de n a r inserte el nombre del grupo de trabajo en el patrón de diapositivas cardinales enteros...

de N a R

Inserte el nombre del grupo de trabajo en el patrón de diapositivas

Cardinales

Enteros

Racionales

Irracionales

Naturales

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Reales

Decimales

Los Conjuntos Numéricos

Prof. Isaías Correa Marín 2012

de N a R


Cardinales

Enteros

Racionales

Irracionales

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Decimales

Conjuntos Numéricos

Última actualización: 22 de abril de 2023

NN0

Z

Q

I

R

N N0 Z Q R

I R

de N a R


Cardinales

Enteros

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N

1

2

3

}{ ..,...4,3,2,1= INNaturales

Características

•Es infinito

•Es Discreto

•Es Ordenado

•Se representa en un rayo

Propiedades de la adición y multiplicación

•Clausura o Cierre en + y .

•Asociatividad en + y .

•Conmutatividad en + y .

•Neutro en .

Distributividad

Multiplicación sobre la adición

de N a R


Cardinales

Enteros

Racionales

Irracionales

Naturales

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N0

0

1

23

Cardinales}{ ..,...4,3,2,1,0= IN 0

Características

•Es infinito

•Es Discreto

•Es Ordenado

•Se representa en un rayo





•Neutro en + y .

Distributividad


de N a R


Cardinales

Enteros

Racionales

Irracionales

Naturales

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Z0

12

3

-1-2

Enteros}{ ..,...4,3,2,1,0,1,2,3...,= Z ---

Características

•Es infinito

•Es Discreto

•Es Ordenado

•Se representa en una recta





•Neutro en + y .

•Inverso(opuesto)en +

Distributividad


de N a R


Cardinales

Enteros

Racionales

Irracionales

Naturales

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Reales

Decimales

Racionales0 3

1 2 -0,5

-1 4,7

-3

52

3,0

Q

Características

•Es infinito

•Es Denso

•Es Ordenado






•Neutro en + y .

•Inverso en + y .

Distributividad


de N a R


Cardinales

Enteros

Racionales

Irracionales

Naturales

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Reales

Decimales

Irracionales

ICaracterísticas

•Es infinito

•Es Denso

•Es Ordenado


Son los decimales infinitos no periodicos

2π

1,75432...

de N a R


Cardinales

Enteros

Racionales

Irracionales

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Teorema de Pitagoras

Para representar en la recta numérica se debe ocupar el teorema de Pitagoras.

La suma de los cuadrados de cada cateto es igual al cuadrado de la hipotenusa.

2

12x = 2

x = 2

x = 1 + 1

x=1 +1

2

2

222

de N a R


Cardinales

Enteros

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Reales

Decimales

RealesSon todos los tipos de números que conocemos hasta el momento

Características

•Es infinito

•Es Denso

•Es Ordenado


(la completa)

Prioridad en las operaciones

de N a R


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Enteros

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Denso significa que entre dos números, se encuentran infinitos números más.

Denso

de N a R


Cardinales

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Infinito

No tiene último elemento

de N a R


Cardinales

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Discreto

No existe otro número entre dos números consecutivos

de N a R


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Orden

Se puede discriminar entre dos números, el mayor, menor o igual

Definición de orden:

Un número es mayor que otro si se encuentra a la derecha en la recta numérica

de N a R


Cardinales

Enteros

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Irracionales

Naturales

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Reales

Decimales

Adición de enteros

•Para sumar enteros de igual signo se suman los números y se conserva el signo

•Para sumar enteros de distinto signo, los números se restan y se conserva el signo del que tiene mayor valor absoluto

de N a R


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Enteros

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Decimales

Valor absoluto

El valor absoluto de un número, es el número sin el signo(por lo tanto siempre es positivo)

El valor absoluto se representa con dos barras paralelas.

15Un ejemplo concreto de valor absoluto es la distancia

de N a R


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Enteros

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Decimales

Sustracción de enteros

Para restar enteros, el minuendo se mantiene, la resta cambia a suma y el sustraendo cambia al opuesto aditivo

a – b = a + (-b)

de N a R


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Decimales

Multiplicación y División de enteros

Regla de los signos:

Multiplicación

1) + . + = +

2) + . - = -

3) - . + = -

4) - . - = +

En la división se ocupa la misma regla.

de N a R


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Reales

Decimales

Aplicaciones del M.C.M.

Igualar denominadores

Ejemplo: Dejar los racionales

4

3y

6

5

con el mismo denominador

6

3 2

4

2 2

2 . 3 22

M.C.M. (6,4) = 22 . 3

12

10-

6

5

12

9

4

3

.2

.2

. 3

. 3

de N a R


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Decimales

Adición y sustracción de racionales

Para sumar o restar racionales con distinto denominador, se deben dejar iguales los denominadores, para esto se siguen los siguientes pasos:

1. Se debe obtener el mcd

2. Se debe amplificar cada fracción, para quedar una equivalente con el denominador mcd encontrado.

3. Se suman o restan los numeradores obtenidos, según corresponda. Ver Ejemplo

de N a R


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Ejemplo

3

12

6

5

9

2

3

7

6

5

9

2

3

7

6

5

9

22

2

3

3

9

9

18

63

18

15

18

4

18

52

9

82

1. El número mixto se transforma a fracción

2. Se obtiene el mcd(9,6,3)=18

3. Se amplifica cada fracción, para que de 18 el denominador

4. Se suma o esta según corresponde

5. Se transforma la fracción impropia a número mixto y se simplifica.

de N a R


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Fracción impropia

Cuando el numerador es mayor que el denominador; en este caso la fracción se puede transformar a número mixto.

Ejemplo:

9

25

9

47

de N a R


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Decimales

Multiplicación y división de fracciones

Para multiplicar fracciones se multiplica numerador con numerador y denominador con denominador, pero antes se debe simplificar, cualquier numerador con cualquier denominador(en parejas).

56

15

8

5

7

3 En este caso no hubo simplificación

División de fracciones

de N a R


Cardinales

Enteros

Racionales

Irracionales

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Decimales

5

7

21

15

9

8

5:5

7:7

7:21

5:15

9

8

1

1

3

3:3

3:9

8

9

8

1

1

3

1

3

8

1

1

3

3

9

8

Simplificando

de N a R


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Decimales

División de fracciones

Para dividir fracciones, el dividendo se mantiene, la división cambia a multiplicación y el divisor cambia al inverso multiplicativo

c

d

b

a

d

c

b

a:

Al transformarse en multiplicación se puede ocupar la simplificación Ejemplo

numérico

de N a R


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Ejemplo de división de fracciones

9

12:

15

8

4:12

3:9

3:15

4:8

3:3

3:3

5

2

3

3

5

2

5

2

1

1

5

2

12

9

15

8

de N a R


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Ejercicios combinados

•En primer lugar se deben resolver los paréntesis, si hay varios, desde adentro hacia fuera.

•Las potencias se deben calcular en primer lugar.

•La multiplicación y la división antes que la adición y sustracción.

•Es conveniente partir de izquierda a derecha

5

2)

3

15,0(33:

5

28 2

de N a R


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Decimales

Propiedades (R,+, .)La adición con la multiplicación forman una estructura en los reales, llamada Cuerpo

Cierre Asociatividad Neutro Inverso

(opuesto)

Conmutatividad Distributividad

IN ........... de sobre +

IN0 ............ de sobre +

Z de sobre +

Q de sobre +

R de sobre +

y y y

y

y

y y

y y

y y

y

y

y

y y

y y

y y

y

de N a R


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Reales

Decimales

Decimales

Al transformar una fracción a notación decimal, puede darnos:

• Un decimal Finito o Exacto

• Un decimal Infinito Periodico

Semiperiodico{75,0=

43

3,0=31

61,0=61

Operatoria con decimales finitos Operatoria con decimales infinitos

periódicos y semiperiódicos

de N a R


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Decimal Finito

En el numerador se escribe la parte decimal y en el denominador se escriben potencias de 10, cantidad de ceros depende de la cantidad de dígitos que tiene la parte decimal.

100

78478,4

de N a R


Cardinales

Enteros

Racionales

Irracionales

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Decimales

Decimal Infinito Periódico

En el numerador se escribe el periodo y en el denominador tantos 9 como dígitos tenga el periodo.

999

3414341,4

de N a R


Cardinales

Enteros

Racionales

Irracionales

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Decimales

Decimal Infinito Semiperiodico

En el numerador se escribe la cifra decimal (con su periodo y ante período) y se le resta el ante periodo, en el denominador se escriben tantos 9 como dígitos tenga el período, seguido de tantos ceros como dígitos tenga el ante período.

900

5612

900

6-6212 206,12

de N a R


Cardinales

Enteros

Racionales

Irracionales

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Decimales

Operatoria con decimales finitos

3,7698

0978,0

672,3

7846,1

9954,10

78,12

9,6174

7124

24934

7,2562,3

0//

21

7,33:1,11

3,0:11,1

El divisor debe quedar entero, por lo tanto se amplifica por una potencia de 10

de N a R


Cardinales

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Decimales

Operatoria con decimales Infinitos

Es conveniente transformar a fracción los decimales infinitos periódicos y semiperiódicos, para operar con ellos, especialmente la multiplicación y división.

35,17,042,090

5531

10

7

99

42

90

481

10

7

99

42

90

138

10

7

99

42

576,2990

2631

990

1518369420

de N a R


Cardinales

Enteros

Racionales

Irracionales

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Decimales

576,235,17,042,0

Otro camino

75.......2,65757575

.......5333333333,1

......7000000000,0

......4242424242,0

+

de N a R


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Enteros

Racionales

Irracionales

Naturales

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Decimales

Sustracción

51,0245,075,0

....0,15555555 50,1

2....0,45222222 245,0

....577777777,0 75,0

+

de N a R


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Enteros

Racionales

Irracionales

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Decimales

Multiplicación

10

8

90

31

9

510

8

90

334

9

5

8,043,05,0

:5

:5

2

8

90

31

9

1

:2

:2

1

4

90

31

9

1

810

124 :2

:2

405

62

3086419750,15

de N a R


Cardinales

Enteros

Racionales

Irracionales

Naturales

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Decimales

División

10

5

9

35,03,0

6,03

2

1

2

3

1

5

10

9

3

:3

:3

:5

:5

de N a R


Cardinales

Enteros

Racionales

Irracionales

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Decimales

Intercalar decimales

1,46y 54,1

.....460000000,1

.....455555555,1

4561,1

4560,1

4559,1

4558,1

4557,1

4556,1

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