Nmerik Analiz 2010Prof.Dr. Nurettin UMURKAN1 /77 Nmerik Analizin Amac Matematikselproblemlerinzmlenebilmesiiinuygunve eniyiyaklamverenyntemleribulmak,ayrcabunlardan anlaml ve faydal sonular karmaktr. zmistenenproblemitanmlamakvesonucavaracak yntemisaptamakgenellikleaynbilimadamnniidir.Bu nedenle problemi tanmlayann bir nmerik analizcinin sahip olduubilgilerinenaznasahipolmasgerekir.Problemin zmndebirtakmaamalardangeilereksonucavarlr. Buaamalardanilkiprobleminformleedilmesidir.Fiziksel birolaynmatematikselmodelininformleedilmesinde nmerikanalizci,probleminibilgisayarilezmleyeceini gznnde bulundurmaldr. Formlasyonyapldktansonraprobleminzmiinhata analiziilebirliktenmerikyntemeniyiyaklamlasonu eldeedilecekekildeseilmelidir.Nmerikzmyntemi, belirtilenyadaistenilenhassaslktakiyaklamlavebelli saydaardktekrarilemlerindensonramatematiksel problemezmgetirmelidir.Nmerikzmyntemleri genelliklencedensaptanmaritmetikvemantksal ilemlerdenoluur.Builemlerintmnezmalgoritmas denir.Algoritmabellisaydailemlerdensonraprobleme zmgetirir.Probleminbilgisayarilezmndenc aama,algoritmannbilgisayardazmnsalayacak programlamaaamasdr.Programlama;C,Pascal,Basic, Cobol, Fortran gibi bilgisayar dillerinden birisi ile yaplr. Nmerik Analiz 2010Prof.Dr. Nurettin UMURKAN2 /77 Nmerik Analizde Problem Trleri: 1. Yaklak hesaplamalar Enterpolasyon ntegrasyon Trev ve diferansiyel Serilerin toplam Eri Uydurulmas 2. Fonksiyonel Denklemler Adi Diferansiyel Denklemler Ksmi Trevli Diferansiyel Denklemler Minimizasyonntegral Denklemler Benzeim (Simulation) 3. Cebir Kk Bulma Lineer Denklem Sistemleri Lineer Olmayan Denklem Sistemleri 4. Matris ProblemleriLineer Denklemler Determinant Bir Matrisin nversi z deer ve z vektrler Nmerik Analiz 2010Prof.Dr. Nurettin UMURKAN3 /77 Hatalar Veri Hatalar Hesaplamalardakullanlacakverilerdebulunanhatalardr. lmeileeldeedilenverilerde,lmehatasndanveya aletlerinlmhassasiyetlerikaynaklhatalarmeydana gelmektedir. Kesme Hatalar Hesaplamalardakullanlansonsuzterimliserilerinbellibir yerden kesilmesi ve geri kalan terimlerin atlmas sonucunda oluan hatalardr. ,eve 7gibibyklklersonlusaydabasamaklatam olarak ifade edilemezler. =3.141592653589793238462643. eklindesonsuzakadargider.Saysalilemlersonlusayda rakamlayapldklariinbutipsaylarhibirzaman ilemlerde tam olarak ifade edilemez. ! ! ! ! nx3x2x1x1 en 3 2x+ + + + =

rneinyukardakiMaclaurinSerisialmndaherhangi bir x deerine karlk gelen ex deerinin, sonsuz sayda terim kullanlarakhesaplanamamasnedeniyle,ancakbelirli terimler kesilerek hesaplanabilirler.Nmerik Analiz 2010Prof.Dr. Nurettin UMURKAN4 /77 Yuvarlama Hatalar Butrhatalargenellikleondalkyazlmnsonhanesini etkiler. Bilgisayarlar kendisine veri olarak girilen ya da ilem sonucueldeedilensaylarsnrlsaydabasamaklalr. Bazrakamlarnyuvarlamailebasamaksaysnn azaltlmas, yuvarlama hatasna neden olur. Mutlak Hata Gerekdeeriyolanbirbyklnyaklakdeeripise, y-p fark p yaklak ifadesinin hatasn gsterir. p nin mutlak hatas (p), ) ( p p y p saysnn y saysn (p) kadar bir hata ile temsil etmesi, [ ] ) ( p p y eklindeifadeedilir.Ayrcamutlakhata(p) eklindedegsterilebilir.Mutlakhataifadesinden,hata saysal olarak belirlenir ancak yaklam hassasl asndan fikir vermez. rnein, A9999[0.01] B9[0.01] saylarincelendiindeherikisayiinyaplanmutlakhata 0.01dir.Birincisaybykolduundan,busaydakihata ikinciyegrenemsizdir.Bunedenlelmnveya hesaplamannhassasiyetillenyadahesaplanan bykle de baldr.Nmerik Analiz 2010Prof.Dr. Nurettin UMURKAN5 /77 Bal Hata Yaklak deeri p olan bir bykln mutlak hatas (p) ise, ppp) ( = %100 eklinde ifade edilir. pye yaklamn (p) yzde bal hatas denir. tise gerek (y) bal yzde hatas olarak, ypt) ( = %100 ile ifade edilir. Saysalyntemlerdekizorluklardanbiride,gerekdeer hakkndabilgisahibiolmadanhatatahminiyapmaktr. teratif hesaplamalar yapan saysal yntemlerde hata analizi genelliklesoneldeedilenyaklamilebirncekiyaklam arasndaki fark olarak yaplr. Bu durumda bal yzde hata, ||

\|=yaklam sonyaklam nceki bir - yaklam sona%100 ile ifade edilir. ou zaman hesap yaplrken hatann iareti ile ilgilenilmez, ancakyzdehatannmutlakdeerininncedenverilens tolerans yzdesinden daha kk olup olmadna baklr. a < s Busalanrsasonucunncedenbelirlenmikabuledilebilir hata snrlar iinde kald kabul edilir. Nmerik Analiz 2010Prof.Dr. Nurettin UMURKAN6 /77 Sonlu Farklar Sonlufarklarhesabnmerikanalizdegenikullanlma alannasahiptir.Matematikselproblemlerdeikenlerin sreklifonksiyonlarolarakverilirvebufonksiyonlarkapal birformlletanmlanr(rnein; 6 5 3 ) (2 + = = x x x f y). Bamsz deikenlerin verilmi deerleri iin fonksiyonlarn deerlerihesaplanabilir.Birbakaekildedefonksiyon, bamszdeikenlerinherbirdeerinekarlkgelen deerlerinbircmlesi(rnein; 3 3 2 2 1 1 y , ; y , ; y , x x x)olarak tanmlanabilir.Budurumdasreklilikaralndaherhangi birnoktadaformlletanmlamayoktur.Sonlufarklar kullanlarak,aralniindeherhangibirnoktada fonksiyonun deeri iin iyi bir yaklam bulmak mmkndr. leri Farklar Bir ) (x f y = fonksiyonu verildiinde, ) ( ) ( ) ( x f h x f x f + = eklindetanmlananilemiyaptran sembolneilerifark operatrdenir.Buradah,farkaral,admolarak adlandrlmtr. ) (x f yada y ifadesinef(x)fonksiyonunun birinci mertebeden ileriye fark denir. f(x) fonksiyonunun ikinci mertebeden ileriye fark, ) (2x f eklinde gsterilir ve[ ] [ ] ) ( ) ( ) ( ) (2x f h x f x f x f + = = eklindeifadeedilir.Engenelhalde,if x f = ) (ve k if kh x f+= + ) ( ile gsterilmek zereNmerik Analiz 2010Prof.Dr. Nurettin UMURKAN7 /77 ininin nf f f x f111 1) ( ) (+ = = eklinde tanmlanr. Bir Polinomun Farklar Birpolinomun1 2 1 0,..., , ,+ ny y y ygibin+2deerininverilmi olduu kabul edilirse, bu deerler yardmyla oluturulan 0 1 0y y y = 1 2 1y y y = 2 3 2y y y = ... ... ... n n ny y y = +1farklarnaverilenpolinomunbirinciderecedenilerifarklar denir.Birinci dereceden ileri farklar ile, 0 1 02y y y = 1 2 12y y y = 2 3 22y y y = ... ... ... 1 12 = n n ny y y Nmerik Analiz 2010Prof.Dr. Nurettin UMURKAN8 /77 eklindeeldeedilenfarklaraverilenpolinomunikinci dereceden ileri farklar denir.) (x f y =polinomunda kh a x + =dnmyapldnda y ler ky ile gsterilsin. Yani ) ( kh a f yk+ = olur ki bu durumda, k k ky y y = +1 fark k nc birinci mertebeden ileri fark olarak adlandrlr. k=0,1,2,...alnrsaxinardkdeerleriiiny fonksiyonunun ileri fark tablosu aadaki gibi hesaplanr.xyy y2 y3a ) (0a f y = h a +) (1h a f y + = h a 2 + ) 2 (2h a f y + = h a 3 + ) 3 (3h a f y + = h a 4 + ) 4 (4h a f y + = Blnm Farklar x in x0 , x1 , . . ., xndeerleri iin srasyla f(x0), f(x1), . . ., f(xn)deerlerini alan bir fonksiyon iinf(x) in herhangi iki ardk deeri f(xi) ve f(xj) ise birinci blnm fark, i ji jj ix xx f x fx x f=) ( ) () , ( forml ile tanmlanr. Benzer ekilde f(x) in iki tane birinci blnm fark f(xi, xj) ve f(xj, xk) ise ikinci blnm fark, 3 4 32 3 21 2 10 1 0y y yy y yy y yy y y = = = = 2 3 221 2 120 1 02y y yy y yy y y = = = 122213021203y y yy y y = = Nmerik Analiz 2010Prof.Dr. Nurettin UMURKAN9 /77 i kj i k jk j ix xx x f x x fx x x f=) , ( ) , () , , ( olur. Blnm farklar baka notasyonlarla da gsterilebilirler. rnein,f(xi, xj, xk ) yerine [xi, xj, xk] gibi. Bir baka rnek olarak nc derecedenf(x0, x1, x2, x3 ) blnm farkn alrsak, 0 32 1 0 3 2 13 2 1 0) , , ( ) , , () , , , (x xx x x f x x x fx x x x f= forml ile hesaplanr. ( ) x f y = fonksiyonu iin blnm fark tablosu, ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )L LLLL3 33 23 2 1 2 23 2 1 0 2 12 1 0 1 11 00 0,, ,, , , ,, ,,x f xx x fx x x f x f xx x x x f x x fx x x f x f xx x fx f xx f x eklinde ifade edilebilir. Nmerik Analiz 2010Prof.Dr. Nurettin UMURKAN10 /77 RNEK: y= x2fonksiyonunun x = 0, 1, 3, 4, 7 deerleri iin blnm fark tablosunu oluturunuz. 49 7111 16 471 9 341 1 110 0) (x f x ENTERPOLASYON Matematikselproblemlerdeikenlerinsreklifonksiyonlarolarak ifadeedilebilir.Bufonksiyonlarkapalbirformlletanmlanrve bamszdeikenlerindeerleriiinfonksiyonlarndeerleri hesaplanr.Fonksiyonlar,bamszdeikenlerinherbirdeerine karlkgelenfonksiyondeerlerininbircmlesiolarakda tanmlanabilir.Budurumdakapalbirformlverilmemitir.Sonlu farklarkullanlarak,deikenlerinherhangibiraradeerine karlkgelenfonksiyondeerleriiiniyibiryaklambulunabilir. Pratikte karlalan problemlerin ounu kapal bir forml eklinde tanmlamak mmkn ise de, ayrk noktalar cmlesinde sonlu farklar kullanlarakzmeldeetmekdahakolayolduuiindahafazla tercih edilir. Nmerik Analiz 2010Prof.Dr. Nurettin UMURKAN11 /77 Verinoktalararasndaaradeerhesabgereksinimproblemifen vemhendislikteskakarlalr.rnein,birbinaiin bilgisayarlenerjikontrolsistemidizaynndagiriverisiolarak, hergnbinadameydanagelentipiksdeiimigerekebilir.rnek sdeerleriayrkzamannoktalarndabinaiindellmelidir. Bununlabirlikteenerjikontrolsistemibilgisayarprogramiin, rnek olarak saatlik artlarla s lmleri gerekebilir. Bu problemi zmeninbiryolullensdeerlerinin,lmzamanlar arasndakiaradeerleriiinbireriiletarifedilmesidir.Btn enterpolasyonalgoritmalarnntemeli,veriizelgesininbiralt kmesiiinbazfonksiyonlaryadaeritipleriuydurmaktr. Enterpolasyonalgoritmalarnnerileri,gerekfonksiyon erilerinden farkldr. Genelanlamdaenterpolasyon,bilinmeyenbir ( ) x ffonksiyonunun n 2 1 0x ,..., x , x , x gibiayrknoktalardabilinen ( ) ( ) ( ) ( )n 2 1 0x f ,..., x f , x f , x f deerlerinikullanarak,bufonksiyonun dahabasitvebilinenbir ( ) x Pfonksiyonuileifadeedilmesi ilemidir.Bu ( ) x Pfonksiyonuna,enterpolasyonfonksiyonuad verilir. Enterpolasyonfonksiyonununseiminde,balcaikiteorem kullanlr. 1. Eer ( ) x ffonksiyonu [ ] b a,aralndasrekliise, enterpolasyon fonksiyonu olarak polinom kullanlabilir. 2. Periyodu 2 olan herhangi bir srekli fonksiyon iin ( ) = =+ =nkknkkkx b kx a x P1 0sin cos eklindesonlu birtrigonometrikserienterpolasyonfonksiyonu olarak kullanlabilir. Nmerik Analiz 2010Prof.Dr. Nurettin UMURKAN12 /77 Lineer Enterpolasyon Enterpolasyonfonksiyonudzbirizgidenoluur.Lineer enterpolasyon fonksiyonu, ( ) x b b x P1 0 + = eklinde ifade edilebilir. Burada iki adet bilinmeyen katsay(b0, b1) bulunmaktadr.Katsaydeerlerinieldeetmekiinenazikiadet deikendeerivebudeikenlerekarlkgelengerekfonksiyon deerleribilinmelidir.Bilinendeikendeerlerixi vexi+1, fonksiyondeerleridesrasylaf(xi)vef(xi+1)olsun,denklemdexi, f(xi) ve xi+1, f(xi+1) deerleri kullanlarak, ( )( )1 1 0 11 0+ ++ =+ =i ii ix b b x fx b b x f

elde edilen iki bilinmeyenli iki denklem zlerek ii ii iixx xx f x fx f b((

=++110) ( ) () ( 111) ( ) (++=i ii ix xx f x fb denklemin katsaylar bulunarak, xx xx f x fxx xx f x fx f x Pi ii iii ii ii ((

+((

=++++1111) ( ) ( ) ( ) () ( ) (

elde edilir. Nmerik Analiz 2010Prof.Dr. Nurettin UMURKAN13 /77 RNEK : 3) ( x x f =fonksiyonunun deerleri tabloda verilmitir. x= 2.2 iin enterpolasyon fonksiyonunundeerini bulalm. x01234 f(x)0182764 Burada xi ve xi+1 iin 2 ve 3 deerleri, f(xi) ve f(xi+1) iin de 8 ve 27 deerleri tablodan alnr. (5) denklemi kullanlarak, x x P((

+((

=3 227 823 227 88 ) ( olur ve lineer enterpolasyon fonksiyonu x x P 19 30 ) ( + = olarakeldeedilir.Enterpolasyonfonksiyonux=2.2ninkpn 11.8olarakbulmutur.Gerekdeerolarak2.2ninkp10.648 dir.Enterpolasyonhatas1.152yada%10.8olarakgerekleti. Ayndenklemdex=4iinenterpolasyondeeri%28hataile46 olarakhesapland.Budurumekildendegrlmektedir.Lineer enterpolasyonfonksiyonueldeedilirkendaimahesaplanacak deerinaradakaldbilinensnrdeerlerikullanlmaldr.Snr deerlerindndakalanblgeiinhesaplananfonksiyon deerlerinde hata oran artabilmektedir. Nmerik Analiz 2010Prof.Dr. Nurettin UMURKAN14 /77 Gregory-Newton Enterpolasyon Yntemi Bir ( ) x f fonksiyonunun 1 2 1, ,+ nx x x Kgibiaralklareitolanayrk noktalardabilinen ( ) ( ) ( )1 2 1, , ,+ nx f x f x f Kdeerlerivarsavebu ( ) x f fonksiyonunun,enterpolasyonfonksiyonu) (x P iverenGregory-Newtonenterpolasyonynteminde,n.derecedenbirenterpolasyon polinomu, ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )n 2 1 1 n 1 n 2 1 n3 2 1 4 2 1 3 1 2 1x x ... x x x x a x x ... x x x x a... x x x x x x a x x x x a x x a a x P + ++ + + + =+

eklindeifadeedilmitir.Buradakibilinmeyenkatsaylardan 1a iin,eitliktexveP(x)yerinesrasyla ( )1 1ve x f xdeerleri yazlrsa, ( )1 1x f a = olarak elde edilir. 2a bilinmeyen katsaysnn zm iin, eitlikte x ve P(x) yerine srasyla ( )2 2ve x f x deerleri yazlrsa, ( ) ( ) ( )1 21 21 21 22x xx f x fx xa x fa== eklindedir. Elde edilen 2 1ve a a deerleri ile ( )3 3, x f x kullanlarak 3a iindenklemden, ( ) ( ) ( )( )2 3 1 3 3 1 3 2 1 3x x x x a x x a a x f + + = bulunur, buradan 3a zlerek, ( ) ( )( )( )2 3 1 31 3 2 1 33x x x xx x a a x fa = eklinde elde edilir. Nmerik Analiz 2010Prof.Dr. Nurettin UMURKAN15 /77 RNEK : x1234 F(x)182764 Tablo deerleri kullanlarak Gregory-Newton yntemiyle ikinci dereceden bir polinom iin,nce [1, 1] kullanlarak, ( ) 11 1= = x f a ve[2, 8] kullanlarak denklemden,71 21 82== a ve son olarak [3, 27] deeri kullanlarak denklemden, 6) 2 3 )( 1 3 () 1 3 ( 7 1 273= = a eklinde katsaylar elde edilir. Katsaylar yerine yazlarak, ) 2 )( 1 ( 6 ) 1 ( 7 1 ) ( + + = x x x x P olur. Denklem dzenlendiinde enterpolasyon polinomu, 26 11 6 ) ( x x x P + = olarak elde edilmitir. 2 . 2 = x iin 84 . 10 ) 2 . 2 ( = Pdeeri elde edilir. RNEK : 40o ve 72o C scaklk deerleri arasndaki suyun buhar basnc verileri aadaki tabloda verildii gibidir. T(oC)4048566472 P(mm Hg)55.383.7123.8179.2254.5 Enterpolasyon polinomunda 52oC iin buhar basnc ? Gregory-Newton ifadesindeki katsaylarn elde edilii aada tabloda verilmitir.Nmerik Analiz 2010Prof.Dr. Nurettin UMURKAN16 /77 iT(oC) P(mm Hg)Eitlik den ia 14055.3 13 . 55 a =55.3 24883.7) 40 48 ( 7 . 832 1 + = a a3.55 356123.8 ) 48 56 )( 40 56 ( ) 40 56 ( 8 . 1233 2 1 + + = a a a0.0914063 464179.2 ) 56 64 )( 48 64 )( 40 64 () 48 64 )( 40 64 ( ) 40 64 ( 2 . 17943 2 1 + + + =aa a a 0.001172 572254.5 ) 64 72 )( 56 72 )( 48 72 )( 40 72 () 56 72 )( 48 72 )( 40 72 () 48 72 )( 40 72 ( ) 40 72 ( 5 . 254543 2 1 + + + + =aaa a a 0.00001017 Katsaylar yerine yazldnda, ) 64 )( 56 )( 48 )( 40 ( 00001017 . 0) 56 )( 48 )( 40 0.001172() 48 )( 40 ( 0914063 . 0 ) 40 ( 55 . 3 3 . 55 ) ( + + + + =T T T TT T TT T T T P eklindedir. Enterpolasyon polinomunda 52oC iin buhar basnc, Hg mm 0 . 102 ) 52 ( = P olarak elde edilir. n=5; % for i=1:n % m=input('x degeri: '); % x(i)=m; % end %for i=1:n% k=input('y degeri: '); % y(i)=k; %end x(1)=40; x(2)=48; x(3)=56; x(4)=64; x(5)=72; y(1)=55.3; y(2)=83.7; y(3)=123.8; y(4)=179.2; y(5)=254.5; for i=1:n switch i case 1 a(1)=y(1); case 2 Nmerik Analiz 2010Prof.Dr. Nurettin UMURKAN17 /77 a(2)=(y(2)-y(1))/(x(2)-x(1)); case 3 a(3)=(y(3)-a(1)-a(2)*(x(3)-x(1)))/((x(3)-x(1))*(x(3)-x(2))); case 4 a(4)=(y(4)-a(1)-a(2)*(x(4)-x(1))-a(3)*(x(4)-x(1))*(x(4)-x(2)))/((x(4)-x(1))*(x(4)-x(2))*(x(4)-x(3))); case 5 a1=y(5)-a(1)-a(2)*(x(5)-x(1))-a(3)*(x(5)-x(1))*(x(5)-x(2))-a(4)*(x(5)-x(1))*(x(5)-x(2))*(x(5)-x(3)); a2=(x(5)-x(1))*(x(5)-x(2))*(x(5)-x(3))*(x(5)-x(4)); a(5)=a1/a2; end end for i=1:n f=a(i); fprintf('%12.8f\n', f); end 55.30000000 3.55000000 0.09140625 0.00117188 0.00001017 >> Newton leri Fark Enterpolasyon Forml 1 2 1,... ,+ nx x xgibiaralklareitolanayrknoktalardabilinen ( ) ( ) ( )1 2 1,..., ,+ nx f x f x fdeerleriiinenterpolasyonfonksiyonu ) (x P,( )0 022010... y y y y x Pnsns s|||

\|+ + |||

\|+ |||

\|+ = eklinde ifade edilir. Burada, ||

\|si katsaysna, binom katsays ad verilir ve !) 1 )...( 2 )( 1 (ii s s s ssi+ =|||

\| eklindedir. fade dzenlendiinde, Nmerik Analiz 2010Prof.Dr. Nurettin UMURKAN18 /77 ( )003020 0!) 1 )...( 1 ( ...! 3) 2 )( 1 (! 2) 1 (ynn s s sys s sys sy s y x Pn+ ++ + + + = olur. Burada hx xs0=dir. fade de yerine yazldnda, ( )...! 32 1 ! 21030 0 0020 0000+ ||

\|||

\|||

\|++ ||

\|||

\|+ + =yhx xhx xhx xyhx xhx xyhx xy x P olur. fade dzenlendiinde, ( )01 00332 1 00220 0000!) )...( (...! 3) )( )( (! 2)) ( )( (yh nx x x xyhx x x x x xyhh x x x xyhx xy x Pnnn + + + + + + =olarak elde edilir. Aynifade,Gregory-Newtonenterpolasyonyntemininifadesinde katsaylarilerifarklarileyenidendzenlenerek, na a a ,..., ,1 0 katsaylar, ! ! 3; ! 2; 03033202200 10 11 0 0n hyahyahyahyx xy ya y annn===== = Nmerik Analiz 2010Prof.Dr. Nurettin UMURKAN19 /77 olarak elde edilir. Formlde yerine yazldnda, Newton leri Fark Enterpolasyon Forml elde edilir.Newton leri Fark Enterpolasyon Forml en genel anlamda, ( )) )...( (!...) )( )( (! 3) )( (! 2) (1 002 1 03031 0202000 + + + + + =nnnx x x xh nyx x x x x xhyx x x xhyx xhyy x Peklinde ifade edilir. h=1 ve x0=0 ise ifade, ( )) )...( 1 (!...) 2 )( 1 (! 3) 1 (! 21003020 0 + + + + + =nnx x x xnyx x xyx xyx y y x P RNEK: x 0 1 2y124 x=0.5 iin P(x)=? leri fark tablosu, xy y2y 01 1 121 2 24 eklinde elde edilir. Tablo deerleri formle uygulandnda, ( ) ) 1 (! 2020 0+ + = x xyx y y x P

Nmerik Analiz 2010Prof.Dr. Nurettin UMURKAN20 /77

( )( ) 37 . 1 5 . 012121) 1 (2112=+ + = + + =Px x x x x x P RNEK: x 2468 10 y1050122226362 Yukardaki tabloyu kullanarak enterpolasyon polinomunu ve x=3 noktasndaki deerini bulunuz. leri fark tablosu, xy y2y3y 210 40 45032 720 612232 1040 822632 136 10362 eklinde elde edilir. Tablo deerleri formle uygulandnda, ( ) ) )( (! 2) (1 0202000x x x xhyx xhyy x P + + = ( ) ) 4 )( 2 (2 ! 232) 2 (240102 + + = x x x x P ( ) 2 4 42+ = x x x P ( ) 26 3 = P clc n=8; % for i=1:n % m=input('x degeri: '); % x(i)=m; % end Nmerik Analiz 2010Prof.Dr. Nurettin UMURKAN21 /77 %for i=1:n% k=input('y degeri: '); % y(i)=k; %end x(1)=1; x(2)=2; x(3)=3; x(4)=4; x(5)=5; x(6)=6; x(7)=7; x(8)=8; y(1)=1; y(2)=8; y(3)=27; y(4)=64; y(5)=125; y(6)=216; y(7)=343; y(8)=512; for i=1:n-1 a(i)=y(i+1)-y(i); e=a(i); fprintf('%f\n', e); end for i=1:n-2 b(i)=a(i+1)-a(i); f=b(i); if g~=0 fprintf('%f\n', f); end end for i=1:n-3 c(i)=b(i+1)-b(i); g=c(i);

if g~=0 fprintf(' %f\n', g); end end

for i=1:n-4 k(i)=c(i+1)-c(i); g=k(i); if g~=0 fprintf(' %f\n', g); end end Nmerik Analiz 2010Prof.Dr. Nurettin UMURKAN22 /77 for i=1:n-5 m(i)=k(i+1)-k(i); g=m(i); if g~=0 fprintf('%f\n', g); end end for i=1:n-6 k(i)=m(i+1)-m(i); g=k(i); if g~=0 fprintf('%f\n', g); end end

for i=1:n-7 r(i)=k(i+1)-k(i); g=r(i);

if g~=0fprintf('%f\n', g); end

end 7.000000 19.000000 37.000000 61.000000 91.000000 127.000000 169.000000 6.000000 6.000000 6.000000 6.000000 6.000000 >> leri Farklar Enterpolasyon forml sadece sabit adm aralkl deikenli problemlere uygulanabilir. Adm aralnn sabit olmad durumlarda, deiken dnm yaplarak adm aral sabit hale getirildikten sonra yntem uygulanabilir. Nmerik Analiz 2010Prof.Dr. Nurettin UMURKAN23 /77 RNEK:x -1038 1524 y211065226577 Yukardaki tabloyu kullanarak enterpolasyon polinomunu bulunuz. Deikenin adm aral sabit olmad iin x ,z nin fonksiyonu olarak tanmlanr. x= f(z) z012345 x -1038 1524 y211065226577 leri fark tablosu, zx x2x 0-1 1 102 3 232 5 382 7 4152 9 524 eklinde elde edilir. Tablo deerleri formle uygulandnda, deiken x ve fonksiyon y iin forml, ( ) ) 1 (! 2020 0+ + = x xyx y y x P olacakt, deiken z ve fonksiyon x iin ayn ifade( ) ) 1 (! 2020 0+ + = z zxz x x z f eklinde ifade edilir. Tablo deerleri yerine yazldnda, ( ) 1 ) 1 ( 12 = + + = = z z z z z f x 1 + = x z Nmerik Analiz 2010Prof.Dr. Nurettin UMURKAN24 /77 olarak rnek problem iin deiken dnm ifadesi elde edilir. z deikeni ve y fonksiyonu iin ileri fark tablosu, zy y2y3y4y 02 -1 1110 936 2104624 5560 36510624 16184 4226190 351 5577 Forml z deikeni ve y fonksiyonu iin dzenlendiinde, ( )) 3 )( 2 )( 1 (! 4 ) 2 )( 1 (! 3) 1 (! 20403020 0 ++ + + + =z z z zyz z zyz zyz y y z P ( ) ) 3 )( 2 )( 1 (! 424) 2 )( 1 (! 336) 1 (! 2102 + + + = z z z z z z z z z z z Pparantez arpmlar yaplarak, ( ) 2 22 4+ = z z z P ara enterpolasyon fonksiyonu elde edilir. Deiken dnm ifadesi yerine yazldnda x deikenine bal enterpolasyon polinomu, ( ) 2 ) 1 ( 2 ) 1 (2+ + + = x x x P ( ) 12+ = x x P olarak elde edilir. Nmerik Analiz 2010Prof.Dr. Nurettin UMURKAN25 /77 Lagrange Enterpolasyon Forml Bir( ) x f fonksiyonunun nx x x x ,... , ,2 1 0 gibi(aralklar eit olan veya olmayan)ayrknoktalardabilinen ( ) ( ) ( ) ( )nx f x f x f x f ,..., , ,2 1 0 deerlerivarsavebu ( ) x ffonksiyonunun,enterpolasyon fonksiyonu ) (x P i veren Lagrange Enterpolasyon Forml,==nii ix f x L x P0) ( ) ( ) ( eklinde verilir. ) ( ) ( ... ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2 2 1 1 0 0 n nx f x L x f x L x f x L x f x L x P + + + + =genelifadesikullanlr.BuradaLi,Lagrangeenterpolasyon katsaylar, ifadesi ile tanmlanmtr. n. dereceden Li katsays, ) )...( )( )...( )( () )( )...( )( )( () (1 1 1 01 2 1 0n i i i i i i in nix x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx L =+ ile hesaplanr. RNEKAada tabloda verilen noktalardan geen polinomu bulunuz. x012 f(x)124 Bu problem iin denklemden, =|||

\|=ni jj jxixjx xxiL0) (Nmerik Analiz 2010Prof.Dr. Nurettin UMURKAN26 /77 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2 2 1 1 0 0x f x L x f x L x f x L x P + + = elde edilir. Burada Lagrange enterpolasyon katsaylar, ) )( () )( () (2 0 1 02 10x x x xx x x xx L = ) )( () )( () (2 1 0 12 01x x x xx x x xx L = ) )( () )( () (1 2 0 21 02x x x xx x x xx L = eklindedir. Saysal deerler ) (x Pifadesinde yerine yazlrsa, 4) 1 2 )( 0 2 () 1 )( 0 (2) 2 1 )( 0 1 () 2 )( 0 (1) 2 0 )( 1 0 () 2 )( 1 () ( + + =x x x x x xx P elde edilir.Bu ifade dzenlendiinde enterpolasyon polinomu olarak ( ) 121212+ + = x x x P bulunur. DEV( ) ( ) x x f sin =fonksiyonununbazdeikenleriindeerleriaada tabloda verilen gibidir. o12 sin nin enterpolasyon deerini bulunuz. x101113 f(x)0.173650.190810.22495 RNEK Aada tabloda verilen noktalardan geen Lagrange Enterpolasyon polinomunun 3 = x iin deeri, x01245 f(x)46104894 Lagrange enterpolasyon forml, Nmerik Analiz 2010Prof.Dr. Nurettin UMURKAN27 /77 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (4 4 3 3 2 2 1 1 0 0x f x L x f x L x f x L x f x L x f x L x P + + + + =eklinde dzenlenir, bu ifadedeki L(x) katsaylar, ) )( )( )( () )( )( )( () (4 0 3 0 2 0 1 04 3 2 10x x x x x x x xx x x x x x x xx L = 1 . 0) 5 0 )( 4 0 )( 2 0 )( 1 0 () 5 3 )( 4 3 )( 2 3 )( 1 3 () 3 (0= = L ) )( )( )( () )( )( )( () (4 1 3 1 2 1 0 14 3 2 01x x x x x x x xx x x x x x x xx L = 5 . 0) 5 1 )( 4 1 )( 2 1 )( 0 1 () 5 3 )( 4 3 )( 2 3 )( 0 3 () 3 (1 = = L ) )( )( )( () )( )( )( () (4 2 3 2 1 2 0 24 3 1 02x x x x x x x xx x x x x x x xx L = 0 . 1) 5 2 )( 4 2 )( 1 2 )( 0 2 () 5 3 )( 4 3 )( 1 3 )( 0 3 () 3 (2= = L ) )( )( )( () )( )( )( () (4 3 2 3 1 3 0 34 2 1 03x x x x x x x xx x x x x x x xx L = 5 . 0) 5 4 )( 2 4 )( 1 4 )( 0 4 () 5 3 )( 2 3 )( 1 3 )( 0 3 () 3 (3= = L ) )( )( )( () )( )( )( () (3 4 2 4 1 4 0 43 2 1 04x x x x x x x xx x x x x x x xx L = 10 . 0) 4 5 )( 2 5 )( 1 5 )( 0 5 () 4 3 )( 2 3 )( 1 3 )( 0 3 () 3 (4 = = L olarak bulunur. Bylece enterpolasyon polinom deeri, 0 . 22 ) 94 )( 10 . 0 ( ) 48 )( 5 . 0 ( ) 10 )( 0 . 1 ( ) 6 )( 5 . 0 ( ) 4 )( 1 . 0 ( ) 3 ( = + + + + = P Nmerik Analiz 2010Prof.Dr. Nurettin UMURKAN28 /77 clc n=input('n degeri: '); for i=1:n m=input('x degeri: '); x(i)=m; end for i=1:n k=input('y degeri: '); y(i)=k; end b=3; a=1; pp=0; for i=1:n m(i)=1; k(i)=1; for j=1:n if i~=j m(i)= m(i)*(b-x(j)); k(i)=k(i)*(x(i)-x(j)); end end s(i)=m(i)/k(i); pp=pp+s(i)*y(i); end for i=1:n l=s(i); fprintf('\n L(x)= %6.3f',l); end fprintf('\n p(a)= %10.3f',pp) Blnm Farklar Enterpolasyon Forml x in x0 , x1 , . . ., xndeerleri iin srasyla f(x0), f(x1), . . ., f(xn)deerlerini alan bir fonksiyon iin enterpolasyon polinomu P(x), blnm farklar ile, ) ,..., , ( ) )...( )( (... ) , , ( ) )( ( ) , ( ) ( ) ( ) (1 0 1 1 02 1 0 1 0 1 0 0 0n nx x x f x x x x x xx x x f x x x x x x f x x x f x P ++ + + =forml ile tanmlanr. Nmerik Analiz 2010Prof.Dr. Nurettin UMURKAN29 /77

RNEK: x1.0 1.1 1.2 1.3 cos x0.54030.45360.36240.2675 x = 1.12 iin enterpolasyon polinomu deerini bulunuz. xf(x) 1.00.5403 -0.8670 1.10.4536-0.2250 -0.91200.1333 1.20.3624-0.1850 -0.9490 1.30.2675 4357 . 0 ) 1333 . 0 )( 2 . 1 12 . 1 )( 1 . 1 12 . 1 )( 0 . 1 12 . 1 () 2250 . 0 )( 1 . 1 12 . 1 )( 0 . 1 12 . 1 ( ) 8670 . 0 )( 0 . 1 12 . 1 ( 5403 . 0 ) 12 . 1 (= ++ + + = P RNEK: X1.1 1.2 1.0 1.3 cos x0.45360.36240.54030.2675 x = 1.12 iin enterpolasyon polinomu deerini bulunuz. xf(x) 1.10.4536 -0.9120 1.20.3624-0.2250 -0.88950.1333 1.00.5403-0.1983 -0.9093 1.30.2675

Nmerik Analiz 2010Prof.Dr. Nurettin UMURKAN30 /77 4357 . 0 ) 1333 . 0 )( 0 . 1 12 . 1 )( 2 . 1 12 . 1 )( 1 . 1 12 . 1 () 2250 . 0 )( 2 . 1 12 . 1 )( 1 . 1 12 . 1 ( ) 9120 . 0 )( 1 . 1 12 . 1 ( 4536 . 0 ) 12 . 1 (= ++ + + = P clc n=input('n degeri: '); for i=1:n m=input('x degeri: '); x(i)=m; end for i=1:n k=input('y degeri: '); y(i)=k; end for i=1:n-1 a(i,i+1)=(y(i)-y(i+1))/(x(i)-x(i+1)); e=a(i,i+1); fprintf('%f\n', e); end for i=1:n-2 b(i,i+1)=(a(i,i+1)-a(i+1,i+2))/(x(i)-x(i+2)); e=b(i,i+1); fprintf('%f\n') fprintf('%f\n', e); end for i=1:n-3 c(i,i+1)=(b(i,i+1)-b(i+1,i+2))/(x(i)-x(i+3)); e=c(i,i+1); fprintf(' %f\n') fprintf('%f\n', e); end for i=1:n-4 d(i,i+1)=(c(i,i+1)-c(i+1,i+2))/(x(i)-x(i+4)); e=d(i,i+1); fprintf('%f\n') fprintf('%f\n', e); end Nmerik Analiz 2010Prof.Dr. Nurettin UMURKAN31 /77 En Kk Kareler Yntemi Enterpolasyon fonksiyonu P(x) gerek fonksiyon f(x) i ancak belirlibiraralktatanmlar.Bazhallerdegerekfonksiyon ileenterpolasyonfonksiyonuverilenaralkdnda birbirindenokfarklolabilir.Enterpolasyonileeldeedilen eri,gerekfonksiyonundeiimineokyaknolmaldr. Meydana gelen fark ile gerek fonksiyon deeri,i ix P y + = ) ( ifadesi ile verilebilir. i, hata miktardr. Fiziksel olaylarn ounda iki veya daha fazla birbirine bal deikenbulunur.Birolayndeneyselsonucununanalitik incelenmesiolaynformlebalanmasilemmkndr. rnein, zamana gre deien bir olayda eitli zamanlarda yaplanlmlerdef(x)deerlerieldeedilmiolsun. Gzlemlenenolayndorusalbirdeiimgstermesi bekleniyorsa beklenen doru denklemiBx A y + = olarakifadeedilir.Budurumdaj.incigzlemdekixj deerindenhesaplananj jBx A y + = deeriilegzlemden elde edilen gerek y deeri arasndaki fark minimum olacak ekildebirdorudenklemibulmakistenirse,i.inci gzlemdeki fark, ) (i i iBx A y d + = eklindeifadeedilir.Ancakbufark(+)veya() olabileceinegreteorikfonksiyonungstereceidoruen uygun doru olmayabilir. Bu nedenle farklar yerine farklarn kareleritoplamnnminimumolmasartnsalayan fonksiyonu belirlemek gerekir. Nmerik Analiz 2010Prof.Dr. Nurettin UMURKAN32 /77 0 S12= ==nii id 0 ... S2 232221= + + + + =n id d d d 0 )) ( ( S12= + ==nii i iBx A y Bu ifade de S, A ve B ye bal olarak deiecektir. S nin A ve B ye gre ksmi trevleri alnp sfra eitlenirse, 0AS=

0S=B = = = == + = + =niininiinii iy Bx A y Bx A1 1 1 10 ) ( 2AS = = = == + = + =nii ininii inii i iy x Bx Ax x y Bx AB1 1 1210 ) ( 2S (((((

=(((

(((((

=== ==nii iniiniiniiniiy xyBAx xx n111211 matrisi elde edilir ve (((((

= = ==niiniiniix xx n1211 (((((

= = == =niinii iniiniix y xx y1211 1A

(((((

= = ==nii iniiniiy x xy n1 11B Nmerik Analiz 2010Prof.Dr. Nurettin UMURKAN33 /77 ==BBAA eklinde matris zlerek A ve B katsaylar elde edilir. RNEK: x0246810 f(x)15.19131721 Tablodan geen doru denkleminin A ve B katsaylarn en kk kareler yntemiyle bulunuz. (((((

=(((

(((((

=== ==nii iniiniiniiniiy xyBAx xx n111211 xi yi xi2 x i yi 0100 25.1410.2 491636 6133678 81764136 +10+21+ 100+ 210 3066.1220470.2 ((

=((

((

2 . 4701 . 66220 3030 6 BA 2 . 838436420= = = BAA= 1.03809B= 1.99571 Nmerik Analiz 2010Prof.Dr. Nurettin UMURKAN34 /77 x y 99571 . 1 1.03809 + = clc n=6; tx=0; ty=0; tx2=0;txy=0; x(1)=0; x(2)=2; x(3)=4; x(4)=6; x(5)=8; x(6)=10; y(1)=1; y(2)=5.1; y(3)=9; y(4)=13; y(5)=17; y(6)=21; for i=1:n tx=tx+x(i); ty=ty+y(i); tx2=tx2+x(i)^2; txy=txy+x(i)*y(i); %ty=sum(x); % tx=sum(y);end fprintf('\n Ex= %6.3f',tx); fprintf('\n Ey= %10.3f',ty); fprintf('\n Ex2= %10.3f',tx2); fprintf('\n Ex2= %10.3f',txy); a=(tx2*ty-txy*tx)/(n*tx2-tx^2); b=(n*txy-tx*ty)/(n*tx2-tx^2); fprintf('\n a= %10.6f',a); fprintf('\n b= %10.6f',b); Ex= 30.000 Ey= 66.100 Ex2=220.000 Ex2=470.200 a= 1.038095 b= 1.995714 >> Nmerik Analiz 2010Prof.Dr. Nurettin UMURKAN35 /77 En Kk Kareler Yntemiyle Polinom Yaklam Verilennoktalardanf(x)=A+Bx+Cx2parabolgeirilmek istenirse hata kareleri toplamnn minimum olmas iin0 ) ) (( S12 2= + + ==nii i i iy Cx Bx A olmal, == + + =nii i iy Cx Bx A120 ) ( 2AS == + + =nii i i iy Cx Bx A x120 ) ( 2BS == + + =nii i i iy Cx Bx A x12 20 ) ( 2CS ((((

=((((

((((

i ii iii i ii i ii iy xy xyCBAx x xx x xx x n2 4 3 23 22 RNEK: x23568 y16223361 Tablodan geen f(x)=A+Bx+Cx2 denkleminin A, B ve C katsaylarn en kk kareler yntemiyle bulunuz. xi yi xi2 xi3 xi4 x i yixi2 yi 21481624 36927811854 52225125625110550 6333621612961981188 +8+ 61+ 64+512+4096+ 488+3904 2412313888861148165700 Nmerik Analiz 2010Prof.Dr. Nurettin UMURKAN36 /77 ((((

=((((

((((

57008161236114 888 138888 138 24138 24 5CBA A = -3 B = 0 C = 1 clc n=5; tx=0; ty=0; tx2=0;txy=0; tx2y=0; tx3=0;tx4=0; x(1)=2; x(2)=3; x(3)=5; x(4)=6; x(5)=8;

y(1)=1; y(2)=6; y(3)=22; y(4)=33; y(5)=61; for i=1:n tx=tx+x(i); ty=ty+y(i); tx2=tx2+x(i)^2; tx3=tx3+x(i)^3; tx4=tx4+x(i)^4; txy=txy+x(i)*y(i); tx2y=tx2y+x(i)^2*y(i);end fprintf('\n Ex= %10.3f',tx); fprintf('\n Ey= %10.3f',ty); fprintf('\n Ex2= %10.3f',tx2); fprintf('\n Ex3= %10.3f',tx3); fprintf('\n Ex4= %10.3f',tx4); fprintf('\n Ex2= %10.3f',txy); Nmerik Analiz 2010Prof.Dr. Nurettin UMURKAN37 /77 fprintf('\n Ex2y= %10.3f',tx2y); d=[n tx tx2;tx tx2 tx3;tx2 tx3 tx4]; aa=[ty txy tx2y;tx tx2 tx3;tx2 tx3 tx4]; bb=[n tx tx2;ty txy tx2y;tx2 tx3 tx4]; cc=[n tx tx2;tx tx2 tx3;ty txy tx2y]; d=det(d); aa=det(aa); bb=det(bb); cc=det(cc); a=aa/d; b=bb/d; c=cc/d; fprintf('\n a= %10.6f',a); fprintf('\n b= %10.6f',b); fprintf('\n c= %10.6f',c); Ex= 24.000 Ey=123.000 Ex2=138.000 Ex3=888.000 Ex4= 6114.000 Ex2=816.000 Ex2y= 5700.000 a=-3.000000 b= 0.000000 c= 1.000000 En Kk Kareler Yntemiyle Lineer Olmayan Fonksiyonlar Verilendeerlerdenlineerbirfonksiyongeirilemiyorsa fonksiyonlarf(x)=aebx veyaf(x)=axb gibikatsaylar bakmndanlineerolmayanekildetanmlanabilir.Lineer olmayanfonksiyonlarnzmgolduundan logaritmalar alnarak lineerletirme ilemi yaplr. Nmerik Analiz 2010Prof.Dr. Nurettin UMURKAN38 /77 RNEK: x02345 f(x)5.256.628186.872616.6792035.04 Tablodangeeny=abxdenklemininavebkatsaylarnenkk kareler yntemiyle bulunuz. y = abx

ln y = ln a + x ln b Y=A + B X (((((

=(((

(((((

=== ==nii iniiniiniiniiY XYBAX XX n111211 (((((

=(((

(((((

=== ==nii iniiniiniiniiy xyBAx xx n111211lnln xi yi xi2 ln yi x i lnyi 05.201.6490 256.62844.0378.074 3186.87295.23015.690 4616.679166.42425.696 +5+ 2035.04+ 25+7.618+38.090 145424.95887.550 ((

=((

((

550 . 87958 . 2454 1414 5 BA 338 . 88032 . 12274= = = BAA= 1.649081B= 1.19392 a = e A a = 5.19999 b = e B b= 3.3 y 5.202 3.3 x Nmerik Analiz 2010Prof.Dr. Nurettin UMURKAN39 /77 clc n=5; tx=0; ty=0; tx2=0;txy=0; x(1)=0; x(2)=2; x(3)=3; x(4)=4; x(5)=5;

y(1)=5.2; y(2)=56.628; y(3)=186.872; y(4)=616.679; y(5)=2035.04; for i=1:n k=y(i); yy(i)=log(k); tx=tx+x(i); ty=ty+yy(i); tx2=tx2+x(i)^2; txy=txy+x(i)*yy(i);

end fprintf('\n EX= %10.3f',tx); fprintf('\n EY= %10.3f',ty); fprintf('\n EX2= %10.3f',tx2); fprintf('\n EXY= %10.3f',txy); aa=(tx2*ty-txy*tx)/(n*tx2-tx^2); bb=(n*txy-tx*ty)/(n*tx2-tx^2); fprintf('\n A= %10.6f',aa); fprintf('\n B= %10.6f',bb); a=exp(aa); b=exp(bb); fprintf('\n a= %10.6f',a); fprintf('\n b= %10.6f',b); EX= 14.000 EY= 24.958 EX2= 54.000 EXY= 87.553 A= 1.648658 Nmerik Analiz 2010Prof.Dr. Nurettin UMURKAN40 /77 B= 1.193922 a= 5.199998 b= 3.300000 >> RNEK: x135 f(x)315.58833.541 Tablodan geeny = a x b denkleminin a ve b katsaylarn en kk kareler yntemiyle bulunuz. y = axb

ln y = ln a + b ln x Y=A + B X (((((

=(((

(((((

=== ==nii iniiniiniiniiY XYBAX XX n111211 (((((

=(((

(((((

=== ==nii iniiniiniiniiy xyBAx xx n111211ln lnln) (ln lnln xi yi ln xi ln yi (ln xi)2 lnx i lnyi 1301.09900 315.5881.0992.7471.2083.019 533.541+ 1.609+3.513+2.589+5.652 2.7087.3593.7978.671 ((

=((

((

671 . 8359 . 7797 . 3 708 . 2708 . 2 3 BA 084828 . 6461053 . 4057736 . 4= = = BAA= 1.099395B= 1.4995623 Nmerik Analiz 2010Prof.Dr. Nurettin UMURKAN41 /77 a = e A a = 3.0023491 b = B b= 1.4995623 y 3 x 1.5 RNEK: x012 f(x)126 Tablodangeeny=ae bxdenklemininavebkatsaylarnen kk kareler yntemiyle bulunuz. y = aebx

ln y = ln a + bx ln e Y=A + B X (((((

=(((

(((((

=== ==nii iniiniiniiniiY XYBAX XX n111211 (((((

=(((

(((((

=== ==nii iniiniiniiniiy xyBAx xx n111211lnln xi yi 2ix ln yi x i lnyi 01000 1210.6931470.693147 +26+4+1.791759+3.583519 352.48490664.276666 ((

=((

((

276666 . 44849066 . 25 33 3 BA 3752795 . 54054653 . 06= = = BAA= -0.0675775B= 0.8958797 Nmerik Analiz 2010Prof.Dr. Nurettin UMURKAN42 /77 a = e A a = 0.9346552 b =B b= 0.8958797 y 0.9346552 e 0.8958797x En Kk Kareler Yntemiyle Trigonometrik Fonksiyonlar nx b x b x bx b nx a x a x a x a a ynnsin ... 3 sin 2 sinsin cos ... 3 cos 2 cos cos3 21 3 2 1 0+ + ++ + + + + + + = Verilennoktalardan i ix b x a a y sin cos1 1 0+ + =trigonometrik fonksiyonugeirilmekistenirsehatakareleritoplamnn minimum olmas iin0 ) ) sin cos (( S121 1 0= + + ==nii i i iy x b x a a olmal, == + + =nii i iy x b x a aa11 1 000 ) sin cos ( 2S == + + =nii i i i i ix y x x b x a x aa1121 010 ) cos cos sin cos cos ( 2S == + + =nii i i i i ix y x b x x a x ab121 1 010 ) sin sin sin cos sin ( 2S ((((

=((((

((((

i ii iii i i ii i i ii ix yx yybaax x x xx x x xx x nsincossin sin cos sinsin cos cos cossin cos11022 Nmerik Analiz 2010Prof.Dr. Nurettin UMURKAN43 /77 RNEK: x020406080 f(x)2.53.5264.4285.0985.454 Tablodangeen ix b a y sin1 0+ =denkleminina0veb1 katsaylarn en kk kareler yntemiyle bulunuz. ((((

=((((

((((

i ii iii i i ii i i ii ix yx yybaax x x xx x x xx x nsincossin sin cos sinsin cos cos cossin cos11022 ((((

=((((

((((

i iii iix yybax xx nsin sin sinsin102 xi yi sinxi sin2 xi yi sinxi 02.5000 203.5260.3420.1171.206 404.4280.6430.4132.847 605.0980.8660.7504.415 80+ 5.454+ 0.985+0.970+5.290 21.0062.8362.2513.758 ((

=((

((

758 . 13006 . 2125 . 2 836 . 2836 . 2 5 10ba a0 = 2.500 b1 = 2.999 y 2.500 + 2.900 sin x Nmerik Analiz 2010Prof.Dr. Nurettin UMURKAN44 /77 clc n=5; tx=0; ty=0; tx2=0;txy=0; x(1)=0; x(2)=20; x(3)=40; x(4)=60; x(5)=80;

y(1)=2.5; y(2)=3.526; y(3)=4.428; y(4)=5.098; y(5)=5.454; for i=1:n k=x(i)*pi/180; xx=sin(k); tx=tx+xx; ty=ty+y(i); tx2=tx2+xx^2; txy=txy+xx*y(i); end fprintf('\n Esinx= %10.5f',tx); fprintf('\n Ey= %10.5f',ty); fprintf('\n Esin2x= %10.5f',tx2); fprintf('\n Eysinx= %10.5f',txy); aa=(tx2*ty-txy*tx)/(n*tx2-tx^2); bb=(n*txy-tx*ty)/(n*tx2-tx^2); fprintf('\n ao= %10.6f',aa); fprintf('\n b1= %10.6f',bb); Esinx=2.83564 Ey= 21.00600 Esin2x=2.25000 Eysinx= 13.83837 ao= 2.500004 b1= 2.999667 >>

Nmerik Analiz 2010Prof.Dr. Nurettin UMURKAN45 /77 Cebirsel Fonksiyon Kklerinin Bulunmas Newton-Raphson Yntemi Birbalangnoktas(x0)verilir.Eerfonksiyonuntekbir deerivarvetrevikolayalnabiliyorsabuyntemtercih edilir.Ynteminesasseilenbalangnoktasndan fonksiyonabirteetizilerekteeteimininonoktadaki treveeitolduunukabuledenteoremedayanr.Bulunan deerbirinciiterasyonolarakadlandrlr.Ardkiki iterasyon arasndaki fark verilen bir epsilon saysndan kk yadaeitoluncayakadariterasyonadevamedilir.Buart salandnda kk bulunmu olur. ) () ( 000 1x fx fx x =1. iterasyon = 1 0 x xsalanrsakkx1 dir.Eerbuart salanmyorsaiterasyonadevamedilirvebalangnoktas olarak x1 alnr. teet x0 x1 f(x) x2 Nmerik Analiz 2010Prof.Dr. Nurettin UMURKAN46 /77

) () ( 111 2x fx fx x =2. iterasyonartsalananakadariterasyonadevamedilir,kiterasyon saysn gstermek zere, ) () ( 1kkk kx fx fx x =+ RNEK: 1 sin2 = x x ydenklemininkknbalangnoktasn1ve epsilon 10-6 alarak znz. x0 x1EPS fark 11.5764690.576469 1.5764691.4228340.153634 1.4228341.4097200.013114 1.4097201.4096240.000096 1.4096241.4096240.000000 1.409624 kk olarak alnr. clc eps=1*10^-6; n=100000; x=1; for i=1:n y=x^2-sin(x)-1; dy=2*x-cos(x);

a=x-(y/dy); d=a-x; delta=abs(d); x=a; fprintf('\n x= %15.7f',x); fprintf('\n delta= %15.7f',delta);

ifdelta>

Regula-Falsi Yntemi Ynteminesas, teoremine dayanr. Ama f(a) ile f(b) yi birletiren dorunun x eksenini kestii noktay bulmaktr. Bu nokta, a a b f(a) > 0 f(b) < 0 f(a) < 0 f(b) > 0 b Nmerik Analiz 2010Prof.Dr. Nurettin UMURKAN48 /77 ) ( ) () ( ) ( 1b f a fb af a bfc= ile hesaplanr. c1 kk ise ) (1c f

artn salamaldr. Eer bu art salanmyorsa iterasyona devam edilir. Kk aranan (a,b) aral daraltlr. rnein, ise kk aranan yeni aralk (c1,b) olur. kinci iterasyonda hesaplanacak c2,

) ( ) () ( ) ( 11 12b f c fb f c c bfc= ile hesaplanr.art salanmyorsa, nc iterasyona geilir. searalk(c1,c2)olarakdaraltlr.art salananakadariterasyonadevam edilir b a c2 c1 0 ) (0 ) ( 11c ac fa f=)`