ensino superior cálculo 1 1.7- funções trigonométricas amintas paiva afonso
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Ensino Superior
Cálculo 1
1.7- Funções Trigonométricas
Amintas Paiva Afonso
Cálculo 1 - Limites
Funções e Limites
Taxas de variação,definição de limite, limites laterais e
técnicas para determinação de limites
Prof. Amintas Paiva Afonso
As Funções Trigonométricas.
• Tópicos
- Conceito de radiano. As funções seno, cosseno e tangente. As funções trigonométricas inversas.
• Bibliografia
– THOMAS, G. B. Cálculo. v.1
– Capítulos:
• Preliminares
5 – Funções trigonométricas e suas inversas
6 – Equações paramétricas
7 – Modelando as variações
As Funções Trigonométricas.
• Conceito de radiano (rad)
– Assim como o grau (°), o radiano (rad) é uma medida de arcos.
– 180° = rad
– 1° = / 180 rad 0° = 360° = 2 rad
90° = /2 rad
180° = rad
270° = 3/2 rad
X
y
As Funções Trigonométricas.
• Conceito de seno (sen) e cosseno (cos)
X
y
0
/2
3/2
r =1
P
x
y
Círculo de raio unitário: x2 + y2 = 1
seny1
sen
sen
yr
y
cos1
cos
cos
x
xr
x
1cossen 22
As Funções Trigonométricas.
• Gráficos de seno (sen) e cosseno (cos)
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360
Sen
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360
Cos
]1,1[:Imagem),(:Domínio
]1,1[:Imagem
),(:Domínio
As Funções Trigonométricas.
• Conceito de tangente (tg)
cosθ
senθtgθ
X
y
0
/2
3/2
r =1
P
x
y
T
tg
tgθ0T
As Funções Trigonométricas.
• Gráfico da tangente (tg) e cotangente (cot)
),(:Imagem
...,1,0,1...,);12(2
:Domínio
nnπ
θ
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-10123456789
10
-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360
tg
-10-9-8
-7
-6-5
-4
-3-2
-10
12
3
456
789
10
-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360
Cot
),(:Imagem
...,1,0,1...,;:Domínio
nn θ
tgθ
1cotθ
As Funções Trigonométricas.
• Gráfico da secante e cossecante
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-10123456789
10
-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360
Sec
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-10123456789
10
-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360
Csc
cosθ
1secθ
senθ
1cscθ
As Funções Trigonométricas.
• Funções Trigonométricas Inversas– Arco-seno (arc sen)
22Im
11
)()(
y
xDf
ysenxxsenarcy
-90
-60
-30
0
30
60
90
-1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5
Arc sen
As Funções Trigonométricas.
• Funções Trigonométricas Inversas– Arco-cosseno (arc cos)
y
xDf
yxxarcy
0Im
11
)cos()cos(
0
30
60
90
120
150
180
-1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5
Arc cos
As Funções Trigonométricas.
• Funções Trigonométricas Inversas– Arco-tangente (arc tg)
22Im
)()(
y
xDf
ytgxxtgarcy
-90
-60
-30
0
30
60
90
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Arc tg
As Funções Trigonométricas.
• Funções Trigonométricas Inversas– Arco-cotangente (arc cot)
y
xDf
ygxxgarcy
0Im
)(cot)(cot
0
30
60
90
120
150
180
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Arc cot
As Funções Trigonométricas.
• Funções Trigonométricas Inversas– Arco-secante (arc sec)
2,0Im
1
)sec()sec(
yy
xDf
yxxarcy
0
30
60
90
120
150
180
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Arc sec
As Funções Trigonométricas.
• Funções Trigonométricas Inversas– Arco-cossecante (arc csc)
0,22
Im
1
)csc()csc(
yy
xDf
yxxarcy
-90
-60
-30
0
30
60
90
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Arc csc
As Funções Trigonométricas.
• Relações trigonométricas fundamentais
• Fórmulas para ângulo duplo
1θcosθsen 22
θsec1θtg 22
θcscθcotg1 22
θsen-θcos2θcos 22
cosθsenθ22θsen
