Ensino Superior

3. Comprimento de Arco

Amintas Paiva Afonso

Cálculo 2

Comprimento de arco

A determinação do comprimento de segmentos de arco irregular — também conhecido como retificação de uma curva — representou uma dificuldade histórica. Embora muitos métodos tenham sido utilizados para curvas específicas, o advento do cálculo levou a uma formulação geral que provê a solução em alguns casos.

Definição: O comprimento de uma curva é o menor número tal que o comprimento dos caminhos polinomiais nunca pode ultrapassar, não importando quanto juntos sejam colocados os pontos finais do segmentos.

Na linguagem matemática, o comprimento do arco é o supremo de todos comprimentos de um dado caminho polinomial.

Comprimento de arco

Considere uma função f(x) tal que f(x) e f’(x) (isto é a derivada em

relação a x) são contínuas em [a, b]. O comprimento s de parte do gráfico

de f entre x = a e x = b é dado pela fórmula:

a qual se deriva da fórmula da distância aproximada do comprimento do arco composto de muitos pequenos segmentos de reta. Como o número de segmentos tende para o infinito (pelo uso da integral) esta aproximação se torna um valor exato.

dxxfsabb

a 2'1

Comprimento de arco

Um arco é a parte de uma curva que está entre dois pontos especificados A e B.

Suponha uma função contínua f(x) = y para a ≤ x ≤ b.

Vamos dividir o intervalo em n partes tal que x0 = a, x1 , x2, ..., xk -1, xk ..., xn = b de acordo com a figura.

x

y

A

B

Comprimento de arco

Seja Pk ponto (xk , yk) onde yk = f(xk)

O comprimento da corda que liga os pontos Pk-1 a Pk será dado por Pitágoras conforme a figura abaixo

S = 2 2

P0 = A

x0 = xa

P1

PK-1PK

Pn = B

............

.......

x1 xk-1 xk xb

y

x

PK-1

PK

ΔYk

ΔXk

S

Comprimento de arco

Quando Pk-1 estiver muito próximo de Pk poderemos admitir que o comprimento da

corda entre Pk-1 e Pk é o comprimento do arco entre estes dois pontos.

Então o comprimento da k-ésima corda é: 2 2

Colocando Δxk em evidência:

2 2

2 11

Suponhamos que y = f(x) além de contínua é também derivável entre A e B. Isto nos permite substituir a razão, que está dentro do radical e que é o coeficiente angular da corda que une os pontos Pk-1 a Pk, pelo valor da derivada e algum

ponto x*k entre xk-1 e xk , então

kkkf 1,'

(1)

Comprimento de arco

Podemos fazer isto, pois a corda é paralela a tangente em algum ponto da curva entre Pk -1 e Pk

*

Isto permite escrever (1) como comprimento da K-ésima corda =

Logo o comprimento total será

Agora tomando o limite destas somas quando n tende a infinito e o comprimento do maior subintervalo tende a zero

Comprimento do arco

AB = lim

max Δxk 0

Desde que f ’(x) seja contínua para que a integral exista.

.'12

kf

1

2'1 f (2)

dff k

2

1

2'1'1 (3)

Comprimento de arco

Uma outra visão mais intuitiva pode ser utilizada, se denotarmos por s o comprimento de arco variável de A até um ponto variável sobre a curva como mostra a figura abaixo

Se crescermos s uma pequena quantidade ds de modo que ds seja o elemento diferencial de arco, assim teremos dx e dy como as mudanças correspondentes em x e y. Se tivermos ds tão pequeno que essa parte da curva é virtualmente reta e, portanto, ds é a hipotenusa de um triângulo retângulo fino chamadotriângulo diferencial. Portanto, pelo teorema de Pitágoras

ds2 = dx2 + dy2

a

d

c

b x

y

dxdy

ds

s

Comprimento de arco

Assim, se isolarmos ds e depois fatorarmos dx e o removermos do radical, teremos:

Assim o comprimento total do arco AB pode ser pensado como a soma ou integral de todos os elementos de arco ds, quando ds percorre a curva desde a até b. Desta forma (4) se tornará comprimento de arco

que é a mesma fórmula (3)

Essa fórmula nos diz que y deve ser tratada como uma função de x.

dxdx

dydx

dx

dydydxds .1²

²

²1²

2

2

(4)

dxxfdxdx

dydsab

b

a

b

a

2

2

'1 1

Comprimento de arco

. dyyfdydy

dxds

d

c

d

c 1' . 1 2

2

Para x = a y = c e para x = b y = d, sendo estes valores de y os limites de integração.

Assim:

Essa fórmula nos diz que y deve ser tratada como uma função de x.

No entanto, às vezes é mais conveniente tratar x como uma função de y.

Neste caso dy

dy

dxdy

dy

dxdydxds . 1²1

²

²²²

2

Comprimento de arco

Se isolarmos y

2

33 24 xxy

2

Exemplo 1:

Calcule o comprimento da curva y2 = 4x3 entre os pontos (0, 0) e (2, 4 )

Logo,2 x

y

0

42

2

1

3' xdx

dyy

O comprimento do arco será:

dxdx

dydsab

b

a

2

1 dxxdsab

2

0

2

2

1

31

Comprimento de arco

dxxds

2

0

2

2

1

31

duu 9

1 2

0

2

1

ux 91

dxx 2

091

1191927

291

27

2

3

2

9

12

0

2

32

0

2

3

xu

9

dudx

dxdu 9

Comprimento de arco

Exemplo 2: Determinar o comprimento de arco da curva .30 ,12

xx

y

Comprimento de arco

Exemplo 3: Determinar o comprimento de arco da curva , de x = 2 a x = 4.

4824 4 xxy

Comprimento de arco

Exemplo 4: Determinar o comprimento de arco da curva , de x = 0 a x = 5.

2/3

3

1xy

Comprimento de arco

Exemplo 5: Determinar o comprimento de arco da curva ,

de x = 0 a x = 1.

2/1

2

3xy

Comprimento de arco

Exemplo 6: Determinar o comprimento de arco da curva , de

x = /4 a x = /2.

)ln(senxy