Soluciones a “Ejercicios y problemas”Soluciones a “Ejercicios y problemas”7

Unidad 7. Trigonometría

PÁGINA 155

■ Practica

Razones trigonométricas de un ángulo agudo

1 Halla las razones trigonométricas del ángulo a en cada uno de estos triángu-los:

a) b) c)

7 m

25 m 8 m

aa

a

11,6

cm

32 m 60 m

a) sen a = 725

= 0,28; cos a = √252 – 72

25 = 24

25 = 0,96; tg a = 7

24 ≈ 0,29

b) sen a = √11,62 – 82

11,6 = 8,4

11,6 ≈ 0,724

cos a = 811,6

≈ 0,69; tg a = 8,48

= 1,05

c) sen a = 32√322 + 602

= 3268

= 817

≈ 0,47

cos a = 6068

= 1517

≈ 0,88; tg a = 3260

= 815

≈ 0,53

2 Midiendo los lados, halla las razones trigonométricas de B^ en cada caso:

a) b)

A

AB

BC

C

a) sen B^ = 2,83,4

≈ 0,82; cos B^ = 23,4

≈ 0,59; tg B^ = 2,82

= 1,4

b) sen B^ = 1,33,8

≈ 0,34; cos B^ = 3,63,8

≈ 0,95; tg B^ = 1,33,6

≈ 0,36

3 Halla las razones trigonométricas de los ángulos agudos de los siguientes trián-gulos rectángulos (A^ = 90°):

a) b = 56 cm; a = 62,3 cm

b) b = 33,6 cm; c = 4,5 cm

c) c = 16 cm; a = 36 cm

Pág. 1

Soluciones a “Ejercicios y problemas”Soluciones a “Ejercicios y problemas”7

Unidad 7. Trigonometría

a) sen B^ = 5662,3

≈ 0,90

cos B^ = √62,32 – 562

62,3 = 27,3

62,3 ≈ 0,438

tg B^ = 5627,3

≈ 2,051

27,3

cm

56 cm

62,3 cm

A

B

C

sen C^ = 27,362,3

≈ 0,438; cos C^ = 5662,3

≈ 0,90; tg C^ = 27,356

= 0,4875

b) sen B^ = 33,6√4,52 + 33,62

= 33,633,9

≈ 0,991

4,5 cm

33,6 cm

33,9 cm

A

B

C cos B^ = 4,5

33,9 ≈ 0,133

tg B^ = 33,64,5

≈ 7,467

sen C^ = 4,533,9

≈ 0,133; cos C^ = 33,633,9

≈ 0,991; tg C^ = 4,533,6

≈ 9,955

c) sen B^ = √362 – 162

36 ≈ 32,25

36 ≈ 0,896

cos B^ = 1636

= 0,)4

tg B^ = 32,2516

≈ 2,016 32,25 cm

36 cm

16 c

m

A

B

C

sen C^ = 1636

= 0,)4; cos C^ = 32,25

36 ≈ 0,896; tg C^ = 16

32,25 ≈ 0,496

4 Comprueba, con el teorema de Pitágoras, que los triángulos ABC y AHB son rectángulos.

Halla en cada uno las razones trigonométricas de B^ y compara los resultados. ¿Qué observas?

BHC

A

1,96 cm23,04 cm

24 cm6,72 cm7

cm

El triángulo ABC es rectángulo en A:242 + 72 = 625 = (23,04 + 1,96)2 = 252 = 625

El triángulo AHB es rectángulo en H:23,042 + 6,722 = 576 = 242

sen B cos B tg B

EN ABC725

= 0,28 2425

= 0,96 724

≈ 0,292

EN AHB6,7224

= 0,28 23,0424

= 0,96 6,7223,04

≈ 0,292

Pág. 2

Soluciones a “Ejercicios y problemas”Soluciones a “Ejercicios y problemas”7

Unidad 7. Trigonometría

5 Calcula las razones trigonométricas de los ángulos A^ y C^,

ABD y

CBD .

AD = √152 – 122 = 9 cm

BC = √122 + 162 = 20 cm

B

C16 cm

15 cm

A D12

cm

A C

ABD

CBD

sen1215

= 0,8 1220

= 0,6 915

= 0,6 1620

= 0,8

cos915

= 0,6 1620

= 0,8 1215

= 0,8 1220

= 0,6

tg129

= 1,)3 12

16 = 0,75 9

12 = 0,75 16

12 = 1,

)3

Relaciones fundamentales

6 Si sen a = 0,28, calcula cos a y tg a utilizando las relaciones fundamentales (a < 90°).

cos a = √1 – 0,282 = 0,96; tg a = 0,280,96

≈ 0,292

7 Halla el valor exacto (con radicales) de sen a y tg a sabiendo que cos a = 2/3 (a < 90°).

sen a = √1 – (23 )2 = √1 – 4

9 = √5

3; tg a = √5/3

2/3 = √5

2

8 Si tg a = √5, calcula sen a y cos a (a < 90°).

sen acos a

= √5

sen 2 a + cos 2 a = 1

°§¢§£

s = √5 c

(√5 c)2 + c 2 = 1 8 6c 2 = 1 8 cos a = 1√6

= √66

sen a = √5 · √66

= √306

9 Calcula y completa esta tabla en tu cuaderno, con valores aproximados:

En todos los casos, solo tomaremos valores positivos.

• sen a = 0,92 8 cos a = √1 – (0,92)2 = 0,39

tg a = 0,920,39

= 2,35

sen a 0,92

cos a 0,12

tg a 0,75

• tg a = 0,75

sen acos a

= 0,75 8 sen a = 0,75 · cos a

Pág. 3

Soluciones a “Ejercicios y problemas”Soluciones a “Ejercicios y problemas”7

Unidad 7. Trigonometría

(sen a)2 + (cos a)2 = 1 8 (0,75 · cos a)2 + (cos a)2 = 1 8 8 (cos a)2 = 0,64 8 cos a = 0,8 sen a = 0,75 · 0,8 = 0,6

• cos a = 0,12 8 sen a = √1 – (0,12)2 = 0,99

tg a = 0,990,12

= 8,27

sen a 0,92 0,6 0,99

cos a 0,39 0,8 0,12

tg a 2,35 0,75 8,27

10 Calcula el valor exacto (utilizando radicales) de las razones trigonométricas que faltan en la ta-bla siguiente (a < 90°). Hazlo en tu cuaderno.

sen a 2/3

cos a √2/3

tg a 2

Como a < 90° 8 °¢£

sen a > 0cos a > 0

• sen a = 23

8 cos a = √1 – (23 )2 = √5

9 = √5

3

tg a = 2/3√5/3

= 2√5

= 2√5 5

• cos a = √23

8 sen a = √1 – (√23 )

2 = √7

9 = √7

3

tg a = √7/3√2/3

= √72

• tg a = 2 8 sen acos a

= 2 8 sen a = 2 cos a

(sen a)2 + (cos a)2 = 1 8 4(cos a)2 + (cos a)2 = 1 8

8 cos a = 1√5

= √55

; sen a = 2√5 5

sen a 2/3 √7/3 2√5/5cos a √5/3 √2/3 √5/5tg a 2√5/5 √7/2 2

Calculadora

11 Completa en tu cuaderno la tabla siguiente, utilizando la calculadora:

a 15° 55° 20' 72° 25' 40'' 85,5°

sen a 0,26 0,82 0,95 0,997

cos a 0,97 0,57 0,30 0,078

tg a 0,27 1,45 3,16 12,71

12 Halla el ángulo a en cada caso. Exprésalo en grados, minutos y segundos.a) sen a = 0,58 b) cos a = 0,75 c) tg a = 2,5

d) sen a = √53

e) cos a = 1

√3 f ) tg a = 3 √2

a) a = 35° 27' 2'' b) a = 41° 24' 35'' c) a = 68° 11' 55''

d) a = 48° 11' 23'' e) a = 54° 44' 8'' f ) a = 76° 44' 14''

Pág. 4

Soluciones a “Ejercicios y problemas”Soluciones a “Ejercicios y problemas”7

Unidad 7. Trigonometría

13 Halla, con la calculadora, las otras razones trigonométricas del ángulo a en cada uno de los casos siguientes:

a) sen a = 0,23 b) cos a = 0,74 c) tg a = 1,75

d) sen a = 1

√2 e) tg a = √3 f ) cos a = √3

2

a) cos a = 0,97; tg a = 0,24 b) sen a = 0,67; tg a = 0,91

c) sen a = 0,87; cos a = 0,5 d) cos a = 0,71; tg a = 1

e) sen a = 0,87; cos a = 0,5 f ) sen a = 0,5; tg a = 0,58

Pág. 5