quien los defina ( todos los abuelos no tienen el mismo nombre)Los elementos no estn unvocamente definidos, el conjunto no existe. EXISTE EL CONJUNTO VACIOEsta caracterstica aleja el concepto de conjunto de la idea intuitiva Cmo pensar la existencia de un conjunto vaco?Hemos dicho que para que un conjunto queda determinado si sus elementos estn unvocamente definidos. Suponga que se le pide formar el conjunto de las ranas que malla. Ud. responder "ninguna rana malla". El conjunto es VACO no hay ranas que cumplan esa condicin, los elementos estn bien definidos pero no hay ninguno. El conjunto vaco es nico y se representa simblicamente:Obsrvese la diferencia con el punto 2 UN CONJUNTO EST EXPRESADO POR EXTENSIN CUANDO SE NOMBRAN TODOS SUS ELEMENTOS.As, el conjunto formado por las vocales de la palabra "to", que llamaremos B, se escribe en smbolos:EJERCICIO:Expresar por extensin:1. A1 es el conjunto formado por los colores primarios1. A2 es el conjunto formado por las letras de la palabra MAM1. A3 es el conjunto formado por los ros que forman la Mesopotamia Argentina1. A4 es el conjunto formado por las provincias que forman la Mesopotamia Argentina1. A5 es el conjunto formado por los colores de la bandera argentina1. A6 es el conjunto formado por los nombres de los dos gases ms importantes de la atmsfera5) LOS CONJUNTOS SE REPRESENTAN GRAFICAMENTE MEDIANTE DIAGRAMAS DE VENNSe trata de curvas cerradas . Dentro de la regin interior se colocan los elementos, representamos el conjunto A2 del ejercicio anteriorA2 Los conjuntos se expresan por COMPRENSION utilizando una expresin proposicional que caracteriza a los elementosAntes de analizar esta propiedad, definiremos algunos trminos:6.1.- Se llama PROPOSICIN a toda oracin aseverativa de la que podemos decir si es verdadera o falsaLa Luna gira alrededor de la TierraProposicin VERDADERA

La Tierra es el quinto planeta del Sistema SolarProposicin FALSA

Qu hora es? NO es una proposicin

Salga de aqu!NO es una proposicin

6.2.- Considere la siguiente oracin incompleta:Considera la siguiente oracin incompleta"....... es una vocal"Cuntas proposiciones verdaderas podemos obtener de esa oracin incompleta?........Escriba por extensin el conjunto, que llamaremos D, formado por todas las letras que, al reemplazar los puntos suspensivos hacen una proposicin verdadera.A = {a,En matemtica 1. a las oraciones incompletas se las llama expresiones proposicionales1. en lugar de puntos suspensivos se utilizan otras letras que se llaman variables ( x,y,z )1. sea que " ....... es una vocal" en leguaje matemtico se escribe "x es una vocal"Recordar: leemos equis pero pensamos en los puntos suspensivos. Aqu la equis es una variable6.3.- Utilizamos expresiones proposicionales para definir conjuntos por COMPRENSIN.Relee el primer ejemplo de las vocales, que has escrito por extensin, por comprensin:1. se escribe1. se lee: D es el conjunto formado por todos los x tales que x es una vocal1. significa: que es el conjunto formado por todos los valores que transforman a la expresin proposicional " x es una vocal", en una proposicin verdaderaEJERCICIOExpresar por extensin los siguientes conjuntos:A7 = {x / es una vocal de la palabrea "ambiguo"}A8 = { x / x es una vocal de la palabra "Ana"}CARDINAL DE UN CONJUNTOLa cantidad de elementos de un conjunto puede ser 0, el conjunto vaco, 1 como en el conjunto A8; 2 como en el conjunto A2, etc.El nmero de elementos de un conjunto se llama CARDINAL:1. El cardinal del conjunto vaco es ceroEn smbolos:Card () = 01. El cardinal del conjunto A8 En smbolos:Card (A8) = 11. El cardinal del conjunto A2 En smbolos:Card (A2) = 2EJERCICIO: Determine el cardinal de todos los conjuntos de esta seccin. Escrbalos en lenguaje simblicoCONJUNTO DE NUMEROS NATURALESEl conjunto de todos los cardinales se denomina CONJUNTO DE NMEROS NATURALES.Notacin:Para referirnos al conjunto de Nmeros Naturales con el cero, escribiremos N0 y para referirnos al conjunto de Nmeros Naturales sin el cero escribiremos: NEl conjunto de NUMEROS NATURALES:1. Es un conjunto ordenado segn la relacin de menor, y tiene primer elemento1. Es un conjunto infinito1. No es denso, porque entre dos elementos cualesquiera existe un nmero finito de nmeros naturalesPodemos representar el conjunto de nmeros Naturales en una recta numrica:La flecha indica el orden creciente, complete con algunos de los naturales la recta, transportando consecutivamente el segmento unidadEl orden de los nmeros naturales se representa en la recta numrica:Diremos, por ejemplo que1. 0 es menor que 3, en smbolos:1. 8 es mayor que 7:Estas dos proposiciones en lenguaje simblico se denominan inecuacionesSUBCONJUNTOS DE NDeterminemos el conjunto H de los nmeros Naturales menores o iguales que 3Escribimos en lenguaje simblico, por comprensinExpresin que leemos H es el conjunto formado por todos los equis tales que equis es menor o igual que 3.La expresin proposicional Se denomina INECUACIN, y se lee equis es menor o igual que 3Los elementos del conjuntos H son los nmeros que transforman la inecuacin en una desigualdad verdadera.El conjunto H por extensin es:Expresaremos por comprensin y extensin el conjunto de nmeros naturales menores o iguales que 3, pero tomando como referencia el conjunto de Nmeros Naturales con el cero:Los conjuntos H y F son subconjuntos del conjunto de Nmeros Naturales. Obsrvese que en ambos casos la desigualdades utilizada es la misma, pero los conjuntos H y F son distintos, porque se ha variado el conjunto referencialExpresaremos por comprensin y por extensin el conjunto de nmeros naturales mayores o iguales que 3 y menores o iguales que 7Se llama CONJUNTO REFERENCIAL a un conjunto que se determina previamente o se da por supuesto dentro de un universo del discurso El conjunto referencial se identifica con las letras E o U y se lo representa en los diagramas de Venn mediante un cuadradoEJERCICIOS Exprese por extensin los siguientes conjuntos2) Expresar por comprensin3) Dado el referencial E Se pide: Expresar E por extensin Expresar por extensin los siguientes conjuntos4) Dado el siguiente diagrama de VennSe pide:- expresar por extensin:El conjunto E=El conjunto A=El conjunto B=El conjunto M1 formado por los elementos que pertenezcan a A o que pertenezcan a BEl conjunto M2 formado por los elementos de A que no pertenecen a BEl conjunto M3 formado por los elementos de B que no pertenecen a AEl conjunto M4 formado por los elementos que pertenecen a A y tambin a BEl conjunto M5 formado por los elementos de E que no pertenecen a A ni a B- determinar el cardinal de los conjuntos anteriores- representar los conjuntos en sendos diagramas5) Disear un ejercicio similar al anteriorCaptulo 2: Operaciones con conjuntos. InclusinOPERACIONES CON CONJUNTOS1.- PROPOSICIONES COMPUESTAS:En el apartado anterior hemos analizado la verdad o falsedad de proposiciones simples. Es posible tambin formar proposiciones compuestas utilizando los conectivos lgicos o e yVeamos algunos ejemplos:Entre las condiciones para participar en un concurso literario dice: " Podrn participar los alumnos de la escuela o los familiares de los alumnos"Ins es ta de Pedro y se ha anotado en el concurso.Mara es alumna de 3er. Ao y se ha anotado.Juan es alumno de 1er ao y hermano de Sebastin de 3er ao, por lo tanto tambin participa.En resumen, basta con que se cumpla una de las condiciones del enunciado, pueden inscribirse.Es decir una proposicin compuesta con el conectivo o, es verdadera si alguna de las proposiciones lo es. Definimos el conectivo con una tabla de verdadDadas dos proposiciones p y q y la proposicin compuesta p o q, entonces:pqp v q

VVV

VFV

FVV

FFF

En cambio, en las condiciones para jugar ftbol en el club de la ciudad dice: "Para ser miembro del equipo el postulante debe ser varn y mayor de 18 aos"Anala tiene 19 aos pero como es mujer no puede participarJos tiene 17 aos, no puede participar porque es menorPedro tiene 18 y como es varn ya se ha inscripto.En resumen, el enunciado que contiene el conectivo y, exige que se cumplan las dos condiciones, es decir, que sean verdaderas ambas proposiciones.Definimos mediante una tabla de verdad el conectivo yDadas dos proposiciones p, q y la proposicin compuesta p y q, entonces:pqp y q

VVV

VFF

FVF

FFF

2.- Expresiones proposicionales compuestas Sabemos que una expresin proposicional se transforma en proposicin cuando se reemplaza la variable por un valor. Por lo tanto, una expresin proposicional compuesta:1. con el conectivo o ser verdadera cuando alguna de las proposiciones lo sea.1. Con el conectivo y, ser verdadera slo cuando todas las proposiciones simples lo sean3.- Definiremos las operaciones entre conjuntos utilizando las expresiones proposicionales compuestas:3.1.- UNIN DE CONJUNTOS:Dados dos conjuntos A y B en un referencial E, se denomina conjunto unin a otro conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o que pertenecen a BEn smbolos:Analice el conjunto M1 del ejercicio 4 del captulo anterior y escrbalo como unin3.2.- INTERSECCIN DE CONJUNTOSDados dos conjuntos A y B en un referencial E, se denomina conjunto interseccin a otro conjunto formados por los elementos que pertenecen a A y a BEn smbolos:Cul de los conjuntos del ejercicio 4 del captulo anterior corresponde a la interseccin de conjuntos?3.3.- DIFERENCIA DE CONJUNTOS3.4.- COMPLEMENTO DE UN CONJUNTOAc se lee complemento de AEJERCICIO:Sean :Hallar los siguientes conjuntos:Captulo 3: Operaciones en el conjunto de Nmeros NaturalesOPERACIONES EN EL CONJUNTO DE NMEROS NATURALES1.-SUMA=14 Los trminos que intervienen en la operacin suma se llaman sumandos. La palabra suma se utiliza para referirse a la operacin o al resultadoPropiedades de la suma:1.- La suma es una ley de composicin interna, es decir , siempre tiene resultado 2.- La suma es asociativa, es decir , que el resultado no vara si se realizan sumas parciales3.- La suma es conmutativa, es decir el orden de los sumandos no altera la suma4.- El cero es un elemento neutro para la sumaAsociatividadConmutatividadElemento Neutro

abc(a+b)+c = a+(b+c)a + b = b+aa + 0 = a

235

618

974

2.- MULTIPLICACINLa multiplicacin se construye a partir de la suma, es una suma particular donde todos los sumandos son iguales3 + 3 + 3 + 3 = 4.3 = (4)(3) a+a+a=3a Los trminos de una multiplicacin se llaman FACTORES, el resultado de la multiplicacin se llama PRODUCTO. Indique cules son los factores y cul el producto en:6.5.7.2=Propiedades del productoComplete el cuadroAsociatividadConmutatividadElemento Neutro

abc(ab)c = a(bc)ab = baa.1 = a

235

618

974

EJERCICIOSCOMBINANDO OPERACIONES (Idea de Ferragina, Fisichella y Rey Lorenzo)A) En el juego siguiente Ud. deber formar palabras utilizando las letras de la palabra gua y luego colocar el puntaje correspondiente. La letra L en los casilleros significa letra, la letra P significa palabra. Por ejemplo, cuando una letra de la palabra que Ud. escribi queda en el casillero que dice 2L, deber duplicar el valor de la letra. Los valores de stas figuran en la primera fila entre parntesis. Puede repetir las letras de la primera fila pero no puede usar otrasA(2)M(5)I(3)G(7)O(4)S(6)PUNTAJE

12L3L

22P4L

33P

43L3P

GANA EL QUE FORMA CUATRO PALABRAS Y OBTIENE MAYOR PUNTAJE Despus que un grupo de chicos jug con el tablero anterior encontr este escrito en un papel: 2.6+3+7++3.2+5+4+6=Puede calcular el puntaje que hizo ese jugador? Si coloca las palabras en otro orden, se puede obtener ms puntaje ?

(7+3+4.5+3+4)2=

magias

omiso

3.-LA DIFERENCIAMINUENDO - SUSTRAENDO = DIFERENCIA O RESTAPROPIEDADES DE LA DIFERENCIANO es conmutativa PORQUE no es igual a 2-3PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DE LA MULTIPLICACIN RESPECTO A LA DIFERENCIA3( 6 - 2) = 3.6 - 3.23.4 = 18 - 612 = 124.- EL COCIENTE DIVIDENDOCOCIENTERESTOEn la divisin se verifica que:DIVIDENDO = DIVISOR . COCIENTE + RESTOIGUALDADES. ECUACIONES . DESIGUALDADES. INECUACIONES1.- Toda ecuacin est compuesta por dos miembros separados por el signo igualLos miembros de una igualdad pueden conmutarsePRIMER MIEMBRO = SEGUNDO MIEMBROEJEMPLO3 + 7 = 10 o bien10 = 3+72.- Se llama IDENTIDAD a toda igualdad en la que figuran incgnitas y que es verdadera para cualquier valor de las variablesEJEMPLO:a + b = b + c3.- Se llama ECUACIN a toda igualdad en la que figuran variables y que es verdadera para ciertos valores de la variableEJEMPLO: 3x = 15x = 5RESOLVER una ecuacin significa hallar los valores de la variable que la hacen verdaderaDESPEJAR la variable significa trasponer las constantes a uno de los miembros de modo que la variable quede aislada en el otro. La transposicin de trminos se realiza utilizando la propiedad de los elementos neutros de cada operacin y respetando el orden de las operaciones.EJEMPLOS2x + 4 = 242x + 4 - 4 = 24 - 42x = 24 - 4(2x) /2 = 20/2x = 20/2x = 102(x + 4) = 242(x + 4)]/2 = 24/2x = 24/2x + 4 = 12x + 4 - 4 = 12 - 4x = 12 - 4x= 8

En el cuadro anterior se ha remarcado los pasos fundamentales. Los pasos intermedios pueden hacerse mentalmente

4.- Una desigualdad es una expresin de dos miembros relacionados por un signo de menor o mayor5.- Una inecuacin es una desigualdad en la que figuran incgnitasEJERCICIOS:Resolver los siguientes ejercicios combinando operaciones:Resolver las siguientes ecuaciones: POTENCIACIONBASE Exponente=POTENCIA43=4.4.4=6441=4La potenciacin es un caso particular de producto: todos los factores son igualesEn general: an=a.a....an vecesLa base es el nmero que se multiplicaEl exponente indica las veces que se multiplica la basean se lee a elevado a la ene43 se lee 4 a la terceraPROPIEDADES DE LA POTENCIACIN1. NO ES CONMUTATIVA PORQUE 34 NO ES IGUAL A 431. Es didtributiva respecto a la producto y al cociente Ejemplo: (3.2)3=33.321. NO ES DISTRIBUTIVA respecto a la suma y a la diferencia(3+2)3=53=125 que es distinto a 33+23=9+8=17PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE:El producto de potencias de igual base es otra potencia de la misma base cuyo exponente es igual a la suma de los exponentes de las potencias dadasEn smbolos:an.am= am+nEJEMPLO:23.24=23+4=27COCIENTE DE POTENCIAS DE IGUAL BASEEl cociente de potencias de igual base es otra potencia de la misma base cuyo exponente es igual a la diferencia entre los exponentes de las potencias dadasEn smbolos:an:am= am-nEJEMPLO:25:23=25-3=22EXPONENTE CEROEl exponente cero aparece cuando dividimos dos potencias iguales:EJEMPLO:24:24=24-4=20Pero, en este caso estamos dividiendo un nmero por s mismo24:24=1Luego:20=1CONVENCIN: Todo nmero elevado a la cero da por resultado 1POTENCIA DE POTENCIALa potencia de otra potencia es una potencia de la misma base cuyo exponente es igual al producto de los exponentes dados(an)m= am.n(24)3= (2)12EJERCICIOS Calcule las siguientes potenciasB) Aplicando las propiedades de potencias de igual base resuelva:DESCOMPOSICIN DE UN NMERO EN FACTORES PRIMOSLlamaremos nmero primo a aquel nmero que es divisible por s mismo y por la unidad.Los nmeros que no son primos se llaman compuestosTodo nmero natural puede escribirse como producto de factores primos, diremos que se ha factoreado.Ejemplo:divisores

1802

902

453

153

55

1

Luego :180 = 22325MULTIPLO COMN MINIMO (m.c.m): Dados dos o ms nmeros factoreados se llama mltiplo comn mnimo al producto de los factores comunes y no comunes con su mayor exponenteDIVISOR COMN MXIMO (d.cm): Dados dos o ms nmeros factoreados se llama divisor comn mximo al producto de los factores comunes con su menor exponente.Ejemplo:Sea hallar el m.c.m y d.c.m de 180, 150 y 60Descomponiendo esos nmeros en sus factores primos resulta:180 = 22325300 = 22.3.52120 = 23.3.5Luego:mcm (180,150,60 )= 23.32.52 = 600dcm (180,150,120) = 22.3.5 = 60 RADICACINLa radicacin es una operacin inversa a la potenciacinEn general:Resolviendo ecuaciones:1) Calcule las siguientes races:PROPIEDADES DE LA RADICACIN1. No es conmutativa1. Es distributiva respecto al producto y al cociente1. NO es distributiva ni asociativa respecto de la suma y de la restaEJERCICIOResuelva las siguientes ecuaciones7.- LOGARITMACINLOGARITMOSSi pretendemos resolver la ecuacin

nos encontramos conque no existe ninguna operacin, de las que conocemos, que nos permita despejar la incgnita. Ello hace necesario la definicin de una nueva operacin, la LOGARITMACINIntroduccin a la definicin En el ejemplo anterior, el valor de equis es 4. Es decir, que la nueva operacin determina exponentesEl logaritmo de 81 en base 3 es el exponente 4, es decir, 4 es el nmero al que hay que elevar la base 3 para obtener 81 Escribimos:Leemos: logaritmo en base 3 de 81 es igual a 4Es decir: EL LOGARITMO ES UN EXPONENTEDEFINICINEjemplo: EJERCICIO:Calcular los siguientes logaritmos utilizando la definicin

Captulo 4: El lenguaje matemticoEn los captulos anteriores habr observado que, en varias ocasiones hemos agregado la leyenda "se lee". Esto es sumamente importante para aprender a leer el lenguaje simblico que se utiliza.Este lenguaje es escrito y es universal cada uno lo oraliza en lenguaje coloquial en su lengua materna, as el smbolo 4 se lee cuatro en espaol, four en ingls, etc.Pero con ese signo estamos definiendo el cardinal de un conjunto.El lenguaje simblico es especfico, no debe ser ambiguo ni contradictorio, pero al leerlo no debemos perder de vista la estructura que describe Por ejemplo:Si escribimos x + 5 = 8,Podemos leer: equis ms cinco es igual a 8Y esto significa: Busque el nmero al que sumndole cinco d por resultado 8Es en funcin de este significado que escribimos x = 3Nos plantearemos ahora el problema de traducir del lenguaje coloquial al lenguaje simblico:Ejemplo:Cul es el nmero cuyo doble ms 1 es igual a 9? Es obvio que la respuesta se puede calcular mentalmente en este caso, lo que facilitar el anlisis:Qu buscamos? Un nmero, esa es la incgnita, xEl doble del nmero 2xEl doble del nmero ms 1 2x +1El doble del nmero ms 1 es igual a 9 2x + 1 = 9Para encontrar el nmero buscado resolvemos la ecuacin.LENGUAJE COLOQUIAL Y LENGUAJE SIMBLICOCompete el cuadroEl doble de un nmero

El triple de un nmero

El siguiente de un nmero

El anterior de un nmero

3x+2

La raz cbica de

El cuadrado del siguiente nmero

X5

El cubo de la suma entre un nmero y tres

El cubo de un nmero ms tres

El duplo de un nmero ms su triplo

La mitad de un nmero ms seis

2x3

La mitad de la suma entre un nmero y ocho

El cubo de la suma de los nmeros

Captulo 5: Conjunto de Nmeros enteros1.- Necesidad de su creacinEcuaciones del tipo x+5=3 no tienen solucin en el conjunto de Nmeros NaturalesEsto gener la necesidad de crear un conjunto de nmeros que diera solucin a la operaciones similares al 3-5.El conjunto Z de nmeros enteros est formado por los nmeros positivos, los negativos y el cero.

-3-2-10+1+2+3+4

Llamaremos2.- Mdulo de un entero (valor absoluto)El mdulo de un nmero es la distancia al cero .La distancia es un nmero positivo3.- NUMEROS OPUESTOSDos enteros distintos son opuestos si tienen el mismo mduloLa expresin-x se lee el opuesto de un nmeroSabemos que: el opuesto de +2 es -2; el opuesto de -6 es +6, aplicando la expresin que define el opuesto en lenguaje simblico resulta:EJERCICIO: Expresar por extensin4.- ORDEN EN EL CONJUNTO DE NUMEROS ENTEROSEn la recta numrica, (ver pgina anterior) la flecha indica el orden creciente.Ese orden debe mantenerse al agregar los nmeros negativosDiremos que:1. Dados dos nmeros positivos, es mayor el de mayor valor positivo1. Dados dos nmeros negativos es mayor el de menor valor absoluto1. Todo nmero positivo es mayor que cero1. Todo nmero negativo es menor que ceroAs:EJERCICIO 2Coloque el signo que corresponda: mayor, menor o igual5.-OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE NMEROS ENTEROSDada la correspondencia entre los nmeros naturales y los nmeros positivos al definir las operaciones no pueden contradecirse las definiciones ni las propiedades de ellas sino que deben ampliarseA.- SUMA ALGEBRAICA:1.1.-Para definir la suma debemos tener en cuenta que se debe verificar la igualdadDe esta expresin los matemticos acuerdan una convencin1.2.- Resta o diferenciaRecordemos que:Resolvemos:EJERCICIO 31.- Realice Las Siguientes Sumas Algebraicas2.- Resuelva Las Siguientes Ecuaciones 3.- Represente en la recta numrica los siguientes conjuntosB.- PRODUCTO DE NUMEROS ENTEROSPor la correspondencia entre los nmeros naturales y los positivos sabemos queMultiplicar dos por cinco significa sumar dos veces el cinco. Teniendo en cuenta esta definicin de producto y que la multiplicacin es conmutativa podemos calcularPero nos falta encontrar un significado para el producto de dos nmeros negativos:Sobre la base de estas deducciones conclumos:EJERCICIO 41.- Resuelva los siguientes productos2.- Resuelva las siguientes ecuaciones3.- Al trabajar con nmeros naturales utilizamos un juego para practicar las operaciones. Use las mismas reglas en cada tablaTABLA 1 (Idea de Ferragina, Fisichella y Rey Lorenzo)L-2O4Q8U5I-3T1A2S-1PUNTAJE

10L-4L

-2L-2L

4P-3L-L

(-1)P9L-3L2P

ACTIVIDADES PARA REALIZAR CON LA TABLA 1. Indique qu puntaje le corresponde a la palabra ALQUILAS, en cada fila Escriba el desarrollo del cada clculo.1. En qu orden colocara las siguientes palabras para obtener mayor puntaje total: AQUILATO, SOLITAS, SOLISTA, ILUSOS, ALISTA, SALTITO, ATLAS, TALLOS 1. Escriba el puntaje como ejercicio que combina operaciones de suma y producto de enteros y compare resultados.C.- COCIENTE DE NMEROS ENTEROSLa divisin es la operacin inversa a la multiplicacin. Ud. sabe que, por ejemplo, 14 dividido 7 es 2 porque 2 por 7 es igual a catorce. Entonces est en condiciones de realizar las siguientes divisionesEnuncie la regla de los signosEl cociente de dos nmeros enteros del mismo signo es......................El cociente de dos nmeros enteros de distinto signo es......................EJERCICIO 51.- Calcular2.- Hallar xAPLICACIONES1) FACTOR COMNEl clculo del factor comn es la inversa de la propiedad distributiva de la multiplicacin con respecto al producto.Dada una suma para calcular el factor comn se procede as:1. Se determina el d.c.m , llamado factor comn, de los sumandos1. Se divide cada sumando por el factor comn, obtenindose los nuevos sumandos1. El resultado es el producto del factor comn por la suma de los nuevos sumandos obtenidos en el paso anterior.EXTRAER FACTOR COMNECUACIONES DEL TIPO: ax + b = cx +dEn la ecuacinVemos que en cada miembro hay un trmino en x y otro trmino sin x :no es posible sacar factor comn, pero podemos agrupar los trminos en x en un miembro y los sin x en el otro: as:FORMA ABREVIADA (pasaje o trasposicin de trminos): El primer paso de la resolucin y el tercero se pueden realizar mentalmente.Entonces diremos que el 5 que est sumando pasa al segundo miembro restandoEl 6x que est sumando pasa al primer miembro restando.En el paso 5 el -4 est multiplicando pasa al otro miembro dividiendo.Recuerde que en la trasposicin de trminos nunca hay cambio de signos sino cambio de operacinUtilice el procedimiento anterior para resolver las siguientes ecuaciones:PROPIEDAD DEL PRODUCTO IGUAL A CEROSi el producto de varios nmeros es igual a cero entonces alguno de los factores es igual a ceroEn smbolos:Utilizamos esta propiedad para resolver ecuaciones:Usando la propiedad anterior resuelva:PRODUCTO DE LA SUMA DE DOS NMEROS POR SU DIFERENCIAEl producto de dos nmeros por su diferencia es igual al a la diferencia entre los cuadrados de dichos nmerosResuelva las siguientes ecuaciones utilizando esta propiedad: POTENCIACION EN EL CONJUNTO DE NMEROS ENTEROSLa defincin de potencia es la misma que en los nmeros naturales, veamos:Complete el cuadro de la regla de los signos de la potenciaBASEEXPONENTEPOTENCIA

Positivapar

Positivaimpar

Negativapar

Negativaimpar

E.- RADICACINLa radicacin es la operacin inversa a la potenciacin:Complete:RadicandoIndiceRaz

PositivaparDos races una positiva y otra negativa

Positivaimpar

Negativapar

Negativaimpar

EJERCICIO 7 .....Captulo 6: Conjunto de Nmeros RacionalesFRACCIONES - NUMEROS RACIONALES La ecuacin:2x=5no tiene solucin en el conjunto de nmeros enteros. Aplicando las reglas de resolucin de ecuaciones resulta:El resultado obtenido es una fraccin: el cociente indicado de dos nmeros enteros.Llamamos:REPRESENTACIN GRFICA DE LOS NMEROS RACIONALESCLASIFICACIN DE FRACCIONES1.- Son FRACCIONES EQUIVALENTES las que representan el mismo punto en la recta numrica. EJEMPLO:2.- Son fracciones irreductibles aquellas cuyo numerador y denominador son nmeros coprimos, es decir no tienen divisores comunes.EJEMPLO:3.- Son fracciones aparentes aquellas cuyo numerador es mltiplo del denominador. Son nmeros enterosOPERACIONES CON NMEROS RACIONALES1.- SUMA DE FRACCIONESPara sumar fracciones es necesario que tengan el mismo denominador. Para reducir fracciones a comn denominador se procede as:1. Se determina el m.c.m. de los denominadores de las fracciones. Sumandos1. Se calculan las fracciones equivalentes con ese denominador de cada sumandoEJEMPLOS:2.- PRODUCTO DE FRACCIONES El producto de dos o ms fracciones es otra fraccin cuyo numerador es el producto de los numeradores de los factores, y cuyo denominador es el producto de los denominadores de los factoresEJEMPLO3.- INVERSO MULTIPLICATIVOEl inverso multiplicativo de una fraccin es otra fraccin tal que multiplicada por la primera da por resultado 1El inverso multiplicativo de 4.- COCIENTE ENTRE DOS FRACCIONESEl cociente entre dos fracciones es igual al producto entre el dividendo y el inverso multiplicativo del divisor5.- POTENCIACION Y RADICACIN DE FRACCIONESEJEMPLO:POTENCIAS DE EXPONENTE NEGATIVO Sabemos que al dividir dos potencias de igual base se obtiene otra potencia de la misma base, cuyo exponente es igual a la diferencia entre las potencias dadas.Veamos este caso donde, de la aplicacin de la regla resulta un exponente negativoAnalicemos el significado de esta expresin tratando de resolver el ejercicio:Resulta entonces que:Utilizando esta induccin, definimos:Ejercicio:Calcule las siguientes potenciasTRABAJO PRCTICOA) COMPLETE Y RESUELVA Fracciones equivalentes2.- Suma algebraica3.- Calcular4- Resolver las siguientes ecuaciones5.- Problemas El doble de un nmero ms un medio es 16 Cul es el nmero? Los dos tercios de un nmero ms 1 es igual a cinco cuartos. Cul es el nmero? Se tiene un patio de 12 m por 4m. Se quieren embaldosar los dos tercios del patio Cuntos m2 quedarn sin embaldosar? Le hicimos un regalo a mi sobrino que cost $ 150.- Yo pagar un quinto del total, mi hermanados tercios y mi mam el resto Cunto pagar cada una? Un tanque se llena en 6 hs. si se utiliza una canilla de las dos que tiene conectadas. Si se utiliza slo la otra se llena en 3 hs. En cunto tiempo se llenar utilizando las dos simultneamente? Capitulo 7: Nmeros Irracionales1.- Nos planteamos un problema:Como calcular x?Si aplicamos la propiedad de producto de potencias de igual base, factoreando previamente el 4, resulta:Pero adems es:Entonces :Tambin se verifica que:Pero::Luego:Teniendo en cuenta esta induccin, definimos:Potencia de exponente fraccionario:Captulo 9: NMEROS COMPLEJOS1. LA UNIDAD IMAGINARIAEcuaciones del tipo Conjuntos numricos

1) N = Conjunto de los Nmeros NaturalesN = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.......}El conjunto de los Nmeros Naturales surgi de la necesidad de contar, lo cual se manifiesta en el ser humano desde sus inicios.Este conjunto se caracteriza porque:Tiene un nmero ilimitado de elementosCada elemento tiene un sucesor y todos, excepto el 1, un antecesor.

El sucesor de un nmero natural se obtiene sumando uno (+1); el antecesor se obtiene restando uno (-1).2) N* = N0 = Conjunto de los Nmeros CardinalesN 0 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,.....}Al Conjunto de los Nmeros Naturales se le agreg el 0 (cero) y se forma el Conjunto de los Nmeros Cardinales. 3) Z = Conjunto de los Nmeros EnterosZ = { ..... 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}El Conjunto de los Nmeros Enteros surge de la necesidad de dar solucin general a la sustraccin, pues cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, esta sustraccin no tiene solucin en los Conjuntos Naturales y Cardinales (por ejemplo: 5 20 = ?). Debido a esto, la recta numrica se extiende hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representa un nmero natural le corresponda un punto simtrico, situado a la izquierda del cero. Punto simtrico es aquel que est ubicado a igual distancia del cero (uno a la derecha y el otro a la izquierda de l).Z = N* U Conjunto de los Nmeros Enteros negativosZ = Tiene 3 Subconjuntos:Enteros Negativos: Z Enteros Positivos: Z +Enteros Positivos y el Cero: Z 0+Por lo tanto, el Conjunto de los Nmeros Enteros es la unin de los tres subconjuntos mencionados.Z = Z U {0} U Z +4) Q = Conjunto de los Nmeros RacionalesQ = {....- , - , - , 0, , , ,.....} El conjunto de los Nmeros Racionales se cre debido a las limitaciones de clculo que se presentaban en el conjunto de los Nmeros Naturales, Nmeros Cardinales y Nmeros Enteros. Por ejemplo, slo se puede dividir en el conjunto de los Nmeros Enteros si y slo si el dividendo es mltiplo, distinto de cero, del divisor. Para solucionar esta dificultad, se cre este conjunto, el cual est formado por todos los nmeros de la forma a / b. Esta fraccin en la cual el numerador es a, es un nmero entero y el denominador b, es un nmero entero distinto de cero. (Ver: Fracciones) El conjunto de los Nmeros Racionales (Q ) se ha construido a partir del conjunto de los Nmeros Enteros (Z). Se expresa por comprensin como:Q = { a / b tal que a y b Z; y b 0 }Este conjunto se representa grficamente, dividiendo cada intervalo de una recta numrica en espacios iguales, que representen nmeros enteros. Cada una de estas subdivisiones representa una fraccin con denominador igual al nmero de partes de la subdivisin. Cada fraccin es un nmero racional y cada nmero racional consta de infinitas fracciones equivalentes.5) I = Q* = Conjunto de Nmeros IrracionalesI = Conjunto de Nmeros Decimales Infinitos no PeridicosEste conjunto surgi de la necesidad de reunir a ciertos nmeros que no pertenecen a los conjuntos anteriores; entre ellos se pueden citar a las races inexactas, el nmero Pi, etc. A l pertenecen todos los nmeros decimales infinitos puros, es decir aquellos nmeros que no pueden transformarse en una fraccin. No deben confundirse con los nmeros racionales, porque stos son nmeros decimales finitos, infinitos peridicos e infinitos semiperidicos que s pueden transformarse en una fraccin.Ejemplos: 1,4142135....0,10200300004000005.... Conjuntos por extensin y compresinExtensin: el conjunto que enumera uno a uno todos los elementos.

Ej: A= (a, e, i, o, u)

Comprensin: el conjunto que determina las propiedades que caracterizan a todos los elementos.

Ej: R= nmeros pares menores que 20.

Los ConjuntosVN:F [1.9.11_1134]espera un momento...Rating: 3.9/5 (29 votes cast)Un conjunto es una agrupacin de objetos, que poseen alguna caracterstica en comn. Pero no slo nos referimos a cosas fsicas, como lpices, libros, calculadoras, etc., sino tambin a elementos abstractos como nmeros letras, entre otros.A los objetos se les llama elementos del conjunto.Si tenemos el siguiente conjunto:C = {1, 2, 3, 4}, decimos que los elementos del conjunto C son los nmeros: 1, 2, 3 y 4.Con frecuencia, utilizamos letras maysculas A, B, C para designar al conjunto, y letras minsculas a, b, c, d. para referirnos a los elementos que forman parte de ese conjunto. Todos los conjuntos se escriben entre llaves {}.Determinacin de un ConjuntoLos conjuntos pueden definirse por extensin o por comprensin.ExtensinSe escriben los elementos que forman parte del conjunto, uno por uno separados por una coma y entre parntesis de llaves.C = {norte, sur, este, oeste}ComprensinDecimos que un conjunto es determinado por comprensin, cuando se da una propiedad que se cumpla en todos los elementos del conjunto y slo ellos.C = {x / x es un punto cardinal}Y se lee de la siguiente manera: C es el conjunto de todos los elementos x, tal que x es uno de los puntos cardinales.Ejemplos: A = { x/x es una consonante} B = { x/x es un nmero impar menor que 10} C = { x/x es una letra de la palabra feliz}Para definir un conjunto por compresin, es necesario saber algunos smbolos matemticos:1. < menor que2. > mayor que3. / tal que4. ^ yDecimos que dos conjuntos son iguales, slo si contienen los mismos objetos.Ejemplo: A = { a, e, i, o, u } A = { a, e, i, o, u, a} C = {x / x es una vocal}Como se puede ver, los tres conjuntos (A, B y C) son iguales, por lo que podemos darnos cuenta que podemos describir un mismo conjunto de diferentes maneras.Ejemplos por ExtensinEjemplos por Comprensin

A = { a, e, i, o, u}A = { x/x es una vocal }

B = { 1, 3, 5, 7, 9}B = { x/x es un nmero impar menor que 10 }

D = { f, e, l, i, z}D = { x/x es una letra de la palabra feliz }

E = { b, c, d, f, g, h, j, k . . . }E = { x/x es una consonante }

G = {venus, marte,}G = {x/x es un planeta}

Relacin entre ConjuntosUn elemento puede pertenecer o no a un conjunto dado.Para sealar se un elemento pertenece a un conjunto se usa el smbolo y, para decir que no pertenece el smbolo .Ejemplo:Sea A = { a, e, o, u } a A se lee: a pertenece al conjunto A i A se lee: i no pertenece al conjunto AUn conjunto puede ser o no subconjunto de otroUn conjunto A es subconjunto de B (o est incluido en B), si todos los elementos de A pertenecen a B.Notacin: A B; se lee: A es subconjunto de BTipos de conjuntosConjunto VacoEs el que no posee elementos. Tambin se le llama conjunto nulo. Generalmente se le representa por los smbolos: { }B = B = { } se lee: B es el conjunto vaco B es el conjunto nuloConjunto UnitarioEs el que tiene un nico elementoConjunto UniversoSe llama as al conjunto formado por todos los elementosEjemploU = {a, e, i, o, u}A={a, e}B={a, i, o, u}Conjunto FinitoSe llama as al conjunto al cual podemos nombrar su ltimo elementoEjemplo: D ={x/x es da de la semana}Es finito porque sabemos cules son todos los das de la semana.Conjunto InfinitoSe denomina as, ya que no podemos nombrar su ltimo elemento.Conjuntos disjuntosSon aquellos que no poseen ningn elemento comn.Operaciones de Conjuntos1.- InterseccinA C= Es el conjunto formado por los elementos comunes de A y C2.- UninB A = Es el conjunto formado por los elementos que pertenecen tanto a B como a A3.- DiferenciaA D = Conjunto formado por todos los elementos de A que no pertenecen a D4.- ComplementoB = Es el conjunto formado por todos los elementos del universo, que no pertenecen a B