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UNIDAD 1

Octavo Grado - Matemática 55

Objetivos de la unidad:

Realizarásoperacionesconlosnúmerosrealesylaraízcuadrada,aplicarássuspropiedadesparasolucionarproblemasde lavidadiaria,valorandoelaportedelosdemás.

Interpretaráslarealidad,valorandoellenguajealgebraicodelospolinomiosypropondrássolucionesaproblemáticaseconómicasysociales,atravésdelosproductosnotables.

OperaciOnes cOn núMerOs reales y pOlinOMiOs

MATEMÁTICAUnidad1

56 Matemática - Octavo Grado

Descripción del Proyecto

En esta unidad profundizarás tus conocimientos sobre los conjuntos numéricos y nociones de álgebra, iniciados en séptimo grado, que aplicarás en diferentes situaciones cotidianas, por ejemplo, calculando áreas y volúmenes de figuras y cuerpos geométricos.

Al finalizar la unidad trabajarás en un proyecto de la vida real, que está relacionado con áreas y por lo tanto con polinomios.

Números reales

Racionales Irracionales

se dividen en

estudiarás

Propiedades Operaciones

de

Suma Resta Multiplicación División

Polinomios

estudiarás

Grado OperacionesValor numérico

de

Multiplicación

entre ellos

Productosnotables

Suma Resta


Lección1Motivación

Primera Unidad

Indicadores de logro:

Determinarás y explicarás el origen de los números irracionales, valorando su unidad práctica.

Mostrarás seguridad al graficar los números irracionales en la recta numérica.

resolverás con perseverancia ejercicios aplicando los números irracionales.

Determinarás y explicarás los números reales valorando su utilidad en la vida cotidiana.

Ubicarás gráficamente con precisión los números reales en la recta numérica.

Rosa y Ángela midieron la longitud de la circunferencia y el diámetro, del borde de un vaso.Las medidas que tomaron son:Longitud de la circunferencia = 24.66 cmDiámetro = 7.85 cmEllas encontraron la razón entre estas dos medidas obteniendo:2466785

31414012.

.. .......=

¿Qué número te recuerda el resultado?

núMerOs irraciOnales y reales

Observa los siguientes números:

3 131

335

0658

062523

0666÷ = = = = =, . , . , . 66511

0454545..., .=

Se han escrito en la forma ab

con a y b números enteros y b ≠ 0.

¿Cómo son los decimales que se obtienen? Ahora encuentra con tu calculadora 2 y el valor de πSeguramente obtuviste los resultados:

2 = 1.414213562…π = 3.141592654…

¿Cómo son los decimales obtenidos? Estos números no son decimales exactos ni periódicos, como los anteriores, ya que algunos matemáticos han calculado muchas cifras y observado que no tienen período alguno. Por tanto no se pueden escribir de la

forma ab

ya que no son números racionales. A estos números les llamamos números irracionales y los denotamos por Q’.

Entonces tienes que los números irracionales son los números que tienen parte decimal no periódico y también aquellos que no se pueden expresar como el cociente de dos números enteros.

Números Irracionales

UNIDAD 1


El número π (letra griega pi) se utiliza en algunas fórmulas de perímetros, áreas y volúmenes. Recordarás que para calcular el perímetro de una circunferencia la fórmula es: C = π d ó C = 2 π r

El número π (pi) es la relación que hay entre la longitud de una circunferencia (C) y su diámetro (d), es decir:

π =Longitudde la circunferencia

Longituddel diámeetro=314159265. ...

En el ejemplo de motivación el valor de π, cd

no es

exacto ya que las medidas son aproximadas.

Ejemplo 1

Aplicando el número irracional π , encuentra la longitud de la siguiente circunferencia que tiene 23 cm de diámetro.

Uno de los matemáticos de la antigüedad que estudió los números irracionales fue Pitágoras y lo hizo midiendo la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 1.

Recordarás, que un triángulo es triángulo rectángulo, cuando uno de sus ángulos mide 90º, es decir, cuando tiene un ángulo recto.

Observa el cuadrado al trazar una diagonal, se forma un triángulo rectángulo.

Solución:

C = π d C = 3.14159265... (23cm) = 72.2566309… cm

Generalmente, medidas como la anterior no se expresan con todos los decimales, sino con dos decimales.

El resultado aproximado es C = 72.26 cm

23 cm

1

21

Punto de apoyo

Recuerda que para aproximar a las décimas, se hace así: Mayor o igual a 5, se aumenta 1 al decimal anterior. 7.55 7.6

Menor que 5, se deja igual el decimal anterior. 7.54 7.5

Es decir:

d2 = 12 + 12 = 2

Aplicas teorema de Pitágoras

Luego d = 2 = 1.414213…

¿Qué otros ejemplos de números irracionales puedes escribir?

Utiliza una calculadora y encuentra 3 6 7, , y

Los resultados anteriores son del mismo tipo que el de 2 , por lo tanto, son números irracionales.

En general, si m es un número natural o cero y n es un número natural n ≥ 2. Entonces: Es un número natural o cero, si la raíz

es exacta.

mn

Es un número irracional, si la raíz no es exacta.

UNIDAD 1


Al igual que los números racionales, los números irracionales también se pueden ubicar en la recta numérica. Veamos como representar 2 .Necesitas utilizar una regla y un compás.

Sobre la recta numérica, partiendo de cero, dibuja un triángulo rectángulo, cuyos lados que forman el ángulo recto midan 1, el otro lado medirá 2 ; luego, con un compás llevas la medida de 2 , a la recta numérica, a partir de cero.

En la recta numérica anterior representastes los números irracionales y te diste cuenta que siguen un orden lógico, así como los números racionales y los números enteros. Notas que se cumple una de las siguientes condiciones:

a b< , a b> ó a b=

Entonces decimos que el conjunto de los números irracionales es un conjunto ordenado.

1. Determina cuáles de los siguientes números son racionales y cuáles son irracionales. Si es necesario, utiliza una calculadora.

a) 23

c) − π e) −123

g) 36

b) 4 d) 5 f) 7 h) 182. ¿Cuál es la longitud que recorre la rueda de un carro al dar una vuelta completa, si se conoce que el

diámetro mide 22 cm?

Actividad 1

Ubica en la recta numérica: 3 5 6 7, , y

Actividad 2

Propiedades de los números irracionales

Representación de los números irracionales Q´ en la recta numérica

10

5

55

17.5

3

6

9

12

15

18

21.5

25.5

29.5

33.5

41.517.5

21.5

25.5

29.5

33.5

41.5

2

4

6

8

10

0 1 2 3 21.4142 3x 4

x −3

1

-11 2 3 4

2

-2

3

-3

4

-4

UNIDAD 1


¿Cuántos números irracionales existen entre 2.236067977... y 2.236067978...?

Observa la recta numérica que construiste, notarás espacios donde encontrarás algunos de estos números:

2.2360679771..., 2.2360679772..., 2.2360679773..., 2.2360679774..., 2.2360679775...

2.2360679776..., 2.2360679777..., 2.2360679778..., 2.2360679779..., 2.23606797791...

¿Qué puedes concluir?

Entre dos números irracionales diferentes, existe un número infinito de números irracionales.

Por esta razón, se dice que los números irracionales es un conjunto numérico denso.

El conjunto de los números irracionales también cumple la propiedad de ser un conjunto infinito.

Son el conjunto numérico que resulta de unir los números racionales y los números irracionales se denota así:

Q

Q' =

El rectángulo anterior representa a los números reales.

1. Entre cada pareja de números irracionales coloca al menos tres números irracionales que estén contenidos entre ellos:

a) 18 _____ 20 b) 5 ______ 6 c) π ______ 122. Escribe entre cada pareja el símbolo >, < ó =, según corresponda:

a) 5 _______ 5 b) 20 _____7 c) 72

______ π

Actividad 3

Los números reales

Q'

Q

UNIDAD 1


1. Dado los siguientes números, determina cuáles números son racionales y cuáles irracionales:

a) –3.2515769 d) −535

g) 12 j) −13

m) 93 p) 0.80 s) − 29

b) 0.416666… e) 9 h) 0 k) 0.175 n) 2π q) 17

t) 100

c) 0.7777… f) 123

i) 33 l) 83 o) 0.666... r) 7 u) 1253

Propiedades de los números reales

Recuerda que Q

Q´ = , representa los números reales.

Es decir, que la unión de ambos conjuntos numéricos, forman el conjunto de los números reales.

Como Q es infinito y Q´ también es infinito, esto nos dice que los números Reales son infinitos.

También observamos, que entre dos números irracionales, existe un número infinito de números irracionales. Igual, entre dos racionales cualesquiera, existe un número infinito de racionales. A partir de esto, decimos que los números reales son densos.

Y si comparamos dos números reales, a y b podemos obtener una de las siguientes condiciones:

a < b, b < a ó a = b

Lo que significa que los números reales , es un conjunto numérico ordenado.

Actividad 4

UNIDAD 1


- 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2

-3

- 1.5

- 2 -1—2−1 1—4

2 3 410-4

- 0.5 2 2.8 π

0

−

+

Representación geométrica de los números reales

Cuando estudiaste los números racionales, aprendiste que a cada uno de ellos le corresponde un punto en la recta numérica.

¿Lo recuerdas? Esto mismo sucede con los números irracionales desarrollado en las páginas anteriores.

Como el conjunto de los números reales , resulta de unir los números racionales y los números irracionales, a todo número real le corresponde también un punto en la recta numérica. Con base a lo anterior, podemos afirmar que a todo punto de la recta, le corresponde un único número real, de ahí que también se le llama recta de los números reales.

Ahora, presentamos algunos números reales en la recta numérica:

Tú puedes colocar otros, hazlo.

Para ubicar números en la recta, es conveniente que primero ubiquemos el origen que se designó con el número cero. Los puntos de la recta a la derecha del origen se identifican como los números reales positivos + y los puntos que están a la izquierda del origen son los números reales negativos −. Observa:

Utilizando la recta numérica, coloca los números −2 y −8, observa:

−8 es menor que −2 −8 está ubicado a la izquierda de −2 Veamos este otro ejemplo, en la siguiente recta coloca los números −4.5 y 3.5

3.5 es mayor que −4.5 3.5 está ubicado a la derecha de −4.5 ¿Qué puedes concluir? Que al observar dos números en la recta numérica, el que se encuentra a la derecha de otro, siempre será mayor.

- 4.5 0 3.5

UNIDAD 1


1. Grafica una recta numérica y coloca los siguientes números reales.

− 4, 35

, 7 , 1, 6.5, − 2, 18

, 18 y 3.1

2. Escribe el símbolo >, <, =, entre cada pareja de números.

a) 3.36 3. 63 d) −8 2

b) 12

15

e) 2 2

c) −9 −15 f) 4 π

3. Representa en la recta numérica diez números irracionales.

Resumen

El conjunto de los números reales, está formado por la unión de todos los números decimales exactos, periódicos y no periódicos; es decir que todo número real puede analizarse por medio de su parte decimal.

Los números reales se pueden representar en la recta numérica. A todo punto de la recta le corresponde un único número real. Y a todo número real le corresponde un único punto de la recta numérica.

Q

Q´ =

Propiedades de los números

Infinito

Ordenado

Denso

Actividad 5

UNIDAD 1


Autocomprobación

Desde tiempos antiguos, los egipcios y

babilonios, sabían de la existencia de la relación entre la longitud de una circunferencia cualquiera

y la longitud de su diámetro. Esta relación es representada en la actualidad por π y se lee pi.

Pero, fueron los egipcios quienes alcanzaron una mejor aproximación de π , que plasmaron en la

pirámide de Gizeh. La relación que existe entre la mitad del perímetro de la base y la altura de esa pirámide es el valor que ellos asignaban a π .

El par de números reales que cumple con la relación “<” entre el primero y el segundo es:

a) 118

, 3 c) π , 5

b) 2 , 4− d) 5, 25

4 Si b representa un número real y se tiene que b > 0, de los siguientes números el que representa a b es:

a) −1 c) − 35

b) 0 d) 35

2

Un ejemplo de número irracional es:

a) 0.444…b) 11c) 2.16666…d) –1.6875

1 3 Una propiedad de los números irracionales es:

a) Discretob) Tiene un primer elementoc) Discontinuod) Ordenado


Primera Unidad

Con los números reales podemos realizar operaciones de suma y resta. Los siguientes ejemplos ilustran.

Ejemplo 1

René compró el día lunes 12

litro de leche y el martes 34

litro de leche. ¿Cuántos litros compró en total?

Efectúa: 12

+ 34

Solución:

Para encontrar la suma de 12

+ 34

, dibujamos la recta

numérica. Partimos de 0, nos desplazamos 12

a la

derecha, partiendo de esta posición nos movemos 34

siempre a la derecha, llegamos a 54

.

Esto se debe a que 12

= 24

y 24

+ 34

= 54

R: En total René compró 54

litros de leche.

Ejemplo 2

Rosa tiene 2.5 litros de gaseosa y regala 2 litros. ¿Qué cantidad de gaseosa le queda?

Solución:

La operación es 2.5 − 2.0, esto también puede escribirse como: 2.5 + (−2.0)

Utilizando la recta numérica, nos movemos, a partir de cero, 2.5 unidades hacia la derecha. Desde este punto, nos movemos 2 unidades hacia la izquierda, llegando a 0.5 Así es que 2.5 + (−2) = 0.5

resolverás problemas con seguridad utilizando operaciones combinadas de números reales y signos de agrupación


OperaciOnes cOn núMerOs reales

Lección2María tiene ahorrado $35.65 y su papá le regala $42.75. ¿Cuánto tiene en total?Solución:Para resolver tienes que recordar la suma de números decimales. Es decir 35.65 + 42.75 Al efectuar la operación se tiene: 35.65 + 42.75 78.40 El total es $ 78.40

Suma y resta de números reales

1– — 41—4

2— 4 3— 4

6— 4 7— 4

0 1 2 1 3 5 — + — = — 2 4 4

1 — 2 3 — 4+

5 — 4

2.5

- 0.5 0 0.5 1 1.5 2.52

Motivación

UNIDAD 1


Ejemplo 3

Ahora efectúa: −23

+ −

43

Solución:

Utilizando la recta numérica: A partir de 0, nos

movemos 23

hacia la izquierda, desde este punto, nos

movemos 43

hacia la izquierda, llegando a −2. Los

dos movimientos son a la izquierda porque ambos

números son negativos.

Entonces: −23

+ −

43

= − 2

Aplica las reglas de la suma y efectúa:

a) −15 + (− 23) =

b) − +56

712

=

Propiedades de la suma de números reales

Juana para su cumpleaños se come 18

de su pastel y

reparte entre sus amigas los 34

. ¿Qué cantidad del pastel se comieron?

5- — 3

4 - —

3

- 1 2- —

3

1 - —

3

1 — 3

2 — 3

- 2 0 1

4 - —

3

2 - —

3

Observa

Reglas para sumar.

1. Para sumar dos números reales con el mismo signo:

Se suman sus valores absolutos.

Se determina el signo de la suma:

a) Si ambos signos son positivos, la suma es positiva

b) Si ambos signos son negativos, la suma es negativa

2. Para dos números reales de signo diferentes:

Se restan sus valores absolutos, el menor del mayor.

El signo de la suma es el signo del sumando que tenga el valor absoluto mayor.

La operación a realizar es 34

+ 18

y al efectuarla se

obtiene 34

18

78

+ =

R: Se comieron 78

del pastel.

Ejemplo 4

Efectúa: 2 + 0

Solución:

- 1 0 1

2 0+

2 2 3

A partir de cero te mueves hacia la derecha hasta 2 y luego, no realizas ningún otro movimiento, porque al agregar 0, no se efectúa desplazamiento, o sea que te quedas en 2 . Es decir que 2 + 0 = 2

Ejemplo 5

Pedro tiene $0.69 y su hermano $0.25. ¿Cuánto tienen en total?

Solución:

Pedro realiza la siguiente operación 0.69 + 0.25 = 0.94 y su hermano 0.25 + 0.69 = 0.94

Observa que llegan a la misma respuesta, es decir que tienen $0.94

UNIDAD 1


Ejemplo 6

Siempre en la recta numérica efectúa 5 + (– 5)

Solución:

Después de dibujar en la recta, partiendo de 0, te desplazas 5 unidades hacia la derecha, partiendo de este punto te desplazas 5 unidades a la izquierda, llegando a 0.

O sea que 5 + (– 5) = 0

Ejemplo 7

Marina tiene 12 libros en su biblioteca, su hermana le regala 9 y su tía 7. ¿Cuántos libros tiene en total?

A partir de los ejemplos anteriores podemos observar las propiedades de la suma con números reales.

En general para todo a, b, y c ∈

se cumple:

a + b ∈ Propiedad de cierre o clausuraa + b = b + a Propiedad conmutativa a + (b + c) = (a + b) + c Propiedad asociativaa + 0 = 0 + a = a Propiedad del elemento

identidad de la suma es "0"

a +( − a) =(− a) + a = 0 Propiedad del inverso aditivo

a) Al sumar primero los que le regalaron:

12 + (9 + 7) 12 + 16 28

b) Al sumar en el orden en que se los regalaron:

(12 + 9) + 7 21 + 7 28

Solución:

Si efectuamos la suma tenemos:

- 1 0 1 2 3 4 5 6

5

-5

a) Verifica las propiedades conmutativa y asociativa utilizando los siguientes números:

12

, 34

y 58

b) Raúl está pintando su casa, el viernes pintó los 25

el sábado 13

¿Qué parte de la casa ha pintado?

c) Elba está ahorrando para comprar un pastel el día de su cumpleaños; la primera semana ahorró $2.15; la segunda $1.90 y la tercera $ 3.34. ¿Cuánto ha reunido en total? Utiliza la propiedad asociativa para su resolución.

Actividad 1

Solución:

Si a ganar le asignamos un signo positivo, perder será negativo porque es lo contrario.

La operación a efectuar es −8 – 4 − 8 − 4 = −12 R: Jorge perdió 12 chibolas en total.

Ejemplo 8

Por la mañana Jorge jugó a las chibolas y perdió 8. Por la tarde, volvió a jugar y perdió 4. ¿Cuántas chibolas perdió en total?

Observa que llegamos al mismo resultado. R: Marina tiene 28 libros en total.


UNIDAD 1

Solución:

Deuda, se representa con signo negativo (–); por lo tanto, para averiguar su deuda debes efectuar:

(–2.75) (7) ¿Cuál es el resultado? (–2.75) (7) = – 19.25.

R: Doña María debe $19.25.

Ejemplo 13

Si se efectúa: − −

57

23

¿Qué resultado obtienes? Solución: −

−

57

23

= 1021

Observa que los ejemplos anteriores aplica lo siguiente:

a) El producto de dos números reales que tienen el mismo signo es positivo.

(+) × (+) = +

(−) × (−) = +

b) El producto de dos

números reales de distinto signo es negativo.

(+) × (−) = −

(−) × (+) = −

Ejemplo 9

Efectúa: −25

– 310

Solución: −25

– 310

= −710

Ejemplo 10

Efectúa: –6 – (–8)

Desde los primeros años de estudio aprendiste cómo multiplicar números positivos, ya sea enteros, fraccionarios o decimales.

Ejemplo 11

Roxana compra 8 cuadernos, si cada uno tiene un precio de $3.45, ¿cuánto tiene que pagar?

1. Resuelve las siguientes situaciones:

a) Un vehículo saliendo de San Salvador, viaja hacia el oriente, después de recorrer 86 km, gira para desplazarse hacia el poniente y recorre 120 km. ¿A qué distancia del punto de partida se encuentra el vehículo?

b) Un grupo de jóvenes deciden escalar el volcán de Santa Ana. Primero, suben 30 m; después 25 m, luego descienden 12 m; después suben 18 m y por último bajan 23 m. ¿A qué distancia del pie del volcán se encuentran los jóvenes?

Actividad 2

Multiplicación de números reales

En general, la resta se define así:a − b = a + (− b)

Solución:

La operación planteada es –6 – (–8) esto equivale a sumar el opuesto de −8, que es 8.

Es decir: – 6 – (–8) = −6 + 8 = 2

Solución:

La operación a realizar es 3.45 × 8 Al operar se tienen que 3.45 × 8 = 27.60. R: Roxana tiene que pagar $27.60

Ejemplo 12

A doña María, le llegan a comprar 7 de sus clientes y no tiene cambio, entonces a cada uno le queda debiendo $2.75 ¿Cuánto debe doña María?

UNIDAD 1


Propiedades En simbolos Ejemplos

Cierre o clausura ab ∈ R34

35

920

× =

Conmutativa ab = ba(−5)(2.3) = (2.3) (−5 )

− 11.5 = −11.5

Asociativa a (b c) = (ab) c

Efectúa: (−2.4) (−7.3) (6)[(−2.4) (−7.3)] (6) = (−2.4) [(−7.3)(6)]

(17.52)(6) = (−2.4) (−43.8)105.12 = 105.12

Elemento identidad (a) (1) = (1) (a) = a 3 × 1=3, 1 × 5=5, −4 × 1= −4

Elemento inverso multiplicativo

(a) ( 1a

) = (1a

) (a) = 1,

con a ≠ 0

313

1155 1

= ( ) =,

Distributiva del producto sobre la suma a (b + c) = ab + ac

Efectúa 5 (4 + 7) y (5 × 4) + (5 × 7)5 (4 + 7) = (5 × 4) + (5 × 7)

5 × 11 = 20 + 3555 = 55

Propiedades del producto de números reales

La multiplicación así como la suma, cumple con ciertas propiedades. En general para a, b y c ∈

Resuelve las siguientes situaciones:

Ejemplo 14

Rocío, tiene la mitad de una sandía y la quiere repartir en partes iguales, entre 6 de sus amigas. ¿Qué parte de la sandía le tocará a cada una?

Solución:

Plantea la operación: 12

÷ 6

Ahora recuerda cómo efectuar esta operación:

12

÷ 6 = 12

× 16

= 112

R: A cada una le tocará 112

de la sandía.

División de números reales

Ejemplo 15

Cinco hermanos deben $755.76. Ellos pagarán partes iguales ¿cuánto cancelará cada uno?

Solución:

La operación a realizar es −755.75 ÷ 5 Al efectuarla se obtiene que:

− 755.75 ÷ 5 = −755.75 × 15

= − 151.15

R: Cada uno pagará $ 151.15

UNIDAD 1


Casos de particular importancia

a) ¿A qué es igual 08

?

Partiendo de lo anterior tenemos que 0 ÷ 8 =?

¿Qué número multiplicado por 8 resulta cero? 8 × _ = 0 Solo 0, es decir que 0 ÷ 8 = 0 porque 8 × 0 = 0

Entonces: 08

= 0

b) Qué sucede con 15 ÷ 0; o sea: 150

Si 150

= x, entonces (0) (x) = 15 ¿Cuál es el valor de “x”?

Como 0, multiplicado por cualquier número es 0, entonces; no existe solución para 15

0c) ¿A qué es igual 0

0 ?

Ejemplo 16

Efectúa: a) – 24 ÷ 56

b) – 72.48 ÷ – 6.25

Solución:

a) – 24 ÷ 56

= – 24 × 65

= −1445

b) −

−7248625

..

=11.5968

Signos de agrupación

Como la suma y la multiplicación son operaciones asociativas, cuando tenemos expresiones como esta: 3 + 5 + 2, están perfectamente determinadas y podemos operar agrupando así: 3 + ( 5 + 2 ) = 3 + 7 = 10Pero si tenemos la expresión 5 + 8 × 4 y efectuamos:

Primero la suma: Primero la multiplicación:

5 + 8 × 4 = 5 + 8 × 4 =

13 × 4 = 52 5 + 32 = 37

¿Cuál es el resultado correcto?

Para evitar confusiones, cuando hay más de una operación se debe respetar la jerarquía de las operaciones.

Cuando se quiere establecer el orden en que se tiene que realizar las operaciones, utilizamos los signos de agrupación, como paréntesis ( ), corchetes [ ] y llaves { }

(+) ÷ (+) = +

(−) ÷ (−) = +

(+) ÷ (−) = −

(−) ÷ (+) = −

a) El cociente de dos números reales que tienen el mismo signo es positivo.

b) El cociente de dos números reales de distintos signo es negativo.

Efectúa las siguientes operaciones:

a) 34

÷

58

d) 0.876 ÷ 0.15

b) 87 ÷ 2 e) – 6.75 ÷ – 3

c) 146 ÷ 3 f) 123 ÷ − 4

Actividad 3Observa

Que a y b son números reales y b ≠ 0. La operación

división se denota por a ÷ b y se define como a 1b

Observa

La jerarquía de las operaciones es: primero se efectúan las multiplicaciones o divisiones, luego las sumas o restas.

Al dividir 0 entre cualquier número real diferente de cero el resultado es cero (0) Al dividir cualquier número entre cero el resultado es indeterminado o indefinido.

Observa

En los ejemplos anteriores se cumple:

UNIDAD 1


Ejemplo 17

Efectúa: 3 + [8 – (3 × 4) + (9 + 2) + 7] – 12

Solución:

Como hay varios signos de agrupación, comenzaremos con los interiores. 3 + [8 – (6 × 4) + (9 + 2) + 7] – 12 = 3 + [8 – (24) + (11) + 7] – 12 = 3 + [8 – 24 + 11 + 7] – 12 = 3 + [2]−12 = 5 − 12 = − 7

Ejemplo 18

Efectúa: − {8 + 4 – [5 × 6 + 2 + (9 ÷ 3 + 5) – 2 × 4] −1}

Solución:

– {8 + 4 – [5 × 6 + 2 + (9 ÷ 3 + 5) – 2 × 4] –1} = − {8 + 4 – [5 × 6 + 2 + 8 – 2 × 4] –1} = – {8 + 4 – [30 + 2 + 8 – 8] –1} = − {8 + 4− [32] −1} = − {8 + 4− 32 −1} = −{−21} = 21

Observa

Al suprimir los signos de agrupación que están precedidos del signo +, se dejan las cantidades con su respectivo signo pero si están precedidos por el signo "–" se cambia el signo a dichas cantidades.

a) Un comité que organiza una fiesta necesita 3 globos por cada una de las 8 mesas. Necesitan también 21 globos por cada una de las 4 paredes del salón. Para otra decoración necesitan 15 globos y otra persona solicita 10 globos más. ¿Cuántos globos necesitan en total?

Efectúa las siguientes operaciones:

b) 3 × 4 + {8 + 7 – [5 × 4 + 3 – 12 ÷ 2 + (4 – 2 × 5)]}

c) – 4 + 7 – {6 × 2 + 8 + (4 × 5 – 9 + 3) – 15} + 2

Actividad 4Resumen

En esta lección estudiaste las operaciones aritméticas aplicadas en los números reales y algunas de sus propiedades, así como la utilización de los signos de agrupación.

Propiedades Suma MultiplicaciónCierre o clausura si si

Conmutativa si siAsociativa si si

Propiedades Suma MultiplicaciónDistributiva no si respecto a la suma

Elemento identidad 0 1Elemento inverso −a 1

a

UNIDAD 1


Los modernos algoritmos de cálculo fueron posibles gracias a la introducción de los números árabes y la notación decimal

posicional. Los números árabes, basados en la aritmética, fueron desarrollados por los grandes

matemáticos indios Aryabhatta, Brahmagupta y Bhaskara I. Aryabhatta ideó la notación

posicional, dando diferente valor a un número dependiendo del lugar ocupado, y Brahmagupta

añadió el cero al sistema numérico indio. Brahmagupta desarrolló la moderna suma, resta,

multiplicación y división, basadas en los números arábigos.

Autocomprobación

Efectúa: 3 + 8 – 5 × 4 + 7 – 6 ÷ 3a) – 4b) 4c) 8.3d) 0

2

1 Doña Berta tiene $2.20 y lo reparte entre sus 4 hijos. ¿Cuánto le toca a cada uno?

a) $ 0.54b) $0.55c) $0.054d) 55

3 El día de su cumpleaños, a Rosa le regalan un pastel,

comparte con sus amigas los 25

del pastel, con sus

hermanos 210

y 14

con sus vecinos. ¿Qué cantidad de

pastel se comieron?a) 5

10 c) 17

20

b) 520

d) 810

4 Efectúa: 40 − 15 ÷ 5 − (3 × 7 + 4 − 20)

a) 24b) 32c) − 32d) 0

SISTEMAS NUMÉRICO INDIO Y LAS OPERACIONES


Primera Unidad

Motivación


identificarás, determinarás y explicarás el grado absoluto y relativo de un polinomio con seguridad.

resolverás problemas aplicando el valor numérico con confianza.

resolverás con seguridad sumas y restas de polinomios que contienen signos de agrupación.

pOlinOMiOs

Lección3a) Los elementos de un monomio son coeficientes y variables.

Monomio Coeficiente Variables−6 a5 b2 c3 −6 a5 b2 c3

0.14 m−1 n3 0.14 m−1 n3

x2 y 1 x2 y

b) Un polinomio es la suma o resta de dos o más monomios. Así:

23

5 8 273 2 2 3 3m n m n m x y+ − − +, son polinomios.

Identifica los elementos del monomio: 3x3y.Ahora, determina el exponente de x y el de y.

Al sumar los exponentes de ambas variables obtenemos 4. Este número define el grado absoluto del monomio.

Los exponentes de las variables x e y determinan el grado relativo respecto a cada una de ellas. Entonces tenemos que el monomio 3x3y es de cuarto grado absoluto y el grado relativo respecto a “x” es tercer grado y respecto a “y” es de primer grado.

A continuación identificarás el grado absoluto y relativo en polinomios.

Ejemplo 1

3x + 2x2y + 7x 3 y2

Solución:

Seguramente, lo primero que hiciste fue encontrar el grado absoluto de cada término así.

3x + 2x2 y + 7x 3 y2

Grado 1 Grado 3 Grado 5

Grado absoluto y relativo de un monomio y de un polinomio

Diremos que el polinomio es de quinto grado.

Porque, el grado absoluto de un polinomio está dado por el mayor grado absoluto de sus términos.

Para el grado relativo con respecto a sus variables, tomarás el mayor valor de los exponentes de esa variable.

Así con respecto a x es de grado tres y con respecto a y es de grado dos.

UNIDAD 1


Para encontrar el área sustituimos el valor de x en la expresión dada, Así:

3x2 = 3(15)2 = 3(225) = 675

El área es de 675 cm2

Evaluar una expresión algebraica significa hallar el valor numérico, mediante la sustitución del valor asignado a la variable.

Dados los siguientes polinomios, indica su grado absoluto y su grado relativo con respecto a cada una de sus variables.

a) 3 4 85 3x x x− + −b) 4 7 85 4 3 4a b a b ab− −

c) 13

78

59

8 7 5 6 4m m n m n+ −

Escribe un ejemplo de:

d) Polinomio cuyo grado absoluto sea 10.e) Binomio de primer grado absoluto.f) Trinomio de cuarto grado absoluto y de tercer

grado respecto a x.

Ejemplo 2

Encuentra el grado absoluto y relativo del polinomio:

8 712

13

6 5 4 3x x x x− + −

Solución:

El grado absoluto es 6 y el relativo es 6 porque sólo hay una variable, no especificamos respecto a que variable lo hemos encontrado.

Valor numérico

A Mario le interesa saber cuál es el área de una tira de papel; si está dada por 3x2 y además el valor de x es de 15 cm.

Actividad 1 Observa

La variable representa un valor numérico cualquiera que pertenece a los números reales.

Ejemplo 3

Evaluar la expresión: –8x5y2 para x = – 3, y = 3?

Solución:

Al encontrar su valor numérico tenemos:

(– 8)(–3)5 (3)2= (–8) (–243) (9) = 17496

Ejemplo 4

Encuentra el valor numérico de la expresión:

3 2 33 2 2x x y xy+ − para x y=− =−2 1,

Solución:

Sustituimos los valores asignados a las variables:

3 2 33 2 2x x y xy+ − = 3(–2)3 + 2(–2)2 (–1) – 3 (–2) (–1)2

= 3(-8) + 2 (4) (–1) – 3 (–2) (1)

= –24 – 8 + 6

= –26

UNIDAD 1


Ejemplo 5

¿Podrías evaluar la siguiente expresión?

2 3 72 2a b ab a+ − Para a b=− =3 2,

Solución:2 3 7 2 3 2 3 3 2 7 3

72 1

2 2 2 2a b ab a+ − = −( ) ( ) + −( )( )− −( )= − 88 21

75

+

=

Evalúa las siguientes expresiones para:a = –2, b = 3, m = –1, n = 2, p = 4 y x = 1

a) amp – 5bx

b) 3a2bx3 + 7m2np

c) 6b2m3 – 7n2px5

d) 7ab + 5m5n2 – 8px

e) 2 8 8ab mn px− +

f) 9 8 52 4 2 3 5m x a p b m− −

Suma de polinomios

Los siguientes ejemplos te ilustrarán la forma de sumar polinomios.

Ejemplo 6

Encuentra una expresión algebraica para el perímetro de la figura dada.

Solución:

Para encontrar el perímetro de una figura geométrica se suman las longitudes de todos sus lados.

Entonces, en nuestro caso, tendríamos que:

x + (2x) + (x + 1) + (x + 2) = (x + 2x + x + x) + (1 + 2)

= 5x + 3

Ejemplo 7

Efectúa: (2x2 + 3x) + (3x2 – 5x + 4)

Solución:

Agrupa los términos semejantes:

(2x2 + 3x) + (3x2 – 5x + 4) = (2x2 +3x2) + (3x – 5x) + 4

= 5x2 + (–2x) + 4

= 5x2 – 2x + 4

Otra forma puede ser escribir un polinomio debajo del otro. Colocando los términos semejantes en la misma columna. Así para el ejemplo anterior tenemos:

2 33 5 45 2 4

2

2

2

x xx xx x

+− +− +

Ejemplo 8

Suma: 12

14

56

16

38

13

3 2 3 2m m m m m m+ +− −con

Solución:

12

14

56

16

38

13

46

18

36

3 2

3 2

3 2

m m m

m m m

m m m

+

+

−

−

− −

Para expresar el resultado debemos simplificar las fracciones, y se obtiene:

23

18

12

3 2m m m− −

x

x +1

2x

x + 2

Actividad 2

UNIDAD 1


Ejemplo 9

Suma los siguientes polinomios:

7a2 – 9a3 + 5a – 4; 8 + 2a3 – a; 3a3 + 2 – 6a – 4a2

Solución:

Al observar los polinomios dados, te das cuenta en cada uno que el orden de la parte literal es diferente, entonces lo primero que debes hacer es ordenarlo, ya sea en forma ascendente o descendente respecto al exponente.

En este caso, podrías ordenar en forma descendente respecto a la variable a es decir, que el exponente de a vaya disminuyendo así:

– 9a3 + 7a2 + 5a – 4

2a3 – a + 8

3a3 – 4a2 – 6a + 2

– 4a3 + 3a2 – 2a + 6

Ejemplo 10

Suma 0.25m3n – 0.4m2n + 0.7mn3; 0.19mn3 + 0.86m2n – 0.68m3n

Solución:

0.25m3n – 0.4m2n + 0.7mn3

– 0.68m3n + 0.86m2n + 0.19mn3

– 0.43m3n + 0.46m2n + 0.89mn3

Efectúa las siguientes sumas de polinomios:

a) 7x + 5x3 – 6x4; 5 + 3x3 + 4x + 8x4

b) a5 + 3a2 + 2a; 6a3 – 5a4 + 3a; a4 – 8a2 – 4a5 –2a3

c) 7b3 – c3; 7c3 – 9bc; 4b3 + 2b – 5bc

d) 8m4n + 3m2n3 – 7mn4; 6n5 – 7m4n + mn4 – 3m2n3

e) 49

38

56

34

73

23

3 2 2 2 2y x y x y x y x y y+ − + −;

Actividad 3

UNIDAD 1


Resta de polinomios

Observa los siguientes rectángulos:

Perímetro de A: 6x + 2

Perímetro de B: 4x + 6

Encuentra la diferencia del perímetro del rectángulo de la figura A y el rectángulo de la figura B?

6 2 4 6x x+( )− +( )

Elimina los signos de agrupación y utiliza la ley de los signos, entonces obtienes:

Relaciónalo con la resta de números reales, puedes ver que es una suma del minuendo con el inverso aditivo del sustraendo.

Ejemplo 11

De 8a5b – 5a4b2 resta 5a5b + 3a4b2

Solución:

(8a5b – 5a4b2) – (5a5b+3a4b2)

Elimina los paréntesis:

8a5b – 5a4b2 – 5a5b – 3a4b2 = 3a5b – 8a4b2

Utiliza el mismo proceso que en la suma, colocarlo uno debajo del otro, así:

8a5b – 5a4b2 → Minuendo. –5a5b – 3a4b2 → Inverso aditivo del sustraendo . 3a5b – 8a4b2 → Diferencia.

Ejemplo 12

Resta 13xy4 + 5x2y3 – 9x3y2 de 6xy4 – 7x2y3 + 5x3y2

Solución:

¿Cuál es el minuendo y cuál es el sustraendo?

El polinomio que está después de la palabra “de” indica el minuendo.

Ahora realizamos la operación: 6xy4 – 7x2y3 + 5x3y2

–13xy4 – 5x2y3 + 9x3y2

–7xy4 – 12x2y3 + 14x3y2

Observa que a todos los términos del sustraendo se les cambia de signo.

6x + 2 - 4x - 6 = 2x - 4

A

2x + 1x

x + 3

Bx

UNIDAD 1


Escribe la siguiente expresión algebraica suprimiendo el signo de agrupación: 4 5 3 2x y x y+ + −( ) . Observa que el paréntesis está precedido por el signo +, entonces:

4 5 3 2 4 5 3 2x y x y x y x y+ + −( )= + + −

Al operar se tiene:

4 5 3 2 4 5 3 2x y x y x y x y+ + −( )= + + − = +7 3x y

Ahora mira este otro ejemplo:

¿Cómo simplificas ?

3 5 2 3 4 9x x y x y x y+ − − +( )− +

Suprime signos de agrupación:3 5 2 3 4 9 3 5 2 3 4 9x x y x y x y x x y x y x y+ − − +( )− + = + − − − − +[ ]

== + − − − − +

3 5 2 3 4 9x x y x y x y=− −4 5x y

Primero suprimes el paréntesis y luego el corchete. Es decir de adentro hacia fuera.

a) Resta 05 075 06 083 055 0163 2 3 2. . . . . .x x x x x x− + − +de

b) Resta a ab a b a b a a b ab a b4 3 2 2 3 4 2 2 3 315 20 18 5 18− + − − − −de

c) De 34

12

56

12

34

23

3 2 3 2m m m m m m− + − +resta

d) De 3 8 5 7 6 31 2 3 1 2 3x x x x x xm m m m m m+ + + + + +− + − +resta

Actividad 4

Ejemplo 13

De: 35

12

58

710

38

34

6 5 4 6 5 4m m m m m m+ − − −resta

Solución:

35

12

58

710

38

34

110

78

18

6 5 4

6 5 4

6 5

m m m

m m m

m m

+ −

− + +

− + + mm 4

Observa

Si los signos de agrupación están precedidos por el signo más, se suprime, dejando los términos con su respectivo signo. Pero si el signo es menos, al suprimirlo, los términos que estaban encerrados cambian de signo.

Signos de agrupación en expresiones algebraicas

UNIDAD 1


Ejemplo 14

Simplifica: 5 8 6 43 2 3a a a+ − −( )Solución:

El signo de agrupación va precedido del signo +5 8 6 4 5 8 6 4

8 4

3 2 3 3 2 3

3 2

a a a a a a

a a

+ − −( )= + − −

=− + − Ejemplo 15

Simplifica: 2 5 6m n m n+ − −( )

Solución:

El signo de agrupación está precedido del signo −:2 5 6 2 5 6

3 7m n m n m n m n

m n+ − −( )= + − +

=− +

Simplifica las siguientes expresiones algebraicas:

a) m m mn n mn m mn2 2 2 27 5 4+ − −( )+ − +( )− − −( ){ }b) 3 5 3 6x x y x y y x− − + − + − +( )− +{ }c) − − + − + −( )+ −[ ]+ −7 4 3 2 5 8 2 7a a a a a

d) 8 3 4 9 6 5 2b b b b− + − −( )+ −[ ]

Actividad 5

Resumen

Tanto en monomios como en polinomios podemos encontrar el valor absoluto y relativo, lo mismo que su valor numérico de acuerdo al valor asignado para cada variable, si hay signos de agrupación se deben suprimir. Para suprimir signos de agrupación es importante tomar en cuenta el signo que lo precede, si el signo es “+”, los términos que están contenidos no cambian su signo, pero si el signo es “–”, entonces el signo de cada término cambia y para reducir la expresión se debe tomar en cuenta que sólo se pueden sumar o restar los términos semejantes.

UNIDAD 1


Autocomprobación

La palabra Álgebra procede del árabe y significa restauración y reducción. De esta manera se denominó a la forma extraña de escribir

matemáticamente con letras y números, puesto que una misma magnitud puede añadirse o

sustraerse de una igualdad de dos cosas y por otra parte, podemos reducir el número de cosas

siempre que sea posible. Los babilonios escribían sus letras y signos con unos punzones sobre tablas de barro que luego

cocían para que no se perdiera lo escrito. Algunas de esas tablas se han encontrado recientemente

y nos han permitido saber lo listos que eran nuestros antepasados de Babilonia.

El grado absoluto y relativo respecto a x de la expresión8 7 32 5 3 6 4 7x y x y x y+ − respectivamente es:

a) 7 y 4b) 11 y 4c) 11 y 7d) 7 y 7

4

3

2

1 Al evaluar la expresión 3 5 23 2 3 2m n m n mn− +para m =−2 y n = 3 lo que se obtiene es:

a) −522b) 522c) −648d) 630

Resta 6 8 7 25 3 2 3 4a b a b ab b− − + de 3 6 2 54 3 2 5 3b a b a b ab+ − +

a) − + + +8 14 125 3 2 3 4a b a b ab bb) − + − −8 14 125 3 2 3 4a b a b ab bc) 4 2 12 55 3 2 3 4a b a b ab b− + −d) − + + +4 2 2 55 3 2 3 4a b a b ab b

Al efectuar 3 7 5 4 6 62 3 2 3x x x x+ −( )+ − +( ) resulta:

a) x x3 1− +b) − + −x x3 1c) 7 13 113x x− −d) 13 7 113 2x x+ −


Primera Unidad

Motivación


resolverás problemas aplicando las propiedades de los exponentes enteros, con seguridad y confianza.

Demostrarás confianza al resolver problemas aplicando la multiplicación de polinomios.

pOtencia De expOnentes enterOs y MUltiplicación De pOlinOMiOs

Lección4

Una señora tiene varias bolsas con naranjas, en la primera tiene 2, en la segunda el doble de la primera, en la tercera el doble de la segunda, en la cuarta el doble de la tercera y en la quinta el doble de la cuarta, ¿cuántas naranjas tiene en la quinta bolsa?¿Qué planteamiento realizarías?Podría ser el siguiente:Primera = 2 Segunda = 2 × 2 Tercera = 2 × 2 × 2Cuarta = 2 × 2 × 2 × 2 y en la quinta = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 que es 25= 32R: Tiene 32 naranjas en la quinta bolsa.

Esto mismo es aplicable en algebra. Por ejemplo:

m m m m m m5 = . . . .� �� 5 factores

a) (24)(32) = (2 × 2 × 2 × 2)(3 × 3)

= 16 × 9

= 144

b) 34 = × × × =

c) (−5)3 = × × =

d) 71 =

Potencias de exponentes enteros

En Aritmética estudiaste lo que es una potencia y las leyes de los exponentes.

Observa y completa:

En general:

a = a. a. a. a. a..... an {

n factores

Donde:

exponentea n

base

UNIDAD 1


Ejemplo 2

Efectúa: a a4 2( )( )Solución:

a a a a a a a a aaaaaa4 2( )( )=( )( ) = ( ). . . .� �� =a6

4 2 4 + 2 = 6 factoresfactores factores

Observa

Al efectuar aa

m

n para a ≠ 0 , se tiene am n−

Para dividir potencias de la misma base, diferente de cero, se escribe la misma base y se restan sus exponentes.

Ejemplo 3

Aplica la propiedad y efectúa:

a) (m5) (m3)

b) (b7) (b−4)

Solución:

(m5) (m3) = m5+3 = m8

(b7) (b−4) = b7+(-4) = b3

Ejemplo 4

El profesor de matemática invita a sus estudiantes a redactar problemas utilizando potencias.

María comparte el de ella y dice así: En un canasto hay 28 naranjas y se tiene que repartir entre 26 estudiantes. ¿Cuántas naranjas le corresponde a cada uno?

Solución:

La operación a realizar es: 28 ÷ 26

22

2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2

2 2 28

62=

× × × × × × ×× × × × ×

= × =

8 − 6 = 2 factores

Es decir que: 22

2 2 48

68 6 2= = =−

R: A cada uno le tocan 4 naranjas.

Veamos ahora que sucede cuando el exponente del divisor es mayor que el dividendo.

x x

Ejemplo 1

Un cubo tiene una arista de longitud x .¿Cuál es el volumen?

Propiedades con exponentes

Para darle solución al ejemplo 1, recordamos que el volumen del cubo se encuentra multiplicando el valor de la arista tres veces, es decir:

x x x x. .

= 3

3 factores

Observa

En general: a a am n m n. = +

Para multiplicar potencias que tienen la misma base, se escribe la misma base y se suman sus exponentes.

Los siguientes ejemplos te ilustrarán las propiedades con exponentes.

Teniendo en cuenta que: an = a.a....a

n veces

(3)(3)(3)(3)(3) = (3)5 = 243

(3)3(3)2 = (3)3 + 2

(27)(9) = (3)5

243 = 243

UNIDAD 1


Ejemplo 5

Efectúa: xx

2

6

Solución:

xx

x xx x x x x x x x x x x

2

6 4

1 1= = =.. . . . . . . .

Y si aplicas la propiedad: aa

am

nm n= −

Tienes: xx

x x2

62 6 4= =− − por lo tanto: 1

44

xx= −

Observa este caso:

Ejemplo 6

Efectúa: 33 ÷ 33

Solución:

3 333

3 3 33 3 3

11

13 33

3÷ = =× ×× ×

= =

También podemos decir que: 33

2727

13

3 = =

Al aplicar la propiedad de dividir potencias de la misma base tenemos:

33

3 33

33 3 0= =−

¿Qué concluyes? Toda cantidad elevada a la cero es igual a uno.

Observa

En general para : a ≠ 0 a 0 1=

Aplica esta conclusión y efectúa.mm

7

7 = y y4 4 =

Ejemplo 7

Encuentra: 23 × 33

Solución:

2 3 2 2 2 3 3 3 8 27 2163 3× = × ×( ) × ×( )= × =� �� 3 factores 3 factores

La base 2 y la base 3 están elevadas al mismo exponente por lo que se puede escribir así:

23 × 33 = (2 × 3)3 = 63 = 6 × 6 × 6 = 216

Esto significa que 23 × 33 = (2 × 3)3 = 216

Observa

El exponente negativo resulta cuando el exponente del numerador es menor que el exponente del denominador: a

aa

m

nm n= −

Y podemos decir que: aa

nn

− = 1

Observa

En general: ab a bn n n( ) =

÷

Verifica las siguientes igualdades:

a b ab xy x y mnp m n p

a b c

5 5 5 6 6 6 8 8 8 8= ( ) = ( ) =

+( )[ ]−( ) ; ; ;

22 2 2 2 2 2 2 2 23 3 9= +( ) ( ) = =− −a b c xy x y x y;

UNIDAD 1


Ejemplo 8

Encuentra: 57

3

Solución:57

57

57

57

3

=

� �� ==

× ×× ×

=5 5 57 7 7

57

3

3� ��

Entonces: 57

57

3 3

3

=

3 factores 3 factores

Ejemplo 9

Efectúa: mn

5

Solución:mn

mn

mn

mn

mn

mn

=

5 = =

m m m m mn n n n n

mn

. . . .. . . .

5

5 Entonces: mn

mn

=

5 5

5

Ejemplo 10

Efectúa: 32

3abmn

Solución:32

32

278

3 3 3 3

3 3 3

3 3

3 3

abmn

a bm n

a bm n

= =

Ejemplo 11

Rosa tiene limones en un canasto . Su hijo que estudia octavo grado dice que son (24)2 limones. ¿Sabes tú cuántos limones tiene Rosa?

Solución:

Aplicando los conocimientos sobre potencias, tenemos:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 24 2 4 4( ) = × = × × ×( ) × × ×( )� �� = × =16 16 256 4 factores 4 factores ¿Cuántas veces hemos multiplicado el 2 por sí mismo? Se verifica que son 8 veces.

Entonces: 2 2 24 2 4 2 8( ) = =× = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 256

R: Rosa tiene 256 limones.

Ejemplo 12

Efectúa: 23

4 24

m n−

Solución:

23

1681

44 4 2 4 16 8

( ) ( ) =− −m n m n

Observa

En general : a am n mn( ) =

Observa

En general: ab

ab

n n

n

= Para b ≠ 0

UNIDAD 1


Multiplicación de polinomios

Iniciemos recordando la multiplicación de monomios.

Observa el siguiente rectángulo:

Aplica las propiedades de los exponentes según corresponda en cada caso y encuentra el resultado:

a) xy

5

2

0

c) xy( )−3 e) bb

7

5 g) 3 20x y−( ) i)

am

3 2

6

2( )

b) m m4 5. − d) x y a+( ) 3

f) 35a −

h) a

a

3

2

5

−

j) 5 23 7

3××

Actividad 1

Multiplicación de monomio por polinomio

Ejemplo 13

Carlos tiene una pintura de forma rectangular con las dimensiones que aparece en el dibujo y quiere calcular el área que cubrirá en la pared.

¿Cuál es su área?

Sabes que A = bh (base por altura)

Al sustituir por los valores que tiene el rectángulo dado, tenemos que:

A = (2x)(x)

Procedemos a multiplicar los coeficientes con su respectivo signo:

(2 × 1) = 2

Luego la parte literal:

x . x = x2

Entonces resulta que: (2x)(x) = 2x2

R: Su área es 2x2 unidades cuadradas.

Solución:

El área del rectángulo se calcula así A = bh

Planteando la operación: A = (3x + 2) (2x)

Observarás que son expresiones algebraicas que conocemos como monomios y polinomios.

Para realizar la operación, multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, luego suma algebraicamente los productos resultantes así:

A =(3x + 2)(2x) = (3x) (2x) + (2) (2x) = 6x2 + 4x

R: El área de la pintura es 6x2 + 4x unidades cuadradas.

2x

x

2x

3x + 2

UNIDAD 1


Multiplicación de polinomio por polinomio

Ahora que ya sabes multiplicar monomio por polinomio, podrás efectuar polinomio por polinomio siguiendo el mismo proceso.

Ejemplo 17

Un pedazo de cartón tiene las dimensiones que aparecen en el dibujo, encuentra su superficie.

Ejemplo 14

Efectúa: −( ) −( )5 6 72 3 2a a a

Solución:

−( ) −( )= −( )( )+ −( ) −( )=− +

5 6 7 5 6 5 7

30

2 3 2 2 3 2 2

5

a a a a a a a

a 335 4aEjemplo 15

Efectúa: (4x5 − 7x4 + 3x3) (2x3)

Solución:

4 7 3 2

4 2 7 2 3

5 4 3 3

5 3 4 3 3

x x x x

x x x x x

− +( )( )=( )( ) ( )( ) (

=

+ − + ))( )= + −( )+= − +

2

8 14 6

8 14 6

3

8 7 6

8 7 6

x

x x x

x x x

Ejemplo 16

Multiplica: 3 5 62 1 3 2x y x y x ya b a b a b+ + + +− − por −2 2 3x y

Solución:

Por

3 5 6

2

2 1 3 2

2 3

x y x y x y

x y

a b a b a b+ + + +− −

−

−− + ++ + + + + +6 10 124 4 5 5 2 3x y x y x ya b a b a b

Efectúa las siguientes multiplicaciones:

a) m m n mn n5 2 2 36 8 2 5− − + − por 4 4mnb) 3 2 5 8 6 27 6 5 4 3b b b b b− + + − + por −7 4b cc) − + −+ + +2 3 51 2 1a b a b a bx x x x x por 3 2 3a bx x

d) x x y x y x5 4 2 3 27 6 3+ − − por −5 2 3x ye) 02 3 2. b c por 03 075 0536 2 5 3 4 4. . .b c b c b c+ −

Actividad 2

Observa

Para multiplicar un polinomio con un monomio, se multiplica cada uno de los términos del polinomio por el monomio.

Solución:

A = bh

En este caso es: A x x= −( ) +( )3 3 4

Para realizar la operación coloca los polinomios en forma vertical y aplica la propiedad distributiva:

por

xx−+3

3 43 9

4

2x x−+ xx

x x

−

− −

12

3 5 122

3 3x x −( )→

4 3x −( )→

3x 4

x −3

UNIDAD 1


Ejemplo 18

Multiplica: 5 4 6 2a a− + por 2 3 42 3a a a− +

Solución:

Nota que los polinomios no están ordenados, entonces primero se deben ordenar, en general se hace en forma descendente, es decir de mayor a menor exponente:

Por 6 5 43 2 4

18 15 12

12 10 8

2

3 2

5 4 3

4 3

a aa a a

a a a

a a a

+ −− + +

− − +

+ −+ 22

3 224 20 1+ a a+ − 6618 3 46 12 165 4 3 2

aa a a a a− − + + −

− + −( )3 6 5 43 2a a a

2 6 5 42 2a a a+ −( )4 6 5 42a a a+ −( )Ejemplo 19

Efectúa: 4 6 8 4 6 52 5 4 3 2x x x x x x−( ) − − +( )Solución:

La multiplicación cumple con ser conmutativa, podemos cambiar el orden de los factores: 8 4 6 5

4 6

32 1

5 4 3 2

2

7

x x x x

x x

x

− − +

−

− 66 24 20

48 24 36 30

6 5 4

6 5 4

x x x

x x x

− +

− + + − xx

x x x x

3

7 6 4 332 64 0 56 30− + + −

por

Efectúa las siguientes multiplicaciones:

a) 23

15

13

x y x y−

+

b) 5 4 32ab b a ab+( ) −( )

c) m m m2 3 2 2 5− +( ) −( )

d) 7 4 3 8 62x x x−( ) − − +( )e) 3 5 6 8 2 7 53 2 2y y y y y− + −( ) − +( )

f) 2 8 7 3 52 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3m m m m m mx x x x x x+ + + − − −− +( ) − + +( ))

Observa

Proceso: Se multiplica cada uno de los términos del segundo polinomio por todos los términos del primero, colocando los productos de modo que los términos semejantes queden en columna para facilitar la suma.

Resumen

Para a b R m n Z, , ,∈ ∈ se cumplen las siguientes leyes de los exponentes, para las potencias que estén definidas:

a) a a am n m n. = + d) a b abm m m=( )

b) aa

am

nm n= − si a ≠ 0 e) a

bab

m m

m

=

c) a am n mn( ) =

Punto de apoyo

0-2 y 00 no esta definido. En general 0n con “n” negativo o cero no está definido es indeterminado.

− − − +6 8 4 6 55 4 3 2x x x x x( )

4 8 4 6 52 5 4 3 2x x x x x( )− − +

Por lo tanto el resultado es: 32x7 − 64x6 + 56x4 − 30x3

Actividad 3

UNIDAD 1


Autocomprobación

Efectúa el producto 3 4 85 4 3x x x− + por 2 8x −El resultado es:

a) 6 28 646 5 3x x x+ +b) 5 15 20 166 5 4 3x x x x+ + −c) 6 32 48 646 5 4 3x x x x− + −d) 6 20 646 5 3x x x+ −

4 Berta tiene 3x + 5y – 4 mangos, si María tiene 4x veces los que tiene Berta. La expresión que representa la cantidad de mangos que tiene es:

a) 12 20 162x xy x+ −b) 12 5 42x y+ −c) 12 20 162x xy x+ +d) 3 5 16x y x+ −

2

Si desarrollas aplicando propiedades 610

2 2

obtienes:a) 36

100 c)

925

b) 162625

d) 129610 000,

1

En 1982 G.H. Nesselman, para estudiar el desarrollo histórico de la notación algebraica, dividió su

evolución en tres períodos: álgebra retórica, álgebra sincopada y álgebra simbólica.

En el álgebra simbólica se encuentra nuestro simbolismo actual. El matemático francés Fracois Viete, propuso en su obra In artem analyticam

isagoge, publicada en 1591, los principios fundamentales del álgebra, usar letras vocales para representar variables y consonantes para

constantes, desarrollando con esta nomenclatura los algoritmos algebraicos. La costumbre actual de usar

las últimas letras del alfabeto para variables y las primeras para constantes fue introducida por otro

matemático francés René Descartes en 1637.

3 Si efectúas 5 53 4m m( ) ÷( ) el resultado es:

a) 5 7m( ) c) 1

5 1m( )−

b) 5m d) 15m

DESCARTES Y EL ÁLGEBRA

René Descartes


Primera Unidad

Motivación


Deducirás, explicarás y aplicarás los productos notables.

prODUctOs nOtables

Lección5

José tiene una fotografía de forma cuadrada cuyos lados miden x + y, quiere saber cuál es el área de la superficie.Como recordarás para encontrar el área de un cuadrado multiplicas lado por lado, en nuestro caso:

x y x y x y+( ) = +( ) +( )2

Lo cual corresponde geométricamente al área de un cuadrado.

x y x y x y+( ) =( )( )2 + + y al efectuar la operación:

por

x yx y

x xy

xy y

++

+

+ +

2

2

x xy y2 22+ +Esto significa que: x y x xy y+( ) = + +2 2 22

A esto se le llama cuadrado de la suma de dos términos.

Observa las siguientes figuras:

Observa

El cuadrado de la suma de dos términos es igual a: El cuadrado del primer término más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo término.

x y yEl cuadrado de la suma de dos términos

UNIDAD 1


Ejemplo 1

Encuentra el producto de 3 2 2m n+( ) aplicando la regla del cuadrado de la suma de dos términos:

Solución:

3 2 2m n+( ) = 3 2m( ) + 2 3 2m n( )( ) + 2 2n( )

Cuadrado de la suma de dos terminos

Cuadrado del 1º

Doble producto del 1º por el 2º

Cuadrado del 2º

= 9 12 42 2m mn n+ +

Ejemplo 2

Escribe el resultado de: 15

23

2 32

m n+

Solución:15

23

15

215

23

2 32

22

2 3m n m m n+

=

+

+

23

32

n

Cuadrado de la suma de dos términos

Cuadrado del 1º

Doble producto del 1º por el 2º

Cuadrado del 2º

= + +125

415

49

4 2 3 6m m n n

Ejemplo 3

Escribe el desarrollo de: 2 54 3 2 2x y x y+( )

Solución:2 5 2 2 2 5 54 3 2 2 4 2 4 3 2 3 2x y x y x y x y x y x y+( ) =( ) ( )( ) (+ + ))

= + +

2

8 2 7 3 6 44 20 25x y x y x y

Efectúa el desarrollo de los siguientes cuadrados:

a) x 3 25+( ) d) 2 32 3 2

x y+( ) g) 23

35

3 22

m n m n+

b) 3 4522

a b+( ) e) 35

13

2 22

a b+

h) x ya a+2 1 2+( )+

c) 5 23 2 2 3 2m n m n+( ) f)

19

23

22

x y− +

i) Escribe el área de un cuadrado cuyo lado mide 4 3x +

Actividad1

UNIDAD 1


Ejemplo 4

Efectúa:

3 62 2x y−( )

Solución:

3 6 3 2 3 6 6

9 36 36

2 2 2 2 2 2

4 2

x y x x y y

x x y y

−( ) =( ) − ( )( )+( )= − + 22

Ejemplo 5

Efectúa:

34

16

5 42

a a−

Solución:34

16

5 42

a a−

= − +2

34

34

16

16

52

5 4a a a a

442

=

916

624

136

10 9 8a a a− + Hay una fracción

que se puede simplificar

=916

14

136

10 9 8a a a− +

Rosa tiene un lienzo de tela de forma cuadrada, cuyos lados miden "x". Lo quiere para cubrir un espacio también cuadrado, pero el lienzo de tela es más grande, por lo que decide cortar una parte, si la parte que corta es "y"; entonces el lienzo medirá x − y, ¿cuál es su área?

Solución:

Rosa encuentra el área efectuando el producto:x y x y x y−( ) = −( ) −( )2

por x yx y

x xy

xy y

−−

−

− +

2

2

x xy y2 22− +Esto significa que: (x − y)2 = x2 − 2xy + y2

Cuadrado de la diferencia de dos terminos

Cuadrado del 1º

Doble producto del

1º por el 2º

Cuadrado del 2º

R: El área del lienzo de tela es x2 − 2xy + y2

Ahora, geométricamente tenemos:

Encuentra el desarrollo de los siguientes cuadrados:

a) 314

2

a b−

d) 2 71 2 2

a bx y+ −−( )

b) 6 52 3 2 2x y x y−( ) e) 7 83 2 4 3 2

m n m n−( )

c) 13

15

5 42

a b a b−

f) 5 8 2 2x ya b a b+ +−( )

Actividad 2yx - y

yx -

y

y (x − y) y²

(x − y)²

y (x -

y)

x

y

Al observar las áreas se tiene:

(x − y)2 = x2 − 2y(x − y) − y2

Verifica que el resultado es el mismo obtenido anteriormente.

El cuadrado de la diferencia de dos términos

UNIDAD 1


Ejemplo 6

Desarrolla: 3 2 3m n+( )

Solución:

3 2 3m n+( ) = 3 3m( ) + 3 3 22m n( ) ( ) + 3 3 2 2m n( )( ) + 2 3n( )Cubo de la suma de dos términos

Cubo del 1.º Tres por el cuadrado del 1.º por el 2.º

Tres por el 1.º por el cuadrado del 2.º

Cubo del 2.º

= 27m3 + 54 m2n + 36mn2 + 8n3

Ejemplo 7

Efectúa utilizando la regla: 23

12

4 53

x y+

23

12

4 53

x y+

=

23

43

x

+ 3

23

12

42

5x y

+ 3

23

12

4 52

x y

+ 1

25

3

y

Cubo de la suma de dos términos

Cubo del 1.º

Tres por el cuadrado del 1.º por el 2.º

Tres por el 1º por el cuadrado del 2.º Cubo del 2.º

= 827

1218

612

18

12 8 5 4 10 15x x y x y y+ + +

= 827

23

12

18

12 8 5 4 10 15x x y x y y+ + +

x + y

El cubo de la suma de dos términosAsociando los dos primeros factores tienes:

x y x y x y+( ) = +( ) +( )3 2. Y como ya sabes que

x y x xy y+( ) = + +2 2 22 entonces faltaría que multipliques por x y+( ) . Así:x y x xy y x y+( ) = + +( ) +( )3 2 22 o sea:

por

x xy yx

2 22+ ++ y

x x y xy3 2 22+ +

+ + +

+ +

x y xy y

x x y xy

2 2 3

3 2

2

3 3 22 3+ y

De acuerdo con la ilustración, para encontrar el volumen del cubo tienes:

x y x y x y x y+( ) = +( ) +( ) +( )3

Observa

El cubo de la suma de dos términos es igual a: el cubo del primer término, más tres veces el producto del cuadrado del primer término por el segundo, más tres veces el primer término por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término.

UNIDAD 1


Roberto tiene una caja de forma cúbica que mide de arista x. La quiere introducir en otra de la misma forma pero es más pequeña, entonces decide cortarle a cada dimensión "y" unidades. ¿Cuál es el volumen de la caja más pequeña?

Algebraicamente esto corresponde a:

x y x y x y−( ) = −( ) −( )3 2

x y x xy y x y−( ) = − +( ) −( )3 2 22

Por

x xy yx y

x x y xy

2 2

3 2 2

2

2

− +−

− +

− + −x y xy y2 2 32

x x y xy y3 2 2 33 3− + −

Compara con el cubo de la suma, ves que la diferencia son sus signos, entonces tenemos que:

x y−( )3 = x 3 − 3 2x y + 3 2xy − y 3

Cubo de la diferencia de dos términos



Cubo del 2.º

R: El volúmen de la caja más pequeña es (x3 − 3x2y + 3xy2 − y3) unidades cúbicas.

Encuentra el resultado al desarrollar el cubo que se indica en cada expresión:

a) 2 3a b+( ) c) 13

12

2 33

m n+

e) 4 25 4 3

m n+( )

b) 3 2 3x y+( ) d) 5 22 2 3

x y xy+( ) f) 2 3 2 3m nx x+( )

Ejemplo 8

Desarrolla: 4 52 3 3a b+( )

Solución:

4 5 4 3 4 5 3 4 5 52 3 3 2 3 2 2 3 2 3 2 3a b a a b a b b+( ) =( ) + ( ) ( )+ ( )( ) +(( )= + + +

3

6 4 3 2 6 964 240 300 125a a b a b b

Observa

El cubo de la diferencia de dos términos es igual a: El cubo del primer término, menos tres veces el producto del cuadrado del primero por el segundo, más tres veces el primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo.

Actividad 3

El cubo de la diferencia de dos términos

UNIDAD 1


Ejemplo 9

Desarrolla: 13

25

3 23

m n−

Solución:13

25

3 23

m n−

= 13

33

m

− 313

32

m

25

2n

+ 3

13

3m

25

22

n

−

25

23

n

13

25

3 23

m n−

= 127

215

425

8125

9 6 2 3 4 6m m n m n n− + −

Ejemplo 10

Desarrolla: 2 3 3a b−( )

Solución:

2 3 2 3 2 3 3 2 3 3

8

3 3 2 2 3

3

a b a a b a b b

a

−( ) =( ) − ( ) ( )+ ( )( ) −( )= −336 54 272 2 3a b ab b+ −

Cubo de la diferencia de dos términos



Cubo del 2.º

Son Productos de la forma: x y x y+( ) −( )Encontremos este producto:

x yx y

x xy

xy y

x

+−

+

− −

2

2

2 − y 2

por

Encuentra el resultado al desarrollar el cubo que se indica en cada expresión:

a) 3 45 4 3 2 3x y x y−( ) c) 2 5

3a am n−( ) e)

35

27

7 63

b c−

b) 13

34

3

m n−

d) 7 53 2 4 3

m n mn−( ) f) x ya b b c+ +−( )3

Ejemplo 11

Efectúa el producto: 3 2 3 2x y x y−( ) +( )Solución:3 2 3 2 3 2

9 4

2 2

2 2

x y x y x y

x y

−( ) +( )=( ) −( )= −

Actividad 4

Observa

El producto de la suma de dos términos por su diferencia, x y x y+( ) −( ) es igual a la diferencia de los cuadrados de ambos términos. Es decir: x y2 2−

El producto de la suma de dos términos por su diferencia

UNIDAD 1


Resumen

Ejemplo 12

Efectúa el producto: 12

23

12

23

3 2 3 2a b a b−

+

Solución:12

23

12

23

12

23

3 2 3 2 32

2a b a b a b−

+

=

−

= −

2

6 414

49

a b

Ejemplo 13

Encuentra el producto de: 2 3 2 31 2 1 2x y x ym m m m+ − + −+( ) −( )Solución:2 3 2 3 2 31 2 1 2 1 2 2x y x y x ym m m m m m+ − + − + −+( ) −( )= ( ) −( )22

2 1 2 2 2 2 2 44 9 4 9= − = −+( ) −( ) + −x y x ym m m m

Encuentra el resultado de los siguientes productos indicados:

a) 5 3 5 3a b a b+( ) −( )

b) 3 4 3 45 4 5 4x y x y−( ) +( )

c) 12

16

12

16

m n m n+

−

d) 2 7 2 74 5 2 4 5 2a b a b a b a b−( ) +( )

e) 34

25

34

25

2 3 2 3a b a b+

−

f) 2 3 2 32 1 2 1m n m nx x x x−( ) +( )+ +

Actividad 5

Nombre Expresión ReglaEl cuadrado de la suma de dos términos. x y x xy y+( ) = + +2 2 22

El cuadrado de la suma de dos términos es igual a: el cuadrado del primer término más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo término.

El cuadrado de la diferencia de dos términos.

x y x xy y−( ) = − +2 2 22El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual a: el cuadrado del primer término menos el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo término.

El cubo de la suma de dos términos. x y x x y xy y+( ) = + + +3 3 2 2 33 3

El cubo de la suma de dos términos es igual a: el cubo del primer término más tres veces el producto del cuadrado del primero por el segundo, más tres veces el primero por el cuadrado del segundo más el cubo del segundo.

El cubo de la diferencia de dos términos. x y x x y xy y−( ) = − + −3 3 2 2 33 3

El cubo de la diferencia de dos términos es igual a: el cubo del primer término menos tres veces el producto del cuadrado del primero por el segundo más tres veces el primero por el cuadrado del segundo menos el cubo del segundo.

El producto de la suma de dos términos por su diferencia.

a b a b a b+( ) −( )= −2 2 El producto de la suma de dos términos por su diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados de ambos términos.

UNIDAD 1


Autocomprobación

Las fórmulas son expresiones algebraicas que mediante la utilización de las propiedades

conmutativa y distributiva de los números reales, nos permiten obtener las relaciones que generan las operaciones de suma, resta, multiplicación,

división, potenciación, etc. No se sabe con certeza quien las descubrió, sin embargo algunas culturas antiguas ya las utilizaban, por ejemplo los babilonios, en sus tablillas, con escritura cuneiforme, aparecen

algunas como:

a b a ab b+( ) = + +2 2 22

a b a b a b+( ) −( )= −2 2

4 Efectua 03 07 03 072 2 2 2. . . .m n m n−( ) +( )

a) 009 0494 4. .m n−b) 09 0494 4. .m n−c) 09 494 4. .m n−d) 009 0492 2. .m n−

2 52 4 3a b+( ) es igual a:

a) 8 120 750 1256 4 4 2 8 12a a b a b b+ + +b) 6 30 30 1256 4 4 2 8 12a a b a b b+ + +c) 8 60 150 1256 4 4 2 8 12a a b a b b+ + +d) 6 60 150 1256 4 4 2 8 12a a b a b b+ + +

2

3 Al efectuar 3 52x y−( ) se obtiene:

a) 9x2 – 30xy – 25y2

b) 9x2 – 25y2

c) 9x2 – 8xy + 25y2

d) 9x2 – 30xy + 25y2

1 12

13

2

x y+

es igual a:

a) 14

16

19

2 2x xy y+ + c) 14

13

19

2 2x xy y+ +

b) 14

19

2 2x y+ d) 14

13

16

2 2x xy y+ +


Proyecto

Un dueño de finca era aficionado a la matemática. Al morir deja de herencia su finca a sus cuatro hijos. Les dice que las dimensiones de la finca son (3x + 2y) en cada uno de sus lados. Les pide a sus hijos que:

a) Expresen el área de la finca en función de x e y.

b) Calculen el área de la finca dado que x = 2.5 km, y = 3.0 km

c) Repartan el terreno de tal manera que al primero le corresponda 5x2, al segundo le corresponda 10xy, al tercero 4y2, y al cuarto (4x2 + 2xy).

d) ¿Estarías de acuerdo con la repartición anterior, sabiendo que x = 2.5 km y = 3.0 km?

e) Si no estás de acuerdo con la repartición anterior, ¿cómo lo harías tú?


Recursos

Aguilera Liborio Raúl, Matemática Octavo grado. Talleres Gráficos UCA, San Salvador, El Salvador, 2007, 219p

Aponte Gladis, Pagán Estela, Fundamentos de Matemática Básica, Editorial Addison Wesley, 1ª Edición. México 1998, 482p.

Carpinteyro Vigil Eduardo, Sánchez Hernández Rubén, Álgebra, Publicaciones Cultural, 1ª Edición, México 2002 622p.

Fuenlabrada De la Vega Samuel, Matemática I, Aritmética y Álgebra, Editorial McGraw-Hill, 1ª Edición. México 1994, 281p.

Mendoza William y Galo de Navarro Gloria, Matemática 8º grado, UCA Editores, 2ª edición. San Salvador, El salvador, 2003, 419p

Rees Paul K, Sparks Fred W, Álgebra, Editorial McGraw-Hill, 1ª Edición. México 1991, 626p.

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