ensino superior 2. introdução às funções de várias variáveis amintas paiva afonso cálculo 3
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Ensino Superior
2. Introdução às Funções de Várias Variáveis
Amintas Paiva Afonso
Cálculo 3
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Cálculo 3
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Programa
1. Introdução à funções de várias variáveis (FVV).
2. Limites e derivadas de FVV.
3. Regra da cadeia e derivada direcional.
4. Integração dupla.
5. Aplicações de integração dupla.
6. Integração tripla.
7. Aplicações de integração tripla.
8. Mudança de variáveis.
9. Apliacações de mudança de mudança de variáveis.
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FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
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Funções de duas Variáveis
Seja D um subconjunto (região) do espaço R2 (plano). Chama-se função f de D toda relação que associa, a cada par (x,y) D, um único número real, representado por f(x,y). O conjunto D é o domínio da função.
Assim,
D é o domínio da função em R2,
f é a função
f(x,y) é o valor da função calculado em (x,y).
Exemplos de valores de função de 2 variáveis:
Ex1: se f(x, y) = x2 + 2y, então f(2, 3) = 22 + 2.3 = 10
Ex2: f(x, y) = (3x + y3)1/2, então f(1, 2) = (3.1 + 23)1/2 = 3,32
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EXEMPLOS
V = r2h
F = m.a
V
nRTP
Volume de um cilindro
Força para movimentar uma massa m
Pressão de um gás
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Definições: Função Real de Variável Vetorial
Def: f é uma função real se todos os valores que assume são números reais, isto é, se C R.
f é uma função de variável vetorial se o seu domínio é um subconjunto de números reais no espaço n-dimensional com n > 1, isto é, se D Rn.
argumentosimagem
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Exemplos
argumentosimagem
f (x1,x2) 2x14 x2
2 x1 1
f (x,y) lny
x 1
f (b,c,d) sen2(b ) c
d
f (a,b,c) ab 15c
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Função Composta
Mais de uma Variável
22 32 e )( yxh(x,y)senkkf
22 32 )),(( yxsenyxhf
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Função de duas Variáveis
Z = f(x, y)
f
x1,y
1x2,y2
x3,y3xi,yi
xn,yn
z1
z2
z3
zizn
Domínio Imagem
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Identificar Domínio e Imagem das Funções
Domínio das funções de duas variáveis
O domínio dessas funções segue as mesmas regras do domínio de funções de uma variável, ou seja, o domínio é a região D R2, tal que os valores calculados da função, para todo (x,y) D resultem em valores finitos e reais para f(x,y).
Ex.1- Achar o domínio da função f(x,y) = (y − x)1/2.
A condição de existência dessa função é y - x ≥ 0 (real), portanto o seu domínio é D ={(x, y) R2 / y - x ≥ 0}.
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Identificar Domínio e Imagem das Funções
Ex.2 – Ache o domínio da função f(x, y) = x2 / (2x – y),
Ex.3 - Ache o domínio da funçãoyx
xyxf
3),(
2
A função é finita quando 3x - y > 0. O domínio é o conjunto de pontos, tais que D = {(x, y) R2 / 3x - y > 0}.
A função é finita quando 2x – y ≠ 0.
Assim, domínio D (x, y) é o conjunto de
pontos, tais que, D = {(x, y) R2 / y ≠ 2x }.
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Domínios: Funções Reais de Variável Vetorial
Função Domínio
R2
R2 - {(0, 0)}
x 2 y 2
1x 2 y 2
10x 5y
25 x 2 y 2
xyRyx 2/) ,( 2
25/) ,( 222 yxRyx
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Contradomínios: Funções Reais de Variável Vetorial
Função Contradomínio
R0+
R0+
R0+
R -{0}
R -{0}
R0-
R+
[-4, 4]
x 2
x 32
x 2 16
1x
1x 2
x
ex
4sen(x)
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Domínios: Funções Reais de Variável Vetorial
Função Domínio
R
[-9, +∞[
]-∞,-4][4,+∞[
R - {0}
R - {2}
[3, +∞[
]3, +∞[
]-1/π, +∞[
]-1/3, +∞[
[0, (e-1)2/3[
x 2
x 32
x 2 16
1x
1x 2
x 3x 2
x 2x 3
ln( x 1)
ln(3x 1) 3 x 2 1
ln 1 ln( 3x 1)
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Identificar Domínio e Imagem das Funções
Função Conj. Domínio Conj. Imagem
y > x2 [0, )
Plano xy [-1, 1]
Plano xy [0, )22
2
).sen(
.
1
yxz
yxz
yxz
xyz
x.y 0 (-, 0) U (0, )
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Função de Três ou mais Variáveis
1) Regra ou lei matemática que associa três ou mais variáveis independentes a uma variável dependente.
2) Uma função de três ou mais variáveis não pode ser representada geometricamente.
3) x, y, z: variáveis e saída, w variável de chegada.
4) Superfícies de nível f(x, y, z) = constante
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Identificar Domínio e Imagem das Funções
222
222
222
ln.
1
zyxw
zyxw
zyxw
zyxw
Função Conj. Domínio Conj. Imagem
Espaço inteiro [0, )
(x, y, z) = 0 [0, )
Semi-espaço, z > 0 (-, )
Espaço inteiro [0, )
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Exemplos
1) Domínio da função xyxy
senxyyxyxf
273
5),(
2
2
2) Imagem da função 32 32),,( yzzyxzyxh
0273/),( 2 xyxyyxDm
51.1.31.2.1.2)1 ,1 ,2( ) 32 ha
62262223 ..3...2),,( ) zyzxyzyxhb
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Representação Geométrica de uma f(x,y)
x
y
z
(x,y)
z = f(x,y)
Uma f(x, y) é representada por planos ou superfícies no espaço
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Representação Geométrica de uma f(x, y)
Já vimos que para as funções de uma variável, o gráfico é no
plano x, y e y = f(x).
Para funções de 2 variáveis o gráfico é em R3 e z = f(x, y). Uma função de 2 variáveis sempre gera uma superfície no espaço R3.
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Exemplos de funções de 2 variáveis
Ex1: A função é z = f(x, y) = 5
A superfície é um plano infinito, paralelo a x, y e passando por z = 5.
Ex2: A função é z = f(x, y) = 6 – 2 x + 3y.
Esta função pode ser escrita na forma 2x – 3y + z = 6 que é a equação de um plano. Para achar os pontos onde este plano intercepta os eixos, é só fazer :
a) x = 0 e y = 0 → z = 6
b) x = 0 e z = 0 → y = 2
c) y = 0 e z = 0 → x = 3
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Exemplos de funções de 2 variáveis
Ex3: A função é
z = f(x, y) = x2 + y2
Ex4: A função é
z = f(x, y) = 1 − x 2 − y 2
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1)
altura em relação ao plano
Gráficos - Definição
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2)
i-ésima projeção por exemplo, e ,
Gráficos - Definição
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3) Encontre o domínio da função dada por
encontre também os pontos (x, y) para os quais f(x, y) = 1.
2),(
yx
yyxf
A expressão só faz sentido nos pontos (x, y) tais que x – y2 > 0 ou seja x > y2.
Ainda: f(x, y) = 1 y = (x – y2)1/2 y2 = x – y2 x = 2y2.
A seguir representamos o domínio de f e os pontos onde f(x, y) = 1.
Gráficos - Definição
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Gráficos - Definição
. Chama-se gráfico de ao subconjunto dodefinido por Observação: Como o gráfico é um subconjunto do e no papelpodemos representar até o então podemos desenhar o gráfico de funções de no máximo duas variáveis, isto é, .
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Gráficos - Exemplos
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Gráficos - Exemplos
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Gráficos - Exemplos
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Gráficos - Exemplos
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Gráficos - Exemplos
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Gráficos - Exemplos
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Exercícios
1. Esboce o gráfico de tal que distância do ponto ao ponto onde .
2. Tente definir uma função cujo gráfico seja uma “telha eternit”.
3. Esboce o gráfico de .
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Diferenças entre 2D e 3D
y = 5 z = 5
2 4 6 8 10
2
4
6
8
10
24
6
8
100
2
4
6
8
10
02.55
7.5
10
24
6
8
10
y = f(x) z = f(x, y)
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Diferenças entre 2D e 3D
y = 2x + 1 z = 2x + 2y + 1
2 4 6 8 10
5
10
15
20
02
46
8
10 0
2
4
6
8
10
01020
30
40
02
46
8
10
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y = x2 + 1 z = x2 + y2 + 1
2 4 6 8 10
20
40
60
80
100
2 4 6 8 10
20
40
60
80
100
02
46
8
100
2
4
6
8
10
050
100150
200
02
46
8
10
Diferenças entre 2D e 3D
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Diferenças entre 2D e 3D
y = 1/x z = 1/(x + y)
2 4 6 8 10
5
10
15
20
24
6
8
10 0
2
4
6
8
10
0.050.1
0.150.2
0.25
24
6
8
10
![Page 39: Ensino Superior 2. Introdução às Funções de Várias Variáveis Amintas Paiva Afonso Cálculo 3](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062312/552fc102497959413d8be4b6/html5/thumbnails/39.jpg)
f(x, y) = x2 - y2, com x e y variando de – 4 a 4.
-4
-2
0
2
4 -4
-2
0
2
4
-10
0
10
-4
-2
0
2
4
Gráficos 3D (superfícies) de algumas funções de 2 variáveis
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Gráficos 3D (superfícies) de algumas funções de 2 variáveis
f(x, y) = x2 + y2, com x e y variando de – 4 a 4.
-4
-2
0
2
4-4
-2
0
2
4
0
10
20
30
-4
-2
0
2
4
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Gráficos 3D (superfícies) de algumas funções de 2 variáveis
-4
-2
0
2
4 -4
-2
0
2
4
-10
0
10
-4
-2
0
2
4
f(x, y) = x.y, com x e y variando de – 4 a 4.
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Gráficos 3D (superfícies) de algumas funções de 2 variáveis
f(x, y) = (9 - x2 - y2)0,5, com x e y variando de – 4 a 4.
-4
-2
0
2
4 -4
-2
0
2
4
0
1
2
3
4
-4
-2
0
2
4
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Gráficos 3D (superfícies) de algumas funções de 2 variáveis
f(x, y) = x + 2y - 1, com x e y variando de – 4 a 4.
-4
-2
0
2
4-4
-2
0
2
4
-10
0
10
-4
-2
0
2
4
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Gráficos 3D (superfícies) de algumas funções de 2 variáveis
-4
-2
0
2
4-4
-2
0
2
4
-1-0.5
0
0.5
1
-4
-2
0
2
4
f(x, y) = sem (x + y - 3), com x e y variando de – 4 a 4.
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Gráficos 3D (superfícies) de algumas funções de 2 variáveis
f(x, y) = 100 - x2 - y2, com x e y variando de – 4 a 4.
-4
-2
0
2
4 -4
-2
0
2
4
70
80
90
100
-4
-2
0
2
4
![Page 46: Ensino Superior 2. Introdução às Funções de Várias Variáveis Amintas Paiva Afonso Cálculo 3](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062312/552fc102497959413d8be4b6/html5/thumbnails/46.jpg)
Gráficos 3D (superfícies) de algumas funções de 2 variáveis
f(x, y) = x4/(x4 + y4), com x e y variando de – 4 a 4.
-4
-2
0
2
4 -4
-2
0
2
4
-2
0
2
-4
-2
0
2
4
![Page 47: Ensino Superior 2. Introdução às Funções de Várias Variáveis Amintas Paiva Afonso Cálculo 3](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062312/552fc102497959413d8be4b6/html5/thumbnails/47.jpg)
Função de duas Variáveis
Profundidade, pés
DiasT
empe
ratu
raT = f(P,D)
T = cos (0,017D - 0,2P).e -0,2P
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