matemática i - números reales

Mag. Jube Portalatino Zevallos Números Reales

40


1

ECUACIONES E INECUACIONES 1.1 SÍMBOLOS 1.1.1. ∧ se lee: "y" 1.1.2. ∨ se lee: "o" 1.1.3. ⇒ se lee: "entonces" 1.1.4. ⇔ se lee: "si y sólo si" 1.1.5. ∃∃∃∃ se lee: "existe" 1.1.6. ∀ se lee: "para todo o para cada" 1.1.7. ∃! se lee: "existe un único" 1.1.8. < se lee: "menor que" 1.1.9. > se lee: "mayor que" 1.1.10. ≤ se lee: "menor o igual que" 1.1.11. ≥ se lee: "mayor o igual que" 1.2 INTRODUCCIÓN El sistema de los números reales es la base del análisis matemático. Sobre ello se desarrolla la matemática que se enseña en las carreras universitarias. Enumeraremos un conjunto de propiedades que nos servirá como fundamento. De ellas se puede deducir algunas propiedades de igualdades y desigualdades. 1.3 DEFINICIONES PRELIMINARES 1.3.1 UNIÓN: x∈(A ∪ B) ⇔ x∈A ∨ x∈B 1.3.2 INTERSECCION: x∈(A∩B) ⇔ x∈A ∧ x∈B 1.3.3 DIFERENCIA: x∈(A-B) ⇔ x∈A ∧ x∉ B

1.4 CONJUNTOS DE NÚMEROS 1.4.1 Números Naturales. Es el conjunto: ℕ = {0, 1, 2, 3,...}

1.4.2 Números Enteros. Es el conjunto: ℤ = {....-3,-2,-1,0, 1, 2, 3,...}

1.4.3 Números Racionales. Es el conjunto m

r / r ; m, nn

= = ∈

ℚ ℤ

Ejemplos: 27 3

0,272727 ; 3,1199 11

= = ∈… ℤ

1.4.4 Números Irracionales. Es el conjunto m

s / s ; m, nn

= ≠ ∈

ℤI

Ejemplos: 2, e, , eππ

1.4.5 Números Reales. Es el conjunto: ℝ = ℚ ∪ I

1.4.6 Números Complejos. {z x i y / x, y , i 1}= = + ∈ = −ℂ ℝ

Ejemplos: 2i, 3-5i, 1/2, 2 i+


2

1.4.7 OBSERVACIÓN . ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ 1.5 METODOS DE FACTORIZACION 1. FACTOR COMUN Ejemplos

1) 2 2xy x y xy(y x)+ = +

2) 3 2 2 3 4 2 2 24x y 2x y 6xy 2xy (2x xy 3y )− + = − +

2. PRODUCTOS NOTABLES 1) 2 2a b (a b)(a b)− = − +

Ejemplo. Factorizar x4 - 16 Solución

4 2 2 2 2 2 2x 16 (x ) 4 (x 4)(x 4) (x 2)(x 2)(x 4)− = − = − + = − + +

2) 3 3 2 2a b (a b)(a ab b )− = − + +

Ejemplo. Factorizar x3 - 8y6 Solución

3 6 3 2 3 2 2 2 4x 8y x (2y ) (x 2y )(x 2xy 4y )− = − = − + +

3) 3 3 2 2a b (a b)(a ab b )+ = + − +

Ejemplo. Factorizar z3 + 1 Solución

3 3 3 2z 1 z 1 (z 1)(z z 1)+ = + = + − +

3. MÉTODO DEL ASPA SIMPLE Ilustraremos mediante un ejemplo. Factorizar 26x x 15− − Descomponemos 6x2 y 15 como producto de factores, y se escribe así:

26x x 15

3x 5 10x

2x 3 9x

x

− −− = −

=−

Al multiplicar en cruz y sumar debe darnos el segundo término del polinomio, en este caso “-x”. Si no fuera así, descomponemos 6x2 y 15 de otra forma.

Luego, 26x x 15 (3x 5)(2x 3)− − = − +

Ejemplo. Factorizar 22x 7x 15+ −


39

118. Resolver x 1

2x

−> −

� � � �

38

100. Si 2x-3∈<-7,12>. Hallar el intervalo al cual pertenece 3x+5. 101. Si 5x+1∈<-3,2>, hallar el intervalo al cual pertenece 1/(2x-2)

102. Si x∈[-2; 4], a que intervalo pertenece 2x 3

x 3

++

103. Hallar la suma de los valores enteros de 2x – 3, si x∈<2;7/2]

104. Calcular el intervalo de 24x 3

2

− , sabiendo que x∈[1/2; 1>

105. Halle el menor entero M con la propiedad de que para todo x∈ℝ se cumple

11+6x+x2≤M.

106. Indique el intervalo al cual pertenece m para que 2

2

4 x 4xm

x x 1

+ − <− +

, se

verifique ∀x∈ℝ

107. Halle los valores α para que 2 2( 1)x 2(1 )x 1 0 xα − − − α + > ∀ ∈ℝℝℝℝ

108. Para que valores de “m” el trinomio 2(m 2)x (4m 6)x 5m 6− + − + −

es positivo ∀ x∈ℝ

109. ¿Entre qué límites debe estar comprendido "n" para que la inecuación: 2x nx n 3/16+ + > se verifique ∀ x∈ℝ?

110. Calcule el menor número real M tal que 26 6x x M+ − ≤ , x∀ ∈ℝ

111. Dado 23x 12x 20 3M 0− + − > ¿Cuál es el mayor número entero M que

satisface la desigualdad, ∀ x∈ℝ?

112. Resolver 2x 9

2x

+ =� � � �

113. Resolver 3

22x 1 x 1

=− − +

� � � �

114. Resolver 1 3x

1x 2

− ≥+

� � � �

115. Resolver 2

1 x0

x 4

−≤

−� � � �

116. Resolver 2x 1 14

x 5

− ≥� � � �

117. Resolver 23x 3

5x 1 2x 3 4

− + π< −− − −

� � � �


3

Solución Hacemos el siguiente esquema

22x 7x 15

2x 3 3x

x 5 10x

7x

+ −− = −

=

+

Luego: 2x2+7x-15 = (2x-3)(x+5) 4. MÉTODO DE LOS DIVISORES BINÓMICOS En un polinomio P(x), si P(a) = 0, entonces x-a es un factor de P(x) y se escribe P(x) (x a)Q(x)= − . El polinomio Q(x) se obtiene con el método de Ruffini para división de polinomios.

Ejemplo. Factorizar 3 2x 2x x 2+ − − Solución

3 2P(x) x 2x x 2= + − − 3 2P( 2) ( 2) 2( 2) ( 2) 2 0− = − + − − − − =

1 2 -1 -2 -2 -2 0 2 1 0 -1 0

∴ 3 2 2x 2x x 2 (x ( 2))(x 1) (x 2)(x 1)(x 1)+ − − = − − − = + − +

OBSERVACIÓN Posibles valores que

anulan un polinomio

Divisores del término independienteDivisores del primer coeficiente= ±

Ejemplo. Factorizar 3 22x x 8x 4+ − − Solución Divisores de 4: ±1, ±2, ±4 Divisores de 2: ±1, ±2 Posibles valores que anulen el polinomio: :±1, ±1/2, ±2, ±4

2 1 -8 -4 -1/2 -1 0 4

2 0 -8 0 12

3 2 2 22x x 8x 4 (x ( ))(2x 8) (2x 1)(x 4) (2x 1)(x 2)(x 2)+ − − = − − − = + − = + − +

5. MÉTODO DE SUMA Y RESTA DE TÉRMINOS Consiste en sumar y restar una misma cantidad de tal manera que se forme una suma o diferencia de cubos. Ejemplo: Factorizar x5+x-1

4

Solución Sumando y restando x2: x5+x-1 = x5+x2-x2+x-1 Agrupando: = x2(x3+1)-(x2-x+1)

Factorizando suma de cubos: 2 2 2x (x 1)(x x 1) (x x 1)= + − + − − +

∴ x5+x-1= (x2-x+1)(x3+x2-1) 6. MÉTODO DEL ASPA DOBLE . Se aplica a los de la forma:

4n 3n 2n nax bx cx dx e+ + + + Ejemplo x4 + 5x3 + 4x2 - x - 15 x2 3x -5 = -5x2 + x2 2x 3 = 3x2 6x2 -2x2

4 3 2 2 2x 5x 4x x 15 (x 3x 5)(x 2x 3)+ + − − = + − + +

7. MÉTODO DE LOS POLINOMIOS RECÍPROCOS Se aplica a los polinomios que tienen la forma:

1) 3 2ax bx bx a+ + +

2) 4 3 2ax bx cx bx a+ + + +

3) 5 4 3 2ax bx cx cx bx a+ + + + + , etc. Ejemplos.

1) Factorizar 6 5 4 3 2x 15x 78x 155x 78x 15x 1+ + + + + + Solución

6 5 4 3 2x 15x 78x 155x 78x 15x 1+ + + + + + 3 3 22 3

78 15 1x x 15x 78x 155

x x x

= + + + + + +

3 3 23 2

1 1 1x x 15 x 78 x 155

xx x

= + + + + + +

Sea 1z x

x= + ⇒ 2 2

2

1x z 1

x+ = − , 3 3

3

1x z 3z

x+ = −

Reemplazando en la expresión anterior, se tiene 6 5 4 3 2x 15x 78x 155x 78x 15x 1+ + + + + + 3 3 2x (z 3z 15(z 2) 78z 155)= − + − + +

3 3 2x (z 15z 75z 125)= + + + 3 3x (z 5)= +3

3 1x x 5

x = + +

3x=2 3

3

(x 5x 1)

x

+ +

2 3(x 5x 1)= + +

∴ 6 5 4 3 2x 15x 78x 155x 78x 15x 1+ + + + + + 2 3(x 5x 1)= + +


37

82. Resuelva 3 72 6 5

4 2 3 327 x x 14x 15(x 2) x 8(x 3) 0

x 9(x 7x 8)(x 27) (x 27)− − − − + − ≤

+ + − − −

83. Dado el conjunto { }3 2A x / 2x x 1 1= ∈ − + + <ℝℝℝℝ Halle el complemento de A.

84. Resuelva 4 24 x

03 x

− ≥−

85. Resuelva 15 | x | | x | 7− ≤ −

86. Resolver 2x x 2 2

x 42 x 4

− − − ≥ −− +

Rpta. [ 4, 2] [2,3]− − ∪

87. Resolver 2

3x 6x xx 10

8 x

− − ≥ −−

Rpta. [7,8 >

88. Resolver 4 2

6 x x 2x 5

2 x 4

− − ≥ −− +

89. Resolver 2

24

2

x 3x 4x 2x 29

5 16 x

− − ≥ − −− −

90. Resolver 2 1

2x 1 x 1 x− − − > −

91. Resolver x 4 x 5 x 5+ + + > − −

92. Hallar el intervalo al que pertenece x de modo que 3(x 1)

3x 4 8 23

9

++ ⋅>

93. Hallar el mayor valor entero de x, para que x 1

2xx 1

64256

4

−

− ≥

94. Resuelva

12

32

x

1 x

0,2 1

(0,04)5

+

−<

95. Hallar el intervalo al que pertenece x, si 2 x x 2 52 2 2+− ≥

96. Resolver x 2 4 x(0.3) (0.3)− −<

97. Resolver x 1 2x x 3 2 /532 2 (4 8 )+ −>

98. Halle el menor número M, tal que 312 2

x 2M x ,

x 2

− ≤ ∀ ∈ +

99. Halle el menor valor de k, si 2

x 3k si x [-1,5]

x 7x 8

+ ≤ ∈+ +

36

60. Halle el conjunto solución de: 2 2x 3 2 x 1− + ≤ −

61. Exprese en intervalos el conjunto | x 2 |

A 2 / x <-3,3]| x 4 |

−= + ∈ +

62. Si x∈ <-5, -4>, calcular el valor de 3 3x 8 5x 24

2x

− − +

63. Resolver 3x 2 5− <

64. Encontrar la menor solución entera de 2x 23 x 4+ < +

65. Resolver 2x 4 x 1− < +

66. Resolver 2x 4x 5x 1+ < −

67. Resolver 4 34 16x 32x 2x 1− < −

68. Resolver 4 2x 3x 28 1− − + > −

69. Resolver 2x 3 x 2− > −

70. Resolver 22x 8 3x 1− ≥ −

71. Resuelva 2x 2x 15 x 1− − > +

72. Hallar la menor solución entera que satisface 2x 23 x 4+ > +

73. Indique el número de valores enteros positivos de 3 3x 7 1 x− + <

74. Resolver 3 4 3 2x x 2x x x 1+ − + > −

75. Resolver 5 5 4 2x x 2x 3 x− + + ≤

76. Resolver 3x 2 2x 3 2x 5 3x− + − − − >

77. Resolver 2 3

5 2

x 4 x 40

x 6x 5

− − ≤− +

78. Luego de resolver 2 3 4 5

64 5

(x 1) (x 2) (x 3) (x 4)0

x 1 9 x x

+ + + − >− −

Se obtuvo como conjunto solución <a, b>. Calcule a + b

79. Resuelva x 7 x 1 2+ − − ≥ . El número de soluciones enteras es

80. Si “a” es el mayor valor entero que satisface x 2 x+ >

El valor de a 15 a+ − es

81. Dados { }A x / 2x 3 2 x 0= ∈ − − − >ℝℝℝℝ , { }B x / x 2x 3 1= ∈ + <ℝℝℝℝ

Halle A∩B


5

2) Factorizar 5 4 3 26x 29x 27x 27x 29x 6− + + − + Solución Primero aplicamos el método de los divisores binómicos

5 4 3 26x 29x 27x 27x 29x 6− + + − + 4 3 2(x 1)(6x 35x 62x 35x 6)= + − + + − +

2 2 1 2(x 1) x (6x 35x 62 35x 6x )− −= + − + − + 2 2 2 1(x 1) x [6(x x ) 35(x x ) 62]− −= + + − + +

Sea 1z x x−= + ⇒ 2 2 2x x z 2−+ = − Reemplazando en la expresión anterior, se tiene

5 4 3 26x 29x 27x 27x 29x 6− + + − + 2 2(x 1) x [6(z 2) 35z 62]= + − − + 2 2(x 1) x [6z 35z 50]= + − + 2(x 1) x (2z 5)(3z 10)= + − −2 1 1(x 1) x (2(x x ) 5)(3(x x ) 10)− −= + + − + −

2 22 2x 5x 2 3x 10x 3

(x 1) xx x

− + − += +

2 2(x 1) (2x 5x 2)(3x 10x 3)= + − + − + (x 1)(2x 1)(x 2)(3x 1)(x 3)= + − − − −

1.6 MÉTODOS PARA RESOLVER ECUACIONES CUADRÁTICAS O

DE SEGUNDO GRADO 1.6.1 Método de factorización. Lo ilustraremos mediante un ejemplo. Ejemplo: 2x2 -7x + 6 = 0 Aplicando el método del aspa, se obtiene:

(2x - 3) (x - 2) = 0 ⇔ 2x - 3 = 0 ∨ x-2 = 0 ⇔ x =3/2 ∨ x = 2 ∴ S = {2, 3/2} 1.6.2 Método de completar cuadrados. Consiste en que la ecuación

2ax bx c 0+ + = se debe llevar a la forma 2(x d) e 0+ + =

2x2 -7x + 6 = 0

2x -3 = -3x

x -2 = -4x

-7x

6 29 27 27 29 6

1 6 35 62 35 6

6 35 62 35 6 0

− −− − − −

− −

6

Ejemplo: x2 -6x - 7 = 0 Paso 1: Escribir en la forma: (x2 - 6x + ) - 7 = 0 Paso 2: Sumar un tercer término dentro del paréntesis, el cual es la mitad del coeficiente de x elevado al cuadrado; asimismo restarlo para que no varíe la ecuación.

2 2

2 6 6

2 2x 6x 7 0 − + − =

−

⇔ (x-3)2 – 16 = 0 Paso 3: Resolver la ecuación aplicando diferencia de cuadrados ⇔ (x - 3 - 4) (x – 3 + 4) = 0 ⇔ x - 7 = 0 ∨ x + 1 = 0 ⇔ x = 7 ∨ x = -1 ∴ S = {7, -1}

Observación. En el tercer paso se podría usar:2a b a b= ⇒ = ±

Ejemplo. Resolver 2x 4x 13 0− + = Solución

⇔ 2(x 2) 9 0− + = ⇔ 2(x 2) 9− = − ⇔ x 2 9− = ± −

⇔ x 2 ( 1)9= ± − ⇔ x 2 3 1= ± − ⇔ x 2 3i= ± , i 1= −

∴ 1x 2 3i= + , 2x 2 3i= −

1.6.3 Mediante la fórmula. Si la ecuación es ax2 + bx + c = 0, sus soluciones son

2b b 4ac

x2a

− ± −=

Ejemplo. Resolver: 9x2 - 9x + 2 = 0 Solución a = 9, b = -9 y c = 2

1 29 81 72 12 2 9 81 72 6 1

x , x18 18 3 18 18 3

+ − − −= = = = = =

1.6.4 Observación. ∆ = b2 - 4ac se llama discriminante. i) Si ∆ > 0, se obtiene 2 raíces reales. ii) Si ∆ = 0, se obtiene 2 raíces reales iguales.

iii) Si ∆ < 0, se obtiene 2 raíces complejas. 1.7 DESIGUALDADES 1.7.1 Definición. Es la comparación de dos cantidades mediante uno de los

signos: < , >, ≤, ≥ 1.7.2 Si "a" es positivo, se denota por a > 0 Si "a" es negativo, se denota por a < 0


35

41. Resolver 22x x 1 x 1− + ≥ −

42. Resolver 2

2

x 16 8(x 4)0

x 3 9 x

− ++ ≤− −

43. Establezca el valor de verdad de cada una de las proposiciones: 235

2x 5I. Si 3 x ,13

x 6− < ⇒ ∈

−

23

II. Si |2x-1|<|x+3| x - ,4⇒ ∈

13

x-1III. Si 2 x <-3,-1> -1,

x+2> ⇒ ∈ ∪

44. Resuelva la ecuación: 2x 2 7 3x x 1− + − = −

45. Resuelva la ecuación 4 8x x 2x 1− = − +

46. Resuelva (x-3)2 - |x-3| - 2 = 0

47. Resolver 2 2x 2x 5 x 4x 1− − ≥ + +

48. Resolver 2 26x 9x 3 2x 9x 2− − < − −

49. Resolver 2 x 3 1− − <

50. Resolver x 4 x

x 5 x 1

−≤

− +

51. Resolver x 1 3

x1 x

− −≤

−

52. Resolver 2

1 2x x2

x 1

− −>

+

53. Resuelva 3x 1 2x

0x 1 3x

− +≥

+ −

54. Resuelva 2

3

x | x | 10

x 1

− ≥−

55. Resolver 2

x 1x 1

x0

2x 1 x

+ − −≤

− −

56. Resuelva |x| + |1- x| ≤ 1 57. Resolver x 3 2 x 5− + <

58. Resolver 2 x 1 2x 5 3 x− − − ≥ −

59. Resolver | x 3 | || x | 5 | | x | 9+ + + < +

34

23. Resolver 1 1

x 1 x 8<

+ +

24. Resolver 3x 2 4

x 1 x 2

− <+ −

25. En qué intervalo se cumple:1 1

2x 1 x 1

+ <− +

26. Resolver 1 2x x 2

13x 1 x 1

− +− ≤+ −

27. Resolver 2

2

x 2x 33

x 4x 3

− + > −− +

28. Resolver 4 2

2

x x 4x 4

x 3x 2x 3

− +≥++ −

29. Resolver 2 2

2 2

3x 7x 6 3x 16x 12

x x 6 x 4x 12

+ − + −>− − − −

30. Resolver 3 13 1

x 4(x 1) 4x 12≤ +

− +

31. Si la expresión 2

x 2 8

x 1 x 1 x 1+ +

− + − es una cantidad no negativa, calcule el

intervalo al cual pertenece “x”

32. Resolver 2 2

2 2a (x 1) b (x 3)b 2a

2 2

− −+ ≥ + , siendo 0< a <b

33. Si a < b, resolver ax b bx a

b a2 2

+ ++ < +

34. Encuentre el conjunto solución de: x b a

x a b

− <−

, si 0< a <b.

35. Encontrar el menor valor entero x, si 4 5x 29

27 7

+< <

36. Señale el mayor valor entero de x, si 4 5x

7 137

+− ≥ > −

37. Para que valores de x se verifica 3x 10

1 2x 7

+< <+

38. Resuelva 2

1 x 1

x x 2x 1< ≤

−+

39. Resolver | 3x 5 | 2x 7− ≤ +

40. Resolver | 2 3x | 4x 1− > −


7

1.8 LA RECTA NÚMERICA Es la correspondencia biunívoca entre el conjunto de los números reales y los puntos de una recta. Esto es, para cada número real existe un único punto y viceversa.

1.9 INTERVALOS Son subconjuntos del conjunto de los números reales. 1.9.1 INTERVALO CERRADO [a, b] = {x∈ℝ / a ≤ x ≤ b}, x∈[a, b] ⇔ a ≤ x ≤ b

1.9.2 INTERVALO ABIERTO < a, b > = {x∈ℝ / a< x <b}, x ∈ < a, b > ⇔ a < x = {x∈ℝ / a ≤ x <b}, x ∈ [a, b> ⇔ a ≤ x ={x∈ℝ / x ≥ a}, x ∈ [a, +∞> ⇔ x ≥ a

<a,+∞> ={x∈ℝ / x > a}, x ∈ <a,+∞> ⇔ x > a

<-∞, b] = {x∈ℝ / x ≤ b}, x ∈ <-∞, b] ⇔ x ≤ b

<-∞, b> = {x∈ℝ / x < b}, x ∈ <-∞, b> ⇔ x 0, ≥ 0, ≤ 0) Ejemplo. -3x + 2 ≥ 2x + 6 Solución ⇔ -3x – 2x ≥ 6 - 2 ⇔ -5x ≥ 4 ⇔ 5x ≤ - 4 ⇔ x ≤ - 4/5 ∴ S = <-∞, -4/5] 1.11 INECUACIONES CUADRÁTICAS Son de la forma: ax2 + bx +c > 0 (< 0, ≥ 0, ≤ 0) Veremos algunos teoremas: i) ab es positivo si, y sólo si a y b tiene el mismo signo

0 1 2 -1 -2

2 π -e

8

ii) ab es negativo si, y sólo si a y b tienen signos diferentes Simbólicamente:

1.11.1

a 0 b 0

ab 0

a 0 b 0

> ∧ >> ⇔ ∨ < ∧ <

a 0 b 0

ab 0

a 0 b 0

≥ ∧ ≥≥ ⇔ ∨ ≤ ∧ ≤

1.11.2

a 0 b 0

ab 0

a 0 b 0

< ∧ >< ⇔ ∨ > ∧ <

a 0 b 0

ab 0

a 0 b 0

≤ ∧ ≥≤ ⇔ ∨ ≥ ∧ ≤

1.11.3 a

0 ab 0b

> ⇔ > , a

0 ab 0b

< ⇔ <

1.11.4 a

0 ab 0 b 0b

≥ ⇔ ≥ ∧ ≠ , a

0 ab 0 b 0b

≤ ⇔ ≤ ∧ ≠

Ejemplos 1. Resolver: 4x2 + 4x – 3 ≤ 0 Solución 4x2 + 4x-3 = (2x-1) (2x+3) ⇔ (2x-1) (2x+3) ≤ 0

2x 1 0 2x 3 0

2x 1 0 2x 3 0

− ≥ ∧ + ≤⇔ ∨ − ≤ ∧ + ≥

⇔

312 2

312 2

x x

x x

≥ ∧ ≤ −

∨ ≤ ∧ ≥ −

3 12 2x⇔ ∅ ∨ − ≤ ≤

∴ 3 12 2S , = −

2. Resolver x2 -16x + 63 > 0 Solución x2 - 16x + 63 = (x-7)(x-9) ⇔ (x-7)(x-9) > 0

x 7 0 x 9 0

x 7 0 x 9 0

− > ∧ − >⇔ ∨ − < ∧ − <

x 7 x 9

x 7 x 9

> ∧ >⇔ ∨ < ∧ <

⇔ x ∈ <9,+ ∞ > ∨ x ∈ < - ∞,7>

∴ S = < -∞,7] ∪[9,+ ∞ > 1.11.5 OBSERVACION. Si ∆=b2-4ac<0 ∧ a>0 ⇒ ax2+bx+c > 0, ∀ x∈ℝ

1.12 ALGUNAS PROPIEDADES DE DESIGUALDADES 1.12.1. Si c > 0 ⇒ [ac < bc ⇒ a < b] 1.12.2. Si c < 0 ⇒ (ac < bc ⇔ a > b) 1.12.3. Si a > 0 ∧ b > 0 ⇒ (a 

2. Resolver 2x 4x 2 0+ + ≥

3. Resolver 2x 8x 20 0+ + >

4. Resolver 2x 10x 27 0+ + <

5. Resolver 3 2x x 9x 9+ ≥ +

6. Resolver 2(2x 1) x(x 1) 3 5x(x 3) 2(x 5)− + + + > − + −

7. Resolver 4 3 2x 8x 2x x 12+ ≤ + +

8. Resolver 2 2 2 2(x x 1)(x x 5) (x x 2) x+ − + + ≤ + + +

9. Resolver: 3 2x 4x 12 3x− ≥ −

10. Resolver 4 3 2x 2x 24 13x 14x+ + > +

11. Resolver 4 3 2x 2x 16x 2x 15− < − −

12. Resolver 5 2 4 3x 15x 4x 3x 5x 12+ + < + + 13. Resuelva x3+2x2-1<0

14. Dado el conjunto: { }5 4 3 2A x / x 2x 10x 4x 16x 0= ∈ − − + + >ℕℕℕℕ

Halle complemento de A. 15. Resolver (x 1)(2 x)(x 4)(5 x) 0− − + + ≤

16. Resolver 2 3 4 5(x 7) (x 5) (x 3) (x 4) 0+ − + − >

17. Resuelva 3 2 5 4(3x 1) (x 2) (x 5) (x 2) (4 x) 0+ − + − − ≤

18. Indicar un intervalo solución de 7 82010(x 1) (1 x)(3x 1)

02011

− − − ≤

19. Resolver 2 3

4 5

(3 x) (x 2)0

(4 x) (8 x)

− + ≥− −

20. El conjunto solución de 4 3 3 2

2

x (x 2) (2 x) (x 9)0

(2 x)

+ − − <−

tiene la forma: <a,b>∪<b,c>∪<c,d>. Halle a+b+c+d+3 2

21. Resolver 3x 8

2x 1

+ > −−

22. Resolver x 1

xx 3

− ≤+

32

Luego z 2=

9. Halle el argumento de 7 i i 7z (1 i) ( 2)− −= +

Solución 2(1 i) 2i 1 i 2i+ = ⇔ + =

Reemplazando, se tiene 7 i i 7

z 2i 2− −

=7 i

i−

=

Calcularemos las raíces cuadradas de i:

2i

i eπ

= 2 k

22

iki e w

π+ π

= =

4i

0w eπ

=

47 i

iz e

π − =

7 7

4 4 4 4i i

e e eπ π π π+= =

( )4

4

4 4

2 22 2

e cos(2 ) i sen(2 )

e ( i)

π

π

π π= π − + π −

= −

Luego, el argumento de z es θ = arctan(-1) = 3π/4

10. Hallar n en n n4 4 513(1 i) (1 i) 2+ + − =

Solución n 1 n 14 4 4 4 513((1 i) ) ((1 i) ) 2

+ ++ + − =

Pero (1+i)2 = 2i (1+i)4 = (2i)2 = -4 (1-i)2 = -2i (1-i)4 = (-2i)2 = -4 Reemplazando, resulta

n 1 n 14 4 513( 4) ( 4) 2+ +

− + − = n 1 n 14 4 513(4) (4) 2

+ ++ =

n 14 5132 (4) 2+

= n 14 256(4) 4

+⇔ =


9

1.12.4. Si a y b tienen el mismo signo y a 

1.12.5 Si a < b ∧ c < d ⇒ a + c < b + d 1.12.6 Si 0 < a < b ∧ 0 < c < d ⇒ ac < bd 1.12.7 Notación. a < b < c ≡ a < b ∧ b < c 1.13 MÉTODO PRÁCTICO PARA RESOLVER INECUACIONES

POLINÓMICAS Y FRACCIONARIAS Ilustraremos este método mediante un ejemplo. Supongamos que después de factorizar, tenemos (x - 3)(x + 2)(x - 1)(x - 4) > 0 Los pasos a seguir son los siguientes: PASO I. Hallar los puntos críticos que son los números en donde cada factor se hace cero. En nuestro caso son: 3, -2, 1, 4 PASO II. Ubicar estos números en la recta numérica.

PASO III. Escribir (+) y (-) alternadamente, empezando siempre por la derecha con el signo +.

Justificación

PASO IV. Escribir la solución. Si la inecuación es "mayor que cero", la solución es la unión de intervalos abiertos en donde hay signos (+). Si es "menor que cero", la solución es la unión de intervalos abiertos en donde

(x-4) -∞ -2 1 3 4

+ - - - -

(x-1) -∞ -2 1 3 4

+ + - + -

(x+2) -∞ -2 1 3 4

+ + + + -

(x-3) -∞ -2 1 3 4

+ + - - -

4 3 1 -2 +∞ - ∞

4 3 1 -2 +∞ - ∞

+ + - - +

(x-3)(x+2)(x-1)(x-4) -∞ -2 1 3 4

+ - - + +

10

hay signo (-). La solución será la unión de "intervalos cerrados" si la ecuación es "≤ 0" o "≥ 0". Nota. En cada factor, la variable "x" debe tener coeficiente de signo positivo. En nuestro ejemplo, la solución es S = <-∞, -2 > ∪ <1, 3> ∪ <4, +∞ > Ejemplo. Resolver (x2 - 8x + 15)(2 - x)(x2 + x + 2) ≥ 0 Solución

2 2 312 4x x 2 (x ) 0+ + = + + > ∀ x ∈ ℝ.

Por el teorema de cancelación la inecuación original es equivalente a: (x2 - 8x + 15)(2 - x) ≥ 0 ⇔ (x - 3) (x - 5) (2 - x) ≥0 ⇔ -(x - 2)(x - 3)(x - 5) ≥ 0 ⇔ (x - 2)(x - 3)(x - 5) ≤ 0 Ahora aplicamos el método práctico. Los puntos críticos son: 2, 3, 5. Lo ubicamos en la recta numérica:

Luego la solución es S = <-∞, 2] ∪ [3, 5]

Ejemplo. Resolver 2x 1 x 1

x 2 x 1

− +≤+ −

Solución

⇔ 2x 1 x 1

0x 2 x 1

− +− ≤+ −

⇔ (2x 1)(x 1) (x 1)(x 2)

0(x 2)(x 1)

− − − + + ≤+ −

⇔ 2x 6x 1

0(x 2)(x 1)

− − ≤+ −

⇔ (x 3 10)(x 3 10)

0(x 2)(x 1)

− − − + ≤+ −

S [ 2,3 10] [1,3 10] { 2,1} 2,3 10] 1,3 10]= − − ∪ + − − =< − − ∪ < +

1.14 INECUACIONES Y ECUACIONES CON RADICALES Para resolver una inecuación que contiene radicales de índice par:

64a, a , a , etc; primero debe resolverse la condición a ≥ 0, cuyo conjunto

solución se llama universo, y dentro del cual se resuelve la inecuación dada, aplicando en algunos casos razonamiento lógico o algunas propiedades. Ejemplos. Resolver

1) 2x 4 3x 2+ < +

5 3 2 +∞ - ∞

+ + - -

-∞ -2 +∞ 1 3 10− 3 10+

+ - + - +


31

(1-i)9 = 16(1-i) Reemplazando, se tiene [16(1+i)+16(1-i)] n = 210 25n = 210 n = 2

6. Si a y b están en ℝ, indicar la condición para que

a biz

b ai

+=+

se convierta en un número real. Solución

(a bi)(b ai)z

(b ai)(b ai)

+ −=+ −

2 2

2 2

2ab (b a )i

a b

+ −=+

2 2

2 2 2 2

2ab a bi

a b a b

−= ++ +

Para que z∈ℝ ⇒ 2 2

2 2

b a0

a b

− =+

⇔ a2 = b2

7. Calcular 3 2 2i 1− + − Solución Escribiremos -2 + 2i en su forma exponencial, r=81/2 θ=3π/4,

34

i2 2i 8 e

π− + =

3 2k4 i3 6

k32 2i 8 we

π+ π

− + = =

4i6

0w 8 eπ

= 2 22 i 1 i

2 2

= + = +

8. Hallar el módulo de

1 iz 1

1 i1

1 i1

1 i

+= ++− +−

−

Solución

1 iz 1

1 i1

2i1 i

+= ++− −−

1 i1

21

2i

+= +−

−

1 i1

11

i

+= ++

1 i1

i 1i

+= ++

= i + 1

30

2. Calcular 2 2

1 i 1 iR

1 i 1 i

+ − = + − +

Solución (1+i)2 = 2i (1-i)2 = -2i Efectuando R y reemplazando, resulta

2i 2iR 2

2i 2i

−= + = −−

3. Calcular

25 5

5 5

1 i 1 iM

1 i 1 i

+ −= + − +

Solución i2 = -1 i4 = 1 i5 = i Reemplazando, se obtiene

21 i 1 i

M1 i 1 i

+ − = + − +

22 2(1 i) (1 i)

2 2

+ −= +

22i 2i

02 2

− = + =

4. Efectuar A = i + i2 +i3 + … + i2007 Solución

2008i iA

1 i

−=−

Pero i2 = -1, luego

1004i ( 1)A

1 i

− −=−

i 1

11 i

−= = −−

5. Calcular n, si 9 9 n[(1 i) (1 i) ] 1024+ + − =

Solución (1+i)2 = 2i (1+i)4 = (2i)2 = -4 (1+i)8 = 16 (1+i)9 = 16(1+i) (1-i)2 = -2i (1-i)4 = (-2i)2 = -4 (1-i)8 = 16


11

Solución U: 2x + 4 ≥ 0 ⇔ U = [-2, +∞> ∧ i) Si 3x + 2 < 0 ⇒ la solución de la inecuación original es ∅. Luego, S1 = ∅

ii) Si 3x + 2 ≥ 0 ⇒ 2 22x 4 (3x 2)+ < +

⇓ ⇓ x ≥ -2/3 2x+4 < 9x2+12x+4 x∈[-2/3, +∞> x(9x+10) > 0 x∈<-∞, -10/9> ∪ <0, +∞> Luego, S2 = [-2/3, +∞> ∩ (<-∞, -10/9> ∪ <0, +∞>) S2 = <0, +∞> Por consiguiente, la solución final es S = U ∩ (S1 ∪ S2) ∴ S = <0, +∞>

2) 2x 3 x 1− ≥ − Solución U: 2x - 3 ≥ 0 ⇔ U = [3/2, +∞> ∧ i) Si x – 1 < 0 ⇒ la solución de la inecuación original es ℝ.

⇓ x < 1

Luego, S1 = <-∞, 1> ∩ ℝ = <-∞, 1>

ii) Si x – 1 ≥ 0 ⇒ 2 22x 3 (x 1)− ≥ −

⇓ ⇓ x ≥ 1 ⇓ 2x-3 ≥ x2-2x+1 x∈[1, +∞> (x-2)2 ≤ 0 x = 2 Luego, S2 = [1, +∞> ∩ {2} = {2} Por consiguiente, S = U ∩ (S1 ∪ S2) = [3/2, +∞> ∩ (<-∞, 1> ∪ {2}) ∴ S = {2}

3) 5x 1 x 3 4− + + = Solución U: 5x – 1 ≥ 0 ∧ x + 3 ≥ 0

12

⇔ U = [1/5, +∞> ∧ De la inecuación original, se tiene

5x 1 4 x 3− = − + ⇔ 2 25x 1 (4 x 3)− = − +

⇔ 5x 1 16 x 3 8 x 3− = + + − + ⇔ 4x 20 8 x 3− = − +

⇔ 5 x 2 x 3− = + ⇔ 25 + x2 – 10x = 4x + 12 ⇔ x2 -14x + 13 = 0 ⇔ (x-1)(x-13) = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = 13 Estas raíces están en el universo U, pero x = 13 no satisface la ecuación original, por consiguiente, el conjunto solución es el conjunto unitario: S = {1} Propiedades

1) 2

a 0

a b

b 0 a b

≥

< ⇔ ∧ > ∧ <

2) 2

a 0

a b

b 0 [b 0 a b ]

≥

> ⇔ ∧ ≤ ∨ > ∧ >

1.15 ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO 1.15.1. DEFINICIÓN

a, a 0

aa, a 0

≥= − <

Ejemplo. Hallar: |2|, |-2| Solución 2 > 0 ⇒ | 2 | = 2 -2 < 0 ⇒ |-2 | = - (-2) = 2 1.15.2 PROPIEDADES

1) | a | 0, a≥ ∀ ∈ℝ 2) 2 2| a | a=

3) 2a a= 4) | ab | | a | | b |=

5) a | a |

b | b |= 6) |a + b| ≤ |a| + |b| (desigualdad triangular)

7)

b 0

| a | b

[a b a b]

≥= ⇔ ∧ = ∨ = −

8)

b 0

| a | b

b a b

≥≤ ⇔ ∧− ≤ ≤

9) | a | b a b a b≥ ⇔ ≥ ∨ ≤ −


29

30. Si x 2;4∈< > , hallar el intervalo al cual pertenece:1

2x 3+

Solución Por definición de intervalo, se tiene

2 < x < 4 ⇔ 4 < 2x < 8 ⇔ 7 < 2x+3 < 11 1 1 1

11 2x 3 7⇔ < <

+

⇔ 1 1 1

,2x 3 11 7

∈+

31. Si x 2;7 / 6]∈< − . Halle el intervalo al cual pertenece x 1

x 3

++

Solución x 1 2

1x 3 x 3

+ = −+ +

7 76 6x 2, ] 2 x∈< − ⇔ − < ≤ 25

61 x 3⇔ < + ≤ 1 6

1x 3 25

⇔ > ≥+

1 61

x 3 25⇔ − < − ≤ −

+

2 122

x 3 25⇔ − < − ≤ −

+

2 131 1

x 3 25⇔ − < − ≤

+

x 1 131,

x 3 25

+ ⇔ ∈ − +

32. Si 2x-3∈<-7,12>. Hallar el intervalo al cual pertenece 3x+5. Solución 2x – 3 ∈ <-7, 12> ⇔ -7 < 2x – 3 <12 ⇔ -4 < 2x < 15 ⇔ -2 < x < 15/2 ⇔ -6 < 3x < 45/2 ⇔ -1 < 3x+5 < 55/2 ⇔ 3x+5 ∈ <-1, 55/2> EJERCICIOS RESUELTOS DE NÚMEROS COMPLEJOS 1. Calcular M = (1+i)4 + (1-i)4 Solución (1+i)2 = 2i (1+i)4 = (2i)2 = -4 (1-i)2 = -2i (1-i)4 = (-2i)2 = -4 Reemplazando en la expresión, se tiene M = -8

28

26. Hallar el intervalo en el que debe estar comprendido "a" para que la

inecuación 2(a 2)x (2a 3)x a 0− + − + > se cumpla ∀x∈ℝ.

Solución a – 2 > 0 ∧ (2a-3)2 – 4 (a - 2)(a) < 0 ⇔ a > 2 ∧ a > 9/4 ⇔ a > 9/4 a ∈ <9/4, +∞>

27. Si 3 x 1− < < y 2a x 8x 3 b< + − < . Señale a-b Solución x2 + 8x – 3 = (x + 4)2 – 19 Como -3 < x < 1 ⇔ -3 + 4 < x+ 4 < 1 + 4 ⇔ 1 < x+ 4 < 5 ⇔ 1 < (x+ 4)2 < 25 ⇔ -18 < (x+ 4)2 -19 < 6 ⇔ -18 < x2 + 8x – 3 < 6 Comparando esta expresión con a < x2 + 8x – 3 < b, se obtiene a = -18, b = 6 Luego, a – b = -24

28. Si 5 x 3− ≤ ≤ − y 2a x 3x 3 b≤ − + + ≤ . Señale a+b Solución

2 23 212 4x 3x 3 (x )− + + = − − +

Como -5 ≤ x ≤ -3 ⇔ 3 3 32 2 25 x 3− − ≤ − ≤ − −

13 3 92 2 2x⇔ − ≤ − ≤ − 9 3 13

2 2 2(x )⇔ ≤ − − ≤ 281 3 169

4 2 4(x )⇔ ≤ − ≤ 2169 3 814 2 4(x )⇔ − ≤ − − ≤ −

2148 3 60214 4 2 4(x )⇔ − ≤ − − ≤ −

⇔ -37 ≤ -x2 + 3x + 3≤ -15 Comparando esta expresión con a ≤ -x2 + 3x + 3 ≤ b, se obtiene a = -37, b = -15 Luego, a – b = -22

29. Cuántos enteros cumplen la relación ]14

2,2

2x 3∈

−

Solución Por definición de intervalo: 1 2

24 2x 3

< ≤−

⇔ 2x 3 1

42 2

−> ≥ ⇔ 8 > 2x – 3 ≥ 1

⇔ 11 > 2x ≥ 4 ⇔ 112 x 2> ≥

⇔ 1122 x≤ <

Los enteros que cumplen la relación son: 2, 3, 4, 5. Luego son 4 enteros.


13

Ejemplo 1. Resolver | x2 -1 | ≤ x + 1 Solución

2

x 1 0

(x 1) x 1 x 1

+ ≥⇔ ∧− + ≤ − ≤ +

⇔ 2 2

x 1

(x 1) x 1 x 1 x 1

≥ − ∧− + ≤ − − ≤ + ∧

x 1

x(x 1) 0 (x 2)(x 1) 0

≥ −

∧

+ ≥ ∧ − + ≤

⇔

x [ 1,

x , 1] [0, x [ 1, 2]

∈ − + ∞ >

⇔ ∧

∈< −∞ − ∪ + ∞ > ∧ ∈ −

∴ S = [0, 2] ∪ {-1} Ejemplo 2: Resolver |x - x2| = x+1 Solución

2 2

x 1 0

x x x 1 x x (x 1)

+ ≥⇔ ∧ − = + ∨ − = − +

2 2

x 1

x 1 0 x 2x 1 0

≥ −⇔ ∧ + = ∨ − − =

{ }

x [ 1,

x x 1 2,1 2

∈ − + ∞ >⇔ ∧

∈∅ ∨ ∈ + −

{ }1 2,1 2⇔ − +

1.16 ECUACIONES E INECUACIONES CON MÁXIMO ENTERO 1.16.1 Definición. El máximo entero de un número real está definido por

�x n n x n 1, n= ⇔ ≤ < + ∈ℤ

Ejemplos. Hallar � � �1.5 , 3 ,− π

Solución

�1.5 1= , pues 1 < 1.5 < 2

� 3π = , pues 3 < π < 4

�3 3− = − , pues -3 ≤ -3 < -2

1.16.2 Propiedades 1) �x n x n 1, n≤ ⇔ < + ∈ℤ

2) �x n x n, n≥ ⇔ ≥ ∈ℤ

14

3) �x n x n, n< ⇔ < ∈ℤ

4) �x n x n 1, n> ⇔ ≥ + ∈ℤ

Ejemplo. Resolver 2 13x 4− <� �

� �

Solución Según propiedad

2 21 13 3x 4 x 4− < −∈ ⇔ <� �

� � ℤ 13 133 3x⇔ − < <

1.17 NÚMEROS COMPLEJOS 1.17.1 Motivación. La ampliación de los números reales al conjunto de los

números complejos fue producto de resolver la ecuación: x2 + 1 = 0. Esta ecuación no tiene solución real, pero si raíces complejas.

2 2x 1 0 x 1

x 1

x i

+ = ⇔ = −

⇔ = ± −⇔ = ±

donde i 1= − 1.17.2 Definición. Un número complejo es de la forma:

z = (x, y) = x + iy ; x, y ∈ℝ

Ejemplos: 2 + 3i, 5 – i, 12 3i− , - 6i

1.17.3 Definición. Si z = x + iy, entonces z x iy= − se llama el conjugado de z.

1.17.4 Definición. El conjunto

ℂ = {z = x + iy / x, y ∈ℝ }

se llama conjunto de los números complejos. Similarmente satisface todos los axiomas del Sistema de los Números Reales, con respecto a la adición y multiplicación. En el sistema de los números complejos no existe relación de orden. 1.17.5 OBSERVACIÓN i 1= − i2 = -1 i3 = i2i = - i


27

su discriminante b2-4ac tiene que ser positivo, esto es b2-4ac>0. Luego aplicando a nuestro ejercicio tenemos (-7)2 -4(m+1) > 0 ⇔ m < 45/4 ≈ 11, 2 Luego, el mayor valor número entero m es 11.

23. Si las raíces de la ecuación 2x 2x m 3 0− + + = son complejas. Señale el menor valor entero de m

Solución Según la teoría, (-2)2 -4(1)(m+3) < 0 ⇔ m > -2 Luego, el menor valor número entero m es -1.

24. Hallar el mayor entero m tal que para todo x∈ℝ, se cumple 2m x 10x 32< − +

Solución ⇔ x2 -10x + 32 – m > 0

Para que se cumpla esta inecuación ∀x∈ℝ, el discriminante del polinomio x2

-10x + 32 – m tiene que ser negativo, esto es (-10)2 – 4(1)(32-m) < 0 ⇔ m < 7 Luego, el mayor valor número entero m es m = 6. OTRO MÉTODO De x2 -10x + 32 – m > 0 Completando cuadrados, se tiene (x - 5)2 + 7 – m > 0

Para que esto se cumpla ∀x∈ℝ, es que 7 – m > 0 ⇔ m < 7.

Luego, el mayor valor número entero m es m = 6.

25. Hallar el menor número entero M, tal que ∀x∈ℝ, se cumple: 2x 4x 10 M− + + <

Solución ⇔ x2 -4x + M – 10 > 0

Para que se cumpla esta inecuación ∀x∈ℝ, el discriminante del polinomio

x2 - 4x + M - 10 tiene que ser negativo, esto es (-4)2 -4(1)(M - 10) < 0 ⇔ M > 14 Luego, el menor valor número entero M es M = 15. OTRO MÉTODO De x2 -4x + M – 10 > 0 Completando cuadrados, se tiene (x-2)2 + M – 14 > 0

Para que esto se cumpla ∀x∈ℝ, es que M – 14 > 0 ⇔ m > 14.

Luego, el menor valor número entero M es M = 15.

26

20. Resolver 3

4

x 80.7

x 16

− > −−

� � � �

Solución

3

4

x 80

x 16

−⇔ ≥−

� � � �

3

4

x 80

x 16

−⇔ ≥−

2

2

(x 2)(x 2x 4)0

(x 2)(x 2)(x 4)

− + +⇔ ≥− + +

2

2

(x 2)((x 1) 3)0

(x 2)(x 2)(x 4)

− + +⇔ ≥− + +

x 2−⇔

( x 2−0

)(x 2)≥

+

10, x 2

x 2⇔ ≥ ≠

+

x 2 0, x 2⇔ + > ≠ , -2

x 2, x 2⇔ > − ≠ , -2

∴ S = <-2, +∞> - {2}

21. Resolver 2x 5 2

01

x 22

− −>

− −� � � �

Solución 12

12

| 2x 5 | 2 x 2

| 2x 5 | 2 x 2

− > ∧ − >⇔ ∨ − < ∧ − <

� � � �

� � � �

12

12

(2x 5 2 2x 5 2) x 3

2 2x 5 2 x 2

− > ∨ − < − ∧ − ≥

⇔ ∨− < − < ∧ − <

7 3 72 2 2

3 7 52 2 2

(x x ) x

x x

> ∨ < ∧ ≥

⇔ ∨ < < ∧ <

72

3 52 2

x

x

>

⇔ ∨ < <

∴ 3 5 72 2 2S , ,= < > ∪ < + ∞ >

22. Si las raíces de la ecuación 2(m 5)x 7x 1 0+ − + = son reales y diferentes,

indique el mayor valor entero m Solución Según la teoría, para que la ecuación ax2+bx+c = 0 tenga raíces reales diferentes,

-0.7 0 1 2 3 …


15

i4 = i2i2 = (-1)(-1) = 1 i5 = i i6 = -1 (1+i)2 = 1 + i2 + 2i = 1 - 1 + 2i ⇔ (1+i)2 = 2i 1.17.6 OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS Sean z1 = x1 + y1i y z2 = x2 + y2i 1) z1 + z2 = (x1 + x2) + (y1 + y2)i 2) z1 - z2 = (x1 - x2) +(y1 - y2)i 3) z1.z2 = (x1 + y1i)( x2 + y2i) = (x1 x2 - y1 y2) + (x1 y2 + x2 y1)i

4) 1 1 1 1 1 2 2

2 2 2 2 2 2 2

z x y i (x y i)(x y i)

z x y i (x y i)(x y i)

+ + −= =

+ + −

∴ 1 1 2 1 2 2 1 1 22 2 2 2

2 2 2 2 2

z x x y y x y x yi

z x y x y

+ −= + + +

Ejemplo. Si z = 2-3i, w = 3+2i, calcular: z - w, zw y z/w Solución z - w = 2 - 3i – (3+2i) = = 2 - 3i – 3 - 2i = -1 - 5i zw = (2-3i)( 3+2i) = 6 - 6i2 - 9i + 4i = 6 + 6 - 5i = 12 - 5i

2 3i (2 3i)( ) 13izw i

3 2i (3 2i

3 2i

3 2i)( ) 13

− − −−−

= = = = −+ +

1.17.7 FORMA POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO Sea z = x+iy

De la figura, según el teorema de Pitágoras, se tiene

2 2r x y= +

Por otro lado obtenemos: xr

yr

cos

sen

x r cos

y r sen

θ = ⇒

θ = ⇒

= θ

= θ

θ

x

y r

z = x+iy

16

y yxx arctant )an (θ =θ = ⇒

Al número 2 2r z x y= = + se llama módulo de z.

Al ángulo θ se llama argumento de z.

A la expresión z = r (cosθ + i senθ) (*) se llama la forma polar del número complejo z. 1.17.8 FORMA EXPONENCIAL DE UN NÚMERO COMPLEJO Se define:

ei θ � = cosθ + i senθ

Luego, si z = x+iy, entonces de (*), se tiene que se llama la forma exponencial del número complejo z Ejemplo. Hallar la forma exponencial del número complejo z = 3-3i Solución

r 9 9 18= + = 34arctan( 1) πθ = − =

34

i3 3i 18 e

π− =

1.17.9 FÓRMULA DE MOIVRE

( ) ni ine eθ θ=

o equivalentemente: (cosθ + i senθ) n = cos nθ + i sen nθ 1.17.10 POTENCIACION DE UN NÚMERO COMPLEJO Si z = x + iy = reiθ � , entonces zn = (reiθ )n = rn einθ �

Ejemplo. Calcular z = (3-3i)200 Solución Del ejemplo anterior, se tiene

34

i3 3i 18 e

π− =

34

200 200i200(3 3i) 18 eπ

− =

iz reθ=


25

Luego, la solución final es S = U ∩ (S1 ∩ S2) 12

4 6[ , −= >

18. Resolver 2

2

x 3x 4x 5

21 x 4

− − ≥ −− −

Solución 2

2 2

2

x 3x 4U : x 3x 4 0 x 4 0 0

21 x 4

− −− − ≥ ∧ − ≥ ∧ ≥− −

⇔ (x 1)(x 4) 0+ − ≥ ∧ (x 2)(x 2) 0− + ≥ ∧ 221 x 4 0− − >

⇔ (x 1)(x 4) 0+ − ≥ ∧ (x 2)(x 2) 0− + ≥ ∧ 2 22x 4 21− <

⇔ (x 1)(x 4) 0+ − ≥ ∧ (x 2)(x 2) 0− + ≥ ∧ (x 5)(x 5) 0− + <

Luego, aplicando el método de los puntos críticos, se tiene

( ) ( )U , 1] [4, , 2] [2, 5,5= < −∞ − ∪ +∞ > ∩ < −∞ − ∪ +∞ > ∩ < − >

U 5, 2] [4,5=< − − ∪ >

Para x ∈ U, 5 x 2 4 x 5− < ≤ − ∨ ≤ < ⇔ 10 x 5 7 1 x 5 0− < − ≤ − ∨ − ≤ − <

Luego, la expresión x – 5 es negativo, ∀ x∈U. Por lo tanto, la solución de la inecuación original es U 5, 2] [4,5=< − − ∪ >

19. Resolver 6 2x 4 x

1x 3 x 5

− ≤ −− − −

� � � �

Solución 6 2x 4 x

0x 3 x 5

−⇔ <− − −

U: 4 – x2 > 0 ⇔ U = <-2, 2> La ecuación anterior es equivalente a:

x0

x 3 x 5<

− − −

2 2

x( x 3 x 5 )0

(x 3) (x 5)

− + −⇔ <

− − −

x0

2(2x 8)⇔ <

−

x0

x 4⇔ <

−

x∈<0, 4> Luego, la solución es S = U ∩ <0, 4> = <-2, 2> ∩ <0, 4> = <0, 2>

0 4

+ - +

+∞ -∞

24

22

U : x 2 0 3 x 0

( x 2 3 x ) 2

− ≥ ∧ − ≥ ∧

− + − ≥

U [2, 3]=

∧

x 2 3 x 2 (x 2)(3 x) 2− + − + − − ≥ ⇔ 2 (x 2)(3 x) 1− − ≥

⇔ 4(-x2 + 5x - 6) ≥ 1 ⇔ 4x2 – 20x + 25 ≤ 0 ⇔ (2x - 5)2 ≤ 0 ⇔ 2x = 5 ⇔ x = 5/2 Luego, la solución es S = {5/2}∩ [2, 3] = {5/2}

16. Resolver 25 5x x 1− < − Solución U: 25 -5x ≥ 0 ∧ x – 1 ≥ 0 ⇔ U = [1, 5] ∧

2 225 5x x 1− < − ⇔ 25 – 5x < x – 1 ⇔ x > 13/3

Luego, S = U ∩ <13/3, +∞> = <13/3, 5]

17. Resolver 2x 1 3 x− < − Solución U: 2x – 1 ≥ 0 ⇔ U = [1/2, +∞> ∧ i) Si 3 – x < 0 ⇒ de la inecuación original, x ∈ ∅ S1 = ∅ ii) Si 3 – x ≥ 0 ⇒ de la inecuación original, se tiene

⇓ 2 22x 1 (3 x)− < −

x ≤ 3 ⇔ 2x -1 < x2 -6x +9

x ∈<-∞, 3] ⇔ (x 4 6)(x 4 6) 0− − − + >

x , 4 6 4 6,∈< −∞ − > ∪ < + + ∞ >

2S , 3] ( , 4 6 4 6, ) , 4 6=< −∞ ∩ < −∞ − > ∪ < + + ∞ > =< −∞ − >

4 6− 4 6+

+ - +

+∞ -∞


17

100

100

100

18 (cos(150 ) i sen(150 ))

18 (cos(0) i sen(0))

18

= π + π

= +

=

1.17.11 RAICES DE UN NÚMERO COMPLEJO Si z = x + iy = reiθ � , entonces sea

nw z= Las raíces son

n ni i( 2k ) nk

i( 2k )nw re re reθ θ+ π

θ+ π= = = ,k = 0, 1, 2,..., n -1

k = 0, 1, 2,..., n -1

Ejemplo. Calcular 3 3 3i− Solución Del ejemplo anterior, se tiene

34

i3 3i 18 e

π− =

3 2 k4

3i33

k3 3i 18 e w

π + π

− = =

4i6

0w 18 eπ

=

1211 i6

1w 18 eπ

=

1219 i6

2w 18 eπ

=

3 0w w=

EJERCICIOS RESUELTOS DE NÚMEROS REALES 1. De los siguientes enunciados, cuales son verdaderos

a) 2x 4x 8 0, x− + < ∀ ∈ℝ

b) 2x 4x 9 0, x− + ≥ ∀ ∈ℝ

c) 2x 4x 7 0, x− + > ∀ ∈ℝ

d) 2x 4x 4 0, x− + < ∀ ∈ℝ

e) 2x 4x 4 0, x+ + ≥ ∀ ∈ℝ

Solución

nk

i( 2k )nw r e

θ+ π=

18

a) Completando cuadrados, es equivalente a: (x-2)2 + 4 < 0 ∀ x∈ℝ.

Al interpretar este resultado, en palabras lo que simboliza es que la cantidad

(x-2)2 + 4, que es positiva ∀ x∈ℝ, afirma que es negativa. Lo cual es

absurdo. Por consiguiente el enunciado es falso.

b) Completando cuadrados, es equivalente a: (x-2)2 + 5 ≥ 0 ∀ x∈ℝ.


(x-2)2 + 5, que es positiva ∀ x∈ℝ, afirma que es positiva o cero. Lo cual es

cierto. Por consiguiente el enunciado es verdadero.

c) Completando cuadrados, es equivalente a: (x-2)2 + 3 > 0 ∀ x∈ℝ.


(x-2)2 + 4, que es positiva ∀ x∈ℝ, afirma que es positiva. Lo cual es cierto.

Por consiguiente el enunciado es verdadero.

d) Completando cuadrados, es equivalente a: (x-2)2 < 0 ∀ x∈ℝ.


(x-2)2 , que es positiva o cero ∀ x∈ℝ, afirma que es negativa. Lo cual es

absurdo. Por consiguiente el enunciado es falso.

e) Completando cuadrados, es equivalente a: (x-2)2 ≥ 0 ∀ x∈ℝ.


(x-2)2, que es positiva o cero ∀ x∈ℝ, afirma que es positiva o cero. Lo cual

es cierto. Por consiguiente el enunciado es verdadero.

2. Resolver 2x 2x 35 0− − + > Solución ⇔ x2 + 2x – 35 < 0 ⇔ (x-1)2 – 36 < 0 ⇔ (x – 1 - 6)(x - 1 + 6) < 0 ⇔ (x-7)(x+5) < 0

∴ S = <-5; 7>

3. Resolver 2 2(2x 5) (5x 2)+ ≥ +

Solución ⇔ (2x+5)2 – (5x+2)2 ≥ 0 ⇔ (2x+5-5x-2)( 2x+5+5x+2) ≥ 0 ⇔ (-3x+3)(7x+7) ≥ 0 ⇔ -21(x-1)(x+1) ≥ 0

-5 7

+ - +

+∞ -∞


23

(x 1)0

(x 2)(x 2)

−⇔ ≤− +

, x ≠ -1

x ∈ <-∞, -2> ∪ [1, 2> Luego, la solución es S = U ∩ (<-∞, -2> ∪ [1, 2>) = [-2, 2] ∩ (<-∞, -2> ∪ [1, 2>) ∴ S = [1, 2>

13. Resolver 3 3x x 1 1> − + Solución

3 3x 1 x 1⇔ − < − 333 3( x 1) x 1⇔ − < −

23 3x 3 x 3 x 1 x 1⇔ − + − > − 3 3x( x 1) 0⇔ − <

3 x 0,1∈< > 30 x 1⇔ < < 0 x 1⇔ < <

∴ S = <0, 1>

14. Halle el mayor valor entero de "x" para el cual: 2

2

x 12 0

9 x

− + >−

Solución Su conjunto solución es su universo:

2

2

x 1U : 0

9 x

− ≥−

2

2

x 10

x 9

−⇔ ≤−

(x 1)(x 1)0

(x 3)(x 3)

− +⇔ ≤− +

∴ S = <-3, -1] ∪ [1, 3> Luego, el mayor número entero x es 2.

15. Resolver x 2 3 x 2− + − ≥ Solución

-3 1 3

+ - + -

+∞ -∞ -1

+

0 1

+ - +

+∞ -∞

-2 1 2

+ - + -

+∞ -∞

22

(-2)+(-1)+0+1+2+3+4 = 7

11. Resolver | 2x 3 | | x 8 |

0| 2x 1| | 7x 8 |

+ − − ≥− − −

Solución Como |2x-1|+|7x-8| y |2x+3|+|x-8| son positivos, entonces, se tiene

( ) ( )( ) ( )

2x 3 x 8 2x 3 x 8 2x 3 x 80

2x 1 7x 82x 1 7x 8 2x 1 7x 8

+ − − + + − + + −≥ − + −− − − − + −

⇔ 2 2

2 2

(2x 3) (x 8)0

(2x 1) (7x 8)

+ − − ≥− − −

⇔ (x 11)(3x 5)

0( 5x 7)(9x 9)

+ − ≥− + −

⇔ (x 11)(3x 5)

0(5x 7)(9x 9)

+ − ≥− −−

⇔ (x 11)(3x 5)

0(5x 7)(9x 9)

+ − ≤− −

∴ S = [-11, 1> ∪ <7/5, 5/3]

12. Resolver 22 | x |(1 x )

0(| x 3 | x 1)(| x | 2)

− −≥

+ + − −

Solución U: 2 - |x| ≥ 0 ⇔ U = [-2, 2] ∧

Como en U, la expresión 2 | x |− es positiva, entonces por la propiedad de

cancelación, se tiene 2(1 x )

0(| x 3 | x 1)(| x | 2)

− ≥+ + − −

2

2

(x 1)(| x | 2)0

(| x 3 | x 1)(x 4)

− − +⇔ ≥+ + − −

2

2

(x 1)0

(| x 3 | x 1)(x 4)

− −⇔ ≥+ + − −

2

2

(x 1)0

(| x 3 | x 1)(x 4)

−⇔ ≤+ + − −

(x 1)(x 1)0

(| x 3 | x 1)(x 2)(x 2)

− +⇔ ≤+ + − − +

Para x∈U = [-2, 2] ⇔ -2 ≤ x ≤ 2 ⇔ 1 ≤ x+3 ≤ 5 ⇔ |x+3| = x+3. Reemplazando en la inecuación anterior, se tiene

(x 1)(x 1)

0(x 3 x 1)(x 2)(x 2)

− + ≤+ + − − +

(x 1)( x 1− +⇔ )

2( x 1+0

)(x 2)(x 2)≤

− +

-11 7/5 5/3

+ - + -

+∞ -∞ 1

+


19

⇔ (x-1)(x+1) ≤ 0 ∴ S = [-1, 1]

4. Resolver 2 2 2x 1 x 2 x 3

5 6 7

− + +> >

Solución 2 2 2 2x 1 x 2 x 2 x 3

5 6 6 7

− + + +> ∧ >

⇔ 2 2 2 2x 1 x 2 x 2 x 3

0 05 6 6 7

− + + +− > ∧ − >

⇔ 6x2 -6 -5x2 -10 > 0(30) ∧ 7x2 +14 -6x2 -18 > 0(42) ⇔ x2 -16 > 0 ∧ x2 -4 > 0 ⇔ (x-4)(x+4) > 0 ∧ (x-2)(x+2) > 0 ⇔ x ∈ <-∞, -4> ∪ <4, +∞> ∧ x ∈ <-∞, -2> ∪ <2, +∞> ∴ S = <-∞, -4> ∪ <4, +∞>

5. Resolver 3 3 1

x 4(x 1) 4x 12≤ +

− +

Solución

⇔ 3 1 3

04(x 1) 4(x 3) x

+ − ≥− +

12x(x 3) x(x 1) 12(x 1)(x 3)

04x(x 1)(x 3)

+ + − − − +⇔ ≥− +

2x 11x 360

4x(x 1)(x 3)

+ +⇔ ≥− +

2 2311

2 4(x )0

4x(x 1)(x 3)

+ +⇔ ≥

− +

Pero 2 23112 4(x )+ + es positivo ∀ x∈ℝ, entonces, la expresión anterior es

equivalente a:

2 23112 4

1 0

4x(x 1)(x 3) (x )≥

− + + +

10

4x(x 1)(x 3)⇔ ≥

− +

10(4)

x(x 1)(x 3)⇔ ≥

− +

10

x(x 1)(x 3)⇔ ≥

− +

x(x 1)(x 3) 0⇔ − + > , x ≠ 0, 1, -3

∴ S = <-3, 0> ∪ <1, +∞>

6. Resolver 2x 6 x 15

2x 1 x 5

− +≤+ −

-3 0 1

+ - + -

+∞ -∞

20

Solución 2x 6 x 15

02x 1 x 5

− +⇔ − ≤+ −

(2x 6)(x 5) (2x 1)(x 15)

0(2x 1)(x 5)

− − − + +⇔ ≤+ −

47x 150

(2x 1)(x 5)

− +⇔ ≤+ −

47x 150

(2x 1)(x 5)

−⇔ ≥+ −

∴ 151

2 47S , 5,= − + ∞∪

7. Resolver 4 3 2x 2x 24 13x 14x+ + > + Solución

4 3 2x 2x 13x 14x 24 0⇔ + − − + >

Para factorizar el primer miembro, aplicaremos el método de factorización de los divisores binómicos.

Luego, la expresión anterior es equivalente a: (x - 1)(x - 3)(x2 + 6x + 8) >0 ⇔ (x - 1)(x - 3)(x + 4)(x + 2) >0

∴ S = <-∞, -4>∪<-2, 1>∪<3, +∞> 8. Resolver | x 6 | 3 2x+ < −

Solución

3 2x 0

(3 2x) x 6 x 6 3 2x

− ≥⇔ ∧− − ≤ + ∧ + ≤ −

32x

x 9 x 1

≤

⇔ ∧ ≤ ∧ ≤ −

⇔ x ≤ -1

∴ S = <-∞, -1]

-4 1 3

+ - + -

+∞ -∞ -2

+

-1/2 15/47 5

+ - + -

+∞ -∞

1 2 -13 -14 24 1 3 -10 -24

1 3 -10 -24 0 3 18 24

1 6 8 0

1

3


21

9. Luego de resolver 2

2

5 | x 4x |0

| x 5 | x

− − ≤− +

se obtiene como solución: x∈ℝ-<a; b>. Indique A a b= +

Solución

Como la expresión |x-5|+x2 es positiva, ∀ x ∈ ℝ. Entonces 2

2

5 | x 4x |0

| x 5 | x

− − ≤− +

25 x 4x 0⇔ − − ≤

⇔ |x2 -4x| ≥ 5 ⇔ x2 -4x ≥ 5 ∨ x2 -4x ≤ -5 ⇔ x2 -4x - 5 ≥ 0 ∨ x2 -4x + 5 ≤ 0 ⇔ (x - 5)(x + 1) ≥ 0 ∨ (x - 1)2 + 1 ≤ 0

⇔ <-∞, -1] ∪ [5, +∞> ∨ x∈∅ ⇔ <-∞, -1] ∪ [5, +∞> ⇔ ℝ - <-1, 5>

Luego, A a b 4 2= + = =

10. Al resolver 2x 2x 5 | x 1| 35− + − >

Indique la suma de los valores enteros que no son solución. Solución i) Si x – 1 ≥ 0 ⇒ |x-1| = x-1

⇓ x ≥ 1 ⇓ x∈[1, ∞>

De la inecuación original: x2 -2x + 5(x-1) > 35 ⇔ x2 + 3x – 40 > 0 ⇔ (x+8)(x-5) >0 ⇔ x∈<-∞, -8> ∪ <5, +∞> S1 = (<-∞, -8> ∪ <5, +∞>) ∩ [1, ∞> = <5, +∞> ii) Si x – 1 < 0 ⇒ |x-1| = -(x-1)

⇓ x < 1 ⇓ x∈<-∞, 1>

De la inecuación original: x2 -2x - 5(x-1) > 35 ⇔ x2 - 7x – 30 > 0 ⇔ (x-10)(x+3) >0 ⇔ x∈<-∞, -3> ∪ <10, +∞> S2 = (<-∞, -3> ∪ <10, +∞>) ∩ <-∞, 1> = <-∞, -3> Luego, la solución completa es S = S1 ∪ S2 = <-∞, -3> ∪ <5, +∞> Por lo tanto, la suma de los números enteros que no son solución es

-1 5

+ - +

+∞ -∞

matemática i - números reales

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