Mecanica y Resistencia de Materiales FIP UNI

CAPITULO III

CENTROS DE GRAVEDAD

MOMENTOS DE INERCIA

Mecánica y Resistencia de Materiales FIP UNI

SUMILLA 1. Centro de gravedad, centroides

2.Momentos de Inercia

3.Teorema de Steiner.

4.Ejes y momentos principales de Inercia

5.Circulo de Mohr para Momentos y productos de Inercia.

6.Problemas

OBJETIVOS. 1. Recordar y calcular centros de gravedad, centroides,el momento de Inercia y producto de inercia de las masas.

2. Introducir el producto de Inercia de un área y enseñar como se calculan los momentos de inercia máximo y mínimo.

3.Conocer las propiedades de las secciones transversales en elementos estructurales e identificar la variable que implica el estudio de Momento de Inercia.

Capitulo 3 Centro de Gravedad : Estática y Resistencia de Materiales

Centro de Gravedad El peso de un cuerpo es la fuerza de la atracción gravitacional de la tierra sobre el cuerpo.

El peso Resultante de todas sus partículas pasa a través de un punto llamado CENTRO

DE GRAVEDAD

Centro de gravedad de una placa Centro de gravedad de una área

Momentos estáticos o de 1º orden

x, y : coordenadas de centro de gravedad de área

Capitulo 3 : Estática y Resistencia de Materiales

Centro de Gravedad de figuras compuestas Contribución de cada figura geométrica simple

ii

ii

AyAy

AxAx

Simetría

•Si hay eje de simetría, centro de gravedad sobre ese eje.

•Si hay dos ejes de simetría perpendiculares,punto de intersección es centro de gravedad.

Ejemplo:

Capitulo 3 : Estática y Resistencia de Materiales

• Centro de Gravedad • Determinar el centroide de la figura

compuesta

ƩAX ƩAy X= ---------- =3cm ; y= --------= 97/22=4.409

ƩA ƩA

6cm 2cm

5cm

2cm x

Seccion Area x Y AX AY

1 12 3 6 36 72

2 10 3 2.5 30 25

Sumat. 22 66 97

Capitulo 3 Centro de Gravedad –Centroides : Estática y Resistencia de Materiales

Centro de Gravedad

Capitulo 3 Fuerzas Distribuidas: Estática y Resistencia de Materiales

Cargas distribuídas sobre vigas

(útil cálculo de reacciones)

Ejemplo

Capitulo 3 Fuerzas Distribuidas: Estática y Resistencia de Materiales

TEOREMA PAPPUS GULDINUS

A=2π yc L.

Yc= distancia perpendicular desde el eje de revolución al centroide de la curva

L= longitud de la curva

Los dos teoremas de Pappus y Guldinus, desarrollados en un principio por Pappus de Alejandría durante el siglo tercero a. c. y establecidos posteriormente por el matemático suizo Paul Guldin o Guldinus (1577-1643), se utilizan para calcular la superficie y volumen de cualquier objeto de revolución.

PRIMER TEOREMA. El área de una superficie en revolución es igual a la longitud de la curva generatriz

multiplicada por la distancia recorrida por el centroide de dicha curva al momento de generar la superficie:

SEGUNDO TEOREMA El volumen de un cuerpo de revolución es igual al área generatriz multiplicada por la

distancia recorrida por el centroide del área al momento de generar el cuerpo:

V=2π yc A

Mecánica y Resistencia de Materiales FIP UNI

MOMENTOS DE INERCIA

Mecánica y Resistencia de Materiales FIP UNI

INTRODUCCION

En mecánica muchas aplicaciones requieren que se conozca la

resistencia a la rotación de los cuerpos o propiedades físicas involucradas en el calculo de otras magnitudes.

En Física I el tema se aplicaba solo a masas. Sin embargo gracias a ello se demostrara que el momento de Inercia es una propiedad aplicable también a áreas planas.

¿Cuál de estos giros resulta más difícil? El momento de inercia de un cuerpo indica su resistencia a adquirir una aceleración angular

Una bailarina tendrá más momento de inercia si extiende los brazos, girara más rápido si los contrae.

Mecánica y Resistencia de Materiales FIP UNI

MOMENTO DE INERCIA DE MASA. Considere una pequeña masa m que esta montada sobre una barra, la cual puede rodar libremente sobre un eje AA´. Si se aplica un par al sistema, la barra y la masa las cuales estaban en reposo comienzan a girar alrededor de AA. Por tanto el producto de r2m proporciona una medida de inercia, esto es, una medida de la resistencia que ofrece el sistema cuando se trata de ponerlo en movimiento. Por esta razón el producto de r2m es llamado el momento de inercia de la masa con respecto al eje AA´. El momento de inercia es igual a la integral:

Mecánica y Resistencia de Materiales FIP UNI

MOMENTO DE INERCIA DE MASA. El momento de inercia de un cuerpo con respecto a un eje coordenado puede expresarse en términos de la coordenadas x, y y z. Del elemento de la masa dm se pueden obtener expresiones similares para los momentos de inercia con respecto a los ejes x, y y z:

Mecánica y Resistencia de Materiales FIP UNI

MOMENTO DE INERCIA DE AREAS. Considere una placa delgada de espesor uniforme t , la cual esta hecha de material homogéneo de densidad p (densidad = masa por unidad de volumen). El momento de inercia de masa de la placa con respecto a un eje AA´ esta dado por:

Como dm = pt dA, se escribe

Capitulo 7 Momentos de Inercia: Estática y Resistencia de Materiales

Momentos de Inercia de Areas.

A

xy dAyxI

Momento de Inercia respecto eje x o y

Momento de Inercia polar

Momento de Inercia centrífugo(producto de

Inercia)

Momento de Inercia del rectángulo

3

A

h

0

22x bh

3

1bdyydAyI

bdydA

Momentos de 2º orden

Capitulo 7 Momentos de Inercia : Estática y Resistencia de Materiales

Momentos de Inercia de áreas de formas comunes

x , y ejes baricéntricos x´, y´ ejes de referencia alternativos

Capitulo 7 Momentos de Inercia : Estática y Resistencia de Materiales

Momentos de Inercia de áreas de formas comunes

El radio de giro de un área con respecto a un eje particular es igual : a la raíz cuadrada del cociente del segundo momento de área dividido por el área:

Capitulo 7 Momento de Inercia : Estática y Resistencia de Materiales

Teorema de Steiner o de los ejes paralelos

Consideremos el momento de inercia I de una área A con respecto a un eje AA' (figura). representando con y la distancia desde un elemento de área dA hasta AA', escribimos

Dibujemos ahora un eje BB' paralelo a AA' que pase por el centroide C del área: este eje es llamado un eje centroidal. Llamando y' la distancia del elemento dA a BB', escribimos y = y' + d, donde d es la distancia entre los ejes AA' y BB'. Remplazando y en la integral de I, escribimos:

I AA´= / IBB c +/2dQBB +/ Ad2 El primer termino representa el momento de inercia I del área con respecto al eje centroidal BB'. El segundo representa el momento de primer orden del área con respecto a BB'; como el centroide C del área está localizado sobre ese eje ,(se elimina) La segunda integral debe ser nula. Finalmente, observamos que la última integral es igual al área total A.

Capitulo 7 Momento de Inercia : Estática y Resistencia de Materiales

Formulacion Teorema de Steiner o de los ejes paralelos

IXG: momento de inercia respecto a eje baricéntrico

IX: momento de inercia respecto a eje alternativo

A : área de la figura

yG: distancia entre ambos ejes

Rotación de ejes

2cosI2sen2

III

2senI2cos2

II

2

III

2senI2cos2

II

2

III

xyyx

yx

xyyxyx

y

xyyxyx

x