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  • 1

    UNIDAD I

    NMEROS REALES ()

    Nmeros Racionales

    Expresiones Decimales

    El Conjunto de los nmeros racionales est formado por todos aquellos nmeros que pueden expresarse en forma

    de fraccin, es decir son de la forma

    , donde a y b son nmeros enteros, con b 0.

    Los nmeros racionales pueden expresarse como fracciones, o bien por su desarrollo decimal. Para hallar la expresin decimal de una fraccin se divide el numerador por el denominador.

    Si al efectuar la divisin en algn paso se obtiene resto cero, la expresin decimal es exacta o finita.

    Si al efectuar la divisin no se obtiene resto cero, entonces una o algunas cifras se repiten indefinidamente despus de la coma, la expresin decimal es peridica.

    Todo nmero racional tiene una expresin decimal finito o peridico.

    A) Expresiones Decimales Finitas

    A cada expresin decimal finita o exacta corresponde una fraccin que tiene por denominador una potencia de 10.

    A las fracciones que tienen por denominador una potencia de 10 corresponden a expresiones decimales finitas.

    Cmo reconocer las fracciones decimales?

    Una fraccin irreducible es decimal si su denominador tiene solamente los factores primos 2 y/o 5.

    MATEMTICA 3 A

  • 2

    B) Expresiones Decimales Peridicas

    Cuando el cociente entre numerador y denominador no tiene resto igual a cero, la expresin decimal es peridica. El

    perodo es el nmero o bloque de nmeros que se repiten. Las expresiones decimales peridicas pueden ser puras,

    si todas las cifras decimales componen el perodo; o mixtas, si hay una parte decimal no peridica delante del

    perodo ubicada inmediatamente despus de la coma decimal.

    Expresiones Decimales Peridicas

    Puras

    Todas las cifras decimales componen el perodo

    Ej. 3,123123123123.=

    0,333333333333.=

    Mixtas

    Hay una parte decimal no peridica delante del perodo

    Ej. 0,73515151515151.=

    Ej. 0,20188888888888.=

    Conversin de una expresin decimal peridica pura a fraccin

    Menos su parte entera, y en el denominador tantos nueves como cifras tenga el perodo.

    Conversin de una expresin decimal peridica mixta a fraccin

    Colocamos en el numerador todas las cifras del nmero, sin la coma, menos la parte entera

    seguida de la parte decimal no peridica (tambin denominada anteperodo); y en el

    denominador tantos nueves como cifras tenga el perodo seguidos de tantos ceros como

    cifras tenga la parte decimal no peridica.

    Restamos y luego, si es posible, simplificamos.

    TRABAJO PRCTICO N1

    1) Escribir la fraccin irreducible correspondiente a:

    Descomponer los denominadores en factores primos, y saca conclusiones.

    2) Identificar las fracciones decimales sin hallar la expresin decimal.

    3) Expresar como fraccin los siguientes nmeros decimales.

    a)

    b) c)

    e)

    f)

    i) j) k)

  • 3

    d) g) h)

    l)

    Observen los casos anteriores en los que el perodo es 9. Qu conclusiones pueden sacar?

    4) Resolver

    a)

    (

    (

    )

    b) (

    (

    (

    )

    c)

    d)

    (

    e)

    (

    )

    f)

    g)

    (

    )

    h)

    ( )

    i) ( )

    j) (

    )

    *(

    +

    k) ( )

    l) ( )

    m) (

    )

    n) ( )

    El Conjunto de los nmeros Reales

    NMEROS IRRACIONALES

    El Conjunto de los nmeros reales () est formado por el conjunto de los nmeros racionales () y el de los

    irracionales (). En smbolos:

    Grficamente:

    De este modo, podemos hablar de completitud de la recta numrica: cada punto de la recta representa un nmero

    real, y todo nmero real est representado en la recta.

    Radicacin.

    Raz n-sima de un nmero

    Definicin: Dado un nmero real a y un entero positivo n, se llama raz n-sima de a,

    a otro nmero real b, tal que, b elevado a n es igual a a.

    En smbolos:

    (

    Casos particulares:

  • 4

    Propiedades de la Radicacin

    Lenguaje Formal Ejemplos

    1) Exponentes racionales

    (

    )

    2) Distributiva en multiplicacin y divisin

    3) Raz de raz

    4) Simplificacin de radicales

    | |

    1) (

    )

    2)

    3)

    4)

    | |

    (

    | |

    (

    Extraccin de factores fuera del radical

    Teniendo en cuenta las propiedades de la radicacin, pueden extraerse factores fuera del radical, cuando los

    factores que figuran en el radicando sean potencias de exponente mayor o igual que el ndice de la raz. En algunos

    casos es necesario factorear el radicando.

    Por ejemplo:

    . Descomponer el ocho en factores primos.

    . Descomponer el exponente en suma de potencias de igual base.

    . Distribuir el radical en cada factor, y simplificar ndice y exponente.

    . El factor 2 queda fuera del radical y ste queda reducido a su mnima expresin.

    Nota Importante!

    Cuando aplicamos el procedimiento antes descripto, el nmero sigue siendo el mismo (por eso se utiliza el

    signo igual entre las expresiones); lo nico que logramos es cambiar el aspecto, o sea la forma de expresarlo. Puede

    verificarse con la calculadora que:

    Otros ejemplos:

    Radicales semejantes

    Se llaman radicales semejantes a aquellos que tienen el mismo ndice y

    el mismo radicando. nicamente pueden diferir sus coeficientes.

  • 5

    Por ejemplo:

    Adicin y sustraccin (Suma algebraica)

    Ejemplos:

    (

    )

    La suma algebraica de nmeros irracionales semejantes, es otro irracional semejante a los

    dados, cuyo coeficiente es la suma algebraica de los coeficientes de cada uno de ellos.

    En los cinco trminos los

    radicales son semejantes.

    Suma algebraica

    de coeficientes.

    Los radicales no son semejantes aparentemente.

    Factorear los radicandos.

    Descomponer los exponentes en sumas para poder extraer

    factores del radical.

    Distribuir los radicales en el producto y simplificar ndice y

    exponente.

    Multiplicar los coeficientes.

    Como los radicales ya se transformaron en semejantes

    puedo operar con los coeficientes.

    Los radicales no son semejantes aparentemente.

    Factorear los radicandos.

    Distribuir y simplificar.

    Se asocian los radicales que no se simplificaron

    totalmente, porque son de igual ndice.

    Los radicales no son todos semejantes.

    Agrupo los que son semejantes y opero con sus coeficientes

    La adicin de radicales no semejantes queda indicada.

  • 6

    TRABAJO PRCTICO N2

    5) Realizar las siguientes sumas algebraicas entre radicales:

    a)

    b)

    c)

    d)

    e)

    f)

    3)

    2)

    1)

    4)

  • 7

    NOTACIN CIENTFICA

    Analicemos estos datos:

    Volumen del Sol=14.000.000.000.000.000.000.000.000.000 m3 = 1,4.10 28 m3

    Dimetro del sol= 1.360.000 km = 1,36.106 km

    Distancia a la tierra= 150.000.000 km = 1,5.108km

    Peso de una molcula de H=0,000000000000000000000000234g = 2,34.10-25g

    Tamao del virus de la gripe= 0,0001 m = 1.10-4 m

    Un nmero de muchas cifras puede escribirse en forma abreviada, mediante el uso de potencias de 10, utilizando la llamada notacin cientfica.

    Un nmero est representado en notacin cientfica cuando se expresa como el producto de un nmero comprendido entre 1 y 10, por una potencia de 10.

    Los exponentes positivos se usan para escribir nmeros muy grandes, y los exponentes negativos se utilizan para escribir nmeros muy pequeos.

    Cmo pasamos un nmero de Notacin decimal a Notacin Cientfica?

    Primero se escribe el primer dgito distinto de cero, seguidamente se coloca la coma y luego, el resto de los

    dgitos significativos que componen el nmero (o sea, distintos de cero).

    Luego lo multiplicamos por 10 elevado a la potencia que representa la cantidad de lugares que se corri la

    coma.

    Para determinar el signo del exponente, tenemos en cuenta la siguiente regla: Si el nmero original es

    mayor que uno, el exponente queda positivo. Si es menor que uno, el exponente queda negativo.

    Ej. Pasar a N.C. el nmero 18200

    1) 1,82

    2) 1,82.104

    3) 18200 > 1 exponente positivo

    Ej. Pasar a N.C. el nmero 0,0000564

    1) 5,64

    2) 5,64.10-5

    3) 0,0000564 < 1 exponente negativo

    4)

    Cmo se pasa un nmero de Notacin Cientfica a Notacin Decimal?

    CORRIE