Anca Croitoru Marius Durea Cristian Vaideanu

Probleme de Analiza MatematicaI - Calcul Diferential ın R

Editura PIMIasi 2010

Referenti stiintifici:

Prof.dr. Eugen Popa,

Universitatea ”Al.I. Cuza” Iasi

Prof.dr. Constantin Zalinescu,

Universitatea ”Al.I. Cuza” Iasi

Profesorilor nostri

Cuprins

Prefata vii

1 MULTIMI. RELATII. FUNCTII 1

Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Solutii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2 SIRURI DE NUMERE REALE 64

Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Solutii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3 SERII NUMERICE 116

Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Solutii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

4 LIMITE DE FUNCTII. CONTINUITATE 176

Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Solutii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

5 FUNCTII DERIVABILE 225

Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

Solutii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

6 SIRURI SI SERII DE FUNCTII 272

Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

Solutii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

v

vi

Note istorice 333

Bibliografie 340

Index 342

Prefata

Aceasta culegere de probleme este prima dintr-o serie de trei volumecare ınsotesc cursurile de Analiza Matematica oferite ın primii doi ani aiFacultatii de Matematica din Universitatea ”Al.I. Cuza” Iasi. Primul volumurmareste programa cursului de Calcul Diferential din primul semestru alanului I si se adreseaza nu numai studentilor de la facultatile de Matema-tica, dar si celor din primii ani ai facultatilor care ofera cursuri de AnalizaMatematica.

Problemele sunt culese dintr-o variata bibliografie sau sunt propuse decatre autori. Unele probleme au fost propuse la diverse concursuri scolaresau studentesti, la concursuri de definitivat, gradul al II-lea sau titularizaredin ınvatamantul preuniversitar, aceasta carte adresandu-se ın egala masuraelevilor de liceu si cadrelor didactice.

Culegerea cuprinde sase capitole: Multimi. Relatii. Functii, Siruri denumere reale, Serii numerice, Limite de functii. Continuitate, Functii de-rivabile, Siruri si serii de functii, urmate de cateva note istorice. Fiecarecapitol este structurat ın trei parti. La ınceput sunt prezentate doar enunturiale definitiilor si teoremelor ce se refera la subiectul respectiv. Partea a douacontine diverse exercitii si probleme, iar ın ultima parte sunt oferite solutii,indicatii si, acolo unde este posibil, mai multe variante de rezolvare. Uneleprobleme sunt lasate ca teme ın seama cititorului. Teoria prezentata nu esteexhaustiva - pentru completari si demonstratii se pot consulta Precupanu[17], Popa [16] sau Siretchi [20], iar ın rezolvarea unora din problemele pre-zentate, manualele de liceu sunt de un real, pretios, indicat si indispensabilajutor.

Dorim sa multumim doamnei profesor dr. Anca Maria Precupanu, dom-nului profesor dr. Eugen Popa si domnului profesor dr. Constantin Zalinescupentru rabdarea si atentia deosebita cu care au citit aceasta carte, pentruobservatiile pertinente si discutiile utile purtate pe marginea continutului,

viii

precum si pentru variantele de rezolvare oferite la unele probleme.De asemenea multumim doamnei cercetator dr. Cristina Stamate pentru

sugestiile interesante aduse la rezolvarea unor probleme.In sfarsit, multumim doamnei Luminita Teodorescu pentru munca in-

spirata depusa ın tehnoredactare, familiilor si prietenilor pentru ıntregulsprijin.

Autorii