Ensino Superior

Cálculo 1

7- Regra de L’Hôpital

Amintas Paiva Afonso

• Regra de L’Hôpital

– Indeterminação da forma

– Sejam f e g funções diferenciáveis num intervalo aberto I em

torno de um ponto a, exceto possivelmente no ponto a.

Suponha que g(x) 0 para x a I, x a:

– Se e

então:

,0)(lim

xfax

0)(lim

xgax

,)('

)('lim L

xg

xfax

,)(

)(lim L

xg

xfax

0

0

Cálculo 1 - Derivadas

Cálculo 1 - Derivadas

• Regra de L’Hôpital

– Utilizaremos a regra de L’Hôpital quando tivermos uma

função da forma e ela apresentar indeterminação.

• Exemplo

– Calcule

– Temos uma indeterminação da forma: .

– Aplicando a regra de L’Hôpital, temos:

)(

)(

xg

xf

1

1lim

8

9

1

x

xx

0

0

8

9

8

9lim

8

9lim

1

1lim

17

8

18

9

1

x

x

x

x

xxxx

• Regra de L’Hôpital

– Indeterminação da forma

– A regra de L’Hôpital também vale para este caso.

• Exemplo

– Calcule

– A indeterminação é da forma , aplicando a regra de

L’Hôpital para este caso, temos:

x

xx

lnlim

01

lim1

1

limln

lim x

xx

xxxx

Cálculo 1 - Derivadas

Cálculo 1 - Derivadas

• Regra de L’Hôpital

– Indeterminação da forma

– Quando temos que calcular um limite da forma f(x)g(x) quando x tende a “a”, ou a +, ou a - , e ocorre uma indeterminação da forma , isto é, lim f(x) = 1 e lim g(x) = , devemos primeiro calcular o logaritmo natural de ambos os membros da igualdade y = f(x)g(x).

– Assim:

1

)(1)(ln

)(ln).(ln

xg

xfxfxgy

1

Cálculo 1 - Derivadas

– Temos então que:

– e: e, portanto, ocorre agora uma indeterminação da

forma .

– Aplica-se então a regra de L’Hôpital,

obtendo lim lny = L. Como ln (lim y) = lim (ln y) = L, temos que lim y

= eL.

01ln)](ln[lim)(lnlim xfxf

0)(

1lim

xg

0

0

Cálculo 1 - Derivadas

• Exemplo– Calcule

– Temos que:

• e

– Temos que:

x

x x

3

4

11lim

)4

11()(

xxf )3()( xxg

14

11lim)(lim

xxf

xxe

xxgxx

3lim)(lim

Cálculo 1 - Derivadas

– Logo, a indeterminação é da forma: .

– Se calcularmos o logaritmo natural da função teremos:

– Cujo limite resulta na indeterminação da forma . Aplicando a

regra de L’Hospital, temos:

1

)(1)(ln

)(ln).(ln

xg

xfxfxgy

0

0

4

3

31

41

.

41

1

1lim

3141

1lnlimlnlim

2

2

x

x

xx

xyxxx

– Como ln é uma função contínua, portanto,

4

3lnlimlimln

yy

xx

4

3

lim eyx

Cálculo 1 - Derivadas

• Regra de L’Hôpital

– Indeterminação da forma

Transformamos esta indeterminação em uma do tipo ou:

• Exemplo

– Calcule

– Aplicando reiteradamente a regra de L’Hôpital, temos:

0.

0

0

)1.(lim 23 x

xex

xx

x

x

x

x

x

x e

x

x

e

x

eex

2

2

2

2

3

223 lim

3

2

3

2lim

1)1(

lim)1.(lim

02

1lim

2

2limlim

222

2

xxxxxx ee

x

e

x, portanto,

0)1.(lim 23

x

xex

Cálculo 1 - Derivadas

• Regra de L’Hôpital

– Indeterminação da forma – A idéia é transformar a indeterminação na forma ou

. • Exemplo

– Calcule

– Por L’Hôpital,

0

0

)(lim 2 xxxx

0

01

111

lim1

11lim)(lim 2

x

xx

xxxxxxx

2

11

111

21

lim

2

2

2

1

x

xxx

Cálculo 1 - Derivadas

Guillaume de L’HôpitalGuillaume de L’Hôpital

(u + v) = +

+

DERIVADAS DIFERENCIAIS NOTAÇÃO DE LAGRANGE

= 0 dk = 0 (k)´= 0

d(ku) = 0 (ku)´= 0

d(u+v) = du+dv (u+v)´= u´+ v´

d(u.v) = vdu + udv (uv)´= u´v+v´u

d(u/v) = (vdu –udv)/v2 (u/v)´= (u’v – v’u)/v2

d(un) = n.un-1.du (un)´= n.un-1.u´

d(eu) = eu.du (eu)´= eu.u´

DERIVADAS DIFERENCIAIS NOTAÇÃO DE LAGRANGE

d(au) = au.lna.du (au)’ = au.lna.u’

d(senu) = cosu.du (senu)’ = cosu.u’

d(cosu) = - senu.du (cosu)’ = -senu.u’

d(lnu) = (1/u).du (lnu)´= (1/u).u’

d(arctgu) = du/(1+u2)

(arctgu)’ = u’/(1+u2)