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FÍSICA 4 RESUMEN PRIMER PARCIAL

MTRO. JOSÉ MARÍA ARCE OROZCO Página 1 de 20



Magnetismo

El magnetismo es un fenómeno físico por el que los materiales ejercen fuerzas de atracción o repulsión sobre otros materiales. Hay algunos materiales conocidos que han presentado propiedades magnéticas detectables fácilmente como el níquel, hierro, cobalto y sus aleaciones que comúnmente se llaman imanes. Sin embargo, todos los materiales son influenciados, de mayor o menor forma, por la presencia de un campo magnético.

Imán

Un imán es un material o sustancia que posee propiedades magnéticas y crea un campo magnético. Este campo es invisible, pero crea una fuerza que puede “atraer” o “repeler” otros imanes y materiales magnéticos, como hierro, cobalto o níquel.



Polos y partes de un imán

A. Eje magnético: barra de la línea que une los dos polos. B. Línea neutral: línea de la superficie de la barra que separa las zonas polarizadas. C. Polos: los dos extremos del imán donde las fuerzas de atracción son más intensas. Estos polos son,

el polo norte y el polo sur.

Tipos de imanes

Los imanes permanentes son aquellos que pueden proporcionar un flujo magnético sin necesidad de electricidad, como es el caso de los electroimanes. Están fabricados a partir de materiales ferromagnéticos, que, tras ser imantados, conservan esas propiedades magnéticas por tiempo indeterminado, es decir, hasta que se desimanten.

Magnetización por frotamiento

Este método requiere del frotamiento de un extremo del material a magnetizar con el polo de un imán. Debe hacerse en una misma dirección, para que de esta manera el área frotada adquiera la polaridad contraria.



Así se crea un efecto magnético, de tal forma que, en el otro extremo del material, se crea un polo magnético contrario, dando como resultado que la sustancia quede imantada.

Imantación por contacto

En la imantación por contacto, el objeto a magnetizar debe ponerse en contacto directo con el imán, para que adquiera la magnetización de éste. La alineación de los dominios en el objeto a magnetizar se produce como un efecto cascada, llegado del extremo en contacto al otro extremo rápidamente.

Imantación por inducción

Mediante este método, el material a magnetizar se coloca en medio de un campo magnético intenso, como el de un electroimán potente. De esta manera los dominios y sus respectivas magnetizaciones se alinean inmediatamente con el campo externo. Y el resultado es que el material queda magnetizado.



Magnetismo terrestre

El fenómeno del magnetismo terrestre se debe a que toda la Tierra se comporta como un gigantesco imán. Aunque no fue hasta 1600 que se señaló esta similitud, los efectos del magnetismo terrestre se habían utilizado mucho antes en las brújulas primitivas. El nombre dado a los polos de un imán (Norte y Sur) se debe a esta similitud.

Un hecho a destacar es que los polos magnéticos de la Tierra no coinciden con los polos geográficos de su eje. Las posiciones de los polos magnéticos no son constantes y muestran ligeros cambios de un año para otro, e incluso existe una pequeñísima variación diurna solo detectable con instrumentos especiales.

Declinación

La diferencia angular entre el Norte magnético y el Norte geográfico, se denomina declinación.

La declinación es Este cuando el norte magnético está al este del norte geográfico, y es Oeste cuando el norte magnético está al oeste del norte geográfico. En España la declinación es Oeste.

Inclinación

Dependiendo de la zona magnética del planeta en la que nos encontremos la aguja de nuestra brújula puede llegar a inclinarse sobre una superficie totalmente nivelada, hasta llegar a tocar el cristal protector y bloquearse. Este efecto es consecuencia directa de la curvatura de la tierra y de encontrarse en latitudes muy cercanas o alejadas del polo magnético.



Teoría de Weber

El magnetismo según Max Weber se debe a imanes moleculares, pues decía que un imán se puede partir indefinidamente y cualquiera de las partes continúa siendo un imán e incluso en tal partición se puede llegar a la molécula del imán y ésta conserva sus polos magnéticos, como característica fundamental de los mismos.

Campo Magnético

Todo imán está rodeado por un espacio, en el cual se manifiestan sus efectos magnéticos, esta región se llama Campo magnético. Michael Faraday observó las líneas de fuerza magnética alrededor de un imán, con líneas que salen del polo norte y entran al polo sur.

Líneas de Campo Magnético

El espacio o la región que rodea un imán, existe un campo magnético, es una cantidad vectorial por lo tanto posee una magnitud y dirección, se manifiesta en tres dimensiones. En el cuál se dejan sentir las fuerzas originadas por el imán. El campo magnético está formado por un número infinito de líneas imaginarias llamadas líneas de fuerza o líneas de inducción magnética. Es posible visualizar las líneas de

Dipolos Magnéticos (Dispersos)

Dipolos Magnéticos (Desordenados)



Donde:

inducción magnética en los alrededores de un imán. En un imán de barra las líneas magnéticas se originan en el polo norte y entran en el polo sur; estas líneas son curvas, son continuas y nunca se cruzan entre sí, a la representación gráfica de las líneas de fuerza magnética se le llama espectro magnético.

Flujo Magnético

Se define como el número total de líneas magnéticas que salen del polo norte de un imán o que llegan al polo sur. El flujo magnético φ se mide en WEBER.

Densidad de Flujo Magnético o Inducción Magnética

Es el número de líneas magnéticas que atraviesan por unidad de área normal a la dirección de flujo magnético. La densidad de flujo magnético es llamada inducción magnética y es una cantidad vectorial a la intensidad del campo magnético.

𝑩𝑩 =∅𝑨𝑨

𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑚𝑚2

B = Densidad de flujo magnético Wb / m² ; Teslas ∅ = Flujo magnético Wb A = Área m²

Un imán de barra Un imán de herradura Un electroimán

Dos imanes de barra en atracción Dos imanes de barra en repulsión

ESPECTROS MAGNÉTICOS Y LÍNEAS DE FUERZA



Donde:

Donde:

LEY DE COULOMB DEL MAGNETISMO

La fuerza magnética de atracción o repulsión de dos polos magnéticos es directamente proporcional al producto de intensidades de esos polos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.

𝑭𝑭 = 𝑲𝑲𝑷𝑷𝟏𝟏 𝑷𝑷𝟐𝟐𝒓𝒓𝟐𝟐 𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵

F = magnitud de fuerza magnética (atracción o repulsión) en Newton P1 y P2 = intensidades magnéticas en Ampere metro r = distancia entre los polos en metros K = constante magnética del medio en N / A² o Wb / A m

Permeabilidad Magnética

Ya que la densidad de flujo B en cualquier región particular de un campo magnético sufre alteraciones originadas por el medio que rodea al campo, así como por las características de algún material que se interponga entre los polos de un imán. La permeabilidad magnética es la facilidad que presenta una sustancia cualquiera al paso de líneas magnéticas o la propagación del flujo magnético.

𝝁𝝁 = 𝝁𝝁𝟎𝟎 𝝁𝝁𝒓𝒓

𝝁𝝁 = Permeabilidad magnética

𝝁𝝁𝒓𝒓 = Permeabilidad magnética relativa

𝝁𝝁𝟎𝟎 = Permeabilidad magnética del aire o vacío

𝝁𝝁𝟎𝟎 = 12.56 𝑥𝑥 10 10−7 𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊

𝐴𝐴𝑚𝑚 𝑜𝑜

𝑁𝑁

𝐴𝐴2



Donde:

Donde:

Inducción magnética o intensidad de campo magnético

Como cada imán produce en su interior un campo magnético, este campo magnético tiene una intensidad en cada punto. La inducción magnética en un punto de un campo magnético se define como la fuerza magnética por unidad de polo colocado en ese punto.

𝑩𝑩 =𝑭𝑭𝑷𝑷𝟎𝟎

𝑁𝑁𝐴𝐴𝑚𝑚

B = Densidad de flujo magnético Wb / m² ; Teslas F = Fuerza Magnética N P0 = Intensidad de polo magnético Am

𝑩𝑩 = 𝐾𝐾 𝑃𝑃𝑊𝑊2

𝑇𝑇𝑊𝑊𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇

B = Densidad de flujo magnético Wb / m² ; Teslas K = Constante magnética del medio existente entre el polo generador y el punto considerado K= 𝟏𝟏 𝒙𝒙 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟕𝟕 𝑵𝑵

𝑨𝑨𝟐𝟐

P0 = Intensidad de polo magnético Am r = Distancia de separación m

La inducción magnética es una magnitud vectorial que presenta la intensidad del campo magnético en un punto determinado del espacio tridimensional con características similares al campo eléctrico.



Donde:

Campos magnéticos producidos por corrientes eléctricas

Experimento de Oersted

Oersted advirtió sobre el fenómeno eléctrico que la aguja de una brújula colocada en las proximidades de un hilo conductor por el que circulaba una corriente eléctrica se desviaba. observó que la aguja oscilaba hasta formar un ángulo recto con el hilo y con la línea que unía la brújula y el hilo. Si se la desplazaba de forma continua en la dirección que señalaba la aguja, la brújula describía entonces un círculo alrededor del hilo conductor. Invirtiendo el sentido de la corriente eléctrica, cambiaba asimismo el sentido de la aguja de la brújula. Los efectos persistían incluso cundo se interponían placas de vidrio, metal o madera entre el hilo conductor y la brújula.

Regla de la mano derecha

El campo magnético de un conductor recto con corriente eléctrica son círculos concéntricos alrededor del conductor. Para determinar la dirección del campo magnético del conductor recto la regla se aplica de la siguiente manera:

Con el pulgar extendido nos indica el sentido de la corriente y los demás dedos curvados indican la dirección del campo magnético. Esto es para el sentido convencional de la corriente eléctrica, es decir de (+ a -). Si se considera el sentido real de la corriente de (– a +) se utiliza la misma regla, pero utilizando la mano izquierda.

B = 2𝐾𝐾𝐼𝐼𝑊𝑊

Teslas

B = Densidad de flujo magnético Teslas K= 𝟏𝟏 𝒙𝒙 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟕𝟕 𝑵𝑵

𝑨𝑨𝟐𝟐

I = Intensidad de corriente eléctrica A r = Distancia de separación m

Corriente Eléctrica

Campo Magnético



Donde:

Campo magnético en una espira circular con corriente eléctrica

Una espira se obtiene al doblar en forma circular un conductor recto. El espectro del campo magnético creado por ésta, se origina por líneas cerradas que rodean a la corriente y por una línea recta que es el eje central del círculo seguido por la corriente. Para determinar la dirección del campo magnético de la espira también se utiliza la regla de la mano derecha aplicándola de la siguiente forma, el dedo pulgar extendido nos indica el campo interno de la espira, es decir, hacia el norte de la misma y los dedos curvados el sentido de la corriente. Esto es para el sentido convencional de la corriente eléctrica, es decir de (+ a -). Si se considera el sentido real de la corriente de (– a +) se utiliza la misma regla, pero utilizando la mano izquierda.

𝐵𝐵 = 𝜇𝜇0𝐼𝐼2𝑟𝑟


𝐵𝐵 =𝜇𝜇0𝐼𝐼𝑊𝑊2

2𝑥𝑥3 𝑇𝑇𝑊𝑊𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇

B = Densidad de flujo magnético Teslas

𝝁𝝁𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟐𝟐.𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒙𝒙 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟕𝟕 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑨𝑨

I = Intensidad de corriente eléctrica A r = Radio de la espira m

X = Longitud de la hipotenusa m

Centro

Eje



Donde:

Campo magnético de un solenoide con corriente eléctrica

Un solenoide se obtiene al enrollar un alambre en forma helicoidal (acción llamada devanar). Cuando una corriente circula a través del solenoide, las líneas de fuerza de campo magnético generado se asemejan al campo producido por un imán en forma de barra. En su interior las líneas de fuerza son paralelas y el campo magnético es uniforme.

Para determinar la dirección del campo magnético del solenoide aplicamos la regla de la mano derecha de la misma forma que en la espira circular, es decir, el dedo pulgar indica el campo interno del solenoide hacia el norte del mismo y los dedos curvados el sentido de la corriente. Esto es para el sentido convencional de la corriente eléctrica, es decir de (+ a -). Si se considera el sentido real de la corriente de (– a +) se utiliza la misma regla, pero utilizando la mano izquierda.

𝐵𝐵 =𝑁𝑁𝜇𝜇0𝐼𝐼𝑇𝑇


B = Densidad de flujo magnético Teslas

𝝁𝝁𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟐𝟐.𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒙𝒙 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟕𝟕 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑨𝑨

I = Intensidad de corriente eléctrica A l = longitud del solenoide m

N = Número de espiras



Ejercicios resueltos

Dos polos magnéticos sur y norte 80 Am y 20 Am de magnitud respectivamente se encuentran separados en el aire a 20 cm. Determinar el punto sobre la recta que los contiene (distancia)donde la inducción magnética sea nula a cero.

Por el P.S.

Bi=Bs+Bn

Bix=-Bnx+Bsx=0

Bnx=Bsx

Bn=Bs Aplicando:

𝐵𝐵 = 𝐾𝐾𝑃𝑃𝑊𝑊2

𝐾𝐾𝑃𝑃𝑃𝑃

(𝑑𝑑 + 𝑥𝑥)2= 𝐾𝐾

𝑃𝑃𝑇𝑇𝑥𝑥2

𝑃𝑃𝑃𝑃(𝑑𝑑 + 𝑥𝑥)2

=𝑃𝑃𝑇𝑇𝑥𝑥2

𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑇𝑇

=(𝑑𝑑 + 𝑥𝑥)2

𝑥𝑥2

S N

20cm

Sea “x” la distribución que se encuentre en punto en donde la inducción obtenida sea cero.

PnPs

=(d + x)2

x2

�PnPs

=(d + x)

x2

X��PnPs� = (d + x)

��PnPs� (X) − X = d

x��PnPs� − 1 = d

x =d

��PnPs� − 1

• Sustituyendo datos:

x =20cm

��20AM80AM� − 1

x =20cm

√0.25 − 1

𝒙𝒙 = −𝟒𝟒𝟎𝟎𝟒𝟒𝑻𝑻



Dos polos magnéticos de 30 Am y 40 Am de magnitud respectivamente, se encuentran separados a 25 cm del aire. Determinar la fuerza que actúa sobre un tercer polo norte de 80 Am de intensidad colocado a 25 cm por arriba de cada uno de los polos.

25cm 25cm

D.C.L.

F2 F1

N

N N

P1=30AM P2=40AM

𝜃𝜃1 = 𝜃𝜃2

𝐹𝐹1 = 𝐹𝐹2

𝐹𝐹𝑅𝑅𝑅𝑅 = 0

𝐹𝐹𝑅𝑅𝑅𝑅 = 𝐹𝐹1𝑌𝑌 + 𝐹𝐹2𝑌𝑌

𝐹𝐹𝑅𝑅𝑅𝑅 = 2𝐹𝐹1𝑌𝑌

𝐹𝐹𝑅𝑅𝑅𝑅 =2𝐾𝐾𝑃𝑃1 𝑃𝑃2𝑊𝑊2

sin 60

𝐹𝐹𝑅𝑅𝑅𝑅 = 2𝑥𝑥10−7 𝑁𝑁𝐴𝐴2

(30𝐴𝐴𝐴𝐴)(40𝐴𝐴𝐴𝐴)

(0.25𝑚𝑚)2 sin 60

𝑭𝑭𝑹𝑹𝑹𝑹 = 𝟑𝟑.𝟑𝟑𝟐𝟐𝒙𝒙𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟑𝟑 𝑵𝑵



Determínese la fuerza que actúa sobre un polo magnético de 50 Am, que está colocado en el centro de una espira de diámetro de 10 cm, de la cual circula una intensidad de corriente de 10 A y que también está en presencia de un conductor recto que transporta una intensidad de corriente de 6 A y se encuentra a 35 cm del centro de la espira, como la sig. Figura:

I r=5cm

D=35cm

𝐵𝐵𝑒𝑒 = 2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐼𝐼𝑅𝑅

𝐵𝐵𝑎𝑎 = 2𝐾𝐾𝐼𝐼𝑅𝑅

𝐵𝐵𝑒𝑒 = �2𝑋𝑋10−2 𝑁𝑁𝐴𝐴2�

(3.1416)0.05𝑚𝑚

𝐵𝐵𝑒𝑒 = �12.57𝑋𝑋10−4 𝑁𝑁𝐴𝐴2� = 2.5𝑇𝑇

𝐵𝐵𝑎𝑎 = 2𝑋𝑋10−76𝐴𝐴

0.15=

1215

𝑋𝑋10−5𝑇𝑇

𝐵𝐵𝑎𝑎 = 8𝑋𝑋10−6 T

𝐵𝐵𝑟𝑟 = �(8𝑋𝑋10−6) + 2.5𝑇𝑇

𝑩𝑩𝒓𝒓 = 𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟓𝟓𝟐𝟐𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟑𝟑𝑻𝑻

x

I



Dos polos magnéticos sur y norte colocados en una línea horizontal siendo que sus intensidades de polo son 10 AM y 30 AM y están separados a 30 cm.

Determina a qué distancia se obtendrá una inducción neta igual a cero.

Por el P.S.

Bi=Bs+Bn

Bix=-Bnx+Bsx=0

Bnx=Bsx

Bn=Bs Aplicando:

𝐵𝐵 = 𝐾𝐾𝑃𝑃𝑊𝑊2

𝐾𝐾𝑃𝑃𝑃𝑃

(𝑑𝑑 + 𝑥𝑥)2= 𝐾𝐾

𝑃𝑃𝑇𝑇𝑥𝑥2

𝑃𝑃𝑃𝑃(𝑑𝑑 + 𝑥𝑥)2

=𝑃𝑃𝑇𝑇𝑥𝑥2

𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑇𝑇

=(𝑑𝑑 + 𝑥𝑥)2

𝑥𝑥2

S N

30cm

Sea “x” la distribución que se encuentre en punto en donde la inducción obtenida sea cero.

PnPs

=(d + x)2

x2

�PnPs

=(d + x)

x2

X��PnPs� = (d + x)

��PnPs� (X) − X = d

x��PnPs� − 1 = d

x =d

��PnPs� − 1

• Sustituyendo datos:

x =30cm

��30AM10AM� − 1

x =30cm√3 − 1

𝒙𝒙 = 𝟐𝟐𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟏𝟏𝟒𝟒𝑻𝑻



Dos polos magnéticos sur se repelen con una fuerza de 64 mN; cuando están separados a 12 cm, ambos polos tienen la misma magnitud. Determínese la inducción magnética que produce ambos polos a una distancia equivalente a 12 cm.

12cm

12cm

i

B0 B1

θ0 θ1

Sustituyendo Valor:

B = KPr2

B = 10−7 NA2�

96 AM(0.12m)2

B = 666.67 X10−6 T

Sustituyendo en 𝐵𝐵𝑖𝑖𝑅𝑅:

Biy = 2B0 sinθ0

Biy = 2( 666.67 X10−6 T) sin 60°

𝑩𝑩𝒊𝒊𝑹𝑹 = 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟓𝟓𝟓𝟓 𝟐𝟐𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟑𝟑 T

N N

• Haciendo el D.C.L. para ver las directivas la indican de acuerdo de cada polo:

θ0 = θ1 = 60°

Bı��⃗ =B0��⃗ +B1��⃗

Bix = −B0 cosθ0 + B1 cos θ1=0

Biy = B0 sinθ0 + B1 sinθ1 = 2B0 sinθ0

• Para determinar B0 se usa “B” para los polos magnéticos aislados:

B = KPr2

Por la ley de coulomb:

F =KP0P1

r2

F =KP2

r2

Por lo tanto:

P2 =F r2

K

P = �FK

r

Sustituyendo valores:

P = �64x10−3N10−7 N

A2� (0.12𝑚𝑚)

𝑷𝑷 = 𝟗𝟗𝟓𝟓 𝑨𝑨𝑨𝑨



Tres conductores mutuamente paralelos forman un triángulo rectángulo como se muestra en la figura, determínese el punto medio de su hipotenusa.

I=4 A

B1

6m

B3

𝐼𝐼1=8A 𝐼𝐼2=4A

8m

𝐵𝐵𝑟𝑟��⃗ =𝐵𝐵𝚤𝚤��⃗

𝐵𝐵𝑟𝑟 = 2K IR

𝐵𝐵𝑟𝑟 = 2x10−7 NA2� �

80.05m

�

𝐁𝐁𝐫𝐫 = 𝟑𝟑.𝟐𝟐𝟐𝟐𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟓𝟓T

tan−134

∝= tan−134

∝= 36°52´11.63´´

𝜽𝜽 =𝟏𝟏𝟒𝟒𝟑𝟑°𝟕𝟕´𝟒𝟒𝟒𝟒.𝟑𝟑𝟕𝟕´´

N

N N



Determínese la fuerza que desprende en un polo sur de 5 Am, si colocamos a 8 cm una espira de presencia, de un alambre recto como se muestra en la figura.

I=5A

C

8cm I=8A

P=5Am

X

X

Realizando el D.C.L. donde se localiza el polo, se aplicará las reglas de la mano derecha, para un solenoide y alambre con corriente eléctrica para conocer las direcciones de los campos de este punto.

D.C.L.

Be

Be

𝐵𝐵𝑟𝑟𝑅𝑅 = 𝐵𝐵𝑐𝑐 − 𝐵𝐵𝑒𝑒

Creando las inducciones de cada una de ellas:

𝐵𝐵𝑐𝑐 = 2𝐾𝐾𝐼𝐼𝑅𝑅

𝐵𝐵𝑒𝑒 =𝜇𝜇0 𝐼𝐼 𝑅𝑅2

2(𝑅𝑅2 + 𝑥𝑥2)3 4�

𝐵𝐵𝑐𝑐 = 2𝑋𝑋10−7 𝑁𝑁𝐴𝐴2

(8𝐴𝐴)(0.16𝑚𝑚)

= 1𝑥𝑥10−5 T

Be =(12.57X10−7 N

A2)(5A)(0.16)2

2((.16)2 + (0.08m)2)3 4�

Be = 14.05x10−6T

Sustituyendo:

Bry = 1x10−5 − 14.05x10−6T

Bry = −4.05x10−6T

Br = �1x10−5 − 14.05x10−6T

𝑩𝑩𝒓𝒓 = 𝟒𝟒.𝟓𝟓𝟓𝟓𝒙𝒙𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟓𝟓 𝑻𝑻

Por la inducción magnética:

B =FP

F = BP

F = ( 4.65x10−6 T)(5AM)

𝑭𝑭 = −𝟐𝟐𝟎𝟎.𝟐𝟐𝟓𝟓𝟐𝟐𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟓𝟓N



Dos espiras portadoras de corriente de 4 y 8 A respectivamente están separados a 8 cm determínese la inducción magnética a 2 cm de la primera en el segmento que la une como se muestra en la figura.

I=4A

B=?

8m

I=8A

4cm

X

X

B = B1 + B2

B1 =µ0IR2

2(R2 + X2)3 4�

B2 =µ0IR2

2(R2 + X2)3 4�

Sustituyendo

B1 =12.57x10−7 NA2 (4A)(0.04)2

2((0.04)2 + (0.02m)2)3 4⁄

B1 = 44.97x10−6T

B1 =12.57x10−7 NA2 (4A)(0.04)2

2((0.04)2 + (0.06m)2)3 4⁄

B1 = 21.45x10−6T

B = −44.97x10−6T + 21.45x10−6T

𝑩𝑩 = 𝟐𝟐𝟑𝟑.𝟓𝟓𝟐𝟐𝒙𝒙𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟓𝟓𝑻𝑻

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