SOLUSI ANALITIK DAN SOLUSI NUMERIK PERSAMAAN DIFUSI KONVEKSI

SKRIPSI

Oleh:

DEWI FARIDA ROZIANA NIM: 03510035

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI (UIN) MALANG MALANG

2008

SOLUSI ANALITIK DAN SOLUSI NUMERIK PERSAMAAN DIFUSI KONVEKSI

SKRIPSI

Diajukan kepada: Universitas Islam Negeri (UIN) Malang

Untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan Dalam Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S. Si)

Oleh:

DEWI FARIDA ROZIANA NIM: 03510035

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI (UIN) MALANG MALANG

2008

SOLUSI ANALITIK DAN SOLUSI NUMERIK PERSAMAAN DIFUSI KONVEKSI

SKRIPSI

Oleh:

DEWI FARIDA ROZIANA NIM: 03510035

Telah diperiksa dan disetujui untuk diuji Tanggal: 27 Maret 2008

Dosen Pembimbing Matematika Dosen Pembimbing Keagamaan

Drs. H. Turmudi, M.Si Ach.Nashihuddin, M.A NIP: 150 209 630 NIP. 150 302 531

Ketua Jurusan Matematika

Sri Harini, M.Si NIP. 150 318 321

SOLUSI ANALITIK DAN SOLUSI NUMERIK PERSAMAAN DIFUSI KONVEKSI

SKRIPSI

Oleh:

DEWI FARIDA ROZIANA NIM: 03510035

Telah Dipertahankan di Depan Dewan Penguji Skripsi dan Dinyatakan Diterima Sebagai Salah Satu Persyaratan

Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si)

Tanggal 8 April 2008

SUSUNAN DEWAN PENGUJI: TANDA TANGAN

1. Penguji utama : Abdussakir, M. Pd ( )

2. Ketua : Wahyu Henky Irawan ( )

3. Sekretaris : Drs. H. Turmudi, M. Si ( )

4. Anggota Penguji : Ach. Nashihuddin, M. A ( )

Mengetahui dan Mengesahkan Ketua Jurusan Matematika

Fakultas Sains dan Teknologi

Sri Harini, M.Si NIP. 150 318 321

MOTTOMOTTOMOTTOMOTTO

Siapa yang membawa kebaikan, maka ia memperoleh

(balasan) yang lebih baik dari padanya, sedang mereka itu

adalah orang-orang yang aman tenteram dari pada kejutan

yang dahsyat pada hari itu

Jangan lelah berusaha

Iringi langkah menggapai ridlo Ilahi

Akan cerah masa datang

LEMBAR PERSEMBAHAN

Skripsi ini dipersembahkan kepada:

Guru-guru terhormat yang telah memberikan ilmu dan teladan yang baik.

Ayahanda Sukardi, Ibunda Masfi’ah dan Saudara-saudaraku Utik, Afif, dan Thoif.

Achmad Mochammad

Seseorang yang selalu terjaga dalam sikapku.

Sahabatku Nana, Aan S.Psi, Aurel, Rini , Tustus, lala, Mimin, Lilic, Nia serta semua

temanku angkatan 2003.

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Wr. Wb.

Segala puji bagi Allah SWT karena atas rahmat, taufiq dan hidayah-Nya,

penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi sebagai salah satu syarat untuk

memperoleh gelar Sarjana Sains dalam bidang Matematika di Fakultas Sains dan

Teknologi Universitas Islam Negeri (UIN) Malang.

Penulis menyadari bahwa banyak pihak yang telah berpartisipasi dan

membantu dalam menyelesaikan penulisan skripsi ini. Untuk itu, iringan do’a dan

ucapan terima kasih yang sebesar-besarnya penulis sampaikan, terutama kepada:

1. Prof. Dr. H. Imam Suprayogo selaku Rektor Universitas Islam Negeri (UIN)

Malang.

2. Prof. Drs. Sutiman Bambang Sumitro, SU., D.Sc selaku Dekan Fakultas Sains

dan Teknologi UIN Malang.

3. Ibu Sri Harini, M.Si selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Sains dan

Teknologi UIN Malang.

4. Drs. H. Turmudi, M.Si dan Bapak Ach. Nashihuddin, M. A yang telah

bersedia meluangkan waktunya untuk memberikan bimbingan dan pengarahan

selama penulisan skripsi.

5. Segenap dosen pengajar atas ilmu yang telah diberikan kepada penulis.

6. Ayah Sukardi dan Ibu Masfi’ah tercinta, Utik, Afif, Thoif tersayang yang

senantiasa memberikan do’a dan dukungan moril serta materil kepada penulis.

7. Teman-teman Matematika, terutama angkatan 2003 beserta semua pihak yang

telah membantu penyelesaian skripsi ini.

Maka dengan iringan doa semoga Allah SWT akan menempatkan mereka

dalam kakasih-Nya dan memberikan pahala yang berlipat ganda di dunia dan di

akhirat. Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan skripsi ini masih terdapat

kekurangan dan kelemahan, oleh karena itu para pembaca dapat memperbaiki dan

melanjutkan sebagai pengembangan dan perbaikan lebih lanjut

Akhirnya, penulis berharap karya tulis ilmiah ini dapat bermanfaat bagi

penulis khususnya dan bagi pembaca pada umumnya.

Wassalamu’alaikum Wr. Wb.

Malang, 27 Maret 2008

Penulis

DAFTAR ISI

Halaman

LEMBAR PERSETUJUAN ..........................................................................i

LEMBAR PENGESAHAN............................................................................ii

MOTTO .........................................................................................................iii

LEMBAR PERSEMBAHAN ........................................................................iv

KATA PENGANTAR....................................................................................v

DAFTAR ISI ..................................................................................................vii

DAFTAR GAMBAR......................................................................................ix

ABSTRAK......................................................................................................x

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang ............................................................................... 1

1.2 Rumusan Masalah .......................................................................... 4

1.3 Batasan Masalah............................................................................. 5

1.4 Tujuan............................................................................................ 5

1.5 Metode Penelitian........................................................................... 5

1.6 Sistematika Penulisan ..................................................................... 6

BAB II KAJIAN TEORI

2.1 Persamaan Diferensial Parsial......................................................... 8

2.2 Solusi Analitik Persamaan Diferensial Parsial................................. 12

2.2.1 Penyelesaian Persamaan Diferensial Parsial .......................... 12

2.2.2 Metode Pemisahan Variabel .................................................. 13

2.3 Deret Fourier .................................................................................. 15

2.3.1 Deret Fourier dari Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil............... 17

2.4 Integral Fourier............................................................................... 20

2.5 Deret Taylor ................................................................................... 22

2.6 Kesalahan Pemotongan................................................................... 26

2.7 Diferensial Numerik ....................................................................... 28

2.8 Persamaan Difusi............................................................................ 31

2.9 Metode Beda Hingga pada Persamaan Difusi Konveksi.................. 35

2.10 Matrik Tri-diagonal ...................................................................... 38

2.11 Selalu Mencari Solusi dalam Perspektif Islam............................... 42

BAB III PEMBAHASAN

3.1 Solusi Analitik ............................................................................... 48

3.2 Solusi Numerik ............................................................................. 60

3.3 Analisis Galat ................................................................................. 75

3.4 Solusi Analitik dan Solusi Numerik dalam Perspektif Islam........... 79

BAB IV PENUTUP

4.1 Kesimpulan .................................................................................... 83

4.2 Saran .............................................................................................. 85

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Balok............................................................................................ 32

Gambar 2.2 Daerah yang Dipengaruhi dan Mempengaruhi pC ........................ 36

Gambar 2.3 Skema Crank-Nicholson ............................................................... 37

Gambar 3.1 Penerapan Metode Crank-Nicholson............................................. 61

Gambar 3.2 Pola 1+n

ic ....................................................................................... 64

Gambar 3.3 Grafik Solusi Numerik dan Analitik ............................................. 74

ABSTRAK

Roziana, Dewi Farida. 2008. Solusi Analitik dan Solusi Numerik Persamaan Difusi Konveksi. Skripsi. Jurusan Matematika. Fakultas Sains dan Teknologi. Universitas Islam Negeri (UIN) Malang

Pembimbing: (I) Drs. H. Turmudi, M.Si; (II) Ach. Nashihuddin, M.A

Kata Kunci: Persamaan Diferensial Parsial, Persamaan Difusi, Metode Pemisahan Variabel, Skema Crank-Nicholson.

Pada ilmu kimia fisik untuk menggambarkan suatu fenomena dapat

dibuat suatu model matematika yang berbentuk Persamaan Differensial Parsial (PDP). Model matematika yang sering ditemui dalam bidang kimia fisik untuk menjelaskan konsentrasi dari suatu zat kimia disebut sebagai persamaan difusi. Jika difusi juga dipengaruhi oleh kecepatan yang sering disebut dengan persamaan difusi konveksi. Selesaian dari persamaan tersebut adalah nilai konsentrasi zat kimia suatu produk baik bahan mentah maupun hasil industri bahan kimia di lokasi (titik) x dan setiap waktu t pada suatu.

Bentuk umum persamaan difusi konveksi adalah x

cv

x

cD

t

c

∂∂−

∂∂=

∂∂

2

2

dimana c adalah konsentrasi D adalah koefisien difusi, v adalah kecepatan aliran, x adalah ruang/ lokasi, dan t adalah waktu. Persamaan difusi konveksi ini merupakan salah satu bentuk Persamaan Diferensial Parsial yang dapat diselesaikan secara numerik maupun analitik. Dalam penyelesaian secara numerik dan analitik digunakan kondisi batas 0),(),0( == tLctc dan kondisi awal

)()0,( 0xfxc = dimana 20 10.5,1)( −=xf .

Dalam penelitian ini peneliti menggunakan penelitian literatur atau penelitian perpustakaan. Kepustakaan yang dikehendaki penulis disini adalah buku matematika, kimia fisika, mekanisme fluida, metode numerik dan serta segala macam kepustakaan yang sedapat mungkin menguatkan dan mendukung penulis dalam menyelesaikan pembahasan skripsi ini.

Dalam skripsi ini, secara analitik penulis menggunakan metode pemisahan variabel sedangkan secara numerik penulis hanya membatasi pada metode beda hingga skema Crank-Nicholson dengan bantuan software Matlab dengan mengetahui kondisi awal, kondisi batas, jarak cmL 5= dengan interval

cmx 5,0= sedangkan, jarak interval st 05,0= , 12510.46,1 −−= scmD fus dan 1410.6,1 −−= scmv . Solusi analitik merupakan pengontrol galat dari selesaian

persamaan difusi konveksi secara numerik. Dari penyelesaian persamaan dengan kedua solusi tersebut didapatkan galat yang kecil, hal tersebut membuktikan bahwa solusi numerik dengan skema Crank-Nicholson hasilnya mendekati solusi eksaknya. Untuk penelitian selanjutnya dapat digunakan persamaan difusi dua

dimensi dengan metode ADI (Alternating Direct Implicit Methode) sebagai bahan serta dapat digunakan software yang lebih baik sesuai dengan perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi.

BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Perkataan Metematika berasal dari kata benda mathema yang berarti

pengetahuan, dan dari kata kerja manthanein yang berarti belajar; sehingga dari

segi etimologik dapat dikatakan bahwa matematika adalah ilmu tentang cara

mempelajari pengetahuan (Bumulo, 2003:1). Kalau didasarkan langkah-langkah

yang dilakukan, dapat dikatakan bahwa matematika adalah studi dan klasifikasi

dari berbagai struktur dan pola. Kalau ditinjau dari segi materi, penerapan, dan

pendekatannya, menurut pengertian lama, dapat dikatakan bahwa matematika

adalah ilmu tentang bilangan atau bentuk serta terapannya.

Dalam hubungan dengan berbagai ilmu pengetahuan, matematika berfungsi

sebagai bahasa ilmu dengan lingkup universal sebab dengan menggunakan

matematika dapat dilakukan abstraksi dari kenyataan-kenyataan yang sangat rumit

menjadi suatu model sehingga dapat dicapai ketajaman dalam memberikan

deskripsi, mempermudah untuk mengadakan klasifikasi, kalkulasi dan dengan

komputasi matematika akan meningkatkan kemampuan untuk mengadakan

evaluasi dan prediksi (Bumulo, 2003:1). Dengan kata lain matematika merupakan

alat bantu untuk menyederhanakan penyajian pemahaman masalah. Dengan

menggunakan bahasa matematika, suatu masalah dapat menjadi lebih sederhana

untuk disajikan, dipahami, dianalisis, dan dipecahkan (Dumairy, 1990:9).

Salah satu ilmu pengetahuan yang menggunakan bahasa matematika adalah

ilmu kimia fisik. Ilmu kimia fisik ini adalah ilmu yang mempelajari fenomena

makroskopik, mikroskopik, atom, subatom, dan partikel dalam sistem dan proses

kimia berdasarkan prinsip-prinsip dan konsep-konsep fisika,

(http://ms.wikipedia.org/wiki/kimia fisika.html). Pada ilmu kimia fisik untuk

menggambarkan suatu fenomena dapat dibuat suatu model matematika yang

berbentuk Persamaan Differensial Parsial (PDP). Persamaan tersebut merupakan

laju perubahan terhadap dua atau lebih variabel bebas yang biasanya terdiri dari

waktu dan jarak (ruang) (Triatmojo, 2002:201). Dengan kata lain PDP adalah

persamaan diferensial yang mengandung satu atau lebih turunan parsial.

Persamaan ini haruslah melibatkan paling sedikit dua variabel bebas

(Ayres,1995:231). Model matematika yang sering ditemui dalam bidang kimia

fisik untuk menjelaskan konsentrasi dari suatu zat kimia disebut sebagai

persamaan difusi. Persamaan difusi merupakan persamaan diferensial parsial yang

menggambarkan difusi partikel monoenergetik sesuai dengan teori difusi. Difusi

adalah gerakan atom atau molekul dalam gas, larutan atau padatan dari daerah

konsentrasi yang lebih tinggi ke konsentrasi yang lebih rendah

(http://ms.wikipedia.org/wiki/kimia.html.). Dalam hal ini, Adolp Fick (Raju, 1993:

335) menyatakan bahwa massa dari suatu zat terlarut (solute) yang melintas pada

suatu unit area per unit waktu dengan suatu arah tertentu besar difusi molekulnya

searah dengan gradien konsentrasi pada arah tersebut jadi 2

2

x

cD

t

c

∂∂=

∂∂

. Jika difusi

juga dipengaruhi oleh kecepatan yang sering disebut dengan persamaan difusi

konveksi maka persamaannya menjadi x

cv

x

cD

t

c

∂∂−

∂∂=

∂∂

2

2

. Selesaian persamaan

difusi berupa nilai konsentrasi zat kimia suatu produk baik bahan mentah maupun

hasil industri bahan kimia di lokasi (titik) x dan setiap waktu t.

Masalah matematika khususnya persamaan diferensial parsial dapat

diselesaikan baik secara analitik maupun numerik. Solusi analitik merupakan

solusi kontinyu sehingga solusi dari nilai variabel bebas dapat ditemukan, sangat

akurat, dan tepat. Sedangkan solusi numerik solusi dapat diperoleh pada poin-poin

grid terpisah, aproksimasi, kesalahan kwantitatif harus dikendalikan dengan baik

untuk ketelitian (Lam, 1994:20). Atau dengan kata lain solusi analitik adalah

selesaian yang memenuhi persamaan semula secara eksak sedangkan numerik

adalah selesaian yang berupa hampiran (Susila, 1993: 2).

Menurut pandangan Islam setiap masalah ada beberapa penyelesaian yang

dapat diambil jalan keluar atau solusi pemecahan dari suatu masalah. Ketika suatu

masalah itu sulit untuk diselesaikan dengan satu cara maka hal tersebut pasti ada

cara atau penyelesaian yang lain.

Sebagaimana dalam Firman-Nya pada Qur’an Surat Alam Nasyroh, ayat 5-6:

Artinya: “ Karena sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan (5) Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan (6)”. (Bahreisy, QS. Alam Nasyroh (94): 5-6)

Dalam suatu riwayat dikemukakan bahwa ketika turun ayat ini (S.94:2-6)

Rasululloh SAW. bersabda: "Bergembiralah kalian karena akan datang

kemudahan bagi kalian. Kesusahan tidak akan mengalahkan dua kemudahan."

(Diriwayatkan oleh Ibnu Jarir yang bersumber dari al-Hasan).

Dari penjabaran ayat tersebut dapat diketahui bahwa ada kemudahan yang

telah dikaruniakan Allah pada hamba-Nya sebagai beberapa solusi alternatif. Hal

ini terbesit dari masalah matematika khususnya persamaan diferensial parsial

dapat diselesaikan baik secara analitik maupun numerik.

Salah satu metode numerik untuk penyelesaian parsamaan diferensial parsial

adalah metode beda hingga. Dimana metode beda hingga itu sendiri memiliki

bermacam skema. Pada skripsi ini akan dicoba penggunaan skema Crank-

Nicholson yang lebih sederhana dan mudah dipahami. Skema ini cukup baik

dalam menyelesaikan persaman difusi satu dimensi. Di samping itu dari segi

numerik, skema ini mempunyai tingkat kestabilan yang lebih baik dibandingkan

skema-skema numerik lainnya terhadap penyelesaian persamaan difusi satu

dimensi.

Dari ilustrasi di atas, maka penulis tertarik untuk mengambil judul skripsi

“Solusi Analitik dan Solusi Numerik Persamaan Difusi Konveksi”.

1.2. Rumusan Masalah

Permasalahan dalam penulisan skripsi ini adalah:

1. Bagaimana menentukan solusi analitik persamaan difusi konveksi?

2. Bagaimana menentukan solusi numerik persamaan difusi konveksi?

3. Bagaimana perbandingan hasil penyelesaian dari solusi analitik dan solusi

numerik persamaan difusi konveksi?

1.3. Batasan Masalah

Berdasarkan luasnya permasalahan yang terkait dengan persamaan

diferensial parsial, maka dalam penulisan skripsi ini akan dibatasi pada:

1. Persamaan diferensial parsial difusi konveksi satu dimensi

x

cv

x

cD

t

c

∂∂−

∂∂=

∂∂

2

2

.

2. Solusi numerik dengan menggunakan metode beda hingga skema Crank-

Nicholson.

3. Solusi analitik dengan menggunakan metode pemisahan variabel.

4. Sistem balok dalam keadaan stedy (tunak) tidak berubah terhadap waktu.

1.4. Tujuan

Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah:

1. Mendeskripsikan solusi analitik persamaan diferensial parsial difusi

konveksi.

2. Mendeskripsikan solusi numerik persamaan diferensial parsial difusi

konveksi.

3. Mendeskripsikan perbandingan dari solusi analitik dan solusi numerik

persamaan diferensial parsial difusi konveksi.

1.5. Metode Penelitian

Dalam penelitian ini peneliti menggunakan penelitian literatur atau penelitian

perpustakaan yaitu penelitian yang bertujuan untuk mengumpulkan data dan

informasi dengan bantuan bermacam-macam materi yang terdapat diperpustakaan,

seperti buku-buku, jurnal, dokumen. Kepustakaan yang dikehendaki penulis disini

adalah buku, jurnal, dan dokumen yang terkait dengan kajian matematika, kimia,

fisika, fluida, metode numerik dan segala macam kepustakaan yang sedapat

mungkin menguatkan dan mendukung penulis dalam menyelesaikan pembahasan

skripsi ini.

Pengumpulan data merupakan salah satu dari proses penelitian. Data-data ini

didapat dari proses membaca dan menganalisis buku dasar-dasar metematika,

kimia fisika.

1.6. Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah:

BAB I Dalam bab ini penulis mengkaji tentang pendahululan yang terdiri latar

belakang, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, metode

penelitian, sistematika penulisan.

BAB II Penulis mengkaji tentang teori-teori yang ada kaitannya dengan hal-hal

penulis bahas diantaranya persamaan diferensial parsial, solusi analitik,

deret Fourier, integral Fourier, deret Taylor, kesalahan pemotongan,

diferensial numerik, persamaan difusi, metode beda hingga pada

persamaan difusi konveksi, matrik tri-diagonal, selalu mencari solusi

dalam perspektif Islam.

BAB III Dalam bab ini penulis mengkaji tentang pembahasan yang terdiri dari

solusi analitik, solusi numerik, analisis galat, dan keterkaitan antara

hasil penelitian dengan kajian keagamaan.

BAB IV Penulis menarik kesimpulan dan memberikan saran dalam melakukan

penulisan karya ilmiah.

BAB II

KAJIAN TEORI

2.1 Persamaan Diferensial Parsial

Persamaan Diferensial Parsial (PDP) adalah persamaan yang memuat

sebuah fungsi dari dua atau lebih peubah yang tidak diketahui dan turunan-

turunan parsialnya terhadap peubah tersebut (Spiegel, tanpa tahun:276).

Misalkan f suatu fungsi dua variabel x dan y. Turunan parsial f terdapat x

adalah suatu fungsi yang dinyatakan oleh fDx , yang nilai fungsinya di setiap titik

(x,y) dalam domain f diberikan oleh

x

yxfyxxfyxfD

xx ∆

−∆+=→∆

),(),(lim),(

0 (2.1)

apabila limit ini ada. Dengan cara yang sama, turunan parsial f terdapat y adalah

suatu fungsi, yang dinyatakan oleh fDy , yang nilai fungsinya di setiap titik (x,y)

dalam domain f diberikan oleh

y

yxfyyxfyxfD

yy ∆

−∆+=→∆

),(),(lim),(

0 (2.2)

apabila limit ini ada.

Proses pencarian turunan parsial tersebut disebut pendiferensialan parsial.

fDx menyatakan fungsi yang merupakan turunan parsial f terhadap variabel

pertama. ),( yxfDx menyatakan nilai fungsi fDx di titik (x,y). Notasi lain secara

Leibnitz untuk fDx adalah x

f

∂∂

. Notasi lain untuk ),( yxfDx adalah x

yxf

∂∂ ),(

.

Dengan cara yang sama, notasi-notasi lain untuk fDy adalah y

f

∂∂

. Notasi lain

untuk ),( yxfDy adalah y

yxf

∂∂ ),(

.

Bila z = f (x,y), dapat ditulis x

z

∂∂

untuk ),( yxfDx . Turunan parsial tidak

dapat dipandang sebagai hasil bagi dari z∂ dan x∂ karena masing-masing simbol

ini tidak mempunyai arti secara terpisah. Notasi x

y

∂∂

dapat dianggap sebagai hasil

bagi dua diferensial apabila y suatu fungsi satu variabel x, tetapi tidak ada tafsiran

yang serupa seperti itu untuk x

z

∂∂

(Leithold, 1991:313). Dalam persamaan

diferensial parsial perlu diketahui beberapa notasi turunan parsial yang terlibat

yaitu:

x

uux ∂

∂= t

uut ∂

∂= 2

2

x

uuxx ∂

∂= yx

uuxy ∂∂

∂=2

2

2

y

uuyy ∂

∂=

Sebagai contoh diberikan bentuk kasus dari persamaan diferensial parsial berikut

zy

zy

x

zx =

∂∂+

∂∂

dimana: z = f (x,y)

Dalam hal ini variabel-variabel x dan y adalah variabel bebas, sedangkan z adalah

variabel terikat. Untuk mencari nilai x

z

∂∂

yaitu dideferensialkan z terhadap x

dengan menjaga y sebagai konstanta, sedangkan untuk memperoleh y

z

∂∂

yaitu

dideferensialkan z terhadap y dengan menjaga x sebagai konstanta.

Persamaan diferensial parsial banyak dijumpai dalam banyak kasus,

misalnya persamaan gelombang, perpindahan panas dan massa, difusi, fisika

nuklir, aerodinamika, elektromagnetik, dan lain-lain.

Beberapa hal berkaitan dengan persamaan diferensial parsial adalah

sebagai berikut:

1. Orde

Orde suatu persamaan diferensial parsial adalah dari turunan parsial

tertinggi dalam persamaan tersebut.

Contoh:

a. xt uu = (orde 1)

b. xxt uu 2α= (orde 2)

2. Jumlah variabel

Jumlah variabel dalam persamaan diferensial parsial adalah jumlah

variabel bebasnya.

Contoh:

a. ut = α2 uxx (2 Variabel)

b. uxx + uyy +uzz = 0 (3 Variabel)

3. Persamaan Diferensial Parsial Linear Dan Non Linear

Persamaan diferensial parsial dapat diklasifikasikan menjadi linear atau

non linear apabila variabel bebas dan turunannya tidak merupakan hasil

perkalian. Bentuk umum Persamaan Diferensial Parsial (PDP) linear

tingkat dua dalam dua variabel bebas adalah:

Auxx + Buxy + Cuyy + Dux +Euy+Fu = G (2.3)

Dengan A, B, C, D, E, F, dan G merupakan fungsi dalam x dan y.

Sedangkan suatu PDP dikatakan non linear jika variabel tak bebas u dan

turunan parsialnya muncul dalam persamaan dengan cara tidak linear

(dipangkatkan atau dikalikan).

Persamaan diferensial parsial orde 2 dalam 2 variabel yang tidak

berbentuk persamaan (2.3) disebut persamaan non linier.

Contoh:

a. ut = α2 uxx (linear)

b. uxx + uyy + u = 4 (linear)

c. uxx + yuy + u = 1 (non linear)

d. uxx + uyy + u2 = 0 (non linear)

4. Persamaan Diferensial Parsial linear Homogen

Persamaan umum diferensial parsial linier (2.3) disebut homogen jika

G = 0 untuk semua x dan y, sedangkan jika 0≠G disebut non homogen.

5. Tipe-Tipe Dasar Dari Persamaan Linear

Suatu klasifikasi penting dalam PDP adalah terdiri dari tipe parabolik,

hiperbolik, dan eliptik. Persamaan linear orde 2 atau persamaan (2.3)

diklasifikasikan berdasarkan aturan berikut ini:

a. Persamaan Ellips jika : 042 <− ACB

Contoh: persamaan Poisson

02

2

2

2

=+∂∂+

∂∂

gyx

ϕϕ

dan persamaan Laplace

02

2

2

2

=∂∂+

∂∂

yx

ϕϕ

b. Persamaan Parabola jika : 042 =− ACB

Contoh: persamaan perambatan panas

2

2

x

TK

t

T

∂∂=

∂∂

c. Persamaan Hiperbola jika: 042 >− ACB

Contoh: persamaan gelombang

2

22

2

2

x

yC

t

y

∂∂=

∂∂

(Triatmojo, 2002:201)

2.2 Solusi Analitik Persamaan Diferensial Parsial

2.2.1 Penyelesaian Persamaan Diferensial Parsial

Selesaian dari suatu persamaan diferensial adalah suatu fungsi tanpa

turunan-turunan dan yang memenuhi persamaan tersebut (Soehardjo, 1996:9-3).

Dalam penyelesaian persamaan diferensial parsial dikenal istilah selesaian umum

dan selesaian khusus. Selesaian umum itu sendiri adalah suatu selesaian yang

terdiri dari sejumlah fungsi bebas sembarang yang jumlahnya sesuai dengan orde

persamaannya. Sedangkan selesaian khusus merupakan suatu selesaian yang bisa

didapatkan dari penyelesaian umumnya dengan pilihan khusus dari fungsi

sebarang (Spiegel, 1994:2). Sebagai contoh )()(2

1 22 yGxFxyyxu ++−=

merupakan selesaian dari persamaan yxyx

u −=∂∂

∂2

2

. Selesaian ini disebut sebagai

penyelesaian umum karena terdiri dari dua fungsi bebas sembarang yaitu F(x) dan

G(x). secara khusus kalau xxF sin2)( = , 53)( 4 −= yxG , akan ditemukan

selesaian khususnya sebagai berikut

53sin22

1 422 −++−= yxxyyxu

2.2.2 Metode Pemisahan Variabel

Persamaan diferensial parsial linier tingkat tinggi dengan beberapa

keistimewaan, dapat diselesaikan dengan metode pemisahan variabel.

Bentuk umum persamaan diferensial parsial tersebut adalah sebagai berikut:

0...

...

...

2

2

210

2

2

210

2

2

210

=∂∂++

∂∂+

∂∂+

+∂∂++

∂∂+

∂∂+

+∂∂++

∂∂+

∂∂+

k

k

k

m

m

m

n

n

n

t

zc

t

zc

t

zczc

y

zb

y

zb

y

zbzb

x

za

x

za

x

zaza

(2.4)

dengan keistimewaan:

1. Tidak terdapat derivatif parsial terhadap lebih dari satu variabel bebas.

2. ),...,2,1( niai = , yaitu koefisien dari turunan parsial terhadap x,

merupakan fungsi dari x saja atau konstanta.

),...,2,1( mibi = , yaitu koefisien dari turunan parsial terhadap y

merupakan fungsi dari y saja atau konstanta.

),...,2,1( kici = , yaitu koefisien dari turunan parsial terhadap t

merupakan fungsi dari t saja atau konstanta.

Penyelesaian persamaan diferensial parsial (2.4) dapat dimisalkan sebagai berikut:

)()()(),,( tTyYxXtyxZ = (2.5)

Jika (2.5) disubstitusikan ke (2.4) diperoleh:

0..."'

..."'

..."

)(210

)(210

)(2

'10

=++++

+++++

+++++

kk

mm

nn

XYTcXYTcXYTcXYTc

TXYbTXYbTXYbXYTb

YTXaYTXaYTXaXYTa

dan jika ini dibagi dengan XYTZ = diperoleh:

0..."'

..."'

..."'

210

210

210

=++++

+++++

+++++

T

Tc

T

Tc

T

Tcc

Y

Yb

Y

Yb

Y

Ybb

X

Xa

X

Xa

X

Xaa

k

k

m

m

n

n

(2.6)

Perhatikan bahwa:

n

nn

dx

XdX

dx

XdX

dx

dXX === )(

2

2

;...;";'

m

mm

dy

YdY

dy

YdY

dy

dYY === )(

2

2

;...;";'

k

kk

dt

TdX

dt

TdX

dt

dTT === )(

2

2

;...;";'

Jika (2.6) berturut-turut didiferensialkan terhadap variabel yx, dan t , diperoleh:

0..."'

0..."'

0..."'

210

210

210

=

++++

=

++++

=

++++

T

Tc

T

Tc

T

Tcc

dt

d

Y

Yb

Y

Yb

Y

Ybb

dy

d

X

Xa

X

Xa

X

Xaa

dx

d

k

k

m

m

n

n

Maka ini berarti bahwa:

3210

2210

1210

..."'

..."'

..."'

kT

Tc

T

Tc

T

Tcc

kY

Yb

Y

Yb

Y

Ybb

kX

Xa

X

Xa

X

Xaa

k

k

m

m

n

n

=++++

=++++

=++++

(2.7)

Dimana 321 ,, kkk adalah konstanta sembarang dan dengan melihat persamaan

(2.6) haruslah

0321 =++ kkk

Maka jelas bahwa (2.7) adalah suatu sistem persamaan diferensial biasa yang

ekivalen dengan persamaan diferensial (2.4).

Misalkan selesaian yang bebas linier dari sistem (2.7) berturut-turut adalah:

nikxX i ...,2,1),,( 1 = ;

mjkyYj ...,2,1),,( 2 =

dan

ksktTs ...,2,1),,( 3 = .

Maka selesaian umum dari persamaan diferensial parsial (2.4)

∑∑ ∑== =

=k

ss

n

i

m

jjii ktTkyYkxXZ

13

1 12 ),(.),(.),(

(Soehardjo, 1996:4-8)

2.3 Deret Fourier

Fungsi )(tf disebut fungsi periodik bila terdapat bilangan positif p,

sehingga berlaku )()( tfptf =+ untuk setiap t dalam domain f. p terkecil

disebut periode dari f. Dalam aplikasi, jumlah dari beberapa fungsi periodik

merupakan fungsi periodik. Misal )(,...),(),( 21 tftftf n berturut-turut mempunyai

periode nppp ,...,, 21 , maka )(...)()( 21 tftftf n+++ mempunyai periode

kelipatan persekutuan terkecil dari nppp ,...,, 21 . Hal ini sangat dimungkinkan

sebab semesta pembicaraan untuk beberapa bentuk fungsi tersebut (periode)

hanya terbatas pada bilangan rasional. Namun bilamana semesta pembicaraan

(periode) merupakan bilangan irasional maka secara umum sifat tersebut tidak

berlaku, yaitu jumlah dua fungsi periodik bukan merupakan fungsi periodik.

Sebagai contoh, kedua fungsi tsin dan )2sin(t merupakan fungsi periodik

dengan periode π2 dan 2

2π, namun fungsi )2sin(sin tt + bukan merupakan

fungsi periodik, (Mursita, 2005: 143).

Sedangkan fungsi )(tf disebut fungsi kontinu bagian demi bagian pada

interval [ ]ba, bila dipenuhi berikut:

1. Interval [ ]ba, dapat dibagi menjadi sebanyak hingga sub interval sehingga

)(tf kontinu pada sub interval tersebut.

2. Limit dari )(tf pada setiap ujung dari sub interval adalah berhingga.

atau dapat dikatakan bahwa fungsi )(tf mempunyai sebanyak hingga titik

diskontinu.

Misalkan )(tf didefinisikan pada ),( LL− , periodik dengan periode L2 , kontinu

bagian demi bagian, maka derat Fourier dari )(tf didefinisikan berikut:

∑∞

=

++=1

0 sincos2

)(n

nn L

tnb

L

tna

atf

ππ

(2.8)

dengan naa ,0 dan nb disebut koefisien Fourier dari )(tf ,

∫−

=L

L

dttfL

a )(1

0

(2.9)

...,3,2,1,cos)(1 == ∫

−

ndtL

tntf

La

L

L

n

π

...,3,2,1,sin)(1 == ∫

−

ndtL

tntf

Lb

L

L

n

π

Misalkan )(tf terdefinisi pada )2,0( L , periodik dengan periode Lp 2= dan

kontinu bagian demi bagian pada )2,0( L , maka koefisien Fourier dari )(tf

diberikan sebagai berikut:

∫=L

dttfL

a2

0

0 )(1

(2.10)

...,3,2,1,cos)(1 2

0

== ∫ ndtL

tntf

La

L

n

π

...,3,2,1,sin)(1 2

0

== ∫ ndtL

tntf

Lb

L

n

π

Untuk selanjutnya, bila )(tf terdefinisi pada suatu interval dan perodik dengan

periode sama dengan panjang interval maka batas integral dari koefesien Fourier

merupakan ujung-ujung dari interval tersebut (Mursita, 2005:145).

2.3.1 Deret Fourier dari Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil

Definisi:

Fungsi )(tf disebut fungsi genap bila berlaku )()( tftf =− untuk setiap

fDt ∈ dan fungsi )(tf disebut fungsi ganjil bila berlaku )()( tftf −=− untuk

setiap fDt ∈ . Sifat-sifat fungsi genap dan fungsi ganjil diberikan sebagai berikut;

1. Grafik fungsi genap, )(tfy = simetris terhadap sumbu Y dan grafik

fungsi ganjil, )(tfy = simetris terhadap titik pusat salib sumbu.

∑∞

=

+=1

0 cos2

)(n

n L

tna

atf

π

,...3,2,1,cos)(1

,)(1

0 === ∫ ∫− −

ndtL

tntf

Ladttf

La

L

L

L

L

n

π

∑∞

=

=1

sin)(n

n L

tnbtg

π

,...3,2,1,sin)( == ∫−

ndtL

tntgb

L

L

n

π

2. Hasilkali dua fungsi genap dan hasilkali dua fungsi ganjil merupakan

fungsi genap, sedangkan hasilkali antara fungsi genap dengan fungsi ganjil

merupakan fungsi ganjil.

3. Bila )(tf fungsi genap maka ∫∫ =−

LL

L

dttfdttf0

)(2)( . Bila )(tf fungsi

ganjil, maka 0)( =∫−

L

L

dttf .

Misalkan )(tf fungsi genap dan )(tg fungsi ganjil terdefinisi pada suatu interval

),( LL− , keduanya kontinu bagian demi bagian dan periodik dengan periode

Lp 2= , maka deret Fourier dari )(tf dan )(tg berturut-turut disebut deret

Fourier Cosinus dan deret Fourier Sinus. Bentuknya yaitu:

(2.11)

Dengan koefisien Fourier:

(2.12)

dan

(2.13)

dengan koefisien Fourier:

(2.14)

,...3,2,1,cos)(2

,)(2

0 0

0 === ∫ ∫ ndtL

tntf

Ladttf

La

L L

n

π

Batas integrasi untuk setiap koefisien dari )(tf atau )(tg adalah ujung-ujung

interval yang diberikan.

Jika fungsi )(tf terdefinisi pada Lt ≤≤0 , maka fungsi )(tf dapat

diperluas pada LtL ≤≤− dan dipandang periodik dengan periode Lp 2= ,

menjadi:

a. )(tf merupakan fungsi genap. Bila fungsi )(tf diperderetkan maka

merupakan deret Fourier Cosinus, yaitu:

tL

na

atf

nn∑

∞

=

+=1

0 cos2

)(π

(2.15)

dengan koefisien Fourier:

(2.16)

b. )(tf merupakan fungsi ganjil. Bila fungsi )(tf diperderetkan maka

merupakan deret Fourier Sinus, yaitu:

tL

nbtf

nn∑

∞

=

=1

sin)(π

(2.17)

dengan koefisien Fourier:

,...3,2,1,sin)(2

0

== ∫ ndtL

tntf

Lb

L

n

π (2.18)

(Mursita, 2005:148).

2.4 Integral Fourier

Misalkan fungsi )(tf kontinu bagian demi bagian dan periodik dengan

periode Tp = terdefinisi pada interval ),0( T , maka deret Fourier dari )(tf

diberikan sebagai berikut:

∑∞

=

++=0

0 2sin

2cos

2)(

nnn T

tnb

T

tna

atf

ππ (2.19)

dengan menggunakan notasi Euler,

+=

−T

tinT

tinee

T

tn πππ 22

2

12cos dan (2.20)

−=

−T

tinT

tinee

iT

tn πππ 22

2

12sin

maka bentuk (2.19) dapat dituliskan menjadi,

Ttin

n

nn

n

nn

Ttin

n n

nnnn

Ttin

n

nnTtin

n

nn

Ttin

n

nnTtin

n

nn

n

Ttin

Ttin

nTtin

Ttin

n

ei

ba

i

ba

ei

ba

i

baa

ei

bae

i

baa

ei

bae

i

baa

eei

bee

aatf

π

π

ππ

ππ

ππππ

2

10

2

1 1

0

2

1

2

1

0

2

1

2

1

0

1

22220

2222

22222

22222

22222

222)(

−+

+=

−+

++=

−+

++=

−+

++=

−+

++=

∑∑

∑ ∑

∑∑

∑∑

∑

∞−

−=

−−∞

=

∞

=

∞−

−=

−−

∞−

−=

−−∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

−

(2.21)

Dari bentuk (2.21), nilai dalam kurung besarnya dapat dinotasikan dengan notasi

kompleks ∑∞

−∞=nnC , nC merupakan bilangan kompleks dan berlaku nn CC =− . Jadi

deret Fourier dari fungsi periodik )(tf yang terdefinisi pada ),0( T dengan

periode Tp = dapat dinyatakan dengan notasi kompleks,

∑∞

−∞=

=n

Ttin

neCtfπ2

)( (2.22)

Adapun besar koefisien Fourier kompleks nC ditentukan sebagai berikut:

Misalnya diambil periode 1== Tp maka bentuk (2.22) dapat dinyatakan

dengan,

∑∞

−∞=

=n

tinneCtf π2)( (2.23)

Bila kedua ruas dari bentuk (2.23) dikalikan dengan tike π2− maka didapatkan,

ΚΚ

ΛΛ

++=

++== −∞

−∞=

−− ∑

k

tikk

tik

n

tikn

tiktik

C

eCeeCetfe πππππ 22222 )(

∑∞

≠−∞=

−− −=knn

tknin

tikk eCtfeC

,

)(22 )( ππ (2.24)

Bila kedua ruas dari (2.24) diintegrasikan terhadap t pada interval [ ]1,0 , maka

akan didapatkan rumusan dari nC . Yang perlu ditentukan terlebih dahulu adalah

nilai integral suku kedua dari ruas kanan bentuk (2.24). Dengan memandang suatu

sifat bahwa integral dari jumlah sama dengan jumlah dari integral maka nC dapat

dikeluarkan dari integral. Sehingga yang perlu dihitung adalah

[ ]

[ ] 011)(2

1

)(2

1

)(2

1

0)(2

1

0

)(2)(2

=−−

=

−−

=

−=

−

−−∫

kni

eekni

ekni

dte

kni

tknitkni

π

π

π

π

ππ

(2.25)

diketahui bahwa nilai integral (2.25) sama dengan nol hal ini dikarenakan kn ≠ .

Sehingga didapatkan,

∫−=

1

0

2 )( dttfeC iktk

π

Dari apa yang telah diuraikan sebelumnya, terlihat bahwa untuk fungsi periodik

)(tf yang terdefinisi pada [ ]1,0 dengan periode 1=p dapat dinyatakan deret

Fourier sebagaimana bentuk (2.23) dengan koefisien Fourier dari )(tf ,

∫−=

1

0

int2 )( dttfeCnπ

(2.26)

Dengan menggunakan bentuk (2.26) dapat ditunjukkan bahwa nn CC =− . Untuk

deret Fourier (2.19), maka koefisien Fourier dari fungsi )(tf diberikan dengan,

∫−=

T

n dttfeT

C0

int2 )(1 π

(2.27)

Demikian seterusnya, batas integral dari koefisien Fourier nC sangat bergantung

dari daerah definisi dari fungsi )(tf (Mursita, 2005:152).

2.5 Deret Taylor

Deret taylor merupakan dasar untuk menyelesaikan masalah dalam metode

numerik, terutama penyelesaian persamaan diferensial. Jika suatu fungsi f (x)

diketahui dititik ix dan semua turunan dari f terhadap x diketahui pada titik

tersebut, maka deret Taylor (persamaan 2.28) dapat dinyatakan nilai f pada titik

1+ix yang terletak pada jarak x∆ dari titik ix .

!3)(

!2)(

!1)()()(

3'''

2'''

1

xxf

xxf

xxfxfxf iiiii

∆+∆+∆+=+

n

n

in R

n

xxf +∆++

!)(... )( (2.28)

Dengan

)( ixf : fungsi dititik ix

)( 1+ixf : fungsi dititik 1+ix

)(''''' ,...,,,' nffff : turunan pertama, kedua,…, ke-n dari fungsi.

x∆ : langkah ruang, yaitu jarak antara ix dan 1+ix

nR : kesalahan pemotongan

! ; operator faktorial, misalkan bentuk 3! = 1 x 2 x 3; 4! = 1 x

2 x 3 x 4

Berikut teorema dasar deret Taylor beserta buktinya.

Teorema:

Andaikan f suatu fungsi demikian sehingga f dan semua turunan-

turunannya ada dalam suatu selang (a - r, a + r). Maka fungsi itu dapat diuraikan

menjadi deret Taylor, dalam rumusan sebagai berikut:

n

n

n

axn

af)(

!

)(

0

−∑∞+

=

untuk semua x sehingga rax <− jika dan hanya jika

1)1(

)()!1(

)(lim)( +

+

∞→∞→−

+= nn

n

nn

nax

n

fxRLim

ξ = 0

dengan setiap nξ ada di antara x dan a

Bukti:

Di dalam selang (a - r, a + r), fungsi f memenuhi hipotesis sebagai berikut

)()()( xRxPxf nn += (2.29)

dengan )(xPn adalah polinom Taylor berderajat n dari f dan )(xRn adalah

sukusisanya yang diberikan oleh

1)1(

)()!1(

)()( +

+

−+

= nnn

n axn

fxR

ξ

(2.30)

dengan setiap nξ ada diantara x dan a

Sekarang )(xPn adalah jumlah n buah suku pertama dari deret Taylor dari

f pada a. Jadi bila kita buktikan bahwa )(lim xPnn ∞→

ada dan sama dengan f(x) jika

dan hanya jika 0)(lim =∞→

xRnn

, teorema itu akan terbukti. Dari persamaan (2.29)

)()()( xRxfxP nn −= (2.31)

jika 0)(lim =+∞→

xRnn

maka menurut persamaan (2.31)

)(lim)()(lim xRxfxP nn

nn +∞→+∞→

−=

= f(x) – 0

= f(x)

sekarang dari hipotesis bahwa )()(lim xfxPnn

=+∞→

kita akan membuktikan bahwa

0)(lim =+∞→

xRnn

. Dari persamaan (2.29)

)()()( xPxfxR nn −=

Jadi

)(lim)()(lim xPxfxR nn

nn +∞→+∞→

−=

= f(x) – f(x)

= 0

jadi teorema terbukti.

(Leithold, 1991:98)

Dari persamaan 2.28 maka deret Taylor yang hanya memperhitungkan

satu suku pertama dari ruas kanan akan mempunyai bentuk umum sebagai berikut

)()( 1 ii xfxf ≈+ (2.32)

Bentuk persamaan (2.32) dapat disebut sebagai perkiraan orde nol, nilai f

pada titik 1+ix sama dengan nilai pada ix . Perkiraan tersebut adalah benar jika

fungsi yang diperkirakan adalah suatu konstan. Jika fungsi tidak konstan maka

harus diperhitungkan suku-suku berikutnya dari deret Taylor.

Sedangkan bentuk deret Taylor order satu, yang memperhitungkan dua

suku pertama dapat ditulis dalam bentuk:

!1)()()( '

1

xxfxfxf iii

∆+≈+ (2.33)

Yang merupakan bentuk persamaan garis lurus (linier). Dengan cara yang analog,

maka deret Taylor yang memperhitungkan tiga suku pertama dari ruas kanan

dapat ditulis menjadi:

!2)(

!1)()()(

2'''

1

xxf

xxfxfxf iiii

∆+∆+=+ (2.34)

Persamaan (2.34) disebut perkiraan order dua (Triatmojo, 2002:7).

2.6 Kesalahan Pemotongan (Truncation Error)

Deret Taylor akan memberikan perkiraan suatu fungsi dengan benar jika

semua suku dari deret tersebut diperhitungkan. Dalam praktek hanya beberapa

suku pertama saja yang diperhitungkan, sehingga hasil perkiraan tidak tepat

seperti pada penyelesaian analitik. Ada kesalahan karena tidak diperhitungkannya

suku-suku terakhir dari deret Taylor. Kesalahan ini disebut dengan kesalahan

pemotongan (truncation error, nR ), yang ditulis dalam bentuk:

)( 1+∆= nn xOR

Indeks n menunjukkan bahwa deret yang diperhitungkan adalah sampai pada suku

ke-n, sedang subskrip n+1 menunjukkan bahwa kesalahan pemotongan

mempunyai order n+1. Notasi )( 1+∆ nxO berarti bahwa kesalahan pemotongan

mempunyai order 1+∆ nx atau kesalahan adalah sebanding dengan langkah ruang

pangkat n+1. Kesalahan pemotongan tersebut adalah kecil apabila:

1. Interval x∆ adalah kecil.

2. Memperhitungkan lebih banyak suku dari deret Taylor.

Pada perkiraan order satu, besarnya kesalahan pemotongan adalah:

...!3

)(!2

)()(3

'''2

''2 +∆+∆=∆ xxf

xxfxO ii (2.35)

(Triatmojo, 2002:9)

Penyelesaian secara numerik dari suatu persamaan matematika hanya

memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak (benar) dari penyelesaian

analitis. Berarti dalam penyelesaian numerik tersebut terdapat kesalahan (galat)

terhadap nilai eksak dan ketidak pastian dapat terjadi. Galat adalah suatu nilai

penyimpangan dari nilai sebenarnya (Triatmojo, 2002:2).

Ada tiga macam kesalahan perkiraan:

1. Kesalahan bawaan (inheren) adalah kesalahan dari nilai data.

2. Kesalahan pembulatan terjadi karena tidak diperhitungkannya beberapa

angka terakhir dari suatu bilangan. Sebagai contoh:

77.56253214 dapat dibulatkan menjadi 77.563

2.1412357 dapat dibulatkan menjadi 2.14

3. Kesalahan pemotongan terjadi karena tidak dilakukannya hitungan sesuai

dengan prosedur matematik yang benar, (Suryoputro, 2001: 10).

Ada dua jenis kesalahan hubungan antara nilai eksak dan nilai perkiraan yaitu:

1. Galat absolut adalah kesalahan perbedaan (selisih) antara nilai eksak dan

nilai perkiraaan (pendekatan pada nilai sebenarnya).

Dituliskan:

exx +=

dimana x adalah nilai sebenarnya

x adalah pendekatan pada nilai sebenarnya

e adalah galat

disini e adalah galat absolut yaitu

xxe −=

2. Kesalahan relatif adalah tingkat kesalahan yang dilakukan dengan

membandingkan kesalahan yang terjadi dengan nilai eksak

x

eeR =

dengan

Re = galat relatif

e = galat absolut

x = nilai eksak

Galat relatif sering diberikan dalam bentuk persen sebagai berikut:

%100x

x

eeR =

(Djojodiharjo, 2000:15)

2.7 Diferensial Numerik

Diferensial numerik digunakan untuk memperkirakan bentuk diferensial

kontinu menjadi bentuk diskret. Diferensial numerik ini banyak digunakan untuk

menyelesaikan persamaan diferensial. Bentuk tersebut dapat diturunkan berdasar

deret Taylor

Deret Taylor pada persamaan (2.28) dapat ditulis dalam bentuk sebagai

berikut:

)()()()( 2'1 xOxxfxfxf iii ∆+∆+=+ (2.36)

atau

xOx

xfxfxf

x

f iii ∆−

∆−

==∂∂ + )()(

)( 1' (2.37)

Bentuk diferensial dari persamaan (2.37) disebut diferensial maju order

satu. Disebut diferensial maju karena menggunakan data pada titik ix dan 1+ix

untuk memperhitungkan diferensial. Jika data yang digunakan adalah dititik ix

dan 1−ix , maka disebut diferensial mundur, dan deret Taylor menjadi:

...!3

)(!2

)(!1

)()()(3

'''2

'''1 +∆−∆−∆−=−

xxf

xxf

xxfxfxf iiiii (2.38)

atau

)()()()( 2'1 xOxxfxfxf iii ∆+∆−=− (2.39)

xOx

xfxfxf

x

f iii ∆+

∆−

==∂∂ − )()(

)( 1' (2.40)

Apabila data yang digunakan untuk memperkirakan diferensial dari fungsi

adalah pada titik 1−ix dan 1+ix , maka perkiraannya disebut diferensial terpusat.

Jika persamaan (2.28) dikurangi persamaan (2.38) didapat:

...!3

)('''2)(2)()(3

'11 +∆+∆=− −+

xxfxxfxfxf iiii

atau

...6

)(2

)()()(

2'''11' x

xfx

xfxfxf

x

fi

iii

∆−∆−

==∂∂ −+

atau

)...(2

)()()( 211' xO

x

xfxfxf

x

f iii ∆+

∆−

==∂∂ −+ (2.41)

Dari persamaan (2.41) terlihat bahwa kesalahan pemotongan berorder 2x∆

sedang pada diferensial maju dan mundur berorder x∆ , untuk interval x∆ kecil,

nilai kesalahan pemotongan yang berorder 2 2x∆ lebih kecil dari order 1 (x∆ ).

Hal ini menunjukkan bahwa perkiraan diferensial terpusat lebih teliti dibanding

diferensial maju atau mundur.

Sedangkan untuk turunan kedua suatu fungsi dapat diperoleh dengan

menjumlahkan persamaan (2.28) dengan persamaan (2.38):

...!4

)(2!2

)(''2)(2)()(4

''''2

'11 +∆+∆+∆=− −+

xxf

xxfxxfxfxf iiiii

atau

...12

)()()(2)(

)(2

''''2

11'' −∆−∆

+−= −+ x

xfx

xfxfxfxf i

iiii

atau

)()()(2)(

)( 22

11''2

2

xOx

xfxfxfxf

x

f iiii ∆−

∆+−

==∂∂ −+ (2.42)

Dari uraian diatas dapat disimpulkan bahwa bentuk diferensial (biasa atau

parsial) dapat diubah dalam bentuk diferensial numerik (beda hingga).

Apabila fungsi mengandung lebih dari satu variabel bebas, seperti f(x,y),

maka bentuk deret Taylor menjadi:

...!2!2!1!1

),(),(2

2

22

2

2

11 +∆∂∂+∆

∂∂+∆

∂∂+∆

∂∂+=++

y

y

fx

x

fy

y

fx

x

fyxfyxf jiji

(2.43)

Dengan cara yang sama, turunan pertama terhadap variabel x dan y

berturut-turut dapat ditulis dalam bentuk (diferensial maju):

x

yxfyxf

x

f jiji

∆−

≈∂∂ + ),(),( 1 (2.44)

atau

y

yxfyxf

y

f jiji

∆−

≈∂∂ + ),(),( 1 (2.45)

Untuk menyederhanakan penulisan, selanjutnya bentuk f( ix , iy ) ditulis

menjadi jif , dengan subskrip i dan j menunjukkan komponen dalam arah sumbu x

dan sumbu y. Apabila fungsi berada dalam sistem tiga dimensi (sistem koordinat

x, y, z); maka f( kji zyx ,, ) ditulis menjadi kjif ,, . Dengan cara seperti itu maka

persamaan (2.44) dan (2.45) dapat ditulis menjadi:

x

ff

x

f jii

∆−

≈∂∂ + ,1 (2.46)

y

ff

y

f jiji

∆−

≈∂∂ + ,1, (2.47)

Untuk diferensial terpusat bentuk di atas menjadi:

x

ff

x

f jiji

∆−

≈∂∂ −+

2,1,1 (2.48)

y

ff

y

f jiji

∆−

≈∂∂ −+

21,1, (2.49)

Dengan cara yang sama, turunan kedua terhadap x dan y dapat ditulis

menjadi:

2

,1,,1

2

2 2

x

fff

x

f jijiji

∆+−

≈∂∂ +− (2.50)

2

1,,1,

2

2 2

y

fff

y

f jijiji

∆+−

≈∂∂ ++ (2.51)

(Triatmojo, 2002:9)

2.8 Persamaan Difusi

Difusi adalah gerakan atom atau molekul dalam gas, larutan atau padatan

dari daerah konsentrasi yang lebih tinggi ke konsentrasi yang lebih rendah.

Persamaan difusi adalah persamaan diferensial parsial yang menggambarkan

difusi partikel monoenergetik sesuai dengan teori difusi,

(http://ms.wikipedia.org/wiki/kimia.html). Salah satu proses difusi yang tergantung

terhadap waktu yang berhubungan dengan kimia adalah distribusi konsentrasi

dalam pelarut yang ditambah zat terlarut. Contohnya adalah gula berdifusi

dicairan teh tawar sehingga menjadi manis, flourida dalam air dan lain-lain.

Hukum pertama Fick tentang difusi yang dikemukakan oleh Ilmuwan

Jerman, Adolph Fick menyatakan bahwa fluks materi (jumlah partikel per satuan

luas per satuan waktu) sebanding dengan gradien rapatan pada suatu titik (Atkins,

1999:288). Fluks partikel menuruti gradien konsentrasi.

Dalam hal perumusan masalah persamaan difusi pada kasus berikut, maka

dapat diperhatikan Gambar 2.1 di bawah ini

Jika diperhatikan lempengan tipis dengan luas penampang lintang A dan

tebal dari x sampai x + 1 (Gambar 2.1). Kita misalkan konsentrasi pada x pada

waktu t adalah c. Jumlah mol partikel yang memasuki lempengan persatuan waktu

adalah JA, sehingga kenaikan konsentrasi di dalam lempengan (yang volumenya

Jl) yang disebabkan oleh fluks dari kiri adalah:

l

J

Al

JA

t

c ==∂∂

Terdapat pula aliran keluar melalui jendela kanan. Fluks melalui jendela

itu adalah 'J , dan perubahan konsentrasi yang dihasilkan:

l

J

Al

AJ

t

c '' −=−=∂∂

Sehingga laju perubahan konsentrasi dinyatakan dalam bentuk

l

JJ

t

c '−=∂∂

Setiap fluks sebanding dengan gradien konsentrasi pada jendela. Dengan

menggunakan hukum pertama Fick, dapat ditulis:

x

cD

x

cDJJ

∂∂+

∂∂−=− '

'

{ }lc

xD

x

cD ∂+

∂∂+

∂∂−=

2

2

x

cDl

∂∂=

Jika digantikan hubungan ini ke dalam ungkapan untuk laju perubahan

konsentrasi dalam lempengan, maka diperoleh bentuk umum persamaan difusi

sebagai berikut

2

2

x

cD

t

c

∂∂=

∂∂

(2.52)

Persamaan (2.52) biasanya disebut hukum kedua Fick tentang difusi; pada tahap

ini kita sudah mengetahui bahwa c merupakan fungsi dari x dan t dan turunannya

dituliskan sebagai turunan parsial.

Persamaan difusi menunjukkan bahwa laju perubahan konsentrasi

sebanding dengan turunan kedua dari konsentrasi terhadap jarak. Jika konsentrasi

berubah dengan tajam dari titik ke titik (jika distribusinya tidak merata) maka

konsentrasi berubah dengan cepat terhadap waktu. Jika lengkungannya nol, maka

konsentrasinya lambat laun menjadi konstan. Jika konsentrasi berkurang secara

linier dengan jarak, maka konsentrasi pada setiap titik adalah konstan karena

aliran partikel ke dalam tepat diimbangi oleh aliran keluar.

Persamaan difusi dapat dianggap sebagai perumusan matematis dari

dugaan berdasarkan intuisi, bahwa terdapat kecenderungan alamiah untuk

menghilangkan ketakmerataan distribusi. Lebih singkatnya: alam tidak menyukai

ketakmerataan. Dalam hal transport partikel yang berasal dari gerakan aliran

fluida, maka difusi yang terjadi disebut sebagai difusi konveksi. Jika sekarang ini

kita mengabaikan difusi, maka fluks partikel melalui luas A dalam selang waktu

t∆ jika fluida mengalirkan dengan velositas v, dapat dihitung dengan cara yang

sudah kita gunakan beberapa kali sebelumnya (dengan menghitung partikel dalam

jarak v t∆ ), yaitu:

cvtA

tcAvJ =

∆∆= (2.53)

J ini disebut fluks konveksi. Dengan argumen yang sama seperti sebelumnya,

maka laju perubahan konsentrasi dalam lempengan dengan panjang l dan luas A,

adalah:

l

vl

x

ccc

l

JJ

t

c

∂∂+−=−=

∂∂ '

(Diasumsikan bahwa velositas tidak bergantung pada posisi).

Jika difusi dan konveksi sama perannya, maka perubahan konsentrasi total

dalam daerah itu merupakan penjumlahan kedua efek tersebut, sehingga

persamaan difusi tergeneralisasi:

x

cv

x

cD

t

c

∂∂−

∂∂=

∂∂

2

2

(2.54)

Persamaan difusi merupakan persamaan turunan orde kedua terhadap

ruang dan persamaan turunan orde pertama terhadap waktu. Oleh karena itu kita

harus menentukan dua kondisi batas untuk ketergantungan pada ruang (x), dan

satu kondisi awal untuk ketergantungan pada waktu (t). Persamaan ini merupakan

dasar untuk perancangan reaktor dalam industri kimia dan dasar dari penggunaan

sumber dalam sel hidup ( Atkins, 1999:320).

2.9 Metode Beda Hingga pada Persamaan Difusi

Pandang persamaan difusi berikut dengan kondisi awal dan batasnya

x

cv

x

cD

t

c

∂∂−

∂∂=

∂∂

2

2

)()0,( xfxc = untuk nxx ≤≤0 (2.55)

)0(),0( ftc = (2.56)

)(),( aftac = (2.57)

c adalah konsentrasi, D merupakan koefesien difusi, v adalah kecepatan

aliran difusi, x adalah lokasi/ ruang, sedangkan t adalah waktu. Kondisi batas

(2.55) disebut kondisi awal. Sedangkan kondisi (2.56) dan (2.57) disebut dengan

kondisi batas. Persamaan difusi konveksi ini merupakan bentuk persamaan

diferensial parsial dalam kategori parabola dimana 042 =− ACB . Tujuan dari

pemecahan persamaan difusi konveksi ini adalah mendapatkan nilai ),( txc di

antara nxx <<0 dan 0>t . Pada persamaan differensial parsial parabolik nilai

),( Txc akan dipengaruhi oleh nilai ),( txc , Tt ≤ seperti diilustrasikan pada

Gambar 2.2

Gambar 2.2 Daerah yang Dipengaruhi dan Mempengaruhi Cp

Ada beberapa teknik dalam memecahkan persamaan difusi konveksi salah

satunya dengan metode beda hingga skema Crank-Nicholson. Skema ini

mempunyai tingkat kestabilan yang lebih baik dibandingkan skema-skema beda

hingga yang lain. Skema jaringan titik hitungan diberikan oleh Gambar (2.3)

Daerah c yang dipengaruhi Cp (x,t)

Daerah c yang mempengaruhi Cp(x,t)

n

n

n

i i i

Gambar 2.3 Skema Crank-Nicholson

Solusi numerik persamaan difusi konveksi dengan menggunakan metode

beda hingga skema Crank-Nicholson yang menggunakan dasar dari persamaan

deret Taylor, sehingga menghasilkan turunan pertama

t

cc

t

c ni

ni

∆−

=∂∂ +1

(2.58)

Turunan pertama (2.58) merupakan diferensial terpusat.

Turunan ke dua fungsi terhadap x adalah:

∆+−

+

∆+−

=∂∂ +−

++

++−

211

2

11

111

2

2 2

2

12

2

1

x

ccc

x

ccc

x

c ni

ni

ni

ni

ni

ni (2.59)

Dari diferensial numerik (2.58) dan (2.59) kemudian disubstitusikan ke

dalam persamaan difusi konveksi (2.54) sehingga diperoleh persamaan difusi

konveksi dalam bentuk terdiskritisasi (Kosasih, 2006:466). Dari bentuk

persamaan difusi yang terdiskritisasi dapat dibentuk suatu pola iterasi. Pola yang

diperoleh akan diterapkan pada sistem yang dipilih (dalam hal ini penulis memilih

Penyelesaian diketahui sampai waktu ke n

aliran zat kimia dalam balok yang letaknya mendatar). Penerapan pola pada i =

1,2,…,M akan memberikan sistem persamaan linier dengan bentuk tridiagonal.

2.10 Matrik Tridiagonal

Matrik tridiagonal adalah matrik bujursangkar yang seluruh elemen bukan

0 (nol) berada di sekitar elemen diagonal, sementara elemen lainnya bernilai 0

(nol). Sebagai contoh diberikan matriks A sebagai berikut

−−

=

9300

7850

0142

0063

A

Salah satu algoritma yang digunakan dalam penyelesaian bentuk matriks adalah

algoritma Thomas. Algoritma Thomas sangat cocok untuk menyelesaikan

persamaan linier simultan yang dapat dibentuk menjadi matriks tridiagonal.

Algoritma proses dekomposisi Thomas:

1. Mendapatkan matriks [L] dan [U].

2. Menyelesaikan [L]{y} = {b}.

3. Menyelesaikan [U]{x} = {z}

Berdasarkan Sistem Persamaan Linier (SPL) :

1212111 bxaxa =+

223222121 baxaxa =++

334333232 baxaxa =++

445444343 baxaxa =++

ΜΟ

nnnnnn baxa =+−− 11 (2.60)

Dengan mengunakan notasi matriks, sistem persamaan di atas (2.60) dapat

dituliskan:

=

−−

−

−−−−−

n

n

x

n

nnnn

nnnnnn

b

b

b

b

b

x

x

x

x

x

aa

aaa

aaa

aaa

aa

1

3

2

1

1

3

2

1

1

11121

343332

232221

1211

000000

00000

00000

00000

000000

ΜΜ

ΛΛ

ΜΜΜΟΜΜΜΜΜΛΛΛ

(2.61)

Pada sistem tridiagonal diatas tampak bahwa mayoritas dari elemen pada

koefesien matriksnya adalah nol. Untuk sistem tridiagonal ini, digunakan tiga

vektor a, d dan c untuk menyimpan nilai elemen yang bukan nol sepanjang

diagonal mayor dan sub-diagonalnya sehingga matriks di atas menjadi:

bxA

b

b

b

b

b

x

x

x

x

x

da

cda

cda

cda

cd

n

n

x

n

nn

nnn

=

−−−−− 1

3

2

1

1

3

2

1

111

333

222

11

000000

00000

00000

00000

000000

ΜΜ

ΛΛ

ΜΜΜΟΜΜΜΜΜΛΛΛ

(2.62)

Pertama-tama yang dilakukan dalam pemecahan sistem persamaan linier (SPL)

dengan koefisien matriks tri-diagonal adalah matriks A didekomposisikan menjadi

LU, yaitu matriks segitiga bawah dan segitiga atas. Setelah dekomposisi, matriks

diatas menjadi:

bxUL

b

b

b

b

x

x

x

x

n

c

c

c

nn

nn

n

=

−− ΜΜΛΛ

ΜΜΟΜΜΜΛΛ

ΛΜΜΟΜΜΜ

ΛΛΛ

3

2

1

3

2

1

11

22

11

3

2

0000

000

000

000

1000

0010

0001

00001

δδ

δδ

α

αα

(2.63)

Dengan perkalian matriks, persamaan di atas berbentuk matrik (2.64).

MATRIK TRIDIAGONAL

Di PDF hal. 40

Setelah mengubah elemen-elemen pada vektor a dan d dengan α dan δ

persamaan (2.63) dapat diproses lanjut. Jika Ux disebut dengan g, maka

persamaan (2.63) dapat dituliskan:

bgL

b

b

b

b

g

g

g

g

nnn

=

ΜΜΛ

ΜΜΟΜΜΜΛΛΛ

3

2

1

3

2

1

3

2

1000

0010

0001

00001

α

αα

(2.65)

Dari persamaan di atas diperoleh:

12222212

11

gbgbgg

bg

αα −=→=+=

ΜΜ23333323 gbgbgg αα −=→=+ (2.66)

11 −− −=→=+ nnnnnnnn gbgbgg αα

Karena g adalah Ux, maka:

gxU

g

g

g

g

x

x

x

x

c

c

c

nnn

nn

=

−− ΜΜΛΛ

ΜΜΟΜΜΜΛΛ

3

2

1

3

2

1

11

22

11

0000

000

000

000

δδ

δδ

(2.67)

1

1111111

−

−−−−−−−

−=→=+

=

n

nnnnnnnnn

n

nn

xcgxgxcx

gx

δδ

δ

ΜΜ2

122221222

−

−−−−−−−−−

−=→=+

n

nnnnnnnnn

xcgxgxcx

δδ

(2.68)

1

211112111 δ

δ xcgxgxcx

−=→=+

2.12 Selalu Mencari Solusi Dalam Perspektif Islam

Al-Quran dan Hadist merupakan dasar dalam ajaran Islam. Telah

disebutkan dalam Al-Quran tentang keharusan bagi umat Islam untuk bekerja

dengan sunguh-sunguh dan sepenuh hati. Al-Quran tidak menganjurkan kepada

umat Islam untuk tidak melakukan suatu aktivitas selama hidupnya.

Dua ayat terakhir dari surat Alam Nasyrah menguraikan hal tersebut

secara gamblang. Dalam surat Alam Nasyrah, terlebih dahulu ditanamkan

optimisme kepada setiap muslim. Sebagaimana yang telah dijelaskan pada Bab I.

sehingga dalam mencari solusi dari suatu masalah, kita harus mencurahkan

seluruh kemampuan kita dan harus yakin bahwa Allah selalu memberi

kemudahan. Selain itu sikap patang menyerah dalam menghadapi suatu masalah

juga berperan penting. Hal ini sebagaimana firman Allah:

Artinya: “ Hai anak-anakku, pergilah kamu, maka carilah berita tentang Yusuf

dan saudaranya dan jangan kamu berputus asa dari rahmat Allah. Sesungguhnya tiada berputus asa dari rahmat Allah, melainkan kaum yang kafir" (QS. Yusuf: 87).

Bahwasannya kita tidak boleh berputus asa dari rahmat Allah, bahwa Dia

akan melapangkan kesusahan ini. Sehingga, jiwa menjadi tenteram dan hati

menjadi tenang. Sesungguhnya, tidak berputus asa dari rahmat Allah kecuali

kaum kafir kepada kekuasaan dan kelapangan rahmad-Nya, sehingga, apabila

mereka tidak berhasil memperoleh apa yang mereka inginkan, serta

menyingkirkan malapetaka atau mengambil manfaat, maka mereka membunuh

dirinya sendiri karena bersedih dan berduka-cita.

Adapun orang-orang yang benar-benar beriman, tidak akan dibuat

berputus asa oleh musibah dan kesusahan dari rahmad Tuhannya dan bahwa Dia

akan melapangkan kesusahannya (Maraghi, 1988: 47).

Sebagai seorang muslim, kita dituntut untuk bertindak dan berbuat

berdasarkan ilmu pengetahuan dan konsep yang matang (pribadi profesional). Hal

ini sebagaimana firman Allah:

Artinya: “ Dan janganlah kamu mengikuti apa yang kamu tidak mempunyai

pengetahuan tentangnya. Sesungguhnya pendengaran, penglihatan dan hati, semuanya itu akan diminta pertanggungan jawabnya (QS. Al-Isyra’:36).

Apa yang ingin diketahui manusia mempunyai sifat umum, kompleks dan

mempunyai arti luas. Dengan demikian, seorang muslim dituntut untuk dapat

berpikir secara urut, logis, kritis dan argumentatif dengan selalu berlandaskan

pada firman Allah. Untuk itu, dalam menggunakan akal, umat Islam harus

memperhatikan:

1. Batasan hukum agama adalah wahyu Allah Al-Qur’an dan As-Sunnah, bukan

akal atau logika manusia

2. Adanya ayat-ayat muhkamat (yang terang dan tegas dan mudah dipahami)

adalah tanda dari keberdayaan akal dan ayat-ayat mutasyabihat yang masih

membutuhkan pengkajian merupakan tanda dari keterbatasan akal.

3. Jika terdapat dalil naqli atas suatu masalah, maka akal harus tunduk padanya.

4. Tidak mengubah dalil naqli untuk kepentingan pribadinya.

5. Tidak menganalogkan masalah dengan hal yang bertentangan dengan dalil

Allah.

6. Tidak semua masalah agama dapat diselesaikan dengan daya kritis otak

manusia.

7. Menahan diri dari melakukan sesuatu yang mubadzir (sia-sia).

8. Memiliki landasan pemahaman kuat dan mendalam terhadap agama melalui

penguasaan berbagai disiplin ilmu agama.

9. Berusaha memahami bahasa Arab, karena teks agama ditulis dengan bahasa

Arab.

10. Mempunyai motivasi yang ikhlas dalam pengembangan keilmuan

(http://labbaik.wordpresscom//kedudukan-akal-dalam-islam.html).

Hal tersebut diatas mempunyai peran dalam mengunakan logika terkait

dengan kajian agama terhadap sains dan teknologi yang semakin mewarnai

kehidupan kita. Manusia telah dikaruniai akal untuk mengkaji ilmu pengetahuan

yang beraneka macam seperti:

1. Pengetahuan indrawi, pengetahuan yang menuntut indera dalam

memperolehnya. Pengetahuan ini biasanya digunakan di berbagai cabang

ilmu empirik seperti: Fisika, Kimia, Biologi.

2. Pengetahuan rasional, pengetahuan ini tersusun dari konsep-konsep abstraktif

yang disebut juga dengan konsep sekunder yang masih membutuhkan

pembuktian lebih lanjut dalam bentuk premis-premis analogis. Seperti logika,

filsafat dan matematika.

3. Pengetahuan tekstual, pengetahuan ini bersifat sekunder karena

ketergantungannya terhadap pengetahuan sebelumnya, yaitu pengetahuan

tentang sumber informasi yang tepercaya (otoritas) dan diperoleh melalui

informasi orang yang jujur. Misalnya, pengetahuan para pemeluk agama yang

mereka peroleh dari ucapan para pemuka agama.

4. Pengetahuan syuhudi, pengetahuan ini terkait langsung dengan wujud objek

kajiannya dan disertai oleh penafsiran konseptual empunya. Dengan demikian

tidak tertutup kemungkinan terdapat perbedaan antar individu

(http://isyraq.wordpress.com).

Dari penjelasan diatas, dapat ditarik kesimpulan bahwa dalam mencari

solusi alternatif, kita dapat menggunakan jalan logika atau metode rasional. Akan

tetapi, kita harus ingat pula akan keterbatasan akal yang dapat menghasilkan

pengertian yang berbeda antar individu dan peranan wahyu Allah sebagai

landasan pengembangan ilmu pengetahuan.

Sebagai contohnya adalah Al-Khawarizmi, seorang tokoh Islam telah

melakukan metode ini dalam pengembangan keilmuannya. Dalam memahami

suatu masalah, ia dapat memaksimalkan peran akal sehingga ia tidak hanya

mengenali satu subjek saja, tetapi ia juga mampu menyelesaikan masalah dalam

subyek tersebut. Khawarizmi juga menggunakan ilmunya untuk lebih memahami

tauhid kepada Allah.

BAB III

PEMBAHASAN

Pada bab ini dijelaskan tentang solusi persamaan diferensial parsial pada

persamaan difusi konveksi baik secara analitik maupun numerik dengan langkah

sebagai berikut:

1. Menetapkan kondisi batas dan kondisi awal serta panjang sistem dari

persamaan difusi konveksi.

2. Mencari solusi analitik dari persamaan difusi konveksi.

3. Mencari solusi numerik dari persamaan difusi konveksi.

4. Meneliti galat dari solusi analitik dan solusi numerik

Asumsi yang digunakan untuk menyelesaikan persaman difusi konveksi

x

cv

x

cD

t

cfus ∂

∂−∂∂=

∂∂

2

2

dalam dimensi satu sebagai berikut:

1. Misalkan ),( txc terdefinisi pada selang 50 ≤≤ x dan 0≥t .

2. Fungsi ),( txc berlaku kondisi batas 0),0( =tc dan 0),5( =tc

3. Fungsi ),( txc berlaku kondisi awal yaitu )()0,( 0xfxc = , dengan

molxf 20 10.5,1)( −= .

Dengan kondisi awal dan kondisi batas yang telah ditetapkan serta nilai

dari cmx 5,0=∆ dan st 05,0=∆ yang telah diketahui dan besarnya

1410.6,1 −−= scmv dan 12510.46,1 −−= scmD fus yang diketahui juga sehingga

diperoleh nilai atau besarnya konsentrasi suatu zat pada proses difusi pada saat

t=1, t=2,…,dan seterusnya. Dari solusi numerik yang ada maka untuk mengontrol

galat kita dapat melihat hasil dari solusi analitiknya.

3.1 Solusi Analitik

Solusi analitik dilakukan pada balok yang memiliki panjang L yang

didalamnya terjadi proses difusi konveksi. Persamaan difusi konveksi dinyatakan

sebagai berikut:

x

cv

x

cD

t

cfus ∂

∂−∂∂=

∂∂

2

2

, 0,0 ><< tLx (3.1)

Dengan nilai batas (Boundary value)

0),(),0( == tLctc , 0>t (3.2)

dan nilai awal (Initial value)

)()0,( 0xfxc = , dimana nilai molxf 20 10.5,1)( −= Lx <<0 (3.3)

Pemecahan persamaan (3.1) bertujuan untuk mengetahui konsentrasi ),( txc pada

balok tersebut. Dalam hal ini ),( txc didefinisikan sebagai konsentrasi pada posisi

xdan waktu t dari persamaan (3.1) yang memenuhi syarat yang ditentukan oleh

sifat fisik tersebut. Dalam menentukan penyelesaian ),( txc dari persamaan (3.1)

yang memenuhi syarat awal dan syarat batas adalah dengan menerapkan metode

pemisahan variabel dengan definisi

)()(),( tTxXtxc = (3.4)

Dimana )(xX adalah fungsi yang tergantung pada variabel xdan )(tT adalah

fungsi yang tergantung pada variabel t .

a. Mendefinisikan turunan-turunan parsial pada persamaan difusi konveksi

hingga mendapatkan persamaan diferensial biasa.

Karena )()(),( tTxXtxc = , maka dapat didefinisikan turunan-turunan

parsial c sebagai berikut

=∂∂

Tdt

dxX

t

c)(

)(2

2

2

2

tTXdx

d

x

c

=

∂∂

)(tTXdx

d

x

c

=∂∂

Jika bentuk di atas disubstitusikan ke persamaan (3.1), maka persamaan (3.1)

menjadi )()()(2

tTXdx

dvtTX

dx

dDT

dt

dxX fus

−

=

(3.5)

Persamaan (3.5) dapat ditulis sebagai bentuk

)()()()(")()( '' tTxvXtTxXDtTxX fus −=

))()(")(()()( '' xvXxXDtTtTxX fus −=

)(

)('

)(

)()(" '

tT

tT

xX

xvXxXD fus =−

(3.6)

Ruas kiri memuat fungsi yang hanya tergantung pada x , sedangkan ruas kanan

memuat fungsi yang hanya tergantung t . Ini berarti ruas kanan maupun ruas kiri

sama dengan suatu konstanta λ , diperoleh

λ==−

)(

)('

)(

)(')("

tT

tT

xX

xvXxXD fus (3.7)

Dimana λ merupakan konstanta dan disebut sebagai konstanta pemisah.

Persamaan (3.7) menghasilkan dua persamaan diferensial biasa yaitu

0)()(')(" =−− xXxvXxXD fus λ (3.8)

0)()(' =− tTtT λ (3.9)

b. Menentukan selesaian )(xX dan )(tT dari kedua persamaan diferensial biasa

Dalam menentukan selesaian )(xX dan )(tT dari kedua persamaan

diferensial biasa ini (Persamaan (3.8) dan Persamaan (3.9)) maka

)()(),( tTxXtxc = harus memenuhi syarat batas dan syarat awal. Penyelesaian

persamaan (3.8) yang hanya tergantung pada x diasumsikan )(xX harus

memenuhi syarat batas yang homogen

)(2

2

xXXdx

dvX

dx

dD fus λ=

−

0)()(),(

0)()0(),0(

====

tTLXtLc

tTXtc untuk semua t (3.10)

Jika 0)( =tT , maka ),( txc merupakan penyelesaian trivial yaitu 0=c . Agar

memenuhi kondisi batas:

0)(

0)0(

==

LX

X (3.11)

harus mendapatkan penyelesaian non trivial. Dimana solusi non trivial didapat

jika 0)( ≠tT .

Untuk memperoleh selesaian non trivial persamaan (3.10) dengan

koefesien konstanta diperoleh dengan bentuk eksponensial yaitu rxexX =)(

merupakan solusi persamaan diferensial homogen

0)()(')(" =−− xXxvXxXD fus λ .

Dengan mensubtitusikan solusi tersebut dan turunannya ke dalam

persamaan diferensial didapat:

0)(

0)'()"(2 =−−

=−−

λ

λ

vrrDe

eeveD

fusrx

rxrxrxfus

sebab ℜ∈∀≠ xerx ,0 , maka 02 =−− λvrrD fus disebut persamaan karakteristik

dari persamaan diferensial. Akar persamaan karakteristik dari persamaan

diferensial adalah:

fus

fus

D

Dvvr

2

42

1

λ++=

fus

fus

D

Dvvr

2

42

2

λ+−=

kemungkinan nilai 1r dan 2r bergantung dari nilai diskriminan , yaitu:

1. Bila 042 >+ λfusDv maka 21 rr ≠ (akar real dan berbeda).

2. Bila 042 =+ λfusDv maka 21 rr = (akar real dan sama).

3. Bila 042 <+ λfusDv maka 21, rr merupakan bilangan komplek (imajiner).

1. Akar Karakteristik Real dan Berbeda

Misalkan persamaan karakteristik dari persamaan (3.8) merupakan

bilangan real dan berbeda, 21 rr ≠ . Maka xr

exx 1)(1 = dan xrexx 2)(2 =

merupakan solusi bebas linier dari persamaan diferensial homogen tersebut.

Solusi umum dapat dituliskan:

xrxr eCeCyCyCxX 21212211)( +=+= (3.12)

sedangkan solusi khusus persamaan diferensial ditentukan dengan mencari nilai

dari 1C dan 2C yang disubstitusikan pada syarat batasnya yaitu

00)0( 21 =+⇒= CCX atau 21 CC −=

( ) 0

0

0)(

21

21

21

2

22

21

=+−⇔

=+−⇔

=+=

LrLr

LrLr

LrLr

eeC

eCeC

eCeCLX

Karena 021 ≠+− LrLr ee

sehingga diperoleh 02 =C karena 21 CC −= , maka 02 =C , akibatnya 0)( =xX ,

sehingga tidak ada solusi tak trivial untuk 042 >+ λfusDv .

2. Akar Karakteristik Real dan Sama

Misalkan persamaan karakteristik dari persamaan (3.8) untuk merupakan

bilangan real dan sama, fusD

vxX

2)( = . Maka salah satu solusi persamaan tersebut

adalah fusD

v

rx eex2

1 == . Untuk menentukan solusi yang lain, solusi kedua ntuk

persamaan (3.8) didapat dengan memisalkan: x

D

v

fusexwyxwx2

12 )()( == . Fungsi

)(xw dicari dengan mensubstitusikan solusi kedua dan turunan ke dalam

persamaan (3.8):

xD

v

fusexwrxwx 212 )()( ==

fusfus D

vx

fus

xD

v

exwD

vexwx

22''2 )(

2)( −=

fusD

vx

fusfus

exwD

vxw

D

vxwx

2

2

2'

2 )(4

)(2

)(""

+−=

0)()(2

)('

)(4

)('2

)("

22

2

2

=+

−

−

+−

xD

vx

D

v

fus

xD

vx

fus

fus

fusfus

fus

excwexwD

vxwv

exwD

vxw

a

vxwD

0)()(2

)(')(4

)('2

)("2

=+

−−

+− xcwxw

D

vxwvxw

D

vxw

a

vxwD

fusfus

fus

0)("4

)("2

=

−− xwc

D

vxwD

fusfus

karena 042 =+ λfusDv , maka 0)(" =xD fus . Sehingga, )(xw dapat

dinyatakan sebagai fungsi linear yaitu qpxxw +=)( .

Ambil 1=p dan 0=q , didapatkan xxw =)( dan solusi kedua:

xD

v

fusxex2

2 = . Solusi pertama dan kedua Persamaan (3.8) ), 1r dan 2r merupakan

solusi bebas linear, sehingga solusi umum persamaan (3.8) bila akar

karakteristiknya dimisakkan r , yaitu

rxrx xeCeCxX 21)( += (3.13)

Dari persamaan (3.13) disubstitusikan syarat batas sehingga diperoleh

0)0( 1 == CX

21)( LCCLX += atau 2LC

akibatnya 0)( =xX , jadi tidak ada solusi tak trivial.

3. Akar karakteristik Kompleks

Misal akar karakteristik dari persamaan (3.8) kompleks:

βα ir +=1 dan βα ir −=2 dengan 1−=i

dimana α dan β adalah bilangan real

fusD

v

2=α ,

fus

fus

D

Dv

2

42 λβ

+=

Dengan menyatakan bahwa fungsi xre 1 dan xre 2 adalah solusi untuk persamaan

(3.8) dimana βα ir +=1 merupakan bilangan kompleks yang berarti

( ) xixxixxi eeee βαβαβα == ++ (3.14)

dimana xie β itu sendiri diperoleh dengan cara diasumsikan pada deret Maclaurin,

untuk ze sama dengan z untuk bilangan real, yang mana 12 −=i sehingga

didapatkan

++−+

++−=

+++−−+=

+++++=

ΛΛ

Λ

ΛΛ

!5!3!4!21

!5!4!3!21

!

)(

!2

)()(1

5342

5432

2

θθθθθ

θθθθθ

θθθθ

i

iii

n

iiie

ni

Ekspansi deret untuk bilangan real dan bilangan imajiner bagian demi bagian pada

deret Maclaurin pada θcos dan θsin dapat disederhanakan sebagai berikut

)sin(cos)( xixee xxi ββαβα +=+ (3.14)

Persamaaan (3.14) disebut rumus Euler.

Ketika rumus Euler dengan xβθ = digunakan pada persamaan (3.14)

didapatkan

( ) )sin(cos xixee xxi ββαβα +=+ (3.15)

Maka solusi umum persamaan (3.8) ditulis

xeCCixeCC

xixeCxixeC

eCeC

eCeCxX

xx

xx

xixi

xrxr

ββββββ

αα

αα

βαβα

sin)(cos)(

)sin(cos)sin(cos

)(

2121

21

)(2

)(1

2121

−++=

−++=

+=

+=++

dengan mensubstitusikan syarat batasnya 0)()0( == LXX

1

21

210

21

0sin0cos

)0sin0cos()0(

)sincos()(

C

CC

CCeX

xCxCexX x

=+=

+=

+=

ββββ

α

α

maka diperoleh 0)0( 1 == CX , jadi xCexX x βα sin)( 2= .

)sincos()( 21 LCLCeLX L ββα += karena 01 =C maka

0sin2 =LCe L βα atau 0sin =Lβ untuk memperoleh solusi tak trivial 0)( ≠xX ,

ambil 02 ≠C sehingga nilai eigennya harus memenuhi

0sin =Lβ

.

L

n

nL

πβ

πβ

=

=

,...3,2,14

2

24

24

2

4

2

2

2

2

2

2

=−

=

=+

=+

=+

nD

vL

nD

L

nDDv

L

nDDv

L

n

D

Dv

fus

fus

fusfus

fusfus

fus

fus

π

λ

πλ

πλ

πλ

Jadi nilai eigennya 1r dan 2r adalah positif, maka dari persamaan (3.8) diperoleh

fungsi eigen yaitu

,...3,2,1sin)(

sin)(

2

2

==

=

nL

xnCexX

xCexX

x

x

πβ

α

α

(3.16)

Dimana fungsi eigen merupakan penyelesaian dari persamaan (3.8) yang

memenuhi syarat batas.

Persamaan (3.9) adalah persamaan diferensial homogen tingkat satu yang

linear dengan koefesien konstanta. Maka dapat diselesaikan dengan penyelesaian

eksponensial uxetT =)( , dimana λ=u dan

fus

fus

D

vL

nD

4

22

2

−

=

π

λ

. Jadi penyelesaian

umumnya adalah

tD

vL

Dn

Ct

D

vL

nD

C

tD

vL

nD

C

fus

fus

fus

fus

fus

fus

fus

fus

fus

fus

fus

fus

fus

fus

fus

fus

fus

cetT

ecetT

eIntTIn

tD

vL

nD

CtTIn

CtD

vL

nD

tTIn

dtD

vL

nD

dttT

tT

tTD

vL

nD

tT

tT

tTD

vL

nD

tT

tTD

vL

nD

tT

tTtT

4

2

4

2

4

2

2

2

2

2

2

2

'

2

2

2

2

2

2

22

22

22

)(

,)(

)(

4

2

)(

4

2

)(

4

2

)(

)(

)(4

2

)(

)('

)(4

2

)('

0)(4

2

)('

0)()('

−

−

+

−

+

=

==

=

−

+=

=−

−

−

=

−

=

−

=

=−

−

=−

∫∫

π

π

π

π

π

π

π

π

π

λ

(3.17)

Dimana c adalah konstanta, dengan mensubtitusikan persamaan (3.16) dan (3.17)

ke persamaan difusi konveksi (3.1) menjadi:

)()(),( tTxXtxc =

,...3,2,1sin

sin

sin

24

2

4

2

22

22

22

22

==

=

=

+−

−

neL

xnB

eL

xnCe

xceCe

xD

vt

D

vL

nD

tD

vL

nD

xD

v

utx

D

v

fudfus

fus

fus

fus

fus

fus

π

π

π

π

β

Jadi penyelesaian persamaan difusi konveksi satu dimensi adalah

xD

vt

D

vL

nD

nn

nnn

fusfus

fus

eL

xnBtxC

tTxXtxC

24

2 22

sin),(

)()(),(

+−

=

=π

π (3.18)

dimana nB merupakan konstanta dengan prinsip superposisi. Maka persamaan

difusi konveksi satu dimensi yang linear (3.18) menjadi

xD

vt

D

vL

nD

nn

nn

fusfus

fus

eL

xnBtxCtxC 24

2

11

22

sin),(),(+

−

∞

=

∞

=∑∑ ==

π

π (3.19)

Untuk menyelesaikan persamaan satu dimensi (dengan kondisi batas nol), maka

persamaan (3.19) menunjukkan persamaan difusi konveksi yang dapat

diselesaikan jika syarat awalnya adalah

xD

v

nn

fuseL

xnBxC

2

1

sin)0,( ∑∞

== π

(3.20)

c. Menentukan koefesien nB

Untuk menentukan koefesien nB diasumsikan bahwa

xD

v

nn

fuseL

xnBxf

2

10 sin)( ∑

∞

== π

(3.21)

Berdasarkan ulasan persamaan difusi konveksi, maka fungsi eigen L

xne

xD

v

fus πsin2

memenuhi faktor integral yaitu

=

≠=∫ nm

Lnm

dxL

xn

L

xmL

;2

;0sinsin

0

ππ (3.22)

Dimana m dan n adalah bilangan positif

Persamaan (3.21) dikalikan dengan sinm x

L

π

menjadi

xD

v

nn

fuseL

xm

L

xnB

L

xmxf

2

10 sinsin

sin)(

πππ∑

∞

=

= (3.23)

Kemudian diintegralkan dari 0x = sampai x L=

dxeL

xm

L

xnBdx

L

xmxf

xD

v

n

L

n

Lfus2

1 00

0 sinsinsin

)(πππ

∑ ∫∫∞

=

= (3.24)

Dari persamaan (3.22) didapat bahwa tiap elemen jumlahan adalah nol ketika

n m≠ dan untuk n m= mempunyai konstribusi pada jumlah tak hingga, maka

pada persamaan (3.24) m dapat diganti oleh n menjadi:

dxeL

xnBdx

L

xmxf

L xD

v

n

Lfus∫∫ =

0

22

0

00 sinsin

)(ππ

(3.25)

∫

∫=

L xD

v

L

n

dxeL

xn

dxL

xnxf

Bfus

0

22

0

0

sin

sin)(

π

π

dxL

xnexf

L

LD

v

fus∫−

=0

20 sin)(

2 π

π

π

nL

xnexf fusD

v

cos)(2 20

−

−= (3.26)

Jadi persamaan difusi konveksi satu dimensi adalah

xD

vt

D

vL

Dn

n

LD

v

fusfusfus eL

xndx

L

xnexf

Ltxc

24

2

1 0

20

22

sinsin).(2

),(+

−

∞

=

−

∑ ∫

=

π

ππ

atau

xD

vt

D

vL

Dn

n

D

v

fusfus

fus

eL

xn

nL

xnexf

txc24

2

1

20

22

sincos)(2

),(+

−

∞

=

−

∑

−=

π

ππ

π

(3.27)

dengan memasukkan nilai cmL 5= , 12510.46,1 −−= scmD dan 1410.6,1 −−= scmv

pada persamaan (3.27) maka akan didapatkan besarnya konsentrasi pada 5,0=∆x

dan 005.0=∆t yang ingin diketahui. Dengan bantuan program Matlab grafik

hasil dari solusi analitik dapat dilihat pada Gambar 3.3.

3.2 Solusi Numerik

Salah satu metode numerik untuk penyelesaian parsamaan diferensial

parsial adalah metode beda hingga. Dimana metode beda hingga itu sendiri

memiliki bermacam skema (implisit, eksplisit, Crank-Nicholson). Pada skripsi ini

akan dicoba penggunaan skema Crank-Nicolson yang lebih sederhana dan mudah

dipahami. Skema ini cukup baik dalam menyelesaikan persaman difusi satu

dimensi. Di samping itu dari segi numerik, skema ini mempunyai tingkat

tt

t

kestabilan yang lebih baik dibandingkan skema-skema numerik lainnya terhadap

penyelesaian persamaan difusi satu dimensi.

a. Mengubah persamaan difusi konveksi ke dalam bentuk terdiskritisasi.

Pada skema Crank-Nicholson, variabel n+1 dihitung berdasarkan variabel

pada waktu ke n yang sudah diketahui (Gambar 3.1). dengan menggunakan skema

yang ditunjukkan pada Gambar (3.1) fungsi variabel (konsentrasi) c(x,t) dan

turunannya dalam ruang dan waktu didekati oleh bentuk berikut:

I

Gambar 3.1 Penerapan metode Crank-Nicholson

Dengan metode ini nilai turunan 2/1+

∂∂ n

it

c dihitung

)2/(2

12/1

t

cc

t

c ni

ni

n

i ∆−

=

∂∂ ++

t

cc

t

c ni

ni

n

i ∆−

=

∂∂ ++ 12/1

(3.28)

Untuk 2/1+

∂∂ n

ix

c dihitung

∂∂+

∂∂=

∂∂ ++ 12/1

2

1n

i

n

i

n

i x

c

x

c

x

c

Dengan menggunakan diskretisasi perbedaan tengah:

∆−

+∆−

=

∂∂ +

−+

+−++

x

cc

x

cc

x

c ni

ni

ni

ni

n

i 222

1 11

1111

2/1

(3.29)

sedangkan 2/1

2

2 +

∂∂

n

ix

c didapatkan dari

∂∂+

∂∂=

∂∂

++ 1

2

2

2

22/1

2

2

2

1n

i

n

i

n

ix

c

x

c

x

c

atau

∆+−

+∆

+−=

∂∂ +

−++

+−++

2

11

111

211

2/1

2

2 22

2

1

x

ccc

x

ccc

x

c ni

ni

ni

ni

ni

ni

n

i

(3.30)

Dengan mensubstitusikan (3.28), (3.29) dan (3.30) ke persamaan difusi konveksi

(3.1), bentuk diskretisasi perbedaan hingga dari (3.1) adalah:

2

2

x

cD

x

cv

t

cfus ∂

∂=∂∂+

∂∂

2

2

x

cD

x

cv

t

cfus ∂

∂+∂∂−=

∂∂

∆−

+∆−

−=∆− +

−+

+−++

x

cc

x

ccv

t

cc ni

ni

ni

ni

ni

ni

222

11

1111

1

∆+−

+∆

+−+

+−

+++−+

2

11

111

211 22

2 x

ccc

x

cccD ni

ni

ni

ni

ni

nifus

(3.31)

ni

fusni

fusni

fus

ni

fusni

fusni

fus

cx

D

x

vc

x

D

tc

x

D

x

v

Cx

D

x

vc

x

D

tc

x

D

x

v

12212

112

12

112

24

1

24

24

1

24

+−

++

++−

∆−

∆−

∆−

∆+

∆+

∆

=

∆−

∆+

∆+

∆+

∆+

∆−

(3.32)

Jika dimisalkan

x

vs

∆=

2 dan

2x

Dh fus

∆=

maka persamaan (3.32) dapat dibentuk menjadi

ni

ni

ni

ni

ni

ni

chscht

chs

Chscht

chs

11

11

111

)(2

11)(

2

1

)(2

11)(

2

1

+−

++

++−

−−

−∆

++

=−+

+∆

++−

(3.33)

Dari persamaan (3.33) maka dapat disederhanakan ke dalam bentuk sebagai

berikut:

ni

ni

ni

ni

ni

ni Ccch

tAcCcBcAc 11

11

111

1+−

++

++− −

−∆

+−=++ (3.34)

atau

KCcBcAc ni

ni

ni =++ +

−++

−1

111

1 (3.35)

Dimana

)(2

1hsA +−= h

tB +

∆= 1

)(2

1hsC −=

ni

ni

ni Ccch

tAcK 11

1+− −

−∆

+−= (3.36)

i-1 i i+1

n n n

b. Membentuk pola iterasi bagi bentuk persamaan difusi konveksi yang

terdiskritisasi hingga terbentuk matrik tridiagonal

Persamaan (3.33) dapat dibuat pola perhitungan bagi 1,+njic sebagai berikut

Gambar 3.2 Pola 1+nic

Penerapan persamaan (3.34) pada i = 1, 2, … ,M-1 akan memberikan sistem

persamaan linear dengan bentuk tridiagonal sebagai berikut:

=

−+

+−

+

+

+

+

+

+

+

i

i

ni

ni

n

n

n

n

n

n

n

K

K

K

K

K

K

K

K

K

c

c

c

c

c

c

c

c

c

BA

CBA

CB

BA

CBA

CBA

CBA

CBA

CB

1

7

6

5

4

3

2

1

1

11

17

16

15

14

13

12

11

0000000

000000

0000000

0000000

000000

000000

000000

000000

0000000

ΜΜ

ΛΛΛ

ΜΜΜΟΜΜΜΜΜΜΛΛΛΛΛΛ

(3.37)

Ruas kanan matriks (3.37) dapat juga dibuat matriks terpisahnya sebagai berikut

dimana ht

F −∆

= 1:

−−

−

−−−

−−−−

−−−

−ni

ni

n

n

n

n

n

n

n

c

c

c

c

c

c

c

c

c

FA

CFA

CF

FA

CFA

CFA

CFA

CFA

CF

1

7

6

5

3

2

1

0000000

000000

0000000

0000000

000000

000000

000000

000000

0000000

Μ

ΛΛΛ

ΜΜΜΟΜΜΜΜΜΜΛΛΛΛΛΛ

(3.38)

Matriks seperti di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan metode

yang telah diberikan dalam Bab II untuk mendapatkan nilai ),...,1( Mici = .

Matriks tersebut merupakan matriks tri-diagonal karena koefesien dari matriks

tersebut banyak yang bernilai nol.

Jadi untuk penyelesaian persamaan difusi konveksi x

cv

x

cD

t

cfus ∂

∂−∂∂=

∂∂

2

2

dengan kondisi awal (3.3) dan kondisi batas (3.2) pada balok dilakukan dengan

membagi balok tersebut menjadi sejumlah pias. Panjang pias adalah MLx /=∆ ,

dengan M adalah jumlah pias sedangkan interval waktu hitungan adalah t∆ .

Dengan persamaan (3.31) dan kondisi batas ke dua ujung balok, memungkinkan

untuk menghitung 1+nic )1,...,1( −= Mi berdasarkan nilai n

ic ),...,1( Mi = yang

telah diketahui. Pada awal perhitungan, nilai awal dari konsentrasi 0ic diketahui

sebagai kondisi awal. Dari nilai awal tersebut dan kondisi batas, dapat dihitung

nilai c di sepanjang balok ),...,1( Mi = pada waktu berikutnya. Nilai yang telah

dihitung tersebut digunakan untuk menghitung ),...,1( Mici = untuk waktu

berikutnya lagi. Prosedur hitungan ini diulangi lagi sampai akhirnya di dapat nilai

),...,1( Mici = untuk semua waktu yang diinginkan.

Dengan nilai sec/10.46,1 25cmD −= dan 1410.6,1 −−= scmv panjang balok

5 cm dan dibagi menjadi 10 pias, sehingga panjang pias adalah

cmx 5.010/5 ==∆ . Kondisi awal dan kondisi batas untuk cmx 5.0=∆ diberikan

dalam bentuk angka seperti terlihat dalam table 3.2. Berdasarkan kondisi tersebut

kemudian dihitung nilai nic disepanjang balok (x = 2;4;6;…) dan pada setiap

waktu n = (1,2,3,…). Hitungan dilakukan untuk beberapa keadaan untuk

05.0=∆t . Sehingga nilai s dan h dapat diketahui sebagai berikut

4

2

4

2

10.6,1

)5,0(2

10.6,1

2

−

−

=

=

∆=

x

vs

dan

5

2

5

2

10.84,5

)5,0(

10.46,1

−

−

=

=

∆=

x

Dh fus

Dengan mengunakan nilai-nilai tersebut persamaan (3.34) menjadi

KCcBcAc ni

ni

ni =++ +

−++

−1

111

1 (3.39)

Dimana

5

54

10.92,10

)10.84,510.6,1(2

1

)(2

1

−

−−

−=

+−=

+−= hsA

0000584,20

10.84,505.0

1

1

5

=

+=

+∆

=

−

ht

B

5

54

10.08,5

)10.84,510.6,1(2

1

)(2

1

−

−−

=

−=

−= hsC

9999416,1910.84,505,0

11 5 =−=−∆

−ht

ni

bi

ni

ni

ni

ni

ccc

Cccht

AcK

15

15

11

10.08,13999946,1910.92,8

1

+−

−−

+−

−+=

−

−∆

+−=

Persamaan (3.39) digunakan untuk menghitung konsentrasi nic dari i = 1

sampai 9 dan dari n =1 sampai dengan waktu yang dikehendaki (dalam contoh ini

n = 10). Untuk n = 1 dan i bergerak dari i = 0 sampai 11, persamaan (3.39) dapat

ditulis dalam bentuk berikut ini. Dalam persamaan tersebut 1ic adalah konsentrasi

di titik i pada waktu ke 1, sedangkan 0ic adalah konsentrasi pada awal hitung

(kondisi awal).

Untuk n = 0

i=1:

=++ 12

11

10 CcBcAc 0

201

00

1Ccch

tAc −

−∆

+−

=1K )10.5,1(10.08,5)10.5,1.(9999416,19)0(10.92,10 2525 −−−− −+ 299998362,0= i= 2:

=++ 13

12

11 CcBcAc 0

302

01

1Ccch

tAc −

−∆

+−

=2K )10.5,1(10.08,5)10.5,1.(9999416,19)10.5,1(10.92,10 25225 −−−−− −+ 3.0=

i = 3:

=++ 14

13

12 CcBcAc 0

403

02

1Ccch

tAc −

−∆

+−

=3K )10.5,1(10.08,5)10.5,1.(9999416,19)10.5,1(10.92,10 25225 −−−−− −+

3.0= i = 4:

=++ 15

14

13 CcBcAc 0

504

03

1Ccch

tAc −

−∆

+−

=4K )10.5,1(10.08,5)10.5,1.(9999416,19)10.5,1(10.92,10 25225 −−−−− −+ 3.0= i = 5:

=++ 16

15

14 CcBcAc 0

605

04

1Ccch

tAc −

−∆

+−

=5K )10.5,1(10.08,5)10.5,1.(9999416,19)10.5,1(10.92,10 25225 −−−−− −+

3.0= i = 6:

=++ 17

16

15 CcBcAc 0

706

05

1Ccch

tAc −

−∆

+−

=6K )10.5,1(10.08,5)10.5,1.(9999416,19)10.5,1(10.92,10 25225 −−−−− −+

3.0= i = 7:

=++ 18

17

16 CcBcAc 0

807

06

1Ccch

tAc −

−∆

+−

=7K )10.5,1(10.08,5)10.5,1.(9999416,19)10.5,1(10.92,10 25225 −−−−− −+

3.0= i = 8:

=++ 19

18

17 CcBcAc 0

908

07

1Ccch

tAc −

−∆

+−

=8K )10.5,1(10.08,5)10.5,1.(9999416,19)10.5,1(10.92,10 25225 −−−−− −+

3.0=

i= 9:

=++ 110

19

18 CcBcAc 0

1009

08

1Ccch

tAc −

−∆

+−

=9K )0(10.08,5)10.5,1.(9999416,19)10.5,1(10.92,10 5225 −−−− −+

300000762.0=

Bentuk matrik tri-diagonalnya adalah sebagai berikut:

BxA

K

K

K

K

K

K

K

K

K

c

c

c

c

c

c

c

c

c

BA

CBA

CBA

CBA

CBA

CBA

CBA

CBA

CB

=

9

8

7

6

5

4

3

2

1

19

18

17

16

15

14

13

12

11

0000000

000000

000000

000000

000000

000000

000000

000000

0000000

(3.40)

Dengan Algoritma Thomas seperti yang telah dijabarkan pada bab II kita dapat

memperoleh nilai ic .

Selanjutnya hasil hitungan pada waktu n = 0 tersebut digunakan untuk

menghitung konsentrasi pada waktu n = 1 dan seterusnya sampai dengan n yang

diinginkan. Hitungan ini dapat dilakukan dengan menggunakan bantuan komputer

dalam kesempatan ini penulis menggunakan program MATLAB. Hasil program

adalah sebagai mana tertera pada Tabel 3.1:

MATRIK HAL.70

Di PDF hal. 70

TABEL HASIL SOLUSI NUMERIK HAL. 71-73

Di PDF hal. 71-73

01

2 34

5

00.1

0.20.3

0.40.5

0

0.01

0.02

x

solusi Numerik Persamaan Difusi Konveksi

t

01

2 34

5

00.1

0.20.3

0.40.5

0

0.005

0.01

0.015

solusi analitik metode pemisahan variabel

Gambar 3.3

Grafik Solusi Numerik dan Solusi Analitik

3.3 Analisis Galat

Penyelesaian secara numerik dari suatu persamaan matematika hanya

memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak (benar) dari penyelesaian

analitik. Berarti dalam penyelesaian numerik tersebut terdapat kesalahan (galat)

terhadap nilai eksak dan ketidakpastian dapat terjadi. Untuk menghitung nilai-

nilai konsentrasi sepanjang sumbu x yang berbentuk matriks besar berukuran 9x9

penulis menggunakan program Matlab. Hal ini dilakukan untuk menghindari

ketidaktelitian dalam menyelesaikan matriknya dalam memecahkan kecepatan

pada semua x dan t yang diinginkan. Hasilnya dapat dilihat pada Tabel 3.1. Hasil

hitungan kedua solusi tersebut menunjukkan bahwa perubahan konsentrasi terjadi

secara berangsur-angsur, dan hal ini sesuai dengan kondisi fisik.

Galat kesalahan dari penyelesaian secara analitik dan numerik dari

persamaan difusi konveksi terdiri dari galat absolut dan galat relatif seperti yang

telah dijelaskan pada BAB II. Galat absolut merupakan selisih antara nilai eksak

dan nilai perkiraan. Yang dimaksud nilai eksak disini adalah besarnya konsentrasi

yang dicari secara analitik dengan metode pemisahan variabel sedangkan nilai

perkiraan adalah besarnya konsentrasi yang dicari dengan metode numerik skema

Crank-Nicolson. Untuk pencarian galat dapat dicari dengan bantuan program

Matlab. Hasil dari pencarian galat secara keseluruhan ditabelkan yaitu pada Tabel

3.2 sebagai berikut:

TABEL GALAT HAL 76-78

Di PDF hal. 76-78

Dari Tabel (3.2) dapat dilihat galat pada setiap x dan t yang ada tidak terlalu besar

dalam bentuk 510− jadi ini membuktikan bahwa metode Crank-Nicholson ini

merupakan solusi numerik yang nilainya mendekati nilai eksaknya.

Galat dari iterasi 1 sampai 10 yang paling kecil adalah pada iterasi 1 pada

5,0=x , 05,0=t yaitu sebesar 0.04850749164148. Galat untuk 1=x sampai

8=x dari iterasi 1 sampai 10 saling berdekatan karena besarnya konsentrasi pada

titik tersebut baik secara analitik maupun numerik konsentrasinya berubah sedikit

demi sedikit. Perubahan konsentrasi pada setiap tiitik yang sangat kecil itu

menunjukkan laju difusi yang sangat pelan dikarenakan kecepatan transport

partikel atau konveksinya sangat lambat yaitu 1410.6,1 −− scm selain juga

dipengaruhi oleh besarnya koefisien difusinya.

3.4 Solusi Analitik dan Solusi Numerik dalam perspektif islam

Dalam penelitian kali ini, penulis mencari solusi numerik dan solusi

analitik dari persamaan difusi konveksi. Dengan kedua solusi tersebut penulis

mencari nilai konsentrasi zat kimia suatu produk baik bahan mentah maupun hasil

industri bahan kimia di lokasi (titik) x dan setiap waktu t pada suatu sistem yang

berupa balok. Hal tersebut merupakan salah satu bukti bahwa matematika

berfungsi sebagai bahasa ilmu dengan lingkup universal. Bahwasannya

matematika dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan dalam bidang kimia

fisik yaitu persamaan difusi konveksi dan ilmu matematika itu sendiri merupakan

suatu bentuk ilmu yang diturunkan oleh Allah SWT.

Masalah matematika khususnya persamaan diferensial parsial dapat

diselesaikan baik secara analitik maupun numerik merupakan bukti bahwa setiap

masalah ada beberapa penyelesaian yang dapat kita ambil sebagai jalan keluar

atau sebagai solusi pemecahan dari suatu masalah. Ketika suatu masalah itu sulit

untuk diselesaikan dengan satu cara maka hal tersebut pasti ada cara atau

penyelesaian yang lain. Sebagaimana dalam Firman-Nya pada Qur’an Surat Alam

Nasyroh, ayat 5-6:

Artinya: “ Karena sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan (5) Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan (6)”. (QS. Alam Nasyroh (94): 5-6)

Dari penjabaran ayat tersebut kita dapat mengetahui bahwa ada

kemudahan yang telah dikaruniakan Allah pada kita sebagai beberapa solusi

alternatif.

Dengan solusi numerik dan solusi analitik, penulis menjadikannya sebagai

cara untuk mengetahui konsentrasi disetiap titik untuk dikaji dalam penelitian ini.

Setelah terdapat beberapa peneliti sebelumnya, dimana mereka telah mendapatkan

solusi dari persamaan kimia fisik yang lain, tidak ada salahnya jika tetap berusaha

untuk menyelesaikan persamaan difusi konveksi yang merupakan salah satu

persamaan matematis pada bidang kimia fisik agar kita dapat mengembangkan

ilmu pengetahuan yang ada. Maka, penulis mengharapkan untuk bersikap pantang

menyerah dan percaya diri saat mengerjakan atau menyelesaikan suatu metode

sampai mendapatkan solusinya. Saat gagal atau tidak bisa menyelesaikan, kita

dituntut untuk mencari cara lain untuk menyelesaikaannya.

Harus percaya diri bahwa setiap usaha yang kita lakukan tidak akan sia-sia.

Mencoba dan terus mencoba, sampai pada akhirnya kita dapat menyelesaikannya.

Kegagalan dengan satu metode tidak boleh mengurangi semangat untuk mencari

metode yang lain sampai mendapatkan solusi. Saat keberhasilan untuk

mendapatkan suatu solusi tercapai maka rasa puas dan syukur akan tumbuh.

Sungguh dalam mencari solusi persamaan untuk mengetahui konsentrasi dalam

waktu dan jarak tertentu mengajarkan pentingnya sikap pantang menyerah, selalu

semangat dan percaya diri. Inilah sikap mutiara yang sangat berguna dalam

kehidupan.

Sikap pantang menyerah, pantang berputus asa dan percaya diri sangat

dianjurkan dan merupakan perintah dalam Al-Qur’an. Dalam hidup, jangan suka

berputus asa. Jangan apatis, tapi hiduplah dengan optimis. Putus asa itu adalah

sikap hidup orang kafir dan harus dihindari. Kita harus percaya diri dan yakin

bahwa Allah akan selalu menyertai. Sikap optimis bahwa rahmat Allah akan

selalu menyertai akan menghasilkan sikap sadar dan tawakkal. Kita perlu

merenungkan firman Allah dalam QS Yusuf ayat 87

Artinya: “Hai anak-anakku, pergilah kamu, maka carilah berita tentang Yusuf

dan saudaranya dan jangan kamu berputus asa dari rahmat Allah. Sesungguhnya tiada berputus asa dari rahmat Allah, melainkan kaum yang kafir" (QS Yusuf (12): 87)

Dalam QS Al-Hijr ayat 56 Artinya: Ibrahim berkata: "Tidak ada orang yang berputus asa dari rahmat

Tuhan-nya, kecuali orang-orang yang sesat" (QS Al-Hijr (15): 56) Sehingga dalam mencari solusi atau memecahkan suatu persamaan difusi

konveksi sampai mengetahui konsentrasi dalam kondisi tertentu akan terbentuk

pribadi yang berkualitas dan mengasah kemampuan berfikir untuk pantang

menyerah. Sikap tersebut diharapkan bisa membawa kita semua kepada fitrah

penciptaannya, yaitu mencapai ridho Allah SWT. Dalam penelitiannya penulis

berusaha untuk memenuhi tujuan tersebut, meskipun masih sangat sederhana.

BAB IV

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Dari uraian dan pembahasan di atas, dapat disimpulkan bahwa

1. Solusi analitik dengan pemisahan variabel, besarnya konsentrasi pada

persamaan difusi konveksi diperoleh dengan menggunakan langkah-langkah

sebagai berikut:

a. Membentuk persamaan difusi konveksi dengan metode pemisahan variabel

)()(),( tTxXtxc = .

b. Mengumpulkan fungsi yang tergantung pada x pada ruas kiri, fungsi

tergantung pada t pada ruas kanan, dan kedua ruas harus sama dengan

sebuah konstanta, sehingga didapat dua persamaan diferensial biasa.

c. Menentukan )(xX (fungsi eigen) dari persamaan diferensial biasa

0)()(')(" =−− xXxvXxXD fus λ .

d. Nilai eigen yang didapat disubstitusikan pada persamaan diferensial biasa

0)()(' =− tTtT λ

e. )(xX dan )(tT dari persamaan diferensial biasa diketahui disubstutisikan

ke ),( txcn .

f. Dengan menggunakan prinsip superposisi diperoleh

xD

vt

D

vL

nD

nn

nn

fusfus

fus

eL

xnBtxCtxC 24

2

11

22

sin),(),(+

−

∞

=

∞

=∑∑ ==

π

π.

g. Konstanta nB ditentukan dengan menggunakan syarat awal

)()0,( 0xfxc = dan eksistensi deret Fourier.

2. Solusi numerik dengan skema Crank-Nicholson, besarnya konsentrasi pada

persamaan difusi konveksi diperoleh dengan menggunakan langkah-langkah

sebagai berikut:

c. Solusi bagi persamaan difusi dikerjakan dengan mengubah persamaan

difusi konveksi ke dalam bentuk terdiskritisasi.

d. Kemudian dibentuk pola iterasi bagi bentuk persamaan difusi konveksi

yang terdiskritisasi

e. Pola dikerjakan pada system yang dipilih (dalam hal ini penulis memilih

aliran zat dalam balok yang letaknya mendatar).

f. Pergerakan pola dalam sistem yang telah dipilih akan membentuk matriks.

g. Selesaian matriks iterasi untuk mendapatkan nilai konsentrasi sepanjang

sumbu x (karena dalam hal ini penulis menerapkan pada kasus 1 dimensi

yang memuat sumbu x ).

3. Dari solusi secara analitik dan hasil iterasi secara numerik untuk persamaan

difusi konveksi sama-sama mendapatkan nilai atau besarnya konsentrasi dari

suatu zat pada system tetapi besarnya konsentrasi antara kedua solusi itu

terdapat selisih yang disebut dengan galat. Jadi solusi analitik sebagai

pengontrol galat untuk solusi numerik. Besarnya galat pada penyelesaian

difusi konveksi tidak terlalu besar yang berarti bahwa skema Crank-Nicholson

merupakan skema yang nilainya mendekati solusi eksaknya. Jika t semakin

lama galatnya semakin kecil karena perubahan konsentrasi yang semakin lama

semakin kecil.

4.2 Saran

1. Masalah persamaan difusi masih dapat dilanjutkan untuk kasus 2

dimensi atau 3 dimensi.

2. Sistem yang digunakan dapat berbentuk tabung atau yang berbentuk

lingkaran.

3. Syarat batas dapat diubah-ubah (dalam hal ini tidak harus bernilai nol).

DAFTAR PUSTAKA

Atkins.P.W. 1999. Kimia Fisika. Jilid II Edisi Keempat. Jakarta: Erlangga Brady, James E. 1994. Kimia Universitas Asas dan Struktur. Jilid I Edisi Kelima.

Alih bahasa oleh Dra. Sukmariah Maun, dkk. Jakarta: Binarupa Aksara Bumolo, Hussain dan Mursinto Djoko. 2003. Matematika untuk Ekonomi dan

Aplikasinya. Malang: Bayu Media Djojodihardjo, Harijono. 2000. Metode Numerik. Jakarta: PT. Gramedia Pustaka

Utama Dumairy. 1990. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi. Yogjakarta:

BPFE Frank Ayres. J. C. Ault dan Lily Ratna. 1995. Persamaan Differential dalam

Satuan SI Metric. Jakarta: Erlangga Isyraq.wordpress. 2007. Pandangan Islam Tentang Ilmu Pengetahuan,

http://isyraq.wordpress.com/pandangan-dunia-filosofis-sebuah-alternatif.html.

Kosasih, P. Buyung. 2006. Komputasi Numerik, Teori dan Aplikasi. Yogjakarta: Andi

Labbaik.wordpress. Kedudukan Akal dalam Islam,

http://labbaik.wordpresscom//kedudukan-akal-dalam-islam.html.

Lam C. Y. 1994. Applied Numerical Methods for Partial Differential Equation, Prentice-Hall. Inc, Singapore

Leithold Louis. 1991. Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik. Edisi Kelima. Jakarta:

Erlangga Mursita, Danang. 2005. Matematika Lanjut untuk Perguruan Tinggi. Bandung:

Rekayasa Sains Mushthafa, Ahmad A. 1988. Terjemah Tafsir al-Maraghi 13. Semarang: CV.

Toha Putra Perisaidakwah.2007. Tafsir Surah Alam Nasyroh,

http://perisaidakwah.com/content/view.html.

Raju, Rangga KG. 1993. Flow Through Open Channels. New Delhi: Mc Graw Hill

Soeharjo. 1996. Matematika IV. Diktat ITS

Spiegel, Murray R. 1994. Matematika Lanjutan untuk Para Insinyur dan Ilmuwan. Terjemahan oleh Drs. Koko Martono. Jakarta: Erlangga

Spiegel, Murray R. Tanpa tahun. Analisis Fourier. Terjemahan oleh Asjhar

Imron. Jakarta: Erlangga Suryoputro, Nugroho. 2001. Metode Numerik Terapan untuk Teknik Sipil. Diktat

UM Susila, I Nyoman. 1993. Dasar-dasar Metode Numerik. Bandung: F.MIPA ITB Triatmojo, Bambang. 2002. Metode Numerik Dilengkapi dengan Program

Komputer. Yogjakarta: Beta Offset Wikipedia. 2007. Kimia, http://ms.wikipedia.org/wiki/kimia.html.

Wikipedia. 2007. Kimia Fisika, http://ms.wikipedia.org/wiki/kimia fisika.html.

LAMPIRAN I

clc;clear;format long; disp('=================================================') disp('Program Pencarian Solusi Persamaan Difusi Konveksi') disp('Dengan Metode Beda Hingga Skema Crank-Nicholson') disp('By: Dewi Farida Roziana') disp('=================================================') disp('') disp('Persamaan difusi konveksi') disp(' dc/dt=Dd2c/dx2-vdc/dt'); disp('Kondisi Awal:'); disp(' c(x,0)=1.5*10^(-2), 0<=x<=5'); disp('Kondisi Batas:'); disp(' c(0,t)=c(5,t)=0'); disp('') D=input('Masukkan konstanta difusi,D='); v=input('Masukkan kecepatan difusi,v='); N=input('Masukkan banyaknya iterasi t,N='); dx=input('Masukkan jarak interval x,dx='); dt=input('Masukkan jarak interval t,dt='); l=v/(2*dx); m=D/dx^2; A=(l+m)/(-2); B=(1/dt)+m; C=(l-m)/2; U=zeros(11,11); %kondisi awal U(1,:)=1.5*10^(-2); %kondisi batas for n=1:N U(:,1)=0; U(:,end)=0; end % iterasi Crank-Nicholson %membuat matrix tridiagonal for i=1:11 T(i,i)=B; T2(i,i)=(1/dt)-m; if i<11 T(i,i+1)=C; T(i+1,i)=A; T2(i,i+1)=-C; T2(i+1,i)=-A; end end

for i=2:11 % penyusunan matriks konstanta D2 D2=T2*U(i-1,:)'; %solusi T*U=D2 untuk U U(i,:)=(pinv(T)*D2)'; end disp(''); disp('hasil komputasi:'); disp('Baris=t dan Kolom=x'); disp('=================================================') disp(U); ax=[0:dx:5]; at=[0:dt:0.5]; mesh(ax,at,U);xlabel('x');ylabel('t'); title('solusi Numerik Persamaan Difusi Konveksi') disp('=================================================')

DEPARTEMEN AGAMA

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MALANG Jl. Gajayana No. 50 Malang 65144. Telp (0341) 551354.

KARTU BIMBINGAN SKRIPSI

Nama : DEWI FARIDA ROZIANA NIM : 03510035 Fakultas/Jurusan : SAINS DAN TEKNOLOGI/ MATEMATIKA Judul : SOLUSI ANALITIK DAN SOLUSI NUMERIK

PERSAMAAN DIFUSI KONVEKSI

PEMBIMBING : I . Drs. H. Turmudi, M. Si II. Ach. Nashihuddin, M.A

No Tanggal Materi Tanda Tangan Pembimbing

1. 06 Maret 2007 Seminar Proposal Skripsi 1.

2. 19 Juli 2007 Penyerahan Bab I dan II 2.

3. 31 Juli 2007 Revisi Bab I dan II 3.

4. 06 Agustus 2007 Revisi Bab II 4.

5. 15 Agustus 2007 Revisi Bab II 5.

6. 27 Agustus 2007 Revisi Bab I 6.

7. 03 September 2007 Revisi Bab II 7.

8. 19 September 2007 Penyerahan Kajian Keagamaan Bab I dan II 8.

9. 09 Oktober 2007 Revisi Kajian Keagamaan Bab I dan II 9.

10. 25 Oktober 2007 ACC Kajian Keagamaan Bab I dan II 10.

11. 21 Nopember 2007 Revisi Bab I dan II, Penyerahan Bab III 11.

12. 20 Desember 2007 Penyerahan Keagamaan BAB III 12.

13. 15 Januari 2008 ACC Keagamaan Bab III 13.

14. 06 Maret 2008 Revisi Bab I, II dan III 14.

15. 19 Maret 2008 Revisi Bab I, II dan III 15.

16. 27 Maret 2008 ACC Bab I, II dan III 16.

Mengetahui, Ketua Jurusan Matematika Sri Harini, M.Si NIP. 150 318 321

SURAT PERNYATAAN Yang bertanda tangan dibawah ini:

Nama : Dewi Farida Roziana NIM : 03510035 Fakultas : Sains dan Teknologi Jurusan : Matematika Judul Skripsi : Solusi Analitik dan Solusi Numerik Persamaan Difusi Konveksi

Menyatakan bahwa Skripsi tersebut adalah karya saya sendiri dan bukan karya orang lain baik sebagian maupun keseluruhan, kecuali dalam bentuk kutipan yang telah disebut sumbernya.

Selanjutnya apabila dikemudian hari ada ”klaim” dari pihak lain, bukan menjadi tanggung jawab Dosen Pembimbing dan atau pengelola Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri (UIN) Malang, tetapi menjadi tanggung jawab saya sendiri.

Demikian surat pernyataan ini saya buat dengan sebenar-benarnya dan apabila pernyataan ini tidak benar, saya bersedia mendapat sanksi akademis. Malang, 16 April 2008 Yang menyatakan, Dewi Farida Roziana