el sistema de los números reales
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EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES
Introducción
El ente básico de la parte de la matemática conocida como análisis lo constituye el
llamado sistema de los números reales.
Números tales como 1, 3,√
, π , e, y sus correspondientes negativos, son usados en
mediciones cuantitativas.
Existen dos métodos principales para estudiar el sistema de los números reales. Uno
de ellos comienza con un sistema más primitivo –tal como el conjunto de los
números naturales o enteros positivos 1, 2, 3, 4, ... −, y a partir de él, por medio de
una secuencia lógica de definiciones y teoremas, se construye el sistema de los
números reales1.
En el segundo método se hace una descripción formal del sistema de los números
reales (asumiendo que existe), por medio de un conjunto fundamental de
propiedades (axiomas), de las cuales pueden deducirse muchas otras propiedades.
En esta primera parte se hará una presentación intuitiva del conjunto R de los
números reales. Se parte de un conjunto primitivo como es el conjunto` de los
números naturales y se efectúan las sucesivas ampliaciones del mismo, atendiendo
más a la necesidad de resolver ciertas ecuaciones en las cuales los conjuntos que se
van definiendo resultan insuficientes para la solución, que a un desarrollo axiomático
del mismo.
Conjunto de los números reales
El conjunto de los números reales está constituido por diferentes clases de números.
Entre ellas, se pueden mencionar los siguientes subconjuntos:
Conjunto de los números naturales
El conjunto de los números naturales, que se denota por N o también por Z
corrientemente se presenta así:
N = {1, 2, 3, 4, 5,...}.
La notación de conjunto que incluye los puntos suspensivos es de carácter informal.
Este conjunto permite fundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen de los
sistemas numéricos y lleva principalmente a la consideración de los números reales.
Conjunto de los números enteros
El conjunto de los números enteros, que se denota por Z, corrientemente se presenta
así:
Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...}.
En el conjunto de los números enteros se pueden resolver ecuaciones que no tienen
solución en N, como sucede por ejemplo con la ecuación x + 3 = 1, cuya solución es
x = –2.
Puede notarse que N ⊂ Z.
Conjunto de los números racionales
El conjunto de los números racionales, que se denota por Q, se define de la siguiente
manera
{
}
La introducción de los números racionales responde al problema de resolver la
ecuación
ax = b, con a, b ∈ Z, a ≠ 0.
Ésta sólo tiene solución en Z, en el caso particular en que a sea un divisor de b.
Conjunto de los números reales
Se define como. ℜ= ∪
En el conjunto de los números reales están definidas dos operaciones: adición (+) y
multiplicación (·), las cuales verifican las siguientes propiedades AC (llamadas
también axiomas de campo). (Peano, 1889)
.
LOS NÚMEROS REALES Y LA RECTA REAL
En la geometría analítica el paso importante fue establecer una correspondencia
entre los números reales y los puntos de la recta. Existe una condición que cumplen
los números reales llamada axioma de completitud que garantiza una
correspondencia biunívoca (uno a uno) entre el conjunto de los números reales y el
conjunto de puntos en la recta o eje. A cada número real le corresponde un único
punto sobre la recta y a cada punto en la recta o eje se le asocia un único número
real. Como se observa en el gráfico, se elige un punto de referencia arbitrario sobre
la recta al que se denomina origen. Se selecciona además una unidad de longitud
para medir distancias. Se elige también un sentido a lo largo de la recta a la que se
llama positivo y se considera como negativo al sentido opuesto. A cada número real
entonces se le asocia un punto de la recta teniendo en cuenta lo siguiente:
Se asocia al origen el número 0,
Se asocia a cada número positivo p un punto que está a una distancia de p unidades
del origen en la dirección positiva,
Se asocia a cada número negativo - p el punto que está a p unidades de distancia
del origen en la dirección negativa.
Los puntos en la recta se identifican con los números que representan. El número
real que le corresponde a un punto de la recta se denomina coordenada o abscisa
del punto y la recta recibe el nombre de recta real, recta coordenada, recta numérica
o recta de los números reales. También se la conoce como eje coordenado o eje
real.
El conjunto de los reales cubre o completa la recta sin dejar "huecos".
Ejemplo.
Orden
Los números reales están ordenados cumpliendo sólo una de las afirmaciones
siguientes: dados dos números reales a y b puede ser que a sea menor que b, a sea
mayor que b o a sea igual a b.
Puede observarse en la recta que a < b si y sólo si el punto que representa al
númeroa está a la izquierda del punto que representa al número b.
.([email protected], s.f.)
PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BINARIAS
En álgebra las operaciones binarias internas en el conjunto A, o bien las aplicaciones
de A x A en A:
son las de mayor interés, porque se utilizan tanto en los sistemas numéricos o, más
abstractamente, en los sistemas algebraicos. Las operaciones gozan de ciertas
propiedades, usadas con frecuencia en la axiomatización de los diversos sistemas
matemáticos
Propiedad conmutativa.
Dado un conjunto no vacío A, en el que se ha definido una ley de composición
interna *:
se dice que * tiene la propiedad conmutativa en A si se cumple:
Para todo a, b de A, se cumple que el resultado de operar a con b es igual al de
operar b con a.
Del mismo modo podemos decir que la ley de composición interna *, no es
conmutativa en A si:
Si existe algún a, b en A, que cumple que el resultado de operar a con b es distinto
de operar b con a.
Propiedad distributiva.
Dado un conjunto A no vacío en el que se han definidos dos operaciones internas:
Que expresaremos se dice que la operación es distributiva por la derecha de si
se cumple:
Ejemplos el producto vectorial de vectores respecto de la suma de vectores ux (v+ w)
=uxv + uxw
Otro ejemplo: el producto de matrices respecto a la suma de matrices. M(N+Q)= MN
+ MQ.
Es importante el orden de factor en la definición de R-módulos a izquierda.
Del mismo modo se dice que la operación es distributiva por la izquierda de si se
cumple:
Divisores del cero
.
Sea el conjunto A y la operación * , siendo a ≠ 0, b≠ 0 se deduce que a*b = 0 , se
dice que a y b son divisores del 0.
Hay matrices cuadradas de orden 2 no nulas cuyo producto es la matriz 0.
En el conjunto Z[6]= {0,1,2,3,4,5} de los restos módulo 6 con la multiplicación * de
restos, resulta 2*3=0.
Elementos distinguidos
Elemento involutivo
Se llama así al elemento d de A, con la operación binaria *, tal que d*d= d.
el 0 y 1 son elementos involutivos respecto de la multiplicación en el conjunto Z de
los enteros.
Elemento absorbente
Se denomina así al elemento s de A, tal que s * a= s, para todo a de A, provisto de la
operación *.
0 es elemento absorbente se un sistema numérico multiplicativo.
El conjunto vacío Ø es elemento absorbente para la intersección definida en el
conjunto de partes de U.
POTENCIACION Y RADICACION
POTENCIACION
ROF. José Luis Gallardo
La potenciación es una nueva forma de escribir el producto de un número por él
mismo. Es muy práctica, elegante, útil y fácil.
Fíjate que la base es el número que multiplicas varias veces por sí mismo, el
exponente es la cantidad de veces que lo haces y la potencia es el resultado.
Así por ejemplo:
Significa que a 5 (la base) lo multiplicamos 3 veces (el exponente) por sí mismo y
obtenemos 125 (la potencia) ya que: 5 x 5 x 5 = 125.
Cuando un número se multiplica por sí mismo una cantidad definida de veces
es una potenciación.
Por ejemplo, si se multiplica ocho por sí mismo cinco veces se tendrá 8 X 8 X 8 X 8 X
8.
Si se escribe en forma exponencial se anota, 85.
Propiedades de la potenciación
Las propiedades de la potenciación son las siguientes:
Potencia de potencia
La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y exponente
igual a la multiplicación de los primeros exponentes.
Multiplicación de potencias de igual base
La multiplicación de dos o más potencias de igual base a es igual a la potencia de
base a y exponente igual a la suma de los mismos exponentes.
División de potencias de igual base
La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y
exponente igual a la resta de los exponentes respectivos.
Propiedad distributiva
La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división, pero no
lo es con respecto a la suma ni a la resta.
En particular:
(a + b)m = am + bm
(a − b)m = am − bm
Se cumple en los siguientes casos:
Si m=1.
Si, entre a y b, uno es igual a 0 y el otro igual a 1, siempre que m sea distinto de 0.
Si a y b son iguales a 0 y m≠0.
Propiedad conmutativa
La propiedad conmutativa no se cumple para la potenciación, exceptuando aquellos
casos en que base y exponente son el mismo número / la misma cifra o equivalentes.
En particular:
ab = ba
Si y sólo si a=b.
a1 = a
Potencia de base 10
Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como
unidades posee el exponente.
101 = 10
Como también pues ser unos conjuntos de números potenciados o elevados a un
exponente
106 = 1000000
104 = 10000
RADICACIÓN
ROF. José Luis Gallardo
Vos sabes que la resta es la operación inversa de la suma y la división es
la operación inversa de la multiplicación.
La potenciación tiene también su operación inversa; y se llama ―radicación‖.
Observa que 82=64 entonces 64 = 8 8 es la raíz cuadrada de 64.
De la misma manera calcular la raíz cuadrada de 25 significa buscar un
número que elevado al cuadrado dé como resultado 25. Es decir que:
Por ahora sólo trabajaremos con raíces cuadradas (las que corresponden al
exponente dos), pero estas no son las únicas que existen, como podrás ver en
cursos posteriores.
Cálculo de raíces cuadradas por aproximaciones sucesivas
Este método se debe a Newton
Si conocemos una aproximación de la raíz, podemos calcular una aproximación
mejor utilizando la siguiente fórmula:
OPERACIONES DE POLINOMIOS CON SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y
DIVISIÓN.
SUMA:
Para sumar dos polinomios, hay que sumar entre sí los coeficientes de los términos
del mismo grado El resultado de sumar dos términos del mismo grado, es otro
término del mismo grado. Si falta algún término de alguno de los grados, se puede
completar con 0, como en el ejemplo en el segundo polinomio se completó con 0x2.
Y se los suele ordenar de mayor a menor grado, para que en cada columna queden
los términos de igual grado.
También se los puede sumar de otra forma (sin ponerlos uno sobre otro), y en la
EXPLICACIÓN de cada ejercicio lo mostraré resuelto de las dos maneras.
EJEMPLO 1: (Suma de polinomios de igual grado)
A = - 3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 1/2 x
B = -5x4 - 10 + 3x + 7x3
2x4 - x3 - 3x2 + 1/2 x - 8 (el polinomio A ordenado y completo)
+
-5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10 (el polinomio B ordenado y completo)
______________________________
-3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x - 18
A + B = -3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x - 18
En el polinomio de menor grado, se pueden completar los primeros términos con
ceros. Así, se rellenan las columnas que faltan adelante de uno de los polinomios,
para que quede encolumnado término a término con el otro polinomio.
EJEMPLO 2: (Suma de polinomios de distinto grado)
A = -3x2 + 5x - 4 (grado 2)
B = 4x3 - 5x2 + 2x + 1 (grado 3)
0x3 - 3x2 + 5x - 4 (el polinomio A ordenado y completo)
+
4x3 - 5x2 + 2x + 1 (el polinomio B ordenado y completo)
____________________
4x3 - 8x2 + 7x - 3
A + B = 4x3 - 8x2 + 7x – 3
La suma de los términos de grado 2 dió 0x2. Luego, en el resultado final ya no se
ponen los términos con coeficiente cero.
EJEMPLO 3: (Uno de los términos del resultado es cero)
A = 9 + 5x3 - 4x2 + x
B = 4x2 - 3 - 2x
5x3 - 4x2 + x + 9
+
0x3 + 4x2 - 2x - 3
____________________
5x3 + 0x2 - x + 6
A + B = 5x3 - x + 6
Se llama términos "semejantes" a los que tienen el mismo grado (en los polinomios
con un solo tipo de letra). Entre estos dos polinomios no hay términos semejantes.
Se puede observar que el resultado es la suma de todos términos de los dos
polinomios, sin modificarse ninguno, ya que a cada uno se le sumó cero, por no tener
otro término semejante.
EJEMPLO 4: (No hay términos semejantes)
A = 4x3 + 5
B = -2x + x2
4x3 + 0x2 + 0x + 5
+
0x3 + x2 - 2x + 0
____________________
4x3 + x2 - 2x + 5
A + B = 4x3 + x2 - 2x + 5
Cuando los polinomios tienen varias letras, se suman los términos semejantes, que
son los que tienen las mismas letras con los mismos exponentes (la misma"parte
literal"). Para sumar estos polinomios, no es práctico usar el procedimiento de
ordenarlos y sumarlos "en columnas", porque en general hay pocas coincidencias
entre sus partes literales. Así que es mejor sumarlos "uno al lado del otro" y "juntar"
los términos de igual parte literal.
EJEMPLO 5: (Suma de polinomios de varias letras)
A = -3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy
B = 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y
A + B = (-3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy) + (8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y) =
-3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy + 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y =
-3xy2 - 6x2y + 4 + 10 - 5xy + 8xy - 2xy2 + 4x3y - 7x2y2 =
-9xy2 + 14 + 3xy - 2xy2 + 4x3y - 7x2y2
RESTA:
EJEMPLO 1: (Resta de polinomios de igual grado)
A = - 3x2 + 9x4 - 8 - 4x3 + 1/2 x
B = 5x4 - 10 + 3x + 7x3
9x4 - 4x3 - 3x2 + 1/2 x - 8 (el polinomio A ordenado y completo)
-
5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10 (el polinomio B ordenado y completo)
______________________________
La resta se puede transformar en suma, cambiando todos los signos del segundo
polinomio:
9x4 - 4x3 - 3x2 + 1/2 x - 8
+
-5x4 - 7x3 + 0x2 - 3x + 10 (el polinomio B con los signos cambiados)
______________________________
4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2 x + 2
A - B = 4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2 x + 2
MULTIPLICACIÓN:
¿Cómo se multiplican los polinomios?
Multiplicando todos los términos de uno de ellos por todos los términos del otro. Se
aplica la Propiedad distributiva entre en la multiplicación y la suma. Antes de
aprender polinomios, muchas veces ya se ha aprendido a multiplicar "expresiones
algebraicas", que son polinomios. Incluso en las ecuaciones. Por ejemplo:
(x + 5).(x - 3) es una multiplicación de dos polinomios de grado 1
2x.(x + 1) es una multiplicación de dos polinomios de grado 1
Y en general, a hacer esas "distributivas" ya se aprende antes de ver el tema
"Polinomios". Lo que había que hacer era "multiplicar todo con todo", es decir, cada
término de una expresión con cada término de la otra:
(x + 5).(x - 3) = x.x - 3.x + 5.x - 15 = x2 - 3x + 5x - 15 =
Y luego "juntar las x con las x, los números con los números, las x2 con las x2...".
"Juntar era en realidad: "hacer la cuenta entre los números que tienen delante". En
este ejemplo sólo tenemos para juntar las x. Son -3 + 5 = 2. Es decir que quedan 2x.
Como otro número no hay, queda -15. Y como otra x2 no hay, queda x2. Eso de
juntar se ve también la suma de polinomios: "juntar las x con las x, los números con
los números..." es en realidad "sumar los términos semejantes o de igual grado".
(ver: suma de polinomios)
= x2 + 2x - 15
Y multiplicar a dos polinomios no es otra cosa que aplicar la Propiedad distributiva de
la multiplicación con la suma a esos dos polinomios. Es lo mismo que se hacía en las
ecuaciones, pero ahora los polinomios pueden ser de grados mayores que 1, y tener
muchos términos. Por ejemplo:
A = -9x3 + x + 4x5
B = 3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x
(-9x3 - x + 4x5).(3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x) =
Se trata, como antes, de multiplicar cada término de uno por todos los términos del
otro.
EJEMPLO 1: (Multiplicación por un monomio)
A = -3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x
B = -5x4
-3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x
X -5x4
______________________________
15x6 - 10x8 + 40x4 + 5 x7 - 25x5
A x B = 15x6 - 10x8 + 40x4 + 5 x7 - 25x5
Se multiplica al monomio por cada término del polinomio: Coeficiente con coeficiente, y la letra
con la letra. Al multiplicar las letras iguales se suman los exponentes, ya que es una
multiplicación de potencias de igual base.
También se pueden multiplicar "en el mismo renglón": poniendo el polinomio entre paréntesis y
luego aplicando la propiedad distributiva. En las EXPLICACIONES muestro los ejemplos
resueltos de las dos maneras.
EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1
EJEMPLO 2: (Multiplicación de polinomios completos)
A = 4x3 - 5x2 + 2x + 1
B = 3x - 6
4x3 - 5x2 + 2x + 1 (el polinomio A ordenado y completo)
X 3x - 6 (el polinomio B ordenado y completo)
____________________
-24x3 + 30x2 - 12x - 6
+
12x4 - 15x3 + 6x2 + 3x
_________________________
12x4 - 39x3 + 36x2 - 9x - 6
A x B = 12x4 - 39x3 + 36x2 - 9x - 6
A cada término del segundo polinomio hay que multiplicarlo por cada término del primer
polinomio. Si ambos polinomios están completos y ordenados, los resultados quedan también
completos y ordenados, y es más fácil en columnarlos según su grado, porque van saliendo en
orden. Luego hay que sumar los resultados como se suman los polinomios. Es un
procedimiento similar al de la multiplicación de números de varias cifras, con la diferencia de
que no se "llevan" números a la columna siguiente, sino que se baja el resultado completo. Al
empezar la segunda fila, por la derecha hay que saltearse una columna, tal como en la
multiplicación de números de varias cifras, y así se logra que los términos de igual grado
queden en la misma columna.
explicación ejemplo 2
EJEMPLO 3: (Multiplicación de polinomios incompletos y desordenados,
completándolos y ordenándolos)
A = -9x2 + x + 5x4
B = 3 - 2x2
5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0 (polinomio A completo y ordenado)
X -2x2 + 0x + 3 (polinomio B completo y ordenado)
______________________________
15x4 + 0x3 - 27x2 + 3x + 0
0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x
-10x6 + 0x5 + 18x4 - 2x3 + 0x2
________________________________________
-10x6 + 0x5 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x + 0
A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x
Aunque no es obligatorio, se pueden completar y ordenar los dos polinomios. Así es
más fácil ubicar en la columna correspondiente a cada uno de los resultados, porque
todo va saliendo en orden de grado. Incluso si se completa con 0 en el segundo
polinomio, se puede multiplicar todo el primer polinomio por cero. Esto puede servir
cuando uno recién aprende el tema, pero luego cuando se tiene más práctica se
preferirá no completar ni multiplicar por cero. En el EJEMPLO 4 se puede ver hecha
esta misma multiplicación sin completar los polinomios.
En el resultado final ya no se ponen los términos con 0.
EJEMPLO 4: (Multiplicación de polinomios incompletos; sin completarlos, pero sí
ordenándolos)
A = -9x2 + x + 5x4
B = 3 - 2x2
5x4 - 9x2 + x (polinomio A incompleto pero ordenado)
X -2x2 + 3 (polinomio B incompleto pero ordenado)
_____________________
15x4 - 27x2 + 3x
-10x6 + 18x4 - 2x3
____________________________
-10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x
A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x
EJEMPLO 5: (Multiplicación de polinomios de varias letras)
A = -3x2y3 + 4 - 7x2y2 - 6x3y3
B = 5x4y + 8x - 2x3y - 10
A x B = (-3x2y3 + 4 - 7x2y2 - 6x3y3).(5x4y + 8x - 2x3y - 10) =
-15x6y4 - 24x3y3 + 6x5y4 + 30x2y3 + 20x4y + 32x - 8x3y - 40 - 35x6y3
- 56x3y2 + 14x5y3 + 70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3 + 12x6y4 + 60x3y3 =
-15x6y4 + 12x6y4 - 24x3y3 + 60x3y3 + 6x5y4 + 30x2y3 + 20x4y + 32x
- 8x3y - 40 - 35x6y3 - 56x3y2 + 14x5y3 + 70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3
+ 12x6y4 =
-3x6y4 + 36x3y3 + 6x5y4 + 30x2y3 + 20x4y + 32x - 8x3y - 40 - 35x6y3 - 56x3y2 +
28x5y3 + 70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3 + 12x6y4
EJEMPLO 6: (Ordenando y completando el primero; y ordenando pero no
completando el segundo)
A = -9x2 + x + 5x4
B = 3 - 2x2
5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0 (polinomio A completo y ordenado)
X -2x2 + 3 (polinomio B completo y ordenado)
______________________________
15x4 + 0x3 - 27x2 + 3x + 0
-10x6 + 0x5 + 18x4 - 2x3 + 0x2
________________________________________
-10x6 + 0x5 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x + 0
A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x
EJEMPLO 7: (Sin ordenar ni completar)
A = -9x2 + x + 5x4
B = 3 - 2x2
9x2 + x + 5x4 (polinomio A incompleto y desordenado)
X 3 - 2x2 (polinomio B incompleto y desordenado)
__________________________
- 10x6 + 18x4 - 2x3
+ 15x4 - 27x2 + 3x
_________________________________________
- 10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x
A x B = - 10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x
Los resultados no salen en orden. Pero podemos ubicarlos calculando más o menos
el espacio que necesitamos para todos los grados. Por ejemplo, si el primer resultado
que obtenemos es -10x6, sabemos que a su derecha tiene a haber 6 columnas más
para los grados anteriores (grado 5 a 0). Entonces lo ponemos bien a la izquierda,
dejando a su derecha el lugar necesario para los otros grados que puedan aparecer
en los siguientes resultados. Si el segundo resultado es -2x3, dejamos un espacio
entre -10x6 y este nuevo término, para los grados intermedios que faltan. Así quedan
más o menos acomodados, para que en la próxima fila podamos poner los
resultados debajo en la columna correspondiente.
DIVISION:
División entre fracciones
En este tipo de división se cumplen las mismas reglas que con la división de
monomios y las reglas de división de fracciones de la aritmética.
Se aplica ley de signos
Se multiplica el dividendo del primer término por el divisor del segundo para crear el
dividendo de la división, y el divisor del primero por el dividendo del segundo para
crear el divisor de la división (esto se llama división cruzada)
Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor
Se aplica ley de los exponentes tomando las letras que no se encuentren como
elevadas a cero (nº = 1), y se escriben en orden alfabético.
Ejemplos:
División de polinomios entre monomios.
Para dividir un polinomio entre un monomio se distribuye el polinomio sobre el
monomio, esto se realiza convirtiéndolos en fracciones.
Pasos:
Colocamos el monomio como denominador de él polinomio.
Separamos el polinomio en diferentes términos separados por el signo y cada uno
dividido por el monomio.
Se realizan las respectivas divisiones entre monomios tal como se realizo en el
capitulo anterior.
Se realizan las sumas y restas necesarias.
Ejemplos:
División entre polinomios.
En este tipo de división se procede de manera similar a la división aritmética los
pasos a seguir son los siguientes.
Se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en el mismo sentido (en
orden ascendente u orden descendente), si el polinomio no es completo se dejan los
espacios de los términos que faltan.
El primer término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo
entre el primer miembro del divisor.
Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se
coloca este producto debajo de él dividendo y se resta del dividendo.
El segundo término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo
parcial o resto (resultado del paso anterior), entre el primer término del divisor.
Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del divisor, se
coloca este producto debajo de él dividendo parcial y se resta del dividendo parcial.
Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial cuyo
primer término no pueda ser dividido por el primer término del divisor.
Cuando esto ocurre el resto será el residuo de la división.
La intención con este método de división es que con cada resta se debe eliminar el
término que se encuentra más a la izquierda en el dividendo o dividendo parcial.
Ejemplos:
PRODUCTOS NOTABLES
Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También
sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores.
Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran
frecuentemente y que es preciso saber factoriza las a simple vista; es decir, sin
necesidad de hacerlo paso por paso.
Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente
porque son muy utilizados en los ejercicios.
A continuación veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la
igualdad se muestra la forma de factoriza las (mostrada como un producto notable).
Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado
a2 + 2ab + b2 = (a +
b)2
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera
cantidad, más el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el
cuadrado de la segunda cantidad.
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una
expresión de la forma a2 + 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que
podemos factoriza la como (a + b)2
Nota:
Se recomienda volver al tema factorización para reforzar su comprensión.
Cuadrado de la diferencia de dos cantidades
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera
cantidad, menos el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el
cuadrado de la segunda cantidad.
Demostración:
(a + b) (a – b) = a2 – b2
El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la
primera cantidad, menos el cuadrado de la segunda
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una
expresión de la forma (a + b) (a – b) debemos identificarla de inmediato y saber que
podemos factoriza la como a2 – b2
Cubo de una suma
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a +
b)3
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una
expresión de la forma a3 + 3a2b + 3ab2 + b3debemos identificarla de inmediato y
saber que podemos factorizarla como (a + b)3.
Cubo de una diferencia
a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a –
b)3
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una
expresión de la forma a3 – 3a2b + 3ab2 – b3debemos identificarla de inmediato y
saber que podemos factorizarla como (a – b)3.
A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos notables y la
expresión algebraica que lo representa:
Producto notable Expresión algebraica Nombre
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Binomio al cuadrado
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Binomio al cubo
a2 - b2 = (a + b) (a - b) Diferencia de
cuadrados
a3 - b3 = (a - b) (a2 + b2 + ab) Diferencia de cubos
a3 + b3 = (a + b) (a2 + b2 - ab) Suma de cubos
a4 - b4 = (a + b) (a - b) (a2 + b2) Diferencia cuarta
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac +
2bc
Trinomio al cuadrado
MAXIMO COMUN DIVISOR DE POLINOMIOS
El problema de calcular el máximo común divisor (MCD) de dos polinomios es de
importancia fundamental en álgebra computacional. Estos cálculos aparecen como
subproblemas en operaciones aritméticas sobre funciones racionales o aparecen
como cálculo prominente en factorización de polinomios y en integración simbólica,
además de otros cálculos en álgebra.
En general, podemos calcular el MCD de dos polinomios usando una variación del
algoritmo de Euclides. El algoritmo de Euclides es conocido desde mucho tiempo
atrás, es fácil de entender y de implementar. Sin embargo, desde el punto de vista
del álgebra computacional, este algoritmo tiene varios inconvenientes. Desde finales
de los sesentas se han desarrollado algoritmos mejorados usando técnicas un poco
más sofisticadas.
En esta primera parte vamos a entrar en la teoría básica y en los algoritmos
(relativamente) más sencillos, el algoritmo "subresultant PRS'' (aquí lo llamaremos
PRS subresultante) y el algoritmo heurístico (conocido como "GCDHEU''). Este
último algoritmo es muy eficiente en problemas de pocas variables y
se usa también como complemento de otros algoritmos. De hecho, se estima que el
90% de los cálculos de MCD's en MAPLE se hacen con este algoritmo [13].
No se puede decir con certeza que haya un "mejor'' algoritmo para el cálculo del
MCD de dos polinomios.
Los algoritmos más usados, para calcular MCD en son "EZ-GCD'' (Extended
Zassenhaus GCD), GCDHEU y "SPMOD'' (Sparse Modular Algorithm) [16]
GCDHEU es más veloz que EZGCD y SPMOD en algunos casos, especialmente
para polinomios con cuatro o menos variables. En general, SPMOD es más veloz
que EZGCD y GCDHEU en problemas donde los polinomios son "ralos'', es decir con
muchos coeficientes nulos y éstos, en la práctica, son la mayoría.
EJERCICIOS
Ejemplo a) Hallar el m.c.d. de 4a^2+4ab y 2a^4-2a^2b^2
1°) Se factorizan las expresiones dadas:
–> 4a^2 + 4ab = 4a(a+b) (Se aplicó Caso I de Factorización)
–> 2a^4 -2a^2b^2 = 2a^2(a^2 – b^2) = 2a^2(a+b)(a-b) (Se aplicó Caso I y IV de
Factorización)
2°) Se buscan los factores comunes de las expresiones encontradas:
Factor común de 4a y 2a^2 son 2a
Factor común de (a+b) y (a+b)(a-b) son (a+b)
por lo tanto, el m.c.d. de 4a(a+b) y 2a^2(a+b)a-b es = 2a(a+b) , que es la
Solución.
NOTA : Al factorizar es necesario aplicar las reglas para la Descomposición de
Factores o Factorización, según el Caso que le corresponda.
___________________________________________________________
Ejemplo b) Hallar el m.c.d. de x^2 – 4 , x^2 -x -6 , x^2 +4x +4
1°) Se factorizan las expresiones dadas:
–> x^2 -4 = (x -2)(x +2) Se aplicó el Caso IV de Factorización
–> x^2 -x -6 = (x -3)(x +2) Se aplicó el Caso III de Factorización.
–> x^2 +4x +4 = (x +2)^2 = (x +2)(x +2) Se aplicó el Caso III de
Factorización.
Se buscan los factores comunes de las expresiones encontradas:
Factor común de las 3 expresiones es = (x +2)
por lo tanto, el m.c.d. de x^2 -4, x^2 -x -6 y x^2 +4x +4 es = x +2 Solución.
___________________________________________________________
1. Reducir fracciones a común denominador.
Ejemplo: Reducir a común denominador las siguientes fracciones:
Factor izamos los denominadores:
12 = 22 x 3
9 = 32
18 = 2 x 32
Escogemos los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor
exponente. El m.c.m (12, 9, 18) = 22 • 32 = 4 • 9 = 36. Ya tenemos el nuevo
denominador.
Aplicaciones del m.c.d.
1. Simplificar una fracción hasta su irreducible.
Ejemplo: Simplifica hasta su equivalente irreducible la siguiente fracción:
Hallamos el M.C.D. (360, 336).
Para ello factorizamos el numerador y el denominador.
360 = 23 x 32 x 5
336 = 24 x 3 x 7
Elegimos los factores primos comunes elevados al menor exponente y tenemos que:
M.C.D. (360, 336) = 23 • 3 = 8 • 3 = 24.
Dividimos el numerador y el denominador entre 24
360 = 360 : 24 = 15
336 336 : 24 14
y obtenemos la fracción equivalente irreducible:
2. Resolver problemas de la vida práctica.
Ejemplo: Queremos embaldosar el suelo de una cocina rectangular con baldosas
cuadradas. La cocina mide 270 cm de largo por 180 cm de ancho. ¿De qué tamaño
tengo que comprar las baldosas de manera que encajen enteras en estas
dimensiones y sean lo más grande posible? ¿Cuántas baldosas tengo que comprar?
Solución: la longitud del lado de la baldosa ha de ser un divisor común de 270 y 180,
y el más grande posible. Por lo tanto, estamos buscando el máximo común divisor de
270 y 180.
Factorizamos 270 y 180:
270 = 2 x 33 x 5
180 = 22 x 33 x 5
Elegimos los factores primos comunes elevados al menor exponente y tenemos que:
M.C.D. (270,180) = 2 • 32 • 5 = 2 • 9 • 5 = 90.
Por lo tanto, comprando baldosas de 90 cm de lado podremos pavimentar la cocina
sin tener que romper ninguna. Ahora vamos a calcular cuántas necesitamos:
270 : 90 = 3. Tres baldosas de largo.
180 : 90 = 2. Dos baldosas de ancho.
Respuesta: Necesitamos 6 baldosas.
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR
FACTORIZACIÓN
Descripción:
La función cuadrática es una función de los reales en los reales
cuya regla de correspondencia está dada por f(x) = ax2 + bx + c (a≠0) y cuyo
dominio incluye todos los números reales. Para resolver ecuaciones cuadráticas
utilizamos principalmente el método de factorización.
Ejemplos:
1) Resuelva − 9 .
Solución:
Lo primero es lograr que la ecuación se iguale a cero. Para esto, primero
multiplicaremos el lado izquierdo y luego restaremos el nueve. Después
factorizaremos la ecuación resultante para obtener la solución final. Es
conveniente verificar la solución final en la ecuación original.
9
2x2 x 6x 9
2x2 5x 3 9 0
2x2 5x 12 0
0
2x 3 0
2x 3
x 3/
2
ó x 4 0 x
2) Halle las soluciones de x3 8x2 16x 0 .
Solución:
Como la ecuación ya está igualada a cero solamente hay que factorizar e
igualar sus factores a cero y resolver en términos de x .
2 8x 0
0
x 0 ó
x 4 0
x 4
Ecuaciones de primer grado
Una ecuación de primer grado es una igualdad de dos expresiones en las que
aparece una incógnita cuyo valor está relacionado a través de operaciones
aritméticas. Se denominan ecuaciones de primer grado si el exponente de la
incógnita es uno.
Para resolver una ecuación de primer grado se deben traspasar los términos de un
lado a otro de la ecuación, de manera que todos los términos que tengan la
incógnita queden a un lado y los demás al otro, teniendo la precaución de
mantener la igualdad de la expresión.
Por eso, cada vez que trasponemos un término se aplica el opuesto (inverso
aditivo), tal como se ilustra en el siguiente ejemplo:
Resolver la ecuación:
(x + 3)2 – (x - 1)2 = 3x – (x – 4)
a) Primero desarrollamos todas las operaciones de la expresión
x2 + 6x + 9 – (x2 – 2x + 1) = 3x – x + 4
x2 + 6x + 9 – x2 + 2x – 1 = 3x – x + 4
b) Trasponemos los términos:
x2 + 6x – x2 + 2x –3x + x = 4 – 9 + 1;
c) Reducimos términos semejantes:
6x = -4 ;
d) Dividimos por 6:
x = -4/6
e) Simplificamos por 2:
x = -2/3
Ecuaciones literales de primer grado
Una ecuación de primer grado literal es aquella que contiene expresiones literales
además de la incógnita. Por convención, se identifica como incógnitas a las
últimas letras del alfabeto y como literales a las primeras letras del alfabeto (estos
literales se suponen valores constantes). Para resolver ecuaciones literales se
efectúa el mismo procedimiento aplicado en la ecuación del ejemplo anterior. La
variante es que cuando tengamos todas las incógnitas a un lado de la ecuación,
factorizaremos por ella para poder despejarla.
Desarrollemos un ejemplo: ax – b(x – 1) = 3(x + a)
Tal como en el caso anterior, efectuamos las operaciones, reducimos términos
semejantes y trasponemos términos:
a) Resolvemos las operaciones ax – bx + b = 3x + 3a
b) Reducimos términos semejantes y trasponemos términos: ax – bx – 3x = 3a – b
c) Factorizamos al lado izquierdo por la incógnita: x(a – b – 3) = 3a – b
d) Para despejar x y calcular su valor, debemos dividir por (a – b – 3):
(¿Por qué se divide? Porque el factor de la incógnita es diferente de 1)
Ejemplos de planteo de ecuaciones:
Ejemplo 1:
Encuentra dos números consecutivos cuya diferencia de cuadrados sea igual a 9.
Sean x y x + 1 los números. Entonces, según el enunciado dado:
(x + 1)2 – x2 = 9; desarrollando el cuadrado de binomio, tenemos:
x2 + 2x + 1 – x2 = 9
2x + 1 = 9
x = 4;
Por lo tanto los números son 4 y 5.
Ejemplo 2:
Sergio tiene un año más que el doble de la edad de Humberto, y sus edades
suman 97. ¿Qué edad tiene el menor?
Si x es la edad de Humberto, entonces la edad de Sergio es 2x + 1. Planteando
que la suma de las edades es 97, obtenemos la ecuación:
x + 2x + 1 = 97
3x = 96
x = 32
Reemplazando este valor de x, se concluye que la edad de Humberto es 32 y la
de Sergio es 65.
Respuesta: la edad del menor es 32.
Ejemplo:
1.-Resolución de la ecuación 2x - 3 = 2
1º paso: Se suma a los dos miembros 3.
2x -3 + 3 = 2 + 3
2x = 5
2º pasó. Se divide los dos miembros por 2.
2x /2 = 5/2
2.- Resolución de la ecuación 3x -2 = x + 5
1º paso: Restamos x a los dos miembros.
3x -2 -x = x - x + 5; 2x - 2 = 5
2º pasó. Sumamos 2 a los dos miembros.
2x - 2 + 2 = 5 + 2; 2x = 7
3º pasó. Dividimos por 2, el coeficiente de la x
2x/2 = 7/2
SOLUCIÓN: x = 7 / 2
3.- Resolución de la ecuación 5x - 4 + x = 7 - 3x + 5
1º paso: Se simplifica los dos miembros.
6x - 4 = 12 - 3x
2º paso: Sumamos 3x a los dos miembros.
6x + 3x - 4 = 12 - 3x + 3x; 9x -4 = 12
3º paso. Sumamos 4 a los dos miembros.
9x - 4 + 4 = 12 + 4; 9x = 16
4º paso: Dividimos por 9
SOLUCIÓN: x = 16 / 9
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (O CUADRÁTICAS)
Ecuaciones de segundo grado y una incógnita
Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras.
Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra,
llamada incógnita, que suele ser la x.
Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo
por la incógnita, haga que sea cierta la igualdad.
Ese valor es la solución de la ecuación.
Ejemplo: Resolver la ecuación x − 1 = 0
El número que hace que esa ecuación sea cierta es el 1, ya que 1 – 1 = 0, por lo
tanto, 1 es la solución de la ecuación.
Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es
una ecuación de segundo grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas), que
se caracterizan porque pueden tener dos soluciones (aunque también una sola, e
incluso ninguna).
Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la
siguiente forma:
ax2 + bx + c = 0
Donde a, b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por los números
reales que corresponda en cada caso particular.
Solución de ecuaciones cuadráticas
Hemos visto que una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx +
c = 0, donde a, b, y c son números reales.
Pero este tipo de ecuación puede presentarse de diferentes formas:
Ejemplos:
9x2 + 6x + 10 = 0 a = 9, b = 6, c = 10
3x2 – 9x + 0 = 0 a = 3, b = –9, c = 0 (el cero, la c, no se escribe, no está)
–6x2 + 0x + 10 = 0 a = -6, b = 0, c = 10 (el cero equis, la b, no se escribe)
Para resolver la ecuación cuadrática de la forma ax2 + bx + c = 0 (o cualquiera de
las formas mostradas), puede usarse cualquiera de los siguientes métodos:
Solución por factorización
En toda ecuación cuadrática uno de sus miembros es un polinomio de segundo
grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda
factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios.
Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno.
Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable.
Igualamos a cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus
multiplicandos, o ambos, es igual a cero.
Ejemplos
1) Resolver
(x + 3)(2x − 1) = 9
Lo primero es igualar la ecuación a cero.
Para hacerlo, multiplicamos los binomios:
Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a cero:
Ahora podemos factorizar esta ecuación:
(2x − 3)(x + 4) = 0
Ahora podemos igualar a cero cada término del producto para resolver las
incógnitas:
Si
2x − 3 = 0
2x = 3
Si
x + 4 = 0
x = −4
Esta misma ecuación pudo haberse presentado de varias formas:
(x + 3)(2x − 1) = 9
2x2 + 5x − 12 = 0
2x2 + 5x = 12
2x2 − 12 = − 5x
2) Halle las soluciones de
La ecuación ya está igualada a cero y solo hay que factorizar e igualar sus
factores a cero y luego resolver en términos de x:
Ahora, si
x = 0
o si
x− 4 = 0
x = 4
Solución por completación de cuadrados
Se llama método de la completación de cuadrados porque se puede completar un
cuadrado geométricamente, y porque en la ecuación cuadrática se pueden realizar
operaciones algebraicas que la transforman en una ecuación del tipo:
(ax + b)2 = n
en la cual el primer miembro de la ecuación (ax + b)2, es el cuadrado de la suma
de un binomio.
Partiendo de una ecuación del tipo
x2 + bx + c = 0
por ejemplo, la ecuación
x2 + 8x = 48, que también puede escribirse x2 + 8x − 48 = 0
Al primer miembro de la ecuación (x2 + 8x) le falta un término para completar
el cuadrado de la suma de un binomio del tipo
(ax + b)2
Que es lo mismo que
(ax + b) (ax + b)
Que es lo mismo que
ax2 + 2axb + b2
En nuestro ejemplo
x2 + 8x = 48, el 8 representa al doble del segundo número del binomio, por lo
tanto, ese número debe ser obligadamente 8 dividido por 2 (8/2), que es igual a 4,
y como en el cuadrado de la suma de un binomio ( a2 + 2ab + b2) el tercer término
corresponde al cuadrado del segundo término (42 = 16) amplificamos ambos
miembros de la ecuación por 16, así tenemos
x2 + 8x + 16 = 48 + 16
x2 + 8x + 16 = 64
la cual, factorizando, podemos escribir como sigue:
(x + 4) (x + 4) = 64
Que es igual a
(x + 4)2 = 64
Extraemos raíz cuadrada de ambos miembros y tenemos
Nos queda
x + 4 = 8
Entonces
x = 8 − 4
x = 4
Se dice que "se completó un cuadrado" porque para el primer miembro de la
ecuación se logró obtener la expresión (x + 4)2, que es el cuadrado perfecto de un
binomio.
Veamos otro ejemplo:
Partamos con la ecuación
x2 + 6x − 16 = 0
Hacemos
x2 + 6x = 16
Luego, a partir de la expresión x2 + 6x (primer miembro de la ecuación) debemos
obtener una expresión de la forma (ax + b)2 (cuadrado de la suma de un binomio).
Para encontrar el término que falta hacemos
(Para encontrar dicho término en cualquier ecuación siempre debemos dividir por
2 el valor real del segundo término y el resultado elevarlo al cuadrado).
Ahora, para obtener la expresión completa se suma 9 a ambos miembros de la
ecuación:
x2 + 6x = 16
x2 + 6x + 9 = 16 + 9
x2 + 6x + 9 = 25
factorizamos, y queda
(x +3) (x + 3) = 25
(x + 3)2 = 25
La expresión x2 + 6x se ha completado para formar un cuadrado perfecto, en este
caso (x + 3)2, y así la ecuación se resuelve con facilidad:
Extraemos raíz cuadrada
y queda
x + 3 = 5 y x + 3 = −5
(pues 52 = 5 y también (−5)2 = 5
Entonces
x = 5 − 3
x = 2
Y
x = − 5 − 3
x = − 8
La ecuación 1 da x = 2 y la ecuación 2 da x = −8.
Solución por la fórmula general
Existe una fórmula que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado,
que es la siguiente:
La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el
signo menos (−) antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se
limita, entonces, a identificar las letras a, b y c y sustituir sus valores en la
fórmula.
La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para
resolver cualquier ecuación de segundo grado, sea completa o incompleta, y
obtener buenos resultados tiene que ver con las técnicas de factorización.
Resolver la ecuación 2x2 + 3x − 5 = 0
Vemos claramente que a = 2, b = 3 y c = −5, así es que:
Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el –
Así es que las soluciones son
PROPIEDADES Y OPERACIONES CON LOS NÚMEROS REALES
Para tener éxito en algebra, debe entender como sumar, restar, multiplicar y dividir
números Reales.
Dos números, en la recta numérica, que están a la misma distancia del cero pero
en direcciones opuestas se denominan:
Inversos aditivos, opuestos o simétricos uno del otro. Por ejemplo.
3 es el inverso aditivo de -3, y -3 es el inverso aditivo de 3
El numero 0 (cero) es su propio inverso aditivo.
La suma de un número y su inverso aditivo es 0 (cero).
Inverso aditivo
Para cualquier número real de a, su inverso aditivo es –a.
Considere el número -4. Su inverso aditivo es -(-4). Como sabemos que este
número debe ser positivo, esto implica que -(-4) = 4. Éste es un ejemplo de la
propiedad del doble negativo.
Propiedad del doble negativo
Para cualquier número real a, -(-a) = a
Por la propiedad del doble negativo, -(-6.9) = 6.9
Valor absoluto
El valor de cualquier número distinto del cero siempre será un nuero positivo, y el
valor absoluto de 0 es 0.
Para determinar el valor absoluto de un número real, use la definición siguiente.
La definición de valor absoluto indica que el valor absoluto de cualquier número no
negativo, es el mismo, y el valor absoluto de cualquier número negativo es el
inverso aditivo (opuesto9 del número.
El valor absoluto de un número puede determinarse por medio de la definición. Por
ejemplo.
Operaciones con los números Reales
1. Sumar números reales
Para sumar dos números con el mismo signo (ambos positivos o ambos
negativos)
Sume sus valores absolutos y coloque el mismo signo común antes de la suma.
La suma de dos números positivos será un número positivo, y la suma de dos
números negativos será un número negativo.
Ejemplo.
-5 + (-9)
Solución:
Como ambos números que se suman son negativos, la suma será negativa.
Para determinar la suma, sume los valores absolutos de estos números y coloque
un signo negativo antes del valor.
Para sumar dos números con signos diferentes (uno positivo y el otro negativo)
Reste el valor absoluto menor del valor absoluto mayor. La respuesta tiene el
signo del número con el valor absoluto más grande.
La suma de un número positivo y un número negativo puede ser positiva, negativa
o cero, el signo de la respuesta será el mismo signo que el numero con mayor
valor absoluto.
Ejemplo.
3 + (-8)
Como los números que se suman son de signos opuestos, restamos el valor
absoluto más pequeño del valor absoluto mayor. Primero tomamos cada valor
absoluto.
Ahora determinamos la diferencia, 8 – 3 = 5. El número -8 tiene un valor absoluto
mayor que el número 3, por lo que la suma es negativa.
3 + (-8) = -5
Restar números reales
Todo problema de sustracción puede expresarse como un problema de suma por
medio de la regla siguiente.
a – b = a + (-b)
Para restar b de a, sume el opuesto (o inverso aditivo de b a a
Ejemplo.
5 - 8 significa 5 – (+8). Para restar 5 – 8, sume el opuesto de +8, que es -7, a 5.
5 – 8 = 5 + (-8) = -3
Multiplicar números reales
Para multiplicar dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos
negativos, multiplique sus valores absolutos. La respuesta es positiva.
Para multiplicar dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo,
multiplique sus valores absolutos. La respuesta es negativa.
Ejemplo
Cuando multiplicamos más de dos números, el producto será negativo cuando
exista un número impar de números negativos. El producto será positivo cuando
exista un número par de números negativos.
Propiedad del cero en la multiplicación
Para cualquier número a,
Dividir números reales
Para dividir dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos,
divida sus valores absolutos. La respuesta es positiva.
Para dividir dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo,
divida sus valores absolutos. La respuesta es negativa.
Ejemplos.
Cuando el denominador de una fracción es un numero negativo, por lo común
reescribimos la fracción con un denominador positivo. Para hacerlo, usamos el
hecho siguiente.
Propiedades de los números reales.
Propiedades de los números reales.
b) ecuaciones fraccionarias
En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las
expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fracción).
Para proceder a la resolución se debe:
Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el
mínimo común múltiplo de los denominadores (m.c.m.)
Ejemplo:
m.c.m. de 2, 4 y 3 = 12
c) ecuaciones literales
Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal,
pero en el paso de reducir términos semejantes se factoriza por "x" para
despejarla.
Ejemplo:
Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene la siguiente la forma:
Donde cada una de las ecuaciones corresponde a la ecuación de una recta.
Determinar la solución del sistema, es hallar un punto que satisfaga ambas
ecuaciones, esto es, hallar el punto donde se intersectan ambas rectas.
Gráficamente, la situación es la siguiente
Sistema compatible indeterminado
Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas
Se puede ver:
Con lo que podemos decir que la primera ecuación multiplicada por
tres da la segunda ecuación, por lo tanto no son dos ecuaciones
independientes, sino dos formas de expresar la misma ecuación.
Tomando una de las ecuaciones, por ejemplo la primera, tenemos:
CLASIFICAMOS LOS SIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
2 x + y = 6 2
x - y = 2
a) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación: Dos
soluciones de la primera ecuación son:
x = 1, y = 4; x = 2, y = 2
Dos soluciones de la segunda ecuación son:
x = 1, y= 0; x = 2, y = 2
Las rectas se cortan en un punto que será la solución:x = 2, y = 2. Por tanto, el
sistema será compatible determinado. Vemos la representación más abajo
.x + y = 3 2
x + 2 y = 6
b) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación: Dos
soluciones de la primera ecuación son:
x = 0, y = 3; x = 3, y = 0
Dos soluciones de la segunda ecuación son:
x = 1, y = 2; x = 2, y = 1
Las rectas coinciden, toda la recta es solución del sistema (infinitas soluciones).
Por tanto, el sistema será compatible indeterminado. Vemos la representación
más abajo
x + y = 3
x + y = - 1
c) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación: Dos
soluciones de la primera ecuación son:
x = 0,y = 3; x = 3,y = 0
Dos soluciones de la segunda ecuación son:
x = 0, y =-1; x = -2, y = 1
Las rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común, luego el sistema no
tiene solución. Por tanto, el sistema será incompatible. Vemos la representación
siguiente
Método de reducción
Consiste en multiplicar ecuaciones por números y sumarlas para reducir el número
de incógnitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incógnita.
Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros
de la ecuación por dicho número.
Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro
derecho (izquierdo) es la suma de los miembros derechos (izquierdos ) de las
ecuaciones que se suman.
Ejemplo
Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, se obtienen las
ecuaciones
El sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación
Que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es
La elección de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que la
desaparezca al sumar ambas ecuaciones.
Sustituyendo por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de
partida, se obtiene
Que es otra ecuación con una sola incógnita y cuya solución es .
Método de igualación
El método de igualación consiste en lo siguiente:
Supongamos que tenemos dos ecuaciones:
Donde , , y representan simplemente los miembros de estas ecuaciones ( son
expresiones algebraicas ).
De las dos igualdades anteriores se deduce que
Si resulta que una incógnita del sistema de ecuaciones no aparece ni en ni en ,
entonces la ecuación
No contendría dicha incógnita.
Este proceso de eliminación de incógnitas se puede repetir varias veces hasta
llegar a una ecuación con solo una incógnita, digamos .
Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye por su solución
en otras ecuaciones donde aparezca para reducir el número de incógnitas en
dichas ecuaciones.
Ejemplo
El sistema de ecuaciones
Es equivalente a este otro
El segundo sistema lo he obtenido pasando los términos en del miembro de la
izquierda al miembro de la derecha en cada una de las ecuaciones del primer
sistema.
Del segundo sistema se deduce que
Que es una ecuación con una sola incógnita cuya solución es .
Sustituyendo por 1 en la primera ecuación del sistema de partida se tiene que
Que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es .
Método de sustitución
Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma
Entonces podemos despejar en la segunda ecuación y sustituirla en la primera,
para obtener la ecuación:
Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incógnitas que las de
partida.
Aquí y son expresiones algebraicas de las incógnitas del
sistema.
Ejemplo
Intentemos resolver
La primera ecuación se puede reescribir de la forma
Por otra parte, de la segunda ecuación del sistema se deduce que
Sustituyendo por en
Se tiene que
Que es una ecuación con solo una incógnita y cuya solución es .
Sustituyendo por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de
partida obtenemos una ecuación de una sola incógnita
Cuya solución es .
Método de Gauss
Gauss es uno de los matemáticos más importantes de todos los tiempos. ¡Fue un
GENIO!
El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente.
Para ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones
elementales con sus filas la transformamos en una matriz triangular superior ( o
inferior ). De esta forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy
fácil de resolver.
Es esencialmente el método de reducción. En el método de Gauss se opera con
ecuaciones, como se hace en el método de reducción, pero uno se ahorra el
escribir las incógnitas porque al ir los coeficientes de una misma incógnita siempre
en una misma columna, uno sabe en todo momento cual es la incógnita a la que
multiplican.
Ejemplo
La matriz ampliada del sistema de ecuaciones:
Es:
Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera, obtenemos:
Lo que acabamos de hacer es equivalente a restar a la tercera y segunda
ecuación la primera.
Si ahora intercambiamos la segunda y tercera filas (ecuaciones ), obtenemos la
siguiente matriz triangular superior:
Que es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones:
Que es equivalente al inicial.
Solucionamos la tercera ocupación para obtener :
En la primera y segunda ecuación, sustituimos por la solución de la tercera
ecuación ( ), para obtener:
La segunda ecuación es ahora una ecuación con una sola incógnita, , que
resolvemos para obtener . Sustituimos, en la primera ecuación, por 1
( ). Esto nos da una ecuación en :
Que al resolverla termina de darnos la solución del sistema de ecuaciones inicial:
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
EXPRESIÓN ALGEBRAICA. Es la representación de un símbolo algebraico o de
una o más operaciones algebraicas.
TÉRMINO. Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios
símbolos no separados entre sí por el signo + o -. Los elementos de un término
son cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado.
GRADO ABSOLUTO DE UN TÉRMINO. Es la suma de los exponentes de sus
factores literales.
GRADO DE UN TÉRMINO CON RELACIÓN A UNA LETRA. Es el exponente de
dicha letra.
CLASES DE TÉRMINOS. El término entero es el que no tiene denominador literal,
el término fraccionario es el que tiene denominador literal. El término racional es el
que no tiene radical, e irracional el que tiene radical.
TÉRMINOS HOMOGÉNEOS. Son los que tienen el mismo grado absoluto.
TÉRMINOS HETEROGÉNEOS. Son los de distinto grado absoluto.
TÉRMINOS SEMEJANTES. Dos términos son semejantes cuando tienen la misma
parte literal, o sea, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes.
10 Ejemplos de Términos Semejantes:
x es semejante con 3x ya que ambos términos tienen la misma literal (x).
xy2 es un término semejante a -3y2x ya que ambos tienen la misma literal (xy2 =
y2x)
5xyrb es un término semejante con –xyrb
4bx2 no es semejante a 4b2x ya que el literal bx2 no es igual al b2x.
5hk es semejante a 6hk porque tiene la misma literal (hk)
4(jk)3 es semejante a 9j3k3 porque (jk)3 = j3k3
5ty es semejante a 3ty
5kl4 es semejante a -2kl4
68lky5 es semejante a -96lky5
378ab3c2 no es semejante a 378a2b3c
CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICA
MONOMIO. Es una expresión algebraica que consta de un solo término.
BINOMIO. Es un polinomio que consta de dos términos.
TRINOMIO. Es un polinomio que consta de tres términos.
POLINOMIO. Es una expresión algebraica que consta de más de un término.
GRADO DE UN MONOMIOS
Llama grado de un monomio a la suma de los exponentes de su parte literal: El
monomio es de grado: 2 + 3 + 1 = 6º grado.
El grado lo podemos considerar respecto a una letra. En el ejemplo anterior, el
grado respecto a la letra a es 2, respecto a b es 3 y respecto a c es 1.
GRADO DE UN POLINOMIO
Es el mayor de los grados de los monomios que contiene el polinomio:
9.5 ¿Cuál es el grado de: ?
9.6 ¿Cuál es el grado de: ?
ORDENAR UN POLINOMIO
Ordenar un polinomio es colocar los monomios de mayor a menor teniendo en
cuenta su grado:
9.8 Ordena el polinomio:
Respuesta:
NOMENCLATURA ALGEBRAICA
1. Dígase qué clase de términos son los siguientes atendiendo al signo, a si
tienen o no denominador y a si tienen o no radical:
S o l u c i ó n :
2. Dígase el grado absoluto de los términos seguientes:
S o l u c i ó n :
3. Dígase el grado de los términos siguientes respecto de cada uno de sus
factores literales:
4. De los términos siguientes escoger cuatro que sean homogéneos y tre
hetereogéneos
S o l u c i ó n :
5. Escribir tres términos enteros; dos fraccionarios; dos positivos, enteros y
racionales; tres negativos, fraccionarios e irracionales
S o l u c i ó n :
6. Escribir un término de cada uno de los grados absolutos siguientes: tercer
grado, quinto grado, undécimo grado, décimo quinto grado, vigésimo grado
S o l u c i ó n :
7. Escribir un término de dos factores literales que sea de cuarto grado con
relación a la x; otro de cuatro factores literales que sea de séptimo grado con
relación a la y; otro de cinco factores literales que sea de décimo grado con
relación a la b
S o l u c i ó n :
DESCOMPOSICIÒN FACTORIAL
Factores
Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a los que el producto
entre sí (de estos factores) nos da la expresión primitiva. Así, efectuando el
producto entre a y a + b, se obtiene:
a y abe, cuyo producto entre sí dan la expresión a2 + ab, estos son los divisores
de a2 + ab de tal manera que:
(X+3)(X+5) = x2 + 8x + 15
Donde (x+3) (X+5) son los factores de x2 + 8x + 15
Métodos para la factorización de polinomios
Todo Polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los
números complejos. Existen métodos de factorización, para algunos casos
especiales.
Binomios
Diferencia de Cuadrados
Suma o diferencia de Cubos
Suma o diferencia de potencias impares iguales
Trinomios
Trinomio cuadrado perfecto
Trinomio de la forma x²+bx+c
Trinomio de la forma ax²+bx+c
Polinomios
Factor común
Factorizar un monomio
Se descompone el término en el producto de factores primos.
Ejemplo:
Factorizar un polinomio
No todo polinomio se puede descomponer en un producto indicado de dos o más
factores distintos de 1, ya que de la misma forma que en Aritmética, hay números
primos que sólo son divisibles por la unidad y por sí mismos, en Algebra, hay
expresiones algebraicas que sólo son divisibles por la unidad y por ellas mismas,
en consecuencia, no son el producto de otras expresiones algebraicas. Así a + b
no puede descomponerse en dos factores distintos de 1 porque sólo es divisible
por a + b y por la unidad.
A continuación diferentes casos de descomposición factorial.
Caso I: Factor común
Factor común.
Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común.
Ejemplos:
a) Descomponer en factores a2 + 2a
a2 y 2a contienen el factor común a. Se escribe este factor común como
coeficiente de un paréntesis, dentro de este paréntesis se escriben los cocientes
obtenidos de efectuar el cociente entre a2 y a y 2a ya
Obteniendo como resultado: a2 + 2a = a(a + 2)
b) Factorizar 10b - 40ab2
Los coeficientes numéricos tienen los factores 2,5 y 10. Se toma el 10 porque
siempre se escoge el mayor factor común. De las variables, el único factor común
es b ya que se haya en los dos términos del binomio y se toma con su menor
exponente. El factor común será 10b
Obteniendo: 10b - 40ab2 = 10b(1 - 4ab)
c) Descomponer en factores:
10a2 - 5a + 15a3 = 5a (2a - 1 + 3a2)
Factor común de un polinomio
a) Descomponer en factores: x(a+b)+y(a+b)
Los dos términos de la expresión tienen como factor común (a+b). Se
escribe (a+b) como coeficiente de un paréntesis, dentro del paréntesis se escriben
los cocientes de dividir x(a+b) entre (a+b) y y(a+b) entre (a+b).
Factorizando se obtiene:
x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y)
x(a+b)+y(a+b) = ax+bx+ay+yb y (a+b)(x+y) = ax+ay+bx+by
Obteniendo:
x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y) y ax+bx+ay+yb = ax+ay+bx+by
Factor común por agrupación de términos
Se agrupan los términos que tengan factor común, asociándolos entre paréntesis y
luego se extrae el factor común de cada uno.
Ejemplos
a) Factorizar ax + by +ay + by
Los dos primeros términos tienen el factor común x, y los dos últimos tienen el
factor común y, asociando los dos primeros términos en un paréntesis y los dos
últimos también en un paréntesis precedido de un signo + ya que el tercer término
es positivo se obtiene:
ax+bx+ay+by = (ax+bx)(ay+by)
ax+bx+ay+by = x(a+b) + y(a+b) extrayendo los factores comunes
ax+bx+ay+by = (a+b)(x+y) factorizando
Nota: La asociación de términos puede hacerse de varios modos y siempre se
obtendrá el mismo resultado.
Trinomio cuadrado perfecto
Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el producto de dos factores iguales.
Asi, 16a2 es cuadrado perfecto de 4a.
En efecto (4a2) = 4a x 4a = 16a2, 4a cantidad que multiplicada por si misma
da 16a2, 4a es la raíz cuadrada de 16a2.
Sin embargo (-4a2) = (-4a)((-4a) = 16a2, luego (-4a) es también raíz de 16a2, por
lo que la raiz cuadrada de una cantidad positiva tiene los signos (+) y (-).
Raíz cuadrada de un monomio
Para extraer la raíz cuadrada de un monomio, se saca la raíz cuadrada de su
coeficiente numérico y se dividen los exponentes de cada cantidad literal entre 2.
Ejemplo: La raíz cuadrada de 25a2b4 es 5ab2
Un trinomio es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un binomio, es decir,
es el producto de dos binomios iguales.
Así, a2 + 2ab + b2 es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de a + b
Por tanto:
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2
Trinomios de la forma x2 + px + q
En el producto notable (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab observa que se obtiene
un trinomio de la forma x2 + px + q, haciendo para ello a + b = p y ab = q
Por tanto:
Un trinomio de la forma x2 + px + q se puede descomponer en el producto de dos
factores: (x + a) y (x + b) si podemos encontrar dos números a y b cuya suma
algebraica sea p y cuyo producto sea
(Baldor, 2013)
OPERACIONES CON FRACCIONES
SUMA ALGEBRAICA DE FRACCIONES
Para entender mejor este tema, lo que haremos primero es repasar como se
resuelven las sumas y las restas cuando tenemos fracciones.
En principio podemos distinguir dos situaciones diferentes; cuando las fracciones
tienen igual denominador, y cuando tienen distintos denominadores.
En el primer caso, el resultado de una suma algebraica de fracciones de igual
denominador, es una fracción que tendrá el mismo denominador que las
fracciones dadas y su numerador será la suma algebraica de los numeradores de
las fracciones dadas.
En el segundo caso, cuando se tienen distintos denominadores, se puede optar
por dos caminos.
Uno de ellos, implica determinar el mínimo común múltiplo de los denominadores,
el cual será el denominador de la fracción resultado, en tanto que el numerador
será la suma algebraica de números que surgen de dividir el mínimo común
múltiplo que hemos determinado, por cada uno de los denominadores de las
fracciones dadas, y al resultado de cada una de estas divisiones se lo multiplica
por su respectivo numerador, se hace la suma algebraica del numerador y ya está.
El otro camino implica determinar el mínimo común múltiplo de los
denominadores, y después, expresar cada una de las fracciones como fracciones
equivalentes cuyos denominadores serán el mínimo común múltiplo que se ha
determinado, con lo cual se consigue transformar una suma algebraica de
fracciones de distinto denominador en una suma algebraica de igual denominador,
que se resuelve como ya hemos visto.
Ahora bien, todo lo que hemos desarrollado se aplica, para las expresiones
algebraicas fraccionarias. De modo tal que si se tiene una expresión con igual
denominador, se mantiene el denominador y se suman o restan sus
denominadores según sea el caso.
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Multiplicar fracciones es muy sencillo, solo hay que multiplicar los numeradores y
los denominadores entre sí.
Para las fracciones algebraicas, pasa lo mismo. Es decir hay que multiplicar los
polinomios que están en los numeradores, entre sí, y de igual manera se
multiplican entre sí los polinomios que están en los denominadores.
En la práctica, procederemos de la siguiente manera:
1) Factoramos todos los polinomios.
2) Simplificamos lo que se pueda.
3) Ponemos como resultado, los factores que no se cancelaron.
Veamos un ejemplo:
DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
La división de fracciones tampoco es muy complicada. Se realiza el producto
cruzado entre los numeradores y los denominadores.
Caso contrario, se multiplica la primera por la recíproca de la segunda.
(Traducción: se invierte la segunda de las fracciones, con lo cual se transforma la
división en una multiplicación, y se resuelve el ejercicio como un producto).
Desarrollando por el segundo método.
Ahora, cuando tenemos fracciones algebraicas, se procede de la misma manera.
Es decir hay que invertir la segunda fracción y resolverla como una multiplicación.
Formula:
RESOLUCION POR COMPLEMENTACION DE UN TRINOMIO CUADRADO
En este tipo de expresión, hace falta un término cuadrático, para transformar a la
expresión original en un trinomio cuadrado perfecto.
Dicho término cuadrático se suma y se resta, al mismo tiempo, garantizando que
en realidad estamos agregando 0, es decir que no estamos alterando la expresión
básica en nada.
La parte positiva de las dos que se han agregado, se suma a la parte de la
expresión básica que necesitaba esa adición para transformar dicha parte básica
en un trinomio cuadrado perfecto. La parte negativa queda agregada al final de
todo.
Se factoriza la parte que ha quedado transformada en un trinomio cuadrado
perfecto.
Ahora se tendrá una diferencia de cuadrados, en la cual el primer término es el
trinomio cuadrado perfecto factorizado, y la otra es la parte negativa de las dos
expresiones cuadráticas que se agregaron.
Dicha diferencia de cuadrados se vuelve a factorizar, como tal, y deja la expresión
original totalmente factorizada, mediante la completación de un trinomio cuadrado
perfecto y de llevar todo a una diferencia de cuadrados.
Cuando mencionamos el caso cinco es porque un autor decidió enumerar los
casos, para nosotros es conocido como completación del trinomio cuadrado
perfecto, entonces para hacerlo recordemos que es el trinomio cuadrado perfecto.
Recordemos que sabíamos que era un trinomio cuadrado perfecto si tomábamos
las raíces y encontrábamos el doble producto. En este caso la factorización es
muy simple, pongamos las raíces en un paréntesis y pongamos entre ellas el
signo del doble producto y elevemos al cuadrado, esa es la factorización del
trinomio cuadrado perfecto. Pero vamos a ver ahora trinomios donde no
encontramos ese doble producto pero haciendo un artilugio matemático podemos
lograrlo para luego volver esa expresión en una diferencia de cuadrados que es
otro caso distinto. Para averiguar si es cuadrado perfecto tomamos las raíces
siempre de los que estén solos. El problema de las matemáticas es que si yo
sumo algo también se lo debo restar porque al restarlo no afectó la expresión.
Luego de eso si se puede factorizar. Aunque hagamos la completación y
obtuvimos un trinomio, simplemente tuve una diferencia y para factorizar se deben
obtener productos. Entonces se debe hacer una diferencia de cuadrados porque lo
bueno del trinomio cuadrado perfecto es que cuando yo lo factorizo siempre se me
genera un cuadrado y si la expresión que sume y reste no me queda al cuadrado
entonces el caso no aplica, o sea que no podemos usar el caso cinco. Siempre
que haya completación tengo que darme cuenta que lo que vaya a sumar o restar
tenga raíz. Al tener las dos raíces y el doble producto ya puedo empezar a
factorizar, poniendo entre paréntesis las raíces, el signo de la mitad que en este
caso si importa. Con esto dejamos por explicado como se resuelven trinomios y
binomios utilizando la completación del trinomio cuadrado perfecto.
2 Comentarios en: factorización por completación del trinomio cuadrado perfecto
APLICACIONES DE LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS
Las funciones cuadráticas son más que curiosidades algebraicas — son
ampliamente usadas en la ciencia, los negocios, y la ingeniería. La parábola con
forma de U puede describir trayectorias de chorros de agua en una fuente y el
botar de una pelota, o pueden ser incorporadas en estructuras como reflectores
parabólicos que forman la base de los platos satelitales y faros de los carros. Las
funciones cuadráticas ayudan a predecir ganancias y pérdidas en los negocios,
graficar el curso de objetos en movimiento, y asistir en la determinación de valores
mínimos y máximos. Muchos de los objetos que usamos hoy en día, desde los
carros hasta los relojes, no existirían si alguien, en alguna parte, no hubiera
aplicado funciones cuadráticas para su diseño.
Ejemplos:
Resolver la siguiente ecuación x 2 + 4 x = 12
Solución:
Paso 1: Escribir la ecuación en la forma general. x 2 + 4 x - 12 = 0
Paso 2: Factorizar x 2 + 4 x - 12 = 0 ( x + 6 ) ( x - 2 ) = 0
Paso 3: Igualar cada factor a cero y resolver para x
x + 6 = 0 x = - 6 x - 2 = 0 x = 2
Paso 4: Verificar la solución.
Verificar x=-6 x 2 + 4 x - 12 = 0 ( - 6 ) 2 + 4 ( - 6 ) -12 = 0 36 - 24 - 12 = 0 0 = 0
Verificar x=2 x 2 + 4 x - 12 = 0 ( 2 ) 2 + 4 ( 2 ) -12 = 0 4 + 8 - 12 = 0 0 = 0
FRACCIONES ALGEBRAICAS
¿QUE SON?
Una fracción algebraica es una expresión fraccionaria en la
que numerador y denominador son polinomios.
Son fracciones algebraicas:
Las fracciones algebraicas tienen un comportamiento similar a las fracciones
numéricas.
El valor de una fracción no se altera si se multiplican o dividen el numerador y
denominador por una misma cantidad. Esta cantidad debe ser distinta de cero.
Por ejemplo:
Si se multiplica por x + 2 en su numerador y denominador resulta:
Se recomienda hacer las operaciones con calma y mucha concentración ya que
son frecuentes los errores de signos y los errores en el uso incorrecto de
paréntesis.
Operaciones con fracciones algebraicas
Simplificar fracciones algebraicas
La simplificación de fracciones algebraicas es objeto de frecuentes errores, pero
se simplifican igual que las fracciones ordinarias: dividiendo el numerador y el
denominador por factores comunes. Entonces, la clave está en el factor común.
Para simplificar al máximo habrá que factorizar los polinomios numerador y
denominador.
Por ejemplo, simplificar:
Otro ejemplo
Primero, factorizamos los polinomios del numerador y del denominador, para
quedar
Como vemos, simplificar (o reducir) una fracción algebraica consiste en
transformarla a otra equivalente cuya particularidad es ser irreductible (se puede
simplificar sólo hasta un cierto nivel).
Suma y resta de fracciones algebraicas
Para sumar y restar procederemos de forma similar a como lo hacemos con
fracciones de números enteros, reduciendo primero el denominador.
Igual como ocurre con las fracciones de números enteros, la suma y resta de
fracciones algebraicas puede ser con fracciones de igual denominador o de
distinto denominador.
Suma y resta de fracciones algebraicas con igual denominador
Veamos el siguiente ejemplo de suma y resta:
Como el denominador es común (x + 1), este se ha unificado en una sola fracción,
que ahora tiene como numerador a todas las cantidades que eran numeradores en
las fracciones que estamos sumando y restando. Nótese que dichas cantidades se
anotan entre paréntesis cuando no son monomios, para no confundir luego los
signos.
Ahora sacamos los paréntesis teniendo cuidado de cambiar el signo interior
cuando delante del paréntesis hay un signo menos (−), y nos queda
Hicimos las operaciones posibles y llegamos al resultado.
Suma y resta de fracciones algebraicas con distinto denominador
Veamos el siguiente ejemplo:
Tal como lo hacíamos al sumar o restar fracciones de números enteros, utilizando
el mínimo común múltiplo (m.c.m.) las fracciones con distintos denominadores se
transforman en fracciones equivalentes con denominador común.
Entonces, que debemos hacer: encontrar el m.c.m. de los denominadores, que
llamaremos mínimo común denominador (m.c.d.).
Para calcular el m.c.m. factorizamos
5ab a2 15b2 a
5b a 15b2 a
5b 1 15b2 b
5 1 15b b
5 1 15 5
1 1 3 3
1 1 1
Multiplicamos los factores y queda a • a • b • b • 5 • 3 = a2 • b2 • 15 que es lo
mismo que 15a2b2 y es el mínimo común denominador (m.c.d.) de las tres
fracciones involucradas.
Conocido el m.c.d. operamos con fracciones con denominador común:
Previamente, dividimos el denominador común (15a2b2) por cada uno de los
denominadores individuales, para conocer la cifra o valor que se multiplica por
cada uno de los numeradores, y lo hacemos así:
Esta es la forma tradicional de operar cuando hemos hallado el m.c.d. Pero
también hay otra, como la siguiente:
Encontrado el m.c.d. (15a2b2) se multiplica cada fracción (tanto numerador como
denominador) por los términos que faltan por completar dicho m.c.d., del modo
siguiente:
Nótese que ―los términos que faltan‖ se obtienen haciendo la misma división del
caso anterior.
Un ejemplo más:
Sumar
Producto (multiplicación) de fracciones algebraicas
Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con
fracciones, multiplicando los numeradores y los denominadores, aunque antes de
multiplicar debemos simplificar, si se puede.
Veamos qué significa esto:
Sea una fracción algebraica cualquiera que está multiplicada por otra ,
entonces:
Veamos ahora ejemplos de multiplicación (producto) de fracciones algebraicas
Multiplicar
Anotamos la multiplicación de los numeradores y de los denominadores:
Simplificamos antes de efectuar el producto:
Ahora, podemos multiplicar los factores finales:
Ejemplos desarrollados
a)
b)
c)
Importante: en los tres ejemplos anteriores (como en casi todos los casos) es
preciso dominar la factorización de productos notables.
Cociente o división de fracciones algebraicas
Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con
fracciones, haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores,
aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede.
Veamos, ahora qué significa esto:
Sea una fracción algebraica cualquiera que está dividida por otra , entonces:
Veamos ahora ejemplos de división (cociente) de fracciones algebraicas
Dividir
Anotamos haciendo el producto cruzado:
Simplificamos y finalmente multiplicamos:
Ejemplos desarrollados
a)
b)
c)
Nota: en ejercicios de este tipo es importante tener bien definida la línea
divisoria de las fracciones participantes. Si el ejercicio está bien expresado,
la línea divisoria principal es la que se halla frente al signo igual (=).
d)
Fracciones algebraicas compuestas
En los últimos ejemplos nos encontramos con un tipo de fracción algebraica
especial: las fracciones compuestas.
Una fracción algebraica compuesta contiene una o varias fracciones simples en el
numerador y/o denominador.
La operación de reducción de fracciones compuestas consiste en identificar y
reducir las fracciones simples que la componen.
Ejemplos:
1)
2)
3)
(LINEA, 2013)
Bibliografía
LINEA, PROFESRO EN. 2013. PROFESOR EN LINEA. PROFESOR EN LINEA.
[En línea] 01 de 08 de
2013. http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Algebra_Fracciones.html
FUNCION CUADRATICA
Clasificación de ecuaciones lineales o de primer grado
Sabemos que una ecuación lineal o de primer grado es aquella que involucra
solamente sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia (elevadas a
uno, que no se escribe). Son llamadas lineales por que se pueden representar
como rectas en el sistema cartesiano.
Se pueden presentar tres tipos de ecuaciones lineales:
a) ecuaciones lineales propiamente tales
En este tipo de ecuación el denominador de todas las expresiones algebraicas es
igual a 1 (no se presentan como fracción, aunque el resultado sí puede serlo).
Para proceder a la resolución se debe:
Eliminar paréntesis.
Dejar todos los términos que contengan a "x" en un miembro y los números en el
otro.
Luego despejar "x" reduciendo términos semejantes.
Ejemplo:
4x – 2(6x – 5) = 3x + 12(2x + 16)
4x – 12x + 10 = 3x + 24x + 192
4x – 12x – 3x – 24x = 192 – 10
–35x = 182
b) ecuaciones fraccionarias
En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las
expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fracción).
Para proceder a la resolución se debe:
Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el
mínimo común múltiplo de los denominadores (m.c.m.)
Ejemplo:
m.c.m. de 2, 4 y 3 = 12
c) ecuaciones literales
Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal,
pero en el paso de reducir términos semejantes se factoriza por "x" para
despejarla.
Ejemplo:
Graficas de ecuaciones lineales
Intercepta, pendiente y ecuación de la recta
Las ecuaciones lineales son siempre de la forma:
y = mx + b
Donde m es la pendiente y la b es el intercepto en y.
El intercepto en y esta expresada por: (0, b) y es donde la recta corta el eje de y
El intercepto en x esta expresada por: (a, 0) y es donde la recta corta el eje de x.
Digamos que queremos hacer la gráfica la ecuación lineal y = 3x + 7. Hay
que asignar valores a la x y resolverlo para encontrar el valor de y. Con los
resultados se formaran los puntos de la gráfica de la siguiente manera:
Ej. Encontrar los puntos de la ecuación y = 3x + 7. Vamos a utilizar la siguiente
tabla para organizar el trabajo. Le daremos a la x, los valores de -2, -1, 0, 1 y 2
x y
-2
-1
0
1
2
Y = 3x + 7
Y = 3(-2) + 7 [Cuando la x es -2, la y es 1]
Y = -6 + 7
Y = 1
Y = 3x + 7
Y = 3(-1) + 7 [Cuando la x es -1, la y es 4]
Y = -3 + 7
Y =4
Y = 3x + 7
Y = 3(0) + 7 [Cuando la x es 0, la y es 7]
Y = 0 + 7
Y = 7
Y = 3x + 7
Y=3(1) + 7
Y= 3 + 7
Y = 10 [Cuando la x es 1, la y es 10]
Y = 3x + 7
Y= 3(2) + 7
Y= 6 + 7
Y = 13 [Cuando la x es 2, la y es 13]
x y
-2 1
-1 4
0 7
1 10
2 13
Y así se resuelve con cada valor que le quieras dar a la x de la tabla. Es por esto
que x se llama la variable independiente, ya que le puedes dar cualquier valor de
su dominio, que son los valores permitidos para la x. En el caso de está ecuación
lineal, x puede ser cualquier número real, pero en nuestro estudio se encontrarán
ecuaciones que tienen restricciones en su dominio.
Veamos cómo queda la gráfica de la ecuación y = 3x + 7. (Ver Parte
(Rivera, 2002)
Bibliografía
LINEA, PROFESRO EN. 2013. PROFESOR EN LINEA. PROFESOR EN LINEA.
[En línea] 01 de 08 de
2013. http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Algebra_Fracciones.html.
Rivera, Melissa Murrias y Dra. Luz M. 2002. Universidad Interamericana de Puerto
Rico - Recinto
de Ponce . Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce . [En
línea] 09 de 2002.
http://ponce.inter.edu/cremc/eclineal.html
Sistemas de ecuaciones
Llamamos sistema de ecuaciones a un conjunto cualquiera de ecuaciones. Por
ejemplo, las
ecuaciones:
forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
El conjunto de ecuaciones:
forman un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.
Se llama grado del sistema de ecuaciones al mayor exponente al que se
encuentre elevada
alguna incógnita del sistema.
Por ejemplo,
es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de segundo grado, porque el
mayor
exponente es 2 (la x e y al cuadrado). Este sistema con ecuaciones de segundo
grado se llaman
también sistema de ecuaciones cuadráticas.
El sistema de ecuaciones es de primer grado con dos incógnitas (porque todos los
valores están elevados a 1, que no se escribe).
Cuando el sistema de ecuaciones es de primer grado y además no aparecen
términos con las
incógnitas multiplicadas entre sí(tipo x • y) se dice que es un sistema de
ecuaciones lineales.
Resolviendo sistemas
Para resolver un sistema de ecuaciones existen los siguientes métodos:
Método de sustitución
Lo que debemos hacer:
1.- Despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones.
2.- Sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación.
3.- Resolver la ecuación resultante.
4.- Calcular la otra incógnita en la ecuación despejada.
Ejemplo:
Resolver
Se despeja x en la segunda ecuación:
x = 8 – 2y
Se sustituyen en la primera ecuación:
3(8 – 2y) – 4y = – 6
Operando:
24 − 6y − 4y = − 6
24 – 10y = – 6
− 10y = − 6 − 24
− 10y = − 30
Se resuelve:
y = 3
Se sustituye este valor en la segunda:
x + 2(3) = 8
x + 6 = 8
x = 8 – 6 = 2
Solución del sistema:
x = 2, y = 3
Método de reducción
Lo que debemos hacer:
1.- Se igualan los coeficientes de una incógnita, salvo el signo, eligiendo un
múltiplo común de
ambos.
2.- Puede ser el producto de los coeficientes de esa incógnita.
3.- Se suman o restan, según convenga, las ecuaciones.
4.- Se resuelve la ecuación de primer grado resultante.
5.- Se calcula la otra incógnita sustituyendo el valor obtenido en una de las
ecuaciones del sistema.
Ejemplo:
Resolver
Primero se deben igualar el 6 y el 8 de la incógnita x. Para hacerlo, amplificamos
la primera
ecuación por 4 y amplificamos la segunda ecuación por –3. Esto porque al
multiplicar 6x por 4
queda 24x; y al multiplicar 8x por –3 queda –24x, y se anulan entre sí; o sea,
hemos eliminado una
incógnita para trabajar solo con la otra (la y). Luego hacemos lo mismo con la y.
Se elimina la x:
Se elimina la y:
Ver: PSU: Matemática; Pregunta 26_2010
Método de igualación
Lo que debemos hacer:
1.- Se despeja una de las incógnitas en ambas ecuaciones.
2.- Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una
incógnita.
3.- Se resuelve la ecuación resultante.
4.- El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que
aparecía
despejada la otra incógnita.
5.- Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Ejemplo:
Resolver
Despejamos x en la primera ecuación:
Despejamos x en la segunda ecuación:
x = –1 – 2y
Igualamos ambas expresiones:
:Se sustituye este valor en la primera o segunda ecuación:
x = 3 + 2(−1)
x = 3 − 2
x = 1
Solución del sistema:
x = 1, y = –1
Otro ejemplo:
Resolver, por el método de igualación, el sistema
Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación:
Igualamos ambas expresiones:
Luego, resolvemos la ecuación:
Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que tenemos
despejada la x:
(LINEA, 2013)
Bibliografía
LINEA, PROFESRO EN. 2013. PROFESOR EN LINEA. PROFESOR EN LINEA.
[En línea] 01 de 08 de
2013. http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Algebra_Fracciones.html.
Rivera, Melissa Murrias y Dra. Luz M. 2002. Universidad Interamericana de Puerto
Rico - Recinto
de Ponce . Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce . [En
línea] 09 de 2002.
http://ponce.inter.edu/cremc/eclineal.html.
EJERCICIOS SISTEMA DE ECUACIONES
1.- Resolver la ecuación
x² + 5x + 6 =0
δ₁ ●δ₂= 6 -> elemento libre
δ₁ + δ₂= - 5 -> coeficiente de x, con signo opuesto.
(x + 3)(x + 2) = 0; x₁ = - 3 y x₂ = - 2
2.- Resolvamos la ecuación.
. x ² + 3x =0
Factorizando obtenemos:
x ² + 3x = 0
X (x – 3) =0
Y aplicando la propiedad indicada, nos queda:
x₁ = 0 ó.... x₂ – 3 =0
x₁= 0 ó....... x₂ = 3
3.- Resolver la ecuación
9 – (x – 6)²= 2x – 2
9–(x –6)² =2x–2
9 – (x² - 12 x + 36) = 2x – 2
>- x² + 12 x – 36 = 2x – 11
-x² + 10x – 25= 0 / -1
X² - 10x +25= 0
Factorizando y aplicando la propiedad indicada, nos queda:
X² - 10x +25= 0
δ₁ ●δ₂= 25 ->
elemento libre
δ₁ + δ₂= 10 -> coeficiente de x, con signo opuesto.
δ₁ δ₂ δ₁ ●δ₂ δ₁ + δ₂
-5 5 -25 10
5 -5 25 0
-5 -5 25 -10
(x – 5)(x – 5)= 0
X – 5 = 0 => x₁ = 5
X – 5 => x₂ = 5
4.- Resolvamos la ecuación.....5x² + 11x =0
5x² + 11x =0
=> x (5x + 11) = 0
=> x = 0
=>5 x + 11 = 0
= > X = - 11/5
5.- Resolvamos la ecuación...... x² - 64= 0
x² - 64= 0
->x² - 8²= 0
Factorizando como suma por su diferencia nos queda:
ð (x – 8) (x + 8) = 0
ð x₁ = 8
ð x₂= -8
6.- Resolvamos la ecuación..... x² - 5=0
x² - 5= 0
ð) x² - (√5)² =0
ð (x - √5) (x + √5)=0
ð x₁ = √5
ð x₂ = - √5
7.- Resolvamos la ecuación....... 2 x² - 50 = 0
ð) 2 x² - 50 = 0
ð 2x² = 50
ð x² = 50/2
ð x² = 25
ð x = √25
ð x = ± 5
ð x₁= 5
ð x₂= - 5
8.- Resolvamos la ecuación.....49x² - 1= 0
49x² - 1= 0
. ð 49 x² =1
ð x²= 1/49
ð x = √1/49
ð x = ± 1/ 7
ð x₁= 1/7
ð x₂= -1/7
9.- Resolvamos la ecuación...x² - 9x - 22 – 0
x² - 9x - 22 – 0
ð δ₁ ●δ₂= - 22 -> elemento libre
ð δ₁ + δ₂= 9 -> coeficiente de x, con signo opuesto.
δ₁ δ₂ δ₁ ●δ δ₁ + δ₂
11 2 22 13
-11 2 -22 -9
11 -2 -22
(x – 11)(x + 2)= 0
x₁= 11
x₂= -2
10.- Resolvamos la ecuación... x² - 7x – 18 = 0
x² - 7x – 18 = 0
ð δ₁ ●δ₂= - 18 -> elemento libre
ð δ₁ + δ₂= 7 -> coeficiente de x, con signo opuesto.
δ₁ δ₂ δ₁ ●δ₂ δ₁ + δ₂
- 6 3 -18 -3
-3 6 -18 3
9 -2 -18 7
-9 2 -18 -7
(x - 9)(x+2) = 0
x₁= 9; x₂= - 2
(2013)
Bibliografía
2013. ECA Estudio y Centro de Aprendizaje . ECA Estudio y Centro de
Aprendizaje . [En línea] 01 de
08 de 2013. http://eca-algebra-3-medio.blogspot.com/2010/08/ejercicios-resueltos-
deecuacion.
html.
FCUADRATICA. 2013. FCUADRATICA. FCUADRATICA. [En línea] 01 de 08 de
2013.
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-02/indice.htm
Definición
Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma:
f(x) = ax2 + bx + c
donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero.
Si representamos "todos" los puntos (x,f(x)) de una función cuadrática, obtenemos
siempre una curva llamada parábola.
Como ejemplo, ahí tienes la representación gráfica de dos funciones cuadráticas
muy sencillas:
Intersección de la parábola con los ejes
Intersección con el eje OY: Como todos los puntos de este eje tienen la abscisa x
= 0, el punto de corte de la parábola con el eje OY tendrá de coordenadas (0,c)
Intersección con el eje OX: Como todos los puntos del eje OX tienen la ordenada y
= 0, para ver estos puntos de corte se resuelve la ecuación de segundo
grado ax2 + bx + c = 0.
Dependiendo del valor del discriminante (D) de la ecuación, se pueden presentar
tres situaciones distintas:
Si D > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas y la parábola cortará al
eje OX en dos puntos.
Si D = 0, la ecuación tiene una solución real y, por tanto, la parábola cortará al eje
OX en un punto (que será el vértice).
Si D < 0, la ecuación no tiene soluciones reales yla parábola no cortará al eje OX.
Resumen
Toda función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c, representa una parábola tal que:
Su forma depende exclusivamente del coeficiente a de x2.
Los coeficientes b y c trasladan la parábola a izquierda, derecha, arriba o abajo.
Si a > 0, las ramas van hacia arriba y si a < 0, hacia abajo.
Cuanto más grande sea el valor absoluto de a, más cerrada es la parábola.
Existe un único punto de corte con el eje OY, que es el (0,c)
Los cortes con el eje OX se obtienen resolviendo la ecuación ax2 + bx + c=0,
pudiendo ocurrir que lo corte en dos puntos, en uno o en ninguno.
La primera coordenada del vértice es Xv = -b/2a.
(FCUADRATICA, 2013)
Bibliografía
FCUADRATICA. 2013. FCUADRATICA. FCUADRATICA. [En línea] 01 de 08 de
2013.
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-02/indice.htm