sistema de nÚmeros reales para pdf

5/8/2018 SISTEMA DE NÚMEROS REALES PARA PDF - slidepdf.com

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M. Sc. Freddy A. Paz Sifuentes 1

1. CAPACIDADES

1.1. Utiliza los axiomas de los números Reales en la solución de ecuaciones e

inecuaciones.

1.2. Establece diferencias entre desigualdad e inecuación.

1.3. Determina el grado de una ecuación, o inecuación.

1.4. Diferencia una ecuación de una inecuación.

1.5. Calcula el discriminante de una ecuación o inecuación de segundo grado.

1.6. Plantea y resuelve problemas de su Especialidad, que requieren

solucionar ecuaciones o inecuaciones.

2. ACTITUDES

2.1. RESPONSABILIDAD: Manifiesta compromiso e identificación en su

trabajo académico.

2.2. PUNTUALIDAD: Muestra respeto a los demás y a si mismo asistiendo

puntualmente a las clases.

2.3. PARTICIPACIÓN: Muestra disposición a enfrentarse a situacionesproblemáticas novedosas. Participa activamente en el desarrollo de las

clases.

3 ra

Unidad

SISTEMA DE NÚMEROS REALES




SISTEMA DE NÚMEROS REALES

3.1. Introducción. El conjunto de los números reales ; asociado a las

operaciones binarias de la suma y la multiplicación constituyen el sistema delos números reales.

El conjunto de los números reales, tiene sus raíces en el conjunto de losnúmeros naturales 1; 2; 3; 4; ... ; denominado así porque fue el primer

conjunto numérico que el hombre utilizó en su trajinar a través de la conquistadel mundo. El conjunto de los números naturales como su nombre lo indica,aparece como herramienta cultural humana de manera natural y le sirvió a estepara contar.

La intención de este acápite no es hacer un tratado acerca de losnúmeros naturales; sin embargo creemos necesario resaltar que larepresentación de los números naturales en cada cultura fue de diferentemanera, por ejemplo los romanos utilizaron algunas letras mayúsculas delalfabeto latino (I, V, X, etc.) para representarlos. Nosotros utilizamos

determinados símbolos a los que les denominamos dígitos y que agrupadosvan formando las distintas cantidades que deseamos expresar. Nuestrosistema de numeración, utiliza diez dígitos (0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 y 9), quetienen su origen en la fusión de las culturas árabe e hindú.

Los árabes utilizaban los dígitos del 1 al 9. En sus relacionescomerciales, con los hindúes tomaron conocimiento del uso del cero y loincorporaron a su sistema de numeración. Los hindúes lo llamaron “sunya” quesignificaba “vacío”, mientras que los árabes lo llamaron “sifr” con el mismosignificado.

En el conjunto de los números naturales, sólo es posible efectuar dosoperaciones; la suma y la multiplicación, sin el riesgo de que el resultado

obtenido sea otro número natural (propiedad de cerradura). Por ejemplo, sisumamos los enteros; 2 y 5; el resultado es 7, otro número natural; lo mismoocurre si los multiplicamos, obtenemos como resultado 10; que también es otronumero natural; mientras que si restamos; 2 – 5, el resultado obtenido (–3) noes un número natural.

Como se observa en el párrafo anterior, este conjunto numérico erainsuficiente, por que no daba satisfacción a las necesidades e inquietudesmatemáticas. Por ejemplo, las deudas, la depresión de los terrenos tomandocomo referencia el nivel del mar, temperaturas bajo cero, no podían serrepresentadas en este conjunto numérico. Ecuaciones como: x + 1 = 0, notenían sentido en el conjunto de los números naturales. Esta necesidad hace

que el conjunto de los números naturales se extienda al de los númerosenteros ... ; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; ... ; que vienen a ser los números

naturales, sus opuestos incluido el 0.

Los árabes no usaron los números negativos y los representaban comorestas indicadas. A partir del siglo XV, algunos matemáticos muy conocidosempezaron a utilizarlos en sus trabajos. Stifel, popularizó los signos + y – yllamó a los números negativos, números absurdos, hasta entonces se utilizabala palabra latina “minus” que significa menos, o su abreviatura m.




Con el conjunto de los números enteros se solucionó la cerradura parala sustracción. Es decir, dados dos números enteros su diferencia es otronúmero entero; sin embargo, no se solucionó la cerradura para la división, puesa veces la división de dos números enteros no siempre es otro número entero.Ejemplo, si dividimos el entero –2 entre 4; el resultado o diferencia (–1/2) no esotro número entero, con lo cual algunas soluciones a las ecuaciones de laforma: ax + b = 0; no tenían sentido en el conjunto de los números enteros.Ejemplo: La solución de la ecuación: 2x – 1 = 0. Solución: x = 1/2, número noentero.

Esta dificultad hace que se piense en extender al conjunto de losnúmeros enteros y construir con éste, uno nuevo. Este nuevo conjuntoconstruido con los números enteros recibió el nombre de números racionales yse le denotó con la letra ( dado que es la letra inicial de la palabra“quotiend” que en muchos países europeos significa cociente) y se definiócomo el conjunto de fracciones, cuyo numerador y denominador son enteros,con la particularidad de que el denominador debe ser diferente a 0.

Es decir; : , , 0m

tq m n nn

. Es necesario hacer notar que

todo número entero es un número racional, dado que se puede escribir comouna fracción donde el denominador es la unidad. Por ejemplo el entero –3 sepuede escribir de la forma: –3/1.

Los números racionales pueden ser representados de manera distinta.Esta, recibe el nombre de número decimal. Esta representación posee dospartes separadas por una coma. La parte que precede a la coma se llama parteentera y la que se ubica después de la coma parte fraccionaria. Por ejemplo, el

número racional;23

4se puede escribir como: 5 , 75

parteentera

parte fraccionaria

. De igual manera el

número racional;3

5se puede expresar de la siguiente forma: 0 , 6

parteentera

parte fraccionaria

.

Los números decimales reciben diferentes nombres según el resultadode la división del numerador entre el denominador. Veamos:

Decimal exacto, cuando la división es exacta. Ejemplo: 0,34 es undecimal puro porque es el resultado de dividir 17 entre 50. cuya

representación fraccionaria es:17

50.

Decimal periódico, cuando hay un grupo de dígitos que se repiten. Algrupo de dígitos que se repite se denomina “periodo ”. Ejemplo:

2,17333… = 2,173

. Observe que el periodo es el dígito 3 y esrepresentado por el número racional, 163/75. Otro ejemplo es el

decimal: 2,545454… = 2,54 , observe que el periodo es 54 y esrepresentado por el número racional, 84/33.




Al decimal cuyo periodo empieza inmediatamente después de la comase le da el nombre de decimal “periódico puro” ; mientras que al decimalque no lo hace se le nombra como decimal “periódico mixto” . Por

ejemplo el decimal; 0,18 0,18181818... =2

11es periódico puro;

mientras que el decimal, 0, 4632 0,4632323232... =2293

4950es

periódico mixto.

Pitágoras de Samos, filósofo y matemático griego (famoso por elteorema que lleva su nombre, teorema que establece la relación entre los ladosde un triángulo rectángulo), y la escuela fundada por él, encontraron lasprimeras dificultades con el uso de los números racionales. Veamos:Supongamos que los catetos de un triángulo rectángulo tienen medidasiguales, la hipotenusa resulta ser un número no racional. Ejemplo,consideremos el triángulo rectángulo, cuyos catetos miden, 2 cm. cada uno.Aplicando el teorema de Pitágoras, se tiene que: la medida de la hipotenusa es

2 2 cm. cantidad que no es representada por un número racional (Se dice

que cuando en la escuela fundada por Pitágoras se percataron de este detalle,se propusieron guardar secreto, considerando este hecho como un error en lacreación divina).

Otra vez, los estudiosos de los números requieren extender al conjuntonumérico actual (el de los números racionales) en otro que satisfaga estenuevo reto. Se dice que fue uno de los seguidores de Pitágoras quienconstruyó el conjunto de los números irracionales, cuya notación es la letramayúscula I y es definido como todo número que no es posible escribirlo comouna razón de dos números enteros.

El descubrimiento de los números irracionales se le atribuye a Hipasode Metaponto, quien fue un discípulo de Pitágoras. Demostró que la raíz de 2

es un número irracional. Sin embargo, Pitágoras consideraba que la raíz delnúmero 2 "ensuciaba" la perfección de los números, y que por tanto no podríaexistir, por lo que intentó rebatir los argumentos de Hipaso con la lógica, por loque le expulsaron de la Escuela Pitagórica y erigieron una tumba con sunombre, mostrando así que para ellos, él estaba muerto. A partir de ahí, losnúmeros irracionales entrarían en un periodo de oscuridad, hasta que volvierana ser estudiados por los griegos gracias a Eudoxo de Cnidos. El décimo librode la serie Los elementos de Euclides está dedicado a la clasificación de losnúmeros irracionales1

Ejemplos de números irracionales: (pi); e (base de los logaritmos

naturales o neperianos); 2 ; entre otros.

Se define al conjunto de los números reales, cuya notación es , comoa la reunión de los números racionales con los irracionales. Es decir;

I .

Allá por el siglo XVI (el Cinquecento), en la Italia renacentista secomenzaron a estudiar ecuaciones de grados 3 y 4 y, poco a poco, se fueronacostumbrando a la idea de que para obtener soluciones reales, en ocasiones

1 http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracional




había que pasar por cálculos que involucraban raíces cuadradas de númerosnegativos. Más tarde, Descartes llamó a estas raíces “imaginarias”. Se tienenasí los números complejos , que se pueden escribir en la forma a+bi,

donde a y b son números reales e i denota la raíz cuadrada de -1. Es decir;

: ; ; 1a bi tq a b i . Estos números tienen, una parte real (a) y

una parte imaginaria (b); en términos modernos decimos que forman unálgebra real de dimensión dos2.

Ejemplo, si se desean determinar las raíces de la ecuación cuadrática,

x2 + 1 = 0, se tiene que éstas son: 1 0 1 ; cantidades que no sonelementos del conjunto de los números reales. Dado que se pueden escribircomo: 0 i , se puede afirmar que son números complejos y que éstas notienen parte real, ó que su parte real es igual a 0.

ACTIVIDAD Nº 01

1. En los espacios en blanco, coloca o ; según corresponda.

1.01. (2 – 3) _____ 1.02. 0,5 ____ 1.03. 2 3 _____ 1.04. (1/3 – 2) ____

1.05. 5 2 _____ I 1.06. 2 23 4 ____ I

1.07. 0,293

_____ 1.08. 0,314159... ____

1.09. 5 3,14159... _____ 1.10. 2 – 3i ____

1.11. (4 + 5/2) ____ 1.12. 7 ____

1.13. 2 2 ____ 1.14. 5 1 _____

1.15. 3 9 _____ 1.16. 25 / 3 9 / 5 _____

1.17. 25 / 3 9 / 5 _____ 1.18. 25 / 3 9 / 5 _____

2. En los espacios en blanco, coloca o ; según convenga.

2.01. _____ 2.02. _____ 2.03. _____ I 2.04. _____ 2.05. _____ 2.06. _____ 2.07. _____ I 2.08. _____ 2.09. _____ 2.10. _____ 2.11. _____ I 2.12. _____ 2.13. _____ 2.14. _____

2.15. _____ I 2.16. _____ 2.17. _____ 2.18. _____

2.19. 3,02; 2 _____ 2.20. 3; 1 / 2; 0, 7; 3

_____

2.21. 3; 1 / 2; 0, 7; 3

_____ I 2.22. 3; 1 / 2; 0, 7; 3

_____

2http://www.aragoninvestiga.org/investigacion/temas_todo.asp?id_tema=167&intPagActual=5&categoria=Ciencias+Experimentales&id_categoria=290




3. Si; M =2

2

1: 4 0;

1

ntq n n Z

n

y N =

2

4: 4 0;

1tq n n

n

.

Determinar los siguientes conjuntos.

3.1. M N 3.2. M N

3.3. M 3.4. (M I ) 3.5. (N I ) 3.6. (M ) I 3.7. (N ) I 3.8. (M ) I

4. El número racional; 40/31 se puede expresar de diferentes maneras;

así como se muestra.40 1 1

1 1 13131 31

a

cb

a a

. Determinar el

valor de: a b c

5. ¿Qué valor debe asignársele a la constante “ a ”; para que el racional,7

3 sea igual al número;4

1a ?

6. ¿Qué valor debe asignársele a la letra “a ”, para que la diferencia:

“3 2 2 3

3 2 2 3a

” sea un número natural?

Sugerencia: Racionalizar el irracional;3 2 2 3

3 2 2 3

7. Calcular:5 5

6 2 6 2

5 8

i i

; donde 1i

Sugerencia: Use las siguientes propiedades (en ese orden).

a. n n na b ab b. a b ab

c d cd

c. 2 2a bi a bi a bi a bi a b

8. Reduzca el siguiente número complejo:6 4

3 2 5 3

2 3 3 5

i i

i i

Sugerencia: Ejecute el siguiente procedimiento.

a. Racionalice cada fracción, multiplicando numerador y denominador porla conjugada del denominador (La conjugada de 2 3i es: 2 3i y laconjugada de 3 5i es 3 5i ).

b. Use la fórmula: a bi c di ac bd ad bc i ; para multiplicar

los números complejos del numerador.c. Tenga en cuenta lo siguiente: 2

1i ; 41i ; 6

1i ;8

1i ; …




3.2. Propiedades del sistema de los números reales.

3.2.1. Introducción. El conjunto de los números reales, tiene dos operacionesbinarias bien definidas; la adición (+) y la multiplicación (.), de las cualesse derivan la sustracción y la división. El conjunto de los números reales junto con estas operaciones recibe el nombre de grupo abeliano, campoy álgebra. Las propiedades fundamentales de estas operaciones son:

3.2.1. Propiedades de la adición.

A1. Propiedad de clausura.Si, a y b son números reales, entonces (a + b) tambiénes un número real. Es decir, si tomamos dos números reales cualesquiera, ylos sumamos el resultado es otro número real.

A2. Propiedad asociativa.Si, a, b y c son números reales cualesquiera, entoncesse cumple que: (a + b) + c = a + (b + c).Es decir, si en una adición de números reales, se correna la derecha o la izquierda los paréntesis, esta acción noaltera el resultado.

A3. Propiedad modulativa o existencia del elementoneutro.Existe un número real, llamado cero y denotado por “0” ,que deja invariable a cualquier número real en la adición.Si a es un número real, entonces a + 0 = 0 + a = aEs decir, si adicionamos 0 a cualquier número real, elresultado es el mismo número real.

A4. Propiedad invertiva o existencia del elemento

inverso.Para cada número real existe otro número real, demanera de que al adicionarlos en cualquier orden dacomo resultado cero.Para cada número real “a”, existe el número real “–a”; talque: a + (–a) = (–a) + a = 0.Al número real (–a) se le conoce con el nombre deinverso aditivo de a u opuesto de a .

Observación 01. El opuesto de un número real es el mismonúmero; pero con signo diferente. Ejemplo elopuesto de (–1/2) es 1/2. El opuesto de 4,5 es –4,5.

Observación 02. El conjunto de los números reales con laoperación de adición y las cuatro propiedadeso axiomas anteriores constituye en el ÁlgebraModerna un grupo . En el caso de losnúmeros reales y la adición, grupo aditivo .

A5. Propiedad conmutativa.El resultado de la adición no se altera si se cambia elorden de los sumandos.




Si a y b son números reales cualesquiera, entonces secumple que: a + b = b + a

Observación 03. El grupo aditivo de los números reales más lapropiedad A5, en álgebra recibe el nombre degrupo abeliano .

3.2.2. Propiedades de la multiplicación.

M1. Propiedad de clausura.Si, a y b son números reales, entonces (a.b) también esun número real. Es decir, si tomamos dos números reales cualesquiera, ylos multiplicamos el resultado es otro número real.

M2. Propiedad asociativa.Si, a, b y c son números reales cualesquiera, entoncesse cumple que: a.(b.c) = (a.b).cEs decir, si en una multiplicación de números reales, secorren a la derecha o la izquierda los paréntesis, estaacción no altera el resultado.

M3. Propiedad modulativa o existencia del elementoneutro.Existe un número real, diferente de cero, llamado uno ydenotado por “1” , que deja invariable a cualquier númeroreal en la multiplicación.Si a es un número real, entonces a.1 = 1.a = aEs decir, si multiplicamos 1 a cualquier número real, elresultado es el mismo número real.

M4. Propiedad invertiva o existencia del elemento neutro.

Para cada número real diferente de cero, existe otronúmero real distinto de cero, de manera que almultiplicarlos en cualquier orden da como resultado uno.Para cada número real “a”, existe el número real “a –1 ”; talque: a.a –1 = a –1.a = 1Al número real a –1 se le conoce con el nombre deinverso multiplicativo de a o simplemente inverso de a .

Observación 04. El inverso de un número real, se obtienecambiando el numerador al denominador yviceversa. Ejemplo; el inverso de 4/3 es 3/4.

El inverso de –3/2 es –2/3. El inverso de

5

7

es7

5. En el caso que el número real no sea

una fracción, el inverso es una fracción endonde el numerador es la unidad y eldenominador el número real. Ejemplo; el




inverso de 3 es1

3

. El inverso de 3 es

1/3.

Observación 05. El conjunto de los números reales con laoperación de multiplicación y las cuatro

propiedades o axiomas anteriores es ungrupo, en este caso grupo multiplicativo .

M5. Propiedad conmutativa.El resultado de la multiplicación no se altera si se cambiael orden de los factores.Si a y b son números reales cualesquiera, entonces secumple que: a.b = b.a

Observación 06. El grupo multiplicativo de los números realesmás la propiedad M5, vendría a ser un grupo abeliano . Como se puede observar todogrupo conmutativo recibe el nombre de

abeliano.

D1. Propiedad distributiva.Si, a, b y c son números reales cualesquiera, se cumpleque: a.(b + c) = a.b + b.c

(a + b).c = a.c + b.c

Observación 07. Los números reales con las operacionesbinarias de adición y multiplicación más lasonce propiedades anteriores en ÁlgebraModerna, se conoce con el nombre deCampo. En este caso, 0 ; ;. campo

de los números reales .

3.2.2. Otras propiedades.

1. Unicidad del elemento inverso.El inverso aditivo (–a) de todo número real a, es único.El inverso multiplicativo a –1, de todo número real distinto decero, “a” es único.

Demostración.Teniendo en cuenta que el espíritu del presente texto, no esincidir en las demostraciones, se presenta a manera deexcepción y sólo para el inverso aditivo la prueba, para

mostrar como se utilizan las propiedades anteriores parallegar a nuevos resultados. Supongamos que b y c son inversos aditivos diferentes delnúmero real a; por la propiedad A4, se tiene que: a + b = 0

a + c = 0De lo anterior se sigue: a + b = a + c. Sumando el inversoaditivo “–a” a ambos lados de la igualdad por la izquierda seobtiene: –a + (a + b) = –a + (a + c)

(–a + a) + b = (–a + a) + c Propiedad A2.0 + b = 0 + c Propiedad A3




b = c Propiedad A3.Hemos mostrado que un número real cualesquiera, no poseeinversos aditivos diferentes y que este es único.

Definición.- Sean a y b dos números reales. Se llama diferenciade b y a, a la suma del número real b con el inversoaditivo del número real a. Es decir, b – a = b + (–a).

Definición.- Sean a y b dos números reales, donde a es distintode cero. Se define la división de b entre a, como lamultiplicación del número real b por el inverso

multiplicativo del número real a. Es decir, 1.

bb a

a

2. Propiedad de cancelación.Si a, b y c son números reales, se cumple que:a + c = b + c → a = b a.c = b.c → a = b; siempre que c sea distinto de cero.

3. Para todo número real “a”, se cumple que: –(–a) = aa.0 = 0(a –1) –1 = a; siempre que a sea distinto de cero –a = (–1).a

4. Si a, b, c y d son dos números reales, se cumple que: –(a + b) = –a – b(a.b) –1 = a –1.b –1; siempre que a y b sean distintos de cero

.

.

a c a

b c b ; siempre que b y c sean distintos de cero

..

.

a c a c

b d b d

; siempre que b y d sean distintos de cero

. .a c a d b c

b d bd

; siempre que b y d sean distintos de cero

a.(–b) = (–a).b = –(a.b) –(a – b) = b – a(a – b)(c – d) = (ac + bd) – (ad + bc)

3.2.3. Algunos ejemplos del uso de las propiedades en lasdemostraciones de igualdades de números reales.

1. Demuestre que: a.0 = 0

a.0 = (a.0) + 0 Propiedad A3a.(0 + 0) = (a.0) + 0 Propiedad A3a.0 + a.0 = a.0 + 0 Propiedad D1a.0 = 0 Propiedad de cancelación

2. Demuestre que:. .

.

a c a d b c

b d b d

; siempre que b y d sean

distintos de cero.




1 1. .

a ca b c d

b d

Definición de división

= 1 1

. . . .

.

a b c d b d

b d

Propiedad de cancelación

=1 1

. . . . . .

.

a b b d c d b d

b d

Propiedad D1

=1

.1. . . .

.

a d c d d b

b d

Propiedades M4 y M5

=. .1.

.

a d c b

b d

Propiedades M3 y M4

=. .

.

a d c b

b d

Propiedad M3

=. .

.

a d b c

b d

Propiedad M5

3. Demuestre que: a.(–b) + a.b = 0

a.(–b) + a.b = a.(–b + b) Propiedad D1= a.0 Propiedad A4= 0 Otras propiedades (3)

4. Demuestre que: a.(–b) = –(a.b)

a.(–b) + a.b = 0 Ejercicio anterior[a.(–b) + a.b] + [–(a.b)] = 0 + [–(a.b)]

Propiedad de cancelacióna.(–b) + {a.b + [–(a.b)]} = 0 + [–(a.b)] Propiedad A2a(–b) + 0 = –(a.b) Propiedades A4 y A3

a(–b) = –(a.b) Propiedad A3ACTIVIDAD Nº 02

1. A continuación se muestran las demostraciones de algunas igualdadesde números reales. Debes indicar la propiedad o las propiedades que sehan aplicado y escribirlas a la derecha de cada acción.

1.1. (–a).b = –(a.b)

(–a).b = b.(–a) ………………………………………….= –(b.a) ………………………………………….= –(a.b) ………………………………………….

1.2. –(a + b) = –a – b

(a + b) + [–(a + b)] = 0 ....………………………….(–a – b) + {(a + b) + [–(a + b)]} = (–a – b) + 0 .…………………………….[(–a – b) + (a + b)] + [–(a + b)] = –a – b ……………………………..[(–b – a) + (a + b)] + [–(a + b)] = –a – b ……………………………..[–b + (–a + a) + b)] + [–(a + b)] = –a – b ……………………………..[–b + 0 + b)] + [–(a + b)] = –a – b ……………………………..(– b + b) + [–(a + b)] = –a – b ……………………………..




0 + [–(a + b)] = –a – b …………………………….. –(a + b) = –a – b ……………………………..

3.3. Ecuaciones.

3.3.1. Definición. Una ecuación es una igualdad que tiene variables.

Ejemplos.xy + 12 = 242x2 – 3x + 4 = 12x3 – 3xyz + 12 = 0x + 3 = x – 2

3 2 2 3 6 x x

2 3 112

2 2 2

x

x x

3.3.2. Clases de ecuaciones. Las ecuaciones pueden ser:

3.3.2.1. Polinómicas. Cuando las potencias de las variables sonnúmeros naturales.

Ejemplos.x – 12 = 233x2 – 5x + 13 = 65x3 – 6x + 7 = 3x2 x4 – 5x + 6 = 0

3.3.2.2. Racionales.Cuando hay variables en el denominador.

Ejemplos.2 3 1

122 2 2

x

x x

3 18

1 2 x x

1 2

2 1

x x

x x

3.3.2.4. Irracionales. Cuando hay variables dentro de radicales.

Ejemplos. 3 2 2 3 6 x x

2 3 3 x

32 1 12

1 x

x

3.3.2.5. Exponenciales. Cuando las bases son números y en losexponentes hay variables.

Ejemplos.2 3 4

2 8 x x 2

1 1

x

xe

3 4 13

3

x




3.3.2.6. Trigonométricas.Cuando en la ecuación hay funcionestrigonométricas.

Ejemplos. 2 23cos 4sen x x sen x

2 1tg x sen x 1 2 0,5sen x

3.3.2.7. Logarítmicas. Cuando en la ecuación hay funcioneslogarítmicas.

Ejemplos. log2x – 4 = log216log(x – 2) = 0,011 – ln 5x = ln x

3.3.3. Dominio de una ecuación.Está formado por todos los valores numéricos que se puedenreemplazar en las variables, de tal manera que el resultado o es unaproposición verdadera o falsa.

Ejemplos.El dominio de la ecuación; 3x2 – 4x + 5 = 0; es el conjunto delos números complejos; porque la variable puede sersustituida por cualquier número complejo sin importar si elresultado es proposición verdadera o falsa. Por ejemplotomemos el complejo; 3i. Al reemplazar este valor en lavariable x, se tiene: 3(3i)2 – 4(3i) + 5 = 0

–27 – 12i + 5 = 0 –22 – 12i = 0, proposición falsa.

El dominio de la ecuación; 3 6 4 x ; es el conjunto de losnúmeros reales mayores o iguales a 2. Si tomamos unnúmero real menor a 2, se tiene dentro del radical un número

negativo.

El dominio de la ecuación;1

3 23

x x

; es el conjunto

de los números complejos diferentes de 3. Si tomamos elvalor 3, se tendría una división entre 0.

3.3.4. Conjunto solución de una ecuación.Está formado por todos los valores numéricos que al ser reemplazadosen las variables hacen que la ecuación se convierta en una proposiciónverdadera.

Ejemplos.El conjunto solución de la ecuación; x2

– 4 = 0 es el conjuntoS = {2; –2}; por que al reemplazar estos valores en lavariable x, la ecuación se convierte en una proposiciónverdadera. Veamos, si reemplazamos el valor 2, en lavariable x se tiene: (2)2 – 4 = 0, proposición verdadera.Análogamente si reemplazamos el valor –2 en la variable xse tiene: (–2)2 – 4 = 0, proposición verdadera.

El conjunto solución de la ecuación; 2x3 – 15x2 + 22x = –15;es el conjunto S = {–1/2; 3; 5}; por que al reemplazar estos




valores en la variable x, se tienen proposiciones verdaderas.¡Compruébelo!

El conjunto solución de la ecuación; 3x2 – 4x + 5 = 0 es el

conjunto S =2 11 2 11

;3 3 3 3

i i

. Al reemplazar estos

valores en la variable x se obtienen proposicionesverdaderas. ¡Compruébelo!

El conjunto solución de la ecuación; 3 6 4 x es elconjunto S = {22/3}. ¡Compruébelo!

El conjunto solución de la ecuación;1

3 23

x x

es el

conjunto S = {4}. ¡Compruébelo!

Observación 08. El conjunto solución es subconjunto del dominio de la

ecuación.3.3.5. Soluciones extrañas en una ecuación.

Las soluciones extrañas en una ecuación son aquellos valores oresultados obtenidos que no pertenecen al dominio de la ecuación.Generalmente resultan de efectuar algunas operaciones en la ecuacióno de eliminar los radicales.

Ejemplos. Supongamos que se desea solucionar la ecuación:

3 5 x x . El dominio de la ecuación es el conjuntovacío; sin embargo si elevamos al cuadrado para eliminarlos radicales se tiene la siguiente ecuación: x – 3 = –x – 5;cuya solución es –1 que no pertenece al dominio de laecuación. Al valor –1; se le denomina solución extraña.

Sea la ecuación; 4 9 1 x x . El dominio de estaecuación es el conjunto de los números reales mayores oiguales a –1; sin embargo al elevar al cuadrado paraeliminar los radicales se tiene: 4x + 9 = x2 + 2x + 1

4x + 9 – x2 – 2x – 1 = 0 –x2 + 2x + 8 = 0x2 – 2x – 8 = 0. El conjunto

solución de esta última ecuación es S = {–2; 4}. Elelemento –2 no pertenece al dominio; por lo que esta seríauna solución extraña.

Considere la ecuación;

2 1 2

1 1

x

x x x x

. El dominio

de la ecuación es el conjunto de los números complejosdiferentes de 0 y 1; sin embargo al multiplicar a cadasumando de la ecuación por el factor: x(x – 1), se tiene:

2 – x = (x – 2)(x – 1)2 – x = x2 – 3x + 22 – x – x2 + 3x – 2 = 0




–x2 + 2x = 0x2 – 2x = 0. El conjunto solución para esta última

ecuación es S = {0; 2}. El elemento 0 no pertenece aldominio de la ecuación; por lo que este valor sería lasolución extraña.

Observación 09. Generalmente cuando en una ecuación se aplica la ley decancelación utilizando variables o se introducen nuevassoluciones o se pierden soluciones; por lo que serecomienda tener cuidado al aplicar la ley de cancelaciónteniendo en cuenta que al cancelar se pueden perder oagregar soluciones.

Ejemplos. Consideremos la ecuación; 2x = 10. El conjuntosolución para esta ecuación es S = {5}. Si cadasumando de esta ecuación es multiplicado por elfactor (x – 1), se tiene la ecuación:2x(x – 1) = 10(x – 1), cuyo conjunto solución havariado, éste es S = {1; 5}. En este caso se haagregado una solución.

Sea la ecuación; x(x – 5) = 3x. El conjuntosolución de esta ecuación es S = {0; 8}. Sicancelamos el factor x, queda: x – 5 = 3. Elconjunto solución para esta nueva ecuación es elconjunto unitario S = {8}. En este caso se haperdido una solución.

3.3.6. Clasificación de las ecuaciones polinomiales.

Ejemplos.Ecuación Grado Nominación

9x – 16 = 4x + 9 1er. grado Linealx2 – 6x + 11 = 0 2do. grado Cuadrática3x3 – 5x2 – 5x + 3 = 0 3er. grado Simétrica

Lineales o de primer grado: Cuando al reducir laecuación resulta de la forma: ax + b = 0; a ≠ 0.

EcuacionesPolinomiales

Cuadráticas o de segundo grado: Cuando alreducir la ecuación resulta de la forma:ax2 + bx + c = 0; a ≠ 0.

De grado mayor a2: Cuando el masalto exponente de lavariable es mayor a2.

Bicuadradas:Ecuaciones quereducidas son de laforma: ax4 + bx2 + c = 0;a≠0.

Simétricas: Ecuacionesque reducidas son de la

forma:axn+bxn-1+ … +bx+a = 0.




Ecuación Grado Nominación

7 2 53

3 3 12

x x

1er. grado Lineal

5x4 – 7x2 + 6 = 12 4to. grado Bicuadradax2 – 3x – 4 = 4(x – 4) 2do. grado Cuadrática

x4

– 6x3

+ 7x2

– 6x + 1 = 0 4to. grado Simétricax3 – 7x = 0 3er. grado No tiene2x4 – 5x3 + x2 – 5x + 2 = 0 4to. grado Simétricax4 + 2x3 – x + 2x – 1 = 0 4to. grado No tienex4 – 6x + 8 = 0 4to. grado No tienex3 – 6x – 6 = 0 3er. grado No tiene

3.3.7. Conjunto solución de una ecuación de primer grado o lineal.Una ecuación de primer grado se reduce a la forma: ax + b = 0; a ≠ 0. Elconjunto solución es S = {–b/a}.

Para determinar el conjunto solución de una ecuación lineal, se debetener en cuenta las siguientes recomendaciones:

1. Si existieran denominadores, determinar el m. c. m. de estos y luegomultiplicar a cada sumando de la ecuación por éste.

2. Agrupar a todos los sumandos que tengan la variable en uno de losmiembros de la ecuación y los que no la tengan en el otro miembro.

Ejemplos.Resolver: 6x – 5 = 2x + 7

6x – 2x = 7 + 54x = 12x = 12/4x = 3

Conjunto solución: S = {3}

Resolver:3 5 3

22 4 5

x x

3 5 32

2 4 5

x x mcm(2;4;5) = 20

3 5 3

20 20 2 20 202 4 5

x x

10 3 40 5 5 4 3 x x

30x – 40 = 25x + 12

30x – 25x = 12 + 405x = 52x = 52/5

Conjunto solución: S = {52/5}

Resolver: 2(2x – 3) = 6 + x

4x –6 = 6 + x4x – x = 6 + 63x = 12




x = 12/3x = 4

Conjunto solución: S = {4}

Resolver:1 3

1

6 2

x x

1 31

6 2

x x ; mcm(6;2) = 6

1 3

6 6 6 16 2

x x

1 3 3 6 x x

x – 1 – 3x + 9 = –6 –2x = 1 – 9 – 6 –2x = –14

x =14

2

x = 7

Conjunto Solución: S = {7}

Observación 10. No todas las ecuaciones de primer grado tienen una únicasolución.

Ejemplos.Resolver: 2x + 3 = 2x + 5

2x – 2x = 5 – 30 = 2. (Proposición falsa)

Dado que se ha llegado a una proposición falsa, se dice que laecuación no tiene solución o que su solución es el conjunto vacío.

Resolver: 9x – 2x + 16 = 7x + 14 + 2

7x + 16 = 7x + 160 = 0 (proposición verdadera)

Dado que se ha llegado a una proposición verdadera, se dice quetiene infinitas soluciones o que su solución es el conjunto de losnúmeros complejos.

3.3.8. Conjunto solución de una ecuación cuadrática.Una ecuación de segundo grado siempre se reduce a una expresión dela forma: ax2 + bx + c = 0. El conjunto solución de una ecuacióncuadrática se puede determinar de diferentes maneras.

3.3.8.1. Por factorización.Ejemplos.Resolver: x2 – 2x – 15 = 0

Factorizando se tiene: (x – 5)(x + 3) = 0




Aplicando la propiedad: Si, a.b = 0 → a = 0 ó b = 0,se sigue: x – 5 = 0 ó x + 3 = 0 → x = 5 ó x = –3. Elconjunto solución es: S = {–3; 5}.

Resolver: 10x2 + 13x – 3 = 0

Factorizando: (2x + 3)(5x – 1) = 02x + 3 = 0 ó 5x – 1 = 0 → x = –3/2 ó x = 1/5.Conjunto solución: S = {–3/2; 1/5}

Resolver: (4x – 1)(2x + 3) = (x + 3)(x – 1)

Efectuando las multiplicaciones se tiene:8x2 + 10x – 3 = x2 + 2x – 37x2 + 8x = 0Factorizando: x(7x + 8) = 0x = 0 ó 7x + 8 = 0 → x = 0 ó x = –8/7.Conjunto solución: S = {–8/7; 0}

Resolver: 5x(x – 1) – 2(2x2 – 7x) = –8

5x2 – 5x – 4x2 + 14x + 8 = 0x2 + 9x + 8 = 0Factorizando: (x + 1)(x + 8) = 0x + 1 = 0 ó x + 8 = 0 → x = –1 ó x = –8.Conjunto solución: S = {–8; –1}

Observación 11. No todas las ecuaciones cuadráticas son factorizables. Porejemplo la ecuación cuadrática; x2 – 6x + 6 = 0 no esfactorizable. Por lo que es necesario emplear otros métodos.

3.3.8.2. Completando cuadrados.

Ejemplos. Resolver: 3x2

– 6x + 1 = 0Siga las siguientes instrucciones:

1. El término que no tiene variable se pasa al otro miembro.3x2 – 6x = –1

2. Si el término que acompaña a x2 es diferente a 1, sefactoriza. 3(x2 – 2x) = –1

3. Dentro del paréntesis se adiciona la mitad del término queacompaña a x, elevado al cuadrado.

2 2

2 2 23 2 1 3

2 2 x x

3(x2

– 2x + 1) = –1 + 34. El trinomio del paréntesis es un trinomio cuadrado perfecto,que se puede escribir como un binomio elevado al cuadrado.3(x – 1)2 = 2

5. El número que acompaña al paréntesis se pasa a dividir en

el otro miembro. 2 2

13

x




6. Se extrae la raíz cuadrada. x – 1 =2

3

7. El número que no tiene variable se pasa al otro miembro y

se tiene la solución. x = 12

3

Conjunto solución: S = 2 21 ; 1

3 3

Resolver: x2 – 6x + 6 = 0

Si el coeficiente que acompaña a x2 es 1, se omiteel paso 2 y el paso 5. x2 – 6x = –6

2 2

2 6 66 6

2 2 x x

x2 – 6x + 9 = –6 + 9(x – 3)2 = 3

3 3 x

x = 3 3

Conjunto solución: S = 3 3; 3 3

Resolver: 2x2 – 6x – 1 = 0

2x2 – 6x = 12(x2 – 3x) = 1

2 2

2 3 32 3 1 2

2 2 x x

2 2 9 93 1

4 2 x x

22

3 11

2 2 x

23 11

2 4 x

3 11

2 4 x

3 11

2 4 x

3 11

2 2 x

Conjunto solución: S =3 11 3 11

;2 2 2 2




3.3.8.3. Aplicando la fórmula cuadrática.Ejemplos. Resolver: x2 – 12x + 36 = 0

Siga las siguientes instrucciones:

1. Calcule el discriminante, cuya notación es el símbolo y

que se define como:

2

4b ac

; donde a es el coeficienteque acompaña a x2, b es el coeficiente que acompaña a x yc es el término independiente. a = 1, b = –12 y c = 36.

2

12 4 1 36

144 144

0 2. Utilice la siguiente tabla para determinar las soluciones,

según sea el caso.

Si el discriminante es igual a 0, las soluciones son iguales

y se calculan con la siguiente igualdad:

2

b x

a

Si el discriminante es mayor que 0, las soluciones sonreales y diferentes y se calculan con la siguiente fórmula:

2

b x

a

Si el discriminante es menor que 0, las soluciones soncomplejas y conjugadas y se calculan con la misma

fórmula:2

b x

a

En este caso, el discriminante es igual a 0, las soluciones

son: 12

2 1 x

12

2 x

x = 6. Conjunto solución: S = {6}.

Resolver: 10x2 + 3x – 1 = 0

2

3 4 10 1

9 40

49 . El discriminante es mayor que 0.

Las soluciones se calculan con la fórmula de la

segunda fila de la tabla.

3 49

2 10 x

3 7 10 1

3 7 20 20 2

3 7 4 120

20 20 5

x




Conjunto solución: S =1 1

;2 5

.

Resolver: 2x2 – 13x + 10 = 0

213 4 2 10

169 80 89 . El discriminante es mayor que 0.


segunda fila de la tabla.

13 89

2 2 x

13 89

13 89 4 4

4 13 89

4 4

x


;4 4 4 4

.

Resolver: x2 – 4x + 5 = 0

2

4 4 1 5

16 20 4 . El discriminante es menor que 0.


tercera fila de la tabla.

4 4

2 1 x

4 4 1

2 x

4 2

2

i x

=

4 22

2 2

4 22

2 2

ii

ii

Conjunto solución: S = 2 ; 2i i .

3.3.9. Conjunto solución de una ecuación de grado mayor a 2.Para determinar el conjunto solución de una ecuación de grado mayor a2, se utilizan varios métodos:

3.3.9.1. Método de Ruffini.Sea 1 2

1 2 1 0... 0; 2

n n n

n n na x a x a x a x a n

, unaecuación de grado mayor a 2. Para usar el método de Ruffini,se determinan los conjuntos:

p = 0:i i p tq p es un divisor de a




q = :i i nq tq q es un divisor de a

p/q = :ii i

i

ptq p p q q

q

Ejemplo. Si la ecuación es; 3x3 + 14x2 – 7x – 10 = 0. Los

conjuntos p, q y p/q son:p = 1; 2; 5; 10 ,

q = 1; 3 y

p/q =1 2 5 10

1; 2; 5; 10; ; ; ;3 3 3 3

.

Observación 12. Entre los elementos del conjunto p/q;probablemente se encuentren las raíces osoluciones de la ecuación dada. Para determinarlassiga el siguiente procedimiento:

1. Use una tabla de tres filas. En la primera fila y a partir de lasegunda columna, se copian los coeficientes del polinomio. Parael ejemplo anterior sería:

3 14 –7 –10

2. En la segunda fila y primera columna se escribe cualesquierelemento del conjunto p/q que sospeche que pueda ser raíz osolución de la ecuación. Para la ecuación que estamos tomandocomo ejemplo elijamos el elemento 1 que pertenece al conjuntop/q.

3 14 –7 –101

3. En la tercera fila y segunda columna se escribe el coeficiente queestá ubicado en la primera fila y segunda columna. En nuestroejemplo sería:

3 14 –7 –101 ↓

3

4. Se multiplica la posible solución que hemos escogido, por elcoeficiente que hemos escrito en la tercera fila y lo ubicamos en lasegunda fila tercera columna. En nuestro ejemplo: (1)(3) = 3.

3 14 –7 –101 ↓ 3

3




5. Se suman los elementos de la tercera columna y el resultado seubica en la tercera fila. Para nuestro caso se tendría:

3 14 –7 –101 ↓ 3

3 17

6. Nuevamente se multiplica la posible solución escogida por esteresultado obtenido y se ubica en la siguiente columna y asísucesivamente hasta terminar con las columnas de la tabla. Ennuestro ejemplo: (1)(17) = 17.

3 14 –7 –101 ↓ 3 17 10

3 17 10 0

7. Si la última suma es CERO , el elemento escogido como posiblesolución es una raíz de la ecuación. En este caso 1 es parte delconjunto solución.

8. Se puede seguir utilizando este método hasta obtener más raíceso soluciones para lo cual debemos adicionar a la tabla anterior dosfilas más. Veamos:

3 14 –7 –101 ↓ 3 17 10

3 17 10 0

9. En la cuarta fila, primera columna ubicamos otro elemento delconjunto p/q, que puede ser el mismo que se escogió para las

operaciones anteriores y se repite el proceso. Para el ejemplo quenos ocupa, tomemos el elemento –5 que pertenece al conjuntop/q.

3 14 –7 –101 ↓ 3 17 10

3 17 10 0 –5 ↓ –15 –10

3 2 0

Puesto que la última suma es CERO , hemos determinado otra raíz(–5) o elemento del conjunto solución. Tomemos ahora el

elemento –2/3 que también pertenece al conjunto p/q y sigamosbuscando soluciones.

3 14 –7 –101 ↓ 3 17 10

3 17 10 0 –5 ↓ –15 –10

3 2 0 –2/3 ↓ –2

3 0




Teniendo en cuenta que la última suma es CERO , habremosdeterminado la tercera y última raíz de la ecuación. Con lo que elconjunto solución es: S = {–5; –2/3; 1}

Ejemplo. Resolver: x4 – 4x3 – x2 + 16x – 12 = 0

Los conjuntos p, q y p/q son:p = 1; 2; 3; 4; 6; 12

q = 1

p/q = 1; 2; 3; 4; 6; 12 = p.

Observación 13. Si el coeficiente an de la ecuación es la unidad, sólose trabaja con el conjunto p. Aquí en este conjuntoprobablemente se encuentren las raíces de laecuación. Tomaremos los elementos –2; 1; 2 y 3que pertenecen al conjunto p.

1 –4 –1 16 –12

–2 ↓ –2 12 –22 121 –6 11 –6 0

1 ↓ 1 –5 61 –5 6 0

2 ↓ 2 61 –3 0

3 ↓ 31 0

Conjunto solución: S = 2; 1; 2; 3

Ejemplo. Resolver: x4 – 2x3 – 3x2 + 8x – 4 = 0

El conjunto p es; p = 1; 2; 4 . Tomemos el elemento

–2; 1 y 2 que pertenecen al conjunto p.

1 –2 –3 8 –4 –2 ↓ –2 8 –10 4

1 –4 5 –2 01 ↓ 1 –3 2

1 –3 2 01 ↓ 1 –2

1 –2 02 ↓ 2

1 0

Conjunto solución: S = 2; 1; 2

Observación 14. Observe que una de las raíces se ha repetido. Aestas raíces se les conoce como; raíces múltiples .En este caso, 1 es una raíz múltiple de multiplicidad2. Si quisiéramos expresar a la ecuación como un




producto de factores, esta quedaría expresada dela siguiente manera: (x + 2)(x – 1)2(x – 2) = 0

Observación 15. En algunos casos, con este método, sólo es posibledeterminar algunas raíces y en otros ninguna; porlo que se hace necesario recurrir a otros métodosque estudiaremos. Veamos los siguientes ejemplos.

Ejemplo. Resolver: 15x4 + 37x3 + 87x2 + 31x – 10 = 0

Los conjuntos p, q y p/q son:p = 1; 2; 5; 10

q = 1; 3; 5; 15

p/q =1 1 1 2 2 2 5 10

1; 2; 5; 10; ; ; ; ; ; ; ;3 5 15 3 5 15 3 3

Sólo con los elementos –2/3 y 1/5 que pertenecen alconjunto p/q, funciona el método de Ruffini. Con los demáselementos del conjunto p/q es inaplicable. Veamos:

15 37 87 31 –10 –2/3 ↓ –10 –18 -46 10

15 27 69 –15 01/5 ↓ 3 6 15

15 30 75 0

Observación 16. Cuando ya no es posible seguir aplicando elmétodo de Ruffini, se recomienda construir unaecuación de 1 grado menor a la cantidad detérminos sobrantes (sin tener en cuenta el 0 de la

última suma) en la última fila, para determinar lasraíces faltantes.

En este caso los términos sobrantes en la última fila son: 15,30 y 75; por lo que la ecuación a construir es de segundo grado. Laecuación es: 15x2 + 30x + 75 = 0 (Ecuación cuadrática). Aplicamos lafórmula cuadrática para obtener las raíces: 2

30 4 15 75

900 4500 3600

raíces =

30 3600

2 15

=

30 601 2

30

30 60 1 230

ii

i i


; ; 1 2 ; 1 23 5

i i

Ejemplo. Resolver: x4 + 11x2 + 10x + 50 = 0




Esta ecuación es imposible solucionarla aplicando elmétodo de Ruffini. Ningún elemento del conjunto p, hace que la últimasuma sea 0. p = 1; 2; 5; 10; 25; 50 .

3.3.9.2. Método del aspa doble especial.Este método se aplica a ecuaciones de grado 4. El

procedimiento se explicará solucionando la ecuación anterior;x4 + 11x2 + 10x + 50 = 0.

1. Se ordena y completa el polinomio en forma descendente. x4 + 0x3 + 11x2 + 10x + 50 = 0

2. Se descompone el primer y último sumando en dosfactores, luego se multiplica en aspa, y los resultados sesuman, así como se muestra en el siguiente diagrama.

3. Preguntamos, ¿cuánto le falta al resultado obtenido (15x2)para ser igual al sumando que tiene la variable elevada alcuadrado (11x2) en la ecuación? La respuesta, en estecaso es: Le falta: – 4x2

4. Se descompone el –4x2 en dos factores, de tal manera queal multiplicarlos en aspa con los factores del primersumando de cómo resultado el sumando que tiene lavariable elevada al cubo en la ecuación (0x3) y al

multiplicarlos con los factores del último sumando de cómoresultado el sumando que tiene la variable x en la ecuación(10x). Veamos el siguiente diagrama.

Primer producto: (x2)(2x) + (x2)(–2x) = 2x3 – 2x3 = 0x3 Segundo producto: (–2x)(5) + (2x)(10) = –10x + 20x = 10x

La ecuación se escribe de la siguiente forma:(x2 – 2x + 10)(x2 + 2x + 5) = 0

Aplicando la propiedad: Si, a.b = 0 → a = 0 ó b = 0, sesigue:

1) x2 – 2x + 10 = 02) x2 + 2x + 5 = 0

x2

x2

10

5

=

=

10x2

5x2

15x2

x2

x2

10

5

=

=

10x2

5x2

15x2

–2x

2x




Dos ecuaciones cuadráticas; cuyas soluciones son: 1–3i;1+3i; –1–2i; –1+2i. Con lo que, el conjunto solución es elsiguiente: S = 1 3 ; 1 3 ; 1 2 ; 1 2i i i i

Ejemplo. Resolver: 15x4 – 6x3 + 2x2 – 3x + 2 = 0

1. Descomponemos los factores como se muestra:

2. Hacemos la pregunta: ¿Cuánto le falta a 11x2 para ser 2x2? Respuesta: Le falta: –9x2

3. Descomponemos –9x2; así como se muestra:

Primer producto: (3x2)(3x) + (5x2)(–3x) = 9x3 – 15x3 = –6x3

Segundo producto: (–3x)(2) + (3x)(1) = –6x + 3x= –3x

Nueva presentación de la ecuación:

2 23 3 1 5 3 2 0 x x x x . De donde se sigue:

a. 3x2 – 3x + 1 = 0 → x =1 3

2 6i

b. 5x2 + 3x + 2 = 0 → x =3 31

10 10i

Conjunto solución:

S =1 3 1 3 3 31 3 31

; ; ;2 6 2 6 10 10 10 10

i i i i

Ejemplo. Resolver: 2x4 – 6x3 – x2 + 6x + 2 = 0

1. Descomponemos los factores como se muestra:

3x2

5x2

1

2

=

=

5x2

6x2

11x2

3x2

5x2

1

2

=

=

5x2

6x2

11x2

–3x

3x




2. Hacemos la pregunta: ¿Cuánto le falta a –5x2 para ser –x2? Respuesta: Le falta: 4x2

3. Descomponemos 4x2; así como se muestra:

Primer producto: (2x2)(–2x) + (x2)(–2x) = –4x3 – 2x3 = –6x3

Segundo producto: (–2x)(–2) + (–2x)(–1) = 4x + 2x= 6x

Nueva presentación de la ecuación:

2 22 2 1 2 2 0 x x x x . De donde se sigue:

a. 2x2 – 2x – 1 = 0 → x =1 3

2 2

c. x2 – 2x – 2 = 0 → x = 1 3

Conjunto solución:

S =1 3 1 3

; ; 1 3; 1 32 2 2 2

3.3.9.3. Conjunto solución de ecuaciones con polinomiossimétricos o recíprocos.Para determinar el conjunto solución de una ecuación quetiene un polinomio simétrico siga las siguientes instrucciones:

1. Agrupe por parejas los sumandos cuyos coeficientes soniguales.

Por ejemplo si quisiéramos determinar el conjunto soluciónde la ecuación; 2x4 – 3x3 + 5x2 – 3x + 2 = 0. Agrupando asícomo se indica se tiene: (2x4 + 2) + (–3x3 – 3x) + 5x2 = 0

2. Si el grado de la ecuación es par. Es decir, si n = 2k, sedivide a toda la ecuación entre xk. En nuestro ejemplo se

2x2

x2

–1

–2

=

=

–x2

–4x2

–5x2

–2x

–2x

2x2

x2

–1

–2

=

=

–x2

–4x2

–5x2




divide entre x2, porque el grado de la ecuación es 4 (par) y

se tiene: 2 2

2

2 32 3 5 0 x x x

x x

2 2

2

1 12 3 5 0 x x x

x x

3. Si se hace el cambio de variable:1

x y x

; se tiene:

2 2

2

12 x y

x

3 3

3

13 x y y

x

4 4 2

4

14 2 x y y

x

………………….

La segunda igualdad se ha obtenido elevando

1

x y x alcuadrado, la tercera elevando al cubo, la cuarta elevando ala cuarta y así se sigue sucesivamente, según seanecesario.

4. Se sustituyen estas igualdades en la ecuación y sólodentro de los paréntesis y se reduce el grado de laecuación, para luego factorizarla.

En nuestro ejemplo se tiene: 2 22 2 3 5 0 x y y

x2[2y2 – 4 – 3y + 5] = 0x2[2y2 – 3y + 1] = 0x2(2y – 1)(y – 1) = 0

5. Se regresa a la variable original, multiplicando x a cadaparéntesis. Para el ejemplo anterior se obtiene:

2 22 2 1 0 x x x x

a. 2x2 – x + 2 = 0 → x =1 15

4 4i

b. x2 – x + 1 = 0 → x =1 3

2 2i

Conjunto solución:

S =1 3 1 3 1 15 1 15

; ; ;2 2 2 2 4 4 4 4

i i i i

Observación 17. Cuando el grado de la ecuación es impar; una desus raíces es igual –1. Utilice Ruffini y luego trabajecon la ecuación resultante que también esrecíproca o simétrica y de grado par.




Ejemplo. Resolver: x5 – 2x4 – 5x3 – 5x2 – 2x + 1 = 0

Dado que el polinomio es recíproco o simétrico, y de gradoimpar, aplicamos el método de Ruffini, sabiendo que unade sus raíces es igual a –1.

1 –2 –5 –5 –2 1 –1 ↓ –1 3 2 3 –1

1 –3 –2 –3 1 0

Ecuación sobrante: x4 – 3x3 – 2x2 – 3x + 1 = 0, simétrica.

Agrupando: (x4 + 1) –3(x3 + x) – 2x2 = 0

Dividiendo entre x2: 2 2

2

1 13 2 0 x x x

x x

Sustituyendo las igualdades anteriores, se tiene:2 2

2 3 2 0 x y y 2 2

3 4 0 x y y

24 1 0 x y y

Volviendo a la variable original; se sigue:

2 1 14 1 0 x x x

x x

2 21 4 1 0 x x x x

a. x2 – 4x + 1 = 0 → x = 2 3

b. x2 + x + 1 = 0 → x = 1 32 2

i

Conjunto solución:

S =1 3 1 3

1; ; ; 2 3; 2 32 2 2 2

i i

Ejemplo. Resolver: x5 – 4x4 + 3x3 + 3x2 – 4x + 1 = 0

Dado que el polinomio es recíproco o simétrico, y de grado

impar, aplicamos el método de Ruffini, sabiendo que unade sus raíces es igual a –1.

1 –4 3 3 –4 1 –1 ↓ –1 5 –8 5 –1

1 –5 8 –5 1 0

Ecuación sobrante: x4 – 5x3 + 8x2 – 5x + 1 = 0, simétrica.

Agrupando: (x4 + 1) – 5(x3 + x) + 8x2 = 0




Dividiendo entre x2: 2 2

2

1 15 8 0 x x x

x x

Sustituyendo las igualdades anteriores, se tiene:2 2

2 5 8 0 x y y

2 2 5 6 0 x y y

22 3 0 x y y

Volviendo a la variable original; se sigue:

2 1 12 3 0 x x x

x x

2 21 2 1 3 0 x x x x

a. x2 – 2x + 1 = 0 → (x – 1)2 = 0 → x = 1; 1

b. x2 – 3x + 1 = 0 → x =3 5

2 2

Conjunto solución:

S =3 5 3 5

1; 1; ;2 2 2 2

3.3.9.4. Conjunto solución de una ecuación bicuadrada.Una ecuación bicuadrada es una ecuación de grado 4,donde los coeficientes de los exponentes impares de lavariable son ceros. Es decir, es una ecuación de la forma:ax4 + bx2 + c = 0.

Para determinar el conjunto solución de una ecuaciónbicuadrada se efectúa el cambio de variable; y = x2, paraconvertirla en cuadrática.

Ejemplo. Resolver: 4x4 – 37x2+ 9 = 0

Haciendo: y = x2; la ecuación se convierte en:4y2 – 37y + 9 = 0

Factorizando se tiene: (4y – 1)(y – 9) = 0

Volviendo a la variable original, se sigue:

(4x2 – 1)(x2 – 4) = 0a. 4x2 – 1 = 0 → x =

1

2

b. x2 – 4 = 0 → x = 2


2; ; ; 22 2




Ejemplo. Resolver: 12x4 – x2 – 35 = 0

Haciendo: y = x2; la ecuación se convierte en:12y2 – y – 35 = 0

Factorizando se tiene: (3y + 5)(4y – 7) = 0

Volviendo a la variable original, se sigue:(3x2 + 5)(4x2 – 7) = 0

a. 3x2 + 5 = 0 → x =15

3i

b. 4x2 – 7 = 0 → x =7

2

Conjunto solución:

S =15 15 7 7

; ; ;

3 3 2 2

i i

3.4. Solución de problemas usando ecuaciones.

1. La suma de dos números es 104 y el mayor excede al menor en 12unidades. ¿Cuáles son estos números?

Planteo del problema:Primer número: xSegundo número: 104 – x

Solución del problema:x – 12 = 104 – x2x = 104 + 12

2x = 116x = 116/2

x = 58

Respuesta del problema: Primer número: 58Segundo número: 104 – 58 = 46

2. ¿Cuáles son los dos números enteros consecutivos tales que su suma esigual a 103?

Planteo del problema:Primer número: xSegundo número: x + 1

Solución del problema:x + x + 1 = 1032x + 1 = 103

2x = 102x = 51

Respuesta del problema: Los números consecutivos son: 51 y 52.

3. La suma de las edades de tres personas es 88 años. La mayor tiene 20más que la menor y la del medio 18 años menos que la mayor. Determinarlas edades de estas personas.

Planteo del problema:Persona mayor: x + 20Persona del medio: x + 20 – 18 = x + 2Persona menor: x

Solución del problema:x + 20 + x + 2 + x = 88

3x + 22 = 883x = 66x = 22




Respuesta del problema: Persona mayor: 42Persona del medio: 24Persona menor: 22

4. Un número positivo es los 3/5 del otro y su producto 2160. ¿Cuáles sonestos números?

Planteo del problema:Primer número: x

Segundo número:3

5

x

Solución del problema:

3

21605

x x

23

21605

x

3x2 – 10800 = 0x2 – 3600 = 0

(x – 60)(x + 60) = 0x = 60; –60

Respuesta del problema: Los números son: 60 y 16 (tomamos el positivo)

5. La persona A tiene 3 años más que la persona B, y el cuadrado de la edadde A aumentado en el cuadrado de la edad de B equivale a 317 años.Determinar ambas edades.

Planteo del problema:Persona A: xPersona B: x – 3

Solución del problema:x2 + (x – 3)2 = 317

x2 + x2 – 6x + 9 = 3172x2 – 6x – 308 = 0x2 – 3x – 154 = 0

(x + 11)(x – 14) = 0x = –11; 14

Respuesta del problema: A tiene 14 años y B 11 años. La respuesta –11se descarta porque se trata de edades y las edades no son negativas.

6. La longitud de una sala excede a su ancho en 4 m. Si cada dimensión seaumenta en 4 m. el área será el doble. Determinar las dimensiones de lasala.

Planteo del problema:largo: xancho: x – 4

Solución del problema:A = Área = (largo)(ancho)

A = x(x – 4)2A = (x + 4)(x – 4 + 4)

2x(x – 4) = (x + 4)x2x2 – 8x = x2 + 4x

x2 – 12x = 0x(x – 12) = 0

x = 0; 12Respuesta del problema: largo = 12 m.

ancho = 8 m

7. Se han comprado dos piezas de tela que juntas miden 20 metros delongitud. El metro cuadrado de cada pieza costó un número de soles igualal número de metros cuadrados de cada pieza. Si una pieza costó 9 veceslo que la otra. ¿Cuál fue la longitud de cada pieza?Considere largo igual al ancho.




Planteo del problema:Longitud de la primera pieza: xLongitud de la segunda pieza: 20 – xCosto de la primera pieza = x2 Costo de la segunda pieza: (20 – x)2

Solución del problema:9x2 = (20 – x)2

9x2 = 400 – 40x + x2 8x2 + 40x – 400 = 0

x2 + 5x – 50 = 0(x + 10)(x – 5) = 0

x = –10; 5Respuesta del problema: La longitud de las piezas fueron 5 y 15 metros.La respuesta negativa no se toma en cuenta por que la longitud nunca esnegativa.

ACTIVIDAD Nº 03

1. Determinar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones polinómicas.

1.01. 1 2 3 3 1 3

6 3 3 28 16 4 4 8

x x x x

1.02. 3 2 5 3

2 2 1 3

2 3 12

x x x x x

1.03.2 2

1 13 3

x x x

1.04. 3 2 5 3

2 2 1 42 3 12

x x x x x

1.05. x2 = 81 1.06. 14x2 – 28 = 01.07. (x + 6)(x – 6) = 13 1.08. (2x – 5)(2x + 5) – 119 = 01.09. (x + 11)(x – 11) = 23 1.10. x2 = 7x1.11. 21x2 + 100 = –5 1.12. 2x2 – 6x = 6x2 – 8x1.13. (x – 3)2 – (2x + 5)2 = –16 1.14. (4x – 1)(2x + 3) = (x + 3)(x – 1)1.15. x2 – 3x + 2 = 0 1.16. x2 + 12x + 35 = 0

1.17. x

2

+ 4x = 285 1.18. 5x(x – 1) – 2(2x

2

– 7x) = –81.19. (x + 2)2 = 1 – x(x + 3) 1.20. 3x(x – 2) = 5x(x + 7)

1.21.

2

2 2 52 33 3 2

3 5 4

x x x x

1.22.

2 23 1 5 1 12

5 3 7

x x

1.23. 30x3 + 11x2 – 4x – 1 = 0 1.24. 2x4 – 7x3 + 9x2 – 5x + 1 = 0 1.25. 4x4 – 5x2 + 1 = 0 1.26. 2x4 – 11x3 + 9x2 – 11x + 2 = 01.27. 2x5 – 9x4 – 2x3 – 2x2 – 9x + 2 = 0 1.28. 4x4 + 7x2 + 2x + 3 = 0 1.29. 9x4 – 4x2 – 4x – 1 = 0 1.30. 18x5 + 9x4 – 47x3 + 17x2 + 5x – 2 = 0

1.31. 12x

3

+ 4x

2

– 3x – 1 = 0 1.32. 36x

4

– 12x

3

– 11x

2

+ 2x + 1 = 01.33. 2x4 – 17x3 + 45x2 – 27x – 27 = 01.34. 6x4 + x2 – 1 = 0 1.35. 3x4 – 53x2 + 80 = 01.36. 2x4 – 33x3 + 45x2 + 162x – 72 = 01.37. 6x4 – 31x3 + 47x2 – 31x + 6 = 0 1.38. x4 + 5x3 + 8x2 + 5x + 1 = 01.39. 6x5 – 25x4 + 16x3 + 16x2 – 25x + 6 = 01.40. 3x3 + x2 + 20x – 50 = 0 1.41. 8x3 + 36x2 + 38x + 35 = 01.42. 2x5 – 35x4 + 78x3 + 117x2 – 234x + 72 = 01.43. 2x5 + 17x4 + 37x3 + 37x2 + 17x + 2 = 01.44. 36x5 + 108x4 – 13x3 – 39x2 + x + 3 = 0




2. Escribe en lenguaje simbólico las siguientes expresiones.

2.01. Número de ruedas necesarias para fabricar x coches.2.02. Número de días de x semanas.2.03. Número de patas de un corral de x gallinas. 2.04. Un número x menos 2 unidades.2.05. El doble de un número x. 2.06. La mitad de un número x.2.07. El doble de un número x menos 2 unidades.2.08. La mitad de un número x menos su doble. 2.09. El doble de un número x menos 4.2.10. La mitad de las x manzanas de una cesta.2.11. En un libro de precio x soles me descuentan 2 soles.2.12. Número de viajeros en un autobús después de bajarse 8.2.13. La mitad de un número x más 2 unidades.2.14. Un número menos 3.2.15. Un número más 3.2.16. El triple de un número.2.17. La tercera parte de un número.2.18. La cuarta parte de una cantidad x de dinero más 30 soles.2.19. Un número x más su quinta parte.2.20. Restar a la sexta parte de un número cuatro unidades.2.21. El quíntuplo de un número dividido entre 3.2.22. Páginas que me faltan para leer de un libro de x páginas si ya he leído 25.

3. Solucionar los siguientes problemas sobre ecuaciones de primer grado.

3.01. Un número multiplicado por 5 sumado con el mismo número multiplicadopor 6 da 55. ¿Cuál es el número?

3.02. ¿Qué número se debe restar de p+2 para obtener 5?3.03. El doble de un número aumentado en 12 es igual a su triple disminuido en

5. ¿Cuál es el número?

3.04. Tres números impares consecutivos suman 81. ¿Cuáles son losnúmeros?3.05. El doble de un número más el triple de su sucesor, más el doble del

sucesor de éste es 147. Hallar el número.3.06. La diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos es 103.

¿Cuáles son los números?

3.07. En el triángulo ABC, los lados_____ _____

3 AB BC y

_____

_____

2

AC BC . Si su perímetro

es 84 m. ¿Cuánto mide cada lado?3.08. Si el lado de un cuadrado se duplica, su perímetro aumenta 40 m.

Calcular la medida del lado del cuadrado.3.09. Las dimensiones de un rectángulo están en la razón 3:5 y su perímetro es

140 m. Calcular el largo y en ancho.3.10. Si el lado de un cuadrado es aumentado en 8 unidades, su perímetro setriplica. ¿Cuánto mide el lado?

3.11. Un padre tiene 20 años más que su hijo. Dentro de 12 años, el padretendrá el doble de la edad del hijo. ¿Cuántos años tiene cada unoactualmente?

3.12. Las edades de un matrimonio suman 62 años. Si se casaron hace 10años y la edad de la novia era 3/4 de la edad del novio. ¿Qué edad tienenactualmente?




3.13. La edad de Pedro excede a la de su amigo Santiago en 4 años y a la desu amigo Juan en 2 años. Hace 6 años la razón entre sus edades era2:3:4. ¿Qué edad tienen actualmente?

3.14. La edad de María es el triple de la de Ester y excede en 5 años a la edadde Isabel. Si las edades de Ester e Isabel suman 23 años. Hallar la edadde cada una.

3.15. Guido tiene la cuarta parte de la edad de su padre Andrés y el triple de laedad de su hermano David. ¿Qué edad tiene cada uno, si sus edadessuman 48 años?

3.16. Hace 6 años un padre tenía el cuádruplo de la edad de su hijo. En 10años más tendrá sólo el doble. Hallar la edad actual del padre e hijo.

3.17. Un padre tiene 52 años y su hijo 16. ¿Hace cuántos años el hijo tenía laséptima parte de la edad del padre?

3.18. Se compran 25 lápices, 32 cuadernos y 24 gomas de borrar y se cancelapor ello $ 16.900. Si cada cuaderno cuesta el triple de cada goma, más $20 y cada lápiz cuesta el doble de cada goma, más $ 8. ¿Cuánto cuestacada material?

3.19. Hernán tiene el doble de dinero que Gladis y el triple que María. SiHernán regalara $ 14 a Gladys y $ 35 a María, los tres quedarían conigual cantidad. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?

3.20. Una persona puede pintar una muralla en 5 horas, otra lo hace en 6 horasy una tercera persona tarda 12 horas en pintar la misma muralla. ¿Cuántotardarían si la pintaran entre las tres?

3.21. El numerador de una fracción excede en dos unidades al denominador. Sial numerador se le suma 3, la fracción queda equivalente a 4/3. Hallar lafracción.

3.22. Hallar dos números enteros consecutivos cuya suma sea 103.3.23. Tres números enteros consecutivos suman 204. Hallar los números.3.24. Hallar dos números enteros pares consecutivos cuya suma sea 194.3.25. La suma de tres números impares consecutivos es 99. Hallar los

números.3.26. La suma de las edades de tres personas es 88 años. La mayor tiene 20

años más que la menor y la del medio 18 años menos que la mayor.Hallar las edades respectivas.3.27. Dividir 1080 en dos partes tales que la mayor disminuida en 132

equivalga a la menor aumentada en 100.3.28. Dividir 85 en dos partes tales que el triple de la parte menor equivalga al

doble de la mayor.3.29. Hallar tres números enteros consecutivos, tales que el doble del menor

más el triple del mediano, más el cuádruple del mayor equivalgan a 740.3.30. La cabeza de un pez corresponde al tercio de su peso total, la cola a un

cuarto del peso y el resto del cuerpo pesa 4 kg. 600 gramos. ¿Cuántopesa el pez?

3.31. La diferencia entre dos números es 38. Si se divide el mayor de losnúmeros por el menor, el cuociente es 2 y queda un resto de 8.

Determina los números.3.32. Separa el número 180 en dos partes tales que dividiendo la primera por11 y la segunda por 27, la suma de los cuocientes sea 12.

3.33. ¿Qué número debe sumarse al numerador y al denominador de lafracción 8/13 y simultáneamente restarse del numerador y deldenominador de 40/51 para que las fracciones resultantes seanequivalentes?

3.34. Un trozo de alambre de 28 cm. de largo se ha doblado en forma deángulo recto. Determina la distancia entre ambos extremos del alambre,si uno de los lados del ángulo formado mide 12 cm.




3.35. Al preguntársele a Pitágoras por el número de sus alumnos, dio lasiguiente respuesta: “La mitad de mis alumnos estudia Matemática, lacuarta parte estudia Física, la séptima parte aprende Filosofía y aparte deéstos hay tres niños muy chicos” ¿Puedes deducir cuántos alumnos teníael famoso matemático griego?

3.36. Al comprar 3 Kg. de tomates y 4 Kg. de papas, una dueña de casa pagó $119. ¿Cuánto vale el kilo de tomates, sabiendo que es $ 14 más caro queel kilo de papas?

3.37. La entrada para una función de teatro al aire libre vale $ 60, adultos, y $25, niños. La recaudación arrojó un resultado de 280 asistentes y fue de $14.000. ¿Cuántos niños asistieron a la función?

3.38. En un tratado del álgebra escrito por el célebre matemático LeonhardEuler, publicado en 1770 aparece el siguiente problema: “En una hosteríase alojan 20 personas entre hombres y mujeres. Cada hombre paga 8monedas por su hospedaje y cada mujer 7, del mismo valor, ascendiendoel total de la cuenta a 144 monedas. Se pregunta cuántos hombres ycuántas mujeres son”

3.39. Silvia compra un pañuelo, una falda, y un abrigo en $ 5.050. Calcula losprecios respectivos, si la falda vale 25 veces más que el pañuelo, y elabrigo, el triple de la falda.

3.40. Se cuenta que la legendaria fundadora de Praga, la reina Libussa deBohemia, eligió a su consorte entre tres pretendientes, planteándoles elsiguiente problema: ¿cuántas ciruelas contenía un canasto del cual ellasacó la mitad del contenido y una ciruela más para el primer pretendiente;para el segundo la mitad de lo que quedó y una ciruela más y para eltercero la mitad de lo que entonces quedaba y tres ciruelas más, si conesto el canasto se vació. ¿Puedes calcularlo tú?

4. Solucionar los siguientes problemas sobre ecuaciones cuadráticas.

4.01. Se quiere hacer una caja de 50 cm3 de volumen con una cartulinacuadrada. Para hacerla se cortan en las esquinas cuadrados de 2 cm de

lado. ¿Cuánto mide el lado de la cartulina cuadrada?4.02. Determina los lados de un rectángulo, sabiendo que su semiperímetro es25m y su área es 150m2.

4.03. La edad de Liliana era hace 6 años la raíz cuadrada de la edad quetendrá dentro de 6 años. Determina la edad actual.

4.04. Dos cuerdas se cortan en un círculo. Una mide 30 cm, la otra mide 50 cmy pasa por el punto medio de la primera. ¿Cuáles son las medidas de lossegmentos en que ha quedado dividida la segunda cuerda?

4.05. Un rectángulo equivale a un cuadrado de 36 cm de lado. Determina lasdimensiones del rectángulo, sabiendo que una de ellas es 4 veces la otra.

4.06. Determina las medidas de un triángulo rectángulo, sabiendo que superímetro es 80 cm y la suma de los catetos es 46 cm.

4.07. El área de un rectángulo es 360 m2 y el largo excede al ancho en dos

unidades. Calcula el perímetro del rectángulo.4.08. Determinar las longitudes de los lados de un rectángulo si el lado mayorexcede en 10 cm al menor y la diagonal mide 50 cm.

4.09. Una persona compró cierto número de objetos en $ 300. Podría habercomprado 10 objetos más, si cada uno hubiese costado $ 5 menos.¿Cuántos objetos compró?

4.10. Un deportista caminó 30 krn en un cierto número de horas. Si hubiesecaminado 1 km más por hora habría tardado 1 hora menos en recorrer lamisma distancia. ¿Cuántos kilómetros por hora recorrió?




4.11. Un rectángulo mide 15 cm de largo y 8 cm de ancho. ¿En cuántoscentímetros habría que disminuir, simultáneamente, el largo y el anchopara que la diagonal sea 4 cm menor?

4.12. Calcula la altura y la base de un triángulo isósceles cuyos lados igualesmiden 10 cm y la altura es 2 cm más larga que la mitad de la base.

4.13. En un círculo de radio 17 cm se traza una cuerda perpendicular a undiámetro. La distancia desde el centro a dicha cuerda es 7 cm más que lamitad de la longitud de la cuerda. Calcula la medida de la cuerda.

4.14. En un círculo, la distancia entre dos cuerdas paralelas congruentes es de12 cm. Cada cuerda mide 6 cm más que el radio. Determina el radio.

4.15. Determina los lados de un triángulo rectángulo, sabiendo que lasdimensiones de los tres corresponden a números naturales consecutivos.

4.16. La hipotenusa de un triángulo rectángulo es 25 metros y la suma de loscatetos es 35 m ¿Cuánto miden los catetos?

4.17. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 25 m y uno de los catetostiene 6 m más que su proyección sobre la hipotenusa. Calcular loscatetos.

4.18. Un cateto de un triángulo rectángulo mide un metro menos que laproyección del otro cateto sobre la hipotenusa. ¿Cuánto mide estaproyección, si el otro segmento de la, hipotenusa mide 9 m?

4.19. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 9 m más que uno de loscatetos y 8 m más que el otro. Calcular los lados del triángulo.

4.20. Calcular los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que la suma de loscatetos es. 28 m y que la hipotenusa tiene 4 m menos que el doble delcateto menor.

4.21. El cuadrado de la suma de los catetos de un triángulo rectángulo tiene120 m2 más que el cuadrado de la hipotenusa. Calcular los catetos y lahipotenusa, sabiendo que la diferencia entre los catetos es 7 m.

4.22. La suma de la base con la altura de un triángulo es 30 m y el área, deltriángulo es 112 m2. Calcular la base y la altura del triángulo.

4.23. La suma de los perímetros de dos cuadrados es 240 cm y la suma de susáreas es 2 522 cm2. ¿Cuánto mide el lado de cada cuadrado?

4.24. La suma de los catetos de un triángulo rectángulo es 71 cm y el área deltriángulo es 330 cm2. ¿Cuánto miden los catetos?4.25. En un triángulo rectángulo el cateto .menor mide 42 cm y los segmentos

de la hipotenusa determinados por la altura tienen una diferencia de 98cm, ¿Cuánto mide la hipotenusa?

4.26. En un triángulo isósceles la base mide 24 y cada lado 8 cm más que laaltura trazada a la base. ¿Qué longitud tienen los lados?

4.27. La tangente trazada a una circunferencia desde un punto situado a 61 cmde distancia del centro es 49 cm más larga que el radio de lacircunferencia. ¿Qué longitud tiene el radio?

4.28. El segundo curso de un colegio tiene 3 alumnos más que el tercero, y elprimero 6 alumnos más que el segundo. En una colecta de caridad cadaalumno del mismo curso da la misma suma, pero cada alumno del tercer

curso da tanto como cada alumno del segundo y del primero juntos. Eltercer curso juntó 10 UF, el segundo 6,9 UF y el primero 5,8 UF.¿Cuántos alumnos tiene cada curso?

4.29. El cateto mayor de un triángulo rectángulo mide 60 cm y la diferencia delas proyecciones sobre la hipotenusa es 21 cm. Calcular los otros doslados del triángulo.

4.30. En un triángulo la base mide 15 cm más que el doble de la altura.Calcular la base y la altura, sabiendo que el área del triángulo es 301cm2.




4.31. Alguien regala US$ 525 para repartirlos entre los niños del nivel cuartobásico de una escuela. Como 25 niños estaban ausentes, cada uno delos niños presentes obtuvo US 0,50 más. ¿De cuántos niños se componíael nivel cuarto?

3.4. Conjunto solución de una ecuación racional.Dado que una ecuación racional posee variables en el denominador, antes deempezar a solucionarla debemos determinar su dominio.

El procedimiento para determinar la solución de una ecuación racional es elsiguiente:1. Calcular el m. c. m. de los denominadores.2. Multiplicar el m. c. m. establecido por cada sumando de la ecuación. 3. Solucionar la ecuación resultante.

Ejemplo. Resolver:1 2 4

2 2 5

x

x x

Dominio de la ecuación: Para establecer el dominio de la ecuación,

los denominadores que tienen variables se igualan a cero. En nuestroejemplo sería: x – 2 = 0 → x = 2 x + 2 = 0 → x = –2. Los números que resulten de

solucionar estas igualdades son excluidos del conjunto de losnúmeros complejos.Dominio de la ecuación: 2; 2 .

El mínimo común múltiplo de: x – 2, x + 2 y 5 es: 5(x – 2)(x + 2).Multiplicando a cada sumando de la ecuación por este m. c. m., setiene: 5 2 10 2 2 2 4 x x x x x

3 25 10 10 20 4 4 16 x x x x x

3 2

4 4 16 5 10 10 20 0 x x x x x 3 2

4 19 6 0 x x x 3 2

4 19 6 0 x x x (x – 3)(x2 + 7x + 2) = 0

a. x – 3 = 0 → x = 3

b. x2 + 7x + 2 = 0 → x =7 41

2 2


3; ;

2 2 2 2

Ejemplo. Resolver:2

1 10

1 x x x

Dominio de la ecuación: 0; 1 .

El mínimo común múltiplo de x2 – x = x(x – 1) y x – 1 es: x(x – 1).




Multiplicando este mínimo común múltiplo a cada sumando de laecuación se tiene: 1 0 x → x = 1. Aparentemente 1 sería la

solución; pero 1 no pertenece al dominio de la ecuación por lo que suconjunto solución es el conjunto vacío. S =

Ejemplo. Resolver:2

1 1 1

2 2 4 x x x

Dominio de la ecuación: 2; 2

El mínimo común múltiplo de x – 2, x + 2 y x2 – 4 = (x – 2)(x + 2) es elpolinomio: x2 – 4.Multiplicando este mínimo común múltiplo por cada sumando de laecuación se sigue: 2 2 1 x x

2x = 1 → x = 1/2.

Conjunto solución: S = {1/2}

Ejemplo. Resolver:

11

1 21

21

x

x x

x

Dominio de la ecuación: 3; 1; 1

Haciendo los denominadores igual cero, se tiene:x – 1 = 0 → x = 1 x + 1 = 0 → x = –1

1 2 2 1 32 0 0 0 3

1 1 1

x x x x x

x x x

Efectuamos operaciones en el numerador y denominador y tenemos:1 1

1 22 2 1

1

x x

x x x

x

→

2

1 23

1

x

x x

x

→

2 12

1 3

x x

x x

2 1 2 1 3 x x x x → 2 22 2 2 2 3 x x x x

2 22 2 2 4 6 x x x x → 2 6 x → x = 3

Conjunto solución: S = 3

Ejemplo. Resolver:3 2 3

2 1 1

x

x x x





El mínimo común múltiplo de x – 2 y x + 1 es: (x – 2)(x + 1)

Multiplicando este mínimo común múltiplo por cada sumando de la

ecuación se tiene: 2

3 1 2 3 2 x x x

3x + 3 + x2 – 4x + 4 = 3x – 6x2 – 4x + 13 = 0

x = 2 3i

Conjunto solución: S = 2 3 ; 2 3i i

3.4.1. Ejemplos de problemas que se resuelven planteando ecuacionesracionales.

1. ¿Cuál es el número entero que al sumarlo con su inverso da comoresultado 26/5?

Planteo del problema.Sea x el número solicitado.

Solución del problema.1 26

5 x x Dominio de la ecuación: 0

m. c. m. = 5x5x2 + 5 = 26x

5x2 – 26x + 5 = 0x = 1/5; 5

Respuesta al problema: El entero buscado es 5

2. Dos caños A y B llenan juntos una piscina en 2 horas. A lo hace por sisolo en 3 horas menos que B. ¿Cuántas horas tarda cada unoseparadamente en llenar la piscina?

Planteo del problema.Sea x el número de horasutilizadas en llenar la piscinael caño B.A lo hará en x – 3 horas.

Solución del problema.1 1 1

3 2 x x


m. c. m. = 2x(x – 3)2(x – 3) + 2x = x(x – 3)2x – 6 + 2x = x2 – 3x

x2 – 7x + 6 = 0(x – 1)(x – 6) = 0

x = 1; 6Respuesta: Separadamente, A llena la piscina en 3 horas y B en 6horas.

ACTIVIDAD Nº 04

1. Determinar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones racionales.

1.01.4 7 4 7

13 3 9

x x x

x

1.02.

31

1 1

x

x x




1.03.2

2 3 2 2

1 1 1

x x x

x x x

1.04.

1

1 21

1

2

x

x

1.05. 2

2 3 3 2 7

1 1 1 1

x

x x x x

1.06.

1

13 1

3

x

x x

1.07.2

5 3 3 5

1 4 3 4 1 x x x x x

1.08.

2

15 12 6 18

2 4 2

x

x x x

1.09.2 2

1 1 1

x a x a x a

1.10.

1 32

1

x x

x x

1.11.1 3

21 1

x x

x x

1.12.

3 1

1

12

2

x x

x

x

1.13.3 3

12 41

11

1

x x

x x

x

x

1.14.1 4

3 x

x

1.15.6 6

1 1 24 x x x x

1.16.

2 32 4 3 2 0 x x

x x

Problema: Un caño tarda dos horas más que otro en llenar un depósito y abriendolos dos juntos se llena en 1 hora y 20 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará enllenarlo cada uno por separado?

3.5. Conjunto solución de una ecuación irracional.Teniendo en cuenta que las ecuaciones irracionales tienen variables dentro deradicales, para determinar el conjunto solución, éstos deben ser eliminados,elevando cada miembro de la ecuación al índice de la raíz.

Ejemplo. Resolver: 2 5 13 x x

Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación se tiene:

2 2

2 5 13 x x . Propiedad: 2

a a

2 5 13 x x

Aislando el radical, se sigue: 5 11 x x

Volvemos a elevar al cuadrado: 2 2

5 11 x x

25 121 22 x x x → 2

23 126 0 x x → x = 9; 14

Observación 18. Los valores obtenidos al solucionar una ecuación irracionaldeben ser comprobados. Al elevar a cada miembro de laecuación a alguna potencia, esta se transforma en otra. Puede




suceder que en este proceso se introduzcan soluciones queno satisfacen la ecuación original.

Por ejemplo al solucionar la ecuación anterior se ha obtenido:9 y 14.

Comprobemos con x = 9. 2 9 5 13 9

2 4 4

2 2 2

4 2 2 2 Se cumple.

Si x = 14; 2 14 5 13 14

2 9 1

2 3 1

5 1 No se cumple

Conjunto solución: S = 9

Ejemplo. Resolver: 3 6 2 6 9 4 x x x

Elevando al cuadrado, se tiene: Propiedad: (a+b)2 = a2+2ab+b2

3 6 2 3 6 2 6 2 6 9 4 x x x x x

2 3 6 2 6 4 4 x x x Propiedad: a b ab

26 6 36 2 2 x x x

Volviendo a elevar al cuadrado: 226 6 36 2 2 x x x 2 2

6 6 36 4 8 4 x x x x → 22 2 40 0 x x → x = –4; 5

Comprobando: Para x = –4; 3( 4) 6 2( 4) 6 9( 4) 4

12 6 8 6 36 4

18 2 32

9 2 1 2 1 16 2 1

3 2 2 4 2i i i

4 2 4 2i i Se cumple

Para x = 5; 3(5) 6 2(5) 6 9(5) 4

15 6 10 6 45 4

9 16 49 3 4 7 Se cumple

Conjunto solución: S = 4; 5




Ejemplo. Resolver:2 2

2 2

2 2 x

x x x x

Primero racionalizamos cada sumando del primer miembro,multiplicando por su conjugada.

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

x x x x x

x x x x x x x x

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

x x x x x

x x x x

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

x x x x x

x x x x

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

x x x x x

x x

→

2 2

2 2

2 2

1 1

x x x x x

x x

2 2

2

2 2

1

x x x x x

x

→

2

2

1

x x

x

(*) → 2

2 1 x x x

(*) Ecuación racional, cuyo dominio es el conjunto. 1; 1 3

2 x x x → 33 0 x x → 2

3 0 x x → x = 3; 0; 3

Conjunto solución: S = 3; 0; 3

3.5.1. Problemas que se resuelven utilizando ecuaciones irracionales.

1. La raíz cuadrada de la edad de un padre da la edad del hijo. Al cabode 24 años la edad del padre será doble que la del hijo. ¿Cuántosaños tiene cada uno?

Planteo del problema.Sea x la edad del padre.

Edad del hijo = x

Solución del problema.

24 2 24 x x

24 2 48 x x

24 2 x x

2

24 4 x x 2

48 576 4 x x x 2

52 576 0 x x x = 16; 36

Respuesta del problema: Edad del padre 36. El valor 16 no cumplelas condiciones del problema.




2. Calcular el área del triángulo cuyos lados miden 10 cm. 24 cm. y 26cm.

Considere el triángulo ABC:

Aplicando el Teorema de Pitágoras se tiene: h = 2 210 x

h = 22

24 26 x

Igualando las alturas, se sigue: 2 210 x =

2224 26 x

Elevando al cuadrado: 102 – x2 = 242 – (26 – x)2

x =50

13

26 – x =288

13

Altura: h =2

2 50 12010

13 13

∆ ABC =

50 120 288 120

3000 1728013 13 13 13120

2 2 169 169

cm2

ACTIVIDAD Nº 05

1. Determinar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones irracionales.

1.01. 5 3 7 x x 1.02. 7 3 7 x x

1.03. 4 3 1 x x 1.04. 2 1 4 6 x x

1.05. 3 4 4 1 x x x 1.06. 2 2 1 6 5 2 9 x x x

1.07.1

2 1 2 12 1

x x x

1.08.21

6 1 2 36 1

x x x

1.09. 3 63 4 x x

1.10.3

22 2 x x

1.11. 6 11 5 10 x x x 1.12. 9 15 6 2 3 x x

1.13. 3 3 2 1 1 x x

1.14.1 1 3

45 5 5 5 x x x x

∆ ABC = ∆ ABD + ∆ ACD

∆ ABD =( )( )

2

x h

∆ ABD =(26 )( )

2

x h

h = altura

26 – xx

A

B C

10 cm.

24 cm.

26 cm.

D




1.152 2 2 2

2

2 2 2 2

1 1 1 14 1

1 1 1 1

x x x x x

x x x x

2. Plantea y resuelve los siguientes problemas.

2.01. El área de un triángulo equilátero es 9 3 m2

. Determine el perímetro y lamedida de su altura.2.02. El volumen de un cubo mide 1728 m3. Calcule la medida de la diagonal

de una de sus caras y la medida de la diagonal del cubo.2.03. Si la raíz cuadrada de un número se aumenta en dos, resulta 5. ¿Cuál es

el número?2.04. El volumen de una esfera mide 36 m3. Calcule la medida de su radio.2.05. Determine el perímetro de un rombo cuyas diagonales tienen como

medida 6 m y 8 m respectivamente.2.06. El volumen de un cono recto mide 245 cm3. ¿Cuánto mide su radio

basal si la medida de su altura es 15 cm?

2.07. El área de un triángulo equilátero es 100 3 m2. Indique la medida del

área del cuadrado que tiene por lado la altura del triángulo.2.08. El área de un cuadrado es 8 m2. Calcule la medida del área del cuadradoque tiene por lado la diagonal del cuadrado.

2.09. Determine la medida del área del cubo que tiene como arista la diagonalde un cubo cuyo volumen mide 729 m3.

2.10. Calcule el área del triángulo equilátero cuyo lado tiene la misma medida

que el lado de un cuadrado en que su diagonal mide 7 2 m.

3.6. Relación entre las raíces de una ecuación cuadrática y sus coeficientes.Considere la ecuación cuadrática; ax2 + bx + c = 0; a distinto de 0. y lasraíces de esta ecuación. La relación que se da entre los coeficientes a, b y c deesta ecuación con sus raíces y son las siguientes igualdades:

1. ba

2. =c

a

En el caso particular en que el coeficiente “a” sea la unidad, las igualdades seconvierten en: 3. b

4. = c

3.6.1. Problemas que se resuelven utilizando las igualdades anteriores.1. Si la ecuación x2 + 2(k + 1)x + k2 = 0, tiene raíces iguales. ¿Cuál es el

valor de k?

a = 1; b = 2(k + 1) y c = k2. Puesto que a = 1, usaremos las igualdades3 y 4. Si la ecuación tiene raíces iguales; entonces: .Por la igualdad 3. 2 = –2(k + 1) → 1k ……(*)

Por la igualdad 4. 2 = k2 ……….(**)

Reemplazando (*) en (**), se tiene: (–k – 1)2 = k2 k2 + 2k + 1 = k2

2k + 1 = 0 → k = –1/2Respuesta: El valor de k es –1/2.




2. Una raíz de 6x2 – 13x + a = 0 es1

12

. Determinar el valor de a.

a = 6; b = –13 y c = a.1 3

12 2

. Usando las igualdades 1 y 2, se

tiene: a.3 13

2 6 →13 3

6 2 →2

3

b.3 2

2 3 6

a

→ a = 6

Respuesta. El valor de a es 6.

3. ¿Cuál es el valor de p, si una de las raíces de la ecuación cuadrática;2x2 – 32x + p = 0 es diez veces la otra?

a = 2; b = –32 y c = p. Considere ; una de las raíces, entonces10 . Usando las igualdades 1 y 2, se tiene:

a. 32 162

b.2

p .

Por otro lado: 10 11

210 10

Igualando, se sigue: 11 16 →16

11

2

161011 2

p

→ p = 5120121

Observación 19. El uso del discriminante es muy útil en este tipo de problemas.Veamos el siguiente ejemplo:

4. Muestre que la ecuación; 3mx2 – (2m + 3n)x + 2n = 0; tiene raícesracionales.

Cálculo del discriminante: 24b ac

2

2 3 4 3 2m n m n 2 2

4 12 9 24m mn n mn 2 2

4 12 9m mn n

2

2 3 0m n

Observe que, el discriminante es igual a una cantidad elevada alcuadrado; por lo que al calcular las raíces de la ecuación usando lafórmula cuadrática, se van a tener raíces reales pero racionales.

ACTIVIDAD Nº 06

1. Plantee y resuelva los siguientes problemas.

1.01. Una raíz de 6x2 + ax – 5 = 0, es 12/3. ¿Cuál es el valor de a?

1.02. Una raíz de ax2 + x – 3 = 0, es1

1

2

. ¿Cuál es el valor de a?

1.03. Muestre que las raíces de la ecuación; a(x2 – 1) = (b – c)x son siemprenúmeros reales.

1.04. Si a y b son las raíces de la ecuación; px2 + qx + r = 0. Hallar el valor de:a. a2 + b2 b. (a – b)2 c. a3 + b3 d. 1/(a3 – b3)

1.05. Si a y b son las raíces de la ecuación; x2 – px + q = 0. Determinar laecuación de segundo grado cuyas raíces son:a. a + 1; b + 1 b. a2; b2 c. a – 2; b – 2 d. a + 2b; 2a + b

3.7. Concepto de desigualdad.Una desigualdad es un enunciado matemático que relaciona dos cantidades o

expresiones algebraicas a través de los símbolos: <, >, ó . Símbolos usadospara definir las relaciones de orden. Estos símbolos se leen de la siguientemanera:

3.7.1. <: menor que3.7.2. >: mayor que3.7.3. : menor o igual que3.7.4. : mayor o igual que

3.8. Clases de desigualdades.Las desigualdades se clasifican como:

3.8.1. Desigualdades numéricas: Son desigualdades que ordenan elementos

del conjunto de los números reales y pueden tomar las siguientes formas:

a < b: que se lee a es menor que ba > b: que se lee a es mayor que ba b: que se lee a es menor ó igual que ba b: que se lee a es mayor o igual que b

Ejemplos:2 < 7: que se lee 2 es menor que 73 11: que se lee 3 es menor o igual que 11 –5 –10: que se lee –5 es mayor o igual que –10 –3 > –7: que se lee –3 es mayor o igual a –7

3.8.2. Desigualdades literales o Inecuaciones. Son desigualdades quecontienen variables y estas pueden ser polinómicas, racionales oirracionales.

Ejemplos: x3 – 3x + 7 > 12 Inecuación polinómica

2

1 2

1

x

x x

Inecuación racional

24 2 3 x x Inecuación Irracional.

3.9. Principales axiomas de orden del sistema de los números reales.3.9.1. Tricotomía. Si a y b son dos números reales, una y sólo una de las

siguientes situaciones se cumple:1. a = b2. a > b 3. a b y b > c → a > c

3.9.3. Monotonía. Si, a b y c → a + c > b + c Si, a b y c → a – c > b – cSi, a 0 → a.c < b.c Si, a b.c Si, a > b y c > 0 → a.c > b.c Si, a > b y c < 0 → a.c < b.c

3.9.4. Ley de signos. Si, a > 0 y b > 0 → a.b > 0 Si, a > 0 y b < 0 → a.b < 0 Si, a < 0 y b < 0 → a.b > 0 Si, a < 0 y b > 0 → a.b < 0

3.9.5. Si, a → a2 0 (Todo número real elevado al cuadrado es positivo)

3.9.6. Si, a2 < b, donde b > 0 → b a b

3.9.7. Si, a2 > b, donde b > 0 → a b a b

3.9.8. Si, a > b > 0 → 1 1

a b

Si, a < b < 0 →1 1

a b

Ejemplo ilustrativo del uso de los axiomas de orden en la demostración denuevos resultados: Demuestre que entre dos números reales existe otronúmero real.

Supongamos que a y b son dos números reales tales que: a < b, entonces:

a + a < a + b Propiedad de Monotonía (Se ha sumado a)

a + b < b + b Propiedad de Monotonía (Se ha sumado b)2a < a + ba + b < 2b2a < a + b < 2b

2

a ba b

Propiedad de Monotonía

Se ha probado que entre a y b existe otro número real que es:2

a b




3.10. Concepto de Intervalo.Un intervalo es un subconjunto de los números reales que está comprendidoentre dos números cualesquiera a y b que pertenecen a este conjunto. Losintervalos pueden ser abiertos, cerrados o semiabiertos.

3.10.1. Intervalo abierto.

(a;b) = : x tq a x b

Gráficamente es:

3.10.2. Intervalo cerrado.[a;b] = : x tq a x b

Gráficamente es:

3.10.3. Intervalos semiabiertos.(a;b] = : x tq a x b

Gráficamente es:

[a;b) = : x tq a x b

Gráficamente es:

3.10.4. Intervalos infinitos.[a; ) = : x tq x a

Gráficamente es:

(a; ) = : x tq x a

Gráficamente es:

( ;b] = : x tq x b

Gráficamente es:

a b

a b

a b

a b

a

a

b

( ;b) = : x tq x b

Gráficamente es:

3.11. Conjunto solución de una Inecuación de primer grado.Para determinar el conjunto solución de una inecuación de primer grado serecomienda dejar en uno de los miembros los sumandos que tengan la variable yen el otro miembro los sumandos independientes y luego aplicar los axiomas deorden.

Determinar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones:1. 3x + 6 > 2x + 12

Solución:3x + 6 > 2x + 123x – 2x > 12 – 6x > 6

Conjunto solución: 6;

2. 10x + 24 < 16x + 12

Solución:10x – 16x < 12 – 24 –6x < –12

x >12

6

x > 2Conjunto solución: (2; )

3.2 3

53 5

x x

Solución:Multiplicando a cada sumando por m. c. m. (3;5) = 15, se tiene:5(x + 3) + 3(x – 3) ≥ 75 5x + 15 + 3x – 9 ≥ 75 8x + 6 ≥ 75 8x ≥ 69

x ≥69

8=

37

4

Conjunto solución: 37 ;4

4.1 1 1

2 3 42 3 4

x x x

Solución:2x + 1 + 3x + 1 > 4x + 15x – 4x > –1

b

x > -1Conjunto Solución: 1;

5. Dentro de cinco años, Leydi tendrá no menos de 18 años. ¿Qué edad tieneactualmente Leydi?

Planteo del problema: Sea x la edad de Leydi.

Edad de Leydi dentro de 5 años: x + 5Solución: x + 5 ≥ 18 x ≥ 13

Respuesta: Leydi tiene más de 12 años.

ACTIVIDAD Nº 07

1. Determinar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones de primergrado.

1.01. 2(x + 1) – 3( x – 2) < x + 6

1.02.3 1 2 4 5 4 7

7 3 14 6

x x x x

1.03. 1 2 3 3 1 3

6 3 3 28 16 4 4 8

x x x x

1.04. 2 3 2 5 3

2 1 33 2 3 12

x x x x x

1.05. (4x + 2)(4x + 9) ≤ (4x + 6)2

1.06. 7x(2x + 5) – 5x(2x + 3) < (2x + 4)2

1.07.3

3 32

x

1.08. 3(x – 1)2 – 2(x + 2)(x – 1) ≥ (x – 4)2 1.09. (2x – 1)(2x + 1) – 3x(x+2) < x(x +4)

2. Determinar los valores de k para que las raíces de la ecuación; x2 – 6x + k = 0sean reales y diferentes.

3.12. El conjunto solución de una inecuación de segundo grado.Para establecer el conjunto solución de una inecuación de segundo grado,después de haber simplificado a la misma, haga uso de las siguientes Tablas Nº01 y 02:

Tabla Nº 01

Discriminante Inecuación Soluciónax2 + bx + c > 0 1

r

ax2 + bx + c ≥ 0 ax2 + bx + c < 0

Si, 0 , la ecuación;

ax2 + bx + c = 0; tiene dosraíces reales e iguales:

r1 = r2 ax2 + bx + c ≤ 0 1r

ax2 + bx + c > 0 ( ;r1) (r2; )ax2 + bx + c ≥ 0 ( ;r1] [r2; )ax2 + bx + c < 0 (r1;r2)

Si, 0 , la ecuación;ax2 + bx + c = 0; tiene dosraíces reales diferentes.

r1 < r2 ax2 + bx + c ≤ 0 [r1;r2]

Tabla Nº 02

Discriminante Inecuación SoluciónAx2 + bx + c > 0 Ax2 + bx + c ≥ 0 Ax2 + bx + c < 0

Si, 0 , la ecuación;ax2 + bx + c = 0; no tieneraíces reales y siempre se

cumple que: ax

2

+ bx + c > 0 Ax

2

+ bx + c ≤ 0 Determinar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones:1. 9x2 – 12x + 4 > 0

Solución:

Calculamos el discriminante; 2

12 4 9 4

144 144

0 Como el discriminante es igual a 0.

Calculamos la raíz real; r1 = r2 =

12 0 12 2

2 9 18 3

Por la primera fila de la Tabla Nº 01, el conjunto solución es:2

3

2. 25x2 + 40x + 16 ≥ 0

Solución:


40 4 25 16

1600 1600

0 Como el discriminante es igual a 0.


40 0 40 4

2 25 50 5

Por la segunda fila de la Tabla Nº 01, el conjunto solución es:

3. 4x2 – 20x + 25 < 0

Solución:


20 4 4 25

400 400 0

Como el discriminante es igual a 0.


20 0 20 5

2 4 8 2

Por la tercera fila de la Tabla Nº 01, el conjunto solución es:

4. 16x2 – 8x + 1 ≤ 0

Solución:

8 4 16 1

64 64 0

Como el discriminante es igual a 0.


8 0 8 1

2 16 32 4

Por la cuarta fila de la Tabla Nº 01, el conjunto solución es:1

4

5. 3x2 – 4x + 1 > 0

Solución:


4 4 3 1

16 12

4

Como el discriminante es mayor que 0.

Calculamos las raíces reales; r1; r2 =

4 2 1

4 4 4 2 6 3

4 22 3 61

6

Por la quinta fila de la Tabla Nº 01, y dado que1 2

11

3r r . El conjunto

solución es: 1

; 1;3

6. 5x2 – 12x + 6 ≥ 0

Solución:


12 4 5 6

144 120

24 Como el discriminante es mayor que 0.

Calculamos la raíces reales; r1; r2 =

6 6

12 24 12 2 6 5

2 5 10 6 6

5

Por la sexta fila de la Tabla Nº 01, y dado que1 2

6 6 6 6

5 5r r

. El

conjunto solución es:6 6 6 6

; ;5 5

7. 8x2 – 2x – 3 < 0

Solución:





2 4 8 3

4 96 100



1

2 100 2 10 232 8 16

4

Por la séptima fila de la Tabla Nº 01, y dado que1 2

1 3

2 4r r

. El

conjunto solución es:1 3

;2 4

8. 6x2 + 11x + 3 ≤ 0

Solución:

Calculamos el discriminante; 211 4 6 3

121 72 49



3

11 49 11 7 2

12 6 12

3

Por la octava fila de la Tabla Nº 01, y dado que1 2

3 1

2 3r r

. El


;2 2

9. 5x2 + 12x + 8 > 0

Solución:


12 4 5 8

144 160 16

Como el discriminante es menor que 0, las raíces no son reales.Usando la primera fila de la Tabla Nº 02, obtenemos el conjunto solución.Este es:

10. 7x2 + 6x + 11 ≥ 0

Solución:


6 4 7 11

36 308

292

Como el discriminante es menor que 0, las raíces no son reales.Usando la segunda fila de la Tabla Nº 02, obtenemos el conjunto solución.Este es:

11. 2x2 + 7x + 15 < 0

Solución:


7 4 2 15

49 120

71 Como el discriminante es menor que 0, las raíces no son reales.Usando la tercera fila de la Tabla Nº 02, obtenemos el conjunto solución. Estees:

12. 3x2 – 7x + 15 ≤ 0

Solución:


7 4 3 15

49 180 131

Como el discriminante es menor que 0, las raíces no son reales.Usando la cuarta fila de la Tabla Nº 02, obtenemos el conjunto solución. Estees:

ACTIVIDAD Nº 08

1. Determine el conjunto solución de las siguientes inecuaciones de segundogrado.

1.01.2

5 6 0 x x 1.02.2

2 3 0 x x 1.03. 2

4 4 1 0 x x 1.04. 27 0 x x

1.05. 22 3 5 0 x x 1.06. 2

2 1 0 x x

1.07. 28 9 0 x x 1.08. 2

3 5 2 0 x x

1.09. 22 x x 1.10. 2

9 25 x

1.11. 2 2 2

5 4 3 x x x 1.12. 23 3 9 x x x

1.13. 216 x 1.14.

236 1 x

1.15. 2

2 2 6 x x x 1.16. 24 1 9 x x

2. Plantee y resuelva los siguientes problemas.

2.01. Determinar los valores de k que hacen que las raíces de la ecuacióncuadrática; 2

2 1 1 0kx k x k ; sean reales y diferentes.

2.02. Determine el valor de k de modo que la ecuación; 4x2 – 8x – 8 = k(4x + 3)no tenga raíces reales.

2.03. Determine el valor de k de modo que la expresión; –3x2 + 2kx – 12 seasiempre negativa.

2.04. ¿Qué valor de k hace a la expresión: (k – 2)x 2 – 2(2k – 3)x + 5k – 6siempre positiva?

3.12. Conjunto solución de una inecuación de grado mayor que 2.Para determinar el conjunto solución de una inecuación de grado mayor que 2,plantearemos el método de los intervalos, cuya secuencia lógica es la siguiente:

1º Después de efectuar las operaciones necesarias y tener el segundomiembro igual a 0, se procede a factorizar el primer miembro. Al factorizarel polinomio del primer miembro, puede suceder que: 1) el polinomiofactorizado sea un producto de factores lineales, 2) que el polinomiofactorizado sea un producto de factores lineales por cuadráticos ó 3) que elpolinomio factorizado sea un producto de factores cuadráticos porcuadráticos.

2º Caso 1. Si al factorizar el polinomio del primer miembro, éste resulta unproducto de factores lineales, se determinan las raíces del polinomio (nraíces si el polinomio es de grado n), las que reciben el nombre de puntoscríticos.

3º Las raíces calculadas denominadas puntos críticos, se ubican en la rectareal, determinando n+1 intervalos.

4º A estos intervalos se les va asignando signos de derecha a izquierda,intercaladamente e iniciando con el signo +.

5º Los símbolos < o ≤ se identifican con los intervalos que les tocó signo –. Ya los intervalos que les tocó el signo +, se identifican con los símbolo > o ≥.

6º Con estos intervalos identificados se construye el conjunto solución.

Observación 20. Si la inecuación posee la igualdad los puntos críticos o raícesdel polinomio son parte de la solución.

Ejemplos. Determinar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones.1. 6x3 – 23x2 – 38x + 15 ≥ 0

Solución:1º Puesto que el segundo miembro es 0, factorizamos elpolinomio; 6x3 – 23x2 – 38x + 15 = (2x + 3)(x – 5)(3x – 1).Dado que su factorización es un producto de factores lineales,

determinamos sus raíces. Las raíces son:3

2

;

1

3y 5.

2º Ubicamos a estas raíces o puntos críticos en la rectanumérica.

Observe que los puntos críticos o raíces del polinomio estánpintados de negro porque en la inecuación aparece la igualdad.

3º De derecha a izquierda empezamos a asignar signos a losintervalos establecidos.

5 1

3

3

2

5 1

3

3

2

4º Considerando que la inecuación posee el símbolo ≥, se tomanpara el conjunto solución, aquellos intervalos que tienen elsigno +; más las raíces del polinomio. En consecuencia el


; 5;2 3

2. 5x3

+ x2

– 36x – 35 < 1

Solución:1º Hacemos 0 el segundo miembro: 5x3 + x2 – 36x – 36 < 02º Factorizando; 5x3 + x2 – 36x – 36 = (x + 2)(x – 3)(5x + 6)

3º Las raíces del polinomio; son:6

2; 35

y

4º. Ubicamos estas raíces en la recta numérica y luegoasignamos signos.Observe que los puntos críticos o raíces del polinomio noestán sombreados; porque en la inecuación no aparece laigualdad. No son parte de la solución.

4º Como el signo de la inecuación es “<”, sólo consideraremospara el conjunto solución aquellos intervalos que lo tengan. El

conjunto solución es:6

; 2 ;35

Observación 21. Para la aplicación de este método debemos asegurarnos deque el coeficiente de la más alta potencia de la variable seapositivo.

3. –3x3 + 19x2 – 4x – 12 < 0

Solución:Primero hacemos positivo el coeficiente de la más alta potencia dela variable (x3), multiplicando a la inecuación por –1; resultando;3x3 – 19x2 + 4x + 12 > 0Observe que al multiplicar por –1 a la inecuación, el sentido de ladesigualdad cambia.Factorizamos; 3x3 – 19x2 + 4x + 12 = (3x + 2)(x – 1)(x – 6)

Las raíces del polinomio son:2

; 1 63

y

Ubicando a estas raíces en la recta real y asignando signos setiene:

Conjunto solución:2

;1 6;3

3 6

5

2

6 1

2

3




Caso 2 ó 3. Si al factorizar al polinomio del primer miembro, éste resulta un productode factores lineales por cuadráticos, o cuadráticos por cuadráticos, sedebe analizar el discriminante de los factores cuadráticos. Al analizar eldiscriminante de estos factores, puede suceder: 1) que el discriminantesea mayor que 0, 2) que el discriminante sea menor que 0, 3) que eldiscriminante sea igual a 0.

1) Si el discriminante es mayor que 0, se calculan las raíces y se ubicanen la recta real. Luego se asignan los signos a cada intervalo y sedetermina el conjunto solución.

Ejemplo. 2x3 – 5x2 + 2x + 1 > 0

Solución.Factorizando; 2x3 – 5x2 + 2x + 1 = (x – 1)(2x2 – 3x – 1)En la factorización aparece un factor cuadrático, calculamos el

discriminante; 2

3 4 2 1

9 8 = 17 > 0Como el discriminante es mayor que 0, calculamos sus raíces. Estas

son:3 17 3 17

4 4 y

. Estas raíces más la raíz del factor lineal se

ubican en la recta real.

Conjunto solución:3 17 3 17

;1 ;4 4

Ejemplo. x4 – 2x3 – 9x2 + 16x – 6 ≤ 0

Solución.Factorizando; x4 – 2x3 – 9x2 + 16x – 6 = (x + 3)(x – 1)(x2 – 4x + 2)Calculamos el discriminante del factor cuadrático; 8 > 0

Calculamos las raíces del factor cuadrático; 2 2 2 2 y Ubicando estas raíces más las raíces de los factores lineales en larecta real, se tiene:

Conjunto solución: 3; 2 2 1; 2 2

2) Si el discriminante es menor que 0, el factor cuadrático esreemplazado por la unidad y se procede a determinar el conjuntosolución.

Ejemplo. 4x4 + 12x3 – 47x2 – 50x – 75 ≥ 0

3 17

4

1

3 17

4

3 2 2 2 2 1




Solución.Factorizando el polinomio del primer miembro se tiene:4x4 + 12x3 – 47x2 – 50x – 75 = (4x2 + 4x + 5)(x + 5)(x – 3)Como aparece un factor cuadrático procedemos a calcular sudiscriminante; 2

4 4 4 5 16 80 64 0

Dado que el discriminante es menor que 0, sustituimos en la

inecuación este factor por la unidad con lo que nos quedaría:(1)(x + 5)(x – 3) ≥ 0 → (x + 5)(x – 3) ≥ 0. Inecuación que solo tienefactores lineales. Determinamos las raíces y las ubicamos en la rectareal dando signos a los intervalos resultantes.

Conjunto solución: ; 5 3;

Ejemplo. 2x4 – 5x3 + 7x2 – 4x + 2 ≤ 0

Solución.Factorizando: 2x4 – 5x3 + 7x2 – 4x + 2 = (2x2 – x + 1)(x2 – 2x + 2)Como se puede observar la factorización arroja un producto defactores cuadráticos.Cálculo del discriminante de; 2x2 – x + 1; 7 0 Cálculo del discriminante de; x2 – 2x + 2, 4 0 Reemplazando la unidad en cada factor cuadrático de la inecuaciónse sigue: (1)(1) ≤ 0 → 1 ≤ 0 (proposición falsa)Conjunto solución =

Ejemplo. 2x5 – 7x4 + 4x3 – 26x2 + 74x – 15 ≥ 0

2x

5

– 7x

4

+ 4x

3

– 26x

2

+ 74x – 15 = (2x

2

– 5x + 1)(x

2

+ 2x + 5)(x – 3)Discriminante de x2 + 2x + 5; 16 0 . Este factor es sustituidoen la inecuación por la unidad.Discriminante de 2x2 – 5x + 1; 17 0 . Calculamos las raíces.

Estas son:5 17 5 17

4 4 y

Inecuación resultante: (x2 + 2x + 5)(x – 3) ≥ 0 Ubicando las raíces en la recta real, se sigue:

Conjunto solución:5 17 5 17

; 3;4 4

Ejemplo. x4 + x2 + 1 ≥ 0

Solución.x4 + x2 + 1 = (x2 – x +1)(x2 + x + 1)

3 5

5 17

4

3

5 17

4

Discriminante de x2 – x + 1; 3 0 . Este factor es sustituido porla unidad en la inecuación.Discriminante de x2 + x + 1; 3 0 . Este factor es sustituido porla unidad en la inecuación.Inecuación resultante: 1 ≥ 0 (proposición verdadera) Conjunto solución:

3) Si el discriminante es igual a 0, una de las raíces se esta repitiendo yel factor cuadrático aparecerá en la factorización como un binomioelevado al cuadrado. Esta raíz es parte de la solución si la inecuacióntiene los símbolos ≥ ó ≤; caso contrario no lo es. Después de analizarsi la raíz pertenece o no a la solución el binomio elevado al cuadradose sustituye por la unidad en la inecuación.

Ejemplo. 4x4 – 20x3 + 29x2 – 16x + 3 ≤ 0

Solución.4x4 – 20x3 + 29x2 – 16x + 3 = (2x – 1)2(x – 1)(x – 3)

La raíz

1

2 se está repitiendo y como la inecuación tiene el símbolo ≤

consideramos a este valor parte de la solución. Sustituyendo el factorelevado al cuadrado por la unidad, se tiene: (x – 1)(x – 3) ≤ 0. Lospuntos críticos son: 1 y 3. Ubicándolos en la recta real se sigue:

Conjunto solución: 1

1;32

Ejemplo. x4 – 11x3 + 43x2 – 69x + 36 < 0

Solución.x4 – 11x3 + 43x2 – 69x + 36 = (x – 3)2(x – 4)(x – 1)La raíz 3, no pertenece a la solución, porque el símbolo de lainecuación es <.Sustituyendo el binomio elevado al cuadrado por la unidad, lainecuación resultante es: (x – 4)(x – 1) < 0. Los puntos críticos son: 1y 4. Ubicándolos en la recta real se sigue:

Conjunto solución: (1;4) – {3} = (1;3) (3;4)Ejemplo. 4x5 – 8x4 + 17x3 + 5x2 – 13x – 5 > 0

Solución.4x5 – 8x4 + 17x3 + 5x2 – 13x – 5 = (2x + 1)2(x – 1)(x2 – 2x + 5)

La raíz1

2

no pertenece a la solución.

La inecuación resultante es: (x – 1)(x2 – 2x + 5) > 0

3 1

4 1

Discriminante de x2 – 2x + 5; 16 0 . Se reemplaza por launidad. Inecuación resultante: x – 1 > 0 → x > 1


1; 1;2

Ejemplo. 2x5 – 17x4 + 41x3 – 23x2 – 16x + 4 < 0

Solución.2x5 – 17x4 + 41x3 – 23x2 – 16x + 4 = (x – 2)2(2x + 1)(x2 – 5x + 1)La raíz 2 no pertenece a la solución.El discriminante de x2 – 5x + 1 es: 21 0 . Las raíces de este

factor son:5 21 5 21

2 2 y

. Ubicando los puntos críticos en la

recta real se tiene:

Conjunto solución: 1 5 21 5 21

; ; 22 2 2

De otra manera:1 5 21 5 21

; ;2 2;2 2 2

Observación 22. Si al factorizar resultara una expresión elevada a una potenciaimpar, se trabaja la inecuación desatendiendo la potencia deesta expresión.

Ejemplo. x5 – 13x4 + 60x3 – 108x2 + 27x + 81 > 0

Solución.x5 – 13x4 + 60x3 – 108x2 + 27x + 81 = (x – 3)3(x2 – 4x – 3)

El factor x – 3 resultó elevado a la potencia 3 impar. Lapotencia la obviamos y trabajamos con la expresión siguiente:

23 4 3 0 x x x

El discriminante de x2 – 4x – 3 es: 28 0 .Las raíces de

este factor son: 2 7 2 7 y . Ubicamos estos puntoscríticos en la recta real.

Conjunto Solución: 2 7;3 2 7;

Observación 23. Si al factorizar se obtiene una expresión elevada a unapotencia par, se calculan las raíces reales de la expresión que

5 21

2

1

2

5 21

2

3 2 7

2 7

esta dentro de la potencia par, si las tuviera y si en lainecuación hay igualdad, estas forman parte de la solución,caso contrario no. Luego se procede a sustituir esta expresiónelevada a la potencia par por la unidad.

Ejemplo. x5 – 3x4 – 2x3 + 6x2 + 5x + 1 ≥ 0

Solución.x5 – 3x4 – 2x3 + 6x2 + 5x + 1 = (x2 – 2x – 1)2(x + 1)Al factorizar hemos obtenido una expresión cuadrática elevadaa la potencia par 2. Averiguamos si tiene raíces realescalculando el discriminante. 8 0 . Tiene raíces reales y

estas son: 1 2 1 2 y que son parte de la solución.Sustituimos este factor elevado a la potencia par por la unidady se tiene: x + 1 ≥ 0 → x ≥ –1.

Conjunto solución: 1; 1 2; 1 2 1;

Ejemplo. x5 – 5x4 – 13x3 + 125x2 – 264x + 180 < 0

Solución.x5 – 5x4 – 13x3 + 125x2 – 264x + 180 = (x – 2)2(x – 3)2(x + 5)Las raíces reales de las cantidades que están dentro de laspotencias pares son: 2 y 3. Estas raíces no son parte de lasolución. Después de sustituir estas cantidades elevadasapotencia par por la unidad nos queda: x + 5 < 0 → x < –5.Conjunto solución: ; 5 2; 3 ; 5

ACTIVIDAD Nº 09

1. Determinar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones.

1.01. 6x3 – 19x2 – 26x + 24 ≤ 0 1.02. 6x3 + 11x2 – 46x + 24 < 01.03. 5x3 + 7x2 – 58x – 24 ≥ 0 1.04. 30x3 + 67x2 – 13x – 14 > 01.05. x4 – 5x2 + 4 ≥ 0 1.06. 36x4 – 25x2 + 4 ≤ 0 1.07. (x – 1)(x – 2)(x + 3)(x + 4) + 6 > 0 1.08. 36x5 – 108x4 – 25x3 + 75x2 + 4x – 12 < 0 1.09. x4 – 4x3 + 6x2 – 4x + 1 > 0 1.10. x4 – 4x3 + 2x2 + 4x + 1 < 01.11. 2x4 – 12x3 + 27x2 – 28x + 12 ≥ 0 1.12. 4x6 – 4x5 – 31x4 – 16x3 + 20x2 + 8x – 5 ≤ 0 1.13. 8x7 – 28x6 + 22x5 + 15x4 – 52x3 + 49x2 – 20x + 3 ≤ 0 1.14. x4 – 5x3 + 13x + 5 > 0 1.15. x5 – 9x4 + 23x3 – 2x2 – 60x + 56 < 01.16. x6 – 11x5 + 41x4 – 48x3 – 56x2 + 176x – 112 ≥ 0 1.17. 2x4 – 9x3 + 8x2 – 1 ≥ 0 1.18. 2x4 – 9x3 + 10x2 – 1 ≤ 0

1.19. 8x5 + 44x4 + 110x3 + 425x2 + 1250x + 1250 > 01.20. x6 – 16x5 + 101x4 – 312x3 + 459x2 – 216x – 81 < 01.21. x5 – 13x4 + 62x3 – 126x2 + 81x + 27 > 0 1.22. x7 – 17x6 + 113x5 – 361x4 + 523x3 – 171x2 – 189x – 27 > 01.23. x6 – 14x5 + 71x4 – 148x3 + 79x2 + 66x + 9 < 01.24. x7 – 18x6 + 127x5 – 430x4 + 649x3 – 172x2 – 336x – 64 ≤ 0 1.25. 8x4 – 12x3 – 14x2 + 27x ≥ 9 1.26. 4x4 – 16x3 + 3x2 + 36x ≤ 27 1.27. 3x5 – 28x4 + 63x3 – 9x2 – 108x + 35 ≥ 0 1.28. 3x5 – 2x4 – 67x3 – 181x2 – 158x – 35 > 0




3.13. Conjunto solución de una inecuación racional usando el método de losintervalos.Para usar este método en la solución de inecuaciones racionales, se debe seguirla siguiente secuencia lógica:

1º El miembro de la derecha se hace 0, pasando todas aquellas expresionesque no lo fueran al miembro de la izquierda.

2º En el miembro de la izquierda se realizan las operaciones con la finalidad deobtener una sola fracción.

3º Cuando se ha obtenido en el miembro de la izquierda una sola fracción seconstruye una inecuación polinómica multiplicando el numerador por eldenominador de la fracción obtenida.

4º El conjunto solución de esta inecuación polinómica obtenida, es el conjuntosolución de la inecuación racional.

Observación 24. Se debe tener en cuenta para determinar el conjunto soluciónde la inecuación racional, que: si en ésta aparecieran lossignos “≥” o “≤”, los puntos críticos del polinomio deldenominador no son parte de la solución.

Ejemplo.1

21

x

x

Solución.

1º Hacemos 0 el miembro de la derecha;1

2 01

x

x

2º Efectuamos las operaciones necesarias para convertir el miembro de laderecha en una sola fracción;

1 20

1 1

x

x

→

1 2 10

1

x x

x

→

1 2 20

1

x x

x

→

30

1

x

x

3º Construimos la inecuación polinómica; (–x + 3)(x – 1) ≥ 0

Recuerde que los coeficientes de las variables con mayor grado deben serpositivos, por lo que multiplicamos a la inecuación por –1; para cambiar elsigno del coeficiente de x del numerador. Obteniéndose: (x – 3)(x – 1) ≤ 0 Los puntos críticos son; del numerador: 3 y del denominador 1.Ubicamos estos valores en la recta numérica y asignamos signos:

El punto crítico 1 no pertenece a la solución, porque es una raíz deldenominador y la inecuación tiene la igualdad.

Conjunto solución: 1;3

Ejemplo.2

2

3 100

2

x x

x x

Solución.Como el miembro de la derecha es 0, construimos la inecuación polinómica:

2 23 10 2 0 x x x x → 2

3 10 2 1 0 x x x x

3 1

El discriminante de x2 + 3x + 10; es 31 0 . Sustituimos este factor por launidad y se tiene: (1)(x + 2)(x – 1) > 0 → (x + 2)(x – 1) > 0. Los puntos críticosson: –2 y 1. Ubicándolos en la recta real se tiene:

Conjunto solución: ; 2 1;

Ejemplo.2 2

11 1

x

x x

Solución

2 21 0

1 1

x

x x

→

2 2 10

1 1 1

x

x x

2 1 2 1 1 10

1 1

x x x x x

x x

2 22 2 2 1

01 1

x x x x

x x

→

3 10

1 1

x

x x

(3x + 1)(x -1)(x + 1) ≥ 0. Puntos críticos: Del numerador 1

3

. Del Denominador –1

y 1. Ubicando estos puntos en la recta real, teniendo en cuenta que los valores 1y –1 no pertenecen al conjunto solución.


1; 1;3

Ejemplo.1 2 1

1 2 1

x x

x x

Solución

1 2 10

1 2 1

x x

x x

→

1 2 1 1 2 10

1 2 1

x x x x

x x

2 22 1 2 1

01 2 1

x x x x

x x

→

20

1 2 1

x

x x

(2x)(x – 1)(2x – 1) < 0. Puntos críticos: Del numerador 0. Del denominador 1/2 y1. Ubicamos estos valores en la recta real.

1 2

1

3

1

1

Conjunto solución: 1

;0 ;1

2

ACTIVIDAD Nº 10

1. Determinar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones racionales.

1.01.2 2

13 1

x

x x

1.02.

2

2 2

1 1 1

x x

x x x

1.03.3

2

4 3 10

2 5

x x

x x

1.04.

4 3 2

2

5 6 4 80

2 5

x x x x

x x

1.05.2

1 2 3

4 2 2 x x x

1.06.2

2 1 2

9 3 3

x x

x x x

1.07.2

1 3

2 2 1 2 3 2

x x

x x x x

1.08.2

2

3 2 1

3 4

x x x x

x x

1.09.

2

2

2 1 2

4 3 1

x x

x x x

1.10.

7 17 5 32

5 3 5 2 3 2 x x x

1.11.6 5 4 3 2

5 4 3 2

6 5 40 120 128 480

2 2 1

x x x x x x

x x x x x

1.12.

23 8 1 3

6 2 1 3 1 2 2 1 x x x

1.13.

11 5 1 9 9

6 2 1 3 1 2 2 1 2 x x x

1.14.6 5 4 3 2

6 5 4 3 2

3 11 31 2 28 80

3 4 113 16 1233 1620 675

x x x x x x

x x x x x x

1.15.5 4 3 2

5 4 3 2

9 42 34 44 35 60

54 189 360 214 54 5

x x x x x

x x x x x

3.14. Conjunto solución de una inecuación irracional.Para determinar el conjunto solución de una inecuación irracional, se debe

garantizar que las cantidades subradicales de los radicales de índice par, seanmayores o iguales que 0 (restricciones). Analizaremos los siguientes casos.

3.14.1. Inecuaciones de la forma: p x q x

1º Garantizar que p(x) ≥ 0 (restricción) 2º Si q(x) < 0, se obtiene una proposición falsa. El conjunto solución es

. Esta opción ya no se analiza.

1

2

0

1

3º Si q(x) ≥ 0, elevar al cuadrado la inecuación y solucionar:

2

p x q x

4º Para determinar el conjunto solución de la inecuación irracional, seintercepta la restricción, si la hubiera, con el conjunto solución de lacondición; q(x) ≥ 0 y el conjunto solución de la inecuación obtenida alelevarla al cuadrado.

Ejemplo. 23 2 2 1 x x x

Solución.

1º Restricción: x2 – 3x + 2 ≥ 0 → Conjunto solución, S1 = ;1 2;

2º Condición q(x) ≥ 0: 2x + 1 ≥ 0 → Conjunto solución, S2 =1

;2

3º Solucionamos la inecuación: x2 – 3x + 2 ≤ (2x + 1)2 x2 – 3x + 2 ≤ 4x

2 + 4x + 1 → –3x2 – 7x + 1 ≤ 0 → 3x2 + 7x – 1 ≥ 0

Conjunto solución; S3 =

7 61 7 61

; ;6 6

4º Conjunto solución: S1 S2 S3 =7 61

;1 2;6

Ejemplo. 1 2 2 4 5 x x x

Solución.

Restricciones. 1) x – 1 ≥ 0 → S1 = 1;

2) 2x + 2 ≥ 0 → S2 = 1;

3) 4x + 5 ≥ 0 → S3 =5

;4

Elevando al cuadrado; x – 1 + 2 1 2 2 x x + 2x + 2 < 4x + 5

3x + 1 + 2 1 2 2 x x < 4x + 5

2 1 2 2 x x < x + 4

Haciendo; x + 4 ≥ 0 → S4 = 4;

Elevando nuevamente al cuadrado; 4(x – 1)(2x + 2) < x2 + 8x + 168x2 – 8 < x2 + 8x + 167x2 – 8x – 24 < 0

Calculamos el discriminante; 736 0 → S5 = 4 2 46 4 2 46;

7 7

Conjunto solución: S1 S2 S3 S4 S5 =4 2 46

1;7

Ejemplo. 2 1 5 4 3 x x

Solución.

Restricciones: 1) 2x – 1 ≥ 0 → S1 = 1

;2

2) 5x + 4 ≥ 0 → S2 =4

;5

Antes de elevar al cuadrado, el radical que tiene signo negativo se pasaal otro miembro (puede suceder que la diferencia de radicales nos resulteun número negativo y al elevarlo al cuadrado este se convierta en

positivo) y se tiene: 2 1 3 5 4 x x

2x – 1 > 9 + 2 5 4 x + 5x + 4

–3x – 14 > 2 5 4 x

2 5 4 x < –3x – 14

Haciendo; –3x – 14 > 0 → S3 =14

;3

Elevamos nuevamente al cuadrado; 4(5x +4) < 9x2 + 84x + 19620x + 16 < 9x2 + 84x + 1969x2 + 64x + 180 > 0

Calculamos el discriminante; 2384 0 . Esta cantidad es sustituidapor la unidad y se tiene: 1 > 0 → S4 = Conjunto solución: S1 S2 S3 S4 =

3.14.2. Inecuaciones de la forma: p x q x

Para determinar el conjunto solución de este tipo de inecuaciones seanalizan dos fases, garantizando que las cantidades subradicales deradicales de índice par sean positivas (p(x) ≥ 0, restricciones)

Primera Fase: q(x) < 0.1º Si q(x) < 0, se obtiene una proposición verdadera. El conjuntosolución se obtiene interceptando al conjunto de los números realescon las restricciones y la solución de la inecuación q(x) < 0.

Segunda Fase: q(x) ≥ 0 1º Si q(x) ≥ 0, elevar al cuadrado la inecuación y solucionar:

2

p x q x

2º Para determinar el conjunto solución de la inecuación irracional, seintercepta la restricción, si la hubiera, con el conjunto solución de lacondición; q(x) ≥ 0 y el conjunto solución de la inecuación obtenida alelevarla al cuadrado.

El conjunto solución de la inecuación dada es la reunión de losconjuntos hallados en las dos fases anteriores.

Ejemplo. 214 13 3 x x x

Solución.

Restricciones. x2 – 14x + 13 ≥ 0 → S1 = ;1 13; .

Primera fase.1º Condición; q(x) < 0. x – 3 < 0 → S2 = ;3 .

Conjunto solución: F1 = S1 S2 = ;1

Segunda fase.

1º Condición q(x) ≥ 0: x – 3 ≥ 0 → S3 = 3; 2º Elevando al cuadrado se tiene: x2 – 14x + 13 ≥ x2 – 6x + 9

–8x ≥ –4 → x ≤ 2 → S4 = ;2

Conjunto solución: F2 = S1 S3 S4 =

Conjunto solución de la inecuación: F1 F2 = ;1

Ejemplo. 22 5 x x x

Solución.

Restricciones. x2 – x – 2 ≥ 0 → S1 = ; 1 2;

Primera fase.1º Condición q(x) < 0. 5 – x < 0 → S2 = 5;

Conjunto solución: F1 = S1 S2 = 5;

Segunda Fase.

1º Condición q(x) ≥ 0 → 5 – x ≥ 0 → S3 = ; 5

2º Elevando al cuadrado se tiene: x2 – x – 2 > 25 – 10x + x2 9x > 27 → 3 x → S4 = 3;

Conjunto solución: F2 = S1 S3 S4 =

Conjunto solución de la inecuación: F1 F2 = 3;

Ejemplo. 1 3 1 x x x

Solución.

Restricciones. 1) x – 1 ≥ 0 → S1 = 1;

2) x – 3 ≥ 0 → S2 = 3;

3) x + 1 ≥ 0 → S3 = 1;

Elevando al cuadrado se tiene: x – 1 + 2 1 3 x x + x – 3 > x + 1

2 1 3 x x > –x + 5 → 5

1 32

x x x

→ 2 5

4 32

x x x

Primera fase.

Condición5

02

x → S4 = 5;

Conjunto solución: F1 = S1 S2 S3 S4 = 5;

Segunda fase.




Condición5

02

x → S5 = ; 5

Elevando al cuadrado se tiene: 2 24 4 3 10 25 x x x x

4x2 – 16x + 12 > x2 – 10x + 25 → 3x2 – 6x – 13 > 0. El discriminante es:

192 0 → S6 = 4 3 4 3;1 1 ;3 3

Conjunto solución: F2 = S1 S2 S3 S5 S6 = 4 3

1 ;53

Conjunto solución: F1 F2 = 5; 4 3

1 ;53

=4 3

1 ;3

ACTIVIDAD Nº 11

1. Determinar el Conjunto solución de las siguientes inecuaciones

irracionales.

1.01. 22 1 3 x x x 1.02.

12 1

2

x x

x

1.03. 23 2 2 3 x x x 1.04. 2 1 3 1 4 x x

1.05. 3 6 3 6 1 x x x 1.06. 3 24 4 0 x x x

1.07. 3 2 2 x x x 1.08. 5 3 7 x x

1.09. 5 2 1 8 x 1.10. 2 24 9 4 x x

1.11. 10 2 3 x x 1.12. 2 25 6 3 2 0 x x x x

1.13.4 4

21 1

x

x x

1.14.

2 61

3 9

x x

x

1.15.2 4 1

02 2

x x

x x

1.16. 1 3 x x x




SOLUCIONARIO

ACTIVIDAD Nº 01

1. 1.01. 1.02. 1.03. 1.04. 1.05. 1.06. 1.07. 1.08. 1.09. 1.10. 1.11. 1.12. 1.13. 1.14. 1.15. 1.16. 1.17. 1.18.

2. 2.01. 2.02. 2.03. 2.04. 2.05. 2.06. 2.07. 2.08. 2.09. 2.10. 2.11. 2.12. 2.13. 2.14. 2.15. 2.16. 2.17. 2.18. 2.19. 2.20. 2.21. 2.22.

3.3.01. M N =

15 4 3 4 2; ; ; 0; 1; ; ; 2;4

7 5 5 17 5

3.02. M N =4

5

3.03. M = 0; 1

3.04. (M I ) = 3.05. (N I ) = 3.06. (M ) I = I 3.07. (N ) I = I 3.08. (M ) I =

4. a + b + c = 16 5. a = 3 6. 2 6a 7. 1 8. 1

ACTIVIDAD Nº 02

1. 1.01. M5, ejemplo 4 y M5 1.02. A4, propiedad de cancelación, A2, A5, A2,A4 y A4 (en ese orden)

ACTIVIDAD Nº 031. 1.01. S = {5/3} 1.02. S = {3} 1.03. S = {–1}

1.04. S = {9/7} 1.05. S = {–9; 9} 1.06. S = { 2; 2 } 1.07. S = {–7; 7} 1.08. S = {–6; 6} 1.09. S = {–12; 12} 1.10. S = {0; 7} 1.11. S = { 5 ; 5i i } 1.12. S = {0; 1/2}

1.13. S = {–26/3; 0} 1.14. S = {–8/7; 0} 1.15. S = {1; 2} 1.16. S = {–7; –5} 1.17. S = {–19; 15} 1.18. S = {–8; –1} 1.19. S = {–1/2; –3} 1.20. S = {–41/2; 0}

1.21. S =162 3 2821 162 3 2821

;10 10

1.22. S =17 390 17 390

;49 49

i i

1.23. S = 1 1 1; ;5 2 3

1.24. S =1

; 12

1.25. S =1 1

1; , ; 12 2

1.26. S =5 21 1 15 1 15 5 21

; ; ;2 4 4 2

i i




1.27. S =

5 21 1 15 1 15 5 211; ; ; ;

2 4 4 2

i i

1.28. S =1 7 1 7 1 23 1 23

; ; ;4 4 4 4

i i i i

1.29. S = 1 1 2 1 2; 1; ;3 3 3

i i

1.30. S =1 1 1

2; ; ; ; 13 3 2

1.31. S =

1 1 1; ;

2 3 2

1.32. S =1 1

;3 2

1.33. S =1

; 32

1.34. S =2 3 2 3

; ; ;2 3 2 3

i i i i

1.35. S =15 15

4; ; ; 43 3

1.36. S =

15 201 15 201 3 105 3 105

; ; ;2 2 4 4

1.37. S =5 11 5 11 7 33 7 33

; ; ;6 6 4 4

i i

1.38. S =3 5 3 5

1; ,2 2

1.39. S =5 11 7 33 5 11 7 33

1; ; ; ;6 4 6 4

i i

1.40. S =5

; 1 3 ; 1 3

3

i i

1.41. S =7 1 1

; ;

2 2 2

i i

1.42. S =15 201 15 201 3 105 3 105

1; ; ; ;2 2 4 4

1.43. S =3 7 3 7

1, ; ; 3 2 2; 3 2 24 4

i i

1.44. S =1 1 1 1

3; ; ; ;2 3 3 2

2. 2.01. 4x 2.02. 7x 2.03. 2x

2.04. x – 2 2.05. 2x 2.06. x/2 2.07. 2x – 2 2.08. x/2 – 2x 2.09. 2x – 42.10. x/2 2.11. x – 2 2.12. x – 82.13. x/2 + 2 2.14. x – 3 2.15. x + 32.15. 3x 2.17. x/3 2.18. x/4 + 302.19. x + x/5 2.20. x/6 – 4 2.21. 5x/32.22. x – 25

3. 3.01. 5 3.02. p – 3 3.03. 17




3.04. 25, 27 y 29 3.05. 20 3.06. 51 y 523.07. AB = 42 m, BC = 14 m y AC = 28 m 3.08. 10 m3.09. largo = 43,75 y ancho = 26,25 3.10. 4 unidades3.11. padre = 28 años, hijo = 8 años 3.12. 18 y 24 años3.13. 14, 12 y 10 años 3.14. Ester: 7, Isabel: 16 y María: 21 años3.15. Andrés; 36. Guido: 9 y David 3 años. 3.16. 14 y 38 años3.17. Hace 10 años 3.18. Lápiz: 198. cuaderno: 305 y goma: 95 3.19. Hernán: 126. Gladys: 63 y María 42 3.20. 2 horas 13 minutos y 20 segundos 3.21. 17/15 3.22. 51 y 52 3.23. 67, 68 y 69 3.24. 96 y 983.25. 31, 33 y 35 3.26. 42, 24 y 22 3.27. 656 y 4243.28. 51 y 34 3.29. 81, 82 y 83 3.30. 11040 gramos3.31. 30 y 68 3.32. 99 y 81 3.33. 73.34. 20 cm 3.35. 28 estudiantes 3.36. 25 3.37. 80 niños 3.38. 4 hombres y 16 mujeres 3.39. pañuelo: 50, falda: 1250 y abrigo 3750 3.40. 30 ciruelas

4. 4.01. 5 cm 4.02. 10 cm y 15 cm 4.03. 10 años4.04. 5 y 45 cm 4.05. 18 y 72 cm 4.06. 16, 30 y 344.07. 76 m 4.08. 30 cm y 40 cm 4.09. 20 objetos4.10. 5 Km/hora 4.11. 3 cm 4.12. altura 8, base 124.13. 16 cm 4.14. 10 cm 4.15. 3, 4 y 5 unidades4.16. 15 y 20 cm 4.17. 15 y 20 cm 4.18. 16 cm4.19. 20, 21 y 29 cm 4.20. 12, 16 y 20 cm 4.21. 5, 12 y 13 m4.22. 14 y 16 m 4.23. 11 y 49 cm 4.24. 5 y 66 cm4.25. 126 cm 4.26. 13 cm 4.27. 11 cm4.28. primer curso 29, segundo curso 23 y tercer curso 204.29. 45 y 75 cm 4.30. base 43, altura 14 4.31. 175 niños

ACTIVIDAD Nº 04

1. 1.01. S = 5; 21 1.02. S = 2 1.03. S = 3

1.04. S = ;2 2

i i

1.05. S = 0

1.06. S =1

3

1.07. S = 0 1.08. S = 4 1.09. S =

1

2

1.10. S =1

3;2

1.11. S = 0 1.12. S =

1 2;

2 3

1.13. S = 1; 2 1.14. S =

3; 3

3

1.15. S = 3; 2; 2; 3

1.16. S = 1 2 2 1 2 21 2; 1 2; ;3 3

i i

Problema: 2 y 4 horas

ACTIVIDAD Nº 05

1. 1.01. S = 1.02. S = 3 1.03. S =

13

9

1.04. S = 5 1.05. S = 12 1.06. S = 5

1.07. S =

5

8

1.08. S =5 37 1

6 2

1.09. S = 4

1.10. S = 4 1.11. S = 2 1.12. S = 1

1.13. S = 4 1.14. S = 4 1.15. S = 2, 2

2. 2.01. perímetro: 18, altura: 3 3

2.02. lado = 12, diagonal de una cara = 12 2 y diagonal del cubo = 12 3 2.03. 9 2.04. 3 m 2.05. 20 m2.06. 7 cm 2.07. 150 m2 2.08. 16 m2 2.09. 972 m2

2.10.49 3

2m2

ACTIVIDAD Nº 06

1.1.01. a =

91

4

1.02. a = 2

1.04. a

2

+ b

2

=

2

2

2q pr

p

1.04. (a – b)2 =2

2

4q pr

p

1.04. a3 + b3 =

3

3

3 pqr q

p

1.04.

3 2

3 3 2 2

41

2

p q pr

a b q pr q pr

1.05. a. 22 1 0 x p x p q

1.05. b. 2 2 22 0 x p q x q 1.05. c. 2

2 1 0 x p x p q

1.05. d. 2 23 2 0 x p x p q

ACTIVIDAD Nº 07

1. 1.01. S = 1; 1.02. S =

1;

4

1.03. S =5

;3

1.04. S =11

;9

1.05. S =9

;2

1.06. S = ;4

1.07. S =3

;2

1.08. S =

1.09. S =1

;10

2. k < 9 ó k ;9

ACTIVIDAD Nº 08

1. 1.01. 2;3 1.02. 1.03.

1

2

1.04. 7;0 1.05.

5;1

2

1.06.

1.07. 9;1 1.08.

2;1

3

1.09. ;0 2;




1.10.

5 5;

3 3

1.11. ;0 8; 1.12. 3

1.13. ; 4 4; 1.14. 5;7

1.15. ; 13 97 13 97; 1.16.

2.2.01. k >

1

3

2.02. 4 3k 2.03. 6 6k

2.04. 1 3k ó k

ACTIVIDAD Nº 09

1.1.01.

3 2; ;4

3 3

1.02.2 3

; 4 ;3 2

1.03. 2

;3 4;5

1.04.7 2 1

; ;3 5 2

1.05. ; 2 1;1 2; 1.06. 2 1 1 2; ;

3 2 2 3

1.07. ; 1 7 1 6; 1 6 1 7;

1.08.2 1 1 2

; ; ;33 2 2 3

1.09. 1

1.10. 1.11.

1.12. 1 6;1 6

1.13.1 13 1 1 13

; ;2 2 2

1.14.3 29 3 29

; 1 2;1 2 ;2 2

1.15.3 37 3 37

; 2;2 2

1.16. 3 37 3 37

; 2 ;2 2

1.17.3 13 1 3 13

; ;1 ;2 2 2

1.18.3 17 3 5 3 17 3 5

; ;4 2 4 2

1.19.5

;2

1.20. 2 5;3 3;2 5

1.21. 2 5;3 2 5; 1.22. 3; 2 5 2 5;

1.23. 1.24. ;4




1.25.

3 1 3; ;1 ;

2 2 2

1.26.3 3

;1 ;32 2

1.27.5 53 1 5 53

; ;2 3 2

1.28.

5 53 1 5 53; ;

2 3 2

ACTIVIDAD Nº 10

1.1.01.

5; 3 ;1

3

1.02. 2; 1 0;1

1.03. 1 6;1 1 6; 1.04. 1;2

1.05. 9; 2 2; 1.06.

4 22 4 22; 3 ;3

2 2

1.07.7 89 1 7 89

2; ;4 2 4

1.08. 2 15; 2 2 15;2 3;

1.09.3 65 3 65

3; 1;4 4

1.10. ; 2 0;3 15;

1.11. 2 1;1 3; 1.12.

5 59 1 5 9; 1;

2 2 2

1.13.7 433 1 7 433

; ;132 2 32

1.14.1 1

2; ;3

3 3

1.15.1 1

; 5 3; 2 ; 1;3 2

ACTIVIDAD Nº 11

1.1.01.

1; 1 ;

2

1.02.1 3 3 3 3

; 2;2 2 2

1.03. 2; 1.04.1

;2

1.05. 2; 1.06. 2; 1 2;

1.07. 2;3 1.08.

1.09.1

;132

1.10. ; 3 3;

1.11.15 37

2;2

1.12. 2 3;




1.13.

3 89; 4 ;

2

1.14. 3;

1.15. ; 2 2; 1.16.

4 2 7;

3

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