01 operaciones con números reales - unrc

Operaciones con Números Reales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2008 ( 9 )

LOS NÚMEROS REALES ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

La noción de número es muy antigua, los pueblos primitivos usaban piedras para contar sus rebaños...

En la actualidad de qué nos valemos para contar? ...

Los números que usamos para contar son los llamados NÚMEROS NATURALES, y designaremos al

conjunto de estos números como N.

Consideraremos al cero número natural y distinguiremos con N-{0} al conjunto que no contiene el

cero.

En este conjunto N, podemos sumar y multiplicar sin salirnos de él, (en este caso se dice que la suma

y la multiplicación son cerradas), la resta no siempre es posible ya que si queremos resolver a-b

donde b es mayor que a, necesitamos otros números... De aquí surgen los NÚMEROS NEGATIVOS,

que junto a los naturales forman el conjunto de los NÚMEROS ENTEROS, que designaremos Z.. En

este conjunto, la suma, la resta y la multiplicación son cerradas.

Le proponemos a continuación que piensen si siempre es posible efectuar la división en Z.

Los ayudamos con este ejemplo:

4:3 = ?

Debemos pensar en un número entero tal que al multiplicarlo por 3 de por resultado 4. ¿Qué número

entero cumple con esta condición?

Para poder resolver esta situación vamos a introducir otro conjunto numérico: los NÚMEROS

RACIONALES. Los designaremos por la letra Q.

Un número racional es el cociente de dos números enteros m y n siendo n ≠ 0 (recordamos que la

división por cero no está definida). En este conjunto, la suma, la resta, la multiplicación y la

división son cerradas.

Veamos algunos ejemplos:

57

es racional porque 7 y 5 son enteros

0 es racional porque se puede expresar como 10

y ambos son enteros

0,5555....... es la expresión decimal del número racional 95

Todo número racional puede representarse como una expresión decimal periódica o limitada.

Por ejemplo:

( 10 ) Operaciones con Números Reales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2008

3337

= 1,121212........= 1,12 periódica pura

9032

= 0,355555........= 53,0 periódica mixta

209

= 0,45 decimal limitada

A continuación estableceremos cuando dos números racionales son iguales:

Sean nm

y qp

dos números racionales, qp

nm

= si y solo si m.q = n.p

¿Pueden representar todos los números que conocen mediante una expresión decimal limitada o

periódica ? Pidan a su calculadora el número π.

El resultado que obtuvieron es sólo una aproximación. Hasta el año 1983 dos japoneses habían

calculado 16.777.216 cifras decimales del número π.

Todo número cuya expresión decimal no es limitada o periódica constituye un NUMERO

IRRACIONAL.

Otros ejemplos de números irracionales son:

5433 2;2;3;2

...718281,2e;5;3;2 =

Al conjunto de los números irracionales los designaremos con la letra I. La unión de los

conjuntos I y Q constituye el conjunto de los reales ℜ .

Entonces, la relación de dependencia de estos conjuntos es:

ℜ=∪⊂⊂ IQ;QZN

Estas relaciones nos muestran la importancia de conocer las operaciones y sus propiedades en ℜ pues

con ello conocemos las operaciones y propiedades en N , Z y Q.

Es conveniente que ahora recordemos las propiedades que gozan algunas operaciones. La aplicación

correcta de las mismas ayuda a un manejo fluido de las operaciones con números reales. Además

trataremos de introducirnos en el “lenguaje simbólico” de la matemática.


OPERACIONES CON NÚMEROS REALES ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

La suma cumple con las siguientes propiedades:

• Ley de cierre:

Para cada par de números reales a y b existe un único número real llamado suma denotado por a+b.

∀ ∧ ∀ ∈ ℜ ∃ ∈ ℜ a b , c / a + b = c!

• Asociativa:

En una adición de tres sumandos es igual sumar los dos primeros y a esto el tercero, que sumar al

primero la suma del segundo y del tercero.

∀ ∈ ℜ a, b, c , (a + b) + c = a + (b + c)

• Conmutativa:

El orden de los sumandos no altera la suma.

∀ ∈ ℜ a, b , a + b = b + a

• Existencia del elemento neutro:

Existe un número real llamado cero tal que sumado a cualquier número “a” da como resultado el

mismo número “a”

∀ ∈ ℜ ∃ ∈ ℜ a , 0 / a + 0 = 0 + a = a

• Existencia del inverso:

Para cualquier número real “a” existe un número real “-a” llamado inverso aditivo u opuesto, tal

que sumado con “a” da como resultado el elemento neutro.

∀ ∈ℜ ∃ ∈ℜa , - a / a + (-a) = (-a) + a = 0

• Distributiva de la multiplicación con respecto a la suma:

∀ ∈ ℜ a, b, c , ( a + b). c = a.c + b.c

(Realizar las actividades 1 a 5)


POTENCIACIÓN DE NÚMEROS REALES ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Por definición:

• an =

vecesn

a...aa ⋅⋅⋅ si n ≥ ∧ ∈1 n N

• a0 = 1 si a ≠ 0

• a-n = (a-1)n =

n

a1⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∀ ∈n N , a ≠ 0

Propiedades de la Potenciación:

• Distributiva respecto del producto: (a b)n = an bn

• Distributiva respecto del cociente: n

nn

b

aba

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

• Producto de potencias de igual base: am an = am+n

• Cociente de potencias de igual base: nmn

m

aaa −=

• Potencia de potencias: (am)n = am n

• La potenciación no es distributiva respecto de la suma:

(a+b)n ≠ an + bn

Verifiquemos esta afirmación con un contraejemplo:

( )( )

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=+

+=+

=+

=+

3435

92535

6435

835

22

22

2

22

( ) 222 3535 +≠+


RADICACIÓN DE NÚMEROS REALES ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Recordemos ahora la definición de radicación y sus propiedades:

Dado un número natural "n" mayor que cero, y "a" un número real, se llama raíz n-ésima

de "a" al número b, tal que la potencia n-ésima de "b" es igual a "a".

{ }a b b a , n N 0n n= ⇔ = ∈ −

n = índice a = radicando b = raíz

Ejemplo:

83 = 2 ⇔ 23 = 8

− ⇔1 643 / = -1/ 4 (-1/ 4) 3 = -(1/64)

La radicación es siempre posible en ℜ ?

Para dar respuesta a esta pregunta analicemos el siguiente ejemplo:

Para calcular −9 debemos pensar que número elevado al cuadrado es -9.

¿Existe algún número real que verifique esta condición ?.........Ninguno, ya que el cuadrado de

cualquier número real distinto de cero es siempre positivo.

En general decimos que toda raíz de radicando negativo e índice par no tiene solución en el conjunto

de los reales.

En consecuencia : la radicación no es cerrada en ℜ.

¿Cuando es posible su cálculo en ℜ? ¿Cuántas respuestas encontramos?

Volvemos a plantear algunos ejemplos para dar respuesta a este interrogante:

643 = 4 ⇔ 43 = 64

− ⇔83 = -2 (-2)3 = -8

Cuando calculamos 164 encontramos dos respuestas: 2 y -2 ya que

24= 16 y (-2)4 = 16

Entonces podemos resumir diciendo:

1) Si el índice es impar, la raíz real es única y del mismo signo que el radicando.

2) Si el índice es par y el radicando positivo, existen dos raíces reales y opuestas.


Recordaremos las propiedades fundamentales de la radicación:

Propiedades de la Radicación (Suponiendo que a y bn n existan)

• Distributiva respecto del producto: a.bn = a bn n.

• Distributiva respecto del cociente: a:b = a : bn n n

• Raíz de raíz: a amn nm=

La radicación NO es distributiva respecto de las operaciones de adición o sustracción.

• a + b a + bn n n≠ ; • a - b a - bn n n≠

Sean a ∈ ℜ ; n, m y p ∈ N-{0} , consideremos a mn y a mpnp . ¿Es posible efectuar la

simplificación de radicales ?

Analicemos los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1: 4 64 236 6 = = ±

4 4 4 236 3 13

6 13 2= = = ±

..

Vemos que en ambos casos los resultados coinciden.

Ejemplo 2 : ( )− = − = −2 32 255 5

( ) ( )− = − = −2 2 255 515

515

.

Vemos que los resultados coinciden.

Ejemplo 3 : ( )− = = ±8 64 226 6

( ) ( ) ( )− = − = − = −8 8 8 226 26 312

12 ..

Aquí los resultados no coinciden. ENTONCES : NO SIEMPRE ES POSIBLE SIMPLIFICAR UN RADICAL DE

RADICANDO NEGATIVO.

Veamos que sucede cuando el índice y el exponente del radicando coinciden.


a) "n" es impar : 9 729 933 3= =

( )− = − = −2 32 255 5

ENTONCES: La raíz es igual a la base de la potencia del radicando.

b) "n" es par : ( )+ = = ±2 64 266 6

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= = ±15

125

15

2

RESUMIMOS DICIENDO:

Si "n" es impar: a ann =

Si "n" es par: a ann =

Creemos conveniente recordar que la notación a , se lee VALOR ABSOLUTO de a ó MODULO de a y

se define:

aa si aa si a

=≥

− <⎧⎨⎩

00

Por ejemplo:

− =5 5

− =12

12

(Realizar las actividades 6 a 11)


POTENCIACIÓN DE EXPONENTE RACIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

En este párrafo recordaremos la potenciación de exponente racional

Sea n ∈ Z, d ∈ N-{0}, a ∈ ℜ+ y nd

fracción irreductible. Entonces:

a and nd= si y solo si and existe.

Sea ahora a ∈ ℜ< 0 .¿Qué condición debe verificar "d" para que a d1

exista en ℜ ?

Nos ayudaremos con algunos ejemplos para contestar a este interrogante:

( )− = − = −8 8 213 3

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= −

132

132

12

15

5

( )− = −4 412 no tiene solución en ℜ

( )− = −64 6416 6 no tiene solución en ℜ

Entonces:

si a ∈ R-, a d1

existe si y solo si "d" es impar.

Resumiendo:

Sea n ∈ Z, d ∈ N - {0} y nd

fracción irreducible

si a > 0, a and nd=

si a < 0, a and nd= si d es impar

si a = 0, and = 0

(Realizar las actividades 12 a 15 )


RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Habrá encontrado en varias oportunidades con expresiones como la siguiente ab

, donde b es un

irracional de la forma qn , q∈ Q . A los efectos de determinados cálculos , es conveniente expresar a

dicho cociente como otro equivalente cd

, donde d es un número racional.

El procedimiento que se emplea en esta transformación se conoce con el nombre de "racionalización

de denominadores".

A continuación recordaremos, mediante ejemplos, el procedimiento de tales transformaciones.

Ejemplo:

a) 13

1 33 3

33

= =..

b) 82

8 22 2

8 22

4 235

25

35 25

25

55

25= = =.

.. .

c) ( )

( )( )( ) ( )3

2 53 2 5

2 5 2 5

3 2 51

3 2 5+

=−

+ −=

−−

= − −

d) ( )

( )( )( )a

b - c

a b + c

b - c b + c

a b + c

b c2= =−


RELACIONES DE IGUALDAD ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Recordemos que además en el conjunto de los reales se define la relación de igualdad y que se

verifican las siguientes propiedades.

Cualesquiera sean los números reales a, b y c, la igualdad de números reales es:

1) REFLEXIVA: ∀ a ∈ ℜ: a = a ( Todo número real “a” es igual a sí mismo)

2) SIMÉTRICA: ∀ a, b ∈ ℜ: si a = b entonces b = a (Para todo par de números reales “a” y “b” si

“a” es igual a “b”, entonces “b” es igual a “a”)

3) TRANSITIVA: ∀ a, b, c ∈ ℜ: si a = b y b = c entonces a = c (Si un número real “a” es igual a

un número real “b” y “b” es igual al número real “c”, entonces a = c).

4) UNIFORME:

Para la adición: ∀ ∈ ℜ a, b, c , si a = b entonces a+c=b+c (Si ambos miembros de una

igualdad se le suma un mismo número se obtiene otra igualdad).

Para la Multiplicación: ∀ ∈ ℜ a, b, c , si a = b entonces a . c = b . c (Si multiplicamos ambos

miembros de una igualdad por un mismo número se obtiene otra igualdad).

Sobre la base de estas propiedades se demuestran las leyes cancelativas de la adición y la

multiplicación.

# Para la adición ∀ a, b, c ∈ ℜ : a + c = b + c entonces a = b.

# Para la multiplicación ∀ a, b, c ∈ ℜ y b ≠ 0 si a.b = c.b entonces a = c.

Y también la ley de anulación del producto: a.b = 0, si a=0 ó b=0 ó a=b=0

Pasaremos ahora a considerar la diferencia entre números reales.

∀ a y b ∈ ℜ ; a - b = a + (-b), a es el minuendo y b es el sustraendo.

Por ejemplo: 5 14

5 14

− = + −( )

Insistiremos un poco más en la aplicación de las leyes cancelativas y la anulación del producto.

Si por ejemplo consideramos la ecuación:

5x + 4 + 2x = 2 + 4 + 5x

¿Puede simplificar los sumandos 4? ¿Y los 5x que también se repiten en ambos miembros? ¿Es

correcta ésta última cancelación?

Sí, es posible cancelar porque en la suma se verifica la ley cancelativa sin ninguna restricción.

Otro ejemplo: Sea la igualdad 2x + 5 = 3x + 5 , efectuamos la cancelación 2x = 3x , entonces:

2x-3x = 0 ¿Qué propiedad se aplicó?

De aquí obtenemos que x = 0


Pero si en 2x = 3x se hubiera aplicado la ley cancelativa sin tener en cuenta que x = 0 , se obtendría

2 = 3, que no es una identidad.

¿Dónde está el error? No se ha tenido en cuenta la restricción a ésta ley:

"NO SE PUEDEN CANCELAR LOS FACTORES QUE SON IGUALES A CERO"

Entonces cuando se emplee ésta ley, es decir la propiedad cancelativa de la multiplicación con

un factor literal, se debe aclarar que la simplificación no es válida para todo valor que anule

dicho factor.

Si no se tiene en cuenta lo expresado se corre el riesgo de "perder soluciones" como se comprobó en

el ejemplo.

En cuanto a la ley de anulación del producto, ¿Cómo se empleará?

a . b = 0 ⇒ a = 0 ∨ b = 0 , esto quiere decir que se pueden dar alguna de éstas tres situaciones:

a = 0 ∧ b ≠ 0

a ≠ 0 ∧ b = 0 (∨ se lee "ó"; ∧ se lee "y")

a = 0 ∧ b = 0

Esta propiedad facilita la resolución de ecuaciones del tipo:

( x + 2 ) . ( x - 15

) = 0

Como el producto es cero uno de los factores es cero, de ahí podemos obtener que una raíz es igual a

-2 y la otra es 15

.

Verifiquen, luego, si éstos valores satisfacen la igualdad.


EXPRESIONES ALGEBRAICAS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Una expresión algebraica es aquella donde figuran números y letras relacionadas entre si

por operaciones matemáticas.

Ejemplo:

v t ; a it

100 ; 3 ax2 - b2 ;

47

2 2x aax−

Cada sumando de una expresión algebraica se denomina término.

Cada término de una expresión algebraica consta de tres partes: signo, parte numérica ó coeficiente

y parte literal .

Por ejemplo: -7 ab3 consta de un signo negativo (-), la parte numérica es 7 y la parte literal ab3

• Valor numérico de una expresión algebraica:

Es el valor que se obtiene sustituyendo cada letra de la parte literal por un valor numérico, efectuando

luego las operaciones para llegar al valor numérico de la expresión.

Esto permite considerar igualdad o equivalencia entre expresiones algebraicas.

Dos expresiones algebraicas son EQUIVALENTES si toman el mismo valor numérico para todos los

valores en que estén definidas.

3 ab2 - 6b2 + 12 c b2

y a - 2 + 4c

3 b2

Estas dos expresiones algebraicas son equivalentes. Para demostrar la igualdad de estas dos

expresiones se debe operar una de ellas hasta llegar a la otra.


POLINOMIOS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Seguramente en algún momento de su ciclo secundario ha pasado por el laboratorio de su escuela

para llevar a cabo algunas experiencias. Por ejemplo:

- Estudiar el alargamiento de un resorte al suspender un peso del mismo.

- Estudiar la temperatura de una masa de agua en función del tiempo en que es sometida al calor.

Una vez volcados los resultados en tablas y efectuando la representación gráfica habrá obtenido

puntos relativamente alineados con el origen. Por lo tanto en cualquiera de estos casos podemos

llegar a una ley aproximada para el intervalo considerado, que tendrá la forma:

a) y = mx + b

Otros de los estudios que habrá efectuado es el del movimiento rectilíneo uniforme y la traducción de

la relación posición tiempo (t) es:

b) st = v.t + so

o del movimiento uniforme variado donde la relación entre la posición tomada por el móvil y el

tiempo está traducida en la siguiente expresión:

c) st = vo t + ½ a t2

o también

d) st = so+ vo t + ½ a t2 cuando so ≠ 0

De todo lo dicho observamos que los segundos miembros de las igualdades a) y b) responden a la

forma:

a x a1 0+

y los de las igualdades c) y d) a la forma:

a a x a x0 1 22+ +

Surge entonces la necesidad de estudiar las expresiones de la forma:

P x a a x a x a x a x a xnn( ) ............= + + + + + +0 1 2

23

34

4

que llamaremos polinomios, donde los a a a a n0 1 2, , ,............ son elementos de por ejemplo el

conjunto de los números reales, llamados coeficientes, x es una indeterminada, y los exponentes de la

indeterminada x son todos enteros no negativos.

Al conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales lo simbolizamos ℜ(x).


Si an ≠0 diremos que el grado de P(x) es n ( gr P(x) = n).

Se llama polinomio nulo al polinomio:

0 0 0 0 02 3+ + + + +x x x xn............

Por definición el polinomio nulo no tiene grado

Según que el número de términos con coeficientes nulos sea 1, 2, 3, .....el polinomio se llama

monomio, binomio, trinomio, etc.


• Operaciones con monomios.

1- SUMA (RESTA)

Para sumar (restar) dos monomios éstos deben ser semejantes (igual parte literal).

"La suma (resta) de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es la suma (resta) de los

coeficientes y tiene la misma parte literal que los monomios dados"

Ejemplo:

-2 ab3 + 5 ab3 = ( -2 + 5 ) ab3 = 3 ab3

-2 ab3 - 5 ab3 = ( -2 - 5 ) ab3 = -7 ab3

2- PRODUCTO

"El producto de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes y

cuya parte literal es el producto de las partes literales".

(Se aplica producto de potencias de igual).

Ejemplo:

( -2 ab3c3).5 ac2 = ( -2 .5 )ab3c3ac2 = - 10 a2 b3c5

3- COCIENTE

"El cociente de dos monomios es una expresión algebraica que se obtiene aplicando las propiedades

de la división de números, en sus coeficientes, y del cociente de potencias de igual base, en sus partes

literales ".

Ejemplo: ( -8a2b4c) : ( 23

ab2 ) = -12ab2c


• Operaciones con polinomios.

1- SUMA

“Por la propiedad asociativa, se suman los monomios semejantes”

La suma de polinomios verifica la ley de cierre, es asociativa, conmutativa, posee elemento neutro( el

polinomio nulo, 0(x)), e inverso aditivo u opuesto.

2- PRODUCTO

“Por la propiedad distributiva y asociativa, se multiplican todos los monomios y

se asocian los semejantes”.

Es decir que esta operación se define de tal modo que satisfaga la propiedad de la multiplicación de

potencias de igual base para la indeterminada x, la conmutatividad de x con los números reales y la

propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición.

La multiplicación de polinomios es también una operación cerrada en ℜ(x) que asocia, conmuta y

tiene elemento neutro (E(x) =1). Sin embargo no posee inverso multiplicativo.

Como puede verse existe una estrecha analogía entre el conjunto ℜ(x) con la adición y

multiplicación y el conjunto Z con dichas operaciones.

3- DIVISIÓN DE POLINOMIOS.

Dados dos polinomios A(x) y B(x), con B(x) distinto del polinomio nulo, es posible determinar Q(x) y

R(x) tal que: A(x) = B(x) Q(x) + R(x), siendo gr R(x) < gr B(x) o bien R(x) es el polinomio nulo. El

polinomio Q se llama polinomio cociente y R(x) polinomio resto.

Recordemos a continuación el algoritmo de la división.

1) Se ordena el grado del polinomio según las potencias decrecientes.

2) Se dividen los monomios de mayor grado.

3) Se resta del dividendo el mayor multiplo del divisor contenido en él.

4) Se repiten las operaciones 2) y 3) hasta que el divisor sea de mayor grado que

el dividendo.

Ejemplo 2x3 - 3x - 5 3x2 + x

- 2x3 - 23

x2 23

x - 29

_______________

- 23

x2 - 3x - 5


23

x2 +29

x

−259

x - 5

Con frecuencia se nos presentan divisiones donde los divisores son monomios del tipo x + a , tal

vez recuerden que en éstos casos es práctico aplicar la regla deRufini.

Sean las siguientes expresiones:

(2x3 - 4x2 + 5) : ( x + 2)

Entonces:

a) 2 -4 0 5

b) -2 -4 16 -32

c) 2 -8 16 -27

El cociente es 2 x2 - 8 x + 16 y el resto -27.

Los pasos que se siguen son:

a) En la primera fila se escriben los valores numéricos de cada coeficiente (previamente

ordenado y completo)

b) En el ángulo izquierdo se escribe el opuesto del término de grado cero de la expresión del

divisor.

c) En la tercera fila se obtienen los coeficientes del cociente donde: el primero de ellos es el

primero del dividendo y los restantes se obtienen multiplicando el anterior por el número que se

escribe en el ángulo izquierdo y sumado a este producto (que se escribe en la segunda fila ) el

correspondiente de la primera.

d) El último número que se obtiene en la tercera fila es el resto de la división.

(Realizar actividades 16 y 17)


• Divisibilidad en ℜ(x).

Recordemos que en el conjunto Z, se dice que “a divide a b si y sólo si existe un k tal que k.a = b.

Por lo tanto el resto de la división entre b y a es cero.

También decimos que b es divisible por a.

Haciendo la correspondiente analogía con el conjunto ℜ(x) diremos que:

“A(x) divide a B(x) si y sólo si existe un polinomio K(x) ∈ ℜ(x) tal que K(x).A(x) = B(x)”. En otras

palabras si cuando efectuamos la división entre A(x) y B(x) el resto es nulo.

Hemos dicho que con frecuencia aparecen divisores del tipo x+a y que en estos casos se puede aplicar

la regla de Ruffini para hallar el cociente y el resto y por lo tanto investigar si un polinomio es divisible

por otro. Aquí veremos otros caminos para investigar la divisibilidad por x+a.

Para ello definiremos valor numérico de un polinomio : dado un polinomio P(x)∈ ℜ(x) llamamos

valor numérico del mismo para x igual a a ∈ℜ, al número que se obtiene reemplazando a x por a y

efectuando los cálculos.

Ahora podemos enunciar el Teorema del Resto: el resto de la división de un polinomio P(x) por otro

de la forma x+a es igual a P(-a).


• Factoreo de Polinomios.

Así como para descomponer a un número natural en factores primos utilizamos criterios de

divisibilidad, para descomponer a un polinomio en polinomios primos o irreductibles, también

utilizamos algunos criterios que mostraremos a continuación.

Antes de enunciarlos recordemos que en ℜ(x) un polinomio A(x ) tal que el grado de A(x) ≥ 1 es

primo o irreductible si no existen dos polinomios P(x) y Q(x) de grado ≥ 1 tales que: A(x) =

P(x).Q(x). Como consecuencia se puede decir que todo polinomio de grado uno es primo.

• Factor común

Recordaremos, mediante ejemplos, las posibilidades de sacar factor común en una expresión

algebraica:

Ejemplo 1:

2 x2 + 18 = 2( x2 + 9 )

Ejemplo 2:

x3 + x2 = x2 ( x + 1 )

Ejemplo 3:

215

x 83

x 169

x 23

x 15

x 4x 83

3 2 2− + = − +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Puede ocurrir que existan factores comunes en algunos términos de la expresión, entonces podemos

proceder como en el ejemplo:

3x3 - 6x2 + 5x - 10 = 3x2( x - 2) + 5(x - 2) = (como el binomio (x-2) es factor común,

concluimos así) = (x - 2)(3x2+5)

• Trinomio cuadrado perfecto

Sean a y b dos monomios cualesquiera:

( a + b ). ( a + b ) = ( a + b )2 = a2 + 2 a.b + b2

( a - b ). ( a - b ) = ( a - b )2 = a2 - 2 a.b + b2

El cuadrado de una suma (diferencia) es:

"Suma del cuadrado del primer monomio más (menos) el doble producto del primero por el

segundo más el cuadrado del segundo monomio"

Ejemplo:

(-3ab2+2c)2 = (-3ab2)2 + 2(-3ab2)(2 c) + (2 c)2 = 9a2b4 - 12ab2c + 4c2


• Diferencia de cuadrados

( a + b ). (a - b ) = a2 - b2

"El resultado es la diferencia del cuadrado del primer monomio con el cuadrado de segundo"

Ejemplo:

( - 3ab2+2c )( - 3ab2 - 2c ) = ( -3ab2)2-( 2c )2 = 9a2b4 - 4c2

• Cuatrinomio cubo perfecto

Recordemos que:

( x + a)3 = x3 + 3ax2 + 3a2x + a3

( x - a)3 = x3 - 3ax2 + 3a2x - a3

"El resultado es el cubo del primero más (menos) el triple del primero al cuadrado por el segundo más

el triple del segundo al cuadrado por el primero más (menos) el cubo del segundo"

• Binomios de la forma x an n±

Para descomponer polinomios de este tipo en factores primos necesitaremos del concepto de cero o

raíz de un polinomio:

“a es raíz de P(x) si y sólo si P(x) es divisible por x-a”.

Vamos ahora a descomponer el polinomio P(x) = x3 - 8:

2 es una raíz de x3 - 8, por lo tanto P(x) es divisible por x - 2

Si realizamos la división por Ruffini:

(x3 - 8) : (x - 2) = x2 + 2x + 4

1 0 0 -8

2 2 4 8

1 2 4 0

Entonces el polinomio original puede ser factorizado de la siguiente forma:

x3 - 8 = (x2 + 2x + 4) . (x - 2)

(Realizar actividades 18 a 21)


EXPRESIONES ALGEBRAICAS POLINÓMICAS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Al estudiar el conjunto Z , hemos visto que para todo número distinto de 1 y -1, ningún otro elemento

admitía inverso multiplicativo y fue necesario ampliar el conjunto Z al conjunto Q. En el conjunto

ℜ(x) estamos ante una situación semejante y por lo tanto construiremos el conjunto de las

expresiones racionales polinómicas.

Definición: Si A(x) y B(x) ∈ ℜ(x) y B(x) ≠ 0(x), entonces:

A xB x

( )( ) se llama expresión racional polinómica.

Dichas expresiones aparecen por ejemplo al relacionar:

a) Presión y volumen: p kv= con k una constante.

b) Intensidad de iluminación y distancia: I kd= 2

c) velocidad y tiempo: vet

=

• Operaciones con expresiones racionales polinómicas.

1- SIMPLIFICACIÓN

Para simplificar la siguiente expresión buscaremos el divisor común máximo (o máximo común

divisor) de las dos expresiones polinómicas.

Para calcular el d.c.m. entre dos expresiones, se puede proceder así:

Primero las dividimos entre ellas

x x xx x x

3 2

3 26 12 85 8 4

+ + ++ + +

x3 + 6 x2 + 12 x + 8 |x3 + 5 x2 + 8 x + 4

+ 1

- x3 - 5 x2 - 8 x - 4

x2 + 4 x + 4


Después dividimos el divisor con el resto de la división anterior hasta llegar a un resto igual a cero

x3 + 5 x2 + 8 x + 4 |x2 + 4 x + 4 → Este será el d.c.m.

- x3 - 4 x2 - 4 x x + 1 x2 + 4 x + 4

- x2 - 4 x - 4

0

Entonces el d.c.m. de x3 + 6 x2 + 12 x + 8 y x3 + 5 x2 + 8 x + 4 es x2 + 4 x + 4

Luego, como

( x3 + 6 x2 + 12 x + 8 ) : ( x2 + 4 x + 4 ) = x + 2

( x3 + 5 x2 + 8 x + 4 ) : ( x2 + 4 x + 4 ) = x + 1

Tendremos que:

x3 + 6 x2 + 12 x + 8 - ( x2 + 4 x + 4 ). ( x + 2 ) - x + 2

x3 + 5 x2 + 8 x + 4 ( x2 + 4 x + 4 ). ( x + 1 ) x + 1

La fracción obtenida es equivalente a la dada para todo valor de x que no anule el factor cancelado

porque ello equivaldría a dividir por cero .

En este caso para todo x ≠ -2 ya que x2 + 4 x + 4 se anula para dicho valor.

Este procedimiento permite resolver el problema de la simplificación, pero en la práctica

cuando aparecen polinomios más sencillos aplicaremos los casos de factoreo.

Por ejemplo:

( )( )

( )( )( )( )

( )( ) ( )2x 8x

x 4x 4

2x x 4

x 2

2x x 2 x 2x 2 x 2

2x x 2x 2

x / x 23

2

2

2

−− +

=−

−=

+ −− −

=+−

∀ ≠

2- ADICIÓN

Si AB

y CD

son expresiones racionales, se define la suma como:

AB

CD

A D B CB D

+ =+. ..


Así por ejemplo:

( )( ) ( )

( )( )x 1

2x 13x

x 2x 1 x 2 3x 2x 1

2x 1 x 27x 6x 22x 5x 2

2

2

++

++

=+ + + +

+ +=

+ ++ +

Conviene en algunos casos calcular el Mínimo Común Múltiplo de B y D.

3- MÚLTIPLO COMÚN MÍNIMO o MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

El Mínimo Común Múltiplo (m.c.m) de dos números ó de dos expresiones algebraicas A y B se denota

m.c.m.(A,B) y es igual a:

m.c.m.( A, B ) = A B

d c m A B.

. . .( , )

Por ejemplo vamos a hallar el m.c.m.( A , B ), siendo:

A = x2 + 6x + 9 ; B = x2 - 9

Buscamos el d.c.m. (A,B)

x2+ 6x + 9 | x2 - 9

+ 1

-x2 + 9

6x + 18

Ahora dividimos el divisor por el resto x 2 + 0x - 9 |6x + 18

- x2 - 3x 16

12

x −

- 3x - 9

3x + 9

0

d.c.m. (A,B) = 6x + 18 ó 6(x + 3) entonces el m.c.m (A,B) será:

m.c.m.(A,B) = ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )x 6x 9 x 9

6x 18x 3 x 3 x 3

6 x 316

x 3 x 32 2 2

2+ + −

+=

+ − ++

= + −

prescindiendo del factor numérico, que siempre es posible sacar, nos queda:

m.c.m. (A,B) = (x +3)2 . (x - 3)


Nota: En virtud de la propiedad asociativa, para hallar el m.c.m.(A,B,C) hallamos m.c.m.(A,B) = M1 y

luego m.c.m.(M1,C) = M, o bien m.c.m.(B,C) = M2 y m.c.m.(M2,A) = M.

4- MULTIPLICACIÓN

En el conjunto de las expresiones racionales polinómicas se define como producto entre AB

y CD

a

la expresión:

AB

CD

A CB D

=..

Así por ejemplo:

2 1

35

210 5

6

2

2x

xx

xx x

x x−+ −

=−

+ −

5- DIVISIÓN

Así como para dividir ab

y cd

(con cd

≠ 0) multiplicamos a ab

por el inverso multiplicativo de cd

, en

el conjunto de las expresiones racionales polinómicas ab

: cd

= ab

. dc

(siendo cd

≠ 0)

Por ejemplo:

x

xx

xx

xx

xx x

x x+−

+=

+−

⋅+

=+

− + +1

73 1

7 3 4 21

2

2:


Actividades

Ejercicio N° 1

Indicar cuáles de los siguientes números racionales son iguales:

27a3

;9a

;90

aab;a;0;

814

;1521

;5,7

;94

1;21

;47

;5,0;40,1;4,1;21

;57

−−

−−−

Ejercicio N° 2

a. Complete el siguiente cuadro:

Naturales

Enteros

................ ..................

Fraccionarios Reales

Irracionales

b. Tache los números que no correspondan a la clasificación:

Naturales: 0 ; -1 ; 41

; -0,8 ; 2 ; 2 ; 1,131133111.....

Enteros: -4 ; 25

; 0 ; π ; -0,2 ; 47

; 2,6 ; -1,5 .

Racionales: -4 ; 25

; 0 ; 2,23 ; 1, 8 ; 5− ; π ; 2 ; -1,5

Irracionales: 4 ; 31−

; 2,8 ; π ; 7,2 ; 7,212200148.... ; 22 ; 3 5− ; 22−

Ejercicio N° 3

La multiplicación tiene las mismas propiedades que las enumeradas para la suma. Traducir al lenguaje

coloquial las propiedades de la multiplicación.

Ejercicio N° 4

Proponga ejemplos mostrando que no se cumplen las propiedades asociativa y conmutativa en la

resta y en la división.


Ejercicio N° 5

Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. En este último caso justificar las

respuestas proponiendo un contra ejemplo.

a. a . 0 = 0

b. (-a) . (-b) = - (a.b)

c) a + ( -b + c) = a - b + c

d. a : ( b + c) = (a : b) + (a : c) , siendo b+c ≠ 0 ; b ≠ 0 y c ≠ 0

e. a - ( b + c) = a - b + c

f. ( b + c) : a = (b : a) + (c : a) con a ≠ 0

g. Si a = -2 y b = 0 entonces a : b = 0

h. el cociente entre un número y su opuesto es igual a -1.

i. a ∈ R , a : a-1 = 1

j. a ∈ R , ( a-1)-1 = a

k. a . ( -b) = a . b

l. a . ( b -c) = a . b - a . c

ll. la ecuación 2 x = 1 tiene solución en Z

m. - ( - a ) = a

Ejercicio N° 6

a. Dar contraejemplos mostrando que:

1) la potenciación no es conmutativa

2) la potenciación no es asociativa

b. Demostrar que:

1) ( a + b)2 = a2 + 2 ab + b2

2) ( a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3

3) (- a - b)2 = ( a + b )2

Ejercicio N° 7

En los siguientes cálculos se han cometido errores al aplicar las propiedades. Se propone indicar

cuáles son y corregirlos:

1) ( 22 . 2-3 . 25)2 = ( 24)2 = 216

2) ( 52)4 : ( 5-3)2 = 58 : 5-6 = 114 = 1

3) ( 74 . ( 72)6 )/(79)2 = (7 4 712)/ 718 = 7-2 = (-7)2 = 49

4) (7. 2 - 14)0 + 50 = 2


Ejercicio N° 8

Aplicando las propiedades de la potenciación demostrar que:

1) (a + 2)2 - (a - 2)2 - 4(2a + 1) = - 4

2) (3 . 3n+1 + 3 n+2)3 : (3 n+2)3 = 8

3) (10 . 2n+1)3 : (2 n+1)3 = 1000

4) 22-n . (2 . 2n+1 + 2n+2) = 32

Ejercicio N° 9

Proponga contraejemplos mostrando que la radicación no es conmutativa y no es distributiva respecto

de la suma y la resta.

Ejercicio N° 10

Lea atentamente el siguiente planteo. En el se deslizó un error. Encuéntrelo:

( )

( )( ) ( )( ) ( )

( )

27

225

106

225

106

45

8100216

54

8254278

151

2254278

23

23

2333

=

=−+=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+−−+−−=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+−−+−−

−

−

Ejercicio N° 11

Calcular:

a. =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

2

2

232

131

43

32

23

1


b.

( )=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅−

22

2

232

:131

43

32

23

1

c. ( )

=−−

−−+⋅

31

21

1

23:51

322 23

d. ( ) =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+−

−22

41

31

1:21

42

e. =−

++−−

++

−− 35

23

1

3328

6191

291

Ejercicio N° 12

Calcular:

a) 4 8 83− − =

b) 5 5 2 43 3. .− =

c) ( )1 5 20

2+ − =

d) ( )3. 3 2 a . 3 a 3− + + =

e) 2 2 323 5. − =

f) 3 5 243 814 6− + =

g) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +− 444 811348

h) a a 2 a4 54+ =

Ejercicio N° 13

a) Calcular:

1) 160 25, 2) 16 0 25− ,

3)

2 2 213

16. :

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟


4) 51

5531

32 −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

5)

2

21

21

33 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−

6)

( )35

12

13

12

⎛⎝⎜⎞⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

−−

. .

b) Exprese como potencia de exponentes fraccionario y calcule:

1) 3 274. 2)

( )2 2

8

4

5

.

3)

5 3125 27

3.. 4)

a. aa3

c) Mostrar que:

a b

a ba b1

212

12

12−

−= +

Ejercicio N° 14

Racionalizar los denominadores de las siguientes expresiones:

a)

123

b)

595

c)

xx−−11 d)

2 52 5+−

e)

3 22

−

f)

1x y+ g)

1x y+ h)

23 2−

Ejercicio N° 15

a) Exprese paso a paso las propiedades aplicadas en la resolución de la ecuación:

( x2 -1 ) . ( x + 3 ) = 0

b) Resolver las siguientes ecuaciones en R:

1) x ( x2 - 4 ) = 0

2) ( x2 - 2 ) . ( x2 -9 ) = 0

3) x ( x2 -5 ) . ( x3 + 1 ) =0

Ejercicio N° 16

Obtener mediante la Regla de Ruffini el cociente y el resto de la división entre A(x) y B(x) en :

1) A(x) = 3x5 - 2x2 + 3 ; B(x) = x - 1


2) A(x) = -2x + x3 -5 ; B(x) = x + 21

3) A(x) = ax3 + a4 ; B(x) = x - 21

4) A(x) = (x3 + 1)2 ; B(x) = x - 21

5) A(x) = (x + a - 1)2 - a2 + 2a ; B(x) = x - a

6) A(x) = (x - 1)2 + (- x +2) . (x2 - x + 3) ; B(x) = x + 1

Ejercicio N° 17

Resolver aplicando la regla de Ruffini, y recordar que: si se multiplica al dividendo y al divisor por un

mismo número distinto de cero, el cociente no varía, pero el resto queda multiplicado por dicho

número.

1) A(x) = x3 - 2x +1 ; B(x) = - x + 2

2) A(x) = 6x3 - 2x2 + 8x - 4 ; B(x) = 2x - 1

3) A(x) = 3x2 - 6x + 8 ; B(x) = 3x - 6

Ejercicio N° 18

Investigar si P(x) es divisible por Q(x).

1) P(x) = x2 - 5x + 4 ; Q(x) = x - 1

2) P(x) = x4 - 2x3 + x2 - 5x + 1 ; Q(x) = x3 + x2 + x + 1

3) P(x) = x5 - 32 ; Q(x) = x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16

Ejercicio N° 19

Hallar "m" para que B(x) sea divisor de A(x).

1) A(x) = x3 + mx2 + mx + 4 ; B(x) = x - 1

2) A(x) = mx4 - x3 + mx2 - x + m ; B(x) = x - 21

Ejercicio N° 20


Factorizar en factores primos en ℜ[x] los siguientes polinomios.

a) A(x) = x5 - x

b) B(x) = x5 - x3 + x2 -1

c) C(x) = 64x3 - 1

d) D(x) =

15

25

15

5 2x x x− +

e) E(x)=

32

92

92

32

4 3 2x x x x− + −

f) F(x) = 2x3 - 4x

g) G(x) = ax4 + 4ax2 + 4a + b(x2 + 2)2

h) H(x) =

125

x x2 4−

i) I(x) = x5 + x3 + x2 + 1

j) J(x) = x5 - x3 - x2 + 1

Ejercicio N° 21

Resolver las siguientes ecuaciones descomponiendo en factores primos en ℜ[x] los primeros miembros

de la igualdad:

1) 25x2 - 1 = 0

2) x3 + 10x2 + 25x = 0

3) x3 + x2 - 6x - 6 = 0

4) x2 + 2x - 5 = 0 (sugerencia: puede escribirse como x2+2x+1-6=0)

5) x4 + x3 -9x2 - 9x = 0

Ejercicio N° 22

Simplificar:

a)

3x 6x 4x 42

−− + b)

x 9x 27

2

3

−+ c)

x 6x 12x 8x 7x 18x 20x 8

3 2

4 3 2

+ + ++ + + +


d)

x x 6x 3x 2

2

2

− −+ + e)

x xx 2x x

3

3 2

−+ +

Ejercicio N° 23

Efectuar:

a)

5x 2x 1

2x 3x 1

+−

−−+ b)

4x2x 3

1 2xx 1+

−−+

Ejercicio N° 24

Efectuar:

a)

x 4x 42x

. 6x 12x 6x 12x 8

2

3 2

− + −− + − b)

7 55

2 113

2

2

xx x

xx

x xx+

−+

− +−

. .

Ejercicio N° 25

Resuelva las siguientes operaciones:

a)

xx x+−

+−

21

112

b) 1 1

2 4 42++

++ +x

xx x

c)

3 52 1

312 2x x x x

xx−

−− +

−− d)

51

31

22x x++

++

e) ( ) ( )4

4 25

4 22

4 23 2xx x x−

+−

+−

Ejercicio N° 26

Resolver:

a. 3x16x

:9x

4x 4

2

2

+−

−

−

b. x1

:1x2x

x2 ++

c. x

1x1x

2x1 2 −

⋅+

+

01 operaciones con números reales - unrc

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