capítulo razones trigonomÉtricas de un Ángulo agudo - i · 2020. 11. 7. · 3 capítulo razones...
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3
CapítuloRAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DE UN ÁNGULO AGUDO - I 1DEFINICIÓN: Son los resultados que se obtienen al dividir los lados de un triángulo rectángulo.En el triángulo adjunto, tenemos:
A B
C
ab
c
a y c : catetos b : hipotenusa
B : recto
A y C : s agudos
222 bca
A + C = 90º
A los resultados así obtenidos se les asigna un nombre asociado a uno de los ángulos agudos del triángulo. Así en el gráfico;para  tenemos:a : cateto opuesto (CO) b : hipotenusa (H) c : cateto adyacente (CA)Luego se definen :
ba
HCOSenA
bc
HCACosA
ca
CACOTanA
ab
COHCscA
cb
CAHSecA
ac
COCACotA
Por ejemplo:
135
12
512Cot ;
1312Cos
125 Tan;
135Sen
* TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS DE ÁNGULOS NOTABLES: Son aquellos triángulos rectángulos en los cualesconociendo las medidas de sus ángulos agudos se pude establecer la proporción en la que se encuentran los lados dedicho triángulo. Dos de los más usados son :
45º
45º
1
12
30º
60º
12
3Mientras que uno aproximado, pero reconocido por sus diversas aplicaciones es el de 37º y 53º.
37º
53º
35
4
-
4
A partir de estos se determinarán otros adicionales como:
22º30'
67º30'
14 + 2 2
2 +115º
75º
6 - 24
6 + 218º30'
71º30'
110
3
26º30'
63º30'
15
28º
82º
1
716º
74º
725
24
5 2
No olvide además:
30º 37º 45º 53º 60º
Sen 21
53
22
54
23
Cos 23 5
4 22 5
3 21
Tan 33 4
3 1 34 3
Cot 3 34 1 4
3 33
Sec 3
32 45
2 35
2
Csc 2 35
2 45
3
32
* PROPIEDADES:
I. Las razones trigonométricas de un ángulo; dependerán de la medida de dicho ángulo y no de los lados deltriángulo rectángulo en que se ubique. Por ejemplo:
A
QM
NP B
C
Iguales
ACBCSen
ANMNSen
AQPQSen
II. R. T. Recíprocas: Se nota claramente, de las definiciones de las razones trigonométricas de un ángulo agudo, queexisten tres parejas que son una la recíproca inversa de la otra, por lo que su producto es siempre igual a 1. Estasparejas son las siguientes:
1CotTan1SecCos1CscSen
Note que los ángulos agudos, deben ser iguales. Por ejemplo si nos dicen que :Tan(3x - 10º) . Cot(x + 30º) = 1; para calcular "x" diremos :
Tan(3x - 10º) . Cot(x + 30º) = 1 3x - 10º = x + 30º x = 20º
III. R. T. de Ángulos Complementarios: Cuando se calculan las razones trigonométricas de los 2 ángulos agudosde un triángulo rectángulo, se puede notar que existen ciertas parejas de éstas que toman el mismo valor. Estacaracterística la vamos a indicar de la siguiente manera:
-
5
Si: son agudos; tales que: + = 90ºentonces:
Sen = Cos Tan = Cot Sec = Csc
Por ejemplo: Sen10º = Cos80º Tan20º = Cot70ºSec40º = Cos 50º Cos24º = Sen 66ºTan = Cot (90º ) Sen( + 10º) = Cos (8 )
0º
Si: son agudos; tales que:
entonces:
= 90º
Sen = Cos Tan = Cot Sec = Csc
Por ejemplo: hallar "x", si: Sen (2x + 10º) = Cos3x 2x + 10º + 3x = 90º 5x = 80º x = 16º Otro ejemplo; hallar "x" si: Tan (2x + y) = Cot (x - y)
o
2x + y + x y = 90º3x = 90º x = 30º
-
6
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Si " " es la medida de un ángulo agudo y se cumple
que: 32Tg ; calcular: Cot12Sen13T
a) 12 b) 14 c) 16d) 18 e) 20
02. En un triángulo rectángulo ABC recto en "C" se cumple
que: 4SenA=7SenB; calcular: TgB42ASen65E 2
a) 10 b) 15 c) 20d) 25 e) 30
03. El perímetro de un triángulo rectángulo es 150u y lacosecante de uno de los ángulos agudos es 2,6.Calcular la longitud del mayor cateto.
a) 20 u b) 30 u c) 40 ud) 50 u e) 60 u
04. Del gráfico mostrado, calcular: "Cot.Cot"
A
B
CE
F
a2a
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 3/2
05. Del gráfico mostrado, calcular: "TgwTg" , si: ABCDes un cuadrado.
A
B C
D
E
2a
3a
w
a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3d) 0,4 e) 0,5
06. Del gráfico, calcular: "Cot" , si: 4,2Cot
A
B C
DE
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
07. Del gráfico, calcular: "Tg" , si: 125Tgw
w
a) 0,5 b) 1 c) 1,5d) 2 e) 2,5
08. Calcular: 3Cos3
6Sen6
4Tg4E
a) 5,5 b) 6,5 c) 7,5d) 8,5 e) 9,5
09. Calcular: º45Secº30Tg2
º45Cotº.60Secº.30CotE22
2
a) 2 b) 2,25 c) 2,5d) 2,75 e) 3
10. Del gráfico, calcular: Cot
A
O B
E
F37º
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
11. Si ABC es un triángulo equilátero, calcular: "Tg"
A
B
C
M 8
N2
a) 53
b) 5
32c)
73
d) 7
32e)
733
-
7
12. Del gráfico mostrado, calcular: Tan11
A
B C
DE
F45º
37º
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
13. Del gráfico mostrado, calcular: "Cotw" .
a
4a
45ºw
a) 1 b) 1,5 c) 2d) 2,5 e) 3
14. Del gráfico mostrado, calcular: "Tg" , si: ABCD es uncuadrado.
A
B C
DE F
37º
a) 3/4 b) 3/7 c) 4/7d) 3/5 e) 3/8
15. Si se cumple que: Sen2x = Cos3x para "x" agudo,calcular: E = 4Tg(2x+1º)+3Tg(3x-1º).
a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9
16. Si se cumple que: Sen(3x-17º)Csc(x+13º) = 1Calcular: E = Csc2x+Cot3x+Sec4x
a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9
17. Calcular: E = (3Tg10º+8Cot80º)Cot10º
a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14
18. Calcular: E = (5Sen20º+3Cos70º)(5Csc20º-2Sec70º)
a) 20 b) 22 c) 24d) 26 e) 28
19. Sabiendo que: Tg(3x-10º)Tg40º = 1Calcular: E = 3Sec3x+5Sen(2x-3º)
a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9
20. Si: SenxSecy = 1, con x e y agudos.
Calcular: Tgy.Tgx).3
yx(Cot).2
yx(TgE
a) 1 b) 2 c) 3
d) 5 e) 6
21. En un triángulo rectángulo, los lados menores miden3 cm y 5 cm. Si el menor ángulo agudo de dichotriángulo mide " ".
Halle el valor de: 1Sen17W 2
a) 1,5 b) 2,5 c) 3,5d) 4,5 e) 5,5
22. En un triángulo ABC, recto en C, se sabe :
32
SecBSecA
Calcular :
CtgB3CosA13E
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
23. En un triángulo rectángulo, el Coseno de uno de susángulos agudos es 0,96.Si su hipotenusa mide 50 m.Hallar el perímetro de dicho triángulo.
a) 112 m b) 224 m c) 96 md) 52 m e) 412 m
24. Calcule el área de la región triangular ABC .Donde: AC = 36m; si, además
26CscC 17CscA
a) 72 m2 b) 144 m2 c) 108 m2
d) 18 m2 e) 360 m2
25. El perímetro de un triángulo rectángulo es de 338 m.Si la tangente de uno de los ángulos agudos es 2,4.¿Cuánto mide el cateto menor?
a) 13 m b) 33,8 m c) 50 md) 56,33 m e) 55 m
-
8
26. De la figura, hallar 2)2Tan(
m
n
2 mn
a) 1 b) 4 c) 2d) 3 e) 0
27. Determinar la hipotenusa de un triángulo rectángulo,sabiendo que la suma de sus catetos es 6 m y elproducto de los Senos de los ángulos agudos es 0,22.
a) 3 m b) 4 m c) 5 md) 6 m e) 7 m
28. Del gráfico, calcule : Tan .Si: BN = 2AN
A N B
C
45º
M
a) 0,25 b) 0,5 c) 0,6d) 0,8 e) 0,75
29. Si en el gráfico : AB = BC.Calcule: Tan
A
B
C 53º
M
a) 92
b) 94
c) 32
d) 31
e) 52
30. Del gráfico, obtener Tan
M37º
A
BO
a) 34
b) 43
c) 45
d) 32
e) 54
31. Si:
1nCos2
n2Tan
n3Cscf )x(
Calcular: )2(f
a) 02 b) 12 c) 22
d) 32 e) 0
32. Si en el triángulo ABC, equilátero, M, N y P son puntosmedios de AB, BC y AC, respectivamente.Además: NQ = 2QPCalcular:
TanTan5Tan7K
PA C
B
M N
Q
a) 3 b) 4 c) 6d) 8 e) 14
33. Si: 2
x y 1)Tanx( 23Sen
El valor de "q" es: xCtg1
xTan1q2
2
a) 2 b) 32
c) 3
d) 21
e) 31
34. Del gráfico, calcular: CotSi: ABCD: cuadrado.
A
B C
D37º
a) 6 b) 12 c) 9d) 18 e) 14
-
9
35. Si:Sen 3x . Cscy = 1Tan(2x + 20º) = Ctg(y + 10º)Determinar "y - x"
a) 12º b) 18º c) 20ºd) 24º e) 32º
36. Si: Tgx . Tgy = 1Determinar:
3yx2Sec
3yxTan
2yx SenE
a) 36
b) 66
c) 1
d) 35
e) 62
37. Calcular:E = 4Sen20º (Csc20º + 2Sec70º)
a) 12 b) 10 c) 8d) 6 e) 16
38. Calcule el valor de la expresión:
º80Csc...º30Cscº20Cscº10Cscº80Sec...º30Secº20Secº10SecW
a) 1 b) 2 c) 2d) 3 e) 23
39. Hallar los ángulos agudos y tales que:
)º90(Ctg)º353(Tan
º152
a) 11º y 10º b) 15º y 13ºc) 20º y 17º30' d) 35º y 25ºe) 17º y 16º
40. Siendo:Sen(2x+y) . Sen(x-y+10º) = Cos (x+2y) . Cos (80º -x + y)Calcule:
K = Cot(x+y) . Cot(5x-2y) . Cot(5y-2x)
a) 1 b) 2 c) 3
d) 3 e) 33
41. Se tiene dos circunferencias tangentes exteriormentecon radios R y r.Calcular el cuadrado de la cotangente del ánguloformado por la recta tangente a ambas circunferenciasy la recta que une los centros.
a) 2)rR(Rr4 b) 2)rR(
Rr4
c) 2)rR(Rr2 d) 2)rR(
Rr2
e) 2)rR(Rr
42. Se tiene un triángulo rectángulo con catetos a y b.Hallar su área en términos de "m" si:
6Sen2
3tSecta 2
3Cos2
6tCsctb 2
22 m4
Tanmt2t
a) 1m2 b)
22
21m
c)
22
21m
d)
2)1m( 22
e) 1m2
43. En la figura, calcular el valor de x, si se cumple lasiguiente condición:
0)3º30(Ctg)º30(Tan
20m
x
a) m210 b) 10 m c) m35
d) 5 m e) m310
44. Una semicircunferencia de radio )31( cm. se divideen treinta arcos iguales.Calcular la proyección del arco comprendido entre laquinta y décima división sobre el diámetro horizontalen centímetros.
a) 41
b) 21
c) 1
d) 45
e) 2
45. Si para un observador en la Tierra, el Sol aparece bajoun ángulo de 32' y si la distancia del observador a lasuperficie de Sol es 150 millones de kilómetros.Determinar el radio del Sol en millones de kilómetrossabiendo que:
Sen16' = 0,00465
-
10
a) 0,70 b) 0,819 c) 1,395d) 2,629 e) 1,402
46. En un triángulo isósceles, las medianas trazadas de susvértices de ángulos iguales se intersecanperpendicularmente.Entonces, el Coseno de uno de los ángulos iguales es:
a) 31
b) 21
c) 23
d) 101
e) 321
47. Dos autos parten simultáneamente desde un punto "P"en direcciones que forman un ángulo " " uno a5 km/h y el otro a 12 km/h.Calcular el Cos sabiendo que al cabo de 1 hora ladistancia desde el punto "P" al punto medio delsegmento que separa ambos autos es de 7 km.
a) 85
b) 167
c) 803
d) 409
e) 2513
48. En el trapecio ABCD : BC // AD.Si: AB = BC = 8; CD = 15 y AD = 25 y la medida delángulo DAD̂C ; el valor de:
K = CscD + CtgD ; es:
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
49. En un triángulo rectángulo ABC )º90B̂( señale elequivalente de:
1
2ACotTanA1
2ATanTanAK
a) ASen2 b) ACos2 c) ATan2
d) ACot2 e) ASec2
50. Si: 3 es un ángulo agudo, tal que:
523Cot
Calcule: 2Cos6Csc5K
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
51. Si los triángulos ABC, CDE y EFG son equiláteros.
Calcule: TanyTanx
Si: 2
EG3
CEAC
A
B
C
D
E
F
M N
x yG
a) 6635
b) 7765
c) 7255
d) 1113
e) 75
52. Del gráfico, hallar: Tannm
A
B C
D
E F p
a) mnpn
b) pnmn
c) nmpm
d) pmnm
e) npnp
53. Si:Tan(x+10º)+Tan(y+10º)=Cot(x+10º)+Cot(y+10º)
2)y4º100(Sen
)º10y4(Cos)yx(Cos
Calcular:
)º10yx(Cosy3Sec)º10x(SecK
22
a) 4 b) 8 c) 16d) 24 e) 32
54. Del gráfico, calcular:
Tan5Cot32K
Si: CD se dibuja con centro en "E"
60º
CB
A D
P
Q
E
a) 3 b) 5 c) 7d) 8 e) 10
-
11
55. En el cuadrado ABCD; calcular:
Tan9Tan3K
B C
A D
E
8º
a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7
56. Sabiendo que:Tan(40º+x) . Sen(50º-x) = Cos(10º+x) ..... (1)Tan(2x-5º) . Tany = Tan1º . Tan2º . Tan3º ...... Tan 89ºCalcule:
222 Csc)º5y(Tan)º5x2(SecW )º5xy(
a) 3 b) 5 c) 7d) 9 e) 11
57. En el cuadrado ABCD, calcular:
Cos5Cos22WSi: AE = AF; CM = CN y CF = 3FD
M
A
B C
D
F
N
E
a) 11 b) 13 c) 64
d) 19 e) 17
58. Sabiendo que:
y2
2x3Cos)º20yx2(Sen
1y34xTany3
2xTan
Calcule:
y3Csc)yx(CscW 22
a) 4 b) 6 c) 8d) 10 e) 5
59. Del gráfico calcular:)1Csc)(1Csc)(1Csc)(1Csc(W
O1 O2 O3
a) 4 b) 9 c) 16d) 81 e) 100
60. Del gráfico calcule:
CosCos)1Sec)(1Sec(WSiendo "A" centro del arco BD.
D T
O
A C
B
a) 1 b) 0 c) 2
d) 3 e) 23
-
12
Claves Claves 01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
e
d
e
c
b
e
c
d
b
b
d
c
b
c
c
a
b
c
e
c
c
e
a
a
d
d
c
e
b
e
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
c
d
e
b
d
a
a
a
e
d
a
d
b
c
a
d
d
d
e
c
b
a
c
e
d
d
e
c
c
c
-
1
Capít uloRAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DE UN ÁNGULO AGUDO - II 2* CÁLCULO DE LADOS: Es el procedimiento mediante el cual se determinan los lados faltantes de un triángulo
rectángulo, en términos de un lado que sí se conoce; y de un ángulo agudo que también se conoce.
Criterio:
conocido) .(T.Rconocido Lado
odesconocid Lado
Casos:
1.
A B
C
L
BCTanL
BC
AC L
AC
I)
II)
2.
A B
C
L ABCot
LAB
AC L
AC
I)
II)
3.
A B
C
L BCSenLBC
L
AB
I)
II)
-
2
* SUPERFICIE DE UN TRIÁNGULO: La superficie de un triángulo se puede calcular como el semiproducto de lasmedidas de dos de sus lados, multiplicados por el Seno del ángulo que forman dichos lados.
a
b
c
A
B
C
h
2hbSABC
2aSenCbSABC
Sabemos:
pero: h = aSenC
luego:
SenC2
abSABC
SenB2acSABC SenA2
bcSABC
Análogamente
-
3
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Hallar el área del triángulo, de la figura mostrada:
K
a) Cos.SenK 2 b) Cos.Sen)2/K( 2
c) Cos.Sen)3/K( 2 d) Cos.Sen)4/K( 2
e) Cos.Sen)5/K( 2
02. En un triángulo isósceles ABC (AB=BC) se sabe quelos ángulos congruentes miden " " mientras que ellado desigual mide "L". Hallar uno de los ladoscongruentes.
a) Sec2L
b) Csc2L
c) Tg2L
d) Ctg2L
e) Cos2L
03. Obtener "x", en:
m
a) mSen b) mCos c) mSecd) mCsc e) mTg
04. Obtener "x"
A
B
O
R
Hx
a) )Sen1(R b) )1Sec(R
c) )Cos1(R d) )1Csc(R
e) )Tg1(R
05. En la figura, halla "x".
A
B
C
m n
x
a) nCosmSen b) nCosmCos
c) nSenmCos d) nSecmSec
e) nSecmSen
06. Halla "x" en:
A C
BD
x
m
a) TgmSec b) CscmCos
c) CtgmCos d) CosmSen
e) mTg
07. Halla "x":
m
x
a) Cot.mSen b) Tan.mSen
c) Sen.mSen d) Cot.mCos
e) Tan.mCos
08. Hallar "x":
B
A
D
HCm
x
a) 2mSen b) 2mCos
c) CosmSen d) TgmSen
e) CscmSec
-
4
09. Hallar "x", de la figura:
x
m
a) Cos.mSen b) Cos.Sen
c) mSen d) mCos
e) mTg
10. Del gráfico, hallar: AC .
B
C A
m n
x y
a) mSenx+nSeny b) mCosx+nSenyc) nSenx+mCosy d) mCosx+nCosye) mSeny+nCosx
11. Del gráfico, hallar "x", si: ABCD es cuadrado.
A B
CD
x
m
a) )Sen1(m b) )Cos1(m
c) )Tg1(m d) )Ctg1(m
e) )CtgTg(m
12. Obtener "AB":
A
C
B
R
O
a) )CtgCsc(R b) )Ctg1(R
c) )Csc1(R d) )Sen1(R e) 2R+1
13. Hallar "x", siendo "O" centro del sector AOB.
A B
O
R
x
a) RSen b) RCos
c) )Sen1(R d) )Cos1(R
e) )Cos21(R
14. Hallar "x".
m
x
a) SenmSen b) CosmSen
c) CosmCos d) SenmCos
e) CtgmTg
15. Hallar la distancia mínima del punto "P" a lacircunferencia:
P2
R
a) RCsc b) )1Csc(R
c) )1Tg(R d) )1Ctg(R
e) )1Csc(R
16. Determine "x" en:
A
C
BD
m
x
a) Cos.mSen b) Sec.mSen
c) Ctg.mSen d) Ctg.mCos
e) Tg.mCos
-
5
17. Hallar "x".
A
B
C
D
a
b
x
a) aCosSen b) CosbSenc) aCosbSen d) bCosaSen
e) bTgaSec
18. Determine el perímetro del triángulo ABC.
A
B
C
m
a) )CosSen1(m
b) )TgSec1(m
c) )CtgCsc1(m
d) )CscSec1(m
e) )CtgTg1(m
19. Hallar: "x" en:
mx
a) CosmCtg b) Cos.mTg
c) SenmTg d) mTg
e) mSen
20. Del gráfico, hallar: "Ctgx".
x
a)
SenCosSec2
b)
SenCosSen
c)
SenCosSec
d)
CosSenCsc
e)
SenCosSec
21. Del gráfico, determine "x".
m
x
a) Senm b) Cosm c) Secmd) Cscm e) Tanm
22. Determinar CD .
A
B
C D
m
a) SenmTan b) CosmCtg
c) CosmTan d) CscmTan
e) SenmCtg
23. Del gráfico, hallar "x".
m
45°
x
a) 1Tanm b) 1Ctg
m
c) Ctg1m
d) Tan1m
e) )Tan1(m
24. Determine "x" en :
m x
a) SenSenm b) CosSenmc) SecSenm d) SecCosme) SenCosm
-
6
25. Determine "x" en:
m
x
a) 2Secm b) 2Cosm
c) 2Senm d) 2Cscme) CscSecm
26. Si ABCD es un cuadrado, determine "x".
A
B
C
D
x
L
a) 2SenL b) 2CosL
c) )CosSen(L d) CosSenL 2
e) 2CosSenL
27. Del gráfico, hallar "x":
m
x
a) )1Sec(m 2 b) )1Csc(m 2
c) )1Tan(m 2 d) )1Ctg(m 2
e) )CtgTan(m 22
28. Del gráfico, hallar "x", si ABCD es un cuadrado.
n
A B
CD
x
a) nSen b) nCos c) CscnTand) nCsc e) nCtg
29. Del gráfico, hallar: ED.
A B
C
D
E m
a) mCtg b) mSec c) 2mSec
d) 2mCtg e) 2mTan
30. En el gráfico, hallar MP, en términos de " " y " "; " "
y " ".
M
N
R P
b
a
a) Sec)Cosba( b) Csc)Cosba(
c) Ctg)Tanba( d) Tan)bSeca(
e) Csc)bSena(
31. En un triángulo BAC, recto en A; la mediana BM y elcateto AC forman un ángulo agudo x. Luego Tanx esigual a:
a) 2TanC b) TanB + TanCc) 2TanB d) TanC + CtgCe) 2(TanC + TanB)
32. En la figura el área del triángulo ACD es igual al áreadel triángulo ABC.El valor de será:
A B
C
D
a)
21 ArcTan b)
21 ArcCtg
c)
21 ArcTan d)
21 ArcCtg
e) 2ArcTan
-
7
33. En la región limitada por una circunferencia de radio Ry dos tangentes a ésta; se quiere inscribir otracircunferencia (de radio menor que R). Si las tangentesse intersectan en un ángulo de 2a radianes, ¿A quédistancia de la intersección de éstas, debe encontrarseel centro de la circunferencia inscrita?
a)
Sena1Sena1
SenaR b)
Sena1Sena1
SenaR
c) Sena1R
Sena d) Sena1Sena
R
e) Sena1Sena
R
34. En la figura, expresar OB y BC, en términos de x, y,
O A
B
COA = x
AC = y
a) ySenxCosOB
yCosxSenBCb) ySenxCosOB
xCosySenBC
c) ySenxCosOB
yCosxSenBCd) ySenxCosOB
xSenyCosBCe) ySenxCosOB
yCosxSenBC
35. En la figura: ABCD es un rectángulo inscrito en la
circunferencia de centro O, ARD ; AB//RS , AB=a.Hallar el radio de la circunferencia.
O
A
B C
D
S
R
a) Cos2a b) Cos2a
c) Sen2a
d) aSen
e) Cos21a
36. Dado el cuadrado ABCD, se tiene que las áreas de los
triángulos FAE, EDC y CBF son iguales, luego Senes:
A B
CD
E
F
a) 6
53 b)
653
c) 6
53 d)
653
e) 6
53
37. En la figura mostrada, son conocidos: , y h.Entonces los valores de x e y son dados por:
y
h
x
a)
TanTan
Tanh y; TanTan
hx22
b)
TanTan
Tanh y; TanTan
hx
c)
22
22
22
2
TanTan
Tanh y; TanTan
hx
d) 222
2
2
)TanTan(
Tanh y; )TanTan(
hx
e) TanTanh y; TanhTanx 2
38. En la siguiente figura, hallar (x + y) si:
AB = 3 y 1627AC
x
y
A
B
C
a) 5,14 b) 5,19 c) 5,29d) 4,19 e) 3,19
-
8
39. De la figura hallar:
nzCtgxTanyTaTany3Tanz6F
yz
k
k
x
a) 3,15 b) 2,35 c) 4,30d) 3,00 e) 3,20
40. En un triángulo rectángulo BAC, se cumple que
42CosBCosC .
Hallar la altura relativa a la hipotenusa sabiendo que
esta mide m26 .
a) m2 b) m3 c) 3 m
d) m5 e) m7
41. La figura muestra un cuadrado cuya área es 2m64 y
tal que PC = BP'.Hallar: AMSi: AP = 6 m
MP
P'
A B
C D
O6m
a) m512 b) m3512
c) m3516
d) m5512
e) m312
42. En la siguiente figura, G es el baricentro del triánguloABC, AD = BD y 3CosSen3 Hallar la tangente del ángulo DCG.
G
A
B
CD
a) 3 b) 32
c) 31
d) 23
e) 21
43. En la figura mostrada, calcular: E = Tanx CtgySi: AB = AD = 1 ; DC = 2
DA
B
C
x
y
a) 21
b) 31
c) 2
d) 41
e) 1
44. En la figura mostrada, ¿a qué distancia se encuentra elglobo respecto del lago?
H
Lago
Imagen
Globo
a) 2HCos b) 2HSenc) 2HSec d) 2HCsc
e) 2HCtg
45. En la figura: DC = 2AB = 2.Calcular el área del triángulo EFG.
G
A
B
E
F C
D
a) Tan181
b) Ctg452
c) Tan452
d) )CtgTan(181
e) )CtgTan(91
46. En un sector circular, cuyo ángulo central es , estáinscrito un cuadrado de lado L.El radio de la circunferencia correspondiente es:
a)21
2 52
Ctg2
Ctg2L
-
9
b)21
2 52
Ctg22
Ctg2L
c)21
2 52
Ctg42
Ctg2L
d)
2
2Ctg
2L
e)21
22
Ctg2L
47. Se tiene un triángulo ABC en el que se conocen el ladoAC (opuesto al vértice B, de longitud b), y la bisectrizde longitud w relativa al vértice B.Hallar el área del triángulo ABC.
a)
3CACos
3wb
b)
2CACos
2wb
c)
2CACos
3wb
d)
3CACos
2wb
e)
4CACos
2wb
48. Se tiene una poligonal ABCD tal que los ángulos ABC
y BCD miden 65
y 43
, respectivamente.
Hallar la longitud del radio de la circunferencia tangentea los tres segmentos de la poligonal si cumple que :
m83Ctg
125Ctg y BC = n
a) mn2
b) mn
c) m2n
d) mnmn
e) nm
49. En la figura, el triángulo NST es isósceles de base 6, KHes el radio de la circunferencia circunscrita a un triánguloequilátero de lado 6.Hallar el radio R.
R
K N H T
S
2
L
a)
4Ctg32 b)
4Tan32
c)
3Tan32 d)
4Tan34
e)
3Ctg32
50. En la figura mostrada se tiene un cuadrado ABCD conuno de sus vértices en el origen de coordenadas cuyolado tiene la longitud a unidades. Si el segmento DMdivide al cuadrado en un triángulo y en un trapeciocuyas áreas están en la relación de 1 : 4.Calcule la tangente del ángulo MDC.
M
A B
CD
a) 41
b) 52
c) 31
d) 43
e) 53
51. Dado un polígono regular convexo de n lados, se trazandos circunferencias, la primera de radio r que estangente a todos los lados del polígono, y la segundade radio R que pasa por todos sus vértices.
El valor de la razón Rr
es :
a) n
Sen b) n2
Sen c) n2Sen
d) n
Sen21 e)
nCos
52. Un cuadrado MNPQ cuyos lados miden 22 ,
está inscrito en una circunferencia.
Calcular la distancia del punto Q al punto medio delarco MN.
a) 5,0 b) 1 c) 5,1
d) 2 e) 22
-
10
53. En la siguiente figura:
A
B
Cc
r
O
La relación 22
cr4
es equivalente a:
a)
2Cos1 2 b) Cos1 2
c) Sen1 2 d)
2Cos1 2
e) )Sen-)(1Cos-1( 2
54. La siguiente figura es un cuadrado, donde Q es puntomedio del lado AB.Determine Csc
A B
C D
Q
a) 2 b) 45
c) 3
d) 4 e) 52
55. En la figura, hallar "x":
k
x
a) SenkSec5 b) TankSec6
c) 7SeckCtg d) 6CoskTan
e) CoskSec5
56. En el cuadrado ABCD, las áreas de los triángulos OAP,PDC y CBO son iguales.Luego Csc es:
A B
C D
O
P
a) 536 b) 35
6
c) 536 d) 53
6
e) 536
57. En la figura hallar el valor de "h" en función de , y
. Si : c , Â , B̂
h
A B
C
D
a)
CtgCtg b)
TanTan
c) SenSen
Send)
CtgCtg
e)
SenCos
58.En un triángulo ABC, recto en B, la mediana CM y elcateto BA forman un ángulo agudo . Entonces, Tges:
a) 2 TanA b) 2 CtgAc) 2TanC d) TanA + TgCe) 2(TanC + CtgA)
59. En la semicircunferencia mostrada, halle:
2Sen2SenK
1
3
A B
C
Q
O
P
a) 2 b) 3 c) 4
d) 41
e) 31
-
11
60. Del gráfico, hallar Tan
Si: nPB
mAP
M
A
O B
P N
a) )nm2(nm
b) )nm2(mn
c) )mn2(mn d) mn2
nm2
e) nm2mn2
-
12
Claves Claves
b
a
c
c
b
d
a
a
a
d
c
c
d
b
b
c
c
c
c
a
b
e
b
c
d
c
d
c
d
e
a
a
c
b
d
b
e
b
b
d
c
d
c
a
c
b
b
b
b
b
e
b
e
b
b
d
a
a
c
c
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
-
1
ÁNGULOS VERTICALES
Son aquellos ángulos ubicados en un plano vertical que, en la práctica, son formados por una línea visual (o línea de mira)y una línea horizontal, como resultado de haberse efectuado una observación. Estos resultados se clasifican en: ángulos deelevación y ángulos de depresión.(ver gráficos).
Línea Horizontal
Línea
Visual
h
: Ángulo de Elevación
H
Línea Horizontal
Línea Visual
: Ángulo de Depresión
Consideración: En el gráfico adjunto, " " es el ángulo bajo el cual se divisa la torre. Noteque deben trazarse las dos visuales; una hacia la parte alta y la otra hacia la parte baja.Luego " " es el ángulo formado por las dos visuales.
ÁNGULOS HORIZONTALES
Son aquellos ángulos ubicados en un plano horizontal que, en la práctica, los vamos a ubicar en la Rosa Náutica.Rosa Náutica: (compás marino), es un instrumento de orientación que permitirá localizar una ciudad, persona o punto;respecto de una referencia, mediante el uso de las direcciones :
Dirección
Direc
ción
Direcció
nAB
C
P
Referencia
Oeste (O) Este (E)
Norte (N)
Sur (S)
42º
40º 30º
Note que dichas direcciones en este caso para A;B y C; forman con los ejes principales ciertosángulos; con quienes se van a denotar dichasdirecciones.Por ejemplo:
"A" se halla el E30ºN de "P""B" se halla al O40ºN de "P""C" se halla al S42ºO de "P"
Capít uloÁNGULOS VERTICALES
ÁNGULOS HORIZONTALES3
-
2
Note que dichas direcciones en este caso para A; B y C; forman con los ejes principales ciertos ángulos; con quienes se vana denotar dichas direcciones.Por ejemplo:
"A" se halla el E30ºN de "P" ."B" se halla al O40ºN de "P" ."C" se halla al S42ºO de "P" .
30º 66º
24º
10º
QN
P
EO
S
S
R
R"" de NE66ºal Está
R"" deE N24ºal EstáP
R"" de al Está
R"" de NO30ºal EstáQ
R"" de al Está
R"" deE S10ºal EstáS
Ahora bien, algunas direcciones tienen la particularidad de obtenerse trazando bisectrices sucesivas, a partir de los ejesprincipales; por lo que su notación será también particular. Indicaremos lo que ocurre entre el Norte y el Este, y ustedconcluye los restantes por analogía.
E E
EE
O O
OO
S S
S S
N N
N N
NE41N
NNEN
41NE
NE
E41NE
ENE
NE41E
En cualquiera de los casos : '15º11 ó rad16
-
3
SITUACIONES COMBINADASCuando los enunciados de los problemas mencionan ángulos verticales (de elevación o de depresión) y ángulos horizontales(uso de direcciones, generalmente), al mismo tiempo, la rosa náutica a emplear asume una posición más real; es decir,ubicada en un plano horizontal. Por ejemplo, grafiquemos la siguiente situación:"Desde un punto en tierra, se divisa al Norte lo alto de un poste con un ángulo de elevación " ". Si luego nos desplazamos
hacia el N60ºE, hasta ubicarnos al Este del poste, el ángulo de elevación para su parte más alta sería " ". Ahora, note larepresentación gráfica:
60ºN60º
E
-
4
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Desde un punto de tierra se observa lo alto de un edificiocon ángulo de elevación 37º, si la visual mide 30 m,determinar la altura de edificio.
a) 3 m b) 12 c) 15d) 18 e) 24
02. Una persona de 2 m de estatura divisa lo alto de unposte con un ángulo de elevación de 45º. Si la alturadel poste es de 20 m. ¿A qué distancia de el se halla lapersona?
a) 18 b) 20 c) 22d) 24 e) 32
03. Desde un punto ubicado a 24 m de una torre, se divisasu parte más alta con un ángulo de elevación de 53º.¿Cuál es la altura de la torre?
a) 24 b) 36 c) 32d) 42 e) 48
04. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un postecon un ángulo de elevación de 37º. Si la altura delposte es de 30 m. ¿A qué distancia del poste seencuentra el punto de observación?
a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50
05. Desde dos puntos separados 42 m se observa la partealta de un farol que se encuentra entre ellos con ángulosde elevación 37º y 45º. Determinar la altura del farol.
a) 9 b) 10 c) 11d) 12 e) 13
06. Desde un muro de 6 m de altura se observa la partealta y baja un poste con ángulos de elevación ydepresión 60º y 30º respectivamente. Determine laaltura del poste.
a) 15 m b) 24 c) 30d) 36 e) 48
07. Desde un punto en tierra se ve lo alto de una torre conun ángulo de elevación " " (Tg =1/4). ¿A quédistancia de la torre se halla el punto de observación, sila altura de la torre es 7 m?
a) 14 b) 28 c) 56d) 21 e) N.A.
08. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un postecon un ángulo de elevación de 37º. Si nos acercamosuna distancia igual a la altura del poste, el ángulo deelevación es " ". Calcular: "Tg ".
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6
09. Desde un punto ubicado a 15 m de un poste se ve suparte más alta con un ángulo de elevación de 53º.Caminamos 3 m en dirección al poste y el ángulo deelevación para su parte más alta es " ". Calcular:"Ctg ".
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6
10. Una hormiga observa la copa de un árbol con unángulo de elevación de 37º, luego se acerca 7 m yobserva el mismo punto con un ángulo de elevaciónde 53º. Calcular la altura del árbol.
a) 10 b) 12 c) 14d) 16 e) 20
11. Desde dos puntos separados 52 m se observa lo altode un poste con ángulos de elevación 53º y
52Tg . Si el poste se encuentra entre los dos
puntos. Determine su altura.
a) 12 m b) 16 c) 18d) 9 e) 11
12. Se observa un poste con ángulo de elevación " " nosacercamos "L" y el ángulo de elevación es 45º. Si laaltura de poste es "2 L". Determinar: Tg .
a) 1/3 b) 2/3 c) 1d) 1/2 e) 3/2
13. Desde un edificio de 12 m de altura se observa unautomóvil con ángulo con ángulo de depresión " "
31Tg . Luego se observa una señal más cerca del
edificio con ángulo de depresión 45º. Determine ladistancia entre la señal y el automóvil.
a) 12 m b) 18 c) 24d) 36 e) 10
14. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un postecon un ángulo de elevación de 45º, y desde otro puntoubicado en la mitad de la distancia que hay entre elprimer punto y el poste, el ángulo de elevación es " ".Calcular: "Tg ".
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 16
15. Desde un punto ubicado a 30 m de una torre se divisasu parte más alta con un ángulo de elevación " "(Tg =1/3). Si nos alejamos una distancia igual a la
altura de la torre, el ángulo de elevación es " ".
-
5
Calcular: "Ctg ".
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6
16. Desde las partes superiores del primero, segundo ytercer piso de un edificio se observa lo alto de otro
edificio con ángulos de elevación , , , respectiva-
mente. Si: Tg -Tg = 0,1 y Tg =2,7. ¿Cuántos pisostiene el segundo edificio?
a) 10 b) 15 c) 20d) 30 e) 40
17. Desde lo alto de un edificio de 8 pisos, se ve un puntoen tierra con un ángulo de depresión de 45º. Cuántomide cada piso del edificio, si el punto observado sehalla a 24 m del mismo?
a) 2 b) 2,5 c) 3d) 3,5 e) 4
18. Desde un punto ubicado a 36 m de un edificio de 28 mde altura, se divisa su parte más alta con un ángulo deelevación de 53º. Señale la distancia de un punto a labase del edificio.
a) 20 b) 21 c) 35d) 32 e) 49
19. Desde el puesto del vigía de un barco que tiene 48 mde altura se observa que el ángulo de depresión de unbote es de 30º. Calcular la distancia a la que esta elbarco.
a) 48 b) 48 3 c) 12
d) 24 e) 6 3
20. Desde el pie de un poste se observa la parte más altade una torre con un ángulo de elevación de 45º, elmismo punto es observado desde la parte más alta delposte con un ángulo de elevación de 37º. Calcular lalongitud del poste si la distancia entre el poste y la torrees de 120 m.
a) 10 b) 15 c) 20d) 30 e) 40
21. Desde un punto en Tierra se ve lo alto de un poste con
un ángulo de elevación " " )61Tan( ; y si nos
acercamos 30 m el ángulo de elevación es de 45º.
¿Cuál es la altura del poste?
a) 5 m b) 6 m c) 4 md) 8 m e) 12 m
22. Un móvil se desplaza hacia una torre con una velocidadde 4 m/min; y en un primer momento, observa su partemás alta con un ángulo de elevación de 37º. Si la torremide 192 m, ¿después de qué tiempo el ángulo deelevación tiene como tangente 8?
a) 29 min b) 48 min c) 1h 12 mind) 1h 18 min e) 58 min
23. Un niño observa los ojos de su padre con un ángulode elevación , y su padre observa sus pies con un
ángulo de depresión )º90( .Obtener la relación entre sus alturas.
a) 2Tan1 b) 2Tan1c) 2Cot1 d) 2Cot1
e) 1Tan2
24. Se tiene una torre en el borde de un acantilado; cuyaspartes alta y baja son vistas desde un punto de lasuperficie horizontal con ángulos de elevación " " y" ", respectivamente )Tan4Tan3( . La altura delacantilado es de 212,31 m.¿Cuál es la altura de la torre?
a) 141,54 m b) 28,308 mc) 159,2325 m d) 70,77 me) 35,385 m
25. Subiendo por un camino inclinado, de ángulo " "respecto a la horizontal; se observa lo alto de una torrecon un ángulo de elevación " 2 "; verificándose que latorre mide 3 m y la visual 7 m.¿Cuál es el valor de " Tan "?
a) 73
b 76
c) 143
d) 74
e) 72
26. Desde dos puntos ubicados al Sur y al Oeste de unatorre de 24 m de altura, se ve su parte más alta conángulo de elevación de 45º y 37º respectivamente.¿Cuál es la distancia entre los puntos de observación?
a) 32 m b) 36 m c) 56 md) 48 m e) 40 m
27. Desde dos puntos ubicados al Sur y Oeste de un poste,se divisa su parte más alta con ángulos de elevación" " y " º90 ", respectivamente. Si la distancia entrelos puntos de observación es el doble de la altura delposte, calcular: CotTanP
a) 3 b) 32 c) 6d) 62 e) 23
-
6
28. El ángulo de elevación de la cúspide de una torre es de60º a 72 metros de ella. Estando el ojo del observadora 3 metros sobre el suelo, la altura de la torre esaproximadamente.
a) 72 m b) m373 c) 71 m
d) 73 m e) m372
29. Desde el pie de un poste el ángulo de elevación de laparte más alta de un campanario es 45º. Desde la partesuperior del poste que tiene 9 m de altura, el ángulo deelevación es de 30º.¿Cuál es la altura del campanario?
a) 239
b) 21
27
c) 13
35
d) 13
39
e) 13
39
30. Un niño está volando su cometa soltándole cuerda, lamisma que se mantiene tensa y haciendo un ángulo con la horizontal. A 120 m detrás del niño hay unhombre. Cuando la cometa se encuentra a 20 m dealtura, el hombre la observa con un ángulo respectoa la horizontal.¿A cuántos metros de altura se encontrará la cometapara que sea observada por el hombre con un ángulo
2 ?
Considere : 31Tg
a) 23637
b) 171285
c) 131080
d) 191561
e) 13637
31. Una balsa se aproxima hacia un faro. En undeterminado instante, el faro es observado por el
tripulante de la balsa con un ángulo de elevación de
12
. Al recorrer 36m adicionales vuelve a observar,,
encontrando esta vez un ángulo de 6
.
Encuentre la altura del faro (desprecie la altura deltripulante que hizo la observación)
a) 10 m b) 15 m c) 12 md) 14 m e) 18 m
32. Desde lo alto de un edificio se observa a un automóvilcon un ángulo de depresión de 37º. Dicho automóvilse desplaza con velocidad constante. Luego que avanza28 m acercándose al edificio es observado con unángulo de depresión de 53º. Si desde esta posición
tarda en llegar al edificio 6 segundos, calcular lavelocidad del automovil.a) 3 m/s b) 6 m/s c) 7 m/sd) 12 m/s e) 4 m/s
33. Un avión se encuentra volando horizontalmente a 180km/h. En cierto instante, el piloto ve una señal en tierracon un ángulo de depresión de 30º. Dos minutosdespués, estando sobre la señal, el piloto observa auna distancia de 1000 metros un aerostato con unángulo de elevación de 60º.¿A qué altura está volando el aerostato en ese instante?
a) km32 b) km35,2 c) km33
d) km35,3 e) km34
34. Un barco y un avión viajan en la misma dirección y enel mismo sentido. En la primera observación desde elbarco se ve al avión adelante con un ángulo deelevación de 53º, marcando con una boya dicho lugar.En la segunda observación se le ve con un ángulo de37º, si la velocidad del avión es 8 veces la del barco.Calcular la cotangente del ángulo con la que el aviónen la segunda posición observa la boya.
a) 1217
b) 1115
c) 1711
d) 43
e) 75
35. Dos puntos están ubicados en un mismo nivel del suelo.Desde uno de ellos se observa el extremo superior deun poste con un ángulo de elevación y desde otropunto se observa el punto medio del poste con un
ángulo de elevación . Si la suma de las distancias delposte a cada uno de los puntos es d, calcular la alturadel poste.
a) dTan2dTan b) CtgCtg2d2
c) dCtgdCtg2 d) TanTan2d2
e) )Tan2Tan(d
36. Dos autos parten simultáneamente desde un punto "P"en direcciones que forman un ángulo " " uno a5 km/h y el otro a 12 km/h.Calcular el Cos sabiendo que al cabo de una hora ladistancia desde el punto "P" al punto medio delsegmento que separa ambos autos es de 7 km.
a) 85
b) 167
c) 803
d) 409
e) 2513
-
7
37. Un niño de estatura "h" está parado sobre la banca yobserva los ojos de su padre; de estatura "H", con unángulo de elevación " " y sus pies con un ángulo dedepresión " ". Si el padre divisa los pies de su hijocon un ángulo de depresión " ".
Hallar: hH
a)
TanTanTanTan
b)
TanTanTanTan
c)
TanTanTanTan
d)
TanTanTanTan
e)
TanTanTanTan
38. Desde la parte superior del tercer piso de un edificio de9, se ve un momento de menor altura, con un ángulode elevación "x", su parte más alta y un ángulo dedepresión "y" su base. Si desde lo alto del edificio, latangente del ángulo de depresión con la que se ve labase del monumento, es sextuplo de la tangente delángulo con que se ve la parte más alta.Calcular: E = 4Coty · Tanx
a) 2 b) 4 c) 5d) 8 e) 6
39. Desde lo alto de un edificio se ven tres puntos en Tierra,a un mismo lado, con ángulos de depresión , 45º y
º90 )º45( . Si el punto intermedio dista delmás alejado, el doble del más cercano, calcular:
2CotTan6N
a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9
40. Un poste, una persona y una torre están ubicados delmodo que se mencionan y sus alturas están en laproporción 3; 1; 5. Si de lo alto del poste se divisa loalto de la persona con un ángulo de depresión " ";mientras que la persona divisa lo alto de la torre con unángulo de elevación , desde lo alto de la torre se vela base del poste con un ángulo de depresión " ". Sise verifica que:
nCotmCotCotCalcular: K = m + 2n
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
41. Se tiene un poste PQ ("P" en el suelo) y tres puntos enla superficie horizontal A, B y C, perfectamentealineados; desde los cuales se ve "Q" con ángulos de
elevación , y respectivamente. Si BP es bisectriz
del ángulo CP̂A que mide 60º, calcular:
TanTanTanJ
a) 2 b) 32 c) 3
d) 3 e) 33
42. Desde la parte más alta de un árbol de 5 metros dealtura se observa a otros dos de 1 metro y 4 metros dealtura con ángulos de depresión y )º90( , si estosestán al Este y al Sur del árbol más alto, respectivamente.Calcular: " Tan ", si además desde la parte más alta delárbol más pequeño, se observa la parte más alta delárbol de 4 metros con un ángulo de elevación de
)º90(
a) 4 21
b) 21
c) 4 2
d) 2 e) 22
43. Un barco se encuentra al Sur de un helicóptero, el barcopermanece inmóvil; pero el helicóptero avanza ciertadistancia hacia el Este. Desde el barco se observa alhelicóptero en la segunda posición con un ángulo deelevación " ". Si el ángulo de elevación en la primeraposición es de 45º y el helicóptero avanzó 2km, calcular" ", si además el helicóptero se encuentra a una alturade km2 .
a) 21ArcTan b) 3
1ArcTan
c) 43ArcTan d) 30º
e) 45º
44. Se tienen tres puntos en tierra A, B y C (AB = BC); y un
poste PQ ("Q" en el suelo, al interior del triángulo ABC),desde los cuales se ve lo alto del poste con ángulos de
elevación , y respectivamente.Si : yCQ̂B xBQ̂A Señale el equivalente de:
22 CotCot
CosyCotCosxCotJ
a) Tan b) Tan2 c) Cot2
d) Cot21
e) Tan21
45. Luciano observa a Luciana en la dirección NE y a
m218 de distancia; a su vez Luciana observa a Lucio
en la dirección E37ºS.Determine la distancia que separa a Luciano y a Lucio,si Lucio se encuentra al Este de Luciano.
-
8
a) 41 m b) 40 m c) 24 md) 18 m e) 42 m
46. Desde una ciudad "A" se divisan a otras dos "B" y "C"en las direcciones O80ºN y E40ºN, respectivamente.Además desde "B" se divisa a "C" al E50ºS a unadistancia de 173 km.¿Cuál es la distancia entre "A" y "B"?
a) 100 km b) 200 km c) 150 kmd) 273 km e) 300 km
47. ¿Cuál es la dirección de la bisectriz del menor ánguloformado por las direcciones N20ºE y S80ºO?
a) N10ºO b) N20ºO c) N30ºOd) N40ºO e) N50ºO
48. Calcular el menor ángulo que forman la bisectriz de SO
y S41SO con la bisectriz de SE y S
41SE
a) 50º b) 78º45' c) 77ºd) 67º30' e) 90º
49. Se tiene una torre en el borde de un acantilado, cuyaspartes alta y baja son vistas desde un punto de lasuperficie horizontal con ángulos de elevación " " y" " respectivamente )Tan4Tan3( . La altura delacantilado es de 212,31 m.¿Cuál es la altura de la torre?
a) 141,54 m b) 28,308 mc) 159,2325 m d) 70,77 me) 35,385 m
50. Una persona camina 25 (aprox.) al norte de su casa,luego 13 m en la dirección ES , si ahora se encuentraen la dirección NE de su casa.Hallar: Csc
a) 513
b) 17
213c) 13
17
d) 13
210e) 17
13
51. Desde dos puntos A y B, situados al Oeste y al Norte deuna torre, se observa la parte más alta de ésta con
ángulos de elevación y , respectivamente; y desdeel punto medio de AB, el ángulo de elevación es " ".
Calcular: CotTan
a) 23
b) 1 c) 3
d) 2 e) 32
52. Un niño sostiene dos globos. El ángulo de elevaciónque tiene en la mano derecha es de 21º y la cuerdamide "a" metros. El ángulo de elevación del globo quesostiene en la mano izquierda es de 24º y la cuerdamide 2a metros.¿Cuál es la distancia que hay entre los globos?
a) )21( a metros b) )22( a metros
c) 5a2 a metros d) 5a a metros
e) a)52( metros
53. "Moshé" divisa los ojos de su padre con un ángulo deelevación " " y sus pies con un ángulo de depresión" "; mientras que su padre divisa los pies de "Moshé"
con un ángulo de depresión " ". Sabiendo que lasestaturas de "Moshé" y su padre son "h" y "H"respectivamente, señale el equivalente de:
Hh
hHJ
a)
2Cot
CotCotb)
CotCotCot2
c)
Cot
CotCotd)
CotCot
Cot
e)
TanTanTan
54. Desde un punto en tierra, se divisa lo alto de un poste,con un ángulo de elevación de 10º. Nos acercamos
una distancia " 1d " y el ángulo de elevación es de 40º;
y si nos desplazamos una distancia " 2d " hastaubicarnos al otro lado del poste, el ángulo de elevaciónes de 20º.
Calcular: 2
1d
d
(Sug. Cos10º = 0,9848)
a) 1,137 b) 1,232 c) 1,321d) 0,957 e) 0,352
55. Un observador divisa un poste vertical bajo un ángulo" " notando que sus visuales son iguales. Se acercauna distancia igual a las dos terceras partes de ladistancia que inicialmente lo separaba del poste y divisaa éste. ahora bajo un ángulo " ".Calcular "n" en la igualdad.
2Sen
2nSen
SenSen
2
2
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
-
9
56. Una persona camina, por un camino inclinado queforma un ángulo "x" con la horizontal y observa la partesuperior de una torre con un ángulo de inclinación"2x". Luego de caminar una distancia de 15 veces laaltura de la torre, observa nuevamente su parte superiorcon un ángulo de elevación de "3x".Calcular: E = Cscx - 15
a) 10 b) 20 c) 12d) 15 e) 25
57. Se tiene una torre y dos puntos A y B ubicados enlados opuestos de ella. Desde "A" se divisa un puntode la torre con un ángulo de elevación " "; notándoseque la distancia de dicho punto observado a lo alto dela torre es igual a la visual trazada para dichaobservación; mientras que, desde "B", se divisa un puntoubicado 1 m, más abajo que al anterior con un ángulode elevación " " . Notándose que la visual trazada esigual a la distancia del nuevo punto observado a lo altode la torre, hallar la altura de la torre.
a)
TanTan)1Tan)(1Tan(
b)
SenSen
)1Sen)(1Sen(
c)
SenSen)Sen1)(Sen1(
d)
CosCos)1Cos)(1Cos(
e)
TanTan)1Tan)(1Tan(
58. Desde cuatro puntos colineales de la superficie A, B, Cy D se divisa lo alto de una torre PQ ("Q" en el piso)
con ángulos de elevación , , y respectiva-mente.Si: º10DQ̂CCQ̂BBQ̂A y
173648,0º10Sen .
Calcular:
TanTan
TanTan
TanTanTanTanJ
a) 1,1983 b) 2,2343 c) 1,7124d) 2,5783 e) 2,8794
59. Desde un punto del suelo, ubicado al O30ºS de unatorre, se divisa su parte más alta con un ángulo deelevación 53º. De esta ubicación nos desplazamos alS30ºE hasta ubicarnos al Sur de la torre. Observaríamossu parte más alta con un ángulo de elevación " ".Calcular: Tan
a) 31
b) 32
c) 43
d) 23
e) 41
60.Un reflector situado al ras del suelo i lumina unmonumento bajo un ángulo de 30º. Si trasladamos elreflector 2 m más cerca del monumento, éste se ve bajoun ángulo de 45º.¿Cuál es la altura (y) del monumento y cuál es sudistancia (x) al segundo lugar de iluminación?
a)33
32x ; 33
32y
b)33
32x ; 33
32y
c)33
32x ; 33
32y
d)33
32x ; 33
32y
e) 33x ; 33y
-
10
Claves Claves
d
a
c
d
e
b
b
c
a
b
b
b
c
a
d
b
c
e
b
d
b
e
b
b
a
e
c
b
d
c
e
b
b
a
b
c
b
e
d
c
c
c
d
e
e
b
d
b
d
b
c
d
c
a
c
d
b
e
b
c
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
-
1
Capít ulo
SISTEMA COORDENADO RECTANGULAR4SISTEMA COORDENADO RECTANGULAR
Denominado también cartesiano, en honor al matemático René Descartes (1596-1650).Se determina trazando dos rectas numéricas perpendiculares entre sí que se intersectan en un punto "O" y divide al plano encuatro semiplanos denominados cuadrantes.
* La recta horizontal se llama eje "x" o eje de abscisas.* La recta vertical se llama eje "y" o eje de ordenadas.* El punto "O" se denomina origen de coordenadas.
Cuadrante II Cuadrante I
Cuadrante III Cuadrante IV
y
xO (0;0)
y1
x1
y2
x2
Q( ;y )x2 2
P( ;y )x1 1
Distancia entre dos puntos del plano cartesiano
Sean )y;x(P 111 y )y;x(P 222 dos puntos del
plano cartesiano, entonces la distancia "d" entre
los puntos 1P y 2P está dada por:
212
212 )yy()xx(d
dP ( ;y )x1 11
P ( ;y )x2 22y2
y1
x1
x2 x
y
* Radio Vector
Es la distancia del origen de coordenadas a un punto
cualquiera del plano cartesiano.
Si: )y;x(P 00 es un punto del plano cartesiano el radio
vector se calcula así:
20
20 yxr
y0
x
y
x0
r
P( ;y )x0 0
-
2
División de un segmento en una razón dada:
Sea )y;x(P 000 un punto cualquiera sobre un segmento de
extremos )y;x(P 111 y )y;x(P 222 tal que:
)razón(ba
PP
PP
20
01
Las coordenadas de 0P son:
ba
byay y
ba
bxaxx 120
120
Punto Medio de un Segmento
Las coordenadas del punto medio M del segmento de
extremos )y;x(P 111 y )y;x(P 222 se calcula así:
y
2
xxx
0
210
2
yy 21
Coordenadas del baricentro de un triángulo:
En el triángulo cuyos vértices son )y;x(A 11 ; )y;x(B 22 y
)y;x(C 33 , las coordenadas del baricentro están dadas por:
3
yyy ;
3
xxxG 321321
G: baricentro
x
y
a
b
P ( ;y )x0 00
P ( ;y )x1 11
P ( ;y )x2 22
x
y
M( ;y )x0 0
P ( ;y )1 1 1
x
P ( ;y )2 2 2x
x
y
G
A( ;y )x1 1
B( ;y )x2 2
C( ;y )x3 3
Área de una región triangular:
Para calcular el área "S" de una región triangular, se colocan las coordenadas de uno de los vértices y seguimos el sentido
antihorario hasta cerrar la figura y volver a colocar el primer vértice escogido, finalmente, se procede como a continuación se
indica.
x
y
A( ;y )x1 1
B( ;y )x2 2
C( ;y )x3 3
S
A
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
B
yx
yx
yx
13
32
21
11
33
22
11
31
23
12
Luego :
2BAS
-
3
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Determine el radio vector de (2,-3).
a) 5 b) 11 c) 13
d) 17 e) 19
02. Determinar el radio vector de )7,2(
a) 3 b) 10 c) 3d) 4 e) 5
03. Determinar el radio vector del punto medio delsegmento formado al unir los puntos (3,1) y (7,9).
a) 5 b) 2 5 c) 5 2
d) 10 e) 15
04. Si: (-1,2) es el punto medio del segmento formado alunir los puntos, (-3,-1) y (a,b). Determinar: "a+b".
a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7
05. Del gráfico, calcular: "d".
d
(3,5)
(5,2)(-11,1)
a) 37 b) 41 c) 53
d) 61 e) 82
06. Dos vértices consecutivos de un cuadrado son (-7,3) y(-1,-5), determine su perímetro.
a) 60 b) 40 c) 20
d) 12 3 e) 15 2
07. Se tiene una circunferencia de centro (-3,7) que pasapor (2,-5), determinar su diámetro.
a) 13 b) 15 c) 26d) 30 e) 35
08. Si: (4,2) es el punto medio del segmento formado al
unir los puntos (a,-3) y (5,b). Determinar: abE
a) 2 b) 3 c) 2d) 3 e) 5
09. Determine el producto de las coordenadas del puntodel segmento formado al unir los puntos (-7,3) y (1,5).
a) 6 b) -6 c) 12d) -12 e) 15
10. Al unir los puntos A(-5,1), B(-1,7) y C(5,-1). Se formaun triángulo ABC. Determine la longitud de la mediana
AM , (M en BC ).
a) 47 b) 51 c) 53
d) 57 e) 61
11. Determine las coordenadas del baricentro de untriángulo que se forma al unir los puntos. A(-1,5); B(3,9)y C(7,1).
a) (3,2) b) (-7,3) c) (3,5)d) (5,3) e) (-3,5)
12. En el gráfico, hallar "x+y":
A(-2;3)
B(10;6)
K
2K
P
a) (2,3) b) (2,4) c) (1,3)d) (-1,2) e) (-2,4)
13. Según el gráfico, halle "p":
2S 3S
A(1;9)
B(-2;5) C(8;10)
a) (1,8) b) (2,7) c) (3,5)d) (3,7) e) (4,6)
14. Los vértices de un triángulo son A(3,1); B(9,1) y C(3,7).Determine su área.
a) 36 2 b) 18 2 c) 24 2
d) 16 2 e) 9 2
15. Los vértices de un triángulo son A(1;2), B(3;6) yC(-1,0). Calcular la longitud de la mediana relativa al
lado AB .
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
-
4
16. Determine en el eje "x" un punto que tenga unadistancia de 5 unidades del punto (2,4).
a) (-1,0) b) (1,0) c) (5,0)d) (6,0) e) a y c
17. Si ABCD es un paralelogramo donde A(3,2), B(1,5),C(-2,3). Halle el punto D.
a) (0,0) b) (1,7) c) (-1,3)d) (-2,2) e) (-5,1)
18. Los puntos A(4,-2); B(1,2) y C(5,5) son los vértices deun triángulo:
a) Isósceles. b) Equilátero.c) Rectángulo. d) Rectángulo Isósceles.e) Oblicuángulo.
19. Hallar en el eje de ordenadas un punto A cuya distanciahasta el punto B(-8,13) sea igual a 17.
a) (0,-1) b) (0,-2) c) (1,2)d) (2,8) e) (0,-28)
20. Si P(a;a+1) es un punto que equidista de A(2,1) yB(-6,5). Hallar el valor de "a".
a) 6 b) -6 c) 0d) 1 e) -1
21. Se tienen dos vértices opuestos de un cuadrado (-5,8)y (1,2); determinar su centro de gravedad.
a) (-1,3) b) (-2,3) c) (-2,5)d) (-1,5) e) (1,3)
22. El centro de una circunferencia es (-4, 5 ), determinar
su área si pasa por el origen de coordenadas (usar:
)722( .
a) 2 2 b) 3 2 c) 44 2
d) 66 2 e) 81 2
23. Si P es punto medio de MN ; M y N son puntos mediosde AC y BC respectivamente, determine el radio vectordel punto P; siendo A(-4,5); B(2,5) y C(6,-3).
a) 7 b) 10 c) 2 3
d) 3 2 e) 15
24. Si (-5,3) es punto medio entre (x,0) y (0,y); calcular:
xyE .
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
25. Hallar las coordenadas de un punto "A" cuya distanciaal origen es igual a 13u; sabiendo además que suordenadas tiene 7u más que su abcisa.(Dar la suma de coordenadas).
a) 17 b) 16 c) -17d) a y b e) a y c
26. Si (2,3) es el punto medio del segmento AB siendoA(-3,5) y B(a,b). Calcular: a+b.
a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9
27. El segmento que une A=(-2,1) con B=(2,2) seprolonga hasta C sabiendo que BC=3AB. Hallar lascoordenadas de C.
a) (14,11) b) (11,14) c) (1,7)d) (14,-11) e) (-14,11)
28. Si un vértice de un triángulo ABC, es A=(1,3) y elbaricentro del triángulo es G=(3,1). ¿Cuál es la sumade coordenadas del punto medio "M" opuesto al vértice"A"?
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
29. Dados dos vértices consecutivos de un cuadradoA(3 ; 7) y B(1 ; 4), calcule su área.
a) 2127 b) 2137 c) 2147
d) 281 e) 2100
30. Señale las coordenadas del punto "P" ubicado en el ejede abscisas que equidista de A(1 ; 5) y B(7 ; 3)
a)
0 ;
37
b
0 ;
38
c)
0 ;
34
d)
0 ;
211
e)
0 ;
411
31. En un triángulo ABC, los vértices son A(3 ; 1), B(1 ; 5)y C(1 ; 3).Calcule la longitud de la mediana relativa al lado BC.
a) 5 b) 7 c) 32
d) 13 e) 15
32. Si tres vértices consecutivos de un paralelogramo sonA(1 ; 1) , B(1 ; 5) y C(9 ; 7).Halle la suma de coordenadas del cuarto vértice "D"opuesto a B.
a) 5 b) 6 c) 9d) 10 e) 12
-
5
33. Se traza un segmento desde A(1;1) hasta B(3;5). ¿Hastaqué punto "C" será necesario prolongarlo para que
5BC
6AC ?
(Señale la suma de coordenadas de "C")
a) 35 b) 38 c) 42d) 23 e) 27
34. En un triángulo ABC se sabe que A(3 ; 5) y el baricentroes G(1 ; 3). Hallar la suma de coordenadas del puntomedio de BC.
a) 3 b) 5 c) 7d) 5 e) 7
35. Del esquema mostrado, determine las coordenadas delpunto M.Si: ABCD es un paralelogramo.
y
x
M
N
BC(4 ; 9)
D(6 ; 1)A( 8 ; 5)
a)
8 ;
211
b) ( 6 ; 5)
c)
5 ;
29
d) ( 6 ; 4)
e) ( 5 ; 7)
36. Se tiene el triángulo formado por los vértices A(1;9),B(6 ; 8) y C(2 ; 4), calcule la superficie del triángulo.
a) 235 b) 228 c) 214
d) 224 e) 240
37. Si A(-1;3) , B(3;1) y C(2;4), calcule el Seno del ánguloCAB.
a) 10
3b)
1010
c) 55
d) 52
e) 22
38. Del gráfico, halle : 12 SS .
(10 ; 1)
(5 ; 8)
(6 ; 2)
( 3 ; 1) S2
S1
a) 210 b) 25,10 c) 26
d) 25,11 e) 212
39. Los puntos P(-4;0); )33 ; 5(Q , R(x;0) son los vérticesde un triángulo rectángulo recto en Q, la suma de losvalores que indican el perímetro y el área del triánguloes:
a) 24318 b) 31818
c) 32418 d) 31212
e) 6612
40. La base mayor de un trapecio isósceles une los puntos(-2;8) y (-2;-4). Uno de los términos de la base menortiene por coordenadas (3;-2).La distancia o longitud de la base menor es:
a) 8 b) 6 c) 9d) 12 e) 10
41. Un cuadrilátero tiene sus vértices en los puntoscoordenados :A(0;0) , B(2;2) , C(7;2) y D(5;0)
PROPOSICIÓN 1:Si sólo los valores de las abscisas se multiplican por 2entonces este cuadrilátero es semejante al original.
PROPOSICIÓN 2:Si los valores de las abscisas y ordenadas se multiplicanpor un mismo número, entonces este cuadrilátero essemejante al original.
PROPOSICIÓN 3:Si los valores de las abscisas se multiplican por 2 y lasordenadas por 3 entonces el área de este nuevocuadrilátero es 5 veces mayor que el original.
a) FVV b) FFV c) VFFd) FFF e) VVF
-
6
42. Los vértices de un cuadrado son A(0 ; -3); ) b; b(B 21 ,
C(3;4), )d ; d(D 21 .
Calcular el área del rectángulo cuyos vértices son los
puntos B, P, D, Q donde ) b; d(P 21 y )d ; b(Q 21 .
a) 58 b) 29 c) 25d) 21 e) 19,5
43. En la figura mostrada las coordenadas del punto R son
8) ; 36( .
Hallar la distancia del baricentro de la región triangularMON al punto R.
y
x
M
30ºO N
R
a) 212 b) 21 c) 214
d) 21 e) 422
44. Si A(-3;4), B(4;5), C(1;-4) son los vértices de untriángulo. Calcular las coordenadas del circuncentro deltriángulo.
a) (1 ; 1) b) (1 ; -1) c) (2 ; -1)d) (-3 ; -1) e) (-1 ; -1)
45. Sean los puntos del plano cartesiano:A(3 ; 10), B(13 ; 2) , C(0 ; a) y D(b ; 0).Hallar los valores de a y b de tal forma que la suma delas longitudes de los segmentos AC, CD y DB sea lomenor posible y dar como respuesta el valor de 12ab.
a) 961 b) 828 c) 780d) 1020 e) 605
46. Sean los puntos del plano cartesiano A(1;2) B(10;0) y
C(8;4). Desde el punto C se baja la perpendicular CPal segmento AB, entonces las coordenadas de P son :
a)
762- 2;
7691
b)
85592 2;
855991
c)
85592- 2;
855991
d)
1362 2;
13691
e)
1362 2;
13691
47. Las coordenadas de los vértices A y B de un rectánguloABCD son (12 ; 3) y (4 ; 9), respectivamente. Si el áreade la región rectangular es 2u80 , determinar la sumade las abscisas de los vértices C y D.
a) 25 b) 5126
c) 26
d) 5127
e) 5128
48. Si los puntos (1 ; 6) y (5 ; 2) son los vértices opuestosde un cuadrado, entonces el área del cuadrado es:
a) No se puede determinar.b) 50 c) 4d) 16 e) 8
49. Los puntos A(-2 ; 2), B(0 ; 4), )C ; C(C 21 son los vérticesde un triángulo equilátero.Si C está en el segundo cuadrante, entonces
)CC(3 21 vale:
a) - 9 b) - 8 c) - 6
d) - 5 e) 32
50. Dados los puntos A(-2;-3) , B(2;1), C(4;-9) y M punto
medio de BC , la distancia de M al segmento AC es:
a) 2 b) 22 c) 4
d) 24 e) 6
51. En la gráfica, si AC = 5, la suma de las coordenadas deC es:
x
y
A(1;2) B(4;2)
C(x;y)
O
a) 4 b) 10 c) 8d) 6 e) 9
-
7
52. Los extremos de la base de un triángulo son los puntosA(0 ; 0) y B(3 ; 0).
Determinar la ordenada del vértice opuesto
y;
21 C
de tal manera que la medida del ángulo CAB es igual al
doble de la medida del ángulo CBA.
a) 15 b) 215
c) 415
d) 615
e) 815
53. A(a ; b), B(a ; -b), C(-a ; -b), D(-a ; b) son los vértices deun rectángulo. Si: P(x;y) cumple que 6DP ,
7CP y 5BP , entonces el valor de AP es:
a) 5 b) 32 c) 3
d) 4 e) 23
54. En el gráfico: BD = 3AD y EC = 2BE.
Calcule:1
32h
hhW
x
y
A(1;1)
C(8;2)
B(5;5)
h3
h1
h2ED
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 32
55. Del gráfico, calcule "x" si " " es máximo..
x
y
(1;1)
(3;3)
P(x;0)
a) 2 b) 22 c) 3
d) 32 e) 6
56. A partir del gráfico, calcule:
2
22
Sen
SenSenW
B(3;9)
C(5;7)
A(1;3)
a) 1 b) 2 c) 3
d) 32
e) 23
57. Del gráfico, halle la suma de coordenadas del punto
"P". Si : 5
DC3
BD
S7S
A(2;0)
C(7;5)
B(3;9)
D
P
a) 8 b) 10 c) 12d) 16 e) 7
58. De todos los puntos del plano cuya suma de distanciaa los puntos A(1;5) y B(7;5) es igual a 10. Señale lasuma de coordenadas de aquel punto de ordenadamáxima.
a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14
59. Señale las coordenadas del vértice C, del triángulo ABC,si las coordenadas de los vértices del triángulo formadoal unir los puntos medios de sus lados son:
)0 ; 1(AM , )3 ; 2(BM y )7 ; 6(CM
C
A
B
x
y
BM
AM
CM
a) (-9 ; -4) b) (-7 ; - 2) c) (-10 ; -5)d) (-8 ; -5) e) (-6 ; -7)
-
8
60. Si ABCD es un paralelogramo, halle: 21 SS
x
y
S1S2
A(-5;-5)
B(2;-1)
C(x;y)
D(-3;2)
a) 2441 b) 2
241 c) 2
221
d) 2421 e) 241
-
9
Claves Claves
c
c
c
d
e
b
c
c
d
c
c
b
b
b
d
e
a
d
a
b
c
d
b
c
e
d
a
d
b
b
d
d
b
c
a
c
e
c
c
a
a
d
a
a
a
c
e
d
e
b
b
b
b
c
e
a
b
d
a
b
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
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51.
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53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
-
1
Capít uloRAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN
ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL5Definiciones Previas:
I. ÁNGULO EN POSICIÓN NORMALLlamado también en posición canónica o stándar. Es aquél ángulo trigonométrico cuyo vértice coincide con el origendel sistema cartesiano y su lado inicial coincide con el eje "x" positivo.Cuando un ángulo, está en posición normal, el lado final puede estar en uno de los cuadrantes, en cuyo caso se diceque éste pertenece a tal cuadrante.
Lado Final
Lado InicialVértice
(+)
x
y
Del gráfico :
* : es un ángulo en posición normal
* 0 ; IIC
Lado Final
Lado InicialVértice
(-)x
y
* : es un ángulo en posición normal
* 0 ; IIIC
Definición de las Razones Trigonométricas:Para determinar el valor de las R.T. de un ángulo en posición normal, tomaremos un punto )y;x(P 00 perteneciente a sulado final.
x
yP( )x ;yo o
r
xo
yo
'
Se define:
o
o
o
o
x
yTan
r
xCos
r
ySen
o
o
o
o
yrCsc
xrSec
y
xCot
* 2o2o yxr * ' : se denomina ángulo de referencia
-
2
Signo de las R.T. en los cuadrantes
Dependiendo del cuadrante al que pertenezca un ángulo en posición normal, sus R.T. pueden ser positivas o negativas. Es así como se obtiene el cuadro adjunto.
Cosecantey
Seno(+)
Cotangentey
Tangente(+)
positivasson
Todas(+)
Secantey
Coseno(+)
Razones Trigonométricas de Ángulos Cuadrantales
radianes (grados) Sen Cos Tan Cot Sec Csc 2 0 0 0 1 0 N. D. 1 N. D.
2 90º 1 0 N. D. 0 N. D. 1
180º 0 - 1 0 N. D. - 1 N. D.
23 270º - 1 0 N. D. 0 N. D. - 1
Nota: N.D. no definido
Ángulos Coterminales:Son aquellos ángulos trigonométricos que poseen el mismo vértice, el mismo lado inicial y final.
Ejemplo:
Vértice
Lado inicial
Ladofinal
i) ii)
P( ; )x xo o
x
y
Se tiene que :* y : son coterminales
* y : son coterminales (están en P. N.)
Propiedades:Si y son coterminales se cumple que:
I. II.
- = 360ºn ; n Z R.T. ( ) = R.T.( )
-
3
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Del siguiente gráfico, calcular: Cot12Sen10E
x
y
(1;-3)
a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4
02. Por el punto )5;2(P pasa el lado final de un ángulo
en posición normal cuya medida es " ". Calcular:Cos .
a) -1/2 b) -2/3 c) -3/4d) -4/3 e) -3/2
03. Si: 32Sen y IIIC. Calcular:
)SecTan(5E
a) -1 b) -2 c) -3d) 2 e) 3
04. Indicar el signo de cada expresión:I. Sen200ºTan240ºII. Cos120ºTan100ºIII. Sen150ºCos340º
a) +, +, + b) , , c) , +, +d) +, , e) +, , +
05. ¿A qué cuadrante pertenece " ", si: 0Tan y
0Cos .
a) IC b) II c) IIICd) IV e) IC y IIC
06. De la figura, calcular: "Tan"
x
y
17
(1-x;2x)
a) 1 b) -2 c) -3d) -4 e) -5
07. Calcular:
270abCsc2180Cos)ba(º360Sec)ba(E
22
a) 1 b) 2 c) 3d) -3 e) -2
08. Si: IVCx y 06Sen4|Cscx|
Calcular: E = Senx + 3 Cosx
a) 1 b) 1/2 c) 1/3d) 2/3 e) 3/2
09. Si: 3,0Cos
y IIC
Calcular: SecTanE 2
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
10. Si: f(x)=2Sen2x+3Cos3x+4Tan4x.
Calcular: )2(f
a) 0 b) 1 c) 2d) -1 e) -2
11.Una raíz de la ecuación: 03x2x2 es un valor de
"Tan ", si: IIIC . Calcular: )CosSen(10E
a) -1 b) -2 c) -3d) -4 e) -5
12. Si: f(x)=Senx+Cos2x+Tan4x.
Calcular: )2(f
a) 0 b) 1 c) 2d) -1 e) -2
13. Si: y son medidas de ángulos coterminales y se
cumple que: Tan
-
4
14. Calcular: TanSen25E , a partir de la figuramostrada:
x
y
(24;7)
(-4;-8)
a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9
15. Por el punto )7;2(P pasa por el final de un ánguloen posición normal cuya medida es " ". Calcular:
Csc7 .
a) 1 b) 2 c) 3d) -3 e) -2
16. Calcular: 1CosxSenxE
a) 0 b) 1 c) 2
d) 2 e) 2 2
17. Si: IV , determine el signo de:
CosSen)Cos1(TanE
a) + b) - c) + ó -d) - y + e) Todas son correctas
18. Con ayuda del gráfico mostrado, calcular:
)2
(Sen3
)(Sen)6
(Cos3E
a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4d) 4/3 e) 3/2
19. De la figura, calcule: "Tan "
x
y
37º
a) -3/7 b) -4/7 c) -5/7d) -6/7 e) -7/4
20. Del gráfico, calcule: "Tan" .
x
y
(2;-3)
a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4d) 4/3 e) 3/2
21. De acuerdo al gráfico calcular:
CosCos5Ky
x
(-24;7)
(-4;-3)
a) 2 b) 3 c) 4d) 2 e) 4
22. Si el punto Q(8; 5) pertenece al lado final de un ángulo
canónino " ".Calcular:
CotCscR
a) 0,4 b) 0,4 c) 0,6d) 0,6 e) 0,3
23. Simplificar:
2bCos
23aSen
Cos)ba(2
Sen)ba(L
2
5232
a) 2a b) 2a c) 4ad) 4a e) 4b
24. Señale los signos de:
º260Tanº300Tanº140Cosº140SenM y
º348Senº248Cosº116Tanº217Cosº160TanR
a) () No se puede precisar.b) (+) ; (+)c) (+) ; ()d) () ; ()e) () ; (+)
-
5
25. Señale Verdadero (V) o Falso (F) según correspondaen:
I. Si: 0Cos 0Sen , entonces IV .II. Si: 0Sec 0Tan , entonces IIIC .
III. Si: 0Cot 0Csc , entonces IIC .
a) VVF b) VVV c) VFVd) FFV e) FVV
26. Sabiendo que:
0Sen 0SecTan
¿A qué cuadrante pertenece el ángulo canónico ?
a) IC b) IIC c) IIICd) IVC e) No se puede precisar.
27. Señale el cuadrante al que pertenece " " si:
TanCos
a) IC b) IIC c) IIICd) IVC e) No se puede precisar
28. Señale Verdadero (V) o Falso, según corresponda en:
I. Si: 180º ; º90 , entonces IIC .
II. Si: IIC , entonces 180º ; º90 .
III. Si: IIIC , es positivo y menor que una vuelta,
entonces 270º; º180 .
a) VVF b) VFV c) VFFd) FVV e) VVV
29. Sabiendo que: 32Tan
IICCalcular: CosSenQ
a) 131
b) 1313 c) 13
5
d) 13
135e) 13
3
30. Si el lado final de un ángulo canónico " " pasa por lospuntos P(m+n; n) y Q(n;mn),
Calcular: 22 TanCotK
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 12
31. Sabiendo que " " es un ángulo positivo menor queuna vuelta perteneciente al IIIC señale el signo de:
53Tan
32Cos
2SenQ
a) (+) b) () c) (+) o ()d) (+) y () e) No se puede precisar.
32. Del gráfico, calcular :
1Tan3E y
x
53º
a) 0 b) 1 c) 1d) 2 e) 2
33. Tomando 236,25 y sabiendo que:
Ctgx = - 0,5 y que IVCx .¿Cuál es el valor de Cscx?
a) 2,236 b) 2,236 c) 0,4472d) 1,118 e) 1,118
34. Los cuadrantes en los que el Coseno y Tangente tienenel mismo signo son:
a) 1º y 2º b) 1º y 3º c) 2º y 3ºd) 2º y 4º e) 1º y 4º
35. Se tienen dos ángulos coterminales tales que el mayores al menor como 23 es a 2. Su suma está comprendidaentre 2820º y 3100º.¿Cuál es la medida del mayor?
a) 2540º b) 2760º c) 2820ºd) 2420º e) 3000º
36. Siendo:
1301
701
281
41Sen
54
CosCos
Calcular:
Cos3Sen2K
a) 1 b) 1 c) 2d) 2 e) 3
37. El valor numérico de la expresión:Sen180º+2Cos180º+3Sen270º+4Cos270º- 5Sec180º-6Csc270º
es:
a) 4 b) 12 c) 6d) 16 e) 8
-
6
38. Indicar los signos de las siguientes expresiones en elorden F. G. H.
º338Ctgº215Csc
º210Senº138Tanº285SecF 3
32
2
323
º336Tanº195Csc
º116Cosº115Ctgº260SenG
3
3
º298Secº135Tg
º128Cscº340Ctgº195SenH
a) , + , b) , , + c) , , d) + , , e) + , + , +
39. Si:
2Cos)2(Sen1)3(Cos)(f 2
Calcular:
13
f3
f
a) 2 b) 232 c) 5
d) 323 e) 2332
40. Determinar el signo de S en cada uno de los cuadrantes(I, II, III, IV).
S = Ctgx + Senx - Cscx
I II III IVa) + + + +b) + + +c) + + d) + +e) + +
41. Determinar el signo de:
QQCtgQSecSen 453
a) ; si Q pertenece al IC.b) + ; si Q pertenece al IIC.c) + ; si Q pertenece al IIIC.d) + ; si Q pertenece al IVC.e) ; si Q pertenece al IIC.
42. Dado: 22
22
qp
qpCosx
; p > q > 0
Calcular Tgx, con x en el segundo cuadrante.
a) 22 pq
pq2
b) 22 pq
pq2
c) 22 pq
pq2
d) 22 pq
pq2
e) 22
22
pq
pq
43. Sabiendo que: 41CosQ
270º < Q < 360ºCalcular el valor de la expresión:
CtgQ1CscQSecQ
a) 0,25 b) 0,50 c) 2,50d) 4,00 e) 4,50
44. Si es un ángulo del tercer cuadrante, tal que:
8Ctg1 2
Calcular: 3)Sec8(
a) 6383 b) 6383 c)
6383
d) 633
83 e) 6363
86
45. Si el ángulo x es positivo, pertenece al cuarto cuadrantey es tal que: 2x0 . Entonces, hallar el signo delas siguientes expresiones trigonométricas.
I.
4xsecCo
2xSen
4xTan
II.
5xCos
4x3Sec
3xCot
III.
4x3Sec
3x2Tan
3xSen
a) (+) (+) (+) b) () () ()c) (+) (+) () d) () () ()e) () () (+)
46. Hallar el signo de las expresiones trigonométricas, enel orden dado:
325Cos
352Sen ; 3
22Cot5
32Sen ;
1073Cot
3205Sen
a) (+) (+) () b) () (+) ()c) () (+) (+) d) () () (+)e) (+) () (+)
-
7
47. Si es un ángulo en el primero cuadrante y25,0Sen .
¿Cuál es el valor de 2CtgCsc ?
a) 15 b) 1921
c) 1519
d) 2119
e) 19
48. Si 5,1Tg , siendo un ángulo en el III cuadrante,el valor de la expresión:
)CscSec(131M es :
a) 61 b) 6
1 c) 61
d) 65 e) 6
1
49. Calcular el Coseno del ángulo del segundo
cuadrante, tal que 53Sen .
a) 54
b) 53
c) 32
d) 54 e) 3
1
50. Si 31Tan y está en el segundo cuadrante.
Hallar :
Ctg2
)Sen5Cos(3K
a) 10 b) 1010 c)
1010
d) 5102 e)
5102
51. En la figura adjunta, hallar:
TanCos15Sen5V
24
- 7 0
x
y
a) 35141
b) 729
c) 3599
d) 739
e) 41
52. Indicar la alternativa correcta para el signo de lassiguientes expresiones:I. Sen(361º) Cos(455º)
II.
43Cos
43Sen
III. )º315(Sec45 Tan
a) + ; ; + b) + ; + ; c) ; ; +d) + ; ; e) + ; + ; +
53. Sea un ángulo del tercer cuadrante.Indicar la alternativa correcta al simplificar:
CosSen11E 2
a) 2Sen2 b) 2Sen
c) 2Cos1 d) 2Sen
e) 2Cos
54. Si: Senx = 0,6, ¿cuál es el valor de Cosx, sabiendo quex es un ángulo del segundo cuadrante?
a) Cosx = 0,8 b) Cosx = 0,6c) Cosx = 0,7 d) Cosx = 0,9e) Cosx = 0,8
55. Si " " y " " son ángulos cuadrantales, positivos y
menores que una vuelta, tales que: CosCotCalcule:
Cos2
Sen2
SenCosK
a) 22 b) 12 c) 12
d) 22 e) 1
56. Si y son ángulos positivos, que no son agudos;
0Cos ; 0Tan ; )º360( Sean:
a = )(Sen
b = 2Sen
c = 2SenEntonces, son positivas.
a) a y b. b) a y c. c) a , b y c.d) a. e) b y c.
-
8
57. Si: 32
baTanx
Calcular el valor de:
ICx ; aCosx
bbSenx
aE
a)
3
3131
3131
a
b
b
a
b) ab
ba
c) 21
2
2
2
2
ab
ba
d)
23
3232
3232
a
b
b
a
e) 31
3
3
3
3
ab
ba
58. Hallar todos los valores que puede tomar el ángulo del primer cuadrante, cuyo ángulo doble está en elsegundo cuadrante, su ángulo triple está en el tercercuadrante y su cuádruple en el cuarto cuadrante; peroinferior a 2
a) 24 b) 23
c) 2125 d) 28
3
e) Faltan datos
59. Si: IIC y
Cos3 4 2 )Sen(Sen
Calcular: SenTg
a) 1431211 b) 14312
13
c) 1431213 d) 14312
9
e) 1431211
60. Se tiene dos ángulos que se diferencian en un múltiplode 360º. Se sabe que el cuádruple del menor es a lasuma del ángulo menor más el triple del mayor de losángulos, como 4 es a 5. Hallar el menor de los ángulos,si se sabe que está comprendido entre 1080º y 3240º.
a) 1280º b) 2160º c) 3200ºd) 3210º e) 3230º
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9
Claves Claves
b
b
a
c
d
d
e
a
e
a
d
b
b
e
d
a
a
e
b
b
c
c
e
d
a
b
d
b
b
c
b
c
e
a
b
d
c
a
c
c
c
b
d
e
c
b
e
a
d
b
d
e
d
e
a
e
d
d
c
b
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1
Capítulo
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE6OBJETIVO: El objetivo del presente capítulo es:* Calcular las razones trigonométricas de un ángulo que no es agudo, en función de otro que sí lo sea; reconociendo
previamente el caso en que nos ubicamos y el criterio a utilizar.
* Simplificar correctamente expresiones del tipo: Zn ; 2
n.T.R
* Reconocer y aplicar correctamente las propiedades de ángulos cuya suma de medidas es 180º ó 360º
CASOS
I. Ángulos cuyas medidas están en : En este caso, el ángulo original " " se descompone como lasuma o resta de un ángulo cuadrantal (90º ; 180º ; 270º ó 360º) con un ángulo que sea agudo; para luego aplicar :
).(T.RCo22090
R
).(T.R360180
R)(RT
Donde el signo )( que deberá anteponerse al resultado dependerá del cuadrante al que pertenezca el ángulo original " "
Por ejemplo; calculemos:
*23º30Cos)30º90(Senº120Sen
)(
* 21º60Cos)º60º180(Cosº120Cos
)(
* 3º30Cot)º30º270(Tanº240Tan)(
* 2º30Csc)º30º360(Cscº330Csc)(
* ) (Senº170Sen
* ) (Cosº200Cos
* ) (Tanº260Tan
* ) (Senº320Sen
II. Ángulo cuya medida es mayor que 360º: En este caso, se procede de la siguiente manera:
R.T. ( ) = R.T. ( ) ; donde 360º q
Residuo
-
2
Por ejemplo, calculemos:
*23º60Senº2580Sen * Tan 3285º = Tan45º = 1
2580º 360º2520º 7
60º
3285º 360º3240º 9
45º
* Sec1200º = Sec120º = Sec(90º + 30º) = Csc30º = 2
1200º 360º1080º 3
120º
( )
* Sen 3180º =
Si el ángulo estuviese expresado en radianes, se procede de la siguiente manera:
*
133 4132 33
1
127 6126 21
1
12
1Sen2
Sen133 21
31Cos
3127Cos *
Es decir, si fuese: 2ba ; ba.T.R
Se divide: a 2bq
r este residuo reemplaza al numerador "a"
*
1315 851 164
353
13453
1345Sen *43Tan
41315Tan
III. Ángulos de medida negativa: Se procede de la siguiente manera:
Sen(-x) = -Senx Csc(-x) = -Cscx Cos(-x) = Cosx Sec(-x) = Secx Tan(-x) = - Tanx Cot(-x) = - Cotx
Por ejemplo, calculemos:
*22º45Sen)º45(Sen * 2
1º60Cos)º60(Cos
* 3)º30Cot()º30º90(Tanº120Tan)º120(Tan)(
* Cos (- 200º) =
IV. Ángulos relacionados:1.
TanyTanx
CosyCosx
SenySenx
180ºyx : Si
2.
-
3
TanyTanx
CosyCosx
SenySenx
360ºyx : Si
Por ejemplo, calculemos:
76Cos
75Cos
74Cos
73Cos
72Cos
7CosC
En esta expresión note que:
76Cos
7Cos
76
7
75Cos
72Cos
75
72
74Cos
73Cos
74
73
Luego:
76Cos
75Cos
74Cos
74Cos
75Cos
76Cos C
Reduciendo, quedaría C = 0
-
4
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Señale el valor de: Sen120º
a) 1/2 b) -1/2 c) 23
d) 23 e)
22
02. Hallar: Cos330º
a) 1/2 b) -1/2 c) 23
d) 23 e)
22
03. Calcule: E = Tg150º.Sen315º
a) 46
b) 46 c)
66
d) 66 e)
42
04. Hallar el valor de: Sen1680º
a) 1 b) -1 c) 1/2
d) -1/2 e)23
05. Determinar el valor de: Cos1200º
a) 1 b) 0 c) 1/2
d) -1/2 e) 23
06. Hallar: )º45(Tg)º60(CosE
a) 1/2 b) -1/2 c) 0d) 1 e) 2
07. Hallar: E = Sen(-30º)+Tg(-53º)
a) 11/6 b) 6/11 c) -11/6d) 0 e) 1
08. Señale el equivalente de: Cos(180�