dazr

Página 1 de 12

GUÍON UNIDAD I UTILICEMOS LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

TRIÁNGULOS Y ÁNGULOS

Definición: Un triángulo es la unión de tres rectas que se cortan de dos en dos.

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS EN BASE A SUS ÁNGULOS

TEOREMA DE PITAGORAS

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOSCLASIFICACIÓN DE ÁNGULOSCLASIFICACIÓN DE ÁNGULOSCLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS

Según su medida los ángulos se clasifican en:

Ángulo agudo:Ángulo agudo:Ángulo agudo:Ángulo agudo: Su medida es mayor que 0º y menor que 90º.

Ángulo recto: Ángulo recto: Ángulo recto: Ángulo recto: Su medida es de 90º.

Ángulo obtuso: Ángulo obtuso: Ángulo obtuso: Ángulo obtuso: Su medida es mayor que 90º y menor que 180º.

Ángulo extendido: Ángulo extendido: Ángulo extendido: Ángulo extendido: Su medida es de 180º.

Ángulo completo: Ángulo completo: Ángulo completo: Ángulo completo: Su medida es de 360º.

dazr

Página 2 de 12

PITAGORAS

Un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto (de 90 grados: 90º).

En todo triángulo rectángulo, el lado mayor es la hipotenusa (c). Además, cada ángulo tiene un lado o cateto opuesto (enfrente) y

uno adyacente (cercano). Para el ángulo θ mostrado, b es el lado

opuesto; y a es el lado adyacente. Y para β, a es el lado opuesto;

y b es el lado adyacente. Además, en todo triángulo la suma de los ángulos internos es 180º: 90º + θ + β = 180º. Y

recordando a Pitágoras, se tiene que: aaaa2 + bbbb2 = cccc2

Ejemplos:

θ

β

a

b

c

90º

dazr

Página 3 de 12

dazr

Página 4 de 12

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Las razones trigonométricas son 6:

Seno (Sen)

Coseno (Cos)

Tangente (Tan)

Cotangente (Cot)

Secante (Sec)

Cosecante (Csc)

Cada razón trigonométrica es la división de un lado entre otro. Para el ángulo θ se tiene

que:

Senθ = opuesto/hipotenusa = b/c

Cosθ = adyacente/hipotenusa = a/c Cos = 1 / Sec

Tanθ = opuesto/adyacente = b/a

Cotθ = adyacente/opuesto = a/b Cot = 1 / Tan

Secθ = hipotenusa/adyacente = c/a

Cscθ = hipotenusa/opuesto = c/b Csc = 1 / Sen

Si tomamos el ángulo β, obtenemos:

Senβ = opuesto/hipotenusa = a/c Cosβ = adyacente/hipotenusa = b/c

Tanβ = opuesto/adyacente = a/b Cotβ = adyacente/opuesto = b/a

Secβ = hipotenusa/adyacente = c/b Cscβ = hipotenusa/opuesto = c/a

Ejemplos:

dazr

Página 5 de 12

ÁNGULOS DE ELEVACIÓN Y DE DEPRESIÓN

Son ángulos formados por dos líneas imaginarias llamadas: línea

Visual o línea de visión y la línea horizontal.

En estos casos, el observador se encuentra por debajo del objeto observado o bien, se encuentra por encima de dicho objeto.

Definición ángulo de Elevación: Si un objeto está por encima de la horizontal, se llama ángulo de elevación al ángulo formado por una línea horizontal y la línea visual hacia el objeto.

Definición ángulo de Depresión: Si un objeto está por debajo de la horizontal, se llama ángulo de depresión al ángulo formado por una línea horizontal y la línea visual hacia el objeto.

Para estas mediciones se utilizan sencillos aparatos que colocados sobre un trípode (3 puntos determinan un solo plano) el simple giro realizado de la mirilla sobre el punto a observar nos señala los grados girados respecto a la horizontal:

En el caso del ángulo de depresión, el observador se encuentra por encima del lugar a observar y del modo anterior su representación podemos hacerla del modo siguiente:

dazr

Página 6 de 12

SENO y COSENO DE UN ÁNGULO

Las palabras que se utilizan en Trigonometría tienden a confundir, pero lo importante es saber para qué sirven. Se comprobará que es una parte de las Matemáticas sencilla y muy interesante.

Los egipcios hace muchos años se dieron cuenta de que si clavaban en el suelo unas estacas de diferentes alturas sucedían cosas interesantes.

Observar la figura siguiente:

Se evidencia que tenemos tres triángulos rectángulos:

dazr

Página 7 de 12

Los catetos opuestos al ángulo α son, de menor a mayor: AB, A’B’ y A”B”.

Los catetos contiguos al ángulo α (que están tocando al ángulo α) son, de menor a mayor: OA, O A’ y OA”.

Las hipotenusas de los tres triángulos son, de menor a mayor: OB, OB’ y OB”.

Pero ¿de qué se dieron cuenta?

Leer con mucha atención:

Para un mismo ángulo α, los cocientes de los valores:

Es decir, los cocientes de los catetos opuestos al ángulo entre los valores de sus hipotenusas, SON IGUALES.

Si aumentamos o disminuimos el valor del ángulo, los valores de las medidas de los catetos e hipotenusas variarán pero los cocientes entre los nuevos valores seguirán siendo iguales entre sí.

Para un mismo ángulo, el valor del cociente entre el cateto opuesto y su hipotenusa será siempre el mismo.

dazr

Página 8 de 12

Ejemplos:

Para un ángulo de 30º, el cociente entre el cateto opuesto y su hipotenusa vale 0,5.

Para un ángulo de 45º, el cociente entre el cateto opuesto y su hipotenusa vale 0,707.

Al cociente del cateto opuesto al ángulo entre su hipotenusa se llama seno del ángulo y se escribe sen α.

EJERCICIOS

1. José desea medir el asta de la bandera de su escuela, por lo que se coloca a 6.5 m del pie del asta y encuentra que el ángulo de elevación es de aproximadamente 58º. ¿Cuál es la altura del asta?

6.5 m

dazr

Página 9 de 12

2. La piscucha de Jaime está sujeta a una cuerda de 10 m. de longitud y vuela a 8 m. de altura sobre el nivel de sus ojos. ¿Cuál es el ángulo de elevación de la piscucha?

3. Desde un punto al nivel del suelo y a 135 metros de la base de una torre, el

ángulo de elevación a la parte más alta de la torre es 57. Calcular la altura de la

torre.

135 m

57º.

tan 57 ��

135

tan 57 . �135� � �

x=207.88 m.

dazr

Página 10 de 12

4. Una persona se encuentra en una ventana de un edificio que está a 12 m de altura. Desde ese sitio se observa un carro a un ángulo de depresión de 35º. Hallar la distancia entre el edificio y el carro.

EJERCICIOS:

1. Un cable está sujeto a lo alto de una antena de radio y a un punto en el suelo

horizontal que está a 40m de la base de la antena. Si el alambre hace un ángulo de

58º. con el suelo, encuentre la longitud del alambre. R/75.48

2. Para medir la altura de una capa de nubes, un estudiante de meteorología dirige

la luz de un faro verticalmente hacia arriba desde el suelo. Desde un punto P

situado a 1000m del faro, se mide el ángulo de elevación de la imagen de la luz en

las nubes, siendo esta de 59. Hallar la altura de la capa de nubes. R/1 664.28

3. Calcular el ángulo de elevación al sol, si una persona que mide 165cm de estatura

proyecta una sombra de 132cm de largo a nivel del suelo. R/51.

4. Un constructor desea construir una rampa de 8m de largo que se levanta a una

altura de 1.65m sobre el nivel del suelo. Encuentre el ángulo de la rampa con la

horizontal. R/12.

dazr

Página 11 de 12

5. Una banda transportadora de 9 metros de largo puede bajar o subir

hidráulicamente para descargar pasajeros de las aeronaves. Encuentre el ángulo

que hay que levantar para llegar a una puerta de un avión que está 4 metros arriba

de la plataforma que la sostiene. R/26.

6. Una banda transportadora de 9 metros de largo puede bajar o subir

hidráulicamente hasta un ángulo de 40, para descargar pasajeros de las aeronaves.

Hallar la altura máxima sobre la plataforma a que la banda transportadora puede

llegar. R/5.79

7. La estructura natural más alta hecha por el hombre, en el mundo, es una torre

transmisora de televisión situada en Fargo, Dakota del Norte. Desde una distancia

de 1600 metros a nivel del suelo, su ángulo de elevación es de 21. Determinar su

altura en metros. R/614.18

8. Una escalera que mide 6.6 metros se apoya en un edificio y el ángulo entre

ambos es de 22. Calcular la distancia del pie del edificio hasta donde se apoya la

escalera en el suelo. R/2.47

9. Una escalera que mide 6.6 metros se apoya en un edificio. Si la distancia del pie

del edificio a la parte de la escalera que está en el suelo aumenta 1 metro

¿Aproximadamente cuánto bajará del edificio la parte alta de la escalera? R/0.51

11. Desde un punto A que está a 8.2 metros sobre el nivel del suelo, el ángulo de

elevación a la parte alta de un edificio es de 31. Encuentre la altura del edificio.

R/4.93

12. Cuando se observa la parte más alta de la torre Eiffel desde una distancia de 66

metros de su base, el ángulo de elevación es 79. Hallar la altura de la torre.

R/339.5m

dazr

Página 12 de 12

EJERCICIOS CON ÁNGULOS DE DEPRESIÓN

1. Desde la parte alta de una torre de 120m de altura, el ángulo de depresión de un

objeto colocado en el plano horizontal de la base de la torre es de 24. ¿Qué tan lejos

está el objeto del pie de la torre? ¿A qué distancia del observador está el objeto?

R/269.52 y 295.03.

�� �� ��

��� ��� �� �

���

�

2. En un faro que está a 58.2 metros sobre el nivel del mar, el ángulo de depresión

de un pequeño bote es de 11º. ¿Qué distancia hay entre el punto de observación y el

bote? R/305.02

��� �� ���. �

�

3. Un observador situado en la azotea de un edificio observa un objeto en el suelo

con un ángulo de depresión de 32. Si la altura del edifico es de 48m. Encuentre la

distancia que hay del objeto a la base del edificio. R/ 76.82.

�� �� ��

�

4. Desde la azotea de un edificio a 10m de altura, una persona observa a un niño. Si

el ángulo de depresión del observador es de 25º. Hallar la distancia del niño a la

base del edificio. R/ 21.45

�� �� ��

��