บทท 3 ระเบยบวธวจย

ในการศกษาการวเคราะหความผนผวนและพยากรณมลคาหนวยลงทนกองทนหนระยะยาวโดยใชแบบจ าลอง ARIMA-GARCH ใชแนวคดและทฤษฎเกยวกบการวเคราะหอนกรมเวลา การทดสอบความนงของขอมล (stationary) โดยการทดสอบ Unit Root และสรางแบบจ าลองทดทสดเพอประมาณคาความผนผวนและพยากรณมลคาหนวยลงทนในอนาคต แบบจ าลองทใช คอ แบบจ าลอง ARIMA (Autoregressive Intergrated Movingaverage) เแบบจ าลอง Autoregressive Conditional Heteroscadasticity (ARCH) แบบจ าลอง Gerneralized Conditional Heteroscadasticity (GARCH) และวธการพยากรณ

3.1 การวเคราะหอนกรมเวลา (Time Series Analysis)

อนกรมเวลา คอ เซตของขอมลเชงปรมาณทมการจดเกบในชวงเวลาทตดตอกน สวนขอมลอนกรมเวลา (Time Series Data) คอ ชดของขอมลทมการเกบรวบรวมตามระยะเวลาทตดตอกนอยางเปนระบบโดยทวไปขอมลอนกรเวลาประกอบดวยองคประกอบ 4 สวน คอ แนวโนม (Trend: T), ฤดกาล (Seasonal: S), วฏจกร (Cycle: C) และเหตการณทผดปกตหรอเหตการณความไมแนนอน (Irregular: I) ส าหรบรปแบบของอนกรมเวลาโดยทวไปนนมอย 2 รปแบบคอ ก) รปแบบบวก Y = T + S + C + I (1) ข) รปแบบคณ Y = T x S x C x I (2)

โดยท Y คอ อนกรมเวลา T คอ อทธพลของแนวโนม S คอ อทธพลของฤดกาล C คอ อทธพลของวฏจกร I คอ อทธพลของความไมแนนอน

การวเคราะหอนกรมเวลาเปนวธ ทใชในการวเคราะหขอมลหรอคาสงเกตทมการเปลยนแปลงไปตามล าดบเวลาทเกดขน หรอการเปลยนแปลงของตวแปรในชวงเวลาทผานไป ลกษณะของการเปลยนแปลงอาจมหรอไมมรปแบบกได แตถาอนกรมเวลาแสดงใหเหนรปแบบการเปลยนแปลงในชวงเวลาทผานมาในอดตกจะท าใหสามารถคาดการณไดวาในอนาคตลกษณะ

22

การเปลยนแปลงควรอยในรปแบบใด และสามารถพยากรณการเปลยนแปลงขอมลในอนาคตได การวเคราะหขอมลอนกรมเวลาน จะขนอยกบการเปลยนแปลงของเวลาในอดตเปนพนฐาน (ศรลกษณ เลกสมบรณ 2531)

น าขอมลมลคาทรพยสนสทธ (NAV) ซงเปนขอมลทตยภม (Secondary data) มาวเคราะหขอมลอนกรมเวลา (time series data) ไดสมการในการทดสอบดงน

Nav 1 = Navt-1+ t (3)

ก าหนดให Nav 1 คอ ตวแปรทเราท าการศกษาไดแก มลคาทรพยสนสทธหรอมลคาหนวยลงทน t คอ แนวโนมเวลา t คอ ตวแปรสมโดยมการแจกแจงแบบปกตทเปนอสระตอกนและเหมอนกน

น าขอมลอนกรมเวลามาทดสอบ Stationary แบงไดเปน 3 วธหลก ๆ คอ 1) การทดสอบโดยใชกราฟ 2) การทดสอบโดยใช Correlogram test 3) การทดสอบโดยใช Unit Root test

3.1.1 การทดสอบโดยใชกราฟ การทดสอบโดยใชกราฟ ขอมลทไมเสถยรจะมรปแบบ ดงน

ภาพท 3.1 ตวอยางขอมลทไมมเสถยรภาพ

23

การทดสอบโดยใชกราฟขอมลทมเสถยรภาพจะกระจายอยรอบ ๆ คาเฉลย

-100

-50

050

100

dgdp

1970 1975 1980 1985 1990YEAR

ภาพท 3.2 ตวอยางขอมลทมเสถยรภาพ

3.1.2 การทดสอบโดยใช Correlogram test (Correlogram and Q-statistics) การพจารณา Correlogram and Q-statistics มเงอนไขในการพจารณาวากราฟ Correlogram ของAutocorrelation ของตวแปรทก าลงพจารณาจะตองไมมลกษณะการลดลงแบบ Exponential และคา Q-statistics ทค านวณไดมคามากกวาคาวกฤตของ Chi-square ณ ระดบนยส าคญ 3.2 การทดสอบความนงของขอมล (Stationary) และการทดสอบ Unit Root

การทดสอบอนกรมเวลา เปนสงทควรกระท ากอนทจะน าขอมลขอมลอนกรมเวลามาใชในการวเคราะห โดยเฉพาะเงอนไขความนงของอนกรมเวลา (Stationary) ซงเปนเงอนไขทส าคญในการน าขอมลอนกรมเวลามาใช ดงนนถาหากอนกรมเวลาทน ามาใชไมคงทจะตองท าใหอนกรมเวลาดงกลาวคงทกอน โดยการหาผลตางของอนกรมเวลา การคงทของอนกรมเวลา หมายถง อนกรมเวลาทอยในสภาวะสมดลเชงสถต (Statistical equilibrium) ซงกคอ การทคณสมบตทางสถตของอนกรมเวลาไมเปลยนแปลงตามกาลเวลา การทดสอบ Unit Root เปนการทดสอบวาขอมลทน ามาศกษามนงหรอไม สามารถท าไดโดยการทดสอบ DF (Dickey – Fuller Test) ซงเสนอโดย Dickey และ Fuller ในป 1981 และวธการทดสอบ ADF (Augmented Dickey – Fuller Test) ซงเสนอโดย Said และ Dickey ในป 1984

24

ขอมลทมลกษณะนง (Stationary) หมายถง ขอมลอนกรมเวลาทมคาเฉลย (Mean) และความแปรปรวน (Variance) เทากนตลอดระยะเวลาทศกษา

เมอสมมตใหตวแปร Xt เปนอนกรมเวลาทคงท (Stationary) ดงนน ตวแปร Xt จะมคณสมบตดงน

Mean: E (Xt ) = µ (4) Variance: Var(Xt ) = E (Xt - µ)2 = 2 (5) Covariance: E[(Xt - µ)(Xt+k - µ)] = k (6)

สวนขอมลทมลกษณะไมนง (Non-Stationary) หมายถงขอมลอนกรมทมคาเฉลย (Mean) และความแปรปรวน (Variance) ไมเทากนตลอดระยะเวลาทศกษา

เมอสมมตใหตวแปร Xt เปนอนกรมเวลาทไมคงท (Nonstationary) ดงนน ตวแปร Xt จะมคณสมบตดงน

Mean: E (Xt ) = tµ (7) Variance: Var(Xt ) = E (Xt - µ)2 = t 2 (8) Covariance: E[(Xt - µ)(Xt+k - µ)] = t k (9)

3.2.1 วธการทดสอบ DF (Dickey – Fuller Test) มสมการทตองทดสอบอย 3 สมการ (At Level) คอ

X t = Xt-1 + 1 (random walk process) (10) X t = + Xt-1 + 1 (random walk with drift) (11) X t = + t+ Xt-1 + 1 (random walk with drift และ (12)

ม linear Time and trend) สมมตฐานททดสอบ

H0 : = 0 H1 : ≠ 0

ถายอมรบ H0 แสดงวา Xt มลกษณะไมนง(Nonstationary) มการเปลยนแปลงเมอเวลาเปลยนแปลงและถาปฏเสธ H0 แสดงวาขอมลนนมลกษณะนง (Statioary) สมการทใชทดสอบตามว DF Nav 1 = Nav t-1 + t (13) Nav 1 = + Nav t-1 + t (14) Nav 1 = + t + Nav t-1 + t (15)

25

3.2.2 วธการทดสอบ ADF (Augmented Dickey–Fuller Test) การทดสอบ ADF (Augmented Dickey–Fuller Test) พฒนามาจากวธ Dickey – Fuller Test เพอแกปญหา Serial Correlation หรอแกปญหา Autocorrelation ซงคาสถตทไดจะขาดความถกตองดงนน จงไดมการน าเสนอใหปรบสมการของวธการ Dickey-Fuller ใหม โดยใส ตวแปรลา (Lag) ของ X ในล าดบทสงขน แลวเรยกวธการนวา Augmented Dickey–Fuller Test ในการตรวจสอบวาขอมลนนมลกษณะนงหรอไม โดยการเปรยบเทยบคาสถต t ทค านวณไดกบคาวกฤตในตาราง ADF (อครพงศ อนทอง, 2550)

มสมการทตองทดสอบอย 3 สมการ (At Level) คอ

Xt = Xt-1 +

1i

i Xt-1+ 1 (random walk process) (16)

Xt = + Xt-1 +

1i

i Xt-1+ 1 (random walk with drift) (17)

Xt = + t + Xt-1 +

1i

i Xt-1+ 1 (random walk with linear and trend) (18)

สมมตฐานททดสอบ H0 : = 0 H1 : ≠ 0

ถายอมรบ H0 แสดงวา Xt ขอมลมลกษณะไมนง (Nonstationary) และถาปฏเสธ H0 แสดงวาขอมลนนมลกษณะนง (Stationary) ขอมลทมลกษณะนง (Stationary) หมายถง ขอมลอนกรมเวลาทมคาเฉลย (Mean) และความแปรปรวน (Variance) เทากนตลอดระยะเวลาทศกษา สวนขอมลทมลกษณะไมนง (Non-Stationary) หมายถงขอมลอนกรมทมคาเฉลย (Mean) และความแปรปรวน (Variance) ไมเทากนตลอดระยะเวลาทศกษา สมการทใชในการทดสอบตามวธ ADF

Nav 1 = Nav t-1 +

p

j 1

j Nav t- 1 + t (19)

Nav 1 = + Nav t-1 +

p

j 1

j Nav t- 1 + t (20)

Nav 1 = + t + Nav t-1 +

p

j 1

j Nav t- 1 + t (21)

26

3.3 การเลอกแบบจ าลองจากการทดสอบ Unit Root โดยการทดสอบสมประสทธของการถดถอย (Deterministic Regressors) เปนการทดสอบวา แบบจ าลองใดเปนแบบจ าลองทเหมาะสมทสดระหวางกรณของแบบจ าลองทไมมคาคงทและแนวโนมเวลา (None) แบบจ าลองทมคาคงท (Intercept) และแบบจ าลองทมทงคาคงทและแนวโนมเวลา (Trend and Intercept) โดยการทดสอบการมนยส าคญทางสถตของสมประสทธของตวถดถอย (คาคงทหรอคาแนวโนมเวลา) โดยขนตอนการทดสอบดงน ขนตอนท 1 เรมการทดสอบจากแบบจ าลองกรณทมทงคาคงทและแนวโนมเวลาตามสมการ

Xt = a0+ + Xt -1 + a2t+ i Xt -1 + 1 (22)

ท าการทดสอบสมมตฐานวาง H0 : = 0 โดยใช statistic ถาเกดการปฏเสธสมมตฐานวาง แสดงวา ขอมล Xt มลกษณะนงแลว และเลอกใชแบบจ าลองทมทงคาคงทและแนวโนมเวลา ขนตอนท 2 ถาเกดการยอมรบสมมตฐานวางในขนตอนท 1 แสดงวาในแบบจ าลองดงกลาวมตวถดถอยทไมจ าเปนอยในสมการ ซงอาจท าใหอ านาจการทดสอบของสมการลดลง ดงนน จงตองมการทดสอบนยส าคญทางสถตของคาแนวโนม (a2t) ทอยในสมการ โดยการทดสอบสมมตฐานวา H0 : a2 = = 0 โดยใช statistic ถาคาสมประสทธของคาแนวโนมไมมนยส าคญทางสถตใหขามไปขนตอนท 3 อยางไรกตาม ถาคาสมประสทธของคาแนวโนมมนยส าคญทางสถตใหท าการทดสอบความไมนงของขอมลอกครง โดยใช การแจกแจงแบบปกตมาตรฐาน (standardized normal distribution) ถาเกดการปฏเสธสมมตฐานวาแสดงวา ขอมล Xt มลกษณะนงแลวจะเลอกใชแบบจ าลองทมทงคาคงทและแนวโนมเวลา แตถาเกดการยอมรบสมมตฐานวาง แสดงวาขอมล Xt มลกษณะไมนง ขนตอนท 3 ท าการประเมนคาแบบจ าลอง ทปราศจากคาแนวโนมเวลา และทดสอบ unit root โดยใช µ statistic ถาเกดการปฏเสธสมมตฐานวางแสดงวาขอมล Xt มลกษณะนงแลวและเลอกใชแบบจ าลองทปราศจากคาแนวโนมเวลา แตถาเกดการยอมรบสมมตฐานวางใหท าการทดสอบความไมนงของขอมลอกครงโดยใช การแจกแจงแบบปกตมาตรฐาน (standardized normal distribution) ถาเกดการปฏเสธสมมตฐานวางแสดงวา ขอมล Xt มลกษณะนงแลวและเลอกใชแบบจ าลองทมทงคาคงทและแนวโนมเวลา แตถาเกดการยอมรบสมมตฐานวางแสดงวา ขอมล Xt มลกษณะไมนง

27

ขนตอนท 4 ท าการประมาณคาแบบจ าลองทปราศจากคาแนวโนมเวลา และคาคงท และทดสอบ Unit root โดยใช statistic ถาเกดการปฏเสธสมมตฐานวาง แสดงวาขอมล Xt มลกษณะนงแลวและเลอกใชแบบจ าลองทปราศจากคาแนวโนมเวลาและคาคงท แตถาเกดการยอมรบสมมตฐานวาง แสดงวาขอมล Xt มลกษณะไมนง

ทงน การวเคราะหขอมลทเปนอนกรมเวลา สวนมากจะพบปญหาความไมนงของขอมลเนองจากขอมลนนมาจากกระบวนการเชงสม (random process) เมอน าขอมลอนกรมเวลาไปใชโดยไมไดท าการตรวจสอบวาขอมลมลกษณะนงนน คาสถตทเกดขนจะมการแจกแจงไมมาตรฐาน (standard distributions) ท าใหน าไปสการลงความเหนทผดพลาดและความสมพนธทไมแทจรง (spurious regression) กลาวคอ R มคาสงมากและไดคาสถต t-test มนยส าคญหรอสงเกนกวาความเปนจรง ซงสามารถแกไขไดดวยการท าใหขอมลมความนงเสยกอน โดยอาจใชวธการหาผลตาง (Difference) ของขอมล การแปลงใหอยในรป Logarithm หรอการทดสอบหาความสมพนธของตวแปรในระยะยาว (Cointegration) เปนตน

3.4 การเลอกแบบจ าลองทดทสด โดยการตรวจสอบรปแบบ (Diagnostic Checking)

หลงจากการสรางสมการพรอมทงประมาณคาพารามเตอรแลว สงส าคญคอจะตองท าคอการตรวจสอบรปแบบวาสมการทไดมามความเหมาะสมหรอไม และรปแบบใดของสมการทดทสด 3.4.1 เกณฑในการเลอกแบบจ าลองทดทสด (Information Criteria) ในการหารปแบบของแบบจ าลอง เมอไดรปแบบของแบบจ าลองทเหมาะสมหลายรปแบบตองมแนวทางในการเลอกรปแบบของแบบจ าลองทดทสด โดยพจารณาจากคา Akaike Information Criterion (AIC) และ Schwartz Criterion (SC) รปแบบของแบบจ าลองทใหคา AIC และ SC นอยทสดจะเปนรปแบบทดทสด สามารถค านวณไดดงน

Akaike Information Criterion (AIC) = – 2 / +2 / (23)

Schwartz Criterion (SC) = – 2 / + log / (24)

โดยท เปนจ านวนของพารามเตอรทท าการประมาณคา

เปนจ านวนของคาสงเกต

เปนคาของ log likelihood function ทใชพารามเตอรทถกประมาณคา k ตว

28

3.4.2 แบบจ าลอง ARIMA (Autoregressive Intergrated Movingaverage) แบบจ าลองตวแบบ ARIMA (p, d, q) มสวนประกอบทส าคญ 3 สวน ไดแก Auto Regressive AR : (p), Intergrated (I) และ Moving Average MA : (q) ส าหรบ AR (p) เปนรปแบบทแสดงวาคาสงเกต y t ขนอยกบคาของ y t-1,..., y t-p หรอคาสงเกตทเกดขนกอนหนา p คา สวนรปแบบ MA (q) เปนรปแบบทแสดงคาสงเกต y t ขนอยกบคาความคลาดเคลอน t-1,..., t-q หรอความคลาดเคลอนทอยกอนหนา q คา สวน Integrated (I) เปนการหาผลตาง (Difference) ของอนกรมเวลา เหตผลส าคญทตองหาผลตางของอนกรมเวลา เนองจากแบบจ าลอง ARIMA จะตองใชในการวเคราะหขอมลอนกรมเวลาทมคณสมบตคงท (Stationary) เทานน ในกรณทขอมลอนกรมเวลาทใชในการวเคราะหสมบตไมคงท (Nonstationary) จะตองท าการแปลงขอมลอนกรมเวลาดงกลาวใหมคณสมบตคงทกอน โดยการหาผลตางของขอมลอนกรมเวลา หรอการหาคา Natural logarithm ของอนกรมเวลากอนทจะน าขอมลไปใชสรางแบบจ าลอง ARIMA

(B) dyt = + (B) t (25) โดยท (B) = 1 –

1 B – 2 B 2 – … – p B p (26) (B) = 1 –

1 B – 2 B 2 – … – p B p (27) y t = คาสงเกตในอนกรมเวลา ณ เวลา t B = Backward shift operation โดยท Bm = yt-m

d = จ านวนครงของการหาผลตางเพอใหอนกรมเวลามคณสมบตคงท (stationary) p = อนดบของออโตรเกรสซฟ (Autoregressive Order) q = อนดบของคาเฉลยเคลอนท (Moving Average) = คาคงท (Constant Term) 1,…, p = พารามเตอรของ ออโตรเกรสซฟ (Autoregressive parameter) 1,…, p = พารามเตอรของ คาเฉลยเคลอนท (Moving-Average parameter) t = กระบวนการ white noise ซงกคอ คาความคลาดเคลอน ณ เวลา t ภายใตขอ สมมตวาความคลาดทคนละเวลาเปนตวแปรสมทเปนอสระตอกน โดยมการแจกแจงแบบปกตทมคาเฉลยเปนศนย และความแปรปรวนคงท [ t ˜ N(0, 2)]

29

จากสมการขางตนอาจเขยนไดใหมเปน

dyt = +

dyt-1 + dyt-2 + … +

dyt-p + t – t t-1 – q t-q (28)

จากรปแบบทวไปตามสมการขางตนน าไปใชในการก าหนดรปแบบทเหมาะสมและประมาณคาตอไป ซงอนกรมเวลาทจะน ามาวเคราะห ดวยวธของ Box and Jenkins น ตองมเงอนไขบางประการเกยวกบคาพารามเตอรในตวแบบเพอใหอนกรมเวลามคณสมบตคงท (Stationary) และคณสมบตผกผน (Invertibility) ส าหรบคณสมบตคงท (Stationary) เปนคณสมบตของรปแบบ AR (p) ซงเปนคณสมบตทท าให E (y t) และ V (y t) คงท และ Cov (y t,...,y t-k) มคาคงท ขนกบวา Lag k อยางเดยว สวนคณสมบตผกผน (Invertible) เปนคณสมบตของรปแบบ MA (q) ซงเปนคณสมบตทท าใหคาคลาดเคลอนของการพยากรณ t ในเทอมของ y t , y t-1 มคาคงท (ทรงศร แตสมบต, 2539) มขนตอนของวธการ Box and Jenkins ขนตอนท 1 ก าหนดรปแบบ (Identification) เพอหารปแบบทคาดวาเหมาะสมใหกบอนกรมเวลา โดยใชวธพจารณาเปรยบเทยบจาก Correlogram ของคา r k และ r kk ของอนกรมเวลา ขนตอนท 2 การประมาณคาสมประสทธ (Estimation) ในรปแบบ โดยทวไปใชวธการประมาณคาสมประสทธดวยวธก าลงสองนอยทสดแบบธรรมดา (Ordinary Least Square Method: OLS) ขนตอนท 3 การตรวจสอบรปแบบ (Diagnostic checking) เมอก าหนดรปแบบและประมาณคาพารามเตอรในรปแบบแลว ตองตรวจสอบอกครงวารปแบบทก าหนดมความเหมาะสมจรงหรอไม โดยการพจารณาคาสหสมพนธในตวเองของคาความคลาดเคลอน (ดจากกราฟ Correlogram) การทดสอบคาพารามเตอรในรปแบบ โดยการพจาณาจากคาสถต t (t-statistic) และการทดสอบความเหมาะสมของรปแบบโดยการทดสอบของ Box and Pierce หรอการทดสอบของ Box and Ljung [Q-statistic] ขนตอนท 4 การพยากรณ (Forecasting) น าสมการพยากรณทสรางจากรปแบบการพยากรณทก าหนดและผานการตรวจสอบรปแบบ มาพยากรณคาในอนาคต โดยสามารถท าไดทงการพยากรณแบบจด (Point forecast) และการพยากรณแบบชวง (Interval Forecast) การพยากรณโดยวธ Box and Jenkins จะใหคาพยากรณไปขางหนาทดในชวงสนๆ และตองมอนกรมเวลาทยาวพอสมควร (อครพงศ อนทอง, 2550)

30

3.4.3 แบบจ าลอง Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (ARCH) ในการวเคราะหอนกรมเวลาสวนใหญแลวจะมการก าหนด stochastic variable ใหมความแปรปรวนคงท (homoscedastic) ซงในการประยกตใชกบบางขอมลนนคาความแปรปรวนของคาความคลาดเคลอน(error term) จะไมใชฟงกชนของตวแปรอสระแตมคาเปลยนแปลงไปตามชวงเวลาขนอยกบขนาดของความคลาดเคลอนทเกดขนในอดต และในบางงานศกษา เชน แบบจ าลองของเงนเฟอ อตราดอกเบยหรอผลตอบแทนจากตลาดหลกทรพย ในบางคาบเวลาจะมคาความผนผวน(volatility) สง (และความคลาดเคลอนทมขนาดใหญ) ตามดวยคาบเวลาทมคาความผนผวน(volatility) ต า (และมคาความคลาดเคลอนทมขนาดเลก) สรปไดวาคาความแปรปรวนของคาความคลาดเคลอนจากการถดถอยจะขนอยกบคาความผน(volatility) ของความคลาดเคลอนในอดตทผานมา (สธนพล วเชยรรตนพนธ, 2547; อางถงใน ทรงศกด ศรบญจตต, 2547)

ความเปนไปไดในการหาคาเฉลยและความแปรปรวนของอนกรมเวลาไปพรอมกนนน ในขนตนการพยากรณอยางมเงอนไขจะมความแมนย าเหนอกวาการพยากรณอยางไมมเงอนไข ซงจากแบบจ าลอง Autoregressive Moving Average (ARMA) ซงแสดงไดดงน

Xt = a0+ a1Xt -1 + 1 (29)

และการพยากรณอยางมเงอนไขของ Xt -1 ดงนคอ

E t Xt-1 = a0+ a1Xt (30) และคาเฉลยแบบมเงอนไขในการพยากรณ Xt-1 คาความคลาดเคลอนของความแปรปรวนอยางมเงอนไขทพยากรณไดดงนคอ

E t [(Xt-1 – a0– a1Xt )2] = E t

2t-1 = 2 (31)

ถาเปลยนไปใชการพยากรณอยางมเงอนไขแลว ผลทจะใชเปนคาเฉลยในชวง

Long-Run ของล าดบ {xt} ซงเทากบ )1(

1

0

a

a

จะไดคาความคลาดเคลอนของการพยากรณอยางไม

มเงอนไขดงน

E t {(Xt-1 – )1(

1

0

a

a

)2} = E [( t-1 + a1 1 + a1

2 t-1+ a1

3 t-2+…)2] (32)

31

เนองจาก )1(

1

1a2 > 1 เพราะฉะนนความแปรปรวน(variance) จากการพยากรณ

แบบไมมเงอนไข (unconditional variance) จงมคาสงกวาความแปรปรวนของ{ t} ไมเปนคาคงท จะสามารถประมาณคาแนวโนมของการเปลยนแปลงความแปรปรวนโดยใช ARMA Model โดยให t แทนสวนทเหลอทไดจากการประมาณจากสมการ ดงนน คาความแปรปรวนแบบมเงอนไขของ Xt -1 จะไดดงน

Var (Xt+1 | Xt ) = E [(Xt+1 – a0– a1Xt )

2] = E t 2t+1 (33)

และจากทให E t

2t+1 = 2

t+1 จงแสดงวาความแปรปรวนอยางมเงอนไขไมใชคาคงทและจะไดแบบจ าลองในการประมาณคาสวนทเหลอ (residuals) ออกมาดงน

t2 = 0+ 1

t2-1+…+ q

t2-q+Vt (34)

เมอ Vt = white noise process ถาคาของ 1, 2,..., q มคาเทากบศนย ความแปรปรวนทประมาณคามาได (estimated variance) จะมคาคงทหรอคงตว (constant variance) 0 อกนยหนง คอ คาความแปรปรวนอยางเงอนไขของ Xt จะมการเปลยนแปลงสอดคลองกบในสมการ (34) และคาพยากรณสามารถเขยนไดดงน

E t

t2 = 0+ 1

t2-1+…+ q

t2-1-q (35)

จากเหตผลทกลาวมา สมการ(34) เรยกวา Autoregressive Conditional Heteroscedastic (ARCH) Model และสมการ(35) เปน ARCH(q) โดยคา E t

t2 หรอ 2

t-1 จะประกอบดวย 2 องคประกอบ คอ คาคงทและความผนผวน(volatility) ในคาบเวลาทผานมา ซงเขยนไดเปนสวนเหลอก าลงสองของคาบเวลาในอดต (ARCH term) สวนคาสมประสทธ ( 1, 2,..., q) สามารถหาคาไดโดยวธ Maximum likelihood

32

3.4.4 แบบจ าลอง Generalized Autoregressive Conditional Heterosedasticity (GARCH)

แบบจ าลอง ARCH ของ Engle ไดมการพฒนาตอโดย Bollerslev ในป 1986 ดวยการใหความแปรปรวนแบบมเงอนไข (conditional variance) มลกษณะเปน ARMA process โดยทให error process มลกษณะดงน

1 = Vt 12 (36)

โดยทความแปรปรวนของ Vt = 1

2 = 1 และ

t2 = 0+

q

i 1

12t-1+

p

i 1

i2t-1 (37)

เมอ { Vt } คอ White noise process ทเปนคาอสระจากเหตการณในอดต{ t-1 }คาเฉลยแบบมเงอนไขของ t จะเทากบศนย ประเดนส าคญในการหาความแปรปรวนแบบมเงอนไขของ t ถกก าหนดโดย

Et-1 2t = t

2 = 0+

q

i 1

12t-1+

p

i 1

i2t-1 (38)

ดงนน ความแปรปรวนแบบมเงอนไขของ t ถกก าหนดโดย t

2 ในสมการ (16)

แบบจ าลองนจงเรยกวา Generalized Autoregressive Conditional Heterosedasticity (GARCH) หรอ GARCH (p, q) นนใชกระบวนการ Autoregressive และ Moving Averge ในการหาความแปรปรวนทมลกษณะ Heteroscedastic Variance จะเหนวาถา p=0 และ q=1 เปน GARCH (0,1) หรอคอ ARCH(1) นนเอง โดยสรปวาถา 1 ทงหมดมคาเปนศนยแบบจ าลอง GARCH (p, q) จะเทยบเทากบแบบจ าลอง ARCH (q) คณสมบตทส าคญของแบบจ าลอง GARCH คอคาความแปรปรวนอยางมเงอนไขของ disturbances ของคา Xt สรางขนมาจากกระบวนการ ARMA จงสามารถคาดไดวาสวนเหลอจากการท า ARMA จะแสดงถงรปแบบคณลกษณะเดยวกนเชน ถาการประมาณคา { Xt } ดวยกระบวนการท า ARMA คา Autocorrelation Function (ACF) ซงเปนสหสมพนธระหวางตวแปรสมทหนวยเวลาหางกนของกระบวนการเดยวกนและ Patial Autocorrelation Function (PACF) ของสวนทเหลอ (residuals) ควรจะบงถงกระบวนการ White noise และ ACF ของก าลงสองของสวนทเหลอ (aquared residuals) น ามาชวยในการระบถงล าดบ (order) ของกระบวนการ GARCH (สธนพล วเชยรรตนพนธ, 2547; อางถงใน ทรงศกด ศรบญจตต, 2547)

33

3.4.5 แบบจ าลอง Exponencial GARCH (EGARCH) แบบจ าลอง GARCH ตาง ๆ นอกจากใชไดอยางประสบผลส าเรจ แตกมขอเสยอยสองประการในการประยกตใชกบการตงหรอค านวณคาทรพยสนประเภททน ประการแรก คอ ในกระบวนการ GARCH แบบสมมาตรนน ถามความผดปกต หรอ shock เกดขนๆไมวาในทางบวกหรอทางลบ แตอยในระดบหรอขนาดเดยวกน ซงใหระดบความไมแนนอนทเทากนแลว คาความแปรปรวนอยางมเงอนไขกจะเพมขนในทางบวกหรอทางลบ แตอยในระดบหรอขนาดเดยวกน ซงใหระดบความไมแนนอนทเทากนแลว คาความแปรปรวนอยางมเงอนไขกจะเพมขนในทางบวกหรอทางลบอยางมากจนนาตกใจ (Engle and Bollerslev, 1986) อยางไรกตาม Black (1976) ไดพบความสมพนธทเปนลบหรอตรงกนขามกนระหวางผลตอบแทนในปจจบนกบความไมแนนอนทเกดจากความออนไหว (Volatility) ในอนาคต เชน ความไมแนนอนมกจะสงเมอมขาวราย และจะลดลงเมอมขาวด (Nelson, Daniel B, 1991) ลกษณะความไมสมมาตรของความแปรปรวนแบบมเงอนไขน ผเขยนงานวชาการหลายคนเรยกวา leverage effect คอ อทธพลจากคายกก าลง ซงแบบจ าลอง GARCH แบบเสนตรงไมสามารถก าหนดความไมแนนอนทออนไหวในอนาคต กลาวอกนยหนงคอ เฉพาะขนาดของคาความคลาดเคลอนจากประมาณการถดถอยโดยมการทอดระยะเวลา (Lagged Residuals) เทานนทมสวนก าหนดคาความแปรปรวนอยางมเงอนไข แตความเปนบวกหรอลบของคาความคลาดเคลอนไมมสวนเกยวของ (Nelson, Daniel B, 1991) ซงขอจ ากดนเปนจดส าคญประการแรกทกอใหมการพฒนาแบบจ าลอง EGARCH Nelson (1991) น าเสนอแบบจ าลอง EGARCH หรอ Exponencial ARCH Model ทมคายกก าลงสง(Exponential) เพอแกไขขอจ ากดทปรากฏในแบบจ าลอง GARCH (1,1) ใหความแปรปรวนอยางมเงอนไข (นนทพร จ าปาวน, 2550) สมการความแปรปรวน

ln( t2 ) = + ln( t

2-1 ) +

2

1

1

t

t

+

22

1

1

t

t (40)

3.4.6 แบบจ าลอง GARCH-in-Mean (GARCH-M)

จากแบบจ าลอง GARCH (p,q) ในสมการท (38) ความแปรปรวนอยางมเงอนไข ของขอมลอนกรมเวลาขนอยกบสวนทเหลอก าลงสองของกระบวนการน (Bollerslev, 1986) Engle (1987) ขยายแนวคดนโดยใหคาเฉลยอยางมเงอนไขเปนฟงกชนของความแปรปรวนอยางมเงอนไขโดยรจกกนในชอ GARCH-in-Mean หรอ GARCH-M (ภทร ตงตระกล, 2546)

34

สมการความแปรปรวน t

2 = 0+ 1

2t-1+

2t-1 (41)

อทธพลอยางมนยส าคญของความผนผวนในผลตอบแทนของหลกทรพยถกตรวจจบดวยคาสมประสทธ ( ) ในสมการท (41) ซงอธบายแทนดชนของความสมพนธของการหลกเลยง ความเสยง คาสมประสทธ ทเปนบวกอยางมนยส าคญบอกถงผลงทนในหลกทรพยเมอเผชญกบระดบความเสยงทสงขนกตองการคาชดเชยความเสยงทมากขนตามไปดวย 3.5 วธการพยากรณ

ประโยชนของขอมลอนกรมเวลาทส าคญ กคอการน าขอมลดงกลาวมาใชวเคราะหเพอพยากรณคาอนกรมเวลาในอนาคตสามารถท าไดหลายวธเชน การวเคราะหแนวโนม (Time trend) วธการปรบใหเรยบแบบเอกซโปเนนเชยล (Exponential smoothing), วธถดถอยเชงพห (Multiple regression) และวธบอกซ-เจนกนส (Box-jenkins) 3.5.1 วธการวเคราะหแนวโนม (Time trend) แบบจ าลองทใชการวเคราะหแนวโนมโดยทวไปมกจะใชสมการแนวโนมทประมาณคาสมประสทธดวยวธก าลงสองนอยทสด (Ordinary Least Square: OLS) ซงเปนวธการทท าใหผลรวมก าลงสองของผลตางระหวางคาแนวโนมกบขอมลทใชมคานอยทสด (Least-square Error) วธการนเปนวธการหนงทนยมน ามาใชในการพยากรณแนวโนม เนองจากเปนวธการทงายในการค านวณ และสามารถสรางสมการพยากรณไดหลายรปแบบทงทเปนเสนตรงหรอไมใชเสนตรงกได หรอสามารถประยกตใชวดอทธพลของฤดกาลไดดวย ส าหรบวธการประมาณคาพารามเตอรดวยวธการก าลงสองนอยทสด (OLS) สามารถท าไดดงน

ŷ = + t (42)

โดยท ŷ คอ คาพยากรณ y , คอ คาพารามเตอร t คอ เวลา โดยท t = 1, 2,…, n

35

สมการขางตนเปนสมการแนวโนมเสนตรง แตในบางกรณเสนสมการแนวโนมอาจเปนเสนโคงกได ดงน นการใชสมการแนวโนมเสนตรงในการพยากรณอาจท าใหเกดความคลาดเคลอน รปแบบสมการแนวโนมทไมเปนเสนตรงทมกจะพบอยเสมอ ไดแก

1) แนวโนมโพลโนเมยล (Polynomial trend)

ŷ = 0 + 1 t + 2 t2 + 3t

3 + … + n tn (43)

2) แนวโนมโพลโนเมยลทมกพบอยเสมอ กคอแนวโนมพาราโบลา (Parabola trend) ดงน ŷ = 0 + 1 t + 2 t

2 (44)

3) แนวโนมเอกซโปเนนเชยล (Exponential trend)

ŷ = 0 + t (45)

4) แนวโนมเอกซโปเนนเชยลล าดบทสอง (Second exponential trend)

ŷ = 0 + 1 t 2

t2 (46) การเลอกรปแบบของสมการแนวโนมแบบใดนน ขนอยกบลกษณะการกระจาย

ของขอมลอนกรมเวลา ดงนนกอนการสรางสมการพยากรณจะตองท าการทดสอบหรอตรวจสอบวาตวแปรหรอขอมลทตองการพยากรณนนมลกษณะของการกระจาย และมเสนกราฟแนวโนมประเภทใด แลวเลอกรปแบบของสมการพยากรณใหสอดคลองกบรปแบบการกระจายและเสนแนวโนม เพอใหสมการและคาพยากรณทไดจากการค านวณมความแมนย าและคลาดเคลอนนอยทสด

3.5.2 วธการปรบใหเรยบแบบเอกซโปเนนเชยล (Exponential smoothing)

วธการปรบใหเรยบแบบเอกซโปเนนเชยล (Exponential smoothing) เปนวธพยากรณทเหมาะสมกบการพยากรณในระยะสนและปานกลาง วธการนไดใหความส าคญกบขอมลลาสด และความส าคญของขอมลทหางออกไปจะลดลง วธการ Exponential smoothing ทนยมในปจจบนมอย 3 วธ ดงน

1) Single Exponential Smoothing (SES) เปนวธการท าใหเรยบอยางงาย โดยใชการหาคาเฉลยแบบถวงน าหนก และ

สมมตใหคาน าหนกหรอคาความส าคญของขอมล คอ (Alpha) วธการนมเงอนไขวา ขอมล

36

อนกรมเวลาทใชในการวเคราะหจะตองไมมแนวโนม (Trend) และอทธพลของฤดกาล (Seasonality) หมายความวา ขอมลอนกรมเวลาทน ามาใชการวเคราะหตองมลกษณะคงท ส าหรบสมการทใชในการพยากรณสามารถแสดงไดดงน

ŷ t = y1 + (1+ ) ŷ t-1

(47)

หรอ ŷ t =

1

0

t

n

(1+ )n yt-n (48)

โดยท y t = ขอมล ณ เวลาท t; t = 1, 2,…, n

= คาถวงน าหนกความส าคญทใหแกขอมล ณ เวลาท t (0 ≤ ≤ 1) ŷ t = คาประมาณหรอพยากรณของขอมล ณ เวลาท t ŷ t-1

= คาประมาณหรอคาพยากรณของขอมล ณ เวลา t-1

2) Holt’s Two-Parameter Method วธ Holt’s Two-Parameter Method เปนวธท Holt (1957) ไดปรบปรงวธ

Single Exponential Smoothing (SES) ขนใหมเพอใหสามารถใชขอมลอนกรมเวลาทมแนวโนม (trend) ของเวลา เรยกวธการนวา “Holt’s Two-Parameter Method” วธการนใหความส าคญกบขอมลลาสดและแนวโนมเวลา ดงนนจงมคาคงทในการท าใหเรยบ 2 คา คอ (Alpha) และ (Beta) โดยมสมการทใชในการพยากรณดงน

ŷt+k = + bK ; ŷt+k = คาพยากรณ ณ เวลาท t +k (49)

คา a และ b ค านวณจาก at = yt + (1+ )(at-1 + bt-1) (50) bt = ( at - at-1) +1 - Bbt-1 (51)

โดยท = คาคงททท าใหเรยบระหวางขอมลกบพยากรณ (0 ≤ ≤ 1)

= คาคงททท าใหเรยบระหวางแนวโนมจรงกบคาประมาณของแนวโนม (0 ≤ ≤ 1)

37

3) Holt-Winters-Trend and Seasonal (Three-Parameter) วธนถกพฒนาเพมขนจากวธการของ Holt โดย Winters (1960) ไดพฒนาให

วธการนสามารถวเคราะหขอมลอนกรมเวลาทมทงแนวโนม (Trend) และฤดกาล (Seasonality) วธการนใหความส าคญกบขอมลลาสดแนวโนมเวลาและฤดกาล ดงนนจงมคาคงทในการท าใหเรยบ 3 คา คอ (Alpha), (Beta) และ (Gamma) โดยมสมการทใชในการพยากรณดงน

Holt-Wintes-Mulitplicative ŷt+k = (a + bk)ct+k ; ŷt+k = คาพยากรณ ณ เวลาท t +k (52)

คา a,b และ c ค านวณจาก at =

st

t

c

y

+ (1+ )(at-1 + bt-1) (53)

bt = ( at - at-1) +(1 – B)bt-1 (54) ct =

t

t

a

y +(1- ) ct-1 (55)

โดยท = คาคงททท าใหเรยบระหวางขอมลกบพยากรณ (0 ≤ ≤ 1) = คาคงททท าใหเรยบระหวางแนวโนมจรงกบคาประมาณของแนวโนม (0 ≤ ≤ 1) = คาคงททท าใหเรยบระหวางฤดกาลจรงกบคาประมาณของฤดกาล (0 ≤ ≤ 1) Holt-Wintes-Additive

ŷt+k = (a + bk)ct+k ; ŷt+k = คาพยากรณ ณ เวลาท t +k (56) คา a,b และ c ค านวณจาก at = (yt-1 - ct-1) + (1- )(at-1 + bt-1) (57) bt = ( at - at-1) +1 – Bbt-1 (58) ct = (yt - at+1)- ct-1 (59) โดยท = คาคงททท าใหเรยบระหวางขอมลกบพยากรณ (0 ≤ ≤ 1) = คาคงททท าใหเรยบระหวางแนวโนมจรงกบคาประมาณของแนวโนม (0 ≤ ≤ 1) = คาคงททท าใหเรยบระหวางฤดกาลจรงกบคาประมาณของฤดกาล (0 ≤ ≤ 1)

38

3.6 การประเมนคาการพยากรณ การศกษาครงนใชคาสถต RMSE (Root Mean Squared Error) และ MAPE (Mean Absolute Percentage Error) ในการประเมนคาการพยากรณ เพอทดสอบความแมนย าของผลการพยากรณ Root Mean Squared Error (RMSE)

RMSE =

hT

Tt

tt hYY1

2

/ˆ (60)

Mean Absolute Percentage Error (MAPE)

MAPE =

hT

Tt t

tt

Y

YY

1

ˆ100 /h (61)