teia do teia dosabersaber -...

TEIA DOTEIA DO SABERSABER2005

METODOLOGIA DE ENSINO DE DISCIPLINAS DA ÁREA DE CIÊNCIAS DA NATUREZA, MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS DO ENSINO

MÉDIO: FÍSICA, QUÍMICA E BIOLOGIA

Fundação de Apoio às Ciências: Humanas, Exatas e Naturais

Material Pedagógico para uso do professorEVenda Proibida Coordenação GeralProf. Dr. Mauricio dos Santos Matos(16) 3602-3670 e-mail:[email protected]

Acompanhe a programação pela internet: http://sites.ffclrp.usp.br/laife

A Matemática Presente nas Ciências e na VidaProfa. Dra. Maria Aparecida BenáProfa. Dra. Marta Cilene Gadotti

GOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULOSECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO

DIRETORIA DE ENSINO - REGIÃO DE RIBEIRÃO PRETOAv. Nove de Julho no. 378 - Ribeirão Preto

TURMA INICIAL

TEIA DO SABER 2005 Metodologia de Ensino de Disciplinas da Área de Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias do Ensino Médio: Física, Química e Biologia (Tuma de Continuidade)

A Matemática Presente nas

Ciências e na Vida

Profa Dra Maria Aparecida Bená e Profa Dra Marta Cilene Gadotti

APRESENTAÇÃO DOS PROFESSORES DO MÓDULO DE ENSINO

Profa. Dra. Maria Aparecida Bená e Profa. Dra. Marta Cilene Gadotti:

As Professoras Maria Aparecida Bená e Marta Cilene Gadotti são graduadas e doutoras na

área de Matemática, sub-área Análise, especificamente, Equações Diferenciais Funcionais, pelo

Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação da Universidade de São Paulo, Campus de São

Carlos. São docentes do Departamento de Física e Matemática da Faculdade de Filosofia, Ciências

e Letras de Ribeirão Preto da Universidade de São Paulo, onde ministram aulas que abrangem

várias disciplinas de Matemática, como Cálculo Diferencial e Integral, Geometria Analítica,

Álgebra Linear, Equações Diferenciais Aplicadas, Análise Real, entre outras.

Além do ensino e do desenvolvimento de pesquisas em Matemática, atuam na área de

extensão universitária realizando cursos voltados para a comunidade em geral, com o objetivo de

mostrar as aplicações da Matemática no nosso dia-a-dia, e projetos envolvendo professores do

ensino fundamental e médio da rede pública.

Projetos e cursos realizados: Programa Pró-Ciências/FAPESP (Programa de Educação

Continuada), “A Matemática no nosso cotidiano”, “A integração da Universidade às Escolas

Públicas” (Fundo de Cultura e Extensão da Pró-Reitoria de Cultura e Extensão Universitária).


1

APRESENTAÇÃO DAS ATIVIDADES A SEREM DESENVOLVIDAS

Caros Professores,

Estamos apresentando um roteiro referente ao tema “A Matemática Presente nas

Ciências e na Vida” que será desenvolvido em duas etapas. Nesta primeira etapa

abordaremos situações do cotidiano e que exigem o desenvolvimento do raciocínio lógico.

Esse tipo de abordagem lhes permitirá enriquecimento de suas aulas no dia-a-dia.

Na segunda etapa do desenvolvimento do tema proposto, nos fixaremos em

problemas que surgem nas áreas de Química, Física, Biologia e outras ciências, e que

necessitam de ferramentas matemáticas, evidenciando assim a interdisciplinaridade, tão

valorizada atualmente.

Marta e Cidinha

Ribeirão Preto

Agosto/2005


2

1. Introdução

O objetivo de todo ensino seja de Matemática, seja de qualquer outra disciplina, é

transmitir idéias e estimular o pensamento independente e a criatividade.

Estamos vivendo um momento em que o avanço da tecnologia se torna cada vez

mais intenso, propiciando assim um rápido acesso a informações sobre o desenvolvimento

e inovações ocorridos nas diversas áreas do conhecimento. Na compreensão dessas

informações é necessário não apenas se ater ao assunto específico de cada tema, tratando-o

de forma isolada, mas sim visualizar a inter-relação dele com conhecimentos de outras

áreas. E nesse aspecto, a Matemática, que se faz presente no nosso cotidiano como

ferramenta de resolução de problemas corriqueiros de nossa vida (como cálculo de nosso

orçamento familiar, distância entre dois lugares, contagem do tempo, decisão de melhor

opção de compra no comércio, etc), é também um importante, muitas vezes essencial,

mecanismo de abordagem de problemas que envolvem os mais diversos temas das ciências

em geral, como por exemplo, a Física, a Economia, a Biologia, a Química, a Psicologia, a

Geografia, a Arquitetura, a Geologia, a Pintura, a Escultura e a Música.

Mediante o exposto, pretendemos nesse encontro, capacitar os participantes a

aplicar conhecimentos matemáticos em situações reais e em problemas diversos, que são

melhores interpretados quando é realizada uma abordagem numérica ou lógica, orientando-

os de maneira a estimular o raciocínio, e com isso contribuir para um melhor desempenho

no trabalho e na vida, o que certamente implicará uma maior valorização como ser humano.

“A resolução de problemas foi e é a coluna vertebral da instrução Matemática.” (POLYA)


3

2. Resolução de Problemas

“A real justificativa para se ensinar Matemática é que ela é útil e, em particular,

auxilia na solução de muitas espécies de problemas.” (BEGLE)

“Não se aprende Matemática para resolver problemas e, sim, se aprende

Matemática resolvendo problemas.” (Dione Lucchesi de Carvalho)

Resolver um determinado problema não significa apenas compreender o que é

exigido, aplicar técnicas ou fórmulas adequadas e obter a resposta correta, mas, além disso,

ter uma atitude de “investigação científica” em relação àquilo que está pronto.

Outro aspecto importante nessa abordagem é o de provocar uma análise mais

qualitativa do problema, ou seja, fazer um questionamento sobre a solução do problema,

sobre os dados e finalmente sobre o problema a ser tratado.

Nesse contexto, o educador tem a tarefa de auxiliar e estimular seus alunos a

resolver problemas, ajudando-os a interpretar os dados e o simbolismo presente no

problema a ser estudado e sugerir exemplos e estratégias que facilitem a compreensão do

tema presente no problema, desempenhando assim, o papel de mediador, facilitador e

organizador da aprendizagem.

“Aprender a resolver problemas matemáticos deve ser o maior objetivo da

instrução matemática. Certamente outros objetivos da Matemática devem ser procurados,

para atingir o objetivo da competência em resolução de problemas.

Desenvolver conceitos matemáticos, princípios e algoritmos através de

conhecimento significativo e habilidoso é importante, mas o significado principal de


4

aprender tais conteúdos é ser capaz de usá-los na construção das soluções das situações-

problema.” (Hartfield)

2.1 Metodologia

De acordo com G. Polya, existem quatro etapas principais para a resolução de um

problema:

(I) Compreender o problema

a) O que se pede no problema?

b) Quais são os dados e as condições do problema?

c) É possível fazer uma figura, um esquema ou um diagrama?

d) É possível estimar a resposta?

(II) Elaborar um plano

a) Qual é o seu plano para resolver o problema?

b) Que estratégia você tentará desenvolver?

c) Você se lembra de um problema semelhante que pode ajudá-lo a resolver este?

d) Tente organizar os dados em tabelas e gráficos.

e) Tente resolver o problema por partes.

(III) Executar o plano

a) Execute o plano elaborado, verificando-o passo a passo.

b) Efetue todos os cálculos indicados no plano.

c) Execute todas as estratégias pensadas, obtendo várias maneiras de resolver o mesmo

problema.

(IV) Fazer o retrospecto ou verificação

a) Examine se a solução obtida está correta.

b) Existe outra maneira de resolver o problema?


5

c) É possível usar o método empregado para resolver problemas semelhantes?

2.2 Exemplos

1) Uma população consome três marcas de sabão em pó, A, B e C. Feita uma pesquisa de

mercado, colheram-se os seguintes resultados: 109 pessoas consomem a marca A; 203

pessoas consomem a marca B; 162 pessoas consomem a marca C; 25 pessoas consomem a

marca A e B; 41 pessoas consomem a marca B e C; 28 pessoas consomem a marca C e A; 5

pessoas consomem a marca A, B e C e 105 pessoas não consomem nenhuma das três.

Pergunta-se:

a) Número de pessoas consultadas;

b) Número de pessoas que só consomem a marca A;

c) Número de pessoas que não consomem as marcas A ou C;

d) Número de pessoas que consomem ao menos duas marcas.

2) Um posto de abastecimento vende um litro de mistura de combustível (gasolina mais

álcool) a R$ 0,75, mistura essa composta por 75% de gasolina e 25% de álcool. Se um litro

de álcool custa R$ 0, 60, o de gasolina, custa:

(a) R$ 0,60 (b) R$ 0,78 (c) R$ 0,70 (d) R$ 0,80 (e) R$ 0,82

3) Augusta recebe um salário mensal que é constituído de uma parte fixa igual a R$

1.000,00 e mais uma parte variável, correspondendo a 3% sobre o total de vendas que

exceder R$ 5.000,00. Calcula-se em 10% o percentual de descontos diversos que incidem

sobre seu salário bruto total. Em dois meses consecutivos Augusta recebeu, líquido,

respectivamente R$ 1.035,00 e R$1.089,00. Com esses dados, pode-se afirmar que suas

vendas no segundo mês foram superiores às do primeiro mês em:

(a) 18% (b) 20% (c) 30% (d) 33% (e) 41%

4) Um grupo de empresários resolve comprar uma empresa no valor de R$ 120.000,00

cabendo a cada um deles a mesma parcela da compra. Posteriormente, quatro pessoas


6

desistem da compra, fazendo com que a cota de cada um dos outros aumentasse de R$

40.000,00. O grupo inicial era formado por:

(a) 7 empresários (b) 4 empresários (c) 6 empresários

(d) 3 empresários (e) 5 empresários

5) Numa certa República os cidadãos elegem o presidente a cada 4 anos, os deputados a

cada 6 anos e os senadores a cada 9 anos. Se numa eleição os três cargos são disputados, o

período mínimo necessário para que os três cargos sejam disputados novamente na mesma

eleição é:

(a) 36 anos (b) 24 anos (c) 54 anos (d) 324 anos (e) 216 anos

6) Era uma lagarta tão pequena que quase sumia.

Iniciando no chão, na grande palmeira subia.

Usando sempre no máximo de energia,

todos os dias 6 metros para cima fazia,

mas, à noite, sempre 4 metros descia.

Ao anoitecer do 15º dia, a subida teve fim.

Diga baixinho, apenas para mim,

qual a altura da palmeira do jardim?

7) Uma caixa automática de banco só trabalha com notas de 5 e 10 reais. Um usuário deseja

fazer um saque de R$ 100,00. De quantas maneiras a caixa eletrônica poderá fazer esse

pagamento?

(a) 5 (b) 6 (c) 11 (d) 15 (e) 20

8) Sabendo-se que seis raposas, em seis minutos, comem seis galinhas, pergunta-se:

quantas raposas, em sessenta minutos, comem sessenta galinhas?

9) Como deve ser decomposto um número, em duas partes, para que o produto dessas

partes seja o maior possível?


7

10) Dispõe-se de R$ 2,00 para adquirir 10 selos de correio: de R$ 0,25, R$ 0,10 e R$ 0,05.

Quantos selos de cada um desses valores deverão ser comprados?

11) Todo adolescente é sonhador. Algumas pessoas que estudam não são sonhadoras. Logo:

a) As pessoas que não estudam são sonhadoras;

b) Alguns adolescentes que estudam não são sonhadores;

c) Todos os adolescentes que estudam são sonhadores;

d) Nenhum adolescente estuda;

e) Todas as alternativas anteriores estão incorretas.

12) Na Câmara de Vereadores de uma democracia, há somente dois partidos: o Popular e o

Trabalhador. Um vereador do primeiro, que é o partido majoritário, passa para o Partido

Trabalhador. Da tribuna, um vereador faz lamentações dizendo: “A maioria do Partido

Popular se reduz de 9 para 8 cadeiras.” Que erro cometeu o orador?

13) Um ônibus percorre a distância entre duas localidades, desenvolvendo uma velocidade

média de 72 km/h. Na viagem de regresso, a velocidade média desenvolvida foi de 48

km/h. Qual foi a velocidade média desenvolvida no percurso todo?

14) Um operário recebe R$ 50,00 diários na construção de uma obra, que deve ser feita em

10 dias, sendo obrigado, por questões contratuais, a pagar R$ 20,00 de multa, cada dia que

exceder o prazo. Concluída a obra, o operário recebeu R$ 380,00. Em quantos dias foi feita

a obra?

15) As pessoas que assistiram a uma reunião apertaram-se as mãos. Uma delas notou que os

cumprimentos foram 171. Quantas pessoas compareceram à reunião?

16) Se a República Brasileira tivesse sido proclamada 4 anos mais cedo, o Imperador Pedro

II teria reinado durante 3/4 de sua vida; se tivesse sido proclamada 11 anos mais tarde, teria

reinado 4/5 de sua vida. Quantos anos reinou Pedro II e que idade tinha na data da queda do

Império?


8

17) Há diferença na marcação de hora de dois relógios. Quando um marca 8h 35min, são

realmente 7h 47min. O segundo relógio está 18 minutos atrasado em relação ao primeiro.

Que horas serão realmente quando o segundo relógio estiver marcando 12h 10min?

18) Repousando solitário à beira de um lago, um pato viu, contente, a chegada do bando

alegre da mesma espécie. “Bem vindos meus amigos, estou alegre em vê-los todos aqui.

Não é todo dia que nos reunimos assim formando essa bela centena. ”Ponderado, respondeu

o decano do bando recém-chegado: “Seus olhos enxergam demais, velho amigo. Falta

muito para chegar a cem. Vá lá, faça você mesmo a conta. Duplique nosso número,

acrescente mais a metade e mais 1/4 e não esqueça de incluir você também. Só assim,

amigo, chegará, ao número cem.”

Qual o número real de patos?

19) a) Quantos triângulos há na figura abaixo?

b) Quantos triângulos há na figura abaixo?

c) Quantos triângulos há na figura ao lado?


9

20) Um rato está 48 metros na frente de um gato que o persegue. Enquanto o rato percorre

4 metros, o gato percorre 7 metros. Quantos metros deverá percorrer o gato para alcançar o

rato?

21) Amilton e Pascoal, cada um acompanhado por um de seus filhos, foram pescar.

Amilton pescou o dobro de peixes do que seu filho, enquanto Pascoal pescou o quíntuplo

de peixes do que seu filho. No total pescaram 26 peixes. Leonardo é o nome do filho de

Amilton. Como se chama o filho de Pascoal e quantos peixes ele pescou?

22) Em uma festa compareceram 500 pessoas. Podemos ter certeza que entre os presentes:

a) Existe alguém que aniversaria em maio;

b) Existem dois que não aniversariam no mesmo dia;

c) Existem pelo menos dois que aniversariam no mesmo dia;

d) Existem mais de dois que aniversariam no mesmo dia;

e) Nenhum aniversaria no mesmo dia que o outro.


10

3. BIBLIOGRAFIA

Carvalho, D.L., Metodologia do Ensino da Matemática, São Paulo, Coleção Magistério 2o Grau – Série Formação do Professor, Cortez (1990). D’Ambrósio, B., Como ensinar a Matemática hoje? Temas & Debates, Rio Claro, SBEM (1996). Dante, L.R., Didática da Resolução de Problemas de Matemática. 2a ed, São Paulo, Ática (1991). Polya, G., A arte de resolver problemas, Rio de Janeiro, Interciência (1977).

teia do teia dosabersaber -...

Documents