fraktal (łac

33
Ciekawe fraktale / atraktory (np. z uzyciem darmowej aplikacji graficznej typu ChaosPro). Def. Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym powiększeniu). Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują określać fraktal jako zbiór, który: ma nietrywialną strukturę w każdej skali, struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej geometrii euklidesowej, jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to przybliżonym lub stochastycznym, jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar topologiczny, ma względnie prostą definicję rekurencyjną, ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd. Proces stochastyczny to funkcja losowa, czyli funkcja, której wartości leżą w przestrzeni zdarzeń losowych. Innymi słowy, pewnej wielkości (jakiemuś człowiekowi, liczbie, chwili czasu, punktowi płaszczyzny) przypisane jest zdarzenie losowe (wzrost, losowo wybrana liczba, wartość waluty wg notowań giełdowych, liczba rzeczywista) Dokładniej, fraktalem nazwiemy zbiór który posiada wszystkie te charakterystyki albo przynajmniej ich większość. Na przykład linia prosta na płaszczyźnie jest formalnie samo-podobna, ale brak jej pozostałych cech i zwyczajowo nie uważa się jej za fraktal. Z drugiej strony, zbiór Mandelbrota ma wymiar Hausdorffa równy 2, taki sam jak jego wymiar topologiczny. Jednak pozostałe cechy wskazują, że jest to fraktal. Historia Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki przez francuskiego informatyka i matematyka polskiego pochodzenia Benoit Mandelbrota w latach siedemdziesiątych XX w. Odkryty przez niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa, postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary, mająca swoje początki w pracach Constantina Caratheodory'ego i Felixa Hausdorffa. Szczególnymi fraktalami – nie nazywając ich po imieniu – zajmowali się Georg Cantor, Giuseppe Peano, Wacław Sierpiński, Paul Lévy a także Donald Knuth. Szczególny wkład w rozwój geometrycznej teorii miary wniósł Abram Samoilovitch Besicovitch, który skonstruował również wiele konkretnych fraktali o paradoksalnych własnościach. Również zbiór Julii, ściśle związany ze zbiorem Mandelbrota, był badany w latach 20. zeszłego wieku. Mandelbrot używając komputera do wizualizacji uczynił z fraktali przedmiot intensywnych badań. O ważności dziedziny

Upload: hoangnhu

Post on 11-Jan-2017

236 views

Category:

Documents


2 download

TRANSCRIPT

Ciekawe fraktale / atraktory (np. z uzyciem darmowej aplikacji graficznej typu ChaosPro).

Def. Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym powiększeniu). Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują określać fraktal jako zbiór, który:

ma nietrywialną strukturę w każdej skali, struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej geometrii euklidesowej, jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to przybliżonym lub stochastycznym, jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar topologiczny, ma względnie prostą definicję rekurencyjną, ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Proces stochastyczny to funkcja losowa, czyli funkcja, której wartości leżą w przestrzeni zdarzeń losowych. Innymi słowy, pewnej wielkości (jakiemuś człowiekowi, liczbie, chwili czasu, punktowi płaszczyzny) przypisane jest zdarzenie losowe (wzrost, losowo wybrana liczba, wartość waluty wg notowań giełdowych, liczba rzeczywista)

Dokładniej, fraktalem nazwiemy zbiór który posiada wszystkie te charakterystyki albo przynajmniej ich większość. Na przykład linia prosta na płaszczyźnie jest formalnie samo-podobna, ale brak jej pozostałych cech i zwyczajowo nie uważa się jej za fraktal. Z drugiej strony, zbiór Mandelbrota ma wymiar Hausdorffa równy 2, taki sam jak jego wymiar topologiczny. Jednak pozostałe cechy wskazują, że jest to fraktal.

Historia

Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki przez francuskiego informatyka i matematyka polskiego pochodzenia Benoit Mandelbrota w latach siedemdziesiątych XX w. Odkryty przez niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa, postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary, mająca swoje początki w pracach Constantina Caratheodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Szczególnymi fraktalami – nie nazywając ich po imieniu – zajmowali się Georg Cantor, Giuseppe Peano, Wacław Sierpiński, Paul Lévy a także Donald Knuth. Szczególny wkład w rozwój geometrycznej teorii miary wniósł Abram Samoilovitch Besicovitch, który skonstruował również wiele konkretnych fraktali o paradoksalnych własnościach. Również zbiór Julii, ściśle związany ze zbiorem Mandelbrota, był badany w latach 20. zeszłego wieku. Mandelbrot używając komputera do wizualizacji uczynił z fraktali przedmiot intensywnych badań. O ważności dziedziny zadecydowały zastosowania w różnych dziedzinach (zwłaszcza poza matematyką), a w szczególności istnienie licznych odpowiedników w naturze.

Występowanie i użycie fraktali

Rozważ amazoński system rzeczny. Metoda zliczającego pudełka może zostać użyta, aby określić jego fraktalny wymiar, dając Db=1.85. Dla porównania fraktalny wymiar Nilu wynosi około 1.4. Rozgałęzienie drzewa wygląda jak to rzeki i jego fraktalny wymiar zawiera się między 1.3 i 1.8, ze średnią 1.5. Kształt rozładowań błyskawicy jest podobny do rzek. Wymiar fraktalny w tym przypadku wynosi około 1.7. Rozważ prześwit rozmieszczenia naczyń krwionośnych w skrzydłach nietoperza. Jeśli N(r) jest liczbą naczyń grubszych niż r,

wtedy .Dany zmienno-czasowy sygnał można rozważyć jako widmo mocy, to jest, transformatę Fouriera mocy. Widmo mocy pokazuje względną wielkość różnych komponentów częstotliwości w sygnale. Stwierdzono doświadczalnie, że zmienność (albo szum) w wielu sztucznych i naturalnych układach ma widmo mocy postaci f -a, gdzie a~1. Ogólnie odnosi się to do prawa "1/f". Zauważ, że jeśli a=0, wtedy wszystkie częstotliwości miałyby tę samą wielkość (wahania są przypadkowe) i byłby szum biały. Dla a bliskiego jedynki, zaobserwowano niższe częstotliwości dominujące i "różowy szum". Szum 1/f został zaobserwowany w

obwodach prądu elektrycznego, w zmienności napięcia komórek nerwowych, uderzeń serca a nawet w muzyce. To powszechne zjawisko, które nie może być spowodowane przez przypadkowe wahania, które dają początek białemu szumowi, domaga się prostego wytłumaczenia, ale nie ma aktualnie żadnego (widać jednakże późniejszą uchwałę samozorganizowanej krytyki). Szum 1/f jest oczywiście fraktalem z powodu jego

samopodobieństwa. W końcu, jeśli , jest "brązowy szum", który dla sygnałów audio brzmi tępo i nie jest zaobserwowany w naturze. A zatem wydaje się, że naturalnie występujący i interesujący "szum 1/f" jest rozważany między przypadkowością białego szumu i nieostrością brązowego szumu. Spójrz na obraz rozgałęzionych przewodów powietrza w płucu, rozgałęzienie naczyń krwionośnych w ludzkim ciele, albo fałdy na powierzchni mózgu.

Dlaczego natura powinna projektować taką fraktalną strukturę? Przypomnijmy dla przykładu, że krzywa Kocha może zamieścić długie długości w małych obszarach. W ten sposób natura widocznie maksymalizuje funkcjonalną efektywność, wykorzystując minimalną przestrzeń przez zastosowanie struktur fraktalnych. Obrazy fraktali zostały użyte przy tworzeniu obrazu w filmach science-fiction (np. Gwiezdne Wojny), jak również przy kompresji danych.

Wykresy pokazane poniżej przedstawiają rzeczywisty wskaźnik zasobów S&P 500 dla jednego roku, pięciu lat i dziesięciu lat rozpiętości. Czy cykle czasu wyglądają samopodobnie do siebie?

Te dwa ostatnie przykłady pokazują, że szeregi liczbowe w finansach są generowane przez skomplikowane procesy, które są widocznie samopodobne w wielu skalach.

Własności

Za jedną z cech charakterystycznych fraktala uważa się samopodobieństwo, to znaczy podobieństwo fraktala do jego części. Co więcej, zbiory fraktalne mogą być samoafiniczne, tj. część zbioru może być obrazem całości przez pewne przekształcenie afiniczne. Przekształcenie afiniczne płaszczyzny lub przestrzeni, pokrewieństwo, powinowactwo: każde różnowartościowe przekształcenie geometryczne, które wszystkie proste zawarte w dziedzinie tego odwzorowania przekształca na proste. Dla figur samopodobnych można określić wielkość zwaną wymiarem samopodobieństwa lub wymiarem pudełkowym. Są to wielkości będące uogólnieniem klasycznych definicji wymiaru.

Wiadomo, że stosunek pól płaskich (wymiaru 2) figur podobnych równa się kwadratowi skali ich podobieństwa. Na przykład figura podobna do innej w skali 3 ma dziewięć razy większe pole od tamtej (9 = 32 albo 2 = log39). W przestrzeni stosunek objętości brył (trójwymiarowych) podobnych jest sześcianem skali ich podobieństwa; bryła podobna do innej w skali 2 ma osiem razy większą objętość od tamtej (8 = 23 albo 3 = log28). Wymiar samopodobieństwa figury daje się zatem określić jako logarytm o podstawie równej skali podobieństwa i liczbie logarytmowej wskazującej ile razy większa od figury wyjściowej (jaką częścią figury wyjściowej) jest figura podobna do niej w tej skali. Dla fraktali liczba ta może nie być całkowita.

Na przykład zbiór Cantora jest podobny do swoich dwu części w skali 3; wymiar Hausdorffa zbioru Cantora wynosi d = log 2/log 3=0,630929754... Analogicznie trójkąt Sierpińskiego jest podobny do swoich trzech części w skali 2, a jego wymiar Hausdorffa jest równy d = log 3/log 2 =1,584962501... Dywan Sierpińskiego jest podobny do swoich ośmiu części w skali 3, zatem jego wymiar Hausdorffa to d = log 8/log 3 =1,892789261...

Ogólniej, jeżeli fraktal składa się z N części, które łączą się między sobą na obszarze miary Lebesgue'a zero i są podobne w skali r do całego fraktala to wymiar Hausdorffa fraktala będzie równy log N/log r. Jeszcze ogólniej,

jeśli założymy, że każda część jest podobna do całości w innej skali ri, i=1,2,...,N, to wymiar Hausdorffa jest rozwiązaniem poniższego równania z niewiadomą s

Niektóre fraktale są zbiorami o mierze Lebesgue'a równej zero. Dotyczy to fraktali klasycznych, np. trójkąt Sierpińskiego i zbiór Cantora mają miarę Lebesgue'a równą zero. Ogólnie każdy fraktal dla którego wymiar Hausdorffa jest ostro większy od wymiar topologicznego będzie mieć tę własność. Z kolei zbiór Mandelbrota i niektóre zbiory Julii mają dodatnie miary Lebesgue'a (na przykład miara Lebesgue'a zbioru Mandelbrota wynosi ok. 1,5).

Generowanie fraktali

Atraktory IFS (iterowane układy funkcyjne)

Najprostszą metodą tworzenia fraktali jest wykorzystanie zbioru przekształceń afinicznych będących przekształceniami zwężającymi (kontrakcjami). Transformując dowolny, niepusty zbiór S zgodnie z regułą (tworząc ciąg zbiorów):

S0 = S

W granicy otrzymujemy:

,

atraktor układu, który w szczególności może być fraktalem. Zbiór nazywamy w tym przypadku systemem przekształceń iterowanych (IFS), zaś otrzymany w powyższej granicy fraktal jest atraktorem tego systemu. Jego istnienie wynika z twierdzenia Banacha o punkcie stałym odwzorowania zwężającego. W ten sposób można wygenerować m.in. następujące fraktale: zbiór Cantora, krzywa Kocha, smok Heighwaya, trójkąt Sierpińskiego, kostka Mengera, paproć Barnsleya.

W praktyce aby wygenerować fraktal wybieramy dowolny punkt x i transformujemy go kilka razy za każdym razem losując odpowiednio przekształcenie Fi:

Procedurę tę powtarzamy np. kilka tysięcy razy. W szczególnych przypadkach dla efektu wizualnego może być istotny sposób losowania przekształceń. Np. dla paproci Barnsleya przekształcenia Fi, i=1..4 losuje się z częstościami 85%, 7%, 7%, 1% odpowiednio.

Paproć Barnsleya - fraktal znany ze względu na uderzające podobieństwo do liści paproci występujących w naturze, spopularyzowany przez Michaela Barnsleya. Jest to przykład złożonego obiektu, który może być opisany za pomocą zaledwie kilku liczb (zob. Barnsley (1993), str. 86) jako atraktor następującego systemu funkcji zwężających IFS:

f1(x,y) = (0.85x + 0.04y, − 0.04x + 0.85x + 1.6)f2(x,y) = ( − 0.15x + 0.28y,0.26x + 0.24y + 0.44)

f3(x,y) = (0.20x − 0.26y,0.23x + 0.22y + 1.6)f4(x,y) = (0,0.16y).

IFS (z ang. iterated function system) zwany też systemem funcji iterowanych, systemem iterowanych kontrakcji albo przekształceń zwężających to rodzina funkcji za pomocą której konstruuje się fraktale samopodobne. W matematyce terminu tego używa się także na określenie samej metody konstrukcji (przedstawionej poniżej). Opis w obecnej postaci został podany przez Hutchinsona (1981). IFS znajduje zastosowanie w zagadnieniach kompresji danych, zwłaszcza graficznych.

Def. Załóżmy dla pewnego ustalonego , m>2, mamy rodzinę funkcji Fi, i=1,2,..m, określoną na

pewnym podzbiorze . Załóżmy ponadto że każda funkcja jest kontrakcją o skali ri<1, tzn.

Istnieje wówczas dokładnie jeden niepusty zbiór zwarty K taki, że

.

Zbiór ten nazywamy atraktorem danego IFS, często - choć nie zawsze - jest to interesujący fraktal. Powyższe zaś twierdzenie dostarczające metody konstrukcji fraktali określa się ogólnie jako IFS. W żargonie IFS oznacza często także samą rodzinę funkcji Fi.

Metoda iteracyjna: Jeżeli zdefiniujemy teraz przekształcenie F, które dany zbiór A zmienia w sumę obrazów przez Fi, tzn.

to wówczas kolejne obrazy F(A), F(F(A)), F(F(F(A))... będą coraz bardziej przypominać atraktor, niezależnie od tego od jakiego zbioru początkowego A zaczniemy. Dokładniej,

w metryce Hausdorffa. Metryka ta jest zdefiniowana następująco. Dla dwu zbiorów A i B określamy

,

gdzie Aδ,Bδ oznaczają δ-otoczki zbiorów (otoczki "grubości" δ).

Własność ta jest podstawą wizualizacji fraktali otrzymywanych przez IFS.

Warunek zbioru otwartego i wymiar Hausdorffa

Mówimy, że IFS spełnia warunek zbioru otwartego jeżeli istnieje (niepusty) otwarty zbiór U taki, że

Jeżeli IFS spełnia warunek zbioru otwartego to wymiar Hausdorffa atraktora jest jedynym rozwiązaniem równania (z niewiadomą s)

Pojęcie wymiaru

Wymiar topologiczny

W życiu codziennym oraz w geometrii klasycznej, posługujemy się tzw. wymiarem topologicznym. Jako jego definicję, najczęściej podaje się, że dowolny wymiar d należący do N, oznacza ilość liczb potrzebnych do opisania współrzędnych punktu w przestrzeni d-wymiarowej. Z tej definicji jasno wynika, że punkt ma wymiar 0, odcinek i okrąg mają wymiar 1, kwadrat, koło są dwu-wymiarowe, natomiast sześcian czy ostrosłup trójwymiarowe.

Wymiar Hausdorffa-Besicovitcha

Przeanalizujmy odcinek a o jednostkowej długości. Teraz przypatrzmy się odcinkowi b, który jest podobny do odcinka a w skali 2. Można zatem powiedzieć, że odcinek b składa się z dwóch odcinków a, czyli inaczej, że ma dwa fragmenty identyczne jak oryginalny odcinek a.

Teraz rozważmy kwadrat o boku a. Tak samo patrzymy na drugi kwadrat o boku b, podobny do poprzedniego także w skali 2. Tym razem jednak, powstały kwadrat składa się z czterech kwadratów identycznych jak kwadrat a.

Jako trzeci przykład zbadamy sześcian. Po konstrukcji podobnego sześcianu widzimy, że ten zawiera już osiem sześcianów identycznych jak pierwotny.

Powszechnie wiemy, że stosunek pól powierzchni dwóch figur podobnych jest równy kwadratowi ich skali podobieństwa, a stosunek objętości tych figur jest równy sześcianowi skali podobieństwa, co można zapisać jako: N=s2 oraz N=s3, gdzie N jest stosunkiem pól/objętości a s jest skalą podobieństwa. Ten wzór można zapisać w ogólnej postaci: N=sd gdzie dodatkowo d jest wymiarem. Wyprowadzając z tego wzoru d, orzymujemy ostateczną wersję wzoru wykorzystywanego do obliczania wymiaru Hausdorffa.

lub

Wcześniej przytoczyłam trzy przykłady, dla których teraz chciałabym zaprezentować ten wzór.

We wszystkich przypadkach skala podobieństwa była równa 2 (s=2). W pierwszym przypadku rozważaliśmy odcinek, a więc obiekt jednowymiarowy. (d=1) Ilość identycznych fragmentów była równa 2 (N=2). Zatem 2=21

- równość zostaje zachowana. W drugim przypadku rozważamy obiekt dwuwymiarowy (d=2), identyczne fragmenty były 4 (N=4). 4=22 - Znów równanie jest prawdziwe. Sześcian jest figurą trójwymiarową (s=3), identycznych fragmentów było 8 (N=8), zatem 8=23. Teraz spróbujmy wykorzystać ten wzór dla obliczenia wymiaru jakiegoś fraktala. Zbiór Cantora - rysujemy najpierw jego podstawową wersję, a następnie szukamy takiej skali, w której znajdą się co najmniej dwie kopie pierwowzoru. W naszym przypadku jest to skala równa trzy (s=3) - zbiór Cantora powtórzył się po raz drugi (N=2). Teraz tylko obliczamy d=log32, d=0,63... Jak się okazuje, wymiar fraktalny zazwyczaj nie jest liczbą naturalną. Wyjątkiem jest między innymi piramida Sierpińskiego. W skali dwa (s=2), pierwotna piramida powtarza się cztery razy (N=4), więc d jest równe 2.

Wymiar Minkowskiego-Bouliganda

Wymiar Minkowskiewgo przydaje nam się, w momencie, gdy nie możemy ocenić skali podobieństwa badanego obiektu. Jest on w większości przypadków zgodny (to znaczy, że daje takie same rezultaty) z omawianymi wcześniej wymiarami: topologicznym i Hausdorffa. Czasem jednak, jest on większy od innych wymiarów tego samego obiektu. Wymiar ten zwany jest także wymiarem pudełkowym. (Jest oparty na koncepcji zliczania ilości tzw. ,,pudełek", którymi pokrywa się badany zbiór.) Jest on przydatniejszy, w momencie gdy mamy do czynienia z konkretnym problemem. Ogólna definicja tego wymiaru brzmi: najmniejsza liczba zbiorów o maksymalnej średnicy e pokrywających dany ograniczony zbiór.

Badając wymiar Minkowskiego, szukamy zależności pomiędzy ilością zbiorów potrzebnych do pokrycia danego zbioru ( Ne (F) ), a odcinkiem miarowym (e). Licząc wymiar dla zadanej dokładności przyjmujemy stałą wartość e. Jeśli potrzebujemy dokładniejszych wyników, musimy założyć, że e dąży do zera. Tak jak przy wymiarze Hausdorffa analizowaliśmy trzy figury, tak zrobimy i teraz. Po zwiększeniu długości odcinka dwukrotnie potrzebujemy dwóch odcinków o pierwotnej długości, aby go całkowicie pokryć (2=12).W przypadku kwadratu potrzebujemy czterech kwadratów (4=22), a przy sześcianie ośmiu (8=23). Zauważmy zależność

gdzie D jest wymiarem Minkowskiego, jest liczbą zbiorów potrzebnych do pokrycia zbioru F, e jest dokładnością pomiaru (czyli maksymalną średnicą zbioru) a c jest stałą.Aby wyznaczyć D, logarytmujemy obie strony:

i ostatecznie wyznaczamy D:

Jest to wzór, służący do pomiaru dla zadanej dokładności, z czego wynika, że otrzymane D będzie tylko przybliżone. Aby otrzymać dokładny wynik, należy skorzystać z definicji granicy.

Drugi składnik nie zależy od e, więc możemy go opuścić,

Jeśli ta granica istnieje, to jest ona wymiarem Minkowskiego.Podaną wyżej definicję możemy przekształcać dla własnych potrzeb, tworząc równoważne definicje. Możemy się posługiwać zbiorem o typowo matematycznej definicji (bez ustalonego kształtu) a także zbiorem konkretnym, w interpretacji graficznej przedstawianym jako figura geometryczna, lub dowolna zamknięta krzywa lub łamana.W tym momencie możemy już skorzystać w jednej z kilku najpopularniejszych równoważnych definicji, ułatwiających skonstruowanie nam pokrycia zbioru:

1. najmniejsza liczba zbiorów o średnicy e potrzebnych do pokrycia danego zbioru2. najmniejsza liczba kół o promieniu e potrzebnych do pokrycia danego zbioru3. najmniejsza liczba kwadratów o boku e potrzebnych do pokrycia danego zbioru4. najmniejsza liczba kratek o boku e (siatki) potrzebnych do nałożenia siatki

Oczywiście, możemy także stworzyć równoważne definicje dla potrzebnej nam liczby wymiarów. Dla praktycznych zastosowań, najważniejsza jest dla nas definicja piąta. Umożliwia nam ona badanie wymiaru obiektów niekoniecznie będących fraktalami możliwych do przedstawienia na płaszczyźnie. Oczywiście, jeśli badamy obiekt trójwymiarowy, to nasza "kratka" będzie także trójwymiarowa. Tej metody używa się bardzo często do analizy zdjęć i map. Jako przykład zastosowania postanowiłam obliczyć wymiar granic Polski.

Wygodnym sposobem obliczania wymiaru dwuwymiarowego zbioru A jest przedstawienie go na siatce, której oczka mają rozmiar a następnie zliczanie, ile oczek siatki potrzeba do pokrycia zbioru. Niemniej w przykładzie niektórych fraktali wystarczy wziąć pod uwagę sposób, w jaki są one tworzone, sprowadza się to wtedy do wymiaru samopodobieństwa

Przykładowo, zbiór Cantora powstaje w wyniku iteracji. Na każdym jej kroku zbiór dzieli się na dwa mniejsze, a każdy z tych nowo utworzonych zbiorów jest trzykrotnie mniejszy, niż zbioru z poprzedniego etapu procesu.

Stąd, jeśli przyjmiemy (gdzie n oznacza etap konstrukcji zbioru), to otrzymamy

Możemy więc napisać

Widać stąd, że wymiar zbioru Cantora nie jest liczbą całkowitą

Zbiory Julii i Mandelbrota

Zbiory takie jak zbiór Mandelbrota, zbiór Julii czy "płonący statek" są podzbiorami płaszczyzny zespolonej. Dla każdego punktu p określa się pewien ciąg zn(p). Od zbieżności tego ciągu zależy czy punkt należy do zbioru (fraktala). Ciąg określa się wzorem rekurencyjnym:

z0(p) = f(p)zn + 1(p) = g(zn)

Od postaci funkcji f i g zależy rodzaj fraktala.

Za punkty należące do danego zbioru uznaje się te, dla których:

Przykłady

zbiór Mandelbrota: zbiór Julii zależy dodatkowo od ustalonego parametru c (dla każdego c otrzymujemy inny zbiór):

.

"płonący statek": .

W praktyce liczenie ogranicza się do kilkudziesięciu iteracji lub do momentu gdy | zn | > 2. Uzyskiwane kolory w obrazach fraktali (zwłaszcza zbiorów Julii) realizuje się np. zliczając, jak szybko poszczególne punkty rozbiegają się do nieskończoności i przydzielając im w zależności od tego różne barwy.

Przykłady

"Klasycznymi fraktalami", badanymi (czasem długo) przed powstaniem samego pojęcia fraktal, są m.in.:

zbiór Cantora i związane z nim "diabelskie schody"; krzywe: funkcja Weierstrassa, krzywa Kocha, krzywa Peano, krzywa C Levy'ego; trójkąt Sierpińskiego, dywan Sierpińskiego, w oryginale opisane przez autora jako krzywe na

płaszczyznie, fakt "niewidoczny" we współczesnych konstrukcjach. Uogólnienie "trójwymiarowe" dywanu to kostka Mengera;

smok Heighwaya zbiór Julii

Inne ważne przykłady

Fraktale otrzymywane w schemacie IFS (iterated function system), zob. niżej. bifurkacje Feigenbauma dziwne atraktory w układach dynamicznych fraktale Liapunowa zbiór Mandelbrota

Zbiór Cantora

Klasyczny zbiór Cantora

Kolejne kroki konstrukcji zbioru Cantora

Klasyczny zbiór Cantora to podzbiór przedziału domkniętego C0: = [0,1] liczb rzeczywistych , skonstruowany w następujący sposób (definicja indukcyjna): w pierwszej iteracji przedział [0,1] dzielimy na trzy równe części i wyrzucamy część środkową (otwartą). Pozostaje zbiór

W drugim kroku tę samą operację (dzielenia i wyrzucania) wykonujemy na dwóch pozostałych częściach. W kroku n-tym operację wykonujemy na wszystkich otrzymanych do tej pory 2n odcinkach o długości 1 / 3n.

Trójkowym zbiorem Cantora nazywa się część wspólną ciągu wszystkich tych przybliżeń:

.

Można też zdefiniować go jako zbiór takich liczb z przedziału [0,1], dla których istnieje rozwinięcie w układzie trójkowym, w którym nigdzie po przecinku nie występuje jedynka, albo występuje jedna i jest ona równocześnie ostatnią cyfrą tego rozwinięcia (ściślej: ostatnią różną od zera).

Topologicznym zbiorem Cantora nazywa się każdą przestrzeń topologiczną homeomorficzną z trójkowym zbiorem Cantora.

Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.

Wymiar fraktalny

Wymiar fraktalny klasycznego zbioru Cantora wynosi ln 2/ln 3 = 0.630929754...

Wymiar fraktalny klasycznego zbioru Cantora wynosi ln 2/ln 3 = 0.630929754...

Podstawowe właściwości

Trójkowy zbiór Cantora:

jest przestrzenią zwartą, w sobie gęstą i na [0,1] nigdziegęstą.

ma bazę ze zbiorów domknięto otwartych i takich, że . jest nieprzeliczalny.

Zbiór Cantora w szerszym sensie

Topologicznie zbiór Cantora to każda przestrzeń zwarta, metryczna, której składowe spójnośc składają się z jednego punktu i której każdy punkt jest punktem skupienia. Ważne jest twierdzenie, które mówi, że przestrzeń jest zwarta i metryczna wtedy i tylko wtedy, kiedy jest ciągłym obrazem zbioru Cantora.

Zbiór Cantora jest ważny również w teorii miary - klasyczny zbiór Cantora jest mianowicie najprostszym przykładem zbioru mocy continuum o mierze Lebesgue'a równej zeru. Nie wszystkie zbiory Cantora mają jednak tę własność - poprzez odpowiednie zmiany w konstrukcji (wyrzucanie odpowiednio mniejszych odcinków) możemy skonstruować zbiór Cantora dowolnej skończonej miary.

Diabelskie schody

W matematyce nazwą diabelskie schody określa się funkcję zdefiniowaną na odcinku [a,b], która

jest ciągła na [a,b] jest niemalejąca na tym odcinku jest prawie wszędzie różniczkowalna i jej pochodna jest równa 0.

Typowym i najbardziej znanym przykładem takiej funkcji jest

gdzie jest -wymiarową miarą Hausdorffa a C jest zbiorem Cantora.

Krzywa Kocha

Płatek Kocha

Powstaje on po połączeniu trzech krzywych Kocha pod kątem 60°, "chropowatą" stroną na zewnątrz.

Krzywa Kocha, jest to brzeg figury - fraktala, przypominającego płatek śniegu.

Krzywa ta jest nieskończenie długa, lecz ogranicza ona skończoną powierzchnię

"Trudno to sobie wyobrazić, ale ta krzywa nie zawiera żadnych odcinków - w każdym swym punkcie ma 'zagięcie', a więc w żadnym swym punkcie nie ma stycznej."

Poziom 0

Poziom 1

Poziom 2

Tworzenie Krzywej Kocha

Krzywa Kocha powstaje z odcinka, poprzez podzielenie go na 3 części i zastąpenie środkowej ząbkiem (o ramieniu długości równej 1/3 odcinka) takim, że wraz z usuwaną częścią tworzy trójkąt równoboczny. Krok ten jest powtarzany w nieskończoność dla każdego fragmentu odcinka.

Krok 0

Krzywa Kocha w kroku zerowym (k=0) jest odcinkiem. Zostanie on podzielony na 3 równe części, a środkową zastąpią dwa odcinki długości 1/3 l, nachylone względem niej pod kątem 60°. Wraz z wyciętym fragmentem mogłyby one utworzyć trójkąt równoboczny.

Krok 1

Krzywa Kocha w kroku pierwszym (k=1), po transofmacji zawiera 4 odcinki, każdy równy 1/3 l. W kolejnym kroku każdy z tych odcinków ponownie zostanie podzielonyna 3 części, a środkową znów zastąpimy dwoma odcinkami.

Krok 2

Krzywa Kocha w kroku drugim (k=2) zawiera już 16 odcinków, każdy długości 1/9 l. W kolejnym kroku (k=3) powstanie 64 odcinków, każdy długości 1/27 l itd.

Wymiar

W każdym kroku powstaje 4k odcinków, każdy długości 1/3k l. Jednak obrazy otrzymywane w tych krokach nie są fraktalami - są dopiero przedfraktalami. Prawdziwa krzywa Kocha zawiera nieskończenie wiele elementów, które są nieskończenie krótkie - przynajmniej tak wynikałoby z tych wzorów. W rzeczywistości jednak nie mają one żadnej długości (technicznie określa się to, jako miara zerowa), zaś cała ta figura jest tylko zbiorem kątów. Zarówno krzywa Kocha, jak i płatek śniegu Kocha, mimo iż zawierają się w skończonym obszarze, mają nieskończoną długość.

W każdej skali krzywa Kocha zawiera w sobie 4 (N=4) kopie, każda długości 1/3 (s=1/3) całości. Tak więc wymiar fraktalny krzywej Kocha wynosi:

Krzywa Peano i krzywa Hilberta

Krzywe te, także nie zostały stworzone jako przykłady fraktali, lecz tym razem jako nowe spojrzenie na pojęcie wymiaru. Krzywe takie jak te nazywane są krzywymi patologicznymi.

Niezależnie od siebie, Giuseppe Peano i David Hilbert, w latach 1890-91 rozpatrywali krzywe, które całkowicie wypełniałyby płaszczyznę dwuwymiarową, czyli przechodziłyby przez wszystkie punkty na tej płaszczyźnie. Najpierw opiszę Krzywą Peano. Cała krzywa mieści się w kwadracie, względem pierwotnej prostej, obróconym o 45°. To właśnie ten kwadrat prosta będzie całkowicie wypełniać. Konstrukcja krzywej jest widoczna na rysunku, więc dodatkowy opis jest zbędny. Kwadrat, w którym znajduje się krzywa zaznaczony jest na ciemny odcień szarego. Konstrukcja krzywej w pierwszym kroku zaznaczona jest grubszą czarną linią. W drugim kroku, pierwsza krzywa jest modyfikowana, każdy odcinek jest zamieniany na krzywą (taką jak w kroku pierwszym), w wyniku czego powstaje krzywa, składająca się jednocześnie z grubszych jak i cieńszych linii zaznaczonych na rysunku. Strzałki obrazują kolejność rysowania odcinków w pierwszym kroku. Obrazek w rogu obrazuje nam to w troszkę inny, łatwiejszy do zapamiętania sposób.

W każdym kroku długość krzywej zwiększa się trzykrotnie, oraz długość pojedynczego odcinka maleje trzykrotnie, z czego wynika, że długość w krzywej k-tym kroku wynosi 3k, a długość pojedynczego odcinka 1/3k.

           

Krzywa Hilberta ma dość skomplikowany sposób konstrukcji. Najłatwiej ją wygenerować za pomocą funkcji rekurencyjnych. Nowa krzywa, powstaje z połączenia odcinkami czterech krzywych o rząd niższych. Sampodobieństwo tej krzywej jest znacznie łatwiej widoczne niż poprzednio. Pomimo, że powstałą ponad sto lat temu, dziś znajduje zastosowanie w grafice komputerowej.

Wymiar fraktalny:Krzywa Peano:W skali 3 widzimy 9 powtórzeń:

Krzywa Hilberta:W skali 3 mamy 4 powtórzenia:

Drzewa Pitagorejskie

Bardzo ciekawe twory były tworzone przez matematyków szukających pierwiastków kwadratowych z liczb całkowitych. Za pomocą popularnej spirali pierwiastków kwadratowych można uzyskać dowolny pierwiastek. Jej konstrukcja wygląda następująco: Tworzymy prostokątny trójkąt równoramienny o długości przyprostokątnej

1. Długość przeciwprostokątnej wynosi . W następnym kroku, powstałą przeciwprostokątną traktujemy jako podstawę, dorysowujemy do niej pod kontem prostym odcinek o jednostkowej długości, który staje się drugą przyprostokątną. Operacje te powtarzamy aż do uzyskania odcinka o potrzebnej nam długości. Całość ilustruje rysunek.

Konstrukcja podstawowego drzewa pitagorejskiego jest bardzo prosta. Różnie definiuje się kolejne kroki konieczne do uzyskania żądanego efektu, postanowiłam przytoczyć jeden z najkrótszych opisów. W pierwszym kroku rysujemy kwadrat, następnie trójkąt prostokątny równoramienny, którego przeciwprostokątna jest jednym z boków kwadratu. W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta konstruujemy kwadrat, z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku. Pomimo iż opis jest lekko zagmatwany, na rysunku wszystko

wygląda znacznie bardziej czytelnie. Ważną cechę tego fraktala jest możliwość jego modyfikacji. Trójkąt może być przez nas dowolnie modyfikowany. Ilość różnych innych modyfikacji procesu konstrukcyjnego może dawać nam diametralnie różne wyniki. Bez apelacyjnie jest to fraktal, z którym warto eksperymentować.

Wymiar fraktalny:Zakładając, że przyprostokątne trójkąta w pierwszym kroku mają jednostkową długość a boki kwadratu mają

długość , to bok kwadratu w drugim kroku będzie miał także długość jednostkową, z czego wynika, że

skala podobieństwa wynosi . W tej skali zauważamy dwa podobne fragmenty.

Trójkąt Sierpińskiego

Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka Sierpińskiego) jest jednym z najprostszych fraktali, znanym na długo przed powstaniem tego pojęcia (patrz Benoit Mandelbrot). Otrzymujemy go w następujący sposób: w trójkącie równobocznym łączymy środki krawędzi, dzieląc go w ten sposób na cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwamy, a wobec trzech pozostałych trójkątów powtarzamy tę samą operację, to jest dzielimy każdy na cztery mniejsze trójkąty, usuwamy środkowy, a wobec pozostałych powtarzamy i tak dalej.

Ciekawym algorytmem pozwalającym otrzymać trójkąt Sierpińskiego jest gra w chaos. Narysujmy trzy punkty A, B i C tak, żeby nie leżały na jednej prostej. Wybierzmy dowolny punkt D, leżący wewnątrz trójkąta ABC (Możemy wybrać także punkt spoza wnętrza trójkąta, wtedy kilka pierwszych punktów nie będzie należała do Trójkąta Sierpińskiego). Następnie należy wielokrotnie powtórzyć następującą operację: losowo wybieramy jeden z punktów A, B lub C, rysujemy punkt w połowie odległości między D i wybranym punktem. Nowo narysowany punkt oznaczamy przez D.

Można wybrać jako początkowe D dowolny punkt trójkąta lub nawet płaszczyzny. Wtedy jednak nie uzyskamy trójkąta Sierpińskiego, a jedynie ciąg punktów zbieżny do trójkąta Sierpińskiego, czyli taki, że dla dowolnego

ε>0 istnieje takie N, że dla każdego n>N odległość a(n) od trójkąta Sierpińskiego jest nie większa niż ε. Liczba N zależy od ε oraz od początkowego D.

Wymiar fraktalny trójkąta Sierpińskiego wynosi ln 3/ln 2 = 1.585...

Trójkąt Sierpińskiego można utworzyć z trójkąta Pascala, dla każdego elementu biorąc resztę z dzielenia przez 2 (wtedy 0 odpowiada za kawałek "dziury"). Jak wiadomo każdy element znajdujący się na pozycji (n,k) w

trójkącie Pascala wynosi . Można obliczyć resztę z dzielenia przez 2 stosując wzór:

gdzie AND i NOT są operatorami działającymi na bitach. Dywan Sierpińskiego po 6 krokach

Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3) mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego kwadratu i ponownego rekurencyjnego zastosowania tej samej procedury do każdego z pozostałych ośmiu kwadratów.

Definicja

Formalnie rzecz biorąc, oznacza to operację składającą się z nieskończonej ilości kroków, więc ściśle definiuje się w następujący sposób:

Dywan Sierpińskiego jest domknięciem zbioru punktów (x,y), 0≤x≤1, 0≤y≤1 takich, że w rozwinięciu liczb x i y w trójkowym systemie liczbowym nigdzie nie występuje cyfra 1 na tym samym miejscu po przecinku.

Wymiar fraktalny

Wymiar fraktalny dywanu Sierpińskiego wynosi ln 8/ln 3 = 1.8928...

Dywan jako krzywa

Zdumiewające jest to, że dywan Sierpińskiego jest krzywą według obecnie uznawanej definicji! Obecnie przyjmowana definicja krzywej jest równoważna (na płaszczyźnie) def. Cantora krzywych płaskich (zobacz art. krzywa).

Pole powierzchni

Można udowodnić, że pole powierzchni dywanu Sierpińskiego wynosi 0.

Dowód: W kolejnych krokach konstrukcji fraktala usuwamy za każdym razem 8n kwadratów o boku (1/3)n+1 każdy, czyli polu (1/9)n+1 każdy (n=0,1,2,...). Tym samym pole pozostałej figury po n+1 iteracjach wynosi:

Suma tego szeregu geometrycznego wynosi w nieskończoności:

więc

Kostka Mengera

Kostka Mengera, obraz wygenerowany metodą iteracji IFS

Kostka Mengera, gąbka Mengera – bryła fraktalna, trójwymiarowy odpowiednik zbioru Cantora i dywanu Sierpińskiego. Wymiar fraktalny kostki Mengera wynosi:

log320 = ln 20 / ln 3 ≈ 2,726833.

Konstrukcja kostki została podana przez austriackiego matematyka Karla Mengera w roku 1927.

Konstrukcja

Kostka Mengera powstaje w następujący sposób:

1. Dany jest sześcian2. Tniemy go na 27 sześcianów równej wielkości płaszczyznami równoległymi do ścian3. Usuwamy wszystkie sześciany przyległe do środków ścian pierwotnego sześcianu oraz sześcian

znajdujący się w jego środku4. Do każdego z 20 pozostałych sześcianów stosujemy poprzednią procedurę

Po nieskończonej liczbie powtórzeń opisanych operacji otrzymujemy kostkę Mengera.

Sześcian 1. iteracja2. iteracja

3. iteracja4. iteracja

Własności

Każda ściana kostki jest dywanem Sierpińskiego. Przekątna kostki jest zbiorem Cantora. Kostka jest zwartym podzbiorem przestrzeni euklidesowej, a jej miara Lebesgue'a jest równa 0.

Definicje formalne

Definicja rekurencyjna

Precyzyjne określenie kostki Mengera jest następujące:

gdzie M0 oznacza sześcian {(x,y,z) : 0 ≤ x,y,z ≤ 1}

Definicja nierekurencyjna

Kostkę Mengera można też zdefiniować w równoważny sposób nie używając rekurencji:Kostka Mengera to domknięcie zbioru punktów (x,y,z) takich, że 0 ≤ x,y,z ≤ 1 i w nieskończonych

rozwinięciach współrzędnych x,y,z w trójkowym systemie liczbowym nigdzie na tej samej pozycji cyfra 1 nie występuje więcej niż jeden raz.

Smok Heighwaya

Smok Heighwaya

Smok Heighwaya (znany też jako smok Hartera-Heighwaya albo smok z Parku Jurajskiego) był badany po raz pierwszy przez John Heighwaya, Bruce'a Banksa i Williama Hartera z NASA. Fraktal ten został spopularyzowany przez Martina Gardnera w jego dziale "Gier Matematycznych" (Mathematical Games) w Scientific American w roku 1967. Wiele jego własności zostało po raz pierwszy opublikowanych przez Chandlera Davisa oraz Donalda Knutha. Fraktal ten pojawił się w powieści Michaela Crichtona Jurassic Park.

Smok Heighwaya może być zdefiniowany jako atraktor następującego IFS (systemu funkcji zwężających) zapisanego w notacji zespolonej:

.

Opisać go można też następująco za pomocą systemu Lindenmayera

kąt 90° ciąg początkowy FX zasady zastępowania:

o X X+YF+o Y -FX-Y.

Zbiór Julii

Przykład zbioru Julii, Re(c)>0

Przykład zbioru Julii, Re(c)<0

Zbiór Julii - fraktal, będący podzbiorem płaszczyzny dwuwymiarowej. Mianem tym określa się każdy zbiór z pewnej rodziny zbiorów.

Definicja

Zbiór tworzą te punkty dla których ciąg opisany równaniem rekurencyjnym:

z0 = p

Nie dąży do nieskończoności:

gdzie c – liczba zespolona będąca parametrem zbioru. Można wykazać, że jest to równoważne z:

Podsumowując jednym zdaniem:

Dla różnych c otrzymuje się różne zbiory, stąd J jest rodziną zbiorów.

A oto kilka przykładowych wartości parametru c:

* fraktal dendrytowy: c=0+1i * króliczy fraktal Douady'ego: c=-0.123+0.745i * fraktal San Marco: c=-0.75+0i * dysk Siegela: c=-0.391-0.587i

Zbiór Mandelbrota

Zbiór Mandelbrota (żuk Mandelbrota, żuczek Mandelbrota) - fraktal, będący podzbiorem płaszczyzny zespolonej.

Przybliżone samopodobieństwo zbioru Mandelbrota

Konstrukcja

Zbiór tworzą te punkty dla których ciąg opisany równaniem rekurencyjnym:

z0 = 0

nie dąży do nieskończoności:

Można wykzać, że jest to równoważne z:

Podsumowując jednym zdaniem:

Alternatywnie zbiór Mandelbrota definuje się jako punkty, które w rodzinie zbiorów Julii dają zbiory spójne.

Obrazy przybliżone

Przybliżony (128 pierwszych wyrazów ciągu) obraz zbioru (czarny)

Dokładniejszy obraz (2048 pierwszych wyrazów ciągu)

Za pomocą komputera można wykreślić przybliżone obrazy zbioru Mandelbrota. Obrazy takie przedstawiają zamieszczone rysunki.

Aby uzyskać taki obraz dla każdego punktu p oblicza się pewną liczbę początkowych wyrazów ciągu zn. Decyduje się, że punkt należy do zbioru jeżeli dla wszystkich (w szczególności dla ostatniego) wyrazów tego podciągu spełniony jest warunek | zn | < 2. Jest to tym samym obraz przybliżony. Okazuje się jednak, że efekt przybliżenia jest widoczny tylko w dużych powiększeniach. Zbiór Madnelbrota zawiera się (jest podzbiorem) każdego przybliżenia. Dla każdego z punktów nie należących do zbioru można określić liczbę m:

Jest to liczba początkowych wyrazów ciągu zn, które spełniają powyższy warunek. Ponieważ podczas wyznaczania obrazu przybliżonego liczba m jest uzyskiwana niejako "za darmo", często wykorzystuje się ją do pokolorowania punktów nie należących do zbioru Mandelbrota. Każdej z wartości m przyporządkowuje się pewien kolor.

Zastosowania

Zastosowania informatyczne

Kompresja fraktalna

Pomysł kompresowania obrazów za pomocą fraktali jest w miarę młody, jednak już uzyskuje się zaskakujące rezultaty. Ogólnie przyjmując, kompresja polega na takiej zmianie struktury danych, aby w efekcie zmniejszyły one swój rozmiar. Kompresją dzieli się na stratną (jakościowa) i bezstratną (ilościowa). W przypadku tej pierwszej, dane ulegają zmianie, nie są identyczne jak ich pierwowzór, jednakże zazwyczaj nie są to znaczne straty. Kompresja bezstratna, nie powoduje żadnych zmian w danych. Kompresji używa się do wielu celów. Najpopularniejsze to archiwizacja danych oraz kompresowanie multimediów.W pierwszym przypadku stosuje się tylko i wyłącznie kompresję bez utraty danych.W drugim, oba jej rodzaje. Kolejnym elementem wartym omówienia, jest współczynnik kompresji. Jest to miara stosunku rozmiaru danych pierwotnych do ich rozmiaru po kompresji.

Jeśli rozmiar danych po kompresji zmalał dwukrotnie, to współczynnik kompresji wynosi 2:1. Im ten współczynnik jest większy, tym kompresja jest silniejsza. Programy komputerowe mogą osiągnąć maksymalnie współczynnik kompresji rzędu 16:1. Przeciętnie 2:1 - 5:1.

Oficjalny format wykorzystujący kompresję fraktalną to IFS (Iterative Function Systems) firmy Iterative Systems. Algorytmy jej produkcji pozwalają uzyskać kompresję o współczynniku nawet 10000:1. Kompresja trwa bardzo długo, natomiast dekompresja jest błyskawiczna.

Kompresja fraktalna polega na znajdowaniu podobieństwa pomiędzy poszczególnymi fragmentami obrazu. Obraz najpierw dzielony jest na niewielkie obszary zwane płatkami, które całkowicie pokrywają jego powierzchnie. Następnie, dla każdego płatka wyszukuje się taki inny obszar obrazu, który po odpowiednich transformacjach będzie najbardziej zbliżony do oryginału. Kiedy znajdziemy przekształcenia dla wszystkich płatków, będziemy mieli informacje wystarczające do zapisu pliku. Samopodobieństwo fragmentów obrazu jest opisywane za pomocą systemu IFS, więc przy szukaniu przekształcenia stosuje się tutaj wszelkiego rodzaju symetrie, obroty i skalowania. Dodatkowo wykorzystuje się różnicę jasności. Opisy tych transformacji składają się z niewielkiej ilości informacji, co daje w rezultacie wysoki stopień kompresji.

Oto bardziej szczegółowy opis podobnego ale prostszego algorytmu:Obraz jest dzielony na kwadratowe płatki o rozmiarze 2x2, 4x4, 8x8 lub 16x16 pikseli. Następnie obrazek rozdziela się na trzy składowe (RGB lub YUV) i każdy kompresuje osobno jako obraz w odcieniach jasności. Algorytm w trakcie działania każdy płatek powiększa dwukrotnie, przyciemnia i szuka na całej powierzchni obrazu takiego fragmentu, który jest najbardziej do niego podobny, uwzględniając wszelkiego rodzaju transformacje.Do pliku wynikowego, zapisywane są współrzędne obszaru, przekształcenia oraz względne rozjaśnienie.

Generowanie linii brzegowej

Algorytm ten jest dość prosty, a przy tym daje dobre rezultaty. Za jego pomocą możemy generować zarówno krzywe fraktalne jak i figury z nich złożone, które w rzeczywistości wyglądają jak linie brzegowe i całe wyspy. Na początku tworzymy dowolną zwyczajną (nie wiązaną) łamaną zamkniętą o dowolnej liczbie boków (oczywiście większej lub równej 3). Na początku algorytmu wybieramy bok i wyznaczamy punkt leżący na prostej prostopadłej do niego w losowej odległości, nie większej niż połowa długości tego boku. Punkt ten może leżeć z dowolnej (losowej) strony boku. W każdym kroku, postępujemy tak ze wszystkimi bokami łamanej, uzyskując łamaną o dwukrotnie większej liczbie boków. Najlepsze efekty uzyskuje się, jeśli liczba kroków mieści się w granicach 10-12 dla rozdzielczości 640x480 lub 800x600. Pomimo prostoty, algorytm ten daje bardzo ciekawe, czasem nieoczekiwane efekty. Można go wykorzystać także do innych celów. Zapamiętując jedynie dwa początkowe punkty i wysokości trójkątów, możemy zapamiętać dowolną łamaną używając stosunkowo niewielkiej ilości pamięci.

Generowanie gór fraktalnych

Generowanie gór za pomocą fraktali jest możliwe, ze względu na samopodobną strukturę gór. Ich samopodobieństwo jest takie samo jak samopodobieństwo linii brzegowej, to znaczy tak jak wcześniej przy kolejnych powiększeniach pojawiały się kolejne zatoki i półwyspy, potem pod-zatoki i pod-półwyspy, tak teraz pojawiają się coraz mniejsze kotlinki i szczyty. Algorytm ogólnie także jest podobny do przedstawionego wcześniej, lecz tutaj operujemy na przestrzeni trójwymiarowej. Podstawą algorytmu jest rekurencyjny podział obszaru na którym będą się znajdowały góry na mniejsze identyczne obszary. Tymi obszarami mogą być kwadraty, trójkąty lub sześciokąty. Losujemy wysokości na jakich znajdować się będą wierzchołki figury (na rysunku zaznaczone na czarno), a następnie obliczamy Wysokości punktów potrzebnych nam do kolejnego podziału (zaznaczone na szaro). Aby to zrobić, obliczamy średnią wysokość sąsiednich punktów i modyfikujemy ją o losową wartość. Teraz, mając obliczone nowe wysokości, używamy ich jako wierzchołków dla nowej figury którą ponownie podzielimy. Kwadrat dzielimy na cztery kwadraty, trójkąt na cztery trójkąty, a sześciokąt na trzy sześciokąty, i dla każdego z nich powtarzamy cały algorytm, zmniejszając maksymalną wartość losowej modyfikacji wysokości.

Chmury fraktalne (plazmowe)

Efekt ten jest w całości oparty na wcześniej opisanym efekcie generowania gór. Cały algorytm przebiega identycznie, poza kilkoma drobnymi różnicami. Nie operujemy tutaj w trójwymiarowej przestrzeni, ale na dwuwymiarowej mapie wysokości. Jeśli wcześniej pokazywaliśmy efekt w przestrzeni, to teraz robimy to na płaszczyźnie, zamieniając wysokość na przeźroczystość, dzięki czemu tam gdzie są niższe wysokości widzimy na przykład kolor biały, natomiast gdzie wysokości są wyższe chmury są przeźroczyste.

Dla programu GIMP został stworzony plug-in, pozwalający za pomocą fraktala tworzy przeróżne struktury o cechach fraktalnych. Buduje się je dzieląc i łącząc ze sobą "części" fraktala. Tym pluginem jest IfsCompose. Za jego pomocą można generować liście, drzewa, kwiaty oraz wiele innych obiektów cechujących się samo podobieństwem, aczkolwiek nie koniecznie.

Powiększanie obrazów

Znaczna większość używanych przez nas obrazów komputerowych to obrazy rastrowe. Oznacza to, że obraz podzielony jest na skończoną liczbę małych punktów (pikseli), z których każdy ma określoną barwę. Ilość tych punktów jest iloczynem wysokości i szerokości obrazu. Powiększając obraz, piksele także stają się coraz większe, aż w końcu możemy je bez problemu policzyć. Częściowym rozwiązaniem tego problemu jest grafika wektorowa, w której to zapamiętujemy współrzędne punktów potrzebnych do odtworzenia danej figury, np. zapamiętujemy jedynie współrzędne wierzchołków odcinka. Przy dowolnym powiększeniu odcinek zawsze będzie miał taką samą grubość. Niestety taki format grafiki nie sprawdza się w przypadku zdjęć.

Opiszę teraz metodę, pozwalającą powiększać obrazy w skali szarości. Mamy zdjęcie o danych rozmiarach oraz funkcję f(x,y), która punktowi obrazu o współrzędnych (x,y) przyporządkowuje jego jasność. Dla różnych obrazów funkcja ta wygląda inaczej. Zbiór wartości i dziedzina takiej funkcji są zbiorami dyskretnymi, więc nie będą przydatne. Tworzymy kolejną funkcję, której dziedziną będzie iloczyn kartezjański dwóch odcinków o długościach równych wysokości i szerokości obrazu, natomiast wartości w punktach leżących pomiędzy kolejnymi pikselami będą się zmieniały w sposób ciągły i liniowy. Dzięki temu, nasz obraz będzie miał nieskończoną rozdzielczość. Brakujące fragmenty nie będą co prawda odtwarzane dokładnie, lecz piksele staną się punktami, a nie kwadratami jak w grafice rastrowej.

Inne zastosowania naukowe

Pomimo, iż fraktale są w miarę nową gałęzią matematyki, znalazły bardzo szerokie zastosowanie, nie tylko w świecie matematyki i informatyki. Dziś, fraktale powoli zaczynają wkraczać w nasze środowisko nie tylko od strony natury, ale także nowoczesnej technologii. Oto najważniejsze zastosowania fraktali:

badanie nieregularności powierzchni, opis procesów chaotycznych zachodzących w układach dynamicznych, przetwarzanie i kodowanie obrazów cyfrowych - kompresja fraktalna, modelowanie tworów naturalnych dla celów realistycznej grafiki komputerowej,

badanie struktury łańcuchów DNA,

badanie samopodobnych struktur harmonicznych występujących w muzyce.

Oprócz tego, istnieje wiele mniej znanych zastosowań fraktali, z czego część jest już wykorzystywana na co dzień.

Analiza danych od dość długiego czasu zmierza ku poszukiwaniu wzorców zachowań. Szukanie zależności pomiędzy danymi nie daje takich efektów jak znalezienie wzorów umożliwiających przewidzenie dalszego kierunku (zachowania) danych. Wzory i charakterystyki fraktali dają nam możliwość zastosowania w bardzo wielu przypadkach, między innymi w medycynie, biologii, psychologii, gospodarce, ekonomii.

W medycynie fraktale znalazły zastosowanie między innymi w analizie obrazów tomograficznych oraz w rozpoznawaniu komórek. Na przykład kilka lat temu w ośrodku badawczym w Mount Sinai w Nowym Jorku zostały wskazane zależności pomiędzy wymiarem fraktalnym chromosomu, a rakiem.

Fraktale zadziwiają nas połączeniem nieskończonej złożoności i prostoty tworzenia. Każdy kto zobaczył choć raz prawdziwy fraktal, i dowiedział się że nie jest on tworem człowieka na pewno zapamiętał go na całe życie. Po raz pierwszy w historii, człowiek może podziwiać abstrakcyjny twór natury. Całą dotychczasowa sztuka, próbuje odwzorować albo naturę, albo abstrakcyjne twory człowieka. Teraz możemy zobaczyć to, na czym wzorowała się natura. P. Wargin napisał: "Wielu twierdzi iż są Sztuką (tak jest: Sztuką) same w sobie, bez ingerencji człowieka."

Fraktale czasem używane są także w filmach i wszelkiego rodzaju grach, głównie do tworzenia realistycznych efektów ognia. W trójwymiarowych światach znalazły zastosowanie w generowaniu roślin, krajobrazów i stworzeń. Stworzenie na przykład drzewa, korzystając z funkcji afinicznych w przestrzeni lub innych funkcji rekurencyjnych jest znacznie szybsze i prostsze niż dokonanie tego innymi metodami.

Na Wydziale Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej na Uniwersytecie Mikołaja Kopernika w Toruniu są prowadzone prace badawcze Zespołu Fizyki Medycznej między innymi na temat cyfrowej analizy obrazów dna oka. Skład zespołu zajmującego się tym zagadnieniem: dr M. Berndt-Schreiber, K. Majewska, A. Zduniak, D. Szczepaniak. Celem ich prac jest "stworzenie metody do obiektywnego i ilościowego określenie stanu oka", co według oczekiwań, powinno pomóc w diagnozowaniu jaskry. Opracowana metoda polega na wyznaczaniu wymiaru fraktalnego obrazu dna oka w skali szarości. Prawidłowe wartości dla osób zdrowych to od 2.4 do 2.5, natomiast dla osób chorych wartość ta jest wyższa i wynosi od 2.5 do 2.7. Oprócz opracowania samej metody zespół stworzył także bazę danych zawierającą obrazy oka, rozpoznanie, wymiar fraktalny oraz stosunek średnicy zagłębienia do powierzchni tarczy nerwu wzrokowego (C/V) i stosunek powierzchni naczyń krwionośnych do powierzchni tarczy nerwu wzrokowego (V/D).

Już dziś zauważamy że jeśli nawet nie cała, to większość materii ożywionej posiada strukturę fraktalną. Chcąc poznać naturę, musimy zgłębić jej fraktalny aspekt. Najważniejszym celem naszych działań powinno być rozszyfrowanie łańcucha DNA. Ostatnio powstała ciekawa teoria, że w łańcuchu tym nie są zawarte informacje o budowie każdej komórki naszego organizmu, jak twierdzi większość naukowców, lecz algorytm według którego budowane są poszczególne organy. Taki algorytm miałby najprawdopodobniej formę rekurencyjnego wzoru z liczbami zespolonymi, jaka to często jest spotykana właśnie w świecie fraktali.

Fraktale znalazły także zastosowanie w modelowaniu struktury ludzkiego mózgu. Pozwalają one odtworzyć strukturą naczyniową organizmu. Wymiar fraktalny pozwala oceniać tempo wzrostu lub zaniku fragmentów układów biologicznych. Najbardziej przydatny do opisu fraktal to tak zwana suszona śliwka. Za jego pomocą można opisać sytuację, gdy rozwój lub kurczenie się powierzchni układu następuje wolniej niż zmiany wewnętrznej objętości. Temat ten był poruszany przez dr hab. Marka Rybaczuka na posiedzeniu Komitetu Mechaniki PAN.

Ciekawym i dość niekonwencjonalnym zastosowaniem fraktali jest użycie ich w budowie anten. Najwięcej problemów sprawia konstruktorom złożona natura elektromagnetyzmu. Zwykle cienki i długi kawałek drutu nie jest najlepszym rozwiązaniem. Tysiące małych anten jest rozkładanych albo nieregularnie, albo w regularnych odstępach. Fraktale są idealnym połączeniem porządku i losowości. Dzięki zgięciu drutu w kształt krzywej Kocha można zminimalizować przestrzeń przez niego zajmowaną. Motorola zaczęła używać fraktalnych anten w

wielu swoich telefonach komórkowych, po czym ogłosiła, że są one o 25% skuteczniejsze niż zwykłe anteny. Magazyn Fractals wytłumaczył to zjawisko. Aby antena pracowała dokładnie na wszystkich częstotliwościach, musi być symetryczna wokół punktu, i samopodobna. Oba te warunki fraktale spełniają idealnie. Najlepszymi kształtami dla anten są trójkąt Sierpińskiego, krzywa Kocha i dywan Sierpińskiego.

W ekonomii, fraktale są wykorzystywane do przewidywania zachowania notowań akcji. Obliczenie wymiaru Minkowskiego z wykresu cen akcji daje nam możliwość analizowania trendów spółek, czyli sprawdzania, jakie mają one wahania cen. Oto przykładowe wartości wymiaru Minkowskiego dla dziesięciu spółek (dane pochodzą z Politechniki Warszawskiej):

Agora 1.22041 Orbis 1.29357BPH 1.32618 PeKaO 1.23801BSK 1.30203 PKN 1.23026Netia 1.17116 Prokom 1.29859Optimus 1.27185 TP S.A. 1.27193