ensino superior cálculo 1 1.2- propriedades dos limites amintas paiva afonso

Ensino Superior

Cálculo 1

1.2- Propriedades dos Limites

Amintas Paiva Afonso

Obs.: Em IV, se n for par, c deve ser positivo.

Sejam b e c dois números reais, e seja n um inteiro positivo.

Propriedades dos limites

x c

x c

n n

x c

n n

x c

I) limb b

II) limx c

III)limx c

IV)lim x c

Sejam b e c dois números reais, n um inteiro positivo e f e g funções para as quais e Lxf

cx

)(lim .)(lim Mxg

cx

Operação com limites

x c

x c

x c

I) lim [b.f(x)] bL

II) lim [f(x) g(x)] L M

III) lim [f(x).g(x)] L.M

Obs.: Em VI, se n for par, L deve ser positivo.

x c x c

n n

x c

nnx c

f(x) LIV) lim ; lim g(x) 0

g(x) M

V) lim f(x) L

VI) lim f(x) L

Propriedades

P1 - O limite da função identidade f(x) = x, quando x tende

a “a”, é igual a “a”.

3,0lim3,0

x

x3lim

3

x

x

axax

limExemplos:

3

55lim

3

x

x

x

xlim

exex

lim


P2 - O limite de uma função constante f(x) = K, quando x

tende a “a”, é igual a própria constante:

KKax

lim


44lim3

x

Exemplos:

33 55lim x

2

limx

eex

2lim

P3 - O limite da soma é igual a soma dos limites

(caso esses limites existam):

)(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfaxaxax

1552.325limlim3lim

5lim3limlim)53(lim

2

22

2

2

22

2

2

2

2

xxx

xxxx

xx

xxxx

Exemplo:


P4 - O limite da diferença é igual a diferença dos limites


)(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfaxaxax

622.2limlim2

lim2lim)2(lim

2

2

2

2

2

2

2

2

2

xx

xxxx

xx

xxx

Exemplo:


P5 - O limite do produto é igual ao produto dos limites


)(lim).(lim)().(lim xgxfxgxfaxaxax

93.3lim.lim.lim)(lim333

2

3

xxxxx

xxxx


Exemplo:

P6 - O limite do quociente é igual ao quociente dos limites


)(lim

)(lim

)(

)(lim

xg

xf

xg

xf

ax

ax

ax

10

1

727

53

)7(lim

)5(lim

7

5lim

3

3

333

x

x

x

x

x

x

x


Exemplo:

P7 - O limite da potência de uma função (f(x))n, onde n é um

número inteiro positivo, é igual a potência do limite da

função (caso exista):

n

ax

n

axxfxf ))(lim())((lim

813))2(lim()2(lim 443

1

43

1

xxxx

xx


Exemplo:

P8 - O limite da raiz de uma função , é a raiz do

limite da função, se o limite existe e é maior ou igual

a zero:

nax

n

axxfxf )(lim)(lim

n xf )(

51)2(4)2()14(lim14lim 44

2

4

2

xxxx

xx


Exemplo:

Cálculo 1 - Limites

Resumindo:

Propriedades dos Limites

Se L, M, a e c são números reais e n inteiro

eLxfax

)(lim ,)(lim Mxgax

Regra da soma(subtração):

Regra do Produto:

Regra da multiplicação por escalar:

Regra do quociente:

MLxgxfxgxfaxaxax

)(lim)(lim)()(lim

MLxgxfxgxfaxaxax

.)(lim).(lim)().(lim

Lcxfcxfcaxax

.)(lim.)(.lim

M

L

xg

xf

xg

xf

ax

ax

ax

)(lim

)(lim

)(

)(lim

Regra da potência:

Regra da raíz

se é impar.

nn

ax

n

axLxfxf

))(lim()(lim

nn

ax

n

axLxfxf

)(lim)(lim

nLxfax

,0)(lim

Regra do logaritmo:

Regra do seno (o mesmo para o cosseno)

Regra da exponencial:

0)(limlog

))(lim(log))((loglim

xfseL

xfxf

axc

axcc

ax

Lxfxfaxax

sen))(limsen()(senlim

Lxfxf

axccc ax

)(lim)(lim


Se P(x) é uma função polinomial e c é um número real, então

)()(lim cPxPcx

Limite de uma função polinomial

Teorema 2 – Os Limites de Funções Polinomiais podem ser obtidos por Substituição:

Se 01

1 ...)( axaxaxP nn

nn

então 01

1 ...)()( lim acacacPxP nn

nn

cx


Exemplo – Limite de Uma Função Polinomial

322246496

224164)32(3

2)2()2()2(4)2(3

243 lim

245

245

2 x

xxxx


Limites de Funções Racionais

Teorema 3 – Os Limites de Funções Racionais podem ser obtidos por Substituição, caso o limite do denominador não seja zero:

Se e são polinômios e ,

então

)(xP )(xQ 0)( cQ

)(

)(

)(

)(lim

cQ

cP

xQ

xPcx


Exemplo – Limite de Uma Função Racional

06

0

5)1(

3)1(4)1(

5

34lim

2

23

2

23

1

x

xxx


Exemplo 3 – Cancelando um Fator Comum

0

0

22

2

1lim

xx

xx

x

Solução: Não podemos substituir x = 1 porque isso resulta em um denominador zero. Testamos o numerador para ver se este também é zero em x = 1. Também é, portanto apresenta o fator (x – 1) em comum com o denominador. Cancelar o (x – 1) resulta em uma fração mais simples, com os mesmos valores da original para x 1:

x

x

xx

xx

xx

xx 2

)1(

)2)(1(22

2

Se x 1


Usando a fração simplificada, obtemos o limite desses valores quando x 1 por substituição:

)1(

)1)(2(2limlim

12

2

1

xx

xx

xx

xx

xx

31

212lim

1

x

x

x


)22(

22lim

0 hh

h

h

22

1

202

1

h

h

h

22lim

0

22

22.22lim

0

hh

hh

h

)22(lim0

hh

h

h

22

1lim

0

hh

Calcule


Vamos agora calcular alguns limites imediatos, de forma a facilitar o entendimento dos exercícios mais complexos que virão em seguida:

a) lim (2x + 3) = 2.5 + 3 = 13 x 5

b) lim (x2 + x) = (+ ∞ )2 + (+ ∞ ) = + ∞ + ∞ = + ∞ x + ∞

c) lim (4 + x3) = 4 + 23 = 4 + 8 = 12 x 2

d) lim [(3x + 3) / (2x - 5)] = [(3.4 + 3) / (2.4 - 5)] = 5 x 4

e) lim [(x + 3) (x - 3)] = (4 + 3) (4 -3) = 7.1 = 7 x 4


3

6

R: -3

R: 0

R:

4

31

1

1x

xLim

x

i)

3

1

1

1x

xLim

x

j) R: 2/3

3

21

3 2

1x

x xLim

x

g)

0

3 3x

xLim

x

h)

R: 4/3

f) 1

452

1

x

xxLimx


Teorema do Confronto (ou Sanduíche)

Se

e f(x) g(x) h(x)

então,

Exemplo:

Lxhxfaxax

)(lim)(lim

Lxgax

)(lim

xxxfsex

xfx

320

)(,)(

lim


Sabemos que:

Se |f(x)| x3, então –x3 f(x) x3

Dividindo por x2 toda a inequação temos:

Pelo teorema do confronto:

xx

xfx

xxx 0200lim

)(lim)(lim

xx

xfx

2

)(

0)(

lim0)(

lim02020

x

xf

x

xfxx


Se f, g e h são funções que estão definidas em algum

intervalo aberto I que contém x0, exceto, possivelmente, no

próprio x0, f(x) g(x) h(x), para todo x em I, tal que x x0

e

então

Lxhxfxxxx

)(lim)(lim00

Lxgxx

)(lim0

Teorema do confronto


Ilustração do uso do teorema do confronto

2

x 0

1limx sen 0

x

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