Sistema de números reales

(, +, ) es un campo: 1) + es conmutativa a b, a + b = b + a

2) + es asociativa a b c, a + (b + c)= (a + b) + c

3) + tiene elemento neutro 0: a, a + 0 = a

4) + cada número tiene inverso aditivo: a a*, a + a* = 0

es un campo ordenado por ó por

es un campo arquimediano: 1) a > 0 b n , n a > b

2) a > 0 n , 1/n < a

3) m n, m > n

es un campo completo: toda sucesión de Cauchy tiene límite en ( no es completo) (esto se verá más adelante)

Sucesiones

Una sucesión, s, en X: función s : X; s (k) se denota por sk

Ejemplo: s (k) = 1/k es {(k, 1/k) : k } que se denota (1, ½, 1/3, …) ó por (1/k)

Una subsucesión de una sucesión, s, es cualquier composición de s con una función creciente : ; esto es, s : X

Ejemplo: con s como arriba y (k) := 3 k, sale la subsucesión (1/3, 1/6, …)

Una sucesión, s, converge a L si >0 h , (k h L - s(k) ; en tal caso se dice que L es el límite de la sucesión s

Si la sucesión no converge, se dice que es divergente

Ejemplos: (1/k) converge a 0 pero (2k) diverge

Una sucesión, s, es de Cauchy si >0, n , h > n k > n sh - sk <

Ejemplo: (1/k) es de Cauchy pero hay sucesiones en que son de Cauchy y divergen

Propiedades del límite de una sucesión

• Si existe, entonces es único: ninguna sucesión puede tener más de un límite

• Si la sucesión tiene límite, entonces toda subsucesión converge al mismo número

• Toda sucesión convergente es acotada

• Toda sucesión monótona y acotada es convergente

• Teorema (de Bolzano-Weierstrass): Toda sucesión acotada de números reales posee alguna subsucesión convergente.

• El paso al límite preserva desigualdades: ( xk yk, k) (lim xk lim yk )

• El paso al límite preserva operaciones aritméticas:

- límite de una suma = suma de límites

• - límite de resta = resta de límites

• - límite de producto = producto de límites

• - límite de cociente = cociente de límites (si límite del denominador 0 )

• Una sucesión tiende a si M > 0, k , tal que (h > k xh > M )

• Una sucesión tiende a - si M > 0, k , tal que (h > k xh M )

Teorema: 1º Si lim (xk) = > 0, k, yk > , entonces lim (xk + yk) =

2º Si lim (xk) = > 0, k, yk > , entonces lim (xk yk) = 3º Si lim (xk) = > 0, k, yk , entonces lim ( yk xk) = 0

Dada una sucesión, (xk) , su “serie” es la sucesión de sus sumas parciales:

(x1, x1 + x2, x1 + x2 + x3,… ). Cuando ésta converge, se dice que la “serie es

convergente”; caso contrario, se dice que es una “serie divergente”. Se la

representa por xk . Si el límite de la serie existe y es b, se escribe: b = xk .

Teorema: Si c > 0, n0 , k > n0 , xk c yk , siendo xk 0 yk 0 ; entonces

la convergencia de la segunda serie implica la convergencia de la primera.

Teorema: Una serie es convergente sólo si su término general tiende a cero,

es decir, que la convergencia de xk implica que 0 = lim xk.

Definición: Se dice que una serie, xk , es “absolutamente convergente”

cuando es convergente la serie xk .

Teorema: Si una serie es absolutamente convergente, entonces es convergente.

Funciones• Función: conjunto de pares ordenados, tal que no hay en él dos pares ordenados

diferentes que posean el mismo primer elemento

• Dominio de una función: conjunto de todos los primeros elementos de los pares ordenados pertenecientes a la función

• Codominio ó alcance de una función: conjunto de todos los segundos elementos de los pares ordenados pertenecientes a la función

• Se escribe f : A B si A es el dominio y B el codominio de la función f

• Imagen, mediante una función, de un subconjunto del dominio: Si f : A B y C A, entonces f (C) := {f (x): x C } es la imagen, mediante f, de C

• Dadas f : X y g : Y , tales que f (X) Y, entonces se llama composición de f con g (denotada por g f) a la función de dominio X que a cada elemento, x del dominio de f asigna g (f(x)). Esto es, g f : X , x g(f (x)).

• Dada una función f : X , la función inversa de f es una función g : cod (f) IR tal que g f = f g = idX , donde idX es la función identidad que a cada elemento x de X le asigna como imagen el mismo x, es decir, idX (x) = x, x de X. Es común denotar a la función inversa de f mediante f -1.

No toda función posee función inversa; ejemplo: la f : X , x x2

Correspondencias y relaciones

• F es una correspondencia de D en C si es una función de D en el conjunto potencia de C, es decir, F : D (C) . Para expresar esto mismo también se usará la notación F : D C.

• Una relación binaria en un conjunto dado es un subconjunto cualquiera del cuadrado cartesiano de dicho conjunto. Esto es, que R será una relación binaria en el conjunto C si R C C.

• Una relación ternaria en un conjunto dado es cualquier subconjunto del cubo cartesiano de dicho conjunto; y una relación cuaternaria, es un subconjunto de la cuarta potencia cartesiana del conjunto, etc.

• Una relación binaria, , es reflexiva si x, xx, esto es, (x, x) .• Una relación binaria es simétrica si a b, a b b a.

• Una relación binaria, , es transitiva si a b c, a b b c a c.

• Una relación binaria es una equivalencia si ella es reflexiva, simétrica y transitiva.

• Dado un conjunto, A, una partición de A es cualquier colección de subconjuntos no vacíos de A tal que la unión de todos ellos sea igual a A y que ellos sean mutuamente disjuntos.

• Dada una relación de equivalencia en un conjunto, A, para cada elemento, x, la clase de equivalencia de x es conjunto de todos los elementos de A que son equivalentes a x.

• Cada relación de equivalencia en un conjunto A determina una partición en dicho conjunto mediante sus clases de equivalencia. Se designa tal partición como A/ R, si R es la relación de equivalencia en A. A esta partición, A/ R, se la llama el conjunto cociente de la relación R.

• Similarmente, dada una partición de un conjunto, se define una relación binaria en dicho conjunto, a saber, x R y ssi x y y pertenecen al mismo elemento de la partición. Es fácil verificar que es ésta una relación de equivalencia. A esta relación de equivalencia se la llama la relación de equivalencia inducida por la partición.

•

Nociones topológicas en • z es un “punto interior” de X , si > 0, tal que ] z- , z+ [ X. El “interior de

X”, int (X), es el {x X : x es pto. interior de X}. El intervalo ] z- , z+ [ se llama la “-vecindad” de z.

• Un subconjunto de es “abierto” si es igual a su interior.

• Teorema: La unión de cualquier colección de subconjuntos abiertos de es un subconjunto abierto de .

• Teorema: La intersección de cualquier colección finita de subconjuntos abiertos de es un subconjunto abierto de .

• Un subconjunto de IR es “cerrado” si su complemento en IR es abierto.

• Teorema: La intersección de cualquier colección de subconjuntos cerrados es un subconjunto cerrado de .

• Teorema: La unión de cualquier colección finita de cerrados es un subconjunto cerrado de .

• x es “punto fronterizo” (o “punto de frontera”) de A si positivo , en la - vecindad de x hay al menos un punto de A y al menos un punto del complemento de A. La “frontera” de A, fr(A) ó A, es el {x A : x es pto. fronterizo de X}.

• La “clausura de A”, cl (A), es la unión de A con su frontera: cl (A) = A A.

• Teorema: Un subconjunto A de es cerrado si, y sólo si, no hay ninguna sucesión convergente de puntos de A cuyo límite no pertenezca a A.

• Teorema: 1º) La clausura de un subconjunto A de es el menor subconjunto cerrado de IR que contiene a A. 2º) El interior de un subconjunto A de es el mayor subconjunto abierto de que está contenido en A.

• Un subconjunto de es “compacto” si es cerrado y acotado, esto es, si su complemento es abierto y hay algún positivo tal que ningún elemento de dicho subconjunto tiene valor absoluto mayor que ese positivo.

• Teorema: Un subconjunto, X, de es compacto si, y sólo si, toda sucesión de puntos de X posee al menos una subsucesión convergente a un punto de X.

• Teorema: Dado un “encaje” de compactos no vacíos (cada uno de ellos contiene a todos los siguientes), existe al menos un punto en la intersección de ellos; esto es, que dada (Ak) tal que (k , Ak Ak compacto Ak Ak+1) { Ak : k } .

Límites de funciones

• z es un “punto de acumulación de” A si positivo , la -vecindad de z posee algún punto de A distinto de z.

• El “conjunto derivado” de A, A, es el {x : x es pto. de acum. de A}.

• Dados: una función f :A , con A ; un punto de acumulación z de A y un número real, l, se dice que l es el “límite de f en z” si tan cerca como se quiera del número l están las imágenes mediante f de todos los puntos de A que estén bastante cerca de z pero sin ser el mismo z, esto es, que > 0, > 0 tal que x de A, (0 < x - z < f(x) – l < ). Esto se representa por: limz f = l; también se escribe a veces l = limxz f(x).

• Teorema: Si dos funciones, f y g, definidas en un mismo dominio X son tales que para cierto punto, z, de acumulación de A existen limz f y limz g, entonces, limz f < limz g ,x ] z- , z+ [ X, f(x) < g(x).

• Consecuencias: 1) Si limz f = F < M, entonces ,x ] z- , z+ [ X, f(x) < M.

• 2) Si f : X , g: X , z es punto de acumulación de X y x de X{z}, f(x) g(x); entonces limz f limz g.

• Teorema (emparedado): Si tres funciones reales, f, g y h, definidas en un mismo X , son tales que para cierto punto, z, de acumulación de X, limz f = limz g, entonces, caso que x de X{z}, f(x) h(x) g(x), ha de tenerse que limz h = limz f = limz g.

• Teorema: Dada una función f : X , una condición necesaria y suficiente para que limz f = l es que para toda sucesión (xk) de puntos de X{z} que tienda a z se tenga que l = lim (xk).

• Corolario 1 (unicidad del límite): Dada una función f : X y un punto de acumulación, z, del dominio X, o no existe el limz f ó sí existe y es único.

• Corolario 2 (límites y operaciones): Sean f y g funciones reales definidas en un mismo dominio, X IR, y sea z un punto de acumulación de X tal que existan los limz f y limz g. Entonces, (1º) existe limz (f + g) y es igual a limz f + limz g ; (2º) existe limz (f - g) y es igual a limz f - limz g ; (3º) existe limz (f g) y es igual a (limz f)(limz g); además, si la función g está acotada en alguna vecindad de z y 0 = limz f, entonces 0 = (limz f)(limz g); (4º) si limz g 0, entonces existe limz (f/g) y es igual a (limz f)/(limz g).

• Dados una función f : A , un punto de acumulación, z, de A ]z, [ y un número real, l ; se dice que l es el “límite lateral diestro de f en z” si > 0, > 0 tal que x de X ]z, z+ [, se tenga que f(x) – l < .

• Esto se representa por: limz+ f = l, que se lee: el límite lateral diestro en z de la función f es l.

• Dados: una función f : A , un punto de acumulación, z, de A ] -, z [ y un número real, l; se dice que l es el “límite lateral siniestro de f en z” si > 0, > 0 tal que x de X ]z - , z[,se tenga que f(x) – l < . Esto se representa por: limz- f = l, que se lee: el límite lateral siniestro en z de la función f es l.

• Dados un subconjunto de no acotado superiormente, X, una función f : X, y un número real, l; se dice que “l es el límite de f en ”, cosa que se escribe como l = lim f, si >0, M > 0, x de X, (x > M f(x) – l < . Para representarlo se escribe: l = lim f ó, también, l = limx f(x).

• Dados un subconjunto de no acotado inferiormente, X, una función f :X, y un número real, l ; se dice que “l es el límite de f en -”, cosa que se escribe como l = lim- f, si >0, M < 0, x de X, (x < M f(x) – l < . Para representarlo se escribe: l = lim- f ó, también, l = limx - f(x).

• Si a es un punto de acumulación del dominio de la función f : X , entonces se dice que “el límite de f en a es ” si M > 0, >0, x de X, x-a < f(x) > M. Esto se expresa por: = lima f.

• En forma similar se define el que una función tenga a - por límite en un punto de acumulación de su dominio.

• También es obvio el modo en que ha de definirse el que sea infinito el límite lateral (diestro o siniestro) de una función real en un punto de acumulación de su dominio.

Continuidad de funciones

• Dados una función f : X y un punto z de X, f es continua en z si > 0, > 0, x de X ( x – z < f(x) – f(z) < ).

• Si la función f no es continua en un punto z de su dominio, se dice que ella es “discontinua en z”.

• Una función real de variable real es “continua” si en cada punto de su dominio ella es continua según la definición anterior. Caso contrario, se dice que la función es “discontinua”.

• Teorema: Si f y g son funciones : X y ocurre que, siendo ambas continuas en cierto punto z, f (z) < g (z); entonces positivo tal que x de X tal que x – z < , f (x) < g (x).

• Corolario: Si f : X es continua en z f (z) 0, entonces positivo tal que x de X, x - z < signo (f (x)) = signo (f (z)).

• Teorema: Una función f : X es continua en un punto z de su dominio si, y sólo si z = lim (xk), entonces f (z) = lim (f(xk)).

• Corolario: Si las funciones f y g son continuas en el punto z, entonces también son continuas en z las funciones f + g, f – g, f g y f / g, requiriéndose para esta última que 0 lim0 g.

• Teorema: La composición de funciones continuas es una función continua, es decir, que si f :X y g :Y son tales que f (X) Y f es continua en z g es continua en f (z), entonces g f es continua en z.

• Teorema (del valor intermedio): Si f : [c, d] es una función continua, entonces cualquiera que sea el número y que tomemos entre f (c) y f (d), él será imagen de algún punto del intervalo [c, d], es decir, que x de este intervalo tal que y = f (x).

• Dada una función f : X , un punto x de X es un “punto máximo” de f si z X, f (x) f (z). A veces se llama a tal punto un “máximo global” de la función. De manera similar se define un “punto mínimo” de la función f. Para referirse a los valores alcanzados en puntos máximos y puntos mínimos de una función se dice “valor máximo” y “valor mínimo” de la función.

• Corolario: Si f : X es continua y J es un intervalo contenido en X, entonces la imagen f (J) de dicho intervalo es un intervalo.

• Teorema (de Weierstrass): Sea f : X continua y sea A X compacto. Entonces, existe al menos un punto máximo global de f en A y existe al menos un punto mínimo global de f en A.

• Corolario: La imagen mediante una función continua de un subconjunto compacto de la recta real es un subconjunto acotado de la recta.

• Teorema: Toda función continua y biyectiva f : A B definida sobre un compacto tiene función inversa y continua.

Derivadas de funciones reales

• Dada una función f : X , si a es un punto de acumulación de X que pertenece a X, se llama “derivada de f en a” al lima ((f (x) – f (a)) ÷ (x - a)), cuando este límite existe. En tal caso, se dice que la función f es “derivable en a” ó que ella es “diferenciable en a”. Se representa la derivada de f en a por f (a).

• Cuando f es diferenciable en todo punto de X, se dice que f es “derivable en X” ó “diferenciable en X”.

• En este caso aparece de modo natural una nueva función, f : X . • También se denota la derivada de f en a por Df (a) y por df (a)/dx; y, si los posibles

valores de la variable dependiente se denotasen por y, entonces también se escribe dy(a)/dx.

• Teorema: Una función f : X es diferenciable en un punto a de X que es punto de acumulación de X si, y sólo si c , tal que, definiendo la función r (h) por f (a + h) – (f (a) + c h), h tal que a + h X ; se tenga, entonces, que 0 = limh0 (r (h) / h).

• Corolario: Si una función es diferenciable en un punto de su dominio, entonces es continua en dicho punto.

• Teorema: Si las funciones f : X y g : X son ambas diferenciables en el punto a de X que es punto de acumulación de X, entonces las funciones suma, resta y producto de f y g también son diferenciables en ese punto; la función cociente f / g es, en cambio, diferenciable en a ssi g (a) 0. Además: (f g)(a) = f (a) g (a) (f g)(a) = f (a) g(a) + f (a)g(a) (f /g)(a) = (f (a) g(a) - f (a)g (a)) / g (a)2.

• Teorema: (regla de la cadena) Sean f : X y g : Y funciones tales que f (X) Y; sea a un punto de acumulación de X que pertenece a X y tal que f (a) es punto de acumulación de Y. Entonces, si f es diferenciable en a y g es diferenciable en f (a), resulta que g f es diferenciable en a y su derivada en a es dada por (g f)(a) = g (f (a)) f (a).

• Corolario (teorema de la función inversa): Sea f : X una función biyectiva entre X y f (X) =: Y. Si f es diferenciable en el punto de acumulación a de X y la inversa de f, denotada por g, es continua en b := f (a), entonces g es diferenciable en b si, y sólo si, 0 f (a), y en tal caso ocurre que g (b) = 1 f (a).

Crecimiento y decrecimiento locales

• Si en el cociente (f (x) – f (a)) / (x - a) se impusiera la condición de que x > a y existiera el límite de él cuando el valor de la variable x descienda tendiendo a a, entonces a dicho límite se le llamaría “derivada lateral diestra” de f y se la denotaría por f+ (a) := limxa+ (f (x) – f (a)) / (x - a).

• De manera similar se define la “derivada lateral siniestra” de f , haciendo que en el cociente de arriba el valor de x ascienda tendiendo a a, y se la denota por f- (a) := limxa- (f (x) – f (a)) / (x - a).

• Teorema: Si la derivada lateral diestra de una función f : X en un punto a es positiva, entonces > 0, a < x < a + f (a) < f (x).

• Corolario: Si una función es monótona creciente, entonces sus derivadas laterales, cuando existan, serán mayores ó iguales que 0.

• Dada una función f : X y un punto a de X, se dice que a es un “máximo local” de la función si hay alguna vecindad de a en la que f no alcanza un valor mayor que f (a). Se dice que a es un “mínimo local” de la función si hay alguna vecindad de a en la que f no alcanza un valor menor que f (a).

• Corolario: Si existe la derivada lateral diestra de una función f : X en un punto a del int(X) que es un máximo local de f, entonces dicha derivada ha de ser menor ó igual que cero.

• Corolario: Si existe la derivada de una función f : X en un punto a del int(X) que, siendo punto de acumulación de X, es un máximo local ó un mínimo local de f, entonces dicha derivada ha de ser igual a cero.

• Teorema (de Rolle): Sea f : [a, b] una función continua tal que f (a) = f (b). Si f es diferenciable en todo punto de ]a, b[, entonces c ]a, b[ tal que f (c) = 0.

• Teorema (del valor medio): Sea f : [a, b] una función continua tal que ella es diferenciable en todo punto de ]a, b [; entonces c ]a, b [ tal que f (c) = (f (b)- f (a))÷(b-a) .

Derivadas de orden superior y fórmula de Taylor

• La “segunda derivada de una función f : X en un punto a” es la derivada de la función derivada de f, a saber, de la función f , evaluada en el punto a. Se la denota por f (a) := (f) (a). Si consideramos la función que a cada punto a de X que sea punto de acumulación de X le asigna, cuando exista, el valor de f (a), obtendremos la función “segunda derivada de f” denotada por f.

• En forma similar se definen la “tercera derivada de una función” , la “cuarta derivada de una función”, etc., cuando ellas existan.

• Se dice que una función f definida en un intervalo de la recta real es “de clase Cm ” cuando en cada punto del intervalo existen y son continuas todas las derivadas de f hasta el orden m, esto es, f, f, f, … f (m). Suele escribirse f (0) para referirse a la misma función f. Cuando ocurre que la función f es de clase Cm para todo número natural m, se dice que f es de “clase C ”.

• Para una función, f, de clase Cm, si n < m, se llama “polinomio de Taylor de orden n de la función f en el punto a” al polinomio denotado por Pf ,n (a) y definido por Pf, n (a) (h) := f (a) + f (a) h + f (a) h2/2! + … + f (n)(a) hn/n!. A la función diferencia f (a + h) - Pf ,n (a) (h) se la llama “resto de orden n de

f en a”.

• Teorema: Si la función f , definida en el intervalo I , tiene derivadas en el punto a hasta el orden n, entonces la función resto de orden n de f en a, definida en el intervalo J := {h : a + h I}, mediante rf, n (a)(h) := f (a + h) - Pf, n (a) (h), satisface la condición 0 = limh0 rf ,n (a)(h) / hn .

• Aplicación a la optimización irrestricta: Sea f : J una función diferenciable hasta el orden n en un punto a del interior del intervalo J y tal que en dicho punto se anulan las derivadas de f hasta el orden n – 1 pero no se anula la de orden n. Entonces (1) si n es par y f (n)(a) > 0, entonces a es un mínimo local estricto de f ; (2) si n es par y f (n)(a) < 0, entonces a es un máximo local estricto de f ; (3) si n es impar, entonces a no es ni mínimo local ni punto máximo local.

• Ejemplo: Sea f : la función definida por f (x) := xk con k . Entonces el punto 0 es candidato a máximo local ó a mínimo local. Veamos: si k es impar, ocurre que se anulan en 0 las k – 1 primeras derivadas de f, siendo no nula la k-ésima derivada en 0, que vale 1. Según la aplicación que acabamos de ver, estamos en el caso (3), por lo cual el punto 0 no es ni máximo local ni mínimo local. En cambio, si k es par, ocurre que estamos en el caso (1), por lo cual el punto 0 es un mínimo local de f (nótese que para esta función f (x) := xk el punto 0 es también un mínimo global).

Concavidad y convexidad de funciones• Una función, f, definida en un intervalo J de la recta real es “cóncava” si a, b, z de

J, si 0, 0 son tales que + = 1 z = a + b entonces debe ser f (z) f (a) + f (b).

• Se la llama “estrictamente cóncava” si a, b, z de J, si > 0, > 0 tales que a b + = 1 z = a + b entonces debe ser f (z) > f (a) + f (b). Obviamente, el ser estrictamente cóncava implica el ser cóncava.

• Una función, f, definida en un intervalo J de la recta real es “convexa” si a, b, z de J, si 0, 0 son tales que + = 1 z = a + b entonces debe ser f (z) f (a) + f (b).

• Se la llama “estrictamente convexa” si a, b, z de J, si > 0, > 0 tales que a b + = 1 z = a + b entonces ha de ser f (z) < f (a) + f (b). Obviamente, el ser estrictamente convexa implica el ser convexa.

• Teorema: Si una función f : J es cóncava ó convexa en el intervalo J, entonces ella es continua en todo punto del interior del intervalo.

• Teorema: Si una función f : J es diferenciable en el intervalo J, entonces son equivalentes entre sí las tres siguientes afirmaciones. (1) f es cóncava. (2) Su derivada, f, es monótona decreciente. (3) a, x de J, f (x) f (a) + f (a) (x - a).

• Corolario: Si se anula la derivada de una función diferenciable y cóncava en un punto del intervalo en que está definida, entonces dicho punto es un máximo global de la función.

• Corolario: Si una función f : J es diferenciable hasta el orden 2, entonces ella es cóncava si, y sólo si, f (x) 0, x de J.

• Teorema: Si una función f : J es diferenciable en el intervalo J, entonces son equivalentes entre sí las tres siguientes afirmaciones. (1) f es convexa. (2) Su derivada, f, es monótona creciente. (3) a, x de J, f (x) f (a) + f (a) (x - a).

• Corolario: Si se anula la derivada de una función diferenciable y convexa en un punto del intervalo en que está definida, entonces dicho punto es un mínimo global de la función.

• Corolario: Si una función f : J es diferenciable hasta el orden 2, entonces ella es convexa si, y sólo si, f (x) 0, x de J.

Integración de funciones reales

• Una “antiderivada” de una función f es una función F tal que la derivada de ésta es aquélla, es decir, que F = f . También se la llama “integral indefinida” de f y se la representa por f ó también por la notación más tradicional f (x) dx. Otra denominación de ella es la de una “primitiva” de f .

• La integral definida de una función continua, f , definida en un intervalo [a, b] se define por a

b f (x) dx:= F (b) – F (a), donde F es cualquier antiderivada de f . Otra notación para la integral definida de f en ese intervalo es a

b f , que es más recomendable.

• Propiedades de la integral definida

• 1) Si en una integral definida se invierten los límites de integración el nuevo valor difiere del antiguo sólo en signo: a

b f (x)dx = - ba f (x)dx.

• 2) Si en una integral definida coinciden entre sí los límites de integración, el valor de la integral es nulo: a

a f (x)dx = 0.

• 3) La integral definida de un múltiplo numérico de una función es ese múltiplo numérico de la integral definida de esa función: a

b f (x) dx = ab f (x)dx.

• 4) La integral definida es aditiva en los límites de integración, es decir, que el valor de la integral entre límites a y b es la suma de los valores de la integral entre a y c y de la integral entre c y b: a

b f (x) dx = ac f (x) dx + c

b f (x) dx .

b

af

b

af

• 5) (d/dt) at f (x) dx = f (t) (d/dt) t

b f (x) dx = - f (t).

• Teorema: Si f en una función continua definida en el intervalo [a, b], entonces existe alguna función F diferenciable en dicho intervalo y tal que ella es una antiderivada de f en [a, b] (en verdad existen infinitas funciones tales, siendo la diferencia entre dos cualesquiera de ellas una función constante). Entonces, a

b f (x) dx = F(b) – F(a), sin importar cuál sea la antiderivada de f que se tome en el papel de F.

• Algunos métodos de integración

• 1º) Integración por partes:

• 1) para la integral indefinida: f (x) g(x) dx = f (x) g(x) - f (x) g(x) dx;

• 2) para la integral definida: abf (x) g(x) dx = [f (x) g(x)]ab - abf (x) g(x) dx.

• 2º) Sustitución de variables

• Si la integral dada fuera f (g (x)) g (x) dx, haríamos el cambio de variable u := g (x), con lo que resultaría du = g (x) dx y la integral sería ahora f (u) du. Si así fuese, desharíamos luego el cambio de variable retornando a la original x. Si F fuera una antiderivada de f, entonces habríamos obtenido F(u) como f (u) du y, finalmente, F (g(x)) + cte. como resultado final.

Vectores de n

• El espacio n es el producto cartesiano de la recta real consigo misma n veces. Sus elementos, llamados vectores ó puntos, son n-tuples de números reales: (x1 , …, xn) que se designan por x. Se llaman componentes del vector a los números x1…xn. Se dice que se trata de un vector n-dimensional cuando tiene n componentes. A veces se representan como filas y a veces como columnas.

• Operaciones con vectores:

• 1) Se dice que dos vectores son iguales cuando tienen la misma dimensión y los componentes de uno coinciden con los respectivos componentes del otro.

• 2) Se define la suma vectorial por: (a1 , …, an) + (b1 , …, bn) := (a1 + b1 , …, an + bn).• Esta operación de suma vectorial goza de las siguientes propiedades: • a) Es conmutativa, esto es, que a + b = b + a, a y b de n.• b) Es asociativa, esto es, que (a + b) + c = a + (b + c), a, b, c de n.• c) Posee un elemento neutro, es decir, hay un vector que sumado a cualquier otro

deja a éste inalterado. En efecto, el llamado vector nulo, a saber, (0, … , 0) denotado simplemente por 0, tiene esa característica: a + 0 = a, a de n.

• Para cada vector de n hay un vector que sumado a aquél da como resultado el vector nulo: a de n, b de n, a + b = 0. En efecto, si, dado el vector a, definimos el vector b := (-a1, … , -an), entonces es obvio que la suma de ellos dará el vector nulo. Es usual representar este vector por –a.

• 3) Se define la multiplicación de vectores por números reales (apodados escalares en la jerga del Álgebra Lineal) como una función definida en el producto escalar n y que toma valores en n del siguiente modo: al par ordenado (, x) de n le hace corresponder el vector ( x1 , …, xn). Esto se indica por (, x) x.

• Esta operación goza de las siguientes propiedades:

• 1) Es distributiva en escalares: , de , x de n , (+) x = x + x.

• 2) Es distributiva en vectores: de , x, y de n, (x + y ) = x + y.

• 3) Es asociativa en escalares: , de , x de n, ( x) = () x.

• 4) Tiene al escalar 1 como elemento neutro: x de n, 1 x = x.

• Al conjunto n, provisto de estas dos operaciones así definidas, se le conoce como el espacio vectorial n.

• Si x1, …, xm son vectores de n, entonces con cualesquiera escalares 1 , …, m se obtiene la “combinación lineal” 1 x1 + … + m xm de los vectores dados.

• Si una combinación lineal de un conjunto de vectores da como resultado el vector nulo, se dice que dicha combinación es una “combinación lineal nula” de esos vectores. Si en una combinación lineal de un conjunto de vectores todos los coeficientes escalares de ella son nulos, se dice que dicha combinación es la “combinación lineal trivial” de esos vectores.

• Es claro que una combinación lineal trivial tiene que ser nula, aunque lo recíproco no es cierto.

• El “producto escalar de dos vectores”, a = (a1 ,…, an) y b = (b1,…,bn), se define como a1 b1 + … + an bn , lo que se denota por a b .

• Esta operación tiene las siguientes propiedades:

• 1) Es conmutativo: a, b de n, a b = b a .

• 2) Es distributivo para la suma vectorial: a, b y c de n, a (b + c) = a b + a c.

• 3) Es asociativo en escalares: de , a, b de n, ( a) b = a ( b) = (a b).

• 4) Es positivo-definido: a de n, a a 0 (a a = 0 a = 0).

• Para cada vector, a, de n, se define la “norma” de a mediante a := (a a)1/2 = ( (a1)2 + … + (an)2 )1/2. Aquí ha de tomarse la raíz innegativa.

• La operación de tomar norma tiene las siguientes propiedades:

• 1) Todo vector de n tiene norma innegativa, esto es, a de n, 0 a.• 2) Únicamente el vector nulo tiene norma nula: a de n, 0 = a 0 = a.

• 3) La norma de un múltiplo escalar de un vector es igual al producto de la norma de este vector por el valor absoluto del escalar: a de n, a = a.

• 4) Desigualdad triangular : a, b de n, a + ba + b.

• La “distancia” entre dos vectores cualesquiera, a y b, es dada por la norma del vector diferencia, a – b, es decir, d (a, b) := a - b.

• Se dice que dos vectores de n, a y b, son “ortogonales entre sí” si su producto escalar es nulo. A veces esto se indica por la notación a b.

• Dados los vectores a y b de n, si b 0, entonces la “proyección de a sobre b” es prb (a) := (a 1b) 1b donde 1b , el vector unitario (esto es, de norma igual a 1) según b, se define como (1/b) b. Así, prb (a) = (a b / b2) b.

• Teorema (desigualdad de Cauchy-Schwarz) Cualesquiera sean los vectores a y b de n, a b ab.

• La “recta por el punto a de dirección el vector no nulo p” se define como {x de n : , x = a + p} denotada por L (a, p).

• El “hiperplano por el punto a y ortogonal al vector no nulo p” se define como {x de n : p (x - a) = 0} denotado por H (a, p).

Matrices y operaciones con ellas • Una “matriz m n” es un arreglo en m filas y n columnas de números reales.

• Se las denotará por . En forma abreviada se pondrá (aij)mn .

• Operaciones con matrices

• 1) Dos matrices mn, A = (aij) y B = (bij), son iguales si i,j, aij = bij .

• 2) Adición de matrices: La suma de dos matrices mn, A = (aij) y B = (bij), se define como la matriz mn, A +B := (aij + bij).

• 3) Multiplicación de matrices por escalares. Dados: una matriz mn, A = (aij) y un escalar , se define la matriz mn, A := ( aij).

• Propiedades de las operaciones de adición matricial y de multiplicación por escalares

• 1) La adición matricial es asociativa: (A + B) + C = A + (B + C), A,B,C matrices m n.

mnm

n

aa

aa

1

111

• 2) La adición matricial es conmutativa: A + B = B + A, A,B matrices m n.• 3) Hay un elemento neutro: la matriz nula m n : A + O = A, matriz m n,

A.• 4) Cada matriz m n tiene una inversa aditiva: matriz m n, A,matriz m n, A, tal que A + A = O. A esta matriz A se la llama inversa aditiva de la matriz A.

• 5) La multiplicación de matrices por escalares es distributiva respecto a la suma escalar: , de , matriz mn A, ( + )A = A + A.

• 6) La multiplicación de matrices por escalares es distributiva respecto a la suma matricial: de , matrices mn A y B, (A+B) = A + B.

• Definición: Dadas dos matrices, A y B, tales que el número de columnas de A coincida con el número de filas de B, se define el producto de ellas, la matriz AB, como aquella que posee tantas filas como A y tantas columnas como B, siendo su elemento de fila i y de columna j definido como el producto escalar de los vectores correspondientes a la fila i de A y a la columna j de B. Así, si A es mh y B es hn, entonces AB es mn, y su elemento de fila i y de columna j, es (AB)ij := ai1b1j +…+ aihbhj.

• Propiedades de la multiplicación matricial

• 1) Es asociativa: (AB) C = A (BC) siempre que las multiplicaciones involucradas puedan realizarse de acuerdo con la definición.

• 2) Es diestro-distributiva, es decir, que A (B + C) = AB + AC.

• 3) Es siniestro-distributiva, es decir, que (A + B) C = AB + AC.

• Potencias de matrices cuadradas

• Dada una matriz nn, A, se define su segunda potencia, también llamada su cuadrado, como A2 := AA; se define su tercera potencia también llamada su cubo, como A3 := A2A. De manera más general e inductiva, diremos que si ya se ha obtenido su n-ésima potencia, An, entonces se define su (n +1)-ésima potencia como An+1:= AnA. Por afán de compleción, se define también su primera potencia como A1:= A.

• Se define la potencia cero de A como la matriz identidad, I, esto es, A0 = I, siendo

• la matriz que tiene la propiedad de que (aij = 0 si i j pero aii = 1), ij .

• Operación de transposición matricial

• Dada una matriz mn, A, su “matriz transpuesta” A , es la matriz nm definida

• por aij := aji , i,j. Se dice que una matriz cuadrada es “simétrica” si es igual a su transpuesta, es decir, si A = A.

• Propiedades de la transposición y de la matriz identidad

• 1) Si I es la matriz identidad nn, entonces cualquiera sea la matriz nh, B, se tendrá que I B = B, y cualquiera sea la matriz kn, C, se tendrá que C I= C.

• 2) La operación de transposición es idempotente, es decir, que la transpuesta de la transpuesta de una matriz es esta misma matriz: (A) = A.

• 3) La transpuesta de una suma de matrices es la suma de las transpuestas de dichas matrices, esto es, (A + B) = A + B.

• 4) La transpuesta de un múltiplo escalar de una matriz es el mismo múltiplo escalar de la transpuesta, es decir, (A) = A .

• 5) La transpuesta de un producto es el producto de las transpuestas pero en orden inverso, es decir, que (AB) = BA.

• Determinantes e inversas de matrices cuadradas

• Se da una definición inductiva:

• (1º) Si la matriz es 11, A = [a], entonces det (A):= a.

• (2º) Si la matriz A es 22, entonces det (A):= a11a22 - a21a12.

• (3º) Si la matriz A es nn, det (A):= a11 det (A-11) - a12 det (A-12) + …(hay alternancia de suma y resta) a1n det (A-1n), en donde adoptaremos la notación que especifica que A-ij denota a la matriz que se obtiene al suprimir en la matriz original A su i-ésima fila y su j-ésima columna.

• Propiedades de los determinantes

• 1) El determinante de una matriz nn, A, puede también calcularse desarrollando

• las sumas y restas desde cualquier fila ó desde cualquier columna como se indica a continuación. Det (A) = k (-1)h+k

ahk det (A-hk) = h (-1)h+k ahk det (A-hk).

• 2) Si todos los elementos de una línea (fila ó columna) de la matriz son nulos, el determinante de ella es 0.

• 3) El determinante de la transpuesta de una matriz es igual al determinante de esa matriz.

• 4) Si se intercambian de posición dos filas ó dos columnas, el determinante de la matriz resultante difiere sólo en signo del de la matriz original.

• 5) Si todos los elementos de una línea de la matriz se multiplican por un mismo número, el determinante de la matriz resultante es igual al de la original multiplicado por ese número.

• 6) Si en la matriz hay dos líneas paralelas que sean iguales entre sí, el determinante es nulo.

• 7) Si en la matriz hay dos líneas paralelas que sean proporcionales entre sí, el determinante es nulo.

• 8) Si en una matriz a una línea se le suma un múltiplo de otra línea paralela, el determinante de la matriz resultante es igual al de la original.

• 9) El determinante del producto de matrices cuadradas es igual al producto de los determinantes de dichas matrices: det (AB) = det (A) det (B).

• 10) El determinante de un múltiplo escalar de una matriz nn es igual al determinante de la matriz original multiplicado por la n-ésima potencia del escalar por el cual se ha multiplicado la matriz: det (A) = ndet (A).

• Inversa de una matriz

• La inversa de una matriz cuadrada nn, A, es una matriz B tal que AB = BA = I, siendo I la matriz identidad nn. Si existe, la inversa de A, se la denota por A-1.

• Propiedades de la inversa de una matriz

• 1) La inversa de la inversa de una matriz es esa misma matriz, es decir, que (A-1)-1 = A.

• 2) Si A y B son matrices nn invertibles, entonces AB es también invertible y (AB)-1 = B-1 A-1.

• 3) La inversa de la transpuesta de una matriz es la transpuesta de la inversa de esa matriz, esto es, que (A)-1 = (A-1).

• 4) La inversa de un múltiplo escalar de una matriz es igual a la inversa de la matriz multiplicada por el inverso de dicho escalar, si éste no es cero, es decir, que (A)-1 = A-1.

• Teorema: La inversa de una matriz existe si, y sólo si, no es nulo el determinante de ella. En tal caso, dicha inversa se obtiene por medio de la siguiente fórmula:

• A-1 = (1/det A) adj (A), donde la matriz adj (A), llamada matriz adjunta de A, se define mediante adj (A) := transpuesta(MA), donde ésta es la matriz cuyo elemento de fila i y columna j es (MA)ij := (-1)i+j det (A-ij).

1

• Dependencia e independencia lineal de vectores

• Se dice que un conjunto finito de vectores {a1, … , am} de n es “linealmente dependiente” si existe alguna combinación lineal de ellos que, siendo nula, no es trivial. En caso contrario, se dice que dicho conjunto es “linealmente independiente”.

• Rango y nulidad de matrices

• Un “subespacio vectorial” de n es cualquiera de sus subconjuntos, U, tal que 0 U x, y de U, de , (x, y U x + y U x U).

• Dado un subconjunto finito, C, de n, se llama “subespacio generado” por C al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores de C, y se denota por

S [C].• Si U es un subespacio de n, entonces una “base” de U es cualquier subconjunto

finito, C U, que sea linealmente independiente y que genere a U, es decir, que S [C] = U.

• Teorema: Cualquiera sea el número natural n, todo subespacio vectorial de n que no sea trivial, es decir, que posea al menos un vector no nulo, posee bases.

• Teorema: Dada una matriz cualquiera mn , A, el {x n : A x = 0} es un subespacio vectorial de n; similarmente, el {y m : xn, y = A x} es un subespacio vectorial de m.

• Al subespacio {y m : xn, y = A x} se lo llama la “imagen”de A, y al subespacio {x n : A x = 0} se lo llama el “núcleo” de A. A la dimensión del núcleo de A se la llama la “nulidad” de A, y se llama el “rango” de A a la dimensión del subespacio {y m : xn, y = A x}.

• Teorema: Si A es una matriz mn, entonces n = rango (A) + nulidad (A).

• Un “menor” de orden k de la matriz A es el determinante de cualquier submatriz cuadrada que se obtenga con k filas y k columnas de la matriz.

• Teorema: El rango de una matriz A es igual al orden máximo de un menor no nulo de A.

• Teorema: El rango de una matriz es igual al rango de su transpuesta.

• Autovalores y autovectores de matrices cuadradas

• Sea A una matriz cuadrada; se dice que el escalar es un “autovalor” de A si hay algún vector no nulo, x, tal que A x = x. En tal caso se dirá que dicho vector x es un “autovector” de a asociado al autovalor .

• También se habla de “valores propios” y “vectores propios”

• Teorema: Para una matriz cuadrada, A, sus autovalores son las soluciones de la ecuación, llamada característica de A: 0 = det (A - I). Los correspondientes autovectores de A resultan ser las soluciones de las ecuaciones (A - I) x = 0.

• Diagonalización de matrices cuadradas

• Se dice que una matriz cuadrda, A, es “diagonalizable” si hay alguna matriz invertible, P, tal que la matriz P-1AP resulte ser diagonal, esto es, que sean nulos todos sus elementos que estén fuera de la diagonal principal.

• Teorema: Una matriz nn, A, es diagonalizable si, y sólo si, hay n autovectores propios linealmente independientes. En tal caso, una matriz P que diagonaliza a la matriz A, mediante P-1AP, es una cuyas columnas son esos vectores propios linealmente independientes. La matriz diagonal que se obtenga tendrá los 1, … n en la diagonal principal siendo éstos los autovalores de la matriz A.

• Teorema: Si A es una matriz simétrica, entonces su ecuación característica tiene todas sus raíces en , por lo que todos los autovalores de a son números reales, y si x y y son autovectores asociados a diferentes autovalores, entonces ellos son ortogonales, es decir, que x y = 0.

• Teorema (espectral): Si A es una matriz simétrica nn, entonces existe una matriz ortogonal P (es decir: P-1 = P ) tal que P-1AP = , siendo los 1, …, n los autovalores

• de A y las columnas de P, los autovectores asociados a dichos autovalores.

n

0

01