1.

Fraktal ve Fraktal Geometri nedir?

lk matematiksel fraktal kavram 1861 de kefedildi. Karl Weierstrass srekli fakat hibir noktada diferensiyellenebilir olmayan , yani ke noktalarndan oluan bir eri zerindeki deimeleri aratrken, hibir noktada deime orannn bulunamayaca kanaati ile sarslmtr. Fraktal kelimesini Weierstrass bu cins eriler iin ilk defa kullanmtr. Matematik anlamda ilk allan fraktal, Cantor Cmlesidir. Cantor (1845-1918) Halle niversitesi'ndeyken matematiin temel konularndan olan ve gnmzde Cmle Teorisi olarak adlandrlan alan kuran bir Alman matematikidir. Cantor cmlesi ile ilgili ilk alma 1883 de baslm [G. Cantor, ber Unendliche, lineare punktmannigfaltigkeiten V, Mathematische Annalen 21 (1883) 545-591] ve baz zel cmleler iin rnek olarak gsterilmitir. Cantor cmlesi hibir yerde youn olmayan, mkemmel (perfect) alt cmlelere bir rnektir. Fraktallarn tarihi geliiminde Cantor, Sierpinski, Von Koch, Peano gibi matematikiler tarafndan oluturulan fraktallar matematiksel canavarlar olarak adlandrlr. Matematiksel canavarlarn bahesinde veya ilk fraktallarn ortaya kt zamanlarda Cantor cmlesi grn asndan dierlerinden daha az gsterili olmasna ve dierlerine gre doal yoruma daha uzak olmasna ramen olduka nemlidir. Cantor cmlesinin, matematiin pek ok alannda zelikle Kaotik Dinamik Sistemlerde nemli rol oynad ve pek ok fraktallar (Julia cmleleri gibi) iin de gerekli bir model olduu grlmektedir. Etrafmzda, parlak, tuhaf, gzel ekilli cisimler grrz. Bunlara Fraktal denir. Gerekten bunlar nedir? nternette fraktallar hakknda ok fazla bilgi vardr, fakat bu bilgilerin byk ksm ya gzel resimler veya yksek seviyeli matematiksel kavramlarla ilgilidir. Dolaysyla kolayca anlalr bir ifade ile diyebiliriz ki fraktallar tuhaf resimleri olan cisimler, matematiksel nesnelerdir. Okulda karlatmz matematiin ou eski bilgilerdir. rnein, geometride karlatmz emberler, drtgenler ve genler M.. 300 nc yllarnda klid tarafndan ortaya konulmutur. Buna ramen Fraktal Geometri daha ok yenidir. Fraktallar zerinde matematikiler tarafndan aratrmalar son 25 yldr balam bulunmaktadr. VON KOCH ERS Burada bir doru paras ile balyoruz. Doru parasn eit paraya ayryoruz ve ortadakini alyoruz. Onu bir ekenar gen eklinde da doru tamamlyoruz. Bylece drt e doru parasndan oluan bir krk izgi elde etmi oluyoruz. Buna motif veya oluturucu denir. Eer nc doru paras 1 uzunluunda seilirse, motif her biri uzunluklu drt paradan oluur. Dolaysyla motif'in toplam uzunluu olur. Benzer biimde drt paradan her birini nc kabul ederek ayn ilemle birer motif haline getiririz. Bylece 2. admdaki ekli elde ederiz. Bu son halde e doru paras yer alr. Bu erinin total uzunluu olur. Benzer ekilde bir adm daha devam edilirse 3. admda doru paras elde edilir. Her birinin uzunluu olan e

doru parasndan oluan bir eridir. Bu erinin toplam uzunluu olur. Bu fraktaln boyutu : Boyutu D ile gsterirsek ile hesaplanr. Burada N fraktaln oluumundaki para saysn ve a da her parann uzunluunu gstermektedir. 2. ekle gre dr. 1.ekle gre olduundan olur. 3.ekle gre ve olduundan olur. 4. ekle gre ve olduundan olur. O halde (ayn) veya dr. Limit halde, nc doru parasnn btn orta paralar hzl bir ekilde uzaklaacak ve geriye tam bir Cantor Cmlesi kalacak. O halde Koch Erisi de kendine benzerdir. Her bir kk para btnn bir minyatr kopyas olacaktr. Bu nedenle Koch Erisi de bir Cantor Cmlesi olacaktr. KOCH KARTANES genlere ayrlarak bir ****s biiminde izilmi bir sayfa kat alalm. I. Adm: Geni bir ekenar gen izelim. II. Adm: Alt adet sivri kesi olan bir yldz elde etmek iin: genin bir kenarn eit paraya ayralm ve ortadaki paray alalm. 2. Bota kalan iki uca aldmz bu paradan birer tane balayalm ve ularn genin d tarafnda birletirelim. 3. Bu ii ekenar genin dier iki kenar zerinde de yapalm. Bylece ekenar genden alt keli bir yldz elde etmi oluruz. Ortaya kan bu yldzn sahip olduu alt ekenar genin her birinde II. Adm tekrarlanarak ikinci tekrardaki ekli elde ederiz. Bu ie devam edersek evre uzunluu sonsuz olan bir grafik elde ederiz . u halde KOCH Kartanesinin ilgin karakteristii onun evresidir. Normalde, bir geometrik eklin evresini bytrseniz alann da bytm olursunuz. Eer evresi ok uzun olan bir kare alrsanz alan da ok byk olan bir kare alm olursunuz. imdi burada ne olduuna bakalm: Yaptmz i u idi: Bir ekenar genin bir kenarn eit paraya bldk ve ortadakini kardk. kardmz para ile eit uzunluklu iki paray bir V harfi gibi birletirerek genin kenarnda bo kalan iki ucu baladk. Bu ii genin her kenar iin de yaptk. Ve bylece devam ettik.

Bu fraktaln boyutu: 2.ekle gre ve olduundan boyut formlnn kullanrsak dr. TERS KARTANES Bu yeni fraktal Koch Kartanesinin ilgin bir deiimi olacak. Byk bir ekenar genle balayalm. Eer genlerle ****slenmi bir kat kullanrsanz geninizin kenarlarn 9 ****s uzunluunda (veya 3 n baka katlar olabilir) sein. I. Adm: genin bir kenarn paraya blelim ve ortadaki paray alalm. Bu paralardan bir tane daha bularak V eklinde ekleyip kardmz yeni genin iine doru dolduralm. genin geri kalan iki kenarna da ayn ilemi uygulayalm. Bylece bir frldak ekli elde etmi oluruz. II. Adm: Bu metodu frldakta yer alan yeni genlerle tekrarlayalm. Bylece yukarda ekiller dizisini elde ederiz. Bu fraktaln Boyutu: Koch Kartanesinin ki ile ayndr. SERPNSK GEN Polonyal matematiki VACLAV SERPNSK (1882-1969) 1916 ylnda, daha sonra kendi adyla anlan ve Sierpinski geni veya Sierpinski apkas (Sierpinski Gasket) veya Sierpinski Kalburu (Sierpinski Sieve) da denen bir fraktal tantt. Bu eklin 12.yzylda bir kilisede ssleme olarak izili olduu da biliniyor. rnein, gen gibi allm bir geometrik ekil alalm ve zerinde daha kark bir yeni ekil elde edecek biimde belirli bir ilem yapalm. Bu ilemi, aynen uygulamaya devam ettike daha kark bir ekil elde ederiz. Bu ilemi tekrar tekrar uygulamaya devam edelim. O zaman, yukarda ekli grnen ve Sierpinski geni denen mehur fraktal elde edilir. I. Adm : Kenar uzunluu 2 birim olan bir ekenar gen izelim. Her kenarnn orta noktalarn iaretleyelim ve bu orta noktalar birletirelim. Bylece drt tane yeni ekenar gen elde etmi oluruz. Merkezde kalan geni karalayalm ve sonra da merkezdekini kesip atalm. II. Adm: Kenar uzunluu 4 birim olan bir ekenar gen izelim. Kenarlarnn orta noktalarn birletirelim. Elde edilen drt yeni ekenar genden merkezdekini birinci admda olduu gibi karalayalm. Sonra da kelerde yer alan ve karalanmam olan adet genin her birini ayn ileme tabi tutalm.

III. Adm : Kenar uzunluu 8 birim olan bir ekenar gen izelim. Yukardaki ilemleri aynen tekrar ederek Sierpinski genini tamamlayalm. Benzer ekilde boyama iini de yapalm. Boyanm olanlar kesip karalm. Bylece 1 adet byk, 3 adet ortanca ve 9 adet kk ve boyanm ekenar gene sahip olacaz. IV. Adm: Bir duvar kadndan bu ii yapalm. Yukardaki admlar srasyla takip ederek Sierpinski genini tamamlayalm. Sierpinski geni pr matematik alannda bir zihinsel rndr. Benzer ekilleri deniz kabuunda ve hcre oalmalarnda da grebiliriz. Bu fraktaln Boyutu: ve olduundan boyut formlne gre dr. PASCAL GEN VE SERPNSK GEN ARASINDAK LK Blaise Pascal'n saylara ait gen modelini hatrlaynz. Bu geni yukardaki ekilde gryorsunuz. Bu gene Pascal geni denir. Pascal genindeki kk genlerden iinde ift say bulunanlar boyayalm. Ortaya kan Pascal genini yukardaki genle karlatralm. Bylece Pascal geninden Sierpinski genini elde etmi oluruz. SERPNSK HALISI I. Adm: Kenar uzunluu 9 birim olan bir kare alalm. Kenarlarnn her birini er eit paraya ayralm. Karlkl olarak bu ayrm noktalarn birletirelim. II. Adm: Oluan dokuz e kareden merkezdekini kesip karalm. III. Adm: Geri kalan sekiz e karenin her biri iin ayn ii tekrarlayalm. IV. Adm: Elde edilen ekle ayn metodu tekrar uygulayalm. Sonuta elde edilen ekil ou zaman Cantor cmlesinin bir genellemesi olarak grlr. Bu fraktaln boyutu: I. Adma gre ve olduundan dr. CANTOR ORTA LLERNN CMLES Cantor Orta llerinin Cmlesi, birim doru parasnn eit paraya blnmesi ve ortadaki te bir parasnn atlmas, daha sonra geriye kalan iki parann da ayn ileme tabi tutulup ortalarndaki te birlik paralarnn atlmas ve tekrar geriye kalan drt parann her biri iin ayn ilemden sonra ortadaki paralarnn atlmas ve bu ileme devam edilmesiyle oluturulur. Cantor cmlesinin kutu-sayma boyutunu hesaplamak iin, git gide klen kutularla Cantor cmlesini rteriz. Bu fraktaln boyutu: ( nk ilk ekle gre ve dr.)

Dier bir kutu sayma hesabna gre : ve genel olarak bulunur. Bu fraktaln kutu-sayma boyutunu hesaplamak olduka kolaydr. PSAGOR AACI Bitki fraktallarnn oluumuna ait bir yol Pisagor Aac yoludur, bu yola fraktal glgelik de denir. Bu yol, dorularn ayrlmasndan ibarettir, dallanmaya ok benzerdir. Dorular yerine kareler ve genler kullanlarak aadaki ekle benzer bir oluum ortaya kar. Bu cins bitki fraktallarnn en nemli zelii u noktalarnn irtibatl oluudur. Dallarn u noktalar bir yzey zerinde birleirler, tpk kara lahanada olduu gibi. Bir dier yol da tekrarlayan fonksiyon fraktallarnda olduu gibi, bir erelti otunu oluturan yoldur. KESRSEL BOYUTUN DOUU Bir noktann boyut'u yoktur, uzunluu, genilii hatta ykseklii de yoktur. Aadaki ekli ne kadar byk izilirse izilsin bir nokta olduu bilinirse noktann ne olduu malum olduuna gre bu ekil bir nokta gsterir ve boyutu P'dir. Bir dorunun boyutu 1 dir, bu boyut onun uzunluuna karlk gelir. Dorunun da genilii ve ykseklii yoktur. Fakat uzunluu sonsuzdur. Genilii olan fakat boyu sonsuz olan bir doru nasl izilir? Bu renme iinin sonucu olarak bilinen bir eydir. Bir dzlem iki boyutludur, bunlar uzunluk ve geniliktir, fakat derinlik (ya da ykseklik) yoktur. Dzlemi, masann st yz olarak dnrseniz uzunluunu ve geniliini snrlamayz. Uzay, yle byk fakat bo bir kutudur ki bu kutunun boyu, eni ve derinlii (ykseklii) her ynde istenildii kadar geniletilebilir. Dolaysyla uzay 3 boyutludur. Elbette uzay aadaki kutu yerine bir altgen prizma ile de temsil edebilirdik. Fraktallar, kesirsel boyutlara sahip olabilirler. rnein fraktal 1.6 veya 2.4 boyutlu olabilir. Bunun neden ve nasl byle olabileceini grelim. Sierpinski genini ele alalm. Bunun ilk fraktal rnei olduunu biliyoruz. Bu, gerekten 1 in yaklamlarndan sadece bir tanesidir. imdiye kadar verdiimiz rneklerde de grdmz gibi fraktallar

sonsuz admlardan oluan bir algoritmann sonucu olarak ortaya karlar. Aadaki ekilde bu admlardan sadece tanesini gryorsunuz. Dolaysyla Sierpinski geni denen fraktal iinde giderek klen sonsuz oklukta kk genler vardr. Fraktallarn kesirli boyutlara nasl sahip olduklarn grebilmek iin nce genel olarak boyut demekle neyi kastettiimizi grelim. Bir doru paras ve onun uzunluunun iki katndaki dier bir doru parasndan oluan bir kendine benzer ekli ele alalm. Uzunluu iki misli almakla esas doru parasnn iki kopyasn alm olduk. Dier bir kendine benzer ekil olarak tipinde bir kare ile onun uzunluunun ve geniliinin 2 er katlarndan oluan dier bir kareyi ele alalm. Bylece esas karenin drt kopyasn elde etmi olduk. Demek oluyor ki kenarlar katlama ii bize drt kopya verdi. imdi de tipinde bir kp alalm. Uzunluunu, geniliini ve yksekliini katlayalm. Bylece esas kpn sekiz kopyasn elde etmi oluruz. Demek ki bu defa katlama ii bize sekiz kopya vermi oldu. Bu bilgileri bir tabloda toplayalm. Burada bir model gryoruz. O da udur, boyut s'dr. Demek ki kopya saysn biliyor isek onu 2 nin stel kuvveti olarak ifade ederiz ve bu s bize boyut olarak gelmi olur. ekil Boyut Kopya Says Doru Paras 1 Kare 2 Kp 3

Yukardaki tabloya bir satr daha ekleyelim. ekil Boyut Kopya Says Doru Paras 1 Kare 2

Kp 3 Herhangi bir kendine benzer ekil

imdi artk, Sierpinski geni denen fraktal'n boyutunu verebiliriz. Kenar uzunluklar 1 er cm olan bir Sierpinski geni ile balayalm. Kenarlarn uzunluklarn katlayalm. Atlan genler Sierpinski geninin bir paras olmadklarndan (onlar birer deliktirler) bu katlama ii bize kopya verecektir. O halde yazabiliriz, burada boyuttur. O halde buradan olur. ve olduuna gre deki deeri 1 ile 2 arasndaki bir deerdir. Bunu da tablomuza ekleyelim. ekil Boyut Kopya Says Doru Paras 1 Sierpinski geni

Sierpinski Hals

Kare 2 Kp 3 Herhangi bir kendine benzer ekil

O halde Sierpinski geninin boyutu 1 ile 2 arasndaki bir saydr. Hesap makinanz yardm ile eitliinde ye 1.1 verirseniz, 3 yerine 2.143547 ve 3 e daha yakn bir deer iin ye 1.2 verirseniz, 3 yerine 2.2974 elde edersiniz. Bu ikincisi 3 e daha yakndr. Bu ekilde devam ederseniz ye daha uygun bir deer bulursunuz. 3 e yakn deeri veren says Sierpinski geni denen fraktal'n boyutudur, bu da dir. Bu da bize

fraktallarn boyutlarnn nasl birer kesirli saylar, kesirli boyut olabileceklerini gstermektedir. KOMPLEKS TEKRARLAMA(Dinamik sistem) Kompleks saylar kullanarak Mandelbrot Cmlesini ve Julia Cmlelerini oluturmak mmkndr. Bunun iin ve kompleks saylar olmak zerednm esas alnr. kompleks saysndan baka bir kompleks says daha alalm ve kompleks saylarnn dizisini olarak yazalm. Bu yolla Mandelbrot Cmlesi ve Julia Cmleleri oluturulabilir. Julia tipindeki cmleler ile Mandelbrot Cmlesi birbirinden ayrt edilebilir. Bu metodu ksaca aklayalm. lk olarak kompleks saylar kullanmadan formlasyon hazrlanr. kompleks says ve reel saylarnn bir ikilisi olarak dnlr ve kompleks says da reel saylarn belli bir iklisi olarak alnr. O zaman dnm, olduundan dinamik sistemini verir. JULA TPNDEN CMLELERN AYRILMASI Her bir sabit kompleks says iin ile gsterilen bir Julia cmlesi vardr. Eer ile gsterilen doldurulmu Julia cmlesini tanmlarsak bunu tanmak kolaydr. Dzlemin her bir noktas iingenel ifadesi yardm ile dizisi elde edilir. Eer dizi sonsuza gitmiyorsa dir, eer dizi sonsuza gidiyorsa dir. rneklere gemeden nce nin tanmnn bilgisayar grnmn verelim. 1. Matematikte her ne kadar dzlemin btn noktalarn ele alabiliyorsak da pratikte kompleks dzlemin sadece bir parasn dnrz ve bu dzlem parasnn iinde larn sonlu bir kolleksiyonunu alrz. Resimlerin bykl nedeniyle her bir kk blgenin merkezini olarak alrz. rnein ebadndaki bir dzlem paras iin adet kutucuk gerekir. 2. Bir dizi sonsuza nasl gider? rnein dizideki bir elemannn merkezden uzakl 2 den byk oluyorsa dizinin dier elemanlarnn orijinden uzaklklar sonsuz olarak alnr. Bu demektir ki dizi sonsuza gidiyor. O zaman merkezden uzaklklar 2 ve 2 den kk kalacak ekildeki diziler sonsuza gitmiyor. 3. Kabul edelim ki lerin hepsinin orijinden uzakl 2 olsun. Bu durumda dizinin sonsuza gitmeyeceini syleyemeyiz, nk belki n orijine uzakl 2 den byk olabilir. Bu durumda bir seim yapmalyz. Tekrarlamann bir maksimum saysn seeriz. Eer lerin hepsi orijinden 2 uzaklnda iseler o zaman dizinin sonsuza gitmediini syleyebiliriz ve dolaysyla dir deriz. Bylece baz noktalarn ye ait olduklarn kabul etmi oluruz. Bu kabulde en az hata yapm olduumuz en byk says nemlidir. Dier yandan bu en byk says da bilgisayarn daha ok zamana ihtiyacn gerektirir. Bu algoritma hangi kk kutucuklarn ye ait merkezlere sahip olduunu belirtir. Bu kutucuklar siyah ile boyarz. Eer bir baka ile balayan dizi sonsuza gidiyorsa ' merkez kabul eden kutucuu baka bir renk ile boyarz. Bylece orijinden uzakl 2 den byk olan ka deneme

yaptmz da gstermi oluruz. rnein, ilk deneme-de eer bir miktar tekrarla-may krmz ile boyad isek, sonra ikinci deneme-dekileri de portakal rengin-de boyayalm,..., bylece devam edelim. Bu durumda aadaki renkli grnt ortaya kar. Bunu elde edebilmek iin bilgisayar yukardaki dinamik sistemi milyonlarca defa uygulamtr

1. Kendine Benzer Kmeler

ncelikle R2 deki kmelerle ilgili terminolojiyi tanmamz gerekmektedir. R2 de bir kme uygun genilikte bir ember iine alnabiliyorsa bu kmeye snrl kme ad verilir. Eer bu kme tm snr deerlerini de kapsyorsa kapal kme adn alr. Eer R2 de iki kmeden biri dierinin telenmesi ve dndrlmesi sonucu elde edilebiliyorsa bu iki kmeye kongrent kmeler denir. Ayrca kesien, kesimeyen kmeler kavram da konunun iinde yer alacaktr. T: R2------- R2 , s arpan ile lekleme yapan bir lineer operatr, Q ise R2 de bir kme olsun. Bu durumda s>1 ise T(Q) genleme 0