Kaos ve FraktallarDoç. Dr. Kutlu MERİH

Kaos – Fraktal Tekniklerine Giriş

Kaos nedir? Neden Öklit

geometrisi finansal pazarlarda çalışmaz

Fraktaller Nedir? Pazar uygulamaları Fraktal finansal

analiz araçları Fraktal analiz ile

Trading

Kaos Nedir?

KAOS’un harika dünyasına hoş geldiniz. KAOS Nedir? Kaos, şimşek, iklim, deprem ve finansal

pazarlardır. Kısacası KAOS, ilginç davranış şemaları veren Non-

lineer dinamik sistemlerin hikayesidir. Teknik olarak KAOS, analizi güç non-lineer

dinamiklerin analizi için geliştirilen tekniklerdir. KAOS bir anlamda standart EKONOMETRİK

tekniklerin ötesine geçmektir. Bununla beraber bu terim bir çok durumda

KOMPLEKSİTE teriminin eşdeğeri gibi kullanılır.

KAOS ve KOMPLEKSİTE

Kompleksite sistemlerin KAOTİK davranış şemalarına geçerken oluşan yapıdır.

Sosyoteknik sistemlerde düzen ve kargaşa beraberce yaşanır ve bu durum bir ölçüde modellenebilir.

Bütün doğal ve sosyal sistemler özel, kamusal ve finansal kurumlar da dahil olmak üzere bu modele uygun davranırlar.

Pazar dinamiklerinin analizinde bu anlayış giderek önem kazanıyor.

Bu kompleks sistemleri tasarımlayan insanlar giderek bunların kendilerine özgü bir yaşam sürecine sahip olduklarını görürler.

Kompleks sistemlerin geri besleme mekanizmaları öngörülemez davranış şemalarının ortaya çıkmasına neden olur.

KAOS kuramı bu anlaşılması güç KOMPLEKS yapılanmanın davranışlarının analizi için gerekli olan tekniklerin geliştirilmesidir.

KAOS KURAMI

KAOS KURAMI olarak bilinen çok-disiplinli araştırma alanı, karmaşık fiziksel olayların davranışının anlaşılmasına yardımcı olur.

Aynı zamanda dinamik süreçlerin kavranması için yeni kavramlar ve teknikler oluşturur.

Kaos kuramı ile daha önce rasgele olduğu sanılan bazı olguların arkasında sistemik bir düzen olduğu anlaşılır.

Kaos bir anlamda arkasında deterministik bir yapı olan tesadüfiliktir.

Determinizm ve tesadüfilik birlikte olabilmesi kaotik analizin de özünü oluşturur.

Bu teknikler yardımı ile tesadüfi gibi görünen süreçler arkasındaki mekanistik sistemi keşfetmeye çalışırız.

Kaos örnekleri

Şimşek yıldırım Hava – iklim

hareketleri Depremler Finansal pazarlar Sosyal ve doğal

sistemler Kamusal ve

Finansal Kurumlar

KAOS Göze de hitap eder

Gerçekte doğal olarak algıladığımız iklim, deprem gibi bir çok olayın arkasında bu tür mekanizmalar bulunuyor.

Kaos kuramı bize daha önce sadece düzensizlik gibi algıladığımız olaylar içindeki düzeni kavramamızı sağlar.

Kaos Non-Lineer matematiğin alanına ilginç ve estetik bir şekilde girdi.

Bilgisayarlar yardımı ile oluşturulan fraktal imajları daha önce gözle görünmeyen ilginçlikleri sergiledi.

Kaos Kuramı Nedir?

Kaos Kuramı isminin yaptığı tesirin aksine Non-lineer dinamik sistemlerin tesadüfi görüntüsü veren davranışlarını analiz etmeye yarayan bir tekniktir.

Burada analiz edilen sistemler bir tür kendi davranışlarının sonuçlarından etkilenirler ve kendilerin özgü bir canlılık özelliği gösterirler.

Düzen ve tesadüfilik tahmin ve analiz edilebilir şekilde bir arada bulunabilir.

Kaos neden çok şaşırtıcıdır?

Öklit geometrisi lineer ve simetrik bir evren varsayar

Dağlar koni şeklinde değildir

Bulutlar küresel değildir

Şimşek düz hat takip etmez

Pazarlar dalgalanma gösterir

Geometride fraktal devrim

Benoit Mandelbrot, şimdi bir IBM uzmanı ve Yale matematik profesörü.

Akademik matematiğe ve bilimdeki yerleşik düzene meydan okuyarak özgün buluşlar ortaya koydu.

Bunu yaparak Einstein tarafından geliştirilen 4. boyut kuramını sadece ilerletmekle kalmadı, bu boyutlar arasında kesirli boyutların (fraktal boyutlar) bulunduğunu da önerdi.

Dördüncü boyut geometrisi olan – fraktal geometri – Mandelbrot tarafından nerdeyse tek başına yaratıldı.

Bu geometri şimdi doğanın gerçek geometrisi olarak biliniyor. Şimdi artık Öklit geometrisinin ilk üç boyuttaki yapay olgular ile

ilişkili olduğunu biliyoruz. Bu boyutlar hayali ve binlerce yıllık bir gelenek neredeyse çöpe

atıldı. Bu devrimi gerçekleştiren adam kimdi.

Benoit MANDELBROT

1924 Varşova doğumlu Mandelbrot bir Litvanya yahudi ailesinin çocuğu idi.

Ailesi poliitk gelişmelerden tedirgin olarak 1936 da Paris’e göç etti. Amcası Paris “Bourbak”i matematik çevresinin seçkin

matematikçilerinden biri idi. İlk okulda çok parlak olmayan Mandelbrot matematik alanında özel

bir yetenek sergiledi. Geometrik bir aklı vardı ve matematik sorunları çözülebilir resimler

şekline dönüştürebiliyordu. Böylece geleneksel yöntemleri öğrenmesine ve kullanmasına gerek kalmıyordu.

Bu yeteneklerini fazla belli etmeden matematik doktoru olmayı başardı ve amcasının matematik çevresinden ayrılarak ABD ye göç etti.

1958 yılında IBM's Research Center Yorktown Heights, New York biriminde bir araştırma uzmanı idi.

IBM bu genç dahiye ilgilendiği alanlarda serbestçe araştırma yapması olanağı tanıdı.

Sonuçlar bilimde yeni anlayışların doğması ve yeni ufukların açılması için verimli oldu.

Geniş ilgi alanı

MANDELBROT çok farklı uzmanlık alanlarına yoğun bir ilgi duydu. Linguistik, oyun teorisi, aeronotiks,mühendislik, ekonomi, fizyoloji,

coğrafya, astronomi ve fizik. Aynı zamanda bilimin tarihinin çoşkulu bir öğrencisi idi. Daha önemlisi elinin altında yüksek hızlı bir bilgisayar olan

dünyadaki ender matematikçilerden biri idi. Onun izlediği, ilgisiz alanları birleştiren bir bilim anlayışı zamanı

için anlaşılamaz olduğu gibi bağışlanamazdı da. Bütün bilimsel çevreler daha dar alanda yoğunlaşan bir

uzmanlaşma stratejisi izliyorlardı Onun geniş konulara duyduğu ilgi, kendisini bilimin

kurumsallaşmış çevrelerinde hoş karşılanmayan bir harika çocuk haline getirdi

Yine de pırıltılı aklı ve konferanslarında yarattığı etki onun bu çevrelere karşı IBM deki işinde tutunabilmesine olanak sağladı

MANDELBROT ve FRAKTAL

Benoit MANDELBROT ve diğer Kaotisyenler sayesinde, Doğa’nın şimdiye kadar gizli kalmış bazı özelliklerini ve davranışlarını kavrayabiliyoruz.

MANDELBROT bilgisayara dayalı yaptığı çalışmalar ile doğa’nın farklı bir geometri kullandığını ve doğada kesirli boyutlu şekiller (FRAKTALLAR) da olabileceğini ortaya koydu.

Pamuk fiyatlarında Kaos

Ekonomiye olan merakı yüzlerce yıl geriye doğru sağlıklı tutulmuş pamuk fiyatlarının istatistik dalgalanmalarının arkasında standart bir peryot düzeni olduğunu ortaya koydu

Fiyatların günlük hareketleri rasgele görünse de bilgisayar analizi genelde bir şemanın olduğunu ortaya koyuyordu

Ayrıca ortaya koyduğu şema alışılanın dışında bir gizlilik ve özgünlük yansıtıyordu

Mandelbrot günlük rasgele dalgalanmaların uzun dönemde standart bir peryot şemasına göre tekrarlandığını ortaya koydu

Uzun dönem dalgalanmalar ile kısa dönem dalgalanmalar arasında gizli bir simetri gözleniyordu.

Bu durum hem kendisini hem de ekonomistleri şaşırttı Kendisi de bu durumu tam olarak açıklayamıyor idi Sonradan ekonomik veriler içinde kendine benzer olarak kendini

tekrarlayan bir “FRACTAL” keşfettiğinin farkına vardı.

KAOS Geometrisi

Mandelbrot’un çok alanla ilgili araştırmaları nihayet basit bir matematik formül ile gösterilen önemli bir atılıma yol açtı:

Z(n+1) = z(n)^2 + C Bu formül artık “Mandelbrot Kümesi (M)” olarak

bilinmektedir. Karmaşık sayılı bir fonksiyon olan bu ardışımsal formül x-y

düzleminde oldukça ilginç bir grafiksel görünüm ortaya koymaktadır.

Bu formül ve ortaya koyduğu ilginç görünüm bilgisayarlar olmadan elde edilemezdi.

Bu nedenle 20. yüzyılın en önemli keşiflerinden sayılan bu gelişmenin IBM laboratuarlarından gerçekleşmesi tesadüfi değildir.

MANDELBROT Kümesi için iterasyon

Mandelbrot Kümesi kompleks fonksiyon tipindeki bir ardışımsal denkleme ait nokraların sıfır başlangıç nokrasından itibaren x-y düzleminde ardışımsal olarak farklı renklerde noktalanması ile elde ediliyor.

z -> z^2 + c

Formülü ile yaratılan kaotik düzen ancak noktaların bilgisayar hesabı ve grafiklemesi ile görülebilir hale gelebiliyor.

Bunun dışında bu formül el ile yapılan hesaplar için rasgele ve anlamsız noktalar üretecektir.

Görüntünün oluşabilmesi için milyonlarca noktanın hesaplanıp görüntülenmesi gerekmektedir.

Bu görüntü oluştuğunda Mandelbrot kümesinin gizli geometrik düzeni (önceki slayt) ortaya çıkıyor

Görüntünün düzeni sonsuz bir ölçekte kendini tekrarlayan benzer ve güzel birimlerden oluşuyor.

Bu durum sonraki hareketli slaytlarda görülebilir.

Mandelbrot kümeleriyleyle ilgili bazı gerçekler

Mandelbrot kümesi bir fraktaldır.

Mandelbrot kümesinin alanı bilinmiyor.

Mandelbrot kümesinin kenar uzunluğu sonsuzdur.

Kümenin kenarına yapışan ve kendisini tekrarlayan benzer şekiller sonsuz sayıdadır.

Mandelbrot kümesi bağlantılıdır.

M-Kümesi nasıl hesaplanır

Bir kompleks sayı al ve buna c de. z^2 + c fonksiyonunda yerine koy Şimdi fonksiyonu z=0 için değerlendir. 0^2 + c tekrar c

değerini verir. Şimdi bu değeri tekrar yerine koy c^2 + c Bundan çıkan değeri tekrar yerine koy (c^2 + c)^2 + c Böylece devam et Bir kompleks sayılar dizisi oluşacaktır Bu kompleks sayılar dizisi ( 0 yörüngesi olarak adlandırılır)

giderek daha büyük değerler alıp orijinden (0 dan) uzaklaşırsa) bu c değeri M-Kümesi içinde değildir.

Böyle değilse ve değerler sınırlı kalıyor veya sonlu bir değerde tekrarlanıyorsa c değeri M-Kümesi içindedir.

Mandelbrot Kümesi (set)

M-Kümesi testleri

c = 0 M-Kümesi içinde, 0-yörüngesi x^2 + 0 0 --> 0 --> 0 ... Buna göre 0 bir sabit nokta.

c = i M-Kümesi içinde, 0-yörüngesi x^2 + i 0 --> i --> -1+i --> -i --> -1+i --> -i ...., 0

yörüngesi 2 civarında peryodik olur ve sonsuza kaçmaz.

c = -i M-Kümesi içinde, 0-yörüngesi x^2 + i 0 --> -1+i --> -i --> -1+i --> -i ...., 0 yörüngesi 2

civarında peryodik olur ve sonsuza kaçmaz.

c = -2 M-Kümesi içinde 0-yörüngesi x^2 - 2 0 --> -2 --> 2 --> 2 --> ..., Yörünge 2 ile sabitleşir ve sonsuza kaçmaz

C = 1 M-Kümesi içinde değil C = 2 M-Kümesi içinde değil

M-Küme renklendirmesi

Şimdi M-Kümesini oluşturan c değerlerini belirli bir kurala göre boyayabiliriz.

Eğer c değeriM-Kümesi içinde kalıyorsa (yani karşı gelen yörünge sonsuza kaçmıyorsa) bu noktayı SİYAH boya

Şayet yörünge sonsuza kaçıyorsa c değerini farklı bir renge boya

Renk seçimi zevke bağlıdır fakat genel olarak aşağıdaki strateji uygulanır.

KIRMIZI noktalar en hızlı kaçanlardır. Burada x^2+c iterasyonuun büyük değerler alması için az sayıda adım yeterli olur. Kırmızı noktaları sırası ile PORTAKAL, SARI,YEŞİL, MAVİ, ÇİVİT, MOR renkler izler. Bunlar aslında ışık spektrumundaki renk dizilişini yansıtır ve M-Kümesinde olmayan noktaların mertebesini karakterize eder. Burada önemli olan KIRMIZI en hızlı kaçan noktayı gösterirken MOR noktalar merkezden uzaklaşmak için daha fazla iterasyon gerektirir.

Mandelbrot Kümesi

Mandelbrot set Tanımı: x-> x^2+c eşitliğinde sonsuz kaçmayan c değerleri bir Mandelbrot kümesi (M) oluşturur.

Basit bir hesaplama ile c = 0, -1, -1.1, -1.3, -1.38, ve I, M içinde iken, c = 1 ve c = 2i değildir.

Bu noktada doğal soru: Neden x^2+c denkleminin 0 yörüngesi önemli olsun? Neden i yörüngesi veya 2+3i yörüngesi, veya herhangi diğer bir kompleks sayı değil?

0 yörüngesini seçmemizin temel bir nedeni var. Çünkü bu yörünge x^2+c altındaki diğer yörüngelerin kaderi konusunda da bilgi veriyor.

M-Kümesi 2 yarıçaplı daire içinde

Şimdi iki nokta aydınlatılmalı: Şekil, M kümesi için sadece bir yaklaşım. Bütün c sayılarının M kümesine aidiyetini test edebilmek olası değil. Bunu sadece sonlu sayıda nokta için yapabiliriz.

M kümesinin sınırları civarındaki bazı noktalar çok büyük iterasyon adımlarından sonra kaçış yapıyor.

İknci soru: x^2 + c altında 0 yörüngesinin sonsuza kaçtığını nereden anlıyoruz? Bunun için kolay bir kriterimiz var.

Kaçış Kriteri: |c| küçük veya eşit 2 olsun. Şayet x^2 + c altındaki 0 yörüngesi orijin merkezli 2 yarıçaplı dairenin dışında kalıyorsa kesin bir şekilde sonsuza kaçar. Bu sadece belirli bir dairenin içi için geçerli gibi görünüyorsa da bütün M kümesi bu dairenin içinde kaldığından sadece buradaki c değerler için hesap yapmak yeterli olmaktadır.

3 Balon peryotları

Dikkat edilirse Mandelbrot kümesi birbirine benzeyen bir çok küçük şekilden oluşur.

Bunlar gerçekte birbirinden farklı şekilerdedir.

Merkezdeki ana kardioide bağlı olan şekillere ana balon denir

Bu balonlara sonsuz yeni balon ve antenler bağlanmış gibidir.

Ana balona bağlayan her anten üzerinde de balondan balona değişen şekiller görülür.

Balonların peryotları

Kolayca görüldüğü gibi M kümesi ana eksen etrafında simetriktir. Kuadratik yapıdan dolayı kompleks eşlenik c sayıları da küme içindedir.

Ayrıca ana balonların da bazı peryodları olduğu gözleniyor.

Aşağıdaki tablo bize hangi balonların hangi peryotlarda yer aldığını gösteriyor.

Balon peryot kademeleri

Figure 5. Periods of the primary bulbs in M

Ayrıca daha dikkatli bakılırsa bazı balonlardan çıkan antenlerin sayısı ile balonların peryodu arasında da bir ilişki olduğu görülüyor.

Buna göre Mandelbrot kümesi bir iç mantığa göre gelişen bir canlı organizma gibi davranıyor.

Neden Fraktal Geometri?

Peki, FRAKTAL NEDİR?? Bir düzensiz geometrik şekil, bütün ölçeklerde

kendini tekrarlıyor, Peki, Fraktallar neden önemli? Doğal varlıklar ve canlılar FRAKTAL YAPILI Doğa Öklit geometrisi kullanmıyor Kaotik Yörüngeler (strange attractors) fraktal

yapılı Bir zaman serisinin (borsa endeksi gibi) fraktal

özelliklerini incelemek ilginç bilgiler sağlıyor.

Cantor Tozu

Bir boyutlu bir doğru parçası üçe bölünür ve orta kısım yok sayılır.

Bu yöntem geri kalan parçalara da uygulanır.

Sonsuz uygulama sonunda Ortaya toz haline gelmiş

bir olgu çıkar. Bunun boyutu artık 1

değildir. Bu olguya “Cantor Tozu”

adı verilir.

Koch Kartanesi

Süleyman Yıldızına şekildeki süreci sonsuz kere uygulayalım. Ortaya çıkan şekle Koch Kartanesi (Adası) adı verilir. Bunun sahili sonsuz uzunluktadır ve boyutu 1 den fazladır. Her yarım ada kendisine benzeyen başka yarımadalardan oluşur. Bu kendine-benzeyen birimlere FRAKTAL adı veriyoruz. Bu kendine-benzeyen ve kendini tekrarlayan birimlere finansal

pazarlarda da rastlanıyor.

Pürüzlük Endeksi Olarak Kaos

Mandlebrot, İngiltere’nin düzensiz kaotik sahiilerinin uzunluğunu fraktal ölçme teknikleri kullanarak belirledi.

Koch kartanesi sonsuz incelikteki fraktallerin ölçme hassasiyetini nasıl artırdığını gösteriyor.

Mandlebrot bu non-lineer ölçme tekniğini pamuk fiyatlarındaki değişimlere de uyguladı.

Böylece finansal pazarlara fraktal tekniklerin uygulanması dönemi başlamış oldu.

Fraktal kendini tekrarlar

Bir Fractal geometrik bir şekil olarak yalnızca düzensiz bir biçim değil bu düzensiz şekiller içinde kendini tekrarlayan gizli bir düzeni de ortaya koymaktadır.

Düzensiz şekiller farklı ölçeklerde ve düzeylerde kendilerini tekrarlamaktadır.

Şeklin ayrıntı bir parçası incelendiğinde, Fraktalın genel biçiminin bazen benzer bazen de tam olarak tekrarlandığı görülüyor.

Doğa Öklit Geometrisi kullanmıyor

Fraktal bu anlamda alındığında, gerçekte doğanın bizim Öklit geometrimize göre değil de kendi fraktal geometrisine göre çalıştığını daha bir yakından kavrayabiliyoruz.

Gerçekte doğanın hangi geometri ile ve hangi boyutlarda çalıştığının tam olarak bilemediğimizin farkına varıyoruz.

Yapraklara, çiçeklere, ormana, organlara, dokulara baktığımızda ise fraktal bir geometri açıkça kendini göstermektedir.

Burada görevimiz doğanın düzeni içindeki fraktal oluşum mantığını daha ayrıntılı bir şekilde gözlemek ve ortaya koymak olarak belirginleşiyor.

Doğada fraktallar

Kendine benzerlik ve ardışık şekillerin ölçeklenmesi Kaos kanunlarını kavrayabilmemiz için bize yardımcı olur.

Doğaya baktığımızda çeşitli ölçeklerde bu kendine benzerlikle karşılaşırız.

Her kar tanesi, her şimşek, her ağaç, her dal, karnabahar, brokkoli, damarlarımız ve kanımız, ciğerlerimiz, bize fraktal örnekleri sunar.

İnsan organizmasında fraktallar

Fractal formlar insan vücudunda da gözlenebiliyor. En iyi bilinen örnekler memelilerin kan dolaşımı ve damar

sistemlerinde görülen fraktallar. İnsan akciğeri 15 mertebesinde ardışık dallanma gösteriyor

ve bir ciğer için bir futbol sahası genişliğinde doku kendi üstüne katlanıyor.

Biyolojik alandaki araştırmalar daha yeni başlıyor. Beyin yapısı ve görme korteksi de ilginç fraktal yapılar

sergiliyor. Burada hegzagon yapılı fraktallar algılama işlevini

gerçekleştiriyor. Sağlıklı kalp atışlarının da kaotik olduğu biliniyor. Şayet

atışlar düzgün peryodik hale gelirse kalp krizi riski var.