La Trigonometría es la parte de las Matemáticas dedicada al estudio de las relaciones existentes entre los lados y los ángulos de un triángulo. Un triángulo queda determinado conociendo sólo alguno de sus elementos. A partir de ellos, se puede obtener el valor de los otros. Por ejemplo, conociendo un ángulo y los lados que lo forman , el triángulo queda determinado, es decir , se sabe inequívocamente, cuál es. A este proceso se le llama , actualmente, resolver el triángulo. ¿Para qué se puede desear resolver un triángulo? Muchas aplicaciones justifican el desarrollo de la trigonometría a través de la historia:

- Astronomía: Cálculo del radio de la Tierra, distancia de la Tierra a la Luna, predicción de eclipses, confección de calendarios, ...

- Artillería: ¿A qué distancia se encuentra un blanco al que sea disparar con una catapulta o un cañón? - Cartografía: Elaboración del mapa de un lugar del que se conocen algunas distancias y ángulos. - Construcciones. Como construir un edificio para que cumpla ciertas exigencias de orientación. En que

dirección se excava un túnel para que salga , al otro lado de la montaña , en el lugar deseado. - Navegación. Construcción de cartas marinasen las que se detalle la ubicación de escollos, arrecifes....

Sus orígenes se remontan al tiempo de los egipcios. Ante las periódicas inundaciones del río Nilo, resultaba de vital importancia conocer la cantidad de superficie cultivable. Desde mucho antes se sabía calcular el área de un triángulo; el más conocido y utilizado era aquel cuyos lados medían 3, 4 y 5. Pero el problema surgía cuando en la triangulación de la superficie no todos los triángulos eran rectángulos. ¿Cómo calcular entonces el área de un triángulo cualquiera con el sólo conocimiento de las longitudes de los lados? Quien dio la respuesta a esta última cuestión fue Herón de Alejandría. Las culturas babilónicas, egipcia y griega antigua, manejaron aspectos práctico relacionados con la Trigonometría: medida de ángulos en grados sexagesimales, realización de algunas construcciones para las que se requería triangulación como, por ejemplo, el túnel de Samos (siglo VI a.C.) que se taladró desde sus dos extremos, orientación de templos de modo que un cierto día del año el Sol iluminara el santuario consagrado al Dios,.... La búsqueda de precisión para prever eclipses y para construir calendarios eficientes, les llevó a una sistematización de sus observaciones y al intento de una matematización de las mismas. Este proceso lo culmina Hiparco (s II a.C) con la construcción de unas auténticas tablas trigonométricas precursoras de la moderna Trigonometría. Siglos más tarde, en tiempos de Copérnico, empezaron los estudios de lo que más tarde se denominaría Trigonometría esférica, entre cuyas aplicaciones se halla el cálculo de la distancia entre dos puntos cualesquiera de una superficie esférica. En el siglo XVI FranÇois Viète sistematizó y amplió los conocimientos trigonométricos de entonces con importantes teoremas que aplicó a la resolución de problemas aritméticos y geométricos. Pocos años después se inventaron los logaritmos. La espléndida ayuda que estos aportaron para aliviar los cálculos aritméticos supuso un enorme impulso al desarrollo posterior de la Trigonometría. Desde su descubrimiento, la Trigonometría ha permitido resolver numerosos problemas de las ciencias aplicadas. Arquitectura, topografía, navegación, astronomía, .... no serían posibles sin la existencia de la Trigonometría. 1. MEDIDA DE ÁNGULOS Cada vez que medimos una magnitud debemos tomar una unidad de medida. Existen varios sistemas de medida de ángulos. A Sistema sexagesimal. La unidad fundamental de medida en el sistema sexagesimal es el grado sexagesimal. Un grado sexagesimal es la noventava parte de un ángulo recto. Para medir ángulos pequeños utilizamos submúltiplos del grado. Un grado tiene 60 minutos. Un minuto tiene 60 segundos. x60 x 60 1 grado = 1º 1 minuto = 1´ 1 segundo = 1´´ : 60 : 60 Una medida angular en el sistema sexagesimal puede venir expresada en una única unidad ( forma incompleja) o en varias (forma compleja) . Para pasar de una a otra basta aplicar las equivalencias entre las diferentes unidades.

Ejemplo : 24,22º (forma incompleja) = 24º 13´12´´ (forma compleja)

ASistema centesimal. Un grado centesimal es la centésima parte de un ángulo recto. Un grado centesimal tiene 100 minutos. Un minuto centesimal tiene 100 segundos. x 100 x 100 1 grado = 1 g 1 minuto = 1 min 1 segundo = 1s : 100 : 100 La ventaja de este sistema es que la transformación de una expresión compleja a incompleja y viceversa , es automática.

Ejemplo : 48,5216g = 48g 52m 16s

ARadian. La unidad de medida de ángulos en el Sistema Internacional es el radián Un radian es una medida angular correspondiente a un ángulo cuyo lado mide igual que su arco. Como la longitud de una circunferencia es 2πr, el radio ( lado del ángulo ) cabe 2π veces en la circunferencia y por tanto 360º = 2π rad. Esta equivalencia permite pasar de grados a radianes y viceversa.

EJERCICIOS 1. Expresa en forma incompleja de segundos 35º 17´26´´. 2. Expresa en forma compleja 32046´´. 3. Expresa el ángulo α = 65g 43m 12s en forma sexagesimal. 4. Expresa el ángulo α = 15º 43´21´´ en forma centesimal 5. ¿Cuántos radianes son 150º? 6. Expresa en radianes los ángulos de 90º y 210º.

7. Expresa los siguientes ángulos en el sistema sexagesimal: rad3

5π , rad

8π

.

UTILIZACIÓN DE LA CALCULADORA. Las calculadoras científicas pueden trabajar con los tres tipos de medidas angulares. Basta escoger el modo correspondiente: DEG= sistema sexagesimal, GRA= sistema centesimal , RAD = radianes. Para introducir en la calculadora, por ejemplo, el valor del ángulo 15º 23´ 56´´ , debes teclear :

1 5 ° ´ ´´ 2 3 ° ´ ´´ 5 6 ° ´ ´´ Obtendrás 18,39888889, que es la expresión decimal o incompleja del ángulo. Si lo que quieres es hallar la expresión compleja del ángulo, por ejemplo, si te dan el ángulo 25,764166º debes teclear el número y después la inversa de ° ´ ´´

EJERCICIO . Escribe la forma incompleja de los siguientes ángulos , utilizando la calculadora a) 15,3824º b) 25,1206º c) 87,0285º

2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO. Consideremos un ángulo α. Señalamos un punto cualquiera A de uno de sus lados y trazamos la perpendicular al otro lado. Con ello obtenemos un triángulo rectángulo. Se definen las razones trigonométricas del ángulo α de la siguiente manera:

A

Seno de α : sen α = hipotenusa

stocatetoopue =

ab

α Coseno de α : cos α = hipotenusa

contiguocateto _ =

ac

Tangente de α: tg α = contiguocatetoopuestocateto

__

= cb

Y las razones inversas a estas : Cosecante de α : cosec α = opuestocateto

hipotenusa_

= ba

Secante de α: sec α = contiguocateto

hipotenusa_

= ca

Cotangente de α : cotg α = opuestocatetocontiguocateto

__

= bc

⇒ Las razones trigonométricas de un ángulo no dependen del triángulo rectángulo utilizado para definirlas. EJERCICIOS. 1. Calcula las razones trigonométricas del ángulo α:

6 cm

α 8 cm 2. ¿Puede ser el seno de un ángulo agudo mayor que 1 ? Razona tu respuesta. 3. Calcula las razones trigonométricas de α

α 8 cm

6 cm

3. ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Como los ángulos de un triángulo suman siempre 180º y en un triángulo rectángulo tiene que haber un ángulo de 90º, los otros dos ángulos son complementarios. Observa lo siguiente:

senα =ac

sen β =bc

cosα =bc

cosβ =ac

Como puedes ver se verifica sen α = cos β y sen β = cos α Por tanto , el seno de un ángulo coincide con el coseno de su complementario.

EJERCICIO: Halla el seno y el coseno de 60º , sabiendo que sen 30º = ½ y cos30º = 3

2

UTILIZACIÓN DE LA CALCULADORA Al utilizar la calculadora pueden presentarse dos problemas distintos: Problema directo : Dado un ángulo , determinar sus razones trigonométricas. Ejemplo: Vamos a calcular sen20º15´

1º Introducimos el ángulo :

2 0 ° ´ ´´ 1 5 ° ´ ´´ 2º Tecleamos : sin En algunas calculadoras hay que teclear primero sin . Obtendrás 0,346117057 Problema inverso : Dada una razón trigonométrica, encontrar el ángulo correspondiente. Ejemplo: Encontrar el ángulo α tal que sen α = 0,2734 1º Introducimos el número 0,2734 2º Tecleamos :

shift sin o inv sin según la calculadora. Obtendrás 15,866687 Lo pasaras a su expresión en grados minutos y segundos como explicamos

Anteriormente: 15º 52´0,07´´ EJERCICIOS. 1. Utilizando la calculadora averigua el valor de:

a) sen 80º 25´12´´ e) sec 28º 13´ b) cos 120º 13´´ f) cotg 126º 12´36´´ c) tg 71º 12´32´´ g) cos 250º 36´´ d) cosec 36º h) tg 270º

2. Utilizando la calculadora averigua el valor del ángulo α tal que: a) Sen α = 0,8311 c) tg α = -3,2614 b) Cos α = - 0,2634 d) sen α = - 0,9235

4. RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN MISMO ÁNGULO Entre las razones trigonométricas de un mismo ángulo existen unas relaciones que nos serán de gran utilidad, pues nos permitirán , conocida una razón, calcular las otras. Observando el dibujo,

sen2α + cos 2 α = ca

ba

+

2 2

= c b

a

2 2

2

+ =

aa

2

2 = 1

y así obtenemos el teorema fundamental de la trigonometría: sen2 + cos2 = 1 Si ahora dividimos el seno entre el coseno de un ángulo, obtenemos:

sencos

αα

=

caba

= cb

= tg α ⇒ tg α = sencos

αα

Si ahora, partiendo de la fórmula fundamental, dividimos por sen2α o por cos2α , obtenemos nuevas relaciones:

sensen

cossen sen

2

2

2

2 2

1αα

αα α

+ = ⇒ 1 + cotg2α = cosec2 α

sencos

coscos cos

2

2

2

2 2

1αα

αα α

+ = ⇒ 1 + tg2α = sec2 α

EJERCICIOS. 1. Sabiendo que sen α = 0,6 , calcula el resto de las razones trigonométricas del ángulo. 2. Calcula las razones trigonométricas de α sabiendo que tg α = 3

5. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA. Las razones trigonométricas de un ángulo dependen sólo de la “abertura” del ángulo, no de la medida de sus lados. Suelen considerarse los ángulos dibujados con vértice en el centro de una circunferencia ( no importa el radio ) de centro el origen de coordenadas y con uno de sus lados sobre el eje x. De esta manera , cada ángulo α está asociado a un punto P de la circunferencia. Este punto P tendrá unas coordenadas , P ( x, y ) . Por tanto , se tiene :

ry

=αsen rx

=αcos xy

=αtg

P (x,y) r y x Como el radio puede tomar cualquier valor, suele utilizarse una circunferencia de radio 1 , que recibe el nombre de circunferencia goniométrica. De esta manera:

yy==

1senα

xx==

1cosα 1 y z

zxy

==αtg ( th de Thales) α

x Según lo dicho anteriormente, podemos razonar cual es el signo de cualquier razón trigonométrica en cualquiera de los cuatro cuadrantes:

sen α ⇒ + cosec α ⇒ + cos α⇒ + sec α ⇒ + tg α ⇒ + cotg α ⇒ + sen α ⇒ + cosec α ⇒ + cos α⇒ - sec α ⇒ - tg α ⇒ - cotg α ⇒ - sen α ⇒ - cosec α ⇒ - cos α⇒ - sec α ⇒ - tg α ⇒ + cotg α ⇒ + sen α ⇒ - cosec α ⇒ - cos α⇒ + sec α ⇒ + tg α ⇒ - cotg α ⇒ - Si queremos calcular las razones trigonométricas de ángulos de más de 360º basta dividir por 360 para saber el número de vueltas que da . El resto de la división efectuada proporciona el ángulo equivalente del primer giro. Ejemplo: 1 3 2 0 3 6 0 sen 1320º = sen 240º = -0,866 2 4 0 3

EJERCICIOS. 1. Indica el signo que tienen las razones trigonométricas de los siguientes ángulos: 66º, 175º ,

342º , -18º , -120º. 2. Calcula las razones trigonométricas de α , sabiendo que pertenece al cuarto cuadrante y que

su seno vale –1/2. 3. Calcula las razones trigonométricas de 120º , reduciendo a un ángulo del primer cuadrante. 4. Calcula las razones trigonométricas de α sabiendo que tg α = -3 y 90º < α < 180º 5. Si sen α = ¾ y α es un ángulo agudo, halla , sin utilizar la calculadora , sen(90º - α ) y

cos (180º - α) 6. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS DE 30º, 45º Y 60º Razones del ángulo de 30º Consideremos un triángulo equilátero de lado la unidad. La altura lo divide en dos triángulos rectángulos iguales, cuyos ángulos miden 30º y 60º. Aplicamos el teorema de Pitágoras a uno de esos triángulos rectángulos para hallar el valor de h:

23

43

211

22 ==

−=h

h Las razones trigonométricas del ángulo de 30º serán:

sen 30º = 21

121

= cosec 30º = 2

cos 30º = 23

123

= sec 30º = 3

323

2=

tg 30º = 33

23

21

= cotg 30º = 3

Razones trigonométricas del ángulo de 60º Las razones trigonométricas del ángulo de 60º pueden calcularse a partir del mismo triángulo rectángulo utilizado para hallar las razones del ángulo de 30º:

Sen 60º = 123

= 23

cos 60º = 121

=21

tg 60º = 3

2123

=

Cosec 60º = 3

323

2= sec 60º = 2 cotg 60º =

33

31

=

Razones trigonométricas del ángulo de 45º Consideremos un cuadrado de lado la unidad. La diagonal del cuadrado lo divide en dos triángulos rectángulos iguales cuyos ángulos agudos miden 45º. Aplicamos el teorema de Pitágoras a uno de estos triángulos para hallar el valor de d. 45º d = 211 22 =+ Las razones trigonométricas del ángulo de 45º serán :

Sen 45º = 22

21

= cosec 45º = 2

Cos 45º = 22

21

= sec 45º = 2

Tg 45º = 111

= cotg 45º = 111

=

7. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Resolver un triángulo es hallar uno o más elementos desconocidos a partir de los elementos (lados y ángulos) conocidos. Para ello basta utilizar el teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas. Ejemplo : Resuelve el triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 5cm y uno de sus

catetos 4 cm. B a = 5 cm c = 22 45 − = 39 =

cos C = 54

⇒ C = 36,87º

A b = 4 cm C B = 90º - 36º 52 ́12´ ́= 53,13º EJERCICIOS :

1. Resuelve el triángulo rectángulo cuyos catetos miden 12 y 5cm. 2. Resuelve el triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 3 cm y uno de sus ángulos es de

70º. 3. Resuelve el triángulo rectángulo uno de cuyos catetos mide 4 cm y uno de sus ángulos

es de 50º. 4. El ángulo de elevación del punto más alto de una antena , observado desde el punto del

suelo situado a 50m de su pie es de 30º. Calcula la altura de la antena.

5. El ángulo de elevación del punto más alto de una montaña , observado desde un punto situado en tierra es de 32º. Al aproximarnos 1000 m en dirección a la montaña , el ángulo de elevación es de 41º. ¿Cuál es su altura si los dos puntos de observación están al nivel del mar?

6. Jaime está haciendo volar una cometa. Ha soltado 9 m de cuerda y esta forma un ángulo de 55º con el suelo ¿A que altura se encuentra?

7. Para hallar la anchura de un río procedemos así: Nos situamos en un punto A en una orilla del río y medimos el ángulo, 53º , bajo el cual se ve un árbol que está frente a

nosotros, en la otra orilla. Nos alejamos 20 metros de la orilla en dirección perpendicular a ella y volvemos a medir el ángulo bajo el cual se ve el árbol, 32º.¿cuánto mide el ancho del río?

20 m x 8. TEOREMA DEL SENO Este teorema relaciona los ángulos de un triángulo con sus lados opuestos: Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. C

a senC

csenB

bsenA

a==

b A D c B Demostración : Consideremos el triángulo de la figura ( un triángulo cualquiera).

Trazamos la altura y consideramos los dos triángulo rectángulos que se forman, ADC y DBC . Se cumple :

sen A = bh

⇒ h = b . sen A

sen B = ah

⇒ h = a . sen B

Igualando las dos expresiones

b . sen A = a . sen B ⇒ senB

bsenA

a=

que constituye la primera parte de la igualdad. Si ahora trazamos la altura desde A, y razonamos de forma análoga, obtenemos:

senC

csenB

b=

con lo que se concluye la demostración.

Interpretación geométrica del teorema del seno. La constante de proporcionalidad expresada en el teorema del seno tiene una importante interpretación geométrica. En efecto, puede demostrarse que :

senC

csenB

bsenA

a== = 2R

siendo R el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC EJERCICIOS: 1. Halla el lado a del triángulo de la figura: C b=5 cm a A= 50º B=30º 2. Halla el ángulo B del triángulo ABC , sabiendo que a= 9 cm , b = 6 cm y A = 62º. 9. TEOREMA DEL COSENO Este teorema es una generalización del teorema de Pitágoras para triángulos no rectángulos: El cuadrado del lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de éstos por el coseno del ángulo que comprenden. C a2 = b2 + c2 – 2.b.c cos A b2 = c2 + a2 – 2 .a.c cos B b a c2 = a2 + b2 – 2.a.b cos C A c B Demostración. Sólo vamos a demostrar una de las igualdades ya que para demostrar las otras el razonamiento es análogo. Observemos el triángulo de la figura: C Si aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo DBC, tenemos : a2 = h2 + c2

2 Pero en el triángulo ADC se cumple : b h a h = b . sen A c1 = b . cos A Teniendo en cuenta que c2 = c – c1 podemos escribir: A D B c1 c2 a2 = h2 + c2

2 = h2 + ( c – c1 )2 = c = ( b . sen A )2 + ( c – b cos A )2 = = b2. sen A + c2– 2 . b . c cosA + b2.cos2 A = = b2 . ( sen2 A + cos2 A ) + c2 – 2 . b . c . cos Y como sen2 A + co2 A = 1, se tiene : a2 = b2 + c2 - 2 . b . c cos A

Ejemplo : Halla el lado c del triángulo de la figura : Aplicamos el teorema del coseno: C c2 = a2 + b2 – 2 . a . b cos C Sustituyendo los datos, tenemos: b= 5 cm a = 8cm c = º120cos.5.8.258 22 −+ = 11,36 cm A c B EJERCICIOS 1. Halla el lado c del triángulo ABC, sabiendo que b = 10 cm y C = 36º. 2. Halla el ángulo B del triángulo ABC sabiendo que a = 9 cm, b = 6 cm y A = 62º. 3. Halla el lado a del triángulo ABC, si b = 10 cm, c = 12 cm y A = 26º. 4. Resuelve los siguientes triángulos:

a) a = 9 , B = 118º , C = 26º b) c = 7 , B = 40º , C = 60º c) b = 10 m , c = 9m , A = 35º d) a = 6 cm , c = 5 cm , B = 123º

5. ¿A qué distancia del refugio situado en A se halla un observador situado en B , distante 100m de otro punto C, si se han medido los ángulos B = 40º y C = 60º ? A

C B 6. Dos amigos parten de un mismo punto A y siguen direcciones que forman entre sí un ángulo de 35º . Tras caminar 50 m y 75 m , respectivamente, se sitúan en dos puntos B y C . Calcula la distancia que les separa y los ángulos B y C del triángulo ABC. C a B b = 50 m c = 75 m A 7. En un parque hay tres estatuas A, B, C. A dista 50m de B y 60 m de C. Si el ángulo que forman los segmentos AB y AC es de 120º, ¿cuánto dista B de C ?ç 8. Resuelve el triángulo ABC sabiendo que a = 5 m , b = 3 m y c = 7 m.

9. El entrenador de un equipo de fútbol indica a tres jugadores que se sitúen en el campo formando un triángulo . A debe situarse a 20 m de B, B a 15 m de C y C a 23 m de A. ¿Bajo que ángulo observa cada jugador a los otros dos? 10. En un instante determinado, un avión se encuentra a 8 km de la torre de control de un aeropuerto y a 7,5 km de un dirigible. Si ambos son observados bajo un ángulo de 30º, ¿A que distancia se encuentra en ese momento el dirigible del aeropuerto? 10 . RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO SUMA Vamos a obtener las razones trigonométricas del ángulo suma α + β en función de las razones trigonométricas de los ángulos α y β. Las demostraciones hacen referencia a la construcción de la siguiente figura: C F E β α+β

α A B D

Sen ( α + β ) = sen α . cos β + cos α . sen β

Demostración :

Sen ( α + β ) = ACFC

ACDE

ACFCDE

ACFCBF

ACBC

+=+

=+

=

Observa, además, que: DE = AE . senα y FC = CE . cos α Si sustituimos en la expresión anterior , tenemos:

Sen ( α + β ) = ACAE

. sen α + ACCE

. cos α

Pero βcos=ACAE

y βsenACCE

= . Luego:

Sen ( α + β ) = sen α . cos β + cos α . sen β

Cos ( α + β ) = cos α . cos β - sen α . sen β

Demostración :

Cos ( α + β ) = ACFE

ACAD

ACFEAD

ACBDAD

ACAB

−=−

=−

=

Observa, además, que: AD = AE . cosα y FE = CE . sen α Si sustituimos en la expresión anterior, tenemos:

Cos ( α + β ) = αα senACCE

ACAE

−cos.

Pero βcos=ACAE

y βsenACCE

= . Luego :

Cos ( α + β ) = cos α . cos β - sen α . sen β

Tg ( α + β ) = βα

βαtgtg

tgtg.1 ⋅−

+

Demostración : Para determinar tg ( α + β ) bastará dividir las expresiones de sen ( α + β ) y

cos ( α + β ):

Tg ( α + β ) = ( )( )βα

βα++

cossen

= βαβαβαβα

sensensensen

⋅−⋅⋅+⋅

coscoscoscos

Dividiendo el numerador y el denominador por el producto cos α . cos β y

simplificando:

( )

βαβα

βαβα

βαβα

βαβα

βα

coscoscoscoscoscos

coscoscos

coscoscos

⋅⋅

−⋅⋅

⋅⋅

+⋅⋅

=+sensen

sensen

tg = βα

βαtgtg

tgtg⋅−

+1

11. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DIFERENCIA Sen ( α - β ) = sen α . cos β - cos α . sen β

Demostración : Como α - β = α + ( - β ) , se tiene: Sen ( α - β ) = sen ( α + ( - β ) ) = sen α . cos ( - β) + cos α . sen (-β ) = = sen α . cos β + cos α . ( - sen β )=

= sen α . cos β - cos α . sen β

Cos ( α - β ) = cos α . cos β + sen α . sen β

Demostración: Como α - β = α + ( - β ) , se tiene: Cos ( α - β ) = cos ( α + ( - β ) ) = cos α . cos (-β) - sen α . sen (-β) = = cos α . cos β - sen α . ( - sen β ) = = cos α . cos β + sen α . sen β

Tg ( α -β ) = βα

βαtgtg

tgtg.1 ⋅+

−

Demostración : Como α - β = α + ( - β ) , se tiene:

Tg ( α -β ) = Tg [ α + (-β ) ] = )(1

)(βα

βα−⋅−

−+tgtg

tgtg==

βαβα

tgtgtgtg⋅+

−1

EJERCICIOS.

1. Calcula el valor de cos 105º , teniendo en cuenta que 105º = 60º + 45º. 2. Calcula las razones trigonométricas de 150º. Para ello expresa 150º como suma de dos

ángulos cuyas razones sean conocidas. 3. Calcula cos ( α -β ) si sen α = 4/5 y sen β = 12/13 y tanto α como β son

ángulos del segundo cuadrante. 12. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS DOBLE Y MITAD Vamos a ver ahora como obtener las razones trigonométricas del ángulo doble, 2α , y del ángulo mitad, α/2, en función de las del ángulo α.

Razones trigonométricas del ángulo doble Puesto que 2α = α + α , podemos deducir las razones trigonométricas de 2α a partir de las obtenidas para el ángulo suma. En efecto:

Sen 2α = sen ( α + α ) = sen α . cos α + cos α . sen α = 2 sen α . cos α Luego Sen 2α= 2 sen α . cos α

Cos 2α = cos ( α + α ) = cos α . cos α - sen α . sen α = cos2 α - sen2 α

Luego Cos 2α = cos2 α - sen2 α

Tg 2α = tg ( α + α ) = αααα

tgtgtgtg.1−

+ =

αα

212

tgtg

−

Luego Tg 2α = α

α21

2tgtg

−

Razones trigonométricas del ángulo mitad.

Puesto que 2

2 αα ⋅= , podemos combinar las relaciones que ya conocemos por el ángulo

doble y el teorema fundamental:

−

=⋅=

22cos

22coscos 22 αααα sen

+

=

2cos

21 22 ααsen

Restando estas dos igualdades, tenemos:

=−

22cos1 2 αα sen ⇒

2cos1

2αα −

±=

sen

Análogamente, si sumamos las dos igualdades anteriores, tenemos :

⋅=+

2cos2cos1 2 αα ⇒

2cos1

2cos αα +

±=

Para obtener la tangente del ángulo mitad, dividiremos sen

2α

entre cos

2α

,

ααα

cos1cos1

2 +−

±=

tg

Elegiremos el signo según el cuadrante al que pertenezca 2α

EJERCICIOS : 1. Calcula el valor de sen 40º y cos 40º sabiendo que sen20º = 0,34 y cos20º = 0,94. 2. Calcula el valor de sen 25º y cos 25º sabiendo que sen50º = 0,77 y cos50º = 0,64. 3. Sabiendo que sen14º = 0,24 y sen 42º = 0,67, halla cos14º , tg 14º , cos 42º y tg42º. Calcula también las razones trigonométricas de 28º, 56º y 21º. 13. TRANSFORMACIÓN DE SUMAS EN PRODUCTOS. Estas transformaciones tienen por objeto expresar las sumas y diferencias de senos y cosenos en forma de producto.

2

cos2

2 BABAsensenBsenA −⋅

+⋅=+

22cos2 BAsenBAsenBsenA −

⋅+

⋅=−

2cos

2cos2coscos BABABA −

⋅+

⋅=+

222coscos BAsenBAsenBA −

⋅+

⋅−=−

Veamos como deducir estas fórmulas: Consideramos las expresiones del seno de los ángulos α +β y α -β

Sen ( α + β ) = sen α . cos β + cos α . sen β

+ Sen ( α - β ) = sen α . cos β - cos α . sen β Sen ( α + β ) + Sen ( α - β ) = 2 sen α . cos β

Llamamos

=−=+

BA

βαβα

y expresamos α y β en función de A y B. Para ello

resolvemos el sistema y obtenemos:2

BA +=α y

2BA −

=β

Si sustituimos estos valores en la expresión anterior obtendremos: Sen ( α + β ) + Sen ( α - β ) = 2 sen α . cos β

2

cos2

2 BABAsensenBsenA −⋅

+⋅=+

Análogamente, si restamos y hacemos los mismos cambios , obtendremos:

Sen ( α + β ) = sen α . cos β + cos α . sen β - Sen ( α - β ) = sen α . cos β - cos α . sen β Sen ( α + β ) - Sen ( α - β ) = 2 cos α . sen β

22

cos2 BAsenBAsenBsenA −⋅

+⋅=−

Procederíamos de forma análoga para encontrar las fórmulas que expresan en forma de producto las sumas y las diferencias de cosenos. 14. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Son aquellas en las que la incógnita está afectada por razones trigonométricas. No hay un método general para resolver una ecuación trigonométrica. Sin embargo, en la mayoría de los casos , puede resultarte útil seguir los siguientes pasos:

1. Si hay razones trigonométricas de distintos ángulos, x , 2x , x + π,..., las expresaremos todas en función del mismo ángulo ( generalmente x )

2. Si hay varias razones trigonométricas, senx, cosh, tgx, ... las expresaremos todas en función de una de ellas.

3. Resolveremos la ecuación obtenida considerando como incógnita la razón trigonométrica elegida en el paso 2.

4. Hallaremos el ángulo x a partir de su razón trigonométrica, teniendo en cuenta que, si el ángulo x es una solución, tambien lo serán los ángulos x + 360º k, con k∈Z.

Ejemplos :

a) cos 3x = 2

2−

Los ángulos cuyo coseno es igual a 2

2− son 135º y 225º.

Por otro lado, los ángulos obtenidos al sumar a los anteriores un número entero de vueltas tendrán el mismo coseno. Luego se cumple que :

∈+=∈+=

ZkkxZkkx

,º360º2253;º360º1353

Al despejar x, obtenemos las soluciones:

+=

+=

3º360

3º225

3º360

3º135

kx

kx ⇒

+=+=

kxkx

º120º75º120º45

b) sen x = sen 2x

Escribimos sen 2x en función de x, utilizando que sen 2x = 2 sen x cos x : La ecuación queda:

Sen x = 2 sen x cos x Sen x – 2 senx cos x = 0 Sacamos factor común a sen x: sen x = 0 Sen x . ( 1 – 2 cos x ) = 0 1 – 2cos x = 0 - De sen x = 0 obtenemos como soluciones:

∈+=∈+=

ZkkxZkkx

,º360º180,º360º0

Observa que todas las soluciones difieren 180º y por tanto podemos escribirlas como x = 0º + 180ºk

- De 1 – 2 cos x = 0, obtenemos como soluciones:

Cos x = 21

⇒

∈+=∈+=

ZkkxZkkx

,º360º300,º360º60

c) sen x + sen 3x = 0 Utilizamos la expresión que transforma una suma de senos en producto:

Sen x + sen 3x = 23cos

232 xxxxsen −

⋅+

⋅ = 2 . sen 2x . cos (-x) = 2 . sen 2x . cos x

Con lo que la ecuación dada es equivalente a 2 . sen 2x . cos x = 0 Las soluciones serán los valores de x que satisfagan:

- Sen 2x = 0 ⇒

+=+=

kxkxº360º1802

º360º02⇒ 2x = 0º + 180ºk , k∈Z ⇒ x = 0º+90ºk, k∈Z

- Cos x = 0 ⇒

∈+=∈+=

ZkkxZkkx

,º360º270,º360º90

⇒ x = 90º + 180º k , k∈Z

d) cos 2x = 1 + sen x Sustituimos cos 2x por cos2 x – sen2 x , para conseguir que aparezcan razones trigonométricas de un único ángulo , x , en toda la ecuación: cos2 x – sen2 x = 1 + sen x Sustituimos cos2 x por 1 - sen2 x para conseguir la misma razón trigonométrica en toda la ecuación: 1 - sen2 x - sen2 x = 1 + sen x 1 - 2 sen2 x = 1 + sen x 2 sen2 x + sen x = 0 Resolvemos la ecuación considerando como incógnita “ sen x “. Sacamos factor común a “sen x” , con lo que la suma se transforma en un producto: Sen x . ( 2 sen x + 1 ) = 0 Entonces :

- sen x = 0 ⇒

∈+=∈+=

ZkkxZkkx

,º360º180,3600

⇒ x = 0º + 180º k , k∈ Z

- 2 . sen x + 1 = 0 ⇒ sen x = 21−

⇒

∈+=∈+=

ZkkxZkkx

,º.360º330,º.360º210

EJERCICIOS. TRIGONOMETRÍA

1. ¿Cuántos grados sexagesimales son 4

5π rad?

2. Halla las razones trigonométricas del ángulo α:

α 3,9 2,4 3 α

7 3. De un triángulo rectángulo se conoce un cateto b = 86 cm y el ángulo opuesto B = 40º.

Calcula los demás elementos del triángulo. 4. Calcula las razones trigonométricas de un ángulo que pertenece al segundo cuadrante y cuya

cotangente vale –2/3. 5. Halla todos los ángulos comprendidos ente 0º y 360º que verifican:

a) sen α = -1/2 b) cos α = 22

c) tg α = 3

6. Un observador situado en la orilla de un río ve un árbol situado en la orilla opuesta , bajo

un ángulo de 60º. Si se aleja 20m , lo ve bajo un ángulo de 30º. Halla la altura de dicho árbol y la anchura del río.

7. Dos radares A y B , distan entre sí 15 km y detectan un avión , que está en el mismo plano

vertical que ellos bajo ángulos de 42º y 56º respectivamente. Halla la altura a la que vuela el avión y la distancia de éste a cada uno de los radares.

8. En un triángulo rectángulo se conoce B = 56º3´ y su cateto opuesto b = 2. Calcula los

valores del cateto c , la hipotenusa y el ángulo C. 9. Una escalera de 3m de largo está apoyada sobre una pared, estando su base a un metro y

medio de la pared. ¿Qué ángulo forma la escalera con el suelo? 10. Calcula el área de la parcela triangular del dibujo.

150 m 30º 75 m

11. ¿Cuánto mide la apotema de un pentágono regular de lado 10 cm ? 12. ¿Cuánto vale la parcela con forma de paralelogramo del dibujo si el precio del metro

cuadrado es de 50.000 pesetas?.

120m 55º 200 m 13. La longitud del hilo que sujeta una cometa es de 15m . Si el ángulo de elevación de la

cometa es de30º, ¿qué altura alcanza la cometa? 14. El piloto de un avión observa un punto del terreno con un ángulo de depresión de 30º.

Dieciocho segundos más tarde , el ángulo de depresión obtenido sobre el mismo punto es de 55º. Si vuela horizontalmente y a una velocidad de 400millas/hora , halla la altitud del vuelo.

15. Calcula los ángulos menores de 360º que cumplen:

a) Sen α = 1 b) tg α = - 3 c) cos α = - 0,5 d) sen α = 0 e) cos α = -1

16. Pasa a radianes los siguientes ángulos: a) 135º b) 240º c) 315º

17. Calcula : a) sen 1930º b) tg 5350º c) cosec 375º 18. Utilizando la calculadora averigua el valor del ángulo α:

a) cos α = -0,8793 b) cosec α = 2,5634 c) cotg α = -13,582 19. Determina la superficie de un pentágono regular inscrito en un círculo de 9 cm de radio. 20. Calcula las incógnitas de los siguientes triángulos: α α x x 3 2 3 x 30º 45º 2 1 60º 4 4 α 21. Calcula el valor de las incógnitas: 90º

b c h 9 cm 4 cm

C B

22. Una antena de televisión está sujeta por dos cables que forman ángulo recto, siendo la distancia entre los dos puntos de anclaje de 20 m.

a) Calcula la longitud de los cables y la altura de la antena , así como las longitudes de las dos partes en que la antena divide a la distancia entre los puntos de anclaje.

b) ¿Cuáles son las razones trigonométricas del otro ángulo agudo que forma el cable más largo con el suelo?

c) Halla las razones trigonométricas de los dos ángulos agudos que forman la antena y los cables.

55º 20 m 23. Demuestra las siguientes igualdades: a) cotg α . sec α = cosec α b) sec α - cos α = tg α . sen α 24. Expresa sen 3α en función de sen α y cos α. 25. Halla los ángulos del primer giro que satisfacen la ecuación:

sen x + 2 . Cos x = 1 26. Sin utilizar la calculadora, calcula senα , cos α y tgα: a) 120º b) 225º c) 330º d) 1590º 27. Calcula el perímetro de un rombo que tiene un ángulo de 50º y cuya diagonal menor mide 13 cm. 28. Calcula el área de un trapecio isósceles cuyas bases miden 24 cm y 8 cm y uno de sus ángulos interiores mide 120º.

29. Resuelve la ecuación: tg x + cotg x = 3

4

30. Resuelve los triángulos: a) a = 34 cm B = 52º C = 47º b) a = 10 b = 6 C = 72º c) a = 5 b = 3 c = 7 d) B = 52º b= 20 a = 12 e) a = 10 b = 12 c = 14 31. Calcula sen 2α si sabemos que α es un ángulo del tercer cuadrante y que sen α = -12/13 32. Verifica las siguientes identidades :

a) 1 + tg2 α = sec2 α b) aa

aasen cossec

cos22

=+

c) 1cos1cos

11

−+

=−+

ecaeca

senasena

d) 1cos1cos

11

−+

=−+

ecaeca

senasena

e) a

asenaatgtga 22

coscos11 +

=++

33. Conocida sec a = 2 y ππ 22

3<< a , calcula sen a y tg a.

34. Sabiendo que 212cos

mma

+= , calcula sen a y tg a .

35. Sin utilizar la calculadora, averigua el valor de : sen 45º + cos 135º + tg 225º + cosec 315º + sec(-45º) + cotg 585º

36. Halla los ángulos positivos menores que 1000º que verifiquen sen x = 23

.

37. Si tg α = ¾ y tg β = ½ y ambos son ángulos del tercer cuadrante, calcula las razones trigonométricas del ángulo α+β. 38. Resuelve las siguientes ecuaciones si 0 < x < 360º:

a) 21

4cos =

+

πx d) 023cos

21

=− senxx

b) cos x . cotg x = 23

e) ( tg x - 1 ) . ( 4 . sen2x – 3 ) = 0

c) sen x + cos x = 2 39. Los visuales a lo alto de una torre desde dos puntos A y B del plano horizontal , separados 300m entre sí, forman con el segmento AB ángulos de 50º y 45º, respectivamente. Calcula la distancia desde lo alto de la torre a los dos puntos. 40. En el triángulo ABC, AD es la altura relativa al lado BC. Calcula las razones trigonométricas del ángulo B y halla loa ángulos A, B , C. B D 4,2 3 2 A C

41. Halla las razones trigonométricas de α sabiendo que 323

=αtg y α>90º .

42. Uno de los lados de un triángulo es doble del otro y el ángulo comprendido mide 60º. Halla los otros ángulos. 43. Simplifica las siguientes expresiones:

a) ( cos a + sen a )2 – 2 sen a cosa b) sec a – sen a . tg a

c) a

asencos1

2

−

d) asen

aasenaecasenaec

4

2

22

22

1cos.

coscos

+−+

e) a

senagaaasena

coscotcossec. −+

44. Halla el valor de la siguiente expresión sin utilizar la calculadora. Cos 120º + sen(-60º) + tg 120º + cotg 60º + sec 420º + cosec 960º 45. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 23

4=

−

πxsen

b) 2 cos2 x – 3 cos x + 1 = 0 46. Calcula el volumen de un cono de revolución , sabiendo que la generatriz del cono forma con la base un ángulo de 60º y el radio de la base mide 3m. 47. Demuestra que en todo triángulo rectángulo se cumple:

a) cos B . tg C = abc 2

b) sen2B + sen2 C = 1

48. Halla los ángulos positivos menores de 1000º que verifiquen cos x = -1/2. 49. Verifica las siguientes identidades:

a) sena

aa

sena cos1cos1

+=

− c)

agasenasenatg 2

222

cot=−

b) sec2a + cosec2a = sec2a .cosec2a d) atgecasenaaa 3

cosseccos

=−

−

50. Simplifica la expresión:

asenasenaa

asencoscos1̀

1 2

+++−

51. Sabiendo que tg a = 2 , calcula el valor de sen 4ª 52. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) sen x . cos x = ½ b) sen 2x = cos x c) cos 2π + 5 cos x + 3 = 0 d) cos 2x – cos 6x = sen 5x + sen 3x

53. El radio de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC mide 22 cm y dos de sus ángulos miden 30º y 45º. Resuelve dicho triángulo. 54. Halla los lados de un triángulo sabiendo que su área mide 18 cm2 y dos de sus ángulos A = 30º y B = 45º. 55. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:

a) 14

4 −=

−

πxtg c) tg 2x = -tg x

b) sen 2x . cos x = 6 sen3x d) 3 cos x = 2 sec x – 5 56. Halla los ángulos de un trapecio isósceles cuyas bases miden 83 m y 51 m y cuya altura mide 61 m. 57. Sean A y B dos puntos inaccesibles , pero visibles ambos desde otros puntos accesibles C y D separados por la longitud de 73,2 m. Suponiendo que los ángulos ACD = 80º12´ BCD=32º y ADC = 23º14 ́determina la distancia AB. 58. Un amigo le dice a otro : Tengo tres hijos cuyas edades , que son números enteros, si las tomasemos como longitudes formarían un triángulo, de manera que uno de sus ángulos es doble que el otro. Si mi hijo mediano tiene 5 años, ¿qué edades tienen los otros dos?

59. Sabemos que las medidas de los lados del triángulo de las Bermudas son números enteros consecutivos tomando como unidad 100 km. Ademas, el ángulo menor es la mitad del ángulo mayor. ¿Sabrias hallar las medidas del triángulo de las Bermudas? 60. ¿Es posible que un triángulo tenga lados que midan a = 15 cm , b = 7 cm y c = 5 cm? 61. Las diagonales de un paralelogramo miden 6 cm y 14 cm y forman un ángulo de 75º. Halla los lados y los ángulos del paralelogramo. 62. Eeen un triángulo conocemos dos de sus ángulos y un lado A= 55º , B = 98º a=7,5 cm . Resuelve el triángulo. 63. En un triángulo se conocen A = 35º, b = 20 cm y c= 14 cm . Resuelve el triángulo. 64. Resuelve los siguientes triángulos: a) a = 3 b = 8 A = 25º b) a = 12,6 b = 26,4 B = 124º 34´