ensino superior 1.4 – no cálculo diferencial amintas paiva afonso modelagem matemática

Ensino Superior

1.4 – No Cálculo Diferencial

Amintas Paiva Afonso

Modelagem Matemática

Conceito

• “A Modelagem Matemática consiste na arte de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los, interpretando suas soluções na linguagem do mundo real”.

• Nesse ambiente, as ações são voltadas à experimentação, visualização, interpretação, previsão.

• Além disso, a Modelagem Matemática pode auxiliar os alunos a identificarem aplicações em outras áreas do conhecimento e em diferentes contextos.

Objetivos

• Vamos apresentar um resumo de quatro aplicações da

disciplina Cálculo Diferencial e Integral nos cursos de

Engenharia. São elas:

1. Sinais digitais;

2. Movimento harmônico simples;

3. Dados de temperatura e intensidade de sinal obtidos

por um sensor;

4. Consumo de energia elétrica do Brasil no ano de 2008.

1. Sinais Digitais

• Sinais digitais são um dos tipos de sinais elétricos, em que suas características principais são:

Apresentam alguns níveis, os quais variam em um ritmo (cadência) constante e

Sua função apresenta valores fixos, constantes em intervalos de tempo.

• Percebemos assim, que é comum a aplicação de função por partes.

• Exemplo: Construa o gráfico do sinal digital representado por:

• Esta é uma função contínua por partes, onde f(t) são os sinais emitidos em cada t de seu intervalo de transmissão. Ela repete-se em intervalos de 4s, por isso f(t + 4).

1. Sinais Digitais

1. Sinais Digitais

• a) Sabendo-se que o sinal se repete a cada 4s, determine

f(t) para t = 5 seg, t = 6,5 seg, t =7,5 seg, t = 15 seg.

Para t = 5s, f(1 + 4) = f(1) = 2

Para t = 6,5s, f(2,5 + 4) = f(2,5) =1

Para t = 7,5s, f(3,5 + 4) = f(3,5) = 0 (não há sinal)

Para t = 15s, f(11 + 4) = f(11)

f(7 + 4) = f(7)

f(3 + 4) = f(3) = 0 (não há sinal)

1. Sinais Digitais

• b) Descreva o comportamento do sinal em torno de t0 = 3.

Idem para t no intervalo ]3, 4[.• Para um t0 = 3, a emissão de sinal é alterada.

• Para um t no intervalo ]3, 4[, a função é nula, logo não se verifica a existência de sinal.

• c) Em que instantes de transmissão a emissão de sinal é

alterada? Há intervalo em que não há transmissão de sinal?• Os instantes em que há alteração da emissão de sinais são:

t = 2, t = 3 nos primeiros 4s.

• Já no intervalo ]3, 4[, a transmissão é nula.

2. Movimento Harmônico Simples

• O conhecimento das características de um movimento oscilatório (ou vibratório) é essencial na compreensão de fenômenos relacionados à propagação do som e luz, pois esta se dá através de ondas que se deslocam por um meio, fazendo com que os pontos deste meio oscilem, descrevendo um movimento de "vai-vem" à medida que as ondas passam por ele.


• Exemplo:

Considere uma partícula que se desloca, sem atrito, sobre um eixo horizontal, segundo um movimento de "vai-vem" constante, com deslocamento máximo de 4 unidades de medida (u.m.), veja a figura:


• Exemplo:

Considere uma partícula que se desloca, sem atrito, sobre um eixo horizontal, segundo um movimento de "vai-vem" constante, com deslocamento máximo de 4 unidades de medida (u.m.), veja a figura:

Suponha que a função que descreve a sua posição ao longo do intervalo de deslocamento (com origem no ponto médio) seja

x(t) = 2cos (3t), para t > 0, tempo em segundos.


a) Construa uma tabela da posição ocupada pela partícula nos instantes t = 0, t = /6, t = /3, t = /2, t = 2 /3, t = 5 /3, sendo t em segundos.

• b) Em que instante(s) a partícula passa pela posição x = -2, x = 0 e x = 2?

• Queremos saber o instante em que a bolinha passa em cada uma das posições, logo temos que substituir na função.

x(t) = 2 cos (3t)2 cos (3t) = 2cos (3t) = 2/2

cos (3t) = 1• Sabemos que o ângulo que resulta em cosseno de 1 é 0 ou 2, logo

devemos fazer a seguinte passagem para achar o instante que a bolinha passa em x = 2:

3t = 0, t = 0 ou 3t = 2, t = 2/3


• b) Em que instante(s) a partícula passa pela posição x = -2,

x = 0 e x = 2?• Então, descobrimos os instantes que a bolinha passa em x = 2; eles

são: t = 0 ou t = 2/3. Os cálculos seguintes serão seguindo o mesmo raciocínio do exercício já resolvido. Para x = 0;

2 cos (3t) = 0

cos (3t) = 0 • Sabemos que o ângulo que resulta em cosseno de 0 é /2 ou 3/2,

logo devemos fazer a seguinte passagem para achar o instante que a bolinha passa em x = 0:

3t = /2, t = /6 ou 3t = 3/2, t = /2


• b) Em que instante(s) a partícula passa pela posição x = -2, x = 0 e x = 2?

• Então, descobrimos os instantes que a bolinha passa em x = 0; eles são: t = /6 ou t = /2. Para x = -2;

2 cos (3t) = -2cos (3t) = -2/2cos (3t) = -1

• Sabemos que o ângulo que resulta em cosseno de -1 é , logo devemos fazer a seguinte passagem para achar o instante que a bolinha passa em x = -2:

3t = , t = /3• Então, descobrimos o instante que a bolinha passa em x = -2; ele é

t = /3


• c) Qual o menor intervalo de tempo para que o movimento volte a se repetir? Qual a distância percorrida pela partícula até que o movimento se repita?

• O menor intervalo de tempo para que o movimento comece a se repetir novamente é 2 /3 (período do movimento). A distância percorrida até que o movimento se repita é de 8 u.m. (sendo 4 u.m. na ida e 4 na volta).


3. Dados de Temperatura e de Intensidade de Sinal

• Por intermédio do sensor DS1820, os alunos do curso de Engenharia Mecânica obtiveram dados de temperatura e intensidade de sinal medidos numa praça de alimentação no período de 17h26 (evento 0) a 18h14 (evento 49), com intervalo de um minuto, Figura 3, Figura 4, respectivamente


• Com os dados em mãos, foi possível usar vários conteúdos matemáticos listados abaixo.a) Ajuste dos dados tanto os de temperatura como os da

intensidade de sinal por uma curva. Para isso, usamos a ferramenta Análise de Tendência do Excel.

b) Calcular a taxa de variação média para diversos pontos do conjunto de dados, observando onde há acréscimo ou decréscimo para os dados de temperatura e de intensidade de sinal.

c) Encontrar valores máximos e mínimos locais.d) Calcular o valor médio da temperatura e da intensidade

de sinal usando o Teorema do Valor Médio para Integrais.


• Definição. Valor Médio (Média) Se f for integrável em [a, b], então seu valor médio (média)

em [a, b] é definida por (equação 3)

• Teorema. O teorema do Valor Médio para Integrais Definidas Seja f(x) contínua no intervalo em [a, b], então em algum

ponto c em [a, b] (equação 4)


• Definição. Valor Médio (continuação) Como não temos a fórmula analítica da função f(x),

usamos a Regra do Trapézio Generalizada (equação 5) para encontrar o valor da integral

onde Δx = (b – a)/n, n é o número de subintervalos.• O valor médio da temperatura é 21,2834 oC, a temperatura

média obtida pelo teorema do Valor Médio, usando a equação (3) com os cálculos obtidos no Excel foi de 21,1702 oC.


• Definição. Valor Médio (continuação) O valor médio da intensidade de sinal é -59,5605 dBm1,

a intensidade de sinal média obtida pelo teorema do Valor Médio, usando a equação (3) com os cálculos obtidos no Excel foi de -59,5605 dBm.

4. Consumo de Energia

• Pontos de máximo e de mínimo dos dados referentes ao consumo de energia elétrica do Brasil. Exemplo:


• A Tabela 1 e o gráfico da Figura 5 mostram o consumo de energia elétrica mensal no Brasil, segundo alguns dos relatórios do SAD (Secretaria de Administração) disponíveis na Internet. Isso só foi possível, pois a Annel (Agência Nacional de Energia Elétrica) percebeu as necessidades dos diversos públicos do setor elétrico pelo acesso a essas informações que antes só eram disponíveis ao público interno.


• Na Figura 5, observamos que a curva y = f(x) está subindo os pontos de A para B, de C para D e de E para F.

• Logo, a função é crescente nos intervalos a A < x < B,

C < x < D e E < x < F.

• Analogamente, a curva está descendo de B para C, de D para E e de F para G, neste caso então, ela é decrescente nos intervalos B < x < C, D < x < E e F < x < G.

• Podemos deduzir, então, que uma função é crescente quando os valores de y = f(x) aumentam e que ela é decrescente, quando y = f(x) diminui.


• Então, B, D e F são pontos máximos e suas ordenadas são valores máximos da função correspondente. Do mesmo modo, C e E são pontos mínimos e suas ordenadas são valores mínimos da função.

• A partir desse estudo, podemos obter algumas conclusões: em meados de abril a junho, há uma queda de consumo de

energia, por serem dias frios (outono e inverno), nota-se nesse período que o consumo de alguns aparelhos domésticos de alta potência, por exemplo, diminuem.

Já de junho para frente, observamos um aumento no consumo, isso se deve as épocas de primavera e verão começando.

Exemplo 1 - Suponhamos que a temperatura de uma sala seja f(x) = x2.

y(ºC)

x0=1

y

f(3)=9

x(h)

f(1)=1

x=3

x

Então temos que:

• A partir de x0 = 1h, a variável x aumentou de 2 unidades (horas) e passou para x = 3h.

x = x – x0 = 3 – 1 = 2

• A temperatura y = f(x) também sofre variação: passou de f(1) = 1ºC para f(3) = 9ºC, aumentando 8 unidades (ºC).

y = f(x) – f(x0) = 9 – 1 = 8

A razão y/x = 4ºC/h, significa que, entre 1h e 3h, a temperatura aumentou 4ºC por hora, em média.

Introdução ao conceito de Derivada

• Noção Intuitiva Suponhamos que desejamos conhecer a temperatura num

instante bem próximo de x0 = 1h.

x x f(x) x y y/ x

1h30min 1,5 2,25 0,5 1,25 2,5

1h12min 1,2 1,44 0,2 0,44 2,2

1h06min 1,1 1,21 0,1 0,21 2,1

1h1seg1,000277

71,00055

50,000277

70,00055

52,000360

1

y(ºC)

x0=1

y

f(3)=9

x(h)

f(1)=1

x=3

x

À medida que x se aproxima de zero, y/x se aproxima de 2.

Introdução ao conceito de Derivada

• Noção Intuitiva Suponhamos que desejamos conhecer a temperatura num

instante bem próximo de x0 = 1h.

x x f(x) x y y/ x

1h30min 1,5 2,25 0,5 1,25 2,5

1h12min 1,2 1,44 0,2 0,44 2,2

1h06min 1,1 1,21 0,1 0,21 2,1

1h1seg1,000277

71,00055

50,000277

70,00055

52,000360

1

y(ºC)

x0=1

y

f(3)=9

x(h)

f(1)=1

x=3

x

O limite da razão y/x, quando x 0, exprime que, quando x aumenta de 1 unidade de tempo a partir de x0 = 1h, a temperatura y aumentará de aproximadamente 2ºC.

(aproximadamente, pois se trata de limites)

hCxx

xx

x

xxxx

/º2)1(lim1

)1)(1(lim

1

1lim

11

2

1

0

0

00

)()(limlim')('

0 xx

xfxf

x

yyxf

xxx

y(ºC)

x0=1

y

f(3)=9

x(h)

f(1)=1

x=3

x

0

0

00

)()(limlim')('

0 xx

xfxf

x

yyxf

xxx

x

xfxxf

xxx

xfxxfxx

)()(lim

)()(lim 00

000

00

0

a) Se x x0, então x 0.

b) Se x = x - x0, então x = x + x0

c) f(x) = f(x + x0)

0

0

00

)()(limlim')('

0 xx

xfxf

x

yyxf

xxx

y(ºC)

x0=1

y

f(3)=9

x(h)

f(1)=1

x=3

x

Exemplo 2 - Consideremos a função C(x) = custo da produção de x sapatos, em reais.

Suponhamos que para uma produção x0 = 2000 sapatos, tenhamos a derivada C’(x0) = 20 reais por sapato.

O que significa isso?

Significa que, se aumentarmos a produção de 1 unidade e produzirmos x = 2001 sapatos, o aumento no custo será de 20 reais, aproximadamente.

ensino superior 1.4 – no cálculo diferencial amintas paiva afonso modelagem matemática

Documents