2° encuentro números reales

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  • 1. Cap tulo 1LOS NMEROS REALESunto con la historia de la humanidad, la historia de las matemticas y la numeracin a evolu-a oJ cionado optimizndose cada vez ms. En muchas culturas distintas se realiz la numeracin aa oode variados modos pero todos llegaban a una misma solucin, denir una unidad y aumentarla oen conjunto con el conteo, y posteriormente, cuando ya exist una cantidad incmoda de repre-a osentar se involucraba un nuevo smbolo que representaba a todas las unidades anteriores, a steeultimo s mbolo se le conoce como base, y sin lugar a duda la base ms usada ha sido la base dea10, como lo hace el sitema de numeracin que ocupamos actualmente, aparentemente a causaoque tenemos 10 dedos y cada dedo representa una unidad y la manera ms primitiva de contar.aVersin 1.0, Junio de 2007 o1.1.ConjuntosCuando nos comunicamos en nuestra vida cotidiana y utilizamos el trmino conjunto, eseguramente nos estamos reriendo a un grupo de objetos de alguna naturaleza determinada.Bueno, en matemticas esta expresin no est para nada alejada de lo que tu entiendes por ao aun conjunto, la diferencia radica en que los conjuntos que aprenderemos son aquellos que estn aformados por nada ms ni nada menos que nmeros. Los nmeros son elementos fundamentalesa uuen el estudio de las matemticas, ya que gracias a ellos se pueden precisar o determinar exacta-amente respuestas a algunas de las preguntas del ser humano, es por esto que es tan importanteanalizarlos, trabajarlos y lo que haremos en este captulo, agruparlos.1.1.1.SubconjuntosLos subconjuntos son esencialmente conjuntos, pero el prejo sub. que aparece delante nosinere que existe un conjunto ms grande del que estamos hablando. Uno en el cual nuestro asubconjunto esta contenido. Por ejemplo; si queremos formar el conjunto formado por todas laspersonas involucradas en nuestro preuniversitario, encontraremos en el a profesores, alumnos ycoordinadores, y un subconjunto de este ser el grupo de todos los profesores, ya que stos poraesi solos forman un conjunto, pero ste est contenido en el primer conjunto nombrado.e a1.1.2.Representacino Para representar un conjunto cualquiera, generalmente se usa una l nea que encierra a ungrupo de cosas, las cuales, forman el conjunto. Una manera anloga es ordenarlos, separados de acomas y entre parntesis de llave ({})1 esta ultima notacin es la que utilizaremos frecuente- e omente.1Ejemplo de un conjunto A={a,b,c,d,e}3

2. 1. Numeros1.1.3.Cardinalidad Cuando queremos hablar de cantidades dentro de los conjuntos, o aclarar si un conjuntoes ms grande o no que otro, introducimos un trmino que llamamos cardinalidad, la cual a erepresentamos por el smbolo #, sta solo depende del nmero de objetos de nuestro conjunto.euPor ejemplo, la cardinalidad del conjunto de la gura 1.1 es 4.Figura 1.1: Conjunto de objetos1.2.Conjuntos Numricos e Son todos aquellos conjuntos que estn formados por nmeros, stos se dividen principal- au emente en:1.2.1.N meros Naturales uLos nmeros naturales son los que normalmente ocupamos para contar, se representan por uel smbolo N. Y sus elementos son: N = {1, 2, 3, 4, . . . }Algunos subconjuntos de N son: Los nmeros pares = {2, 4, 6, 8, 10, 12, . . . }, stos los podemos representar como u e2n n N Los nmeros impares = {1, 3, 5, 7, 9, 11, . . . }, los cuales los podemos representar ucomo (2n + 1) o (2n 1) n N Los nmeros primos = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . . }, son todos aquellos nmeros queu uson divisibles solo por si mismos y por 1, excluyendo a ste ultimo. e Los nmeros compuestos, Son todos aquellos que NO son primos. u etc. . .4 Prueba de Seleccion Universitaria 3. 1.2. Conjuntos NumericosObserva que . . . La cardinalidad de N es innita. Este conjunto es cerrado bajo la suma y la multiplicacin, es decir, para otodo par de nmeros en N, su suma y su multiplicacin tambin es un nmero u o e unatural. Este conjunto NO es cerrado bajo la resta y la divisin, ya que para todo opar de nmeros en N, su diferencia y divisin NO es necesariamente un nmero u o unatural. 2 es el unico nmero par que es primo.u1.2.2.N meros Cardinales u Cuando en el conjunto de los nmeros naturales incluimos el 0, se denomina como Nmerosu uCardinales, se representa por el smbolo N0 , y sus elementos son: N0 = {0, 1, 2, 3, 4, . . . } Algunos subconjuntos de N0 son: Los nmeros Naturales y todos los subconjuntos de ste.ue Los dgitos; = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}1.2.3.N meros Enteros uEs el conjunto formado por todos los nmeros sin cifra decimal, es decir, los numeros natu-urales, sus inversos aditivos2 , y el neutro aditivo3 . Z = { . . . , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, . . . } Algunos subconjuntos de Z son: Los nmeros Naturales.u Los nmeros Cardinales.u etc. . .Observaque . . .A diferencia de los nmeros Naturales, este conjunto si es cerrado bajo la suma, ula resta y la multiplicacin; es decir, para todo par de nmeros enteros, su suma, oumultiplicacin y diferencia es siempre un nmero entero.o uPero como el mundo no es tan bello, ste conjunto no conserva a la divisin, yae oque una divisin entre dos nmeros enteros no es necesariamente un nmero de Z o uu 2 Se dice que un nmero a tiene inverso aditivo, si existe un b tal que, a + b = 0, tal b es tambin conocidouecomo a. 3 Para cualquier nmero x existe un unico que cumple que x+(ese unico)= x, a ese nmero lo conocemos como u uneutro aditivo, (tambin conocido como 0). e Matematica 5 4. 1. Numeros1.2.4.N meros Racionales uComo te habrs dado cuenta en los conjuntos anteriormente mencionados, tenemos el prob-alema de que sus elementos se pueden escapar facilmente de ellos, nos referimos a que bastaque dos nmeros Naturales se resten (4 5, por ejemplo), para obtener algn nmero negativou u uy entonces ya estaremos fuera de N, o para el caso de los enteros, basta que dos de ellos que nosean divisibles entre si (3 y 2, por ejemplo), se dividan y entonces ya no tendremos un nmerouentero.Para resolver ste problema, existe el conjunto de los nmeros Racionles, representados poreuel smbolo Q y que cumple que para cada par de nmeros racionales, la suma, resta, divisin yu omultiplicacin (sin considerar al 0), es siempre un nmero de Q, a ste tipo de conjuntos se lesoueconoce como Cuerpo. Lo podemos representar como:pQ=p, q Z, q = 0qPara cada elemento de ste cuerpo aparecen en el mismo, los llamados inversos multiplica-etivos, que son aquellos que al multiplicarse por el elemento obtenemos el 1 (neutro multiplicati-vo). Por ejemplo: 5 1 = 1, por lo tanto el inverso multiplicativo de 5 es 1 , o 3 4 = 1, por lo5 5 4 3tanto el inverso multiplicativo de 3 es 4 . 43Existen distintas formas de expresar los elementos de este conjunto.Forma FraccionariaEsta forma nos expresa porciones de algn entero. En su estructura tenemos una lu neafraccionaria, un numerador (nmero sobre la lunea fraccionaria), y un denominador (nmero ubajo la l nea fraccionaria). El denominador nos indica la cantidad de partes en que dividimosun entero y el numerador nos muestra cuantas de ellas vamos a considerar.Por ejemplo: Figura 1.2: Representaciones FraccionariasEn el primer caso dividimos un crculo en 8 partes iguales, y de ellas ocupamos 3, lo cualrepresentamos por: 3 . Y en el segundo caso dividimos un rectngulo en 6 partes iguales, con-8a 3siderando slo 3 de ellas, lo cual representamos por: 6 oForma MixtaHay ocasiones en que el numerador de una fraccin es mayor que el denominador. En stas oesituaciones dividimos el numerador por el denominador, del resultado de esta divisin consid- oeramos el cuociente como la parte entera, y el resto como numerador de la fraccin que la oacompaa.nPor ejemplo:6Prueba de Seleccion Universitaria 5. 1.2. Conjuntos Numericos Consideremos la fraccin 8 , entonces al efectuar la divisin se tiene. o 5o8 5=1 3.8 Por lo tanto podemos escribir esta fraccin como:o 5 = 13. 5Forma DecimalToda fraccin tiene su representacin como nmero decimal, para obtenerlo basta dividir,oousin dejar resto, el numerador con el denominador.Por ejemplo, consideremos la fraccin 5 : o 45 4 = 1, 2510 20 0. Para pasar un nmero decimal a fraccin existen 3 posibles casos:u o1.Con Decimales Finitos Es decir, cundo las cifras decimales de un nmero son nitas, por ejemplo 4,376 es una u decimal nito pues tiene solo 3 d gitos despues de la coma, pero 4,333333333333. . . con innitos 3, uno tras otro, no es un decimal nito pues tiene innitos dgitos despues de la coma. La manera de pasar este tipo de decimales a fracctin es simplemente escribir una fraccinoo cuyo nmerador sea el mismo nmero pero sin coma, y cuyo denominador sea 10000. . . uu con tantos ceros como dgitos tiene el nmero despues de la coma, por ejemplo: u 5626 5, 326 =1000 3 dgitos 232 2, 32 = 100 2 dgitos 13 1, 3= 10 1 dgitos Esto es dibido a que cuando uno divide por 10, 100, 1000, etc, lo unico que le sucede al dividendo es que se corre la coma hacia la izquierda tantos espacios como ceros posee el divisor.2.Decimales Peridicoso Los decimales peridicos son aquellos en que los nmeros despues de la coma se repiten o u innitamente sin alterar su orden, por ejemplo: 1,333333333333333. . . es un nmero decimal donde el 3 se repite innitas veces de- u spues de la coma, este nmero lo escribiremos de la forma: 1, 3. u 4,324324324324324324. . . es un nmero decimal donde el nmero 324 se repite inni-u u tamente despues de la coma, este nmero lo escribiremos de la forma: 4, 324u Matematica7 6. 1. Numeros 2,56565656723214569875. . . es un nmero cuyos decimales no tienen ninguna relacin u opor lo tanto se dice que NO es un decimal peridico.oLa fraccin que representa a estos decimales es aquella cuyo numerador es el nmero escrito ousin coma ni linea peridica menos la parte entera dividido por 9999. . . con tantos 9 comoodecimales peridicos halla, por ejemplo: o1321131 1, 32 =99 = 99 1, 586 = 15861 = 1585999 999 6, 2 = 626 = 56 9 9 12, 432 = 999 = 1242012432129993.Decimales SemiperidicosoLos decimales semiperidicos son aquellos en que hay cifras decimales que aparecen soloouna vez y la