P2.- Para simular el comportamiento de fluencia de un plstico se eligen los modelos de Maxwell y de Kelvin Voigt. Las constantes elstica y viscosa del modelo de Kelvin-Voigt son 2 Gpa y 100x109 N.s/m2 , respectivamente, y la constante viscosa del modelo de Maxwell es 200x109 N.s/m2 . Estimar un valor adecuado para la constante elstica del modelo de Maxwell, suponiendo que ambos modelos predicen la misma deformacin de fluencia despus de 50 segundos. R.- 15.15 Gpa.

============================================================================== SOLUCIN

MODELO DE MAXWELL

0 0( )M t tE

Deformacin de fluencia

MODELO DE KELVIN-VOIGT

0 0 '( ) 1 1

'

E tt

KV t e eE E

Etiempo de retardo

Deformacin de fluencia

MODELO DE MAXWELL

EM = ????????? M = 200x10

9 N.s/m2 0 0( )MM M

t tE

MODELO DE KELVIN-VOIGT

EKV = 2 GPa = 2x109 Pa

KV = 100x109 N.s/m2

=(KV/ EKV) =100/2=50

0 '( ) 1t

KVKV

t eE

Ha de cumplirse que: (50) (50)M KV

luego: 50

0 0 0 '50 1M M KV

eE E

9 9 99

1 9 1 9 1

200 10 2 10 400 1015.14 10

1 50 200 10 1 50 2 10 200 1 100

M KVM

M KV

E x x x xE x

e E x e x x x e

de donde:

150 1 1

M M KV

e

E E

EM = 15.14x109 Pa (= 15.14 Gpa)

P7.- Un material plstico puede representarse mediante el modelo de Zener con un valor del mdulo de relajacin de tensin no relajado igual a GU = 1 GPa y un valor relajado GR = 0.5 GPa . Sabiendo que la tensin en el material se reduce de 20 MPa a 15 MPa en un perodo de 500 segundos cuando se aplica una deformacin constante, determinar la constante viscosa del amortiguador. R.- = 1.44x1012 N.s/m2. =======================================================================================

SOLUCIN Relajacin de tensin (deformacin constante = 0)

1 02 1

1 2

( )tE

t E E eE E

0

( )( )

tG t

y como

12 1

1 2

( )tE

G t E E eE E

resulta

3

1 2E E

Tiempo de relajacin

MODELO DE ZENER

t=0, GU = E1 t= 1 2

1 2R

E EG

E E

00

( )( ) ( ) ( )

tG t t G t

12 1

1 2

( )tE

G t E E eE E

P21.- (a).- Un material polimerico se somete a ensayo de fluencia a una tensin constante de 8 MPa, resultando la historia de deformacin que se muestra en la figura. Probar que el comportamiento del material puede ser descrito usando el modelo del solido estandar lineal (Modelo de Zener) con las siguientes constantes: E1 = 1.6x10

9 N/m2, E2 = 4.0x109 N/m2, = 2.0x1011 N.s/m2

(b).- El material anterior se somete a una carga constante de 10 MPa durante 200 segundos, despus de lo cual la carga se elimina completamente. Calcular el tiempo requerido para que la deformacin en el material se reduzca al 50 % del valor que exista inmediatamente antes de la eliminacin de la carga.

0 0 '

1 2

( ) 1t

t eE E

Como:

3

2

'E

Fluencia (tensin constante, 0 ).

donde es el tiempo de retardo

0

( )( )

tJ t

resulta: '

1 2

1 1( ) 1

t

J t eE E

Para t = 0 J(0) = JU = 1/E1

Para t = J(0) = JR = (1/E1)+ (1/E2)

De la grfica se deduce: JU = (0)/Tensin= 0.5x10

-2/ 8x106 =0.0625x10-8 =6.25x10-10 m2/N

JR = ()/Tensin= 2.5x10-2/ 8x106 =0.3125x10-8 =3.125x10-9 m2/N

JU = 1/E1, E1= 1/JU =1.6x109 N/m2 JR = (1/E1)+ (1/E2), (1/E2) = JR - (1/E1) , E2 = 1.6x10

8 N/m2

t=700 s

Para determinar la constante del amortiguador, , se toma un punto intermedio de la curva, por ejemplo t = 700 s, para el cual la deformacin es del 2 %, entonces:

J(700) = (700)/Tensin= 2x10-2/ 8x106 =0.25x10-8 =2.5x10-9 m2/N

Tensin constante = 8 MPa,

'1 2

1 1( ) 1

t

J t eE E

De la expresin de la complianza de fluencia:

se deduce que:

700 7002' '

21 2 1

1 1(700) 1 , 1 (700)

EJ e e E J

E E E

7002'

21

1 (700) 1 1 0.25 0.25E

e E JE

Sustituyendo valores y operando

700' 505

(0.25)s

Ln

8 11 233 2

2

' , ' 505 4.0 10 2.02 10 . /E x x x N s mE

y como

Justamente antes de eliminar la carga (t = 200 s) se tiene un deformacin dada por: 6

0 0( ) ( ) , (200) (200) 10 10 (200)t J t J x J

'

1 2

1 1( ) 1

t

J t eE E

E1=1.6x109 N/m2

E2=4.0x106 N/m2

= 505 s

2009505

1 2

1 1(200) 1 1.45 10J e x

E E

6 9(200) 10 10 1.45 10 0.0145x x x

Por tanto,

(200)0.00725 (0.725%)

2

Al eliminar la carga el muelle se recupera de forma instantnea: i=0/E1=10

7/1.6x109=0.00625 y la deformacin que queda en ese instante (t=200) es: c=(200)-0/E1=0.0145-0.00625= = 0.00825 (>0.00725)

(b).- El material anterior se somete a una carga constante de 10 MPa durante 200 segundos, despus de lo cual la carga se elimina completamente. Calcular el tiempo requerido para que la deformacin en el material se reduzca al 50 % del valor que exista inmediatamente antes de la eliminacin de la carga.

(200)0.00725 (0.725%)

2

Recuperacin de fluencia.

'( )t

ct e

'(200) 0.007252

t

ce

c = 0.00825

' 0.00725 0.8790.00825

' (0.879) 505 (0.879) 65.1

t

e

t Ln Ln s

P15 .- (a).-Un material polimrico se puede representar mediante el modelo del slido lineal estandar o de Zener con una complianza de fluencia no relajada JU = 2x10

-9 m2/N (Instante t = 0), una complianza de fluencia relajada JR = 3x10

-9 m2/N ( Instante t = ) y un tiempo de retardo = 1000 s. Determinar las constantes elsticas y la constante viscosa del amortiguador del modelo que representa el comportamiento del polmero. (b).- Con el polmero del apartado anterior se fabrica una barra de longitud L = 100 mm y anchura T = 10 mm, la cual se somete al historial de carga de la figura . Si el espesor de la barra es de 5 mm, determinar su longitud despus de un periodo de tiempo de 1500 s. Si la extensin mxima permitida es de 6 mm, determinar el espesor necesario que ha de tener la barra, para el mismo historial de carga y el mismo periodo de tiempo.

P10/ P22 (JUNIO 2006)- Un material plstico se somete al historial de carga que se muestra en la figura .

Se supone que el comportamiento del material se puede representar mediante el modelo de Maxwell con

los siguientes parmetros : constante elstica 20 GN/m2 y constante viscosa del amortiguador = 1000 GN.s/m2. Determinar la deformacin del material en los siguientes instantes : (a).- t1 = 150 segundos ,

(b).- t2 = 250 segundos , (c).- t3 = 350 segundos y (d).- t4 = 450 segundos .

Representar grficamente la respuesta de la deformacin.

.

E = 20 GN/m2

= 1000 GN.s/m2

P16 (JUNIO 2003).- (a).-Un material polimrico se puede representar mediante el modelo del slido lineal estandar o de Zener con las constantes elsticas E1 = 3 GPa , E2 = 1 GPa y una

constante viscosa del amortiguador =2x1011 N.s/m2 . El material se carga linealmente desde 0 hasta 30 Mpa en un perodo de tiempo de 50 segundos, momento en el cual la carga se reduce

de forma instantnea a un valor de 20 MPa, que se mantiene constante. Determinar el valor de la deformacin 75 segundos despus de la aplicacin inicial de la rampa de carga?. R.- 1.21 %