mukavemet 1 ders notu full 2

T.C.

ADNAN MENDERES ÜNĠVERSĠTESĠ

AYDIN MESLEK YÜKSEKOKULU

DEĞİŞİMİN GELECEĞİ

AYMYO YAYINLARI

DERS NOTU NO: 01

MUKAVEMET

Hazırlayan

Öğr. Gör. Serap KARAGÖZ

Makine Resim Konstrüksiyon

Programı

Aydın - 2007

Öğrt. Görevlisi Serap KARAGÖZ

1

ĠÇĠNDEKĠLER

KONU Sayfa No

ÖNSÖZ ………………………………………………….. 3

1. MUKAVEMET ………………………………………………………… 4

1.1. MUKAVEMETĠN ĠLKELERĠ …………………………...................... 5

1.1.1. KatılaĢtırma ilkesi .…………………………………………………………... 5

1.1.2. Ayırma ilkesi .…………………………………………………………………. 5

1.1.3. EĢdeğerlilik ilkesi ………………………………………………………….. 5

1.1.4. Saint – Venant ilkesi ………………………………………………………… 6

1.1.5. Süperpozisyon ilkesi ……………………………………………………........... 6

1.2. TAġIYICI SĠSTEMNLER ..…………………………………………….. 7

1.2.1. Üç boyutlu taĢıyıcı sistemler ...……………………………………………….. 7

1.2.2. Yüzeysel taĢıyıcı sistemler ……………………………………………............. 7

1.2.3. Prizmatik çubuklu sistemler ………………………………………………... 7

1.2.3.1. Basit kiriĢler …………………………………………………………………... 8

1.2.3.2. Çıkmalı kiriĢler ……………………………………………………………….. 8

1.2.3.3. Konsol kiriĢler ………………………………………………………………… 8

1.2.3.4. Destekli kiriĢler ……………………………………………………………... 8

1.2.3.5. Ġki ucu ankastre kiriĢler …………………………………….……………...... 9

1.2.3.6. Sürekli kiriĢler ……………………………………………………………… 9

1.2.3.7. Mafsallı kiriĢler ………………… ………………………………………….. 9

1.2.3.8. Kafes kiriĢler ………………………………………………………………... 9

1.3. TAġIYICI SĠSTEMLERE ETKĠ EDEN KUVVETLER ……….. 10

1.3.1. Ġç kuvvet – dıĢ kuvvet ………………………………………………………… 11

1.4. GERĠLME ÇEġĠTLERĠ ..……………………………………………… 11

1.4.1. Çekme gerilmesi ……………………………………………………………….11

1.4.2. Basma gerilmesi ………………………………………………………………. 11

1.4.3. Kesme gerilmesi ………………………………………………………………. 11

1.4.4. Eğilme gerilmesi ……………………………………………………………… 12

1.4.5. Burulma gerilmesi …………………………………………………................. 12

1.4.6. Burkulma gerilmesi ……………………………………………………........... 12

1.4.7. BileĢik Gerilme ……………………………………………………………….. 12

2. ÇEKME – BASMA GERĠLMESĠ ..……………………………. 13

2.1. ÇEKME (GERĠLME – ġEKĠL DEĞĠġTĠRME) DĠYAGRAMI .13

2.1.1. Problemler …………………………………………………………………... 15

2.2. DARBE ġEKĠL DEĞĠġTĠRMELERĠ ………………………………. 17

2.2.1. Problemler …………………………………………………………………….. 17

2.3. BĠR ÇUBUĞUN AĞIRLIĞINDAN DOĞAN GERĠLME VE

ġEKĠL DEĞĠġTĠRME …………………………………………………... 18

2.3.1. Problemler ..…………………………………………………………………... 18

2.4. Eġ DAYANIMLI ÇUBUKLAR ……………………………………..... 19

2.4.1. Faturalı ve EĢ Dayanımlı Çubuklar ..…………………………………........ 19

2.4.2. Problemler ..………………………………………………………………….. 20

2.5. ISI ETKĠSĠ OLDUĞU ZAMAN UZAMA ..………………………… 20

2.5.1. Problemler …………………………………………………………………….. 20

2.6. EĞĠK KESĠTLERDEKĠ GERĠLMELER ………………………….. 21


2

ĠÇĠNDEKĠLER

KONU Sayfa No

2.6.1. Problemler ……………………………………………………………………. 21

2.7. GERĠLME YIĞILMALARI …………………………………………… 22

2.7.1. Problemler …………………………………………………………………….. 23

3. KESME GERĠLMESĠ ……………………………………………… 24

3.1. KAYMA ÇEġĠTLERĠ .………………………………………………….. 24

3.2. PROBLEMLER .………………………………………………………….. 25

4. BURULMA GERĠLMESĠ …………………………………………. 27

4.1. PROBLEMLER .………………………………………………………….. 28

5. BURKULMA GERĠLMESĠ ..…………………………………….. 29

5.1. EULER YÖNTEMĠ .……………………………………………………… 30

5.1.1. Problemler …………………………………………………………………….. 31

5.2. TETMAJER YÖNTEMĠ .……………………………………………….. 32

5.2.1. Problemler …………………………………………………………………….. 32

5.3. ω YÖNTEMĠ ..……………………………………………………………... 33

5.3.1. Problemler …………………………………………………………………….. 33

6. EĞĠLME GERĠLMESĠ .…………………………………………….. 34

6.1. KĠRĠġLERDE KESME KUVVETĠ (MAKASLAMA) VE

MOMENTLER ……………………………………………………………. 34

6.1.1. Problemler …………………………………………………………………….. 36

6.2. ATALET MOMENTLERĠ ……………………………………………... 37

6.3. EĞĠLME FORMÜLÜ ..………………………………………………….. 39

6.4. EĞĠLME OKU (SEHĠM) ..……………………………………………… 40

6.4.1. Düzgün Yayılı Yükte Eğilme ..………………………………………………. 40

6.4.2. Nokta Yüklü Basit KiriĢte Eğilme .………………………………………….. 40

6.4.3. Tek Taraftan Ankastre Düzgün Yayılı Yükte Eğilme ……………………... 40

6.4.4. Problemler ……………………………………………………………………. 41

7. BĠLEġĠK GERĠLME ………………………………………………. 43

7.1. ÇEKME - BASMA VE EĞĠLME GERĠLMELERĠ .……………. 44

7.2. EĞĠLME VE BURULMA GERĠLMELERĠ .……………………… 45

7.3 ÇEKME - BASMA VE BURULMA GERĠLMELERĠ …………. 46

7.4. PROBLEMLER ………………………………………………………….. 47

KAYNAKÇA ……………………………………………………………. 49


3

ÖNSÖZ

Mukavemet konusu Makine Resim Konstrüksiyon Programı öğretim programları

içerisinde oldukça önemli bir yere sahiptir. Tekniker unvanıyla mezun olacak Makine Resim

Konstrüksiyon programı öğrencilerinin, tasarladıkları makine parçalarının ve sistemlerin sağlıklı

çalıĢabilmesi için dayanımları konusunda da bilgi ve fikir sahibi olmaları gerekir.

Bu ders notu Aydın Meslek Yüksekokulu öğrencilerine yönelik olarak hazırlanmıĢtır.

Konular ileri düzeyde ve kapsamlı dayanım hesaplamalarına girilmeden, bir teknikerin bilmesi

gereken temel dayanım bilgisi ve basit hesaplamalarla ve örnek problemlerle de desteklenmiĢtir.

Genel olarak konular ve sıralama Mukavemet dersi içeriğine uygun olarak düzenlenmiĢ,

problemler diğer derslerle de iliĢkilendirilerek makine sistemleri üzerinde uygulanabilecek

Ģekilde hazırlanmıĢtır.

AYDIN 2007

Öğr.Gör. Serap KARAGÖZ


4

1. MUKAVEMET MEKANĠK, çeĢitli kuvvetlerin etkisi altında kalan cisimlerin denge ve hareket koĢullarını

inceleyen bir bilimdir. Mekaniğin sıvılar ve gazları inceleyen dalına AKIġKANLAR

MEKANĠĞĠ adı verilir. Mekanik biliminde katılar kuvvetlerin etkisiyle Ģekil değiĢtiren (rijit

olmayan) ve Ģekil değiĢtirmeyen (rijit) cisimler olmak üzere iki gurupta incelenir.

Statik ve dinamikte cisimlerin kuvvetlerin etkisiyle Ģekil değiĢtirmediği ve dengede

olduğu kabul edilir. MUKAVEMET ise Ģekil değiĢtiren cisimlerin durumunu inceler. (ġekil 1.1)

MUKAVEMET katı cisimlerin mekaniğini inceler. Her katı cismin belirli bir Ģekli vardır.

Bu Ģekil küçük kuvvetlerin etkisi ile değiĢmez, ya da değiĢtiği hissedilmez. Fakat büyük

kuvvetler her katı cismin Ģeklinde değiĢiklik meydana getirir.

ġekil 1.1 Mekaniğin sınıflandırılması

STATĠK ve DĠNAMĠK ile MUKAVEMET arasındaki fark Ģu Ģekilde vurgulanabilir.

ġekil.2’deki kiriĢte F kuvvetinin mesnet tepkilerin bulurken, STATĠKte kiriĢin Ģeklinin

bozulmadığı, kırılmayacak kadar sağlam olduğu varsayılır. MUKAVEMET’ de ise, kiriĢin

eğilmemesi ve kırılmaması için gerekli koĢullar araĢtırılır.

ġekil 1.2 Etki eden kuvvet ve tepkiler

Cisimlerin Dayanımı baĢka bir ifade ile mukavemet, problemleri çözerken aĢağıdaki

koĢulları dikkate alır.

1. Sağlamlık 2. Teknik koĢullar 3. Ekonomiklik

Problem çözümlerinde, ‘Teknik’ koĢullar dikkate alınarak, ‘sağlamlık’ ve

‘ekonomiklik’te en uygun ve kullanılabilir çözüm aranır.

Mukavemetin incelediği cisim, kuvvetlerin etkisiyle az veya çok Ģekil değiĢtiren homojen

yapıda bir katı cisimdir.

DinamikStatik

Şekil değiştirmeyen cisimlerin mekaniği

Şekil değiştiren cisimlerin mekaniği(MUKAVEMET)

Akışkanlar mekaniğiKatıların mekaniği

Mekanik

F


5

1.1. MUKAVEMETĠN ĠLKELERĠ

1.1.1. KatılaĢtırma ilkesi Dayanımda incelenen cisim, Ģekil değiĢtiren bir katı cisimdir. ġekil değiĢtirme sona

erdikten sonra cisme, mekanikteki gibi Ģekil değiĢtirmeyen katı cisim olarak düĢünülüp, aynı

denge denklemleri uygulanabilir.

1.1.2. Ayırma ilkesi Cismin dıĢ etkilere uygunluğunu anlamak için, bir düzlemle herhangi bir yerinden

kuramsal olarak kesilir. Cismin ayrılan kısımlarından yalnız bir parçasına denge denklemleri

uygulanır (ġekil 1.3). Cismin bir tarafının atıldığı varsayılarak kalan kısmının dengesinin

incelenmesine ayırma ilkesi denir.

ġekil 1.3 Ayırma ilkesi

1.1.3. EĢdeğerlilik ilkesi Tepkilerin bulunmasında bileĢenlerin etkisi kullanıldığı gibi bileĢkenin etkisi de

kullanılabilir. Rijit (Ģekil değiĢtirmeyen) cisimlerde bileĢke yerine bileĢenlerin veya bileĢenlerin

yerine bileĢkenin kullanılmasına eĢdeğerlilik ilkesi denir. EĢdeğerlilik ilkesi statikte geçerlidir

ancak dayanımda geçerli değildir. ġekil 1.4’de görüldüğü gibi bileĢke ile bileĢenlerin Ģekil

değiĢimine etkisi farklıdır.

ġekil 1.4 EĢdeğerlilik

Aynı Ģekilde rijit cisimlerde (statikte–mekanikte) kuvvet, kayan bir vektörle gösterilir ve

doğrultusu üzerinde yön değiĢtirebilir (ġekil 1.5). Dayanımda kuvvet, kayan vektörle

gösterilecek olursa, çekilme etkisi basılmaya, basılma etkisi de çekilmeye dönüĢür. Bu da,

dayanımda kabul edilemez bir unsurdur.

ġekil 1.5 Çekilme ve Basılma

2F

FF

F

F

F

F

MrVr

F

F F

F F


6

1.1.4. Saint – Venant ilkesi Statikte geçerli olan eĢdeğerlilik bazı koĢullarda, Ģekil değiĢtiren cisimlerde de geçerli

olur. Bu koĢullara Saint Venant ilkesi adı verilir. Bu ilkeye göre kuvvetler birbirine yakın olmalı

ve söz konusu noktalar kuvvet uygulanan bölgeden yeterli uzaklıkta bulunmalıdır. (ġekil 1.6).

Bu koĢullar varsa kuvvetler yerine eĢdeğer olarak bileĢke Ģekil değiĢtiren cisimlerde de

kullanılabilir.

ġekil 1.6 Saint – Venant ilkesi

1.1.5. Süperpozisyon ilkesi KatılaĢtıma ilkesine göre, denge denklemlerin Ģekil değiĢikliğini tamamlamıĢ bir sistem

için yazılması gerekir. Ancak Ģekil değiĢikliği genellikle diğer boyutların yanında çok küçük

olabilir. Bu durumda denge denklemleri yaklaĢık olarak sistemin Ģekil değiĢtirmemiĢ konumu

için yazılabilir. Bu koĢullarda süperpozisyon geçerli olur.

ġekil 1.7’de görülen basit bir kiriĢte F1 dıĢ kuvvetinin oluĢturduğu C noktasındaki Ģekil

değiĢtirme e1; F2 dıĢ kuvvetinin C noktasında tek baĢına oluĢturduğu Ģekil değiĢtirme e2 olursa,

F1 ve F2 kuvvetlerinin birlikte uygulandıklarında C noktasında oluĢan Ģekil değiĢikliği e1+e2 olur.

Bu süperpozisyon ilkesi olarak tanımlanır.

ġekil 1.7 Süperpozisyon ilkesi

FF

2FC

C

e1+e2

e2

e1

C

F1 F2

F2

F1


7

F

1.2. TAġIYICI SĠSTEMLER TaĢıyıcı sistemler, boyutlarının birbirine göre durumları göz önüne alınarak üçe ayrılır.

1. Üç boyutlu taĢıyıcı sistemler

2. Yüzeysel taĢıyıcı sistemler

3. Prizmatik çubuklu sistemler (Curun,1981)

1.2.1. Üç boyutlu taĢıyıcı sistemler Üç boyutlu taĢıyıcı sistemler üç boyutu da birbirine yakın olan taĢıyıcılardır.(ġekil 1.8).

ġekil 1.8 Üç boyutlu taĢıyıcı

1.2.2. Yüzeysel taĢıyıcı sistemler Bu taĢıyıcılarda bir boyut diğer iki boyuta göre daha küçüktür. TaĢıyıcı yüzey düzlemdir.

Bu düzlem yüzey, kuvvetlerin etki durumuna göre levha, plak ya da kabuk adını alır (ġekil

1.9).

Kabuk

Levha

Plak

ġekil 1.9 Yüzeysel taĢıyıcılar

1.2.3. Prizmatik çubuklu sistemler Bunlara bir boyutlu sistemler de denilir. Bu sistemlerde iki boyut, üçüncü boyuta göre

dikkate alınmayacak kadar küçüktür. Bu nedenle çubuk enkesitlerinin ağırlık merkezlerinden

geçen bir eksenle gösterilir (ġekil 1.10).

ġekil 1.10 Prizmatik çubuklu sistemler


8

1.2.3.1. Basit kiriĢler Bir ucundan sabit, diğer ucundan hareketli dayanağa oturan çubuklara basit kiriĢ adı

verilir (ġekil 1.11). Bütün kuvvetlerin kiriĢ düzleminde etki ettikleri, hareketli dayanağın da aynı

düzlem içerisinde yatay bir doğru boyunca, sürtünmesiz hareket ettiği varsayılır.

ġekil 1.11 Nokta yüklü basit kiriĢ

1.2.3.2. Çıkmalı kiriĢler Biri mafsallı ve sabit, diğeri mafsallı ve hareketli iki dayanağa oturan düzlem bir kiriĢtir.

KiriĢin uçları mafsallardan dıĢarı uzanmıĢtır (ġekil 1.12).

ġekil 1.12 Çıkmalı kiriĢ

1.2.3.3. Konsol kiriĢler Konsol kiriĢler, bir ucu ankastre olup, tek taraflı taĢınırlar (ġekil. 1.13). Bu uç aynı

zamanda kiriĢin dönmesine karĢı koyacak dayanımdadır.

ġekil 1.13 Konsol kiriĢ

1.2.3.4. Destekli kiriĢler Bu tür kiriĢlerin bir ucu ankastre, diğer ucu ise mafsallıdır (ġekil 1.14).

ġekil 1.14 Destekli kiriĢ

R2R1

F

q daN/mF2F1

R1 R2

q daN/m

M

R

R1R2

M

q daN/m


9

F1 F2

R3R2R2R2R2R2 R4R1

1.2.3.5. Ġki ucu ankastre kiriĢler Ġki ucundan da ankastre edilmiĢ kiriĢlerdir (ġekil 1.15).

ġekil 1.15 Ġki ucu ankastre kiriĢ

1.2.3.6. Sürekli kiriĢler Sürekli elemanları ara noktalarına dayanaklar yerleĢtirilecek olur ise, kiriĢlere sürekli

kiriĢler adı verilir (ġekil1.16).

ġekil 1.16 Sürekli kiriĢ

1.2.3.7. Mafsallı kiriĢler (Gerber kiriĢler) Bazı durumlarda (köprüler gibi) kiriĢlere menteĢeler konulabilir (ġekil 1.17). Ancak

mafsal sayısı, sistemi oynak yapmayacak Ģekilde seçilmelidir.

ġekil 1.17. Mafsallı kiriĢ

1.2.3.8. Kafes kiriĢler Çubuklardan oluĢmuĢ ve düğümlerle bağlanmıĢ, bütün çubuk elemanlarının bir düzlem

içerisinde bulunduğu sistemlere kafes sistemler denir (ġekil 1.18). Kafes sistemlerinde kuvvetler

düğüm noktalarına etki eder. Kaynak veya perçinle birleĢtirilmiĢ olsa da, hesaplamalar

sürtünmesiz mafsallı birleĢtirme durumuna göre yapılır.

ġekil 1.18 Kafes kiriĢ

M

R1 R2

M


10

F

F

q daN/mF F

1.3. TAġIYICI SĠSTEMLERE ETKĠ EDEN KUVVETLER

Kuvvetleri, Ģiddeti zamana bağlı olarak değiĢip – değiĢmemesine göre ikiye ayrılabilir

(STATĠK VE DĠNAMĠK ETKĠ). Sistemlere etki eden ağırlıklar değiĢmeyen kuvvetlerdir. Bir

piston koluna etki eden kuvvet ise değiĢen kuvvettir. Yayın ucuna bağlı yükün titreĢimi ile

kuvvet Ģiddeti de değiĢecektir (ġekil 1.19).

ġiddeti zamanla değiĢmeyen kuvvetler ġiddeti zamanla değiĢen kuvvetler

ġekil 1.19 ġiddeti zamanla değiĢen/değiĢmeyen kuvvetler

Cisimlere etki eden kuvvetler belirli bir noktaya etki edip – etmemesine göre;

a) Tekil kuvvetler (Nokta yükler)

b) Yayılı kuvvetler

1- Uzunluğa yayılı

2- Alana yayılı Ģeklinde sınıflandırılır (ġekil 1.20).

Uzunluğa yayılı yüklere örnek olarak bir kiriĢin ağırlığı verilebilir. Alana yayılı yüklere

örnek olarak da, su kabının dibine veya yanal yanal yüzeyine etki eden basınç kuvvetleri

gösterilebilir.

Tekil kuvvetler Uzunluğa yayılı Alana yayılı

ġekil 1.20 Nokta ve yayılı yükler

Yayılı yükün birim uzunluğa veya birim alana gelen kısmına yayılı yükün Ģiddeti denir.

Uygulanan yükler, uygulama noktalarının sabit ya da hareketli olmasına göre;

a) Sabit yükler (bir kiriĢin üzerinde bulunan ve yeri değiĢmeyen yükler)

b) Hareketli yükler (Atelyelerde vinçlerin raylarına gelen yükler

Ģeklinde ikiye ayrılabilir.

q daN/mF2F1

R1 R2


11

1.3.1. Ġç Kuvvet – DıĢ Kuvvet Makine parçaları birçok kuvvetin etkisi altında çalıĢırlar ve bu kuvvetlere dayanmaları

istenir. Etkisi altında kaldığı dıĢ kuvvetlere karĢı iç yapıda tepki kuvvetleri (iç kuvvet) meydana

gelir (ġekil 1.21). Bu iç kuvvetlerin birim alandaki Ģiddetine GERĠLME denir.

ġekil 1.21 Ġç ve dıĢ kuvvetler

1.4. GERĠLME ÇEġĠTLERĠ

1.4.1. Çekme gerilmesi Bir çubuk ekseni boyunca etki eden iki kuvvetle çekilir ise (ġekil 1.22), çubuk çekmeye

zorlanır ve boyu uzamaktadır. Etkiyen kuvvetin doğrultusu, etkilenen kesite diktir.

ġekil 1.22 Çekme

1.4.2. Basma gerilmesi Bir çubuk ekseni boyunca iki kuvvet etkisi ile basılmaya çalıĢıyor ise (ġekil 1.23), çubuk

basınca zorlanır ve boyu kısalmaktadır. Ancak bu durumda eğilme olmadığı kabul edilir. Etkiyen

kuvvetin doğrultusu etkilenen kesite diktir.

ġekil 23 Basma

1.4.3. Kesme gerilmesi Bir çubuğa etkiyen eĢit büyüklükte ve birbirine zıt yönde kuvvetler, çubuğun parçalarını

kuvvetlerin etkidiği kesitte birbirinden kaydırmaya ve kesmeye çalıĢır. Bu Ģekildeki kuvvetlerin

etkisindeki çubuğa kesilmeye çalıĢıyor denir (ġekil 1.24). Etkiyen kuvvetin doğrultusu, etkilenen

kesitle aynı düzlemdedir. BaĢka bir ifade ile bir makaslama kuvveti söz konusudur.

ġekil 1.24 Kesme

FF

F F

F

F

İç kuvvet İç kuvvetDış kuvvet

FFF

F

F

F

F


12

q daN/mF

F

F

1.4.4. Eğilme gerilmesi Eğilmeye zorlanan bir çubukta kuvvet çubuk eksenine dik olarak etki eder ve ekseni eğri

hale getirir (ġekil 1.25).

ġekil 1.25 Eğilme

1.4.5. Burulma gerilmesi Ġki kuvvet bir çubuğu eksene dik kesitte burmaya çalıĢır (ġekil 1.26).

ġekil 1.26 Burulma

1.4.6. Burkulma gerilmesi (Flambaj) Narin çubuk adı verilen kesitine göre boyu uzun olan çubuklarda eksene dik etkileyen

kuvvetlerin etkisi ile burkulma oluĢur (ġekil 1.27).

ġekil 27 Burkulma (Flambaj)

1.4.7. BileĢik gerilme Bir elemanda birden fazla zorlanma çeĢidi (ġekil 1.28) varsa dayanım hesaplamaları

bileĢik zorlanmaya göre yapılır ve boyutlar bileĢik zorlanmaya göre bulunur.

ġekil 1.28 BileĢik gerilme

F2F1

F4

F3

F

F

F1


13

2. ÇEKME – BASMA GERĠLMESĠ Cisimlere etkiyen kuvvetler etkilenen kesite dik doğrultuda ise cisim kuvvetin yönüne

göre çekmeye veya basmaya zorlanır ve kesitte normal gerilme (Çekme-Basma gerilmesi) ve

Ģekil değiĢikliği oluĢur. Cisim, kuvvetin büyüklüğüne göre kuvvet etkisi ortadan kalktığında eski

Ģekline dönebilir veya Ģekil değiĢikliği kalıcı olabilir.

Elastisite: Bir cisim aralarında kuvvet etkisi olan bir takım moleküllerden oluĢur.

Moleküler kuvvetler, dıĢ kuvvetlerin cisimde oluĢturmaya çalıĢtığı Ģekil değiĢtirmeye karĢı

koyarlar.

Cisimde deformasyon (Ģekil değiĢikliği) yapan kuvvetler yavaĢ yavaĢ azaltılır ise, Cisim

ya tam elastik ya da kısmen elastiktir ve ilk durumuna döner. Bu duruma elastisite denir. Bir

baĢka deyiĢle bir cisimde elastisite; kalıcı Ģekil değiĢikliğinin olmaması demektir.

2.1. ÇEKME (GERĠLME – ġEKĠL DEĞĠġTĠRME) DĠYAGRAMI

ġekil 2.1 Çekme diyagramı (Curun,1981)

Kuvvet etkisi ile bir cismin Ģekil değiĢtirmesine etki eden faktörler:

1- Malzemenin cinsi 2- Cismin Ģekli 3- Yükün cinsi ve Ģiddeti

Dayanımda malzemenin önemini anlamak için, değiĢik malzemelerle aynı deneyler yapılır.

ġeklin önemi için, aynı malzemeden farklı Ģekilli deney parçaları kullanılır. Yük ise, deney

sırasında yavaĢ yavaĢ arttırılarak yüklenir. Yük büyüdükçe Ģekil değiĢikliği de artar.

ġekil 2.1’de görülen grafik (çekme diyagramı) yük ve uzama yerine, birim yük (gerilme) ile

birim uzama ( Ģekil değiĢtirme) arasında çizilir. Çünki iki örneğin karĢılaĢtırılabilmesi için

birim esası dikkate alınır.

Orantı sınırı: O – P arasında diyagram bir doğrudur. Bu da P noktasına kadar gerilme ile Ģekil

değiĢtirmenin orantılı olduğunu gösterir. (Hooke kanunu; Şekil değişince kuvvet de değişir.)

Ancak bu kanun bazı malzemeler için ve orantı sınırına kadar geçerlidir. Dökme demir,

kösele, taĢ, tahta gibi bazı malzemelerde orantı sınırına kadar olan doğrusal kısım çok azdır.

Ancak genel olarak P noktasına kadar gerilme – Ģekil değiĢtirme bağıntısı doğrusaldır denir.


14

Elastik cisimle ilgili teoriler, gerilme – Ģekil değiĢtirmenin orantılı olduğu savına

dayandığından, bir malzemenin taĢıyabileceği en büyük gerilme orantı sınırındaki σP

gerilmedir.

Elastik sınır: Malzemenin elastik özelliğinin sona erdiği sınır olarak tanımlanır. Teorik olarak

bu sınıra kadar, yükün kalkması halinde malzeme (çubuk) tamamen eski halini alır. Çelik

malzemelerde orantı sınırı ile elastiklik sınırı çok yakındır. Pratikte bu iki sınır tek olarak

düĢünülür. (E noktası)

Akma sınırı: Kalıcı Ģekil değiĢikliğinin % 0,2 değerine eriĢtiği gerilme sınırı olarak kabul

edilir. Bu sınırda malzeme içinde büyük değiĢiklikler meydana gelir. Çekme doğrultusuna

göre 450 açılı çizgiler oluĢur (Büyüteçle görülebilir). Bu çizgiler (Luders – Hartman çizgileri)

plastik Ģekil değiĢikliğinin baĢlangıcını gösterir (F noktası). Bu da akma sınırı olarak

gösterilir.

Kopma sınırı: Malzemede kopmadan önce oluĢan en büyük gerilme olarak tanımlanır. Akma

sınırından sonra yükleme sürdürülürse, kesitte daralma baĢlar, bir süre sonra da çubuk yükü

kaldıramaz duruma gelir ve kopar. Kesit daralması ile birlikte uzama da olur. Ancak

hesaplamalarda ilk kesit alanı dikkate alınır. (B noktası)

Emniyet katsayısı: Bir makine parçasının dıĢ etkilere dayanması beklenir. Dayanım

hesaplamalarının amacı da budur. Bir makine elemanı hiçbir zaman tehlikeli sayılan sınır

değerine kadar yüklenmez. Bir malzemenin emniyetli gerilmesi orantı sınırını geçmemelidir.

Orantı sınırını tam olarak saptamak zor olduğundan, akma veya kopma dayanımının bir

emniyet katsayısına bölünmesi ile saptanabilir. Birçok malzemede orantı sınırı kopma

dayanımının yarısı kadardır. Statik yüklerde orantı sınırının yarısı emniyetli gerilme olarak

alınır.

Teknikte emniyet katsayısının kullanılma nedenleri:

a. DıĢ kuvvetler ve momentler tam olarak belirli değildir.

b. Dayanım formüllerinde bir çubuk esas alınır. Oysa gerçek makine parçaları çubuktan çok

farklıdır.

c. Mukavemete göre malzemenin ideal özelliklere sahip olduğu düĢünülür. Pratikte bu

mümkün değildir.

d. Zaman ve çevre etkisini hesap yoluyla değerlendirmek çok güçtür.

Çekme gerilmesi: Malzemede kopmadan önce oluĢan en büyük gerilmedir. Bu değer

uygulanan kuvvetin malzemenin ilk kesitine bölünmesi ile bulunur.

HOOKE KANUNU: Çubuğun uzaması, çekme kuvveti ve uzunluğu ile doğru orantılı olup,

kesit alanı ve elastisite modülü ile ters orantılıdır.

σÇ - Çekme dayanımı (daN/ cm2)

Δ - Toplam uzama

F - Kuvvet (daN)

L - Uzunluk (cm)

A - Dik kesit alanı (cm2)

E - Elastiklik modülü (daN/ cm2) ε – Birim uzama

Elastiklik modülü: Çekme diyagramında P noktasına kadar olan doğrunun eğimidir (Birim

kuvvet ile uzama oranı). E sembolü ile ifade edilir.

- Birçok çelik cinsi için E= 2.106 daN/ cm

2 veya E= 2,1.10

6 daN/ cm

2

A

Fç

ε L

EA

LF

.

.


15

2.1.1. Problemler 1. Uzunluğu 75 cm ve çekme gerilmesi 950 daN/ cm

2 olan çelik çubuğun toplam uzamasını

bulunuz.

2. Uzunluğu 500 mm olan çelik çubuk, bir çekme kuvveti etkisi ile 0,5 mm uzuyor. Çubuğun

hacmi 600 cm3 olduğuna göre çekme kuvvetinin Ģiddetini bulunuz.

3. ġekildeki sistemde bulunan askı telinde meydana gelen gerilmeyi bulunuz.

4. ġekilde görülen silindirik boruya etki eden kuvvet F= 150 tondur. Malzemenin güvenli

dayanımı σg= 850 daN/cm2 olarak verildiğine göre borunun et kalınlığını bulunuz. Ġç çap 10

cm’dir.

5. ġekilde görülen çekilmeye çalıĢan çubuğun boyu 50 cm, dik kesit alanı 8 cm2, etki eden

kuvvet F= 2500 daN olduğuna göre toplam uzamayı bulunuz. Çubuk malzemesi çeliktir.

6. Bir çekme deneyinde etki eden kuvvet 30 ton, çubuk kesiti 7 cm2’dir. Çubuk dik kesitindeki

gerilmeyi bulunuz.

F

Fç

2 m3 m

5 m

F=15 kN

50FF

F F

Gerilme


16

F

dd

S1 S

F

F

Ød

7. ġekilde görülen zincirin halka çapı 15 mm ve σg= 850 daN/ cm2

olduğuna göre

taĢıyabileceği yükü bulunuz.

8. ġekilde görülen silindirik bir çubuk, M30 vida ile bağlanmıĢ ve ucuna 2200 daN asılmıĢtır.

Çubuk kesitinde oluĢacak çekme gerilmesini bulunuz.

9. ġekilde görülen sistem F= 2500 daN’luk bir yük taĢımaktadır. Çubuk kesitlerini

hesaplayınız.

Çekmede σg= 150 daN/ cm2

Basmada σg= 75 daN/ cm2

10. 5000 daN’luk bir cisim, yatay ile 200 açı yapan 125 cm uzunluğundaki iki tel ile asılmıĢtır.

Tellerin güvenli gerilmesi σg= 900 daN/ cm2 olduğuna göre tel çapları ne kadar olmalıdır?

Yükün etkisi ile bir telde meydana gelen toplam uzamayı bulunuz. E=2,1.106

daN/ cm2

2.2. DARBE ġEKĠL DEĞĠġTĠRMELERĠ

S2

S1

y

y

XX

S2

S1

F


17

h

LAğırlık

Ani bırakılmıĢ yüklerde (h yükseklığınden)

(ġekil 2.2)

σmax : maksimum gerilme (daN/cm2)

x : Dinamik katsayı

Yük ani olarak cisme etki ettirilirse h = 0 olur.

Çekme deneyinde elastik sınır içinde uygulanan

herhangi bir andaki kuvvet ani olarak aynı parçaya

uygulanırsa gerilme iki katına çıkar.

ġekil 2.2 σmax= 2 . σ

Maksimum uzama: h2max 2 h=0 olursa Δmax= 2. Δ

Kesit tayini :

(cm2)

2.2.1. Problemler 1. Bir cisim eksenel olarak 55 daN ağırlığındaki bir cismin darbeli etkisi altında kalıyor. Çubuk

boyu 3 m, E = 2,1.106 daN/ cm

2 ve σg= 1500 daN/ cm

2 olduğuna göre emniyetli kesit çapını

ve max uzamayı bulunuz (L=h).

2. Üst ucundan ankastre ve düĢey bağlanmıĢbir çubuğun çapı 10 cm, boyu 2m

ve malzemesinin güvenli dayanımı σg= 1250 daN/ cm2’dir. 1,2 m yükseklikte

ani olarak yüklendiğine göre taĢıyabileceği kuvveti bulunuz (E=2. 106 daN/ cm

2).

3. ġekildeki çubuğun çapı 2,5 cm, boyu 5 m, malzemenin Elastiklik modülü E=2. 106 daN/

cm2dir. 3 m yükseklikten bırakılan 500 daN’luk yükün etkisiyle oluĢacak maksimum uzama

ve malzemenin maksimum gerilmesini bulunuz.

xLQ

AhE.

.

...211max

Lg

hQEA

.

...22

d

Lh

F


18

2.3. BĠR ÇUBUĞUN AĞIRLIĞINDAN DOĞAN GERĠLME VE ġEKĠL

DEĞĠġTĠRME

Yalnızca dıĢ kuvvetler söz konusu ise kullanılır. Çubuğun boyu uzun ise

kendi ağırlığı da dikkate alınır.

L boyundaki çubuk ağırlığı

..LAW

(γ : özgül ağırlık)

A-A kesitindeki gerilme

A

LAFAA

..

B-B kesitindeki gerilme

A

yAFBB

..

ġekil 2.3

ġekil 2.3’deki A – A kesiti en tehlikeli kesittir ve A – A kesitindeki en büyük gerilme

malzeme için uygun görülen güvenli gerilme kadar olmalıdır.

A

LA

A

F

A

yLAFg

....

A

FLgL

A

Fg ..

Δ = Δ1 + Δ2

Δ = DıĢ kuvvet ve çubuğun ağırlığından oluĢan toplam uzama

Δ1 = DıĢ kuvvetin etkisi ile oluĢan uzama

Δ2 = Çubuğun kendi ağırlığından oluĢan uzama

EA

LW

EA

LF

.

.2

.

.21

2.3.1. Problemler 1. Bir ucundan ankastre düĢey bir çubuk 15 m boyunda ve 15 cm çapındadır. Çubuğun ucuna

2500 daN asılmıĢ olup, özgül ağırlığı 7,8 gr/ cm3’tür. En tehlikeli kesitteki gerilmeyi ve

çubuğun toplam uzamasını bulunuz (E = 2,1.106 daN/ cm

2)

2. DüĢey bağlanmıĢ bir çubuk 4 m boyunda ve 8 cm çapındadır. Çubuk malzemesinin özgül

ağırlığı 7,8 gr/ cm3 ve elastiklik modülü E = 2,1.10

6 daN/ cm

2, güvenli gerilmesi 120 daN/

cm2olduğuna göre taĢıyabileceği yükü ve yükün etkisiyle oluĢacak maksimum uzamayı

hesaplayınız.

EA

LF

.

.

Ly

BB

AA

F

Lg

FA

.

EA

LW

F

.

.2

2

EA

LW

F

.

.2

EA

LF

.

.1


19

2.4. Eġ DAYANIMLI ÇUBUKLAR Cismin ucundan aĢağıya inildikçe cismin ağırlığından dolayı gerilmeler artmaktadır. O

halde çubuğun kesiti dibe doğru geniĢleyecek Ģekilde Ģekillendirilmelidir. Buna göre de cismin

her yerindeki kesitte güvenli dayanım olmalıdır (ġekil 2.4).

xeAA

yg

eAA

g

FA

.0

.

.0

0

ġekil 2.4 Sağlamlık ve ekonomiklik koĢullarını taĢıyan çubuklar

2.4.1. Faturalı ve eĢ dayanımlı çubuklar Bir makine parçasını Ģekil 2.4’deki gibi Ģekillendirme masraflıdır. EĢ kesitli yapılması

durumunda ise malzeme israfı ortaya çıkar. ĠnĢaat iĢlerinde malzeme iĢçilikten fazla olacağı için

kolonları yukarıdaki gibi (Ģekilde) Ģekillendirmek daha ekonomiktir. Oysa makinecilikte

boĢaltılan malzeme fazla değildir, ancak iĢçilik fazladır. Buna rağmen verimi arttırmak için eĢ

dayanımlı çubuklar istenmektedir. Bu durumda iĢçiliği azaltmak için parçalar konik veya faturalı

yapılarak eĢ dayanım elde edilir (ġekil 2.5).

1 – 1 Kesit alanı 1

1.Lg

FA


12

.

.

Lg

AgA

3– 3 Kesit alanı 3

23

.

.

Lg

AgA


34

.

.

Lg

AgA

ġekil 2.5 Δ = Δ1 + Δ2 + Δ3 + Δ4

F

dyy

L

F A

Ao

Ao

A

Q AğırlıkQ Ağırlık

L4L3

L2L1

L

A4

A3

A2

A1

F


20

2.4.2. Problemler 1. 15 m uzunluğunda ve dikey duran bir çubuğun 15 tonluk yük asılacaktır. Çubuğun dört eĢit

uzunlukta kademeli olması istenmektedir. Özgül ağırlığı γ = 7,7 gr/cm3 olduğuna göre her

kademenin kesit çapını bulunuz. σg = 450 daN/cm2

2. Bir çubuğun boyu 20 m ve etki eden çekme kuvveti F = 1,5 tondur. Çubuğun eĢ dayanımlı ve

faturalı olarak üretilmesi isteniyor. σg = 500 daN/cm2 , γ = 0,0078 Kg / cm

3’tür. Her kademe

aynı uzunlukta ve boy üçe bölüneceğine göre A1, A2, A3 kesit alanlarını hesaplayınız.

3. Üstteki problemde F = 25 ton, L = 200 m alındığında kesit alanlarını ve toplam uzamayı

bulunuz. Malzeme kazancını yüzde olarak gösteriniz. ( kademe dört adet olacaktır.)

E = 2,1.106 daN/cm

2

2.5. ISI ETKĠSĠ OLDUĞU ZAMAN UZAMA

σ = α . ( t2 – t1) . E α = malzemenin uzama katsayısı

t2 – t1 = ısı farkı

Δ = α . ( t2 – t1) . L E = Elastikiyet modülü

L = Çubuk boyu

2.5.1. Problemler 1. 12 m boyunda çelik bir çubuğun ısısı 60° yükseltiliyor. Çubuk çapı 8 cm olduğuna göre

çubuğun uzamasını bulunuz.

Çeliğin uzama katsayısı α = 12 . 10-6

2. Çekmeye çalıĢan bir çubuğun sıcaklığı 55° yükseltiliyor. Etkisi altında kalacağı gerilmeyi

bulunuz. Uzama katsayısı α = 12 . 10-6

, Elastiklik modülü E = 2,1.106 daN/ cm

2


21

σx

2.6. EĞĠK KESĠTLERDEKĠ GERĠLMELER A – Dik kesit alanı (cm

2 )

A1 – Eğik kesit alanı (cm2 )

σn – Normal Gerilme (daN/ cm2 )

Тφ – Kayma gerilmesi (daN/ cm2 )

F – Dik kesitteki çekme kuvveti (daN)

S – Eğik kesitteki çekme kuvveti (daN)

A

Fx

1A

FS

Cos

AA

A

ACos 1

1

ġekil 2.6

SCosCosA

F

CosA

FS x ..

/

cos.S

Eğik kesitlerdeki gerilmeler MOHR DAĠRESĠ’ni

kullanarak çizim yolu ile de bulunabilir.

Dairenin çapı çubuğun dik kesit gerilmesi ( x )

kadar alınır. O noktasından açısıyla saatin dönme

yönünün tersine çemberi kesecek bir doğru çizilir.

Doğrunun çemberi kestiği noktadan (A) yatay

eksene ( n ) dik inilerek B noktası iĢaretlenir. OB

doğrusu Normal gerilmeyi( n ), AB doğrusu

(Kayma gerilmesini verir. OA doğrusu ise eğik

kesitteki S gerilmesi kadardır (ġekil 2.7).

ġekil 2.7 Mohr dairesi

2.6.1. Problemler 1. Bir çubuğun çapı 6,5 cm, etki eden eksenel kuvvet F = 4500 daN’dur. DüĢeyle 30

0’lik açı

yapan bir düzleme etki eden normal ve kayma gerilmelerini bulunuz.

2. Bir çubuğun çapı 4 cm ve etki eden eksenel kuvvet F= 6300 daN’dur. Eksene dik

düzlemden 300’lik açı yapan bir düzlemde meydana gelen normal ve kayma gerilmelerini

hesaplayınız.

3. Bir p – q düzlemine 300 daN/ cm2 kayma ve 850 daN/ cm

2 normal gerilmeleri etkiyor.

Φ açısını ve çubuk çapı 6 cm olduğuna göre eksenel F kuvvetini hesaplayınız.

SS

SS

p

qA A1

A1Aq

p

SF

F F

2.. CosCosS xnn

SinS.

S

CmB

A

o


22

2.7. GERĠLME YIĞILMALARI

ġekil 2.8 Gerilme yığılmaları

A

F

L

r

.3

.3

10

12

max

max

b

a

L

a

21

10

12

max

1

.max

K

K

F

F

C D

A B

2r

BA

DC

F

F

2a

2b

L L

D

A2

A1

d

r

r / 2

F

F

C D

A B

2r

BA

DC

F

F

2a

2b

L L

D

A2

A1

d

r

r / 2


23

ġekil 2.9 Gerilme yığılmaları diyagramları (Yazıcıoğlu,1998)

2.7.1. Problemler 1. Çekmeye çalıĢan kademeli milde çekme kuvveti F = 12 ton, malzemenin çekme gerilmesi

550 daN/ cm2’dir. ġekildeki milin maksimum gerilmesini bulunuz.

2. ġekildeki kademeli çubuğun güvenli gerilmesi 250 daN/ cm2’dir. Gerilme yığılmasını

dikkate alarak F kuvvetinin en fazla ne kadar olabileceğini bulunuz.

D=3 cm d=2cm

R5

Ø20Ø30

FF


24

F

F

F

3. KESME GERĠLMESĠ Cisimlere etkiyen kuvvetler etkilenen kesit doğrultusunda ise cisim kesilmeye

zorlanıyordur ve kesitte kayma gerilmesi oluĢur. Cisimlerin kesitlerinde kesme kuvveti, yalnız

baĢına ender durumlarda oluĢur. Genellikle diğer zorlanmalarla birlikte bulunur. Örneğin bir

cismin makasla kesilmesi (sadece kesme kuvveti) basit kesme durumudur. Kesme kuvveti

çubukların ve kiriĢlerin kesitlerinde genellikle eğilme momenti ile birlikte olur.

* Basit kesmelerde F kuvveti ile kesilmeye çalıĢan bir cisimde, F kuvveti kadar bir kuvvet

kesilmeye karĢı koyar (-F). Kesitteki birim alana düĢen karĢı koyma kuvvetine KAYMA

GERĠLMESĠ denir (Т) (ġekil 3.1).

A

F daN / cm

2 (Ortalama kayma gerilmesi)

ġekil 3.1 Kesme gerilmesi

Çekme ve basma gerilmeleri etki ettikleri yüzeylere dik olan kuvvetler tarafından

meydana getirilir. Bu nedenle çekme ve basma gerilmelerine NORMAL GERĠLME, kayma

gerilmesine ise TEĞETSEL GERĠLME denir.

Uygulanan kuvvet kesit üzerinde iki tarafı birbiri üzerinde kaymaya zorluyorsa, o

yüzeylerde KAYMA GERĠLMESĠ oluĢur.

Makinecilikte kamalar, perçinler, pimler, cıvatalar kesilmeye çalıĢan elemanlardır. Ancak

cıvatalar daha çok çekilmeye de çalıĢırlar.

3.1. KAYMA ÇEġĠTLERĠ

a)Tek çalıĢmalı kayma b) Çift çalıĢmalı kayma c) Kayma çalıĢan alandır

ġekil 3.2 Kayma çeĢitleri

-F

D

CA

B

F

FF

FF


25

3.2. PROBLEMLER 1. ġekildeki volan bir makinenin krank miline hareket vermektedir. Arzu edilmeyen bir sıkıĢma

halinde pimin kesilerek hareketin durması istenmektedir. Volan dakikada 200 devirle

dönmekte ve 5 kW iletmektedir. Mil çapı 40 mm, pim çapı 7 mm olduğuna göre pimde

oluĢacak kesme gerilmesini bulunuz.

2. ġekildeki miller aynı kesitli çözülebilir bir kavrama ile bağlanmıĢtır. Kavramanın

flanĢlarında 6 adet M10 cıvata kullanılmıĢtır. Ġletilen güç 75 KW, devir sayısı 200 dev/dk,

olduğuna göre cıvataların kesme gerilmesini bulunuz (R = 15 cm).

( Kavramanın sürtünmesiz olduğu kabul edilecektir)

3. ġekilde görülen s=4 mm kalınlığındaki sacın kesilme dayanımı T= 3400 daN/ cm2’dir.

Zımba gerecine Þ = 1000 daN/ cm2’lik bir basınç gerilmesi gelmesi için;

1. Zımba çapı d = ?

2. P kuvveti ne kadar olmalıdır?

4. ġekildeki taĢıyıcı sistemde cıvata malzemesi Ç 1020 kullanılmıĢtır. DeğiĢken etki altında

güvenli kesilme dayanımı Tg = 600 daN/ cm2, etki eden en büyük kuvvet 10 ton alınırsa

cıvatanın diĢ dibi ve diĢ üstü çapları ne kadar olur?

Ød

2R

d

F

s


26

5. ġekilde hafif bir uçağın iniĢ takımının bir kısmı görülmektedir. A ve B ‘deki cıvatalar çift,

C’deki cıvata ise tek çalıĢmalıdır. Tg = 560 daN/ cm2 olduğuna göre cıvataların çaplarını

hesaplayınız. R = 1200 daN

(Curun,1981)

4. BURULMA GERĠLMESĠ

F

F

R500=b200=a

F

CB

A


27

Mb

M

oL

r

o

AAF

F

Mb

ġekil 4.1 Burulma

Mb = Burulma momenti (N.m) φ = Burulma açısı (rad) (360° = 2π (rad)

N = Güç (KW) Mb = Mile uygulanan burulma momenti (Nm)

N = Dakikada dönme sayısı (dev/dk) L = Mil boyu (cm)

F = Etki eden kuvvet daN Ip = polar atalet momenti (cm4)

r = Milin yarı çapı (cm) G = Kayma modülü

Çelik için G = 8 . 105

daN/cm2

AhĢap için G = 7000 daN/cm2

Dökme demir için G = 3,8 . 105

daN/cm2

Ip

rMb

rIp

Mb

1/max

Tmax = Maksimum kayma gerilmesi (daN/cm2)

Mb = Burulma momenti (daN . cm)

Wp = Polar dayanım momenti (cm3)

Ip = Polar atalet momenti (cm4)

r = Milin yarı çapı (cm)

rFn

NMb .955

pG

LMbrad

.

.)(

334

16

.

32

.cm

d

rWp

d PP

rp

Mb

Wp

Mbmax


28

4.1. PROBLEMLER 1. ġekilde görülen çelik çubuk tek taraflı ankastredir. Çubuk çapı 25 mm ve moment kolu BC

40 cm’dir. Güvenli kayma gerilmesi Tg=650 daN/cm2 olduğuna göre F kuvveti ne kadar

olmalıdır?

2. ġekilde görülen, çapı 10 cm olan bir mil, dakikada 45 devirle dönmektedir. Tg=400 daN/cm2

olduğuna göre iletebileceği güç ne kadardır?

3. ġekildeki sistemde A diĢli çarkı 350 KW almakta ve bu gücü B ve C çarklarına 220 KW ve

150 KW olarak vermektedir. d1 çapı C çarkının etkisi altındadır. Güvenli kayma gerilmesi

Tg=500 daN/cm2 olduğuna göre mil çaplarını bulunuz.

4. Bir geminin pervane mili, dakikada 125 devirle dönerken 350 KW iletecektir.

Tg=420 daN/cm2 olduğuna göre çapın 20 katı kadar uzunluktaki burulma açısının 1

o’yi

geçmemesi için mil çapı ne kadar olmalıdır?

360o = 2Π rad 2Π / 360 = Π / 180 rad

5. ġekildeki boru burulmaya çalıĢmaktadır. DıĢ

çapı 40 mm, iç çapı 20 mm, boyu 120 cm,

emniyetli kayma gerilmesi 150 daN/cm2

olduğuna göre meydana gelecek momenti ve

burulmanın etkisiyle B noktasında meydana

gelecek açısal dönme miktarını bulunuz.

G= 8x104 daN/cm

2

5. BURKULMA GERĠLMESĠ

d

BA

1500 cm1500 cm

d2d1 250 KW

350 KW220 KW150 KW

C B A

Ø40

Ø20

120 cm

Mb

90°

d

C

BA F


29

Kesit alanları küçük, boyları kesitlerine göre büyük olan çubuklara NARĠN ÇUBUKLAR

adı verilir. Narin çubuklar eksenel olarak çalıĢırsa burkulur ve kırılır. Bu nedenle narin

elemanların kuvvet altındaki davranıĢlarını incelerken, hem kesitleri, hem boyları göz önüne

alınmalıdır. Narin bir basınç çubuğunun dayanımını kaybetmesi, çubuğun ekseninin yanal yer

değiĢtirmeler yaparak, doğru Ģeklinin bozulmasıdır. Bu olaya da burkulma (FLAMBAJ) denir.

Bir çubuğun burkulmasına neden olacak kuvvetin, burkulma baĢlangıcındaki değerini

bulabilmek için, yapılan deneyler sonucunda üç yöntem bulunmuĢtur.

1- Euler yöntemi 2- Tetmajer yöntemi 3- ω yöntemi

Bu yöntemlerin hangisinin hesaplamada kullanılacağına çubuğun narinlik derecesine

bakılarak karar verilir.

λ = Narinlik derecesi

A = Kesit alanı (cm2)

Lk = Flambaj boyu (cm)

I = Atalet momenti (cm4)

ġekil 5.1 Basma gerilmesi-Narinlik derecesi diyagramı (Curun,1981)

Yukarıdaki diyagrama göre (ġekil.59);

λ > 100 için Euler yöntemi (Basınç gerilmesi orantı sınırının altında olan çubuklar için)

60 < λ < 100 için Tetmajer yöntemi ( Basınç gerilmesi orantı sınırı ile akma sınırı arasında

olan çubuklar için)

ω yöntemi λ’nin bütün değerleri için kullanılabilir, ancak λ < 60 için daha uygundur. λ > 60

bölgelerinde diğer yöntemler (Euler – Tetmajer) daha iyi sonuç verir.

5.1. EULER YÖNTEMĠ

2.LkA

Basılm

a G

erilm

esi

N a r i n l i k D e r e c e s i

O r a n t ı s ı n ı r ı

250220200180160140120100806040200

D

C

B

A

E u l e r

Tetmajer

Akma sınırı

E


30

LF

Fk

L

L

Fk

L

Fk

2

2 ..

Lk

EFk

Fk = Flambaja baĢlangıç kuvveti (daN) F = Uygulanabilecek kuvvet (daN)

E = Elastiklik modülü (daN/cm2) Sk = Güven katsayısı

I = Atalet momenti (cm4)

Lk = Flambaj boyu (cm)

II)

I)

Alt uç ankastre üst uç serbest Her iki uç da serbest (mafsallı)

Lk = 2L Lk = L

III) IV)

Alt uç ankastre, üst uç serbest

Her iki uç da ankastre

(mafsallı) LLk 5,0

ġekil 5.2 Narin çubuklar 5.1.1. Problemler

A

Fkk

Sk

Ak

Sk

FkF

.

2

2

4

..

L

IEFk 2

2 ..

L

IEFk

LL

Lk 707,02

2

2 ..4

L

IEFk

2

2 ..2

L

IEFk


31

FF

300

1. ġekildeki 10 cm çapında ve boyu 300 cm olan iki ucu da mafsallı çelik çubuğun narinlik

derecesini bulunuz.

2. ġekilde görülen bir ucu ankastre, diğer ucu boĢta olan 350 cm boyunda, 25 cm çapındaki

ahĢap bir kolonun kritik yükünü ve kritik gerilmesini hesaplayınız (E = 105 daN/cm

2).

3. Yukarıdaki Ģekilde olduğu gibi bir ucu ankastre, diğer ucu boĢta ve 30x20 cm dikdörtgen

kesitli ve boyu 500 cm olan çubuğun güven katsayısı 10 olduğuna göre taĢıyabileceği yükü

bulunuz (E = 120000 daN/cm2).

4. Yukarıdaki Ģekilde çubuğun taĢıdığı yük 2 ton olduğunda EULER formülüne göre güven

katsayısını hesaplayınız.

5. Her iki ucu da mafsallı, basılmaya çalıĢan çelik bir çubuğun kesiti 25 cm2’ dir. Çubuğun

orantı sınırı σp = 2100 daN/cm2 ve E = 2,1 . 10

6 daN/cm

2 olduğuna göre EULER

formülünün geçerli olabileceği en küçük çubuk boyunu hesaplayınız.

6. ġekildeki gibi yüklenen bir sistemde AC çubuğu (çelik) basılmaya çalıĢmaktadır. Flambaja

uğramaması için çapı ne kadar olmalıdır?

Sk = 5, E = 2.106 daN/cm

2, W = 3000 daN

7. ġekildeki kolonun burkulma olmadan F yükünü taĢıyabilmesi için et kalınlığının ne kadar

olması gerektiğini hesaplayınız.

300

cm

C

B A400 cm

500 cm W

LF


32

5.2. TETMAJER YÖNTEMĠ

Çizelge 5.1 Bazı malzemelerin burkulma kullanım sınırları (Curun,1981)

Malzeme Basma

gerilmesi

Tetmajer’e göre

hesaplama

Euler’e göre

hesaplama

Tetmajer’e göre kritik

gerilme

daN/cm2

AhĢap λ ≤ 1,8 1,8 < λ < 100 λ ≥ 100 σk = 293 – 1,94 λ

Dökme demir λ ≤ 5 5 < λ < 80 λ ≥ 80 σk = 7760–120 Λ+1,53 λ 2

YumuĢak çelik λ ≤ 10 10 < λ < 100 λ ≥ 100 σk = 3100 – 11,4 λ

Orta sert çelik λ ≤ 10 10 < λ < 89 λ ≥ 89 σk = 3350 – 6,2 λ

%5 nikelli çelik λ ≤ 10 10 < λ < 86 λ ≥ 86 σk = 4700 – 23 λ

p = Narinlik derecesi

E = Elastiklik modülü (daN/cm2)

σp = Orantı sınırı (Akma sınırı) (daN/cm2)

5.2.1. Problemler

1. Çelik bir çubuğun; orantı sınırı σp = 2000 daN/cm2, elastiklik modülü E = 2,1.10

6 daN/cm

2,

akma sınırı 2500 daN/cm2’dir. Tetmajer formülünün kullanılabileceği en küçük narinlik

derecesini bulunuz.

2. Tetmajer formülünü kullanarak λ = 90 olabilmesi için yumuĢak çelik bir ma lzemede ki kritik

gerilmeyi hesaplayınız.

5.3. ω YÖNTEMĠ

Çizelge 5.2 Çelik malzemelerin güvenlik katsayıları (ω) (Curun,1981)

dD

L

F

p

p

E.2


33

λ 110 120 130 140 160 180 200 220 240 250

YumuĢak çelik 2,11 2,43 2,85 3,31 4,32 5,47 6,75 8,17 9,73 10,55

Sert Çelik 3,06 3,65 4,28 4,96 6,48 8,21 10,13 12,26 14,59 15,83

σ . ω ≤ σg

Çubuğun narinlik derecesine göre çizelge.2’den ω değeri seçilir. Bulunan değer

malzemenin güvenli dayanımından küçük olmalıdır.

5.3.1. Problemler

1. 5000 daN ‘luk bir yükle basılmaya zorlanan sert çelik malzemeden yapılmıĢ çubuğun çapı 4

cm’dir Narinlik derecesi 160 ve her iki ucu da ankastre olan çubuğun boyu ve malzemesinin

güvenli dayanımı en az ne kadar olmalıdır?

2. 7500 daN bir basma kuvveti ile zorlanan 200 cm boyunda ve 5x5 cm kare kesitli yumuĢak

çelik çubuğun güvenli gerilmesi 1250 daN/cm2’dir. Bu verilere göre kesitin uygunluğunu

kontrol ediniz. Lk = L

6. EĞĠLME GERĠLMESĠ Bir kiriĢin eksenine dik etki eden kuvvetler, çubuk kesitlerinde KESME KUVVETĠ ve

EĞĠLME MOMENTĠ meydana getirir.


34

Eğilme momenti sonucu çubuğun doğrusal durumu eğrisel duruma geçer ve çubuk ekseni

de bir eğri olur. Bu eğriye ELASTĠK EĞRĠ adı verilir.

Eğilme momenti ile bu momenti meydana getiren EĞĠLME GERĠLMESĠ ve düĢey

KESME KUVVETĠ ile bu kuvvet etkisi altında oluĢan KAYMA GERĠLMESĠ arasında bağıntı

vardır. Bu bağıntıları bulurken;

1. KiriĢin düzlem olan dik kesiti eğilmeden sonra da düzlem kalır.

2. Çekilmede ve basılmadaki elastiklik modülleri eĢittir.

3. KiriĢ malzemesi homojendir, Hooke kanununa uygundur.

4. KiriĢ orijinal olarak doğrudur ve kesitler sabittir.

koĢullarını kabul edilir.

Bir eğilme probleminin çözülebilmesi için kiriĢ kesitinin atalet momenti, dayanım momenti,

tarafsız eksen, kesme kuvveti ve eğilme momenti diyagramlarının çizimi gibi bilgilere gerek

duyulur.

6.1. KĠRĠġLERDE KESME KUVVETĠ (MAKASLAMA) VE MOMENTLER

Nokta yükle yüklenen bir kiriĢte (ağırlık dikkate alınmadan) denge Ģartları (ġekil 6.1)

ġekil 6.1 Nokta yüklenmiĢ bir kiriĢ

a. Σ Fx = 0

b. Σ Fy = 0 Ģartı için RA ‘ya karĢı bir iç kuvvet vardır. Bu kuvvet kesme kuvvetidir.

c. Momentler toplamının ΣM = 0 olması gerekir.

RA = V olduğunda M = RA . x olur. KiriĢi eğmeye çalıĢan bu moment EĞĠLME

MOMENTĠ’dir.

d. KiriĢin her iki parçasında da kesme kuvveti ve eğilme momenti eĢit olmalıdır.

SONUÇ olarak; kiriĢler eksenine dik kuvvetlerle yüklenirse, kiriĢ kesitlerinde kesme kuvveti ve

eğilme momenti meydana gelir.

M – Eğilme momenti daN.cm

Mmax – En büyük eğilme momenti daN.cm

q – Birim uzunluktaki yayılı yük daN/cm daN/m

Düzgün yayılı yüklerde:

VM

MV

RB

RA

x

a

ax F

RA RB

A

AV

RA


35

2

.LqRR BA

x uzaklığındaki kesitte;

ġekil 6.2

Tek taraflı ankastre kiriĢler için;

ġekil 6.3

x = 0 için M = F. L

x = L için M = - F. L + F . L

Mmax = - F . L

6.1.1. Problemler

8

. 2LqM

Mx Mmax

VxL/2

L/2

L

q daN/cmx/2

qx V BARBRA

için

LX

XLXq

Mx

XL

qV

VxqRA

2

2

.

2

.

L-x

V=F(+)

F

x

V=F(+)F

-F.L

MMx

-F.L

V

VxL-x

Lx

-F.L

F

F


36

1. ġekildeki basit kiriĢin (nokta yüklü) kesme kuvveti ve moment diyagramlarını çiziniz.

1m 3 m

F=4 ton

RBRA

2. ġekildeki gibi yüklenmiĢ kiriĢin maksimum eğilme momentini bulunuz.

3. Bir basit kiriĢ ġekildeki gibi düzgün yayılmıĢ yük ile yüklenmiĢtir. Bu kiriĢin kesme kuvveti

ve eğilme momenti diyagramlarını çizerek maksimum momentin yeri ve değerini bulunuz.

4. ġekildeki gibi yüklenmiĢ bir kiriĢin kesme kuvveti ve eğilme momenti diyagramlarını çizerek

maksimum momentin yeri ve değerini bulunuz.

q=1ton/m

2m6m4m

2 ton 4 ton1m 1m

RBRA

5. ġekildeki gibi yüklenmiĢ bir kiriĢin kesme kuvveti ve eğilme momenti diyagramlarını çizerek

maksimum momentin yeri ve değerini bulunuz.

6.2. ATALET MOMENTLERĠ

2m2m4m1m1m3 ton6 ton4 ton2 ton

RBRA

daN/mq=500

4m3m2mRBRA

2 m3 m

5 m

R2R1

F=100daNq=10 daN/m


37

ØDØd

Düzlem alanların atalet momentleri

2

2

.

.

xA

yA

y

x

Statik moment = alan x uzunluk = A . L

Atalet momenti = alan x uzunluğun karesi

= A . L2

ġekil 6.4

Dikdörtgen alanın atalet ve dayanım momentleri

Atalet momenti

432

3

.

3

.cm

hbhAxx

Dayanım momenti

ġekil 6.5

Daire alanın atalet ve dayanım momentleri

Atalet momenti 44

444

05,02064

.

4

.cmd

ddrx

Dayanım momenti

Boru kesitlerin atalet ve dayanım momentleri

444

20cm

dD Atalet momenti

ġekil 6.6

Dayanım momenti

BileĢik kesitlerde atalet ve dayanım momentler

A h

by

x

yx

tarafsız eksen

b

h

xx

43

12

.cm

hb

32

6

.cm

hbW

44

64

.cm

d

3cmr

W

444

64

.

64

.cm

dD

344

32cmdD

DW

2/hW


38

x

A2

x

A1

g1

g2

40

60

15

G

23.3

8

e2e1

D

g1

G

g2

20

50

20

50

xx

ġekil 6.7

Imn = Ig + A . d2

Imn = ġeklin kendi eksenine göre atalet momenti

Ig = Kesitin kendi ağırlık merkezinden geçen yatay eksenine göre atalet momenti

A = kesit alanı

d = Ġki paralel eksen arasındaki dik uzaklık

ġekil.79’da görülen x – x eksenine göre atalet ve dayanım momentlerinin bulunması;

1- Yüzey iki parçaya ayrılır.

2- Alanların A noktasına göre statik momentleri bileĢke momentine

eĢitlenir.1211

21

....

..

eAbAaAMseAMs

bAaAMs 1.eAx

2.dAgmn

Kesit simetrik olmadığından iki adet dayanın momenti vardır.

Problem: ġekildeki kesitlerin x – x eksenine göre atalet ve dayanım momentlerini bulunuz.

6.3. EĞĠLME FORMÜLÜ

3

2

2 cme

W G

3

1

1 cme

W G

b1

b2

h2

h1

e1e2

xx

ba

L

B

DF

HG

EC

A

G

g2

g1

d

g tarafsız eksen

m n

2

222

2

111 .. dAdA ggG

A

bAaAe

.. 211

aed 11 12 eLe

2/122 Led


39

ġekil 6.8 Eğilme

ġekil 6.8’deki ankastre çubuk, ucundan düĢey bir kuvvetle yüklenirse eğilir. Eğilmede

çubuk ekseni bir eğri halini alır. Bir kısım iplikler uzar, bir kısım iplikler kısalır. Bunlar arasında

tarafsız bir yüzey vardır ki bunun boyu değiĢmez (Gerçekte iplikçiklerden sadece ağaç

malzemelerde söz edilir. Ancak dayanımda diğer malzemelerde de liflerin olduğu kabul edilir).

Tarafsız düzlem ve dik kesitin arakesitine TARAFSIZ EKSEN denir.

Tarafsız düzlemin bir tarafında basılma (BD), diğer tarafında çekilme (AC) etkisi vardır.

Tarafsız düzlemde basılma yada çekilme etkisi yoktur. AC’deki lif maksimum çekilme

gerilmesine, BD’deki lif ise maksimum basılma gerilmesine karĢı koyar (ġekil 6.9).

ġekil 6.9 Eğilme ve gerilmeler

σz = maksimum gerilme *Tarafsız eksende gerilme 0’dır.

11

.

e

y

e

y zb

z

e

1

1

1

...e

ye

Me

e

yze => Eğilme Formülü

σb = Eğilmeden oluĢan çekilme veya basılma gerilmesi

Me = Eğilme momenti ( daN . cm)

I = Kesitin atalet momenti (cm4)

y = Tarafsız eksenden ölçülen lif uzaklığı (cm)

6.4. EĞĠLME OKU (SEHĠM)

tarafsız eksenGD

F

C

B

EA

F

e1e2

Gd

yGb

GzV=F

y1 y2

TE

a2a1

F

Wb

Mee z

eMe .

1

yMe

e .


40

ġekil 6.10 Eğilme oku ymax = Maksimum eğilme oku

6.4.1. Düzgün yayılı yükte eğilme

Nokta yüklü basit kiriĢ;

ġekil 6.11 Düzgün yayılı yükte eğilme

6.4.2. Nokta yüklü basit kiriĢte eğilme

Tek taraftan ankastre düzgün yayılı

ġekil 6.12 Nokta yükte eğilme

6.4.3. Tek taraftan ankastre düzgün yayılı yükte eğilme

ġekil 6.13 Tek taraftan ankastre düzgün yayılı yükte eğilme

6.4.4. Problemler

ymax

x

y

F

..3

. 3

maxE

LFy

x

L=Çubuk boyu (cm)

ymax

L

y

q daN/cm

RA RBA B

L/2L/2P/2

CF

BAP/2

y

ymax

L=Çubuk boyu (cm)

x

ymax

x

y

q daN/cm

.

..

384

5 4

maxE

Lqy

..48

. 3

maxE

LFy

..8

. 4

maxE

Lqy


41

1. ġekilde görülen tek taraftan ankastre bir kiriĢ 3 m boyundadır ve ucundan 2500 kg

yüklenmiĢtir. KiriĢ 10 x 10 kare kesitlidir. En dıĢtaki lifte oluĢan gerilmeyi, Eğilme oku

uzunluğunu (ymax ) bulunuz. E = 2,1 . 106 daN/cm

2

2. ġekildeki gibi yüklenmiĢ basit kiriĢ boru kesitlidir ve iç çapın dıĢ çapa oranı

7

5

D

d dir. KiriĢ malzemesinin güvenli dayanımı σg = 80 daN/cm

2 olduğuna göre dıĢ çapı

bulunuz.

3. ġekildeki gibi yüklenmiĢ bir kiriĢin L boyu ne kadar olmalıdır?

σg = 80 daN/cm2

4. ġekilde görülen basit kiriĢte tek bir kuvvet orta noktadan etki ediyor. Ġzin verilen en büyük

sehim (ymax ) 0,5 cm olduğuna göre P kuvvetinin en büyük değerini bulunuz. KiriĢ daire

kesitlidir ve çapı 10 cm’dir.

5. ġekildeki barfikste hareket yapılan çubuk, D = 3 cm, d = 2,2 cm çaplarında bir borudur.

Hareket sırasında borunun ortasına gelen en büyük yük 90 kg olduğuna göre dayanak

300cmF

50cm50cm40cm20cm

2000 daN300 daN80 daN

BA

BA

q=16 daN/cm

L=480 cm

ymax

F

RB


42

demirlerinin açıklığı (L) ne kadar olmalıdır? (Dönmeden oluĢan merkezkaç kuvvet dikkate

alınmayacaktır.) σg = 80 daN/cm2

6. ġekilde görülen üç kiriĢ aynı malzemeden yapılmıĢtır. Kesit Ģekilleri farklı kesit alanları eĢit

olan bu kiriĢlerden hangisi en büyük yükü taĢır?

σg = 80 daN/cm2 L = 50 cm

7. BĠLEġĠK GERĠLME

d=15 cm

b=18 cm, h=10 cm

b=10 cm, h=18 cm

hb

h

b

Ød

L=50 cm

3)

2)

1)

F

F

F

BA

F=90 daN


43

Makine parçalarının çalıĢmaları sırasında karĢılaĢtıkları kuvvetler her zaman tek bir etki

yaratmazlar. Genellikle birkaç gerilme bir arada etki eder. Örneğin; bir makine parçası sadece

çekmeye ya da sadece eğilmeye çalıĢmaz. Aynı anda çekme ve eğilmeye, burulma ve eğilmeye

veya basılma ve burulmaya v.b. zorlanıyor olabilir (ġekil.93). Bir parçanın hesaplamaları

yapılırken, etki eden tüm gerilmeler incelenerek oluĢabilecek en büyük gerilme dikkate

alınmalıdır.

Makine parçalarının bileĢik zorlanmaları güvenle taĢıyabilmesi için;

olmalıdır.

Тmax : En büyük kayma gerilmesi (daN/cm2)

Тg : Güvenli kayma gerilmesi (daN/cm2)

(σn)max : En büyük normal gerilme (Çekme – Basma) (daN/cm2)

σg : Güvenli normal gerilme (Çekme – Basma) (daN/cm2)

ġekil 7.1 BileĢik gerilmeler

1. Çekme - basma ve eğilme gerilmeleri (a)

2. Eğilme ve burulma gerilmeleri (b,c)

3. Çekme - basma ve burulma gerilmeleri (d)

7.1. ÇEKME - BASMA VE EĞĠLME GERĠLMELERĠ

d)

c)

b)a)

F

MbMb

F

MbF

F2

F1

gmaxmax gn max


44

ġekil 7.2 Çekme –Eğilme

Sadece F2 kuvvetinin etkisi çekme gerilmesi oluĢturur

(Ģekil.95).

A

Fx

2

dir.

ġekil 7.3 Çekme

Sadece F1 kuvveti ise eğilme gerilmesi oluĢturur (ġekil.96).

Wb

Meemax (Me: Eğilme momenti) (daNcm)

(Wb: Dayanım momenti) (cm3)

ġekil 7.4 Eğilme

Her iki kuvvetin etkisiyle (ġekil.97);

C’de Çekme gerilmesi + Eğilme gerilmesi

A

F

Wb

Me 2max

D’de Basma gerilmesi + Eğilme gerilmesi

ġekil 7.5 Çekme-Eğilme gerilmeleri

Tarafsız eksen üzerinde ise

A

F20 olur.

7.2. EĞĠLME VE BURULMA GERĠLMELERĠ

D

C

F1

F2

D

F2

F1

C

D

F1

D

C

F2

Wb

Me

A

F2


45

2

max

2

maxmax

min22

n

2

max

2

maxmax

max22

n

2

max

2

max

maxmax2

FMb

Mb

Eðilme etkisiyle oluþan en büyük NORMAL GERÝLMEler( Çekme-Basma) en dýþtaki liflerde oluþur.en dýþtaki liflerde oluþur.

Burulma etkisiyle oluþan en büyük KAYMA GERÝLMESÝ

FMb

Mb

Birçok makine elemanı, özellikle de miller çalıĢmaları sırasında taĢıdıkları elemanlar

nedeniyle eğilmeye, dönme hareketi nedeniyle de burulmaya çalıĢırlar. Hem eğilme hem de

burulma etkisiyle oluĢan en büyük gerilmeler en dıĢ liflerde olur. Eğilme momenti etkisiyle

oluĢan normal gerilmelerle (çekme – basma), burulma momenti etkisiyle oluĢan kayma

gerilmesinin maksimum bileĢkesi en dıĢ kabukta olur (ġekil.98).

Burulma etkisiyle oluĢan en büyük KAYMA Eğilme etkisiyle oluĢan en büyük

GERĠLMESĠ en dıĢtaki liflerde oluĢur. NORMAL GERĠLMELER en dıĢtaki liflerde oluĢur

ġekil 7.6 Eğilme-Burulma

Mb: Burulma momenti Me: Eğilme momenti

Wp: Polar dayanım momenti Wb:Dayanım momenti

Eğilme ve burulmadan oluĢan gerilmeler

kesite etki eden burulma ve eğilme momentleri

cinsinden yazılabilir.

7.3. ÇEKME - BASMA VE BURULMA GERĠLMELERĠ

Wb

MbMeMen

2

22

max

Wb

MbMe

2

22

maxmax

Wp

Mbmax

Wb

Mbmax


46

Makine elemanlarının uygulamada taĢıdıkları bir baĢka gerilme de Çekme - Basma ve

burulma gerilmeleri bileĢkesidir. Örneğin vidalı elemanlar aynı anda hem burulmaya hem de

çekme veya basmaya zorlanırlar (ġekil.99). Etkisi altındaki kuvvetin olĢturduğu normal

gerilmelerle (çekme – basma), en dıĢ kabukta oluĢan burulma momenti etkisiyle oluĢan kayma

gerilmesinin maksimum bileĢkesi olur.

ġekil 7.7 Çekme-Basma-Burulma

Çekme – Basma etkisiyle oluĢan Burulma etkisiyle oluĢan dıĢ yüzeydeki

normal gerilme en büyük kayma gerilmesi

σx : Normal gerilme (daN/cm2) Тmax : Burulma momentinin etkisiyle

F : Etkileyen yük (daN) oluĢan kayma gerilmesi (daN/cm2)

A : Kesit alanı (cm2) Mb : Burulma momenti (daN.cm)

Wp : Polar dayanım momenti (cm3)

En büyük Gerilmeler

7.4. PROBLEMLER

Mb

F

MbF

A

Fx

2

max

2

maxmax2

x

2

max

2

max22

xxn

Wp

Mbmax


47

1. Bir çubuk Ģekildeki gibi ankastre edilmiĢ F kuvvetinin etkisindedir. A ve B noktalarındaki

gerilmeleri bulunuz. F= 200 daN, çubuk boyu 100 mm, çubuk çapı 10 cm

2. ġekildeki çubuğun taĢıyabileceği yükü bulunuz. Çubuk çapı 30 mm, boyu 100 cm,

maksimum gerilme 800 daN/cm2

3. ġekildeki döner vincin muylusunun kontrol hesabını yapınız. Muylu çapı 10 cm, muylu boyu

12 cm’dir. Güvenli gerilme 750 daN/cm2

(Curun,1981)

4. ġekildeki mil eğilme ve çekme etkisindedir. Maksimum gerilmeyi bulunuz.

Fe=25 daN Fç=50 daN d= 30 mm

B

A

F1

d=30mm100

cm

60cm 60cm

Fç Fç

Fe

10cm

12cm

B bağlantısı

DC

F

2 m

5 m

1200 daN

5000 daN

B

A

F

F

G

W


48

5. ġekildeki gibi tek taraflı ankastre bir çubuk aynı anda eğilmeye ve burulmaya çalıĢmaktadır.

Maksimum normal ve kayma gerilmelerini bulunuz.

Çubuk çapı d= 8 cm, Fe = 250 daN, Fb= 150 daN

6. ġekildeki sistemde volan F kuvvetinin etkisiyle eğilme ve burulma etkisindedir. Volanın

yarıçapı 30 cm’dir. Sistemin F= 1200 daN’luk yükü taĢıyabilmesi için AB kesitindeki çapını

bularak kayma gerilmesine göre kontrolünü yapınız.

σg= 750 daN/cm2 Tg= 500 daN/cm

2

KAYNAKÇA

30cm

Fb

Fb

40 cm

Fe

L=80cm

R=3

0cm

F

B

A


49

Akkurt, M., Kent, M., (1979). Makine Elemanları. Birsen Yayınevi. Ġstanbul.

Akkurt, M. (1994). Makine Elemanları Problemleri. Birsen Yayınevi. Ġstanbul.

Akkurt, M. (2000). Makine Elemanları. Birsen yayınevi. Ġstanbul.

Curun, N. (1977). Cisimlerin Mukavemeti. Yüksek Teknik Öğretmen Okulu Matbaası. Ankara.

Curun, N. (1981). Cisimlerin Dayanımı. Milli Eğitim Bakanlığı Yayınları. Ankara.

Curun, N. (1983). Cisimlerin Dayanımı Çözümlü Problemler. Özgün Matbaacılık. Ankara.

Eker, B., TaĢeri, L., Günaydın, L. (1994). Makine Tasarımı El Kitabı. T.Ü. Tekirdağ Ziraat

Fakültesi Basımevi. Tekirdağ.

GediktaĢ, M. (1999). Makine Elemanları Problemleri. Çağlayan Kitabevi. Ġstanbul.

Okday, ġ. (1979). Makine Elemanları. Kazmaz Matbaası. Ġstanbul.

Omurtag, H. M. (2003). Statik ve Mukavemet. Beta Yayıncılık. Ġstanbul.

Omurtag, H. M. (2003). Statik ve Mukavemet Çözümlü Problemleri. Beta Yayıncılık. Ġstanbul.

Yazıcıoğlu, O. (1998). Konstrüksiyonda Mukavemet. Beta Yayıncılık. Ġstanbul.

Yazıcıoğlu, O. (1999). Makine Elemanları. Beta Yayıncılık. Ġstanbul.


mukavemet 1 ders notu full 2

Documents