Manual de uso del baco japons

SorobanDe Fernando tejnEditerio krayono Ponferrada-espaa 20051

Manual de uso del baco japons

Soroban

2

Ttulo: Manual de uso del baco japons Soroban. Autor: Fernando Tejn. krayono@yahoo.es Editorial: Editerio Krayono, Claveles 6, B; E-24400 Ponferrada Espaa. Ao: 2005 Licencia: Este libro esta acogido a la licencia Creative Commons. Se permite la copia y difusin no comercial citando literalmente todos los datos incluidos en esta pgina. http://creativecommons.org/licenses/by-nc/2.0/

3

Indice

Tema 1: Introduccin................... Tema 2: Cifras y notacin..............

5 7

Tema 3: La suma......................... 11 Tema 4: La resta......................... 17 Tema 5: La multiplicacin.............. 26 Tema 6: La divisin...................... 36 Tema 7: Las potencias.................. 41 Tema 8: Races cuadradas.............. 43 Tema 9: Otras operaciones............. 47 Tema 10: Ejercicios...................... 54 Tema 11: Informaciones tiles........ 96

4

Tema 1: IntroduccinUn baco no es ms que un instrumento para facilitar los clculos matemticos, que seran de extremada complejidad, o incluso imposibles, mentalmente. Con su ayuda se pueden realizar las operaciones matemticas de suma, resta, multiplicacin, divisin, clculo de races y potencias con una rapidez comparable, y muchas veces superior, a la conseguida con las modernas calculadoras electrnicas, pero con la importante ventaja sobre aquellas de que con el baco se utiliza la lgica y el razonamiento al ejecutar los clculos de los problemas matemticos, mientras que con las modernas calculadoras se llega fcilmente a perder la nocin de lo que se est calculando. En plena Era Digital, en la que las modernas calculadoras electrnicas y los ordenadores son capaces de realizar operaciones con gran rapidez, el uso del baco es ms necesario que nunca, para volver a recuperar la agilidad mental y la capacidad de memoria y razonamiento perdidas por el inadecuado y excesivo uso de aquellos. Ya en la antigua Grecia se utilizaron rudimentarios bacos, que eran simplemente tableros espolvoreados con finas capas de arena, sobre los que se escriban smbolos numricos con el dedo, o con una vara de madera. Posteriormente se utilizaron los tableros de recuento, que eran tablas de madera o de mrmol, en las que sobre lneas paralelas pintadas o vaciadas se desplazaban cuentas para efectuar los clculos. Estos tableros eran llamados por los griegos abakion, y por los romanos, abacus. Las cuentas que se utilizaban eran simplemente pequeas piedras redondeadas; llamadas en latn calculus, palabra que da origen a la moderna clculo.

En la edad media se usaba en Europa la mesa de baco, que era una mesa sobre la que se pona un pao en el que se dibujaban lneas con una tiza, aunque a veces se empleaban paos con las lneas bordadas. Sobre estas lneas se movan las cuentas. El baco actual es en esencia un marco de madera o plstico en el que se insertan un nmero no fijo de varillas por las que deslizan cuentas perforadas. Hoy se utilizan principalmente tres tipos de baco, que se diferencian principalmente en el nmero de cuentas o bolas por varilla. Ello no afecta a su capacidad de clculo, que slo depende del nmero de varillas que posea el baco. El baco chino, o Suan-pan, est formado por cuentas toroidales, que se deslizan a lo largo de varillas tradicionalmente de bamb. Cada una de las varillas tiene dos cuentas sobre la barra central y otras cinco bajo ella (disposicin 2-5). Se lleva usando desde hace ms de mil aos.

5

El baco japons, o Soroban, tiene su origen en el siglo XVI. Inicialmente tena una disposicin de cuentas 2-5 como en el Suan-pan chino, del que deriva. Posteriormente se le elimin una de las cuentas superiores, quedando en disposicin 1-5. A principios del siglo XX perdi una de las cuentas inferiores quedando en la actual disposicin 1-4. Las cuentas del Soroban son de pequeo grosor y tienen los cantos vivos. Con esta forma se mejora notablemente la rapidez en los movimientos, y como consecuencia de los clculos. Es, sin duda, el baco ms evolucionado y con el que se realizan los clculos con mayor rapidez.

El baco ruso, o Schoty, est formado por varillas horizontales, con diez cuentas o bolas en cada una de ellas. En algunos modelos las dos cuentas centrales son de diferente color para facilitar el manejo.

En la Amrica precolombina los Mayas tambin utilizaban un baco para clculos principalmente calendricos, constituido por una cuadrcula hecha con varillas, o dibujado directamente en el suelo, y se utilizaban piedrecillas o semillas para representar los nmeros. Este baco reciba el nombre de Nepohualtzintzin. El manejo era similar al del baco japons Soroban, pero usando el sistema vigesimal en vez del decimal. En la parte superior de cada varilla tiene tres cuentas, cada una de ellas con valor de cinco unidades, y en la parte inferior cuatro cuentas, cada una de ellas con valor de una unidad.

Como ejemplo de las potencia de clculo del baco est la famosa competicin patrocinada por el peridico del ejrcito americano, Stars and Stripes (barras y estrellas) ocurrida en Tokyo el da 12 de Noviembre de 1946, entre el japons Kiyoshi Matsuzaki del Ministerio Japons de comunicaciones utilizando un Soroban y el americano Thomas Nathan Wood de la armada de ocupacin de los E.U.A. con una calculadora electromecnica. El vencedor fue Matsuzaki usando el Soroban, que result vencedor en cuatro de las cinco pruebas, slo perdiendo en la prueba con operaciones de multiplicacin con nmeros grandes.

6

Tema 2: Cifras y notacinEl Soroban tiene un nmero variable de varillas por las que deslizan las cuentas, generalmente con trece es suficiente para operaciones comunes de suma y resta, pero puede quedarse pequeo para multiplicaciones y divisiones con nmeros grandes. En este manual se usar un Soroban de 17 varillas etiquetadas con las letras del alfabeto latino de derecha a izquierda, para facilitar la anotacin de los movimientos. Cada varilla se divide en dos partes por una barra horizontal. En la parte superior hay una cuenta con un valor de cinco unidades, mientras que en la inferior hay cuatro cuentas con un valor de una unidad cada una de ellas. Las cuentas slo tienen valor cuando se encuentran apoyadas en la barra central.

Cuando todas las cuentas estn alejadas de la barra central el Soroban muestra la cifra cero en cada varilla. Para anotar las distintas cifras se debe poner el Soroban sobre una superficie horizontal y mientras se sujeta con la mano izquierda se anotan las cifras que componen el nmero con el que se desea hacer un clculo con la mano derecha. Las cuentas inferiores se acercan a la barra central con el dedo pulgar. Con el dedo ndice se alejan de la barra las cuentas inferiores y se hacen todos los movimientos de la cuenta superior. Si se acercan a la vez a la barra, o se alejan a la vez, la cuenta superior y alguna de las inferiores se usan ambos dedos simultneamente, el pulgar para las cuentas inferiores y el ndice para la superior. De momento asumiremos que la varilla A representa las unidades, la B las decenas, la C las centenas, la D las unidades de millar, y as sucesivamente. En realidad se puede tomar como varilla de las unidades cualquiera de ellas, como veremos ms adelante al tratar con nmeros decimales.

Anotemos el nmero 9.876.543.210. Los nmeros se escriben en el soroban de izquierda a derecha.7

Para anotar la cifra 9 en la varilla que marca las unidades de millar de milln se acercan a la barra la cuenta superior con el dedo ndice y las cuatro cuentas inferiores con el dedo pulgar simultaneamente en la varilla J. La notacin de este movimiento ser J +5 +4. Anotaremos la cifra 8 en la varilla que marca las centenas de milln, acercando a la barra la cuenta superior con el dedo ndice y slo tres cuentas inferiores con el dedo pulgar simultaneamente en la varilla I. Notacin: I +5 +3. Se anotar la cifra 7 en la varilla que marca las decenas de milln, acercando a la barra la cuenta superior con el dedo ndice y slo dos cuentas inferiores con el dedo pulgar simultaneamente en la varilla H. Notacin: H +5 +2. De modo similar se anotar la cifra 6 en la varilla que marca las unidades de milln, acercando a la barra la cuenta superior con el dedo ndice y slo una cuenta inferiores con el dedo pulgar simultaneamente en la varilla G. Notacin: G +5 +1. Para anotar la cifra 5 en la varilla que marca las centenas de millar, simplemente acercaremos a la barra central la cuenta superior con el dedo ndice en la varilla F. Notacin: F +5. Se anota la cifra 4 en la varilla que marca las decenas de millar, acercando a la barra central las cuatro cuentas inferiores con el dedo pulgar en la varilla E. Notacin: E +4. Se anota la cifra 3 en la varilla que marca las unidades de millar, acercando a la barra central tres cuentas inferiores con el dedo pulgar en la varilla D. Notacin: D +3. Para anotar la cifra 2 en la varilla que marca las centenas, se acerca a la barra central dos cuentas inferiores con el dedo pulgar en la varilla C. Notacin: C +2. Anotamos la cifra 1 en la varilla que marca las decenas, acercando a la barra slo una cuenta inferior con el dedo pulgar en la varilla B. Notacin: B +1. Por ltimo se anota la cifra 0 en la varilla que marca las unidades, simplemente no acercando a la barra ninguna cuenta en la varilla A. Notacin: ninguna ya que no hemos movido ninguna cuenta. Anotemos ahora el nmero 189.700.162. Mientras se anota en el soroban el nmero se debe ir leyendo en voz alta correctamente, en este caso: ciento ochenta y nueve millones setecientos mil ciento sesenta y dos. En ningn caso lea como hacen los principiantes: uno ocho nueve - siete cero cero uno seis dos. Es precisa la lectura correcta para la perfecta situacin mental de los nmeros. Acostmbrese a hacer bien las cosas desde el principio, es mejor progresar lentamente pero del modo adecuado que tratar de eliminar posteriormente vicios de uso debidos a un apresurado y deficiente aprendizaje.

I +1 H +5 +3 G +5 +4

F +5 +28

C +1

B +5 +1 A +2

Ms ejemplos: 762.503.755

I +5 +2 H +5 +1 G +2 F +5 D +3 C +5 +2 B +5 A +5 186.040.177.024

L +1 K +5 +3 J +5 +1 H +4 F +1 E +5 +2 D +5 +2 B +2 A +4 500.035.100

I +5 Ejercicios

E +3

D +5

C+1

Escriba en el soroban los siguientes numeros, leyndolos a la vez correctamente en voz alta mientras los escribe. Cuando el nmero est escrito en el soroban lalo y compruebe si se ha equivocado en alguna cifra. Escriba todos los nmeros siguientes tantas veces como sea necesario, hasta que pueda hacerlo con soltura. 89.539.407 90.493.862 3.695.349 78.103.893 35.000.002 10.000.000 53.968.799 59.000.001 10.000.111 4.587.930 35.2001.911 6.251.028 633.999 98.789.308 893.871 28.994.935 15.922.784 52.130.291 50.513.187 40.000.548 5.314.735 84.879.578 61.280.009 14.899.393 1.355 458.665 1.223.588 32.154 18.770.809 9.999.2229

7.701.028 18.097.721 5.823.524 51.764.218 123.456.789 3.002.658 65.610.000 505.105.001 48.831.148 86.229.981 1.025.327 694.009 31.999.158 21.545.654 14.556.093

49.424.198 67.991.683 91.183.046 89.195.326 61.194.219 43.513.079 89.012.907 18.652.601 59.766.666 200.001 12.222.977 3.581.117 3.654.663 3.845.484 32.455.002

Puede tambin practicar escribiendo los nmeros de la factura de compra del supermercado, nmeros de telfono de su agenda o del listn telefnico, precios de artculos de folletos publicitarios, etc. La prctica debe ser regular, dedquele de 10 a 15 minutos diarios a esta prctica durante varios das hasta poder escribir nmeros en el soroban y leerlos sin dudar. No pase al tema siguiente antes de dominar la escritura y la lectura de nmeros en el soroban.

10

Tema 3: La sumaEste tema es de capital importancia. Comprender perfectamente los mecanismos de la suma le permitirn no slo sumar, si no tambin restar (operacin inversa), multiplicar (sumas repetidas) y dividir (restas repetidas). Por lo tanto el estudio de este tema debe ser ordenado y en profundidad, y no se debera pasar al tema siguiente sin poder hacer cualquier suma con soltura y seguridad por compleja que sta pueda llegar a ser. Sumas sencillas Sumas sencillas son aquellas en las que al sumar cada cifra en su varilla correspondiente el total es igual o inferior a 9. La gran ventaja del Soroban es que al anotar un nmero sobre otro que ya est anotado se realiza la suma por si misma. Ejemplo: 1.231 + 115 + 5.100 = 6 .446 En primer lugar ponga el Soroban a cero, separando todas las cuentas de la barra central deslizando sobre ella a la vez los dedos pulgar e ndice. Anote 1.231, leyendo el nmero al escribirlo. Al acercar a la barra una cuenta inferior en la varilla D, debe decir a la vez mil, al acercar a la barra central dos cuentas inferiores en la varilla C debe decir a la vez doscientos, etc. Hgalo siempre del modo correcto.

D +1 C +2 B +3 A +1 Sobre el nmero anterior se aade 115, obtenindose un subtotal de 1.346

C +1 B +1 A +5 Por ltimo sobre el subtotal anterior se aade 5.100 y se obtiene el resultado de la suma: 6.446.

11

D +5 C +1 Mueva las cuentas segn el mtodo indicado en el tema anterior. Al anotar las cifras de los sumandos lalas correctamente.

Ejercicios de sumas sencillas Haga las siguientes sumas tantas veces como necesite, no menos de diez, hasta que se realicen con rapidez y seguridad. No haga otro tipo de sumas hasta hacer con fluidez estas sumas sencillas. 12.300 123.456 216.800 111.111 150.812 172.110 550.250 155.011 100.006 200.560 100.071 100.666 102.102 650.001 100.011 10.000 555.111 24.000 17.110 36.626 111.021 +510.510 +511.020 +120.107 +605.111 +500.000 +201.020 +106.561 888.988 837.826 986.889 879.994 789.886 889.998 879.887 Sumas complejas A veces al intentar sumar una cifra en una varilla del Soroban no se puede directamente acercar a la barra central el nmero de cuentas deseado, como se hizo en el apartado anterior, pero ello tiene muy fcil solucin. En primer lugar se debera observar, comprender y aprender la siguiente tabla de la suma. En ella estn resumidas todas las operaciones para efectuar sumas en cualquier varilla, sea cual sea el valor del sumando. sumar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 es lo mismo que 5 y restar 4 sumar 10 y restar 5 y restar 3 sumar 10 y restar 5 y restar 2 sumar 10 y restar 5 y restar 1 sumar 10 y restar 5 sumar 10 y restar 10, restar 5 y sumar 1 sumar 10 y restar 10, restar 5 y sumar 2 sumar 10 y restar 10, restar 5 y sumar 3 sumar 10 y restar 10, restar 5 y sumar 4 sumar 10 y restar

sumar sumar sumar sumar sumar sumar sumar sumar sumar

9 8 7 6 5 4 3 2 1

Como aplicacin se sumarn los nmeros 137.564 y 244.438 cuya suma es 382.002. En primer lugar anotamos el nmero 137.564:

12

F +1

E +3

D +5 +2

C +5

B +5 +1

A +4

Sumamos 2 (doscientos mil) en la varilla F con el dedo pulgar:

F +2 Ahora sumaramos 4 (cuarenta mil) en la varilla E, pero no se pueden acercar cuatro cuentas a la barra central directamente. Tras observar la tabla de sumas se comprende que para sumar 4 puedo sumar 5 y restar 1. Para ello se acerca a la barra central la cuenta superior con el dedo ndice y a la vez se aleja de la barra con el pulgar una cuenta inferior:

E +5 1 Para sumar 4 (cuatro mil) en la varilla D se deberan acercar cuatro cuentas a la barra o bien, como en el caso anterior, acercar la cuenta superior (+5) y alejar una de las inferiores (-1), pero ninguna de esas dos opciones es posible. La tabla de la suma nos ofrece la solucin: sumar 4 es lo mismo que sumar 10 y restar 6. Para ello sumo 10 en la varilla D, esto es, sumar 1 en la varilla que est a la izquierda de la varilla D, o sea en la varilla E, y posteriormente restamos 6 en la varilla E, separando de la barra central una cuenta superior con el dedo ndice y a la vez se separa una cuenta inferior con el dedo pulgar:

E +1

D 5 1

13

Sumar cuatro (cuatrocientos) en la varilla C y tres (treinta) en la varilla B es sencillo ya que disponemos de cuentas en la varilla donde sumamos:

C +4

B +3

Finalmente deberamos sumar 8 en la varilla A. No es posible hacerlo directamente, as que intentaramos sumar 10 (sumar 1 en B) y restar 2 en A segn la tabla de sumas. Tampoco ello es posible ya que en la varilla inmediatamente a la izquierda de A est escrita la cifra 9. La solucin en estos casos es sencilla. Busque la primera varilla a la izquierda de la varilla A que no tenga un 9. Esa varilla es en este caso D. Sume en ella 1 (el 10 que deberamos haber sumado en B), ponga a cero todas las varillas con 9 entre D y A (las varillas B y C). Por ltimo reste 2 en A:

D +1

C 5 4

B 5 4

A 2

D+1 se efecta con el dedo pulgar. C 5 4, B 5 4 se efectan a la vez, alejando de la barra central las cuatro cuentas inferiores de C y B con los dedos ndice y medio, que inmediatamente se usarn para alejar las dos cuentas superiores. A 2 se efecta con el dedo ndice. En el ejemplo anterior se pueden ver todos los tipos de suma. Practquelo varias veces hasta que lo realice con fluidez. Como resumen de la suma se podra hacer un esquema sencillo. Cuando se quiere sumar una cifra en cualquier varilla, genricamente etiquetada X, se intentar hacer lo que indica el primer punto, si ello no es posible pasaremos al punto siguiente y as sucesivamente hasta encontrar un punto aplicable: 1. Sumamos las cuentas directamente en la varilla X. 2. Sumamos 5 y restamos el excedente en la varilla X. 3. Sumamos 1 (10) en la varilla situada a la izquierda de la varilla X, y restamos el excedente en la varilla X. 4. Sumamos 1 en la primera varilla a la izquierda de la varilla X que no tenga un 9. Ponemos a cero las varillas con 9 entre la varilla en la que hemos sumado 1 y la varilla X. Finalmente restamos el excedente en la varilla X.

14

Ejercicios de sumas complejas A pesar de que los siguientes ejercicios le puedan parecer poco tiles, nada ms lejos de la realidad. Por ningn motivo deje de hacerlos ya que aunque aparentan ser tediosos son la base imprescindible en el buen aprendizaje de la suma.9.999 +9.999 19.998 9.999 +4.444 14.443 8.888 +7.777 16.665 8.888 +2.222 11.110 7.777 +3.333 11.110 9.999 +8.888 18.887 9.999 +3.333 13.332 8.888 +6.666 15.554 7.777 +7.777 15.554 6.666 +6.666 13.332 9.999 +7.777 17.776 9.999 +2.222 12.221 8.888 +5.555 14.443 7.777 +6.666 14.443 6.666 +5.555 12.221 9.999 +6.666 16.665 9.999 +1.111 11.110 8.888 +4.444 13.332 7.777 +5.555 13.332 6.666 +4.444 11.110 9.999 +5.555 15.554 8.888 +8.888 17.776 8.888 +3.333 12.221 7.777 +4.444 12.221 5.555 +5.555 11.110

Sume ahora diez veces 111.111 para obtener 1.111.110. Haga lo mismo para los nmeros 222.222, 333.333, etc. hasta 999.999 para dar 9.999.990. Ahora sume diez veces 123.456.789 para obtener 1.234.567.890. Haga lo mismo para el nmero 987.654.321 para obtener 9.876.543.210. Estos dos ltimos ejercicios son ideales para obtener agilidad en el clculo. Practquelos frecuentemente. Ms ejercicios:47.626.371 94.493.374 26.242.464 +59.816.753 228.178.962 123 456 789 123 456 789 123 456 +789 4.104 741 852 963 741 852 963 741 852 +963 7.668 16.751.135 97.043.382 87.450.467 +64.523.585 265.768.569 111 222 333 444 555 666 777 888 +999 4.995 251 514 64 863 253 350 134 6 +266 2.701 36.077.301 36.447.527 49.548.323 +37.377.548 159.450.699 477 491 910 412 218 970 155 85 +344 4.062 455 594 214 570 326 773 537 861 +799 4.929

Sume los nmeros de la factura de la compra en el supermercado, los nmeros telefnicos de su agenda, etc., o escriba nmeros al azar y smelos. La prctica diaria es la clave del xito en el aprendizaje.

15

Sumas abreviadas Seguramente ya se habr dado cuenta de que algunas sumas son mucho ms fciles de hacer de modo indirecto. Por ejemplo, si queremos sumar 1.237 + 9.999 = 11.236 se puede hacer ms fcilmente en el Soroban sumando 10.000 y restando 1 en vez de sumar directamente 9.999, as: 1.237 + 10.000 1 = 11.236. Otro ejemplo: 2.368 + 198 = 2.566 se puede hacer mucho ms fcilmente sumando 200 y restando 2 en vez de sumar 198, as: 2.368 + 200 2 = 2.566. Pruebe a hacer las sumas anteriores en el Soroban de ambas formas. Cuando conozca perfectamente la resta entonces podr abordar las sumas abreviadas, de modo provechoso. Tras adquirir la soltura que le permita hacer cualquier suma que se le presente por compleja que sea, podr pasar al tema siguiente.

16

Tema 4: La restaEsta operacin es justo la contraria de la suma, por lo que en vez de acercar las cuentas a la barra central, para restar las separaremos. Restas sencillas Una resta es sencilla si en cada una de las varillas del Soroban la cifra del minuendo es mayor que la del sustraendo y se puede hacer la resta con un simple movimiento de los dedos ndice y pulgar alejando las cuentas necesarias de la barra central. Ejemplo: 68.279 56.163 = 12.116 Tras poner el Soroban a cero anote el nmero 68.279:

E +5 +1 D +5 +3 C +2 B +5 +2 A +5 +4 Ahora restamos fcilmente 56.163:

E 5 D 5 1 C 1 B 5 1 A 3 A pesar de que en las varillas D y B hemos tenido que mover dos cuentas a la vez, la resta es sencilla ya que en ambos casos slo hemos movido cuentas en una varilla. Ejercicios de restas sencillas Haga las siguientes restas sencillas varias veces hasta hacerlas con fluidez.21.658 -11.502 10.156 82.891 -51.790 31.101 34.569 -13.057 21.512 68.984 -55.582 13.402 92.353 14.993 -71.251 -11.861 21.102 3.132

17

Restas complejas Una resta es compleja cuando no se puede efectuar simplemente separando cuentas de la barra central para cada varilla y debemos usar combinaciones de sumas y restas en varias varillas para llevarlas a cabo. Como en el caso de las sumas complejas se resumirn en una tabla todas las operaciones para efectuar restas en cualquier varilla, sea cual sea el valor del sustraendo.

restar 1 2 3 4 5 6 7 8 9

restar restar restar restar restar restar restar restar restar

5 5 5 5 5 6 7 8 9

es lo mismo que y sumar 4 restar 10 y sumar 3 restar 10 y sumar 2 restar 10 y sumar 1 restar 10 restar 10 restar 10 restar 10 restar 10 restar 10

y sumar y sumar y sumar y sumar y sumar y sumar y sumar y sumar y sumar

9 8 7 6 5 4 3 2 1

Para aclarar el uso de la tabla en el siguiente ejemplo aplicaremos todos los tipos de restas, sencillas y complejas: 7.828.300 2.471.006 = 5.357.294 Lo primero que se hace es anotar en el Soroban el minuendo:

G +5 +2 Se restan 2 millones:

F +5 +3

E +2

D +5 +3

C +3

G -2 Ahora restamos 4 en la varilla F (cuatrocientos mil). Como no se pueden separar directamente 4 cuentas de la barra central acudimos a la tabla de la resta, en la que vemos que restar 4 es lo mismo que restar 5 y sumar 1:

18

F 5 +1 Para restar 7 en la varilla E (setenta mil) tambin debemos acudir a la tabla. En este caso se debe restar 1 en F y sumar 3 en E, con ello se han sumado 10 unidades en E (separando una cuenta de la barra central en F) y sumado 3 unidades en E, lo que equivale a restar 7 (10 + 3 = -7):

F 1

E +5 2

Para restar 1 en la varilla D (mil) simplemente separaremos una cuenta de la barra central:

D 1 Por ltimo debemos restar 6 de la varilla de las unidades A. No se puede hacer directamente en la varilla A, ni tampoco usando la tabla de la resta y restando 1 en B y sumando 4 en A (-10 + 4 = +6) porque la varilla B est a cero. En estos casos la solucin es sencilla: A la izquierda de la varilla donde se est efectuando la resta se busca la primera varilla con alguna cuenta sobre la barra central, en nuestro ejemplo es la varilla C. Se resta en esa varilla uno (C 1). Se ponen en nueve todas las varillas que entre las dos anteriores estaban a cero, en nuestro ejemplo slo ponemos a nueve la varilla B: B +5 +4 Finalmente se suma 4 en la varilla inicial A (A +4). Lo que se ha hecho para sumar 6 es simplemente: -100 + 94 = +6 porque no hemos podido hacer lo ms sencillo +6 10 + 4 = +6:

19

C 1

B +5 +4

A +4

En el Soroban podemos leer la solucin de la resta: 5.357.294 Otro ejemplo: 35.000 17 = 34.983

E +3

D +5

D 5 +4

C +5 +4

B +5 +4

B 1

A +3

Se comprende perfectamente cada uno de los pasos? Como en el caso de la suma se podra hacer un esquema sencillo para la resta. Cuando se quiere restar una cifra en cualquier varilla, genricamente etiquetada X, se intentar hacer lo que indica el primer punto, si ello no es posible pasaremos al punto siguiente y as sucesivamente hasta encontrar un punto aplicable: 1. Restamos las cuentas directamente en la varilla X. 2. Restamos 5 y sumamos lo que falta en la varilla X. 3. Restamos 1 (10) en la varilla situada a la izquierda de la varilla X, y sumamos lo que falta en la varilla X.

20

4. Restamos 1 en la primera varilla a la izquierda de la varilla X que no tenga un 0. Ponemos a nueve las varillas con 0 entre la varilla en la que hemos restado 1 y la varilla X. Finalmente sumamos lo que falta en la varilla X. Ejercicios de restas complejas Como ejercicios de restas tomaremos los ejercicios de sumas del tema anterior y tras anotar en el Soroban el resultado de la suma se le irn restando sucesivamente los sumandos hasta llegar al resultado final: cero. Un excelente ejercicio es efectuar la suma e inmediatamente la resta, con lo que adems de practicar ambas operaciones se comprueba fcilmente si se han cometido errores si el resultado final no es cero. Restas abreviadas Como ya ocurra en las sumas, algunas restas se pueden hacer de modo indirecto con mayor facilidad y por lo tanto con mayor rapidez. Por ejemplo, si se desea restar 989 de 3.578 se puede hacer indirectamente restando mil y luego sumando once: 3.578 989 = 3.578 1.000 + 11 = 2.589 Otro ejemplo: 2.366 - 198 = 2.168 se puede hacer con mayor rapidez restando 200 y luego sumando 2 en vez de restar directamente 198, as: 2.368 - 200 + 2 = 2.168 Haga las restas anteriores en el Soroban directa e indirectamente. Acostmbrese a pensar en el nmero que va a restar, y decida en cada caso cmo hacer la resta, directa o indirectamente, para hacerla lo ms rpidamente posible. Slo la prctica continua permite progresar, por lo que debe realizar sumas y restas a diario para aumentar la habilidad y disminuir el tiempo empleado en el clculo. Restar cuando el sustraendo es mayor que el minuendo Seguro que ya se ha preguntado si es posible con un Soroban hacer restas en las que el sustraendo es mayor que el minuendo, es decir, las que dan como resultado un nmero negativo. La respuesta es: s. Este tipo de problemas surgen diariamente por ejemplo al pagar la cuenta en un supermercado, ya que habitualmente se entrega una cantidad de dinero mayor que la solicitada, esperando la devolucin del excedente o cambio. Veamos un ejemplo: Un cliente compra varios objetos, por los que debe pagar en total 8,73 euros. El cajero tiene anotado en su Soroban 873 tras sumar los precios de los artculos. Si el cliente paga lo comprado con 10,00 euros, el cajero calcula el excedente a devolver al cliente de modo inmediato:

Se mira en el Soroban el nmero de cuentas que no se han acercado a la barra central en cada una de las varillas, en otras palabras, qu cuentas no tienen valor. En nuestro ejemplo, en la varilla C hay 1 cuenta sin valor. En la B hay 2 cuentas sin valor. En la ltima varilla, la A, hay 6 cuentas sin valor (la cuenta superior tiene valor cinco). El nmero obtenido, 126, es el complemento a 9 de 873 ya que ambos suman 999.21

Ahora la tcnica es sencilla. Agregue mentalmente uno al complemento a 9 y ya se tiene la respuesta: 126 + 1 = 127 Como esta solucin la hemos obtenido basndonos en el complemento a 9 se debe entender el resultado como un nmero negativo: 873 1000 = -127, por lo que el cajero debe devolver al cliente un euro y veintisiete cntimos. Lo ms importante es que se ha calculado la cantidad a devolver al cliente simplemente mirando el Soroban y sumando mentalmente 1, sin siquiera mover una cuenta. Ninguna calculadora electrnica puede dar la respuesta ms rpidamente. En este caso hemos podido hacer el clculo de modo tan simple porque el sustraendo est formado por un 1 seguido de tantos ceros como cifras tiene el minuendo. De no ser as an se podra hacer con inmediatez si el sustraendo es un nmero mltiplo de 10, por ejemplo, si el cliente hubiera pagado con un billete de 20 euros el cambio debera ser 1,27 euros (segn el ejemplo anterior) + 10 euros = 11,27 euros. Si queremos restar al minuendo un sustraendo cualquiera el proceso ya no ser inmediato, pero tampoco complicado. Como aplicacin veamos la resta: 5 - 32 = -27 Anotamos 5 en el Soroban. Ahora se tendra que sustraer 32. Obviamente no es posible hacerlo directamente. Se suma un uno seguido de tantos ceros como cifras tiene el sustraendo; en este caso el sustraendo tiene unidades y decenas por lo que se aade una centena (+ 100). En el Soroban se muestra 105.

A +5

C +1

Restamos ahora 32. Ahora en el Soroban se muestra 73.

C 1

B +5 +2

A 5 +3

Pero lo que nos interesa son las cuentas sin valor, las que no estn apoyadas en la barra central, es decir, el complemento a 9. En la varilla B hay 2 y en la A 6. Se suma mentalmente 1 a 26 y se obtiene la respuesta: 26 + 1 = 27. Luego 5 - 32 = -27. Abreviadamente: 5 32 = [comp ( 5 + 100 - 32)] + 1 = -27 Ejercicios de restas con complementos 45 100 = -55 (leyendo el complemento a 9 y sumando 1). 654 1000 = -346 (leyendo el complemento a 9 y sumando 1).22

45 123 = [comp (45 + 1000 123)] + 1 = -78 752 1268 = [comp (752 + 10000 1268)] + 1 = -516 Restar sumando Con el uso de los complementos a 9 cualquier resta se puede trasformar en una suma fcilmente. El mtodo es el siguiente: Sume al minuendo el complemento a 9 del sustraendo. Reste al resultado el nmero formado por un 1 seguido de tantos ceros como cifras tiene el sustraendo. Sume uno al resultado. El resultado se muestra en el Soroban. Veamos un ejemplo que aclarar la metodologa a seguir: 4.535 2.781 = 1.754 Anotamos en el Soroban el minuendo, en este caso 4.535:

D +4

C +5

B +3

A +5

Ahora sumamos al nmero anterior el complemento a 9 de 2.781, que es 7.218 ya que ambos suman 9.999.

E +1

D 3

C+2

B+1

B +5 -4

A 5 +3

Ahora debemos restar el nmero formado por un uno seguido de tantos ceros como cifras tiene el sustraendo, que en este ejemplo tiene cuatro cifras. Luego debemos restar 10.000:

E -1 Para finalizar, siguiendo el mtodo, se suma 1:

23

A +1 En el Soroban se puede leer la solucin: 1.754. Realmente lo que hemos hecho es 4.535 2.781 = 4.535 + 7.218 10.000 + 1 = 1.754. En el caso de que el sustraendo sea mayor que el minuendo simplemente se debe sumar al minuendo el complemento a 9 del sustraendo, leyendo en el Soroban las cuentas sin valor (el complemento a 9), que son las que no estn desplazadas hacia la barra central. Como ejemplo se har la resta 234 317 = -83. En primer lugar se anota en el Soroban el nmero 234:

C +2

B +3

A +4

Se suma el complemento a 9 de 317, que es 682:

C +5 +1

C +1

B 2

A +5 -3

En el Soroban se muestra 916, pero en este caso nos interesa la lectura de su complemento a 9, que son las cuentas sin valor: 083. Al haber ledo las cuentas sin valor el nmero 83 se entiende como negativo, -83. En forma abreviada se podra escribir: 234 317 = comp (234 + 682) = comp ( 234 + comp 317) = -83. Ejercicios de restas sumando Haga los siguientes ejercicios segn lo explicado y tambin segn los mtodos descritos con anterioridad.

24

2.168 -1.371 797 1.354 -2.623 -1.269 5.479 -1.145 4.334 8.825 -9.365 -540

8.791 -2.678 6.113 1.475 -2.982 -1.507 6.542 -2.813 3.711 5.732 -6.071 -339

6.142 -4.627 1.515 3.000 -7.624 -4.624 7.613 -2.096 5.517 2.243 -8.313 -6.070

6.002 -4.078 1.924 2.777 -7.627 -4.850 7.376 -6.666 710 2.401 -6.247 -3.846

7.108 -5.583 1.525 6.200 -8.952 -2.752 5.765 -1.013 4.752 1.890 -6.647 -4.757

Es imprescindible dominar la suma y la resta en el Soroban antes de iniciarse con operaciones ms complejas. No intente comenzar el estudio de un tema en ningn caso hasta dominar el tema anterior. El aprendizaje sin orden es una lastimosa forma de perder intilmente el tiempo sin lograr nada de provecho.

25

Tema 5: La multiplicacinMultiplicar es simplemente sumar repetidas veces el mismo nmero de modo abreviado. Es imprescindible el conocimiento a la perfeccin de la tabla de multiplicar siguiente:multiplicador

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 01 02 03 04 05 06 07 08 09

2 02 04 06 08 10 12 14 16 18

3 03 06 09 12 15 18 21 24 27

4 04 08 12 16 20 24 28 32 36

5 05 10 15 20 25 30 35 40 45

6 06 12 18 24 30 36 42 48 54

7 07 14 21 28 35 42 49 56 63

8 08 16 24 32 40 48 56 64 72

9 09 18 27 36 45 54 63 72 81

Cualquier nmero de una cifra por otro tambin de una cifra da como resultado un nmero de dos cifras, de las que la primera puede ser cero. Piense siempre as mientras dure el aprendizaje de la multiplicacin, lo que le permitir situar sistemticamente en el Soroban los resultados parciales de la multiplicacin. Existen varias formas diferentes de multiplicar en el Soroban, de las que se mostrarn tres. La primera es la forma comn utilizada en Japn, la segunda es una variante que permite multiplicaciones de varios factores y por ello es muy til para calcular potencias y la tercera es otra variante til en facturacin y contabilidad para hacer varias multiplicaciones y sumar los resultados de todas. Mtodo estndar Japons Este mtodo es el ms empleado actualmente y es el que se ensea a los nios en las escuelas en Japn. Para multiplicar dos nmeros se anota el multiplicando en la parte izquierda del Soroban, dejando algunas varillas de separacin con el multiplicador que se anotar en la parte derecha del Soroban dejando a su derecha tantas varillas a cero como cifras tiene el multiplicando ms una. Posteriormente se van multiplicando las cifras del multiplicando por la cifra de las unidades del multiplicador y sumando los resultados. Se borra la cifra de unidades del multiplicador y se repite el proceso con la cifra de las decenas y as sucesivamente hasta completar la operacin. En el Soroban se lee finalmente el multiplicando y el producto, ya que el multiplicador desaparece en el clculo. Ejemplo: 316 x 74 = 23.384 Anotamos 316 a la izquierda del Soroban, por ejemplo en las varillas L, K y J. Ahora se anota el multiplicador, 74, dejando a su derecha 4 varillas a cero ya que el multiplicando consta de tres cifras y hay que dejar a cero una ms. Por ello 74 se anota, el 7 en F y el 4 en E. En este caso se han dejado tres varillas a cero entre el multiplicando y el multiplicador, si se desea se pueden dejar ms, pero no conviene dejar slo una porque podran confundirse el multiplicando y el multiplicador:

multiplicando

26

L +3

K +1

J +5 +1

F +7

E +4

Alguien se podra preguntar a la vista del Soroban cmo se sabe que se debe multiplicar 316 x 74 y no 3.160 x 74? La respuesta est en las varillas libres. En el segundo caso habramos dejado cinco varillas a cero a la derecha del multiplicador y no cuatro. Anotar el multiplicador de esta manera permite colocar el multiplicando dnde se desee, y poder leer el resultado final sin ninguna duda. Se comienza la multiplicacin con las cifras del multiplicando de izquierda a derecha actuando sobre la cifra de unidades del multiplicador (4): 3 x 4 = 12 que se suma inmediatamente a la derecha de la varilla en la que est anotado el 4, es decir, en D y C:

D +1

C +2

A partir de ahora la varilla en la que hemos anotado la segunda cifra del producto ser la primera en la que anotaremos el siguiente. Seguimos multiplicando: 1 x 4 = 04 sumndose el 0 en C y el 4 en B. Lgicamente el 0 no se suma realmente, se ha mostrado para que se vea el orden de anotacin de la metodologa usada. Obsrvese que el producto anterior se sum en D y C, y ste en C y B:

B +4 6 x 4 = 24 que se anota en B y A:

B +5 3

A +4

27

Ya se han efectuado todos los productos sobre la unidad (4) del multiplicador, por ello se borra el 4 del Soroban:

E -4 Ahora se repite el proceso con la cifra de las decenas del multiplicador (7): 3 x 7 = 21 que se suma inmediatamente a la derecha de la varilla en la que est anotado el 7 (F), es decir, se suma el 2 en E y el 1 en D:

E +2 1 x 7 = 07 que se suma en D y C:

D +1

C +5 +2 6 x 7 = 42 que se suma en C y B:

D +1

C 5 1

B +2

Para finalizar se borra del Soroban la cifra de las decenas del multiplicando, el 7, de la varilla F:

28

F 5 -2 El resultado de la multiplicacin se puede leer fcilmente: 23.384 De haber querido efectuar el producto de dos nmeros con cifras decimales, por ejemplo 3,16 x 0,74 la metodologa es exactamente la misma, multiplique 316 x 74 y el resultado (23.384) se leer como 2,3384 que tiene cuatro cifras decimales (dos de 3,16 y las otras dos de 0,74). Si lo desea, para no tener que memorizar el nmero de cifras decimales, se puede anotar en una varilla libre a la izquierda del Soroban, por ejemplo en la varilla Q. As, en el caso de multiplicar 3,16 x 0,74 = 2,3384 el Soroban mostrara tras las operaciones (las mismas que en el ejemplo anterior) el aspecto que muestra la siguiente imagen. Obsrvese que en Q est anotado 4, por lo que los valores anotados en las varillas D, C, B y A son cifras decimales, y en E se encuentra la cifra de unidades del nmero, que se debe leer simplemente como 2,3384.

Si el multiplicando o el multiplicador tienen alguna cifra 0 slo se debe recordar que cualquier nmero de una cifra por 0 es 00, lo que nos permite seguir con el orden correcto de anotacin. Ejercicios de multiplicaciones estndar Realice las siguientes multiplicaciones primero en el orden mostrado y posteriormente en el inverso. El resultado ser el mismo en ambos casos porque el producto de nmeros tiene la propiedad conmutativa, pero de esta manera podr hacer un nmero doble de ejercicios.25 91 20 79 61 56 87 98 49 x 37 x 17 x 50 x 30 x 35 x 39 x 96 x 31 x 78 925 1.547 1.000 2.370 2.135 2.184 8.352 3.038 3.822 954 636 890 613 798 643 809 x 49 x 71 x 89 x 27 x 987 x 762 x 390 46.746 45.156 79.210 16.551 787.626 489.966 315.510 633 307 164 732 x 18 x 59 x 99 x 101 11.394 18.113 16.236 73.932 12,3 x 1,2 14,76 1,24 x 0,27 0,3348 6,88 x 1,23 8,4624

29

Mtodo multifactorial El mtodo anterior tiene el defecto de que el producto est colocado algunas varillas a la derecha del multiplicador, por lo que si se desea multiplicar el producto obtenido por otro multiplicando no habr varillas libres a la derecha para hacerlo. El mtodo multifactorial permite hacer multiplicaciones sucesivas, de dos factores, y tambin de ms de dos factores, porque los productos de cada multiplicacin se obtienen sobre el lugar donde est anotado el multiplicador, manteniendo la colocacin de unidades, decenas, centenas, etc., por lo que es un mtodo ideal para calcular factoriales, potencias, y cualquier multiplicacin con varios factores. Para ver la metodologa a seguir se efectuar el producto de los nmeros 25 x 473 cuyo resultado es 11.825. Se anota a la izquierda del Soroban el multiplicando al que se le resta siempre una unidad y a la derecha el multiplicador. Obsrvese que en las varillas Q y P se ha anotado 24 (25 1) y en las varillas C, B y A el nmero 473:

Q +2

P +4

C +4

B +5 +2

A +3

Ahora se multiplican las cifras del multiplicando por cada una de las del multiplicador de izquierda a derecha, sumando el resultado sobre el mismo multiplicador. En primer lugar se multiplica 2 x 4 = 08. Como el multiplicando (25) tiene dos cifras se anota sumando la cifra de las decenas de 08 (el 0) dos varillas a la izquierda de 4, sobre E, y a continuacin el 8 sobre D:

D +8 El 0 lgicamente no se suma, slo se muestra en el ejemplo para comprender la metodologa en la colocacin de los productos. La segunda de las varillas donde se suma cada producto es la primera varilla para sumar el producto siguiente, por ello el siguiente producto 4 x 4 = 16, se suma en las varillas D y C:

30

D +1

E +1

D 5 4

C -4

Ahora se hacen los productos de las cifras del multiplicando por la segunda cifra por la izquierda del multiplicador, que en este ejemplo es el 7 de la varilla B: 2 x 7 = 14, que se suma en las varillas D y C:

D +1 4 X 7 = 28 que se suma en C y B:

C +4

C +5 3

C +1

B -2

Por ltimo se hacen los productos de las cifras del multiplicando por la tercera cifra por la izquierda del multiplicador, que es el 3 de la varilla A: 2 x 3 = 06, que se suma en las varillas C y B:

C +1 4 x 3 = 12 que se suma en B y A:

B 5 +1

31

B +1

A +5 -3

En el Soroban se puede leer a la izquierda el multiplicador, y a la derecha la solucin del producto de los factores 25 y 473, que es 11.825. Realmente lo que se ha multiplicado es 24 (25 1) por 473, pero como el resultado se le suma al multiplicador que ya estaba anotado en el Soroban, el resultado es el esperado si se hubiese multiplicado directamente los factores 25 y 473: 24 x 473 + 473 = (24 + 1) x 473 = 25 x 473 = 11.825 Ejemplo: Clculo del rea de un tringulo cuya base mide 12,7 cm. y la altura 8,5 cm. El rea de un tringulo es la mitad del producto de la longitud de la base por la de la altura. En vez de dividir entre 2 se puede multiplicar por 0,5 obtenindose el mismo resultado, por lo que el rea pedida ser: 0,5 x 8,5 x 12,7. En el Soroban el clculo se realizar multiplicando 5 x 85 x 127 teniendo en cuenta que en el resultado final las tres cifras de la derecha son decimales. Anotamos 3 en la varilla Q para recordar que el resultado final tendr 3 cifras decimales. En una varilla a la izquierda del Soroban, por ejemplo en la L se anota el 5, pero tras restarle una unidad realmente se anota 4. Finalmente se anota el multiplicador, 127, en las varillas C, B y A.

Q +3 Se comienza la multiplicacin:

L +4

C +1

B +2

A +5 +2

4 x 1 = 04 y se suma en las varillas D y C (C +5 1). 4 x 2 = 08 y se suma en las varillas C y B (C +1, B -2). 4 x 7 = 28 y se suma en las varillas B y A (B +2, B +1, A 2).

32

Se borra el 4 de la varilla L y se anota el factor que queda por multiplicar, el 85, pero anotamos 84, una unidad menos, en las varillas M y L. Seguimos multiplicando: 8 4 8 4 8 4 x x x x x x 6 6 3 3 5 5 = = = = = = 48 y se 24 y se 24 y se 12 y se 40 y se 20 y se suma suma suma suma suma suma en las varillas en las varillas en las varillas en las varillas en las varillas en las varillas E y D (E +4, D +5 +3). D y C (E+54, D53, D+1, C51). D y C (D +2, C +4). C y B (C +5 4, B +5 -3). C y B (C +4). B y A (B +2).

Teniendo en cuenta, como se ve en la varilla Q, que las tres cifras de las varillas C, B y A son decimales, el resultado (el rea del tringulo) se puede leer como 53,975 cm 2. Ejercicios de multiplicaciones multifactoriales32 x 51 x 68 = 110.976 5 x 59 x 453 = 133.635 55 x 56 x 57 175.560 38 x 69 x 527 = 1.381.794

0,35 x 1,55 x 3 1,96 x 32 X 0,055 75 x 63 x 1,8 23,8 x 1,1 x 59 = 1,6275 = 3,4496 = 8505 = 1544,62

- Se compra un lote de 25 piezas a 8,5 euros cada unidad. Si se debe abonar adems un 16% de impuestos, qu cantidad se debe pagar por el lote? (Solucin: 25 x 8,5 x 1,16 = 246,5 euros). - Una habitacin de una casa mide 5,5 m de largo, 4,7 m de ancho y 2,4 m de altura. Calcule el volumen de la habitacin. (Solucin: 5,5 x 4,7 x 2,4 = 62,04 m 3). - Un crculo tiene de radio 24cm. Calcule el rea de dicho crculo.(Solucin: el rea del crculo es el producto del cuadrado del radio por 3,142, luego: 24 x 24 x 3,142 = 1.809,792cm2). - Calcule el cubo de 72. (Solucin: 72 x 72 x 72 = 373.248). Mtodo de multiplicaciones acumuladas A veces es necesario sumar los resultados de varias multiplicaciones de nmeros escritos en un papel. El mtodo a usar es el mtodo multifactorial, ya visto anteriormente, pero modificado de manera que los factores no se anotarn en el Soroban y por ello al multiplicando no se le restar una unidad. Como ejemplo se determinar el importe a pagar en un supermercado tras la compra de varios artculos con un descuento debido a una oferta especial: -12 litros de leche a 0,85 euros/litro - 2 cajas de galletas a 2,15 euros/caja - 1 paquete de azcar a 1,20 euros/paquete Sobre el total el supermercado nos hace un descuento del 5%.33

Los precios los pondremos en cntimos de euro y as no habr problema con los decimales. Por otro lado, aplicarle un descuento del 5% a una cantidad implica pagar slo el 95% del total. Las operaciones a realizar sern: 12 x 85 + 2 x 215 + 120 y al resultado de la suma se le multiplicar por 0,95 obtenindose el total a pagar. Para multiplicar 12 x 85 siguiendo el mtodo multifactorial modificado se haran los productos: 1 2 1 2 x x x x 8 8 5 5 = = = = 08 que se 16 que se 05 que se 10 que se suma suma suma suma en las varillas en las varillas en las varillas en las varillas D y C (C +5 +3). C y B (C +1, B +5 +1). C y B (D +1,C 5 1, B -5). B y A (B +1).

En el Soroban se puede leer el resultado parcial 1.020:

La siguiente multiplicacin, 2 x 215, se efecta de forma similar sumando los productos sobre el resultado anterior: 2 x 2 = 04 que se suma en las varillas D y C (C +4). 2 x 1 = 02 que se suma en las varillas C y B (B +2). 2 x 5 = 10 que se suma en las varillas B y A (B +5 -4): En el Soroban se puede leer el resultado parcial 1.450:

Se suma ahora 120 sobre el subtotal anterior y se obtiene el total a pagar: 1.570 (sin aplicar an el descuento).

C +5 4

B +2

Para aplicar el descuento del 5% se multiplica el valor mostrado en el Soroban por 0,95 (realmente por 95 y en el resultado se consideran 2 cifras decimales) por el mtodo multifactorial obtenindose el resultado final:34

En el Soroban se puede leer: - 2 en la varilla Q , que indica que el resultado final tiene dos cifras decimales, - 94 (95 1) en las varillas M y L, - 149150 en las varillas de la F a la A. El resultado se debe leer como 1.491,50 cntimos (con dos cifras decimales) o como 14,915 euros. Ejercicios de multiplicaciones acumuladas Los mejores ejercicios en este caso son las facturas de las compras habituales porque se usa el Soroban en clculos reales. Otros ejercicios:12 x 15 + 25 x 14 = 530 123 x 28 + 142 x 27 = 7.278 35 x 12 + 72 x 25 + 10 x 3 = 2.250 120 x 8 + 455 x 16 + 1.230 = 9.470

0,23 x 20 + 1,5 x 42 =67,6 635 x 15 + 48 x 18 + 9 x 12 = 10.497

Antes de pasar al tema siguiente, la divisin, se debe dominar la multiplicacin y las operaciones anteriores. Aplique sus conocimientos de clculo en el Soroban para realizar operaciones comunes de la vida real, como ya se ha hecho con el ejemplo de factura de compra.

35

Tema 6: La divisinSi multiplicar era simplemente sumar repetidas veces, seguro que se comprende que dividir es restar repetidas veces un nmero (el divisor) de otro (el dividendo) anotando cuntas veces se hace (el cociente), pero se usar tambin la multiplicacin para reducir el nmero de restas a efectuar. Mtodo estndar Japons En el Soroban se anotar el divisor en la parte izquierda y el dividendo en la central, quedando el cociente entre los dos anteriores y el resto de la divisin, si lo hay, a su derecha. El lugar de anotacin del dividendo es importante. A medida que avanza el proceso de la divisin, el dividendo va desapareciendo sustituido por el cociente. Observe las varillas en las que est anotado el dividendo, de ellas empezando a contar desde la derecha hacia la izquierda tantas como cifras tiene el divisor ms una sern ocupadas por la parte decimal del cociente, y a su izquierda la parte entera. Se puede ver como ejemplo la colocacin de 5.196 como dividendo y de 24 como divisor:

Obsrvese 24 anotado en las varillas Q y P y 5.196 en las varillas J, I, H y G. Como el divisor, 24, tiene dos cifras, tres (2+1) de las varillas del dividendo, de derecha a izquierda, sern ocupadas por la parte decimal del cociente: I, H y G, mientras que la parte del cociente anotada en la varilla J y en las de su izquierda sern su parte entera. Es comn anotar el dividendo en el Soroban de modo que sea siempre la misma varilla la que indica el inicio de la parte decimal del cociente (en este ejemplo la varilla I), y as se evita usar la memoria para recordar en cada divisin la varilla de inicio de la parte decimal del cociente. Una vez correctamente anotados en el Soroban el divisor y el dividendo ya se puede iniciar el proceso de la divisin que ser repetir los siguientes pasos hasta que desaparezca totalmente el dividendo en las divisiones exactas o hasta lograr el nmero de cifras decimales que se deseen en el cociente: 1. Seleccionar un grupo desde la izquierda del dividendo con tantas cifras como tiene el divisor de manera que el grupo sea mayor que el divisor. Si ello no es posible se seleccionar un grupo con una cifra ms que el divisor que desde luego ya es mayor que l. 2. Se anota el nmero de veces que se puede restar el divisor del grupo seleccionado, que ser una de las cifras del cociente, a la izquierda del dividendo dejando una varilla libre si el grupo tiene tantas cifras como el cociente o inmediatamente a la izquierda si el grupo tiene una cifra ms que el divisor. 3. Se multiplica la cifra del cociente anotada segn el paso anterior por el divisor y el producto se le resta al grupo seleccionado del dividendo. Si tras restar el producto obtenido segn el paso 3, el grupo seleccionado del dividendo sigue siendo mayor que el divisor es que la cifra del cociente elegida es demasiado pequea.36

La fcil solucin es simplemente restar al grupo seleccionado 1 (o ms) vez el divisor y sumar 1 (o ms) a la cifra del cociente. Recurdese que la divisin es una serie de restas repetidas y el uso de la multiplicacin es un modo de abreviar el proceso. Siguiendo con la divisin (5.196 / 24) se selecciona desde la izquierda un grupo de dos cifras del dividendo 51, que es mayor que el divisor. Del grupo seleccionado se le pueden restar 2 veces el divisor (24). El 2 se anota en la varilla L. Multiplique 2 por 24 y reste el resultado, 48, de 51 quedando 03 que ya es menor que el divisor. Tambin se puede hacer la multiplicacin y la resta paso a paso (se supone que ya se conocen perfectamente las operaciones tratadas en los temas anteriores): 2 x 2 = 04 que se resta de K y J 2 x 4 = 08 que se resta de J y I

J -5 +1

J -1

I +2

El resultado se puede ver en el grfico anterior. Seguidamente se selecciona un nuevo grupo del dividendo, el 39 que tambin es mayor que el divisor. De 39 se puede restar una vez 24, por lo que se anota 1 en la varilla K y se resta 24 x 1 = 24 de 39 quedando el grupo reducido a 15. Paso a paso se podra hacer: 1 x 2 = 02 que se resta de J y I 1 x 4 = 04 que se resta de I y H

I -2

H -4

Obsrvese cmo el cociente avanza de izquierda a derecha a medida que el dividendo va desapareciendo. El nuevo grupo a seleccionar de dos cifras 15 es menor que el divisor, por lo que se debe seleccionar un grupo con una cifra ms, 156, del que se puede restar el divisor 6 veces, por lo que anotaremos 6 en J, inmediatamente a la izquierda del dividendo segn indica el punto 2 del mtodo. Se multiplica 6 por 24 (6 x 24 = 144) y se resta el producto, 144, del grupo seleccionado, 156, quedando el grupo reducido a 12. Paso a paso se podra hacer tambin: 6 x 2 = 12 que se resta de I y H 6 x 4 = 24 que se resta de H y G37

I -1

H -5 +3

H -2

G -5 +1

Como en el caso anterior el nuevo grupo a seleccionar de dos cifras 12 es menor que el divisor, por lo que de nuevo se debe seleccionar un grupo con una cifra ms, 3, que el divisor, en este caso 120. A este grupo se le pueden restar exactamente 5 veces 24 (5 x 24 = 120) por lo que se da por terminada la divisin al haberse eliminado totalmente el dividendo. Se anota 5 en I y se hace la resta. Paso a paso se efectuara: 5 x 2 = 10 que se resta de H y G 5 x 4 = 20 que se resta de G y F

H -1

G -2

El resultado de la divisin se lee como 216,5 ya que la varilla I es la primera (y en este caso la nica) de la parte decimal del cociente. Como el dividendo desapareci por completo el resto es cero. Resumiendo: 5.196 / 24 = 216,5 con resto cero. Otro ejemplo: 362 / 451 = 0,8026607...

Se anota 451 en Q, P y O y 362 en H, G y F, dejando la varilla I como primera cifra de la parte decimal del cociente. Como el divisor tiene tres cifras seleccionamos el primer grupo de tres cifras del dividendo, 362, pero al ser menor que el divisor se debe seleccionar un grupo de 4 cifras, 3620. De este grupo se puede restar 451, el divisor, 8 veces. Se anota 8 en I, inmediatamente a la izquierda del dividendo, y se procede a hacer las multiplicaciones y las restas:38

8 x 4 = 32 que se resta de H y G 8 x 5 = 40 que se resta de G y F 8 x 1 = 08 que se resta de F y E

Ahora se selecciona como grupo 1200, ya que el grupo 120 es menor que el divisor. De 1200 se puede restar 2 veces el divisor, 451, por lo que se anota 2 en G y se hace como en el paso anterior las multiplicaciones y las restas: 2 x 4 = 08 que se resta de F y E 2 x 5 = 10 que se resta de E y D 2 x 1 = 02 que se resta de D y C

Del siguiente grupo 2980 se puede restar 6 veces el divisor, 451, luego se anota 6 en F y se hacen las restas: 6 x 4 = 24 que se resta de E y D 6 x 5 = 30 que se resta de D y C 6 x 1 = 06 que se resta de C y B

Por ltimo se selecciona el grupo 2740 del que se puede restar 6 veces el divisor. Se anota 6 en E y como en el paso anterior se hacen las restas: 6 x 4 = 24 que se resta de D y C 6 x 5 = 30 que se resta de C y B 6 x 1 = 06 que se resta de B y A

39

El resultado de la divisin se lee en las varillas de la I a la E, recordando que I es la varilla donde est anotada la primera cifra decimal del cociente: 362 / 451 = 0,80266 Incluso se podra asegurar que la siguiente cifra del cociente sera un 0, quedando el cociente como 0,802660. Puede ver la causa de ello sin hacer ninguna operacin? A veces algunas divisiones se pueden simplificar antes de efectuarse utilizando potencias de 10, por ejemplo: 5,196 / 2,4 = 5.196 / 2400 pero esta divisin es simplemente hacer 5.196 / 24 = 216,5 y correr la coma decimal dos lugares a la izquierda: 2,165 Otras veces se pueden hacer divisiones por medio de multiplicaciones, por ejemplo, dividir un nmero por 2 es lo mismo que multiplicarlo por 0,5, lo que es multiplicar por 5 y dividir el resultado por 10 (correr la coma decimal un lugar a la izquierda); dividir un nmero por 5 es multiplicarlo por 2 y luego dividirlo por 10, etc. El uso continuo del Soroban har que el usuario descubra por s mismo mtodos abreviados para las divisiones ms comunes, apoyndose fundamentalmente en la multiplicacin. Ejercicios de divisiones Exactas No exactas Simplificables 2.139 / 23 = 93 782 / 147 = 5,3197 800 / 24 = 33,3333 1.798 / 31 = 58 12.100 / 79 = 153,16 0,04 / 0,007 = 5,7142 2.664 / 72 = 37 9.372 / 107 = 87,588 97,5 / 4,2 = 23,214 1.176 / 8 = 147 13.000 / 71 = 183,09 23,6 / 11,4 = 2,0701 15.688 / 148 = 106 498 / 599 = 0,83138 6,973 / 0,8 = 8,7162 22.356 / 207 = 108 17 / 2.143 = 0,0079328 1.297 / 5 = 259,4 16.920 / 94 = 180 355 / 113* = 3,14159 248 / 24 = 10,3333 *El cociente 355 / 113 es una excelente aproximacin del nmero . - Un grupo de 34 personas se reparten un premio de 50.099 . Cunto debe recibir cada uno de ellos? (Solucin: 50.099 / 34 = 1.473,5). - El marco de un Soroban es un rectngulo de lados 28 y 8 cm. Calcule sus dimensiones en pulgadas sabiendo que una pulgada equivale a 2,54 cm. (Solucin: 28 / 2,54 = 11,02 y 8 / 2,54 = 3,149). - Si por tres kilogramos de pescado debemos pagar 15,6 en la pescadera, cunto se debera pagar por 8 kilogramos del mismo tipo de pescado? (Solucin: 15,6 x 8 /3 = 124,8 / 3 = 41,6 ) - Cinco cajas iguales pequeas y una grande pesan en total 3.150 g. Calcule el peso de cada caja si la grande tiene peso doble que una pequea. (Solucin: 3.150 / 7 = 450 g pesa cada una de las cajas pequea; 2 x 450 = 900 g pesa la caja grande)

40

Tema 7: Las potenciasEl mtodo que se utilizar para el clculo de potencias de nmeros es simplemente el mtodo multifactorial de multiplicacin ya visto en el tema 5. Ello es consecuencia directa de que cualquier potencia entera de un nmero no es ms que ese nmero multiplicado por si mismo varias veces. Usar el mtodo multifactorial para el clculo de potencias tiene varias ventajas importantes: 1. Ya es conocido por haber sido estudiado con anterioridad en el tema 5. 2. No es necesario memorizar frmulas, como las del binomio de Newton, ni hacer clculos mentales como s se deben hacer siguiendo otros mtodos. 3. El nico lmite del mtodo es el nmero de varillas disponibles en el Soroban. Por ejemplo, si se desea calcular el cuadrado del nmero 35 slo es necesario multiplicar 35 x 35 = 1.225. Primero se anotan los factores en el Soroban siguiendo el mtodo multifactorial:

Q +3 Y ahora se efecta la multiplicacin: 3 4 3 4 x x x x 3 3 5 5 = = = = 09 que se 12 que se 15 que se 20 que se suma suma suma suma en DC en CB en CB en BA

P +4

B +3

A +5

Tras efectuar la multiplicacin se lee en el Soroban el resultado, 1.225. Si se desea calcular 353 se calcula primero 35 x 35 = 1.225 y posteriormente se multiplica 35 x 1.225 = 42.875. La ventaja es que los factores ya estn anotados en el Soroban. El resultado, 42.875, es el cubo de 35:

41

353 = 42.875 Multiplicando ahora 35 x 42.875 se obtendra 1.500.625, la cuarta potencia del nmero 35.

354 = 1.500.625 Y as se podra seguir hasta agotar las varillas disponibles en el Soroban. Ejercicios de potencias 1282 = 128 x 128 = 16.384 4.5732 = 4.573 x 4.573 = 20.912.329 573 = 57 x 57 x 57 = 3.249 x 57 = 185.193 253 = 25 x 25 x 25 = 625 x 25 = 15.625 1203 = 120 x 120 x 120 = 14.400 x 120 = 1.728.000 Tambin se puede hacer como: 1203 = 123 x 103 = 12 x 12 x 12 x 103 = 144 x 12 x 103 = 1.728 x 103 = 1.728.000 Otro ejercicio: 624 = 62 x 62 x 62 x 62 = 3.844 x 62 x 62 = 238.328 x 62 = 14.776.336 Tambin se podra hacer: 624 = 622 x 622 = (62 x 62) x (62 x 62) = 3.844 x 3.844 = 14.776.336 Un ltimo ejercicio: 78 = 74 x 74 = (72 x 72) x (72 x 72) = (49 x 49) x (49 x 49) = 2.401 x 2.401 = 5.764.801 Problemas sencillos: - Calcule el volumen de un cubo de lado 1.6 m. (Solucin: 1,6 3 = 1,6 x 1,6 x 1,6 = 16 x 16 x 16 x 10-3 = 256 x 16 x 10-3 = 4.096 x 10-3 = 4,096 m3 ). - Calcule el volumen de un hangar de 4,5 m de ancho, 4,5 m de alto y 45m de largo. (Solucin: 4,5 x 4,5 x 45 = 45 x 45 x 45 x 10 -2 = 2.025 x 45 x 10-2 = 91.125 x 10-2 = 911,25 m3 ).42

Tema 8: Races cuadradasDividir era simplemente restar del dividendo repetidas veces el divisor, por lo que la multiplicacin simplificaba el proceso. El clculo de races cuadradas es tambin una sucesin de restas, aunque no de modo tan simple como en el caso de la divisin. Mtodo estndar Chino Para el clculo de races cuadradas se debe seguir la siguiente metodologa: 1. El radicando se anota en la parte derecha del Soroban, dejando entre el radicando y el borde derecho del Soroban el doble de varillas libres que cifras decimales deseamos obtener en el nmero raz. Separe mentalmente el radicando en grupos de 2 cifras comenzando por el punto decimal de derecha a izquierda. 2. Se anota la cifra 1 en una varilla de la parte izquierda del Soroban. Al nmero anotado se le llama nmero raz y se resta del grupo situado ms a la izquierda del radicando o grupo activo. 3. Se suma 2 al nmero raz y se resta el nuevo nmero raz obtenido al grupo activo del radicando. Este proceso, sumar 2 al nmero raz y restar el nuevo nmero raz obtenido al grupo activo se repite las veces necesarias hasta que el grupo activo sea menor que el nmero raz. Obsrvese que en cada paso el nmero raz aumenta y el grupo activo disminuye. 4. Seguidamente el grupo activo presente y el siguiente grupo de dos cifras del radicando forman el nuevo grupo activo. Al nmero raz se le multiplica por 10 y se le suma 11, y se resta el valor obtenido del nuevo grupo activo. Se repite el proceso del punto 3 hasta que de nuevo el grupo activo sea menor que el nmero raz. En ese caso se aplica de nuevo el punto 4 hasta que el radicando desaparezca o se tengan las cifras decimales deseadas. 5. A veces tras aadir el siguiente grupo de dos cifras a un grupo activo para formar el nuevo grupo activo, ste sigue siendo menor que el nmero raz. Entonces al nmero raz se le multiplica por 100 (no por 10) y se le suma 101 (no 11) y al grupo activo se le aaden dos cifras ms. Tras ello se sigue con la mtodo segn los puntos 3 y 4. 6. Finalizadas las restas se le suma 1 al nmero raz final y al resultado se le multiplica por 4 sumando el producto sobre el nmero raz, es decir, multiplicar por 5 segn el mtodo multifactorial. El resultado es la raz cuadrada del radicando con tantas cifras decimales como se indic en el punto 1.

Ejemplo 1:

784 = 28

Como no sabemos si la raz cuadrada de 784 es exacta o no, anotamos 784 en el Soroban en las varillas G, F y E, dejando libres las cuatro varillas D, C, B y A para calcular dos cifras decimales si fuera necesario. Separamos mentalmente el nmero anotado en grupos de dos cifras comenzando desde la coma decimal, segn el punto 1: 7-84-00-00. Hay 2 grupos a la izquierda de la coma decimal, por lo que el resultado de la raz cuadrada ser un nmero de dos cifras (unidades y decenas) y con dos cifras decimales (por los dos grupos 00) si las hubiera.

43

G +5 +2

F +5 +3

E +4

Como indica el punto 2 se anota la cifra 1 en una varilla a la izquierda del Soroban, por ejemplo en L y se resta del grupo activo 7:

L +1

G -1

Aplicando el punto 3 se suma 2 al nmero raz (1 + 2 = 3) y el resultado obtenido se resta del grupo activo:

L+2

G 5 +2

Si se sumase 2 al nmero raz, ste ya sera mayor que el grupo activo, por lo que aplicando el punto 4 se multiplica el nmero raz por 10 y se le suma 1, y el resultado, 41, se resta del nuevo grupo activo 384 quedando el nuevo grupo activo como 343

L +1

K +1

F 5 +1

E 1

De nuevo se suma 2 al nmero raz y se resta la suma del grupo activo. Esto se hace varias veces hasta que se llega a la posicin del grfico.

44

En esta posicin tras sumar 2 al nmero raz y restar el resultado del grupo activo el radicando desaparece por completo, por lo que la raz cuadrada de 784 es un nmero entero, sin decimales:

K +5 3

F 5

E 5

Segn indica el punto 6 se le suma 1 al nmero raz (55 + 1 = 56) y se multiplica el resultado por 4 sumando el producto sobre el nmero raz:

K +1 4 x 5 = 20 que se suma a M y L 4 x 6 = 24 que se suma a L y K El resultado se lee en las varillas M y L: Ejemplo 2: 37 = 6,08

784 = 28

Como en el ejemplo anterior dejamos libres las varillas D, C, B y A para hacer el clculo con dos cifras decimales. Segn el procedimiento se anota 37 en F y E y 1 en la varilla L. Seguimos las instrucciones del punto 3 hasta que el grupo activo sea menor que el nmero raz.

45

Ahora el grupo activo debera ser 100, al nmero raz se le debera multiplicar por 10 y sumarle 11 obtenindose 121, pero este nuevo nmero raz sera mayor que el grupo activo, por lo que aplicando el punto 5 el grupo activo es 10000 y el nuevo nmero raz ser 11 x 100 + 101 = 1.201, menor que el grupo activo. Se resta 1.201 de 10.000 y se sigue el procedimiento del punto 3 hasta que el grupo activo sea menor que el nmero raz:

Como indica el punto 6 se suma 1 al nmero raz y se le multiplica por 4 sumando el producto sobre el nmero raz:

El nmero 37 slo tena un grupo de dos cifras, por lo que el resultado de la raz tendr una cifra entera 6 y dos cifras decimales 08, luego 37 = 6,08 . Ejercicios de races cuadradas Haga las siguientes races cuadradas segn el mtodo descrito anteriormente:324 = 181.296 = 36

441 = 21 11.236 = 106

17 = 4,12335 = 5,916

180 = 13,415.308 = 72,85

-Una finca de forma cuadrada tiene de rea 268,96 m2. Calcule la longitud de sus lados. (Solucin: 268,96 = 16,4 m ) -Una caja con forma de ortoedro tiene de altura 10 cm. y de volumen 202,5 cm 2. Calcule las medidas de los lados de la base si son iguales. (Solucin: 202,5 = 20,25 = 4,5 cm)10

46

Tema 9: Otras operacionesEste tema simplemente tiene la intencin de mostrar algunas de las posibilidades del Soroban para cualquier tipo de clculos, por complejos que sean. Logaritmos Si se cuenta con unas tablas de logaritmos el Soroban permite hacer prcticamente cualquier clculo. Para ello es preciso conocer qu es un logaritmo, sus propiedades, as como las propiedades de las funciones exponenciales: Funciones exponenciales Funciones logartmicas

a b a c = a b +cab = a b-c c a

Log (a b ) = Loga + Logb

a Log = Loga Logb b

a b = a bcc

Log (a b ) = b LogaLog b a c = c Loga b

b

a =ac

c b

Ejemplo 1: 2516 = 2,32 x 1022 Se aplica la funcin logaritmo al nmero y tras simplificar mentalmente la expresin calculando los logaritmos de 2,5 y de 10 con la tabla, se hace la multiplicacin final con el Soroban:Log 25 16 = 16 Log 25 = 16 Log (2,5 10 ) = 16 (Log 2,5 + log 10 ) = = 16 (0,3979 + 1) = 16 1,3979 = 22,3664 Luego : 25 16 = 10 22,3664 = 10 22 10 0,3664 = 10 22 2,32 = 2,32 10 22

(

)

Ejemplo 2: 51,4 = 9,52 Como en el caso anterior:Log 51,4 = 1,4 Log 5 = 1,4 0,6990 = 0,9786

( )

Luego: 51,4 = 10 0,9786 = 9,52

Ejemplo 3:

5

17 = 1,761 1 1 1 Log5 17 = Log17 = (Log1,7 + Log10) = (0,2304 + 1) = 1,2304= 0,2460 5 5 5 5 5 Luego: 17 = 10 0,2460 = 1,76

Ejemplo 4:

Log3(8,31) = 1,927

47

Log

3

(8,31 ) =

Log (8,31 Log 3

)

=

0,9196 0,4771

=

9196 4771

= 1,927

Trigonometra Como en el caso de los logaritmos, si se dispone de tablas adecuadas el Soroban permite la resolucin de cualquier problema en el que se utilicen las razones trigonomtricas. Ejemplo 1: Dos de los lados de un tringulo miden 15,5 cm. y 24,3 cm., y el ngulo entre ellos es 36 23. Calcule el rea del tringulo. (Solucin: El rea de cualquier tringulo se puede calcular multiplicando 0,5 por las longitudes de dos lados y por el seno del ngulo entre ellos. En este caso el rea se calculara: 0,5 x 15,5 x 24,3 x sen (36 23). Primeramente se calcula con ayuda de las tablas la razn trigonomtrica: sen (36 23) = 0,5925 + 0,0007 = 0,5932 y ahora se procede a las multiplicaciones en el Soroban, multiplicando 5 x 155 x 243 x 5.932 con siete cifras decimales. Finalmente el valor del rea del tringulo que se puede leer en el Soroban es 111,7143900 cm2, valor que se puede redondear, incluso mientras se realizan las multiplicaciones en el Soroban, a 111,7 cm 2.) Ejemplo 2: Calcule sec (78 51).(Solucin : 1 1 10.000 = = = 5,17 cos (7851' ) 0,1934 1.934 Usando la tabla : cos (7851' ) = 0,1937 0,0003 = 0,1934) sec (7851'

)=

Ejemplo 3: Desde el punto ms alto de un poste vertical de 3,1 m de altura se tiende un cable de sujecin que forma 48 30 con la horizontal. Calcule la longitud del cable.(Solucin : 3,1 sen (48 30' Usando 3,1 0,7490 : sen 31.000 7.490 30' 3.100 749

)

=

=

=

= 4,138

m

la tabla

(48

)=

0,7490)

Mximo comn divisor MCD y mnimo comn mltiplo MCM de dos o ms nmeros. El mtodo a utilizar ser el algoritmo de Euclides, por el que simplemente utilizando la resta se obtendr el MCD de dos nmeros anotados en el Soroban. Como para dos nmeros cualesquiera a y b se cumple siempre que: MCM (a, b) x MCD (a, b) = a x b el clculo posterior del MCM es sencillamente una divisin exacta y un producto. Anote uno de los nmeros en la parte derecha del Soroban y el otro en la parte izquierda. Reste el menor de ellos del mayor tantas veces como sea posible (puede apoyarse en la48

multiplicacin para reducir el nmero de restas). Ahora tiene anotados en el Soroban uno de los nmeros iniciales y otro, que ahora es el menor. Repita el proceso de restar el menor del mayor las veces que sea posible hasta obtener otra nueva pareja de nmeros. Prosiga con esta metodologa hasta que uno de los dos nmeros se convierta en 0. El nmero que queda es el MCD de los nmeros anotados inicialmente. Si es 1 se dice que los nmeros anotados inicialmente son primos entre s, ya que no tienen ms divisores comunes que el 1. Si ahora desea calcular el MCM deber dividir uno de los nmeros, por ejemplo a entre el recin calculado MCD. La divisin es exacta. El cociente de la divisin se multiplicar por b. El resultado es el MCM de a y b. Ejemplo: Clculo del MCD y MCM de 150 y 125: Anotamos los nmeros en el Soroban: 125---150. Tras restar 125 de 150 una vez el resultado es: 125---25. Ahora se resta 25 de 125 las veces que sea posible (5): 0---25. Uno de los nmeros ya se ha convertido en 0, el otro, 25, es el MCD de 150 y 125. Ahora divida uno de los nmeros iniciales entre el MCD y el resultado multiplquelo por el otro de los nmeros iniciales:

125 150 = 5 150 = 750 = MCM 25Luego: MCD (125, 150) = 25 y MCM (125, 150) = 750 Si desea calcular el MCD de ms de dos nmeros, primero calcule el MCD de dos de ellos, luego calcule el MCD del siguiente nmero y del MCD calculado en el paso anterior, y as sucesivamente. Para hallar el MCM deber dividir uno de los nmeros iniciales entre el MCD total y el cociente lo multiplicar por los restantes nmeros iniciales.

49

Tabla de logaritmos decimales IN 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 0 0000 0414 0792 1139 1461 1761 2041 2304 2553 2788 3010 3222 3424 3617 3802 3979 4150 4314 4472 4624 4771 4914 5051 5185 5315 5441 5563 5682 5798 5911 6021 6128 6232 6335 6435 6532 6628 6721 6812 6902 6990 7076 7160 7243 7324 1 0043 0453 0828 1173 1492 1790 2068 2330 2577 2810 3032 3243 3444 3636 3820 3997 4166 4330 4487 4639 4786 4928 5065 5198 5328 5453 5575 5694 5809 5922 6031 6138 6243 6345 6444 6542 6637 6730 6821 6911 6998 7084 7168 7251 7332 2 0086 0492 0864 1206 1523 1818 2095 2355 2601 2833 3054 3263 3464 3655 3838 4014 4183 4346 4502 4654 4800 4942 5079 5211 5340 5465 5587 5705 5821 5933 6042 6149 6253 6355 6454 6551 6646 6739 6830 6920 7007 7093 7177 7259 7340 3 0128 0531 0899 1239 1553 1847 2122 2380 2625 2856 3075 3284 3483 3674 3856 4031 4200 4362 4518 4669 4814 4955 5092 5224 5353 5478 5599 5717 5832 5944 6053 6160 6263 6365 6464 6561 6656 6749 6839 6928 7016 7101 7185 7267 7348 4 0170 0569 0934 1271 1584 1875 2148 2405 2648 2878 3096 3304 3502 3692 3874 4048 4216 4378 4533 4683 4829 4969 5105 5237 5366 5490 5611 5729 5843 5955 6064 6170 6274 6375 6474 6571 6665 6758 6848 6937 7024 7110 7193 7275 7356 5 0212 0607 0969 1303 1614 1903 2175 2430 2672 2900 3118 3324 3522 3711 3892 4065 4232 4393 4548 4698 4843 4983 5119 5250 5378 5502 5623 5740 5855 5966 6075 6180 6284 6385 6484 6580 6675 6767 6857 6946 7033 7118 7202 7284 7364 6 0253 0645 1004 1335 1644 1931 2201 2455 2695 2923 3139 3345 3541 3729 3909 4082 4249 4409 4564 4713 4857 4997 5132 5263 5391 5514 5635 5752 5866 5977 6085 6191 6294 6395 6493 6590 6684 6776 6866 6955 7042 7126 7210 7292 7372 7 0294 0682 1038 1367 1673 1959 2227 2480 2718 2945 3160 3365 3560 3747 3927 4099 4265 4425 4579 4728 4871 5011 5145 5276 5403 5527 5647 5763 5877 5988 6096 6201 6304 6405 6503 6599 6693 6785 6875 6964 7050 7135 7218 7300 7380 8 0334 0719 1072 1399 1703 1987 2253 2504 2742 2967 3181 3385 3579 3766 3945 4116 4281 4440 4594 4742 4886 5024 5159 5289 5416 5539 5658 5775 5888 5999 6107 6212 6314 6415 6513 6609 6702 6794 6884 6972 7059 7143 7226 7308 7388 9 0374 0755 1106 1430 1732 2014 2279 2529 2765 2989 3201 3404 3598 3784 3962 4133 4298 4456 4609 4757 4900 5038 5172 5302 5428 5551 5670 5786 5899 6010 6117 6222 6325 6425 6522 6618 6712 6803 6893 6981 7067 7152 7235 7316 7396 1 4 4 4 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 9 8 7 7 6 6 5 5 5 5 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 5 6 7 12 17 21 25 29 11 15 19 23 26 10 14 17 21 24 10 13 16 19 23 9 12 15 18 21 9 12 14 17 20 8 11 13 16 18 8 10 12 15 17 7 10 12 14 16 7 9 11 14 16 7 9 11 13 15 6 8 10 12 14 6 8 10 12 14 6 8 9 11 13 5 7 9 11 13 5 7 9 10 12 5 7 8 10 12 5 6 8 10 11 5 6 8 9 11 4 6 7 9 10 4 6 7 9 10 4 6 7 8 10 4 5 7 8 9 4 5 7 8 9 4 5 6 8 9 4 5 6 7 9 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 3 5 6 7 8 3 4 6 7 8 3 4 5 6 8 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 3 4 5 6 6 3 4 5 5 6 3 4 4 5 6 3 3 4 5 6 3 3 4 5 6 3 3 4 5 6 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 8 9 33 37 30 34 28 31 26 29 24 27 22 25 21 24 20 22 19 21 18 20 17 19 16 18 15 17 15 17 14 15 14 16 13 15 13 14 12 14 12 13 12 13 11 13 11 12 10 12 10 11 10 11 10 11 9 11 9 10 9 10 9 10 8 10 8 9 8 9 8 9 8 9 8 8 7 8 7 8 7 8 7 8 7 8 7 7 7 7 6 7

50

Tabla de logaritmos decimales IIN 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 0 7404 7482 7559 7634 7709 7782 7853 7924 7993 8062 8129 8195 8261 8325 8388 8451 8513 8573 8633 8692 8751 8808 8865 8921 8976 9031 9085 9138 9191 9243 9294 9345 9395 9445 9494 9542 9590 9638 9685 9731 9777 9823 9868 9912 9956 1 7412 7490 7566 7642 7716 7789 7860 7931 8000 8069 8136 8202 8267 8331 8395 8457 8519 8579 8639 8698 8756 8814 8871 8927 8982 9036 9090 9143 9196 9248 9299 9350 9400 9450 9499 9547 9595 9643 9689 9736 9782 9827 9872 9917 9961 2 7419 7497 7574 7649 7723 7796 7868 7938 8007 8075 8142 8209 8274 8338 8401 8463 8525 8585 8645 8704 8762 8820 8876 8932 8987 9042 9096 9149 9201 9253 9304 9355 9405 9455 9504 9552 9600 9647 9694 9741 9786 9832 9877 9921 9965 3 7427 7505 7582 7657 7731 7803 7875 7945 8014 8082 8149 8215 8280 8344 8407 8470 8531 8591 8651 8710 8768 8825 8882 8938 8993 9047 9101 9154 9206 9258 9309 9360 9410 9460 9509 9557 9605 9652 9699 9745 9791 9836 9881 9926 9969 4 7435 7513 7589 7664 7738 7810 7882 7952 8021 8089 8156 8222 8287 8351 8414 8476 8537 8597 8657 8716 8774 8831 8887 8943 8998 9053 9106 9159 9212 9263 9315 9365 9415 9465 9513 9562 9609 9657 9703 9750 9795 9841 9886 9930 9974 5 7443 7520 7597 7672 7745 7818 7889 7959 8028 8096 8162 8228 8293 8357 8420 8482 8543 8603 8663 8722 8779 8837 8893 8949 9004 9058 9112 9165 9217 9269 9320 9370 9420 9469 9518 9566 9614 9661 9708 9754 9800 9845 9890 9934 9978 6 7451 7528 7604 7679 7752 7825 7896 7966 8035 8102 8169 8235 8299 8363 8426 8488 8549 8609 8669 8727 8785 8842 8899 8954 9009 9063 9117 9170 9222 9274 9325 9375 9425 9474 9523 9571 9619 9666 9713 9759 9805 9850 9894 9939 9983 7 7459 7536 7612 7686 7760 7832 7903 7973 8041 8109 8176 8241 8306 8370 8432 8494 8555 8615 8675 8733 8791 8848 8904 8960 9015 9069 9122 9175 9227 9279 9330 9380 9430 9479 9528 9576 9624 9671 9717 9763 9809 9854 9899 9943 9987 8 7466 7543 7619 7694 7767 7839 7910 7980 8048 8116 8182 8248 8312 8376 8439 8500 8561 8621 8681 8739 8797 8854 8910 8965 9020 9074 9128 9180 9232 9284 9335 9385 9435 9484 9533 9581 9628 9675 9722 9768 9814 9859 9903 9948 9991 9 7474 7551 7627 7701 7774 7846 7917 7987 8055 8122 8189 8254 8319 8382 8445 8506 8567 8627 8686 8745 8802 8859 8915 8971 9025 9079 9133 9186 9238 9289 9340 9390 9440 9489 9538 9586 9633 9680 9727 9773 9818 9863 9908 9952 9996 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 7 6 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 8 6 6 6 6 6 6 6 6 6 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 9 7 7 7 7 7 7 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

51

Tablas trigonomtricas Isenos naturales 0 - 45 10 20 30 40 50 60' 0029 0058 0087 0116 0145 0175 0204 0233 0262 0291 0320 0349 0378 0407 0436 0465 0494 0523 0552 0581 0610 0640 0669 0698 0727 0756 0785 0814 0843 0872 0901 0929 0958 0987 1016 1045 1074 1103 1132 1161 1190 1219 1248 1276 1305 1334 1363 1392 1421 1449 1478 1507 1536 1564 1593 1622 1650 1679 1708 1736 1765 1794 1822 1851 1880 1908 1937 1965 1994 2022 2051 2079 2108 2136 2164 2193 2221 2250 2278 2306 2334 2363 2391 2419 2447 2476 2504 2532 2560 2588 2616 2644 2672 2700 2728 2756 2784 2812 2840 2868 2896 2924 2952 2979 3007 3035 3062 3090 3118 3145 3173 3201 3228 3256 3283 3311 3338 3365 3393 3420 3448 3475 3502 3529 3557 3584 3611 3638 3665 3692 3719 3746 3773 3800 3827 3854 3881 3907 3934 3961 3987 4014 4041 4067 4094 4120 4147 4173 4200 4226 4253 4279 4305 4331 4358 4384 4410 4436 4462 4488 4514 4540 4566 4592 4617 4643 4669 4695 4720 4746 4772 4797 4823 4848 4874 4899 4924 4950 4975 5000 5025 5050 5075 5100 5125 5150 5175 5200 5225 5250 5275 5299 5324 5348 5373 5398 5422 5446 5471 5495 5519 5544 5568 5592 5616 5640 5664 5688 5712 5736 5760 5783 5807 5831 5854 5878 5901 5925 5948 5972 5995 6018 6041 6065 6088 6111 6134 6157 6180 6202 6225 6248 6271 6293 6316 6338 6361 6383 6406 6428 6450 6472 6494 6517 6539 6561 6583 6604 6626 6648 6670 6691 6713 6734 6756 6777 6799 6820 6841 6862 6884 6905 6926 6947 6967 6988 7009 7030 7050 7071 50 40 30 20 10 0 cosenos naturales 45 - 90 diferencias a sumar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 89 3 6 9 12 15 17 20 23 26 88 3 6 9 12 15 17 20 23 26 87 3 6 9 12 15 17 20 23 26 86 3 6 9 12 15 17 20 23 26 85 3 6 9 12 14 17 20 23 26 84 3 6 9 12 14 17 20 23 26 83 3 6 9 12 14 17 20 23 26 82 3 6 9 12 14 17 20 23 26 81 3 6 9 12 14 17 20 23 26 80 3 6 9 11 14 17 20 23 26 79 3 6 9 11 14 17 20 23 26 78 3 6 9 11 14 17 20 23 26 77 3 6 9 11 14 17 20 23 26 76 3 6 8 11 14 17 20 23 25 75 3 6 8 11 14 17 20 23 25 74 3 6 8 11 14 17 20 22 25 73 3 6 8 11 14 17 20 22 25 72 3 6 8 11 14 17 19 22 25 71 3 6 8 11 14 17 19 22 25 70 3 5 8 11 14 16 19 22 25 69 3 5 8 11 14 16 19 22 25 68 3 5 8 11 14 16 19 22 24 67 3 5 8 11 13 16 19 21 24 66 3 5 8 11 13 16 19 21 24 65 3 5 8 11 13 16 19 21 24 64 3 5 8 10 13 16 18 21 24 63 3 5 8 10 13 16 18 21 23 62 3 5 8 10 13 15 18 21 23 61 3 5 8 10 13 15 18 20 23 60 3 5 8 10 13 15 18 20 23 59 3 5 8 10 13 15 18 20 23 58 2 5 7 10 12 15 17 20 22 57 2 5 7 10 12 15 17 20 22 56 2 5 7 10 12 15 17 19 22 55 2 5 7 10 12 14 17 19 22 54 2 5 7 9 12 14 17 19 21 53 2 5 7 9 12 14 16 19 21 52 2 5 7 9 12 14 16 18 21 51 2 5 7 9 11 14 16 18 20 50 2 4 7 9 11 13 16 18 20 49 2 4 7 9 11 13 15 18 20 48 2 4 7 9 11 13 15 17 20 47 2 4 6 9 11 13 15 17 19 46 2 4 6 8 11 13 15 17 19 45 2 4 6 8 10 12 15 17 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 diferencias a restar

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

0 0000 0175 0349 0523 0698 0872 1045 1219 1392 1564 1736 1908 2079 2250 2419 2588 2756 2924 3090 3256 3420 3584 3746 3907 4067 4226 4384 4540 4695 4848 5000 5150 5299 5446 5592 5736 5878 6018 6157 6293 6428 6561 6691 6820 6947 60

52

Tablas trigonomtricas II 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 0 7071 7193 7314 7431 7547 7660 7771 7880 7986 8090 8192 8290 8387 8480 8572 8660 8746 8829 8910 8988 9063 9135 9205 9272 9336 9397 9455 9511 9563 9613 9659 9703 9744 9781 9816 9848 9877 9903 9925 9945 9962 9976 9986 9994 9998 60 senos naturales 45 - 90 diferencias a sumar 10 20 30 40 50 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7092 7112 7133 7153 7173 7193 44 2 4 6 8 10 12 14 16 18 7214 7234 7254 7274 7294 7314 43 2 4 6 8 10 12 14 16 18 7333 7353 7373 7392 7412 7431 42 2 4 6 8 10 12 14 16 18 7451 7470 7490 7509 7528 7547 41 2 4 6 8 10 12 13 15 17 7566 7585 7604 7623 7642 7660 40 2 4 6 8 9 11 13 15 17 7679 7698 7716 7735 7753 7771 39 2 4 6 7 9 11 13 15 17 7790 7808 7826 7844 7862 7880 38 2 4 5 7 9 11 13 14 16 7898 7916 7934 7951 7969 7986 37 2 4 5 7 9 11 12 14 16 8004 8021 8039 8056 8073 8090 36 2 3 5 7 9 10 12 14 16 8107 8124 8141 8158 8175 8192 35 2 3 5 7 8 10 12 13 15 8208 8225 8241 8258 8274 8290 34 2 3 5 7 8 10 12 13 15 8307 8323 8339 8355 8371 8387 33 2 3 5 6 8 10 11 13 14 8403 8418 8434 8450 8465 8480 32 2 3 5 6 8 9 11 12 14 8496 8511 8526 8542 8557 8572 31 2 3 5 6 8 9 11 12 14 8587 8601 8616 8631 8646 8660 30 1 3 4 6 7 9 10 12 13 8675 8689 8704 8718 8732 8746 29 1 3 4 6 7 9 10 11 13 8760 8774 8788 8802 8816 8829 28 1 3 4 6 7 8 10 11 12 8843 8857 8870 8884 8897 8910 27 1 3 4 5 7 8 9 11 12 8923 8936 8949 8962 8975 8988 26 1 3 4 5 6 8 9 10 12 9001 9013 9026 9038 9051 9063 25 1 3 4 5 6 8 9 10 11 9075 9088 9100 9112 9124 9135 24 1 2 4 5 6 7 8 10 11 9147 9159 9171 9182 9194 9205 23 1 2 3 5 6 7 8 9 10 9216 9228 9239 9250 9261 9272 22 1 2 3 4 6 7 8 9 10 9283 9293 9304 9315 9325 9336 21 1 2 3 4 5 6 7 9 10 9346 9356 9367 9377 9387 9397 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9407 9417 9426 9436 9446 9455 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9465 9474 9483 9492 9502 9511 18 1 2 3 4 5 6 6 7 8 9520 9528 9537 9546 9555 9563 17 1 2 3 3 4 5 6 7 8 9572 9580 9588 9596 9605 9613 16 1 2 2 3 4 5 6 7 7 9621 9628 9636 9644 9652 9659 15 1 2 2 3 4 5 5 6 7 9667 9674 9681 9689 9696 9703 14 1 1 2 3 4 4 5 6 7 9710 9717 9724 9730 9737 9744 13 1 1 2 3 3 4 5 5 6 9750 9757 9763 9769 9775 9781 12 1 1 2 3 3 4 4 5 6 9787 9793 9799 9805 9811 9816 11 1 1 2 2 3 3 4 5 5 9822 9827 9833 9838 9843 9848 10 1 1 2 2 3 3 4 4 5 9853 9858 9863 9868 9872 9877 9 0 1 1 2 2 3 3 4 4 9881 9886 9890 9894 9899 9903 8 0 1 1 2 2 3 3 3 4 9907 9911 9914 9918 9922 9925 7 0 1 1 2 2 2 3 3 3 9929 9932 9936 9939 9942 9945 6 0 1 1 1 2 2 2 3 3 9948 9951 9954 9957 9959 9962 5 0 1 1 1 1 2 2 2 2 9964 9967 9969 9971 9974 9976 4 0 0 1 1 1 1 2 2 2 9978 9980 9981 9983 9985 9986 3 0 0 1 1 1 1 1 1 2 9988 9989 9990 9992 9993 9994 2 0 0 0 1 1 1 1 1 1 9995 9996 9997 9997 9998 9998 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 9999 9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 50 40 30 20 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 cosenos naturales 45 - 90 diferencias a restar

53

Tema 10: EjerciciosSumas y restas, nivel principiante.

900 374 184 - 311 262 336 1 745 741 483 108 248 - 479 - 24 402 - 168 952 196 2 459 540 489 349 21 219 - 477 540 - 63 - 188 663 2 093

423 69 98 464 - 689 931 1 296 447 918 466 125 907 - 914 778 515 - 619 41 2 664 130 825 809 - 188 - 480 - 331 663 - 591 791 308 1 936

301 - 286 880 - 87 120 198 1 126 839 386 233 - 135 - 317 - 765 153 - 34 85 509 954 364 577 331 992 - 975 - 418 21 148 64 122 1 226

41 179 235 663 248 426 1 792 221 641 909 - 783 847 - 280 562 - 792 - 21 107 1 371 81 263 945 45 600 371 782 - 742 - 143 16 2 218

836 717 634 - 16 - 428 88 1 831 325 580 310 - 92 - 607 624 938 581 208 949 3 816 612 702 472 - 801 - 284 390 278 513 459 556 2 897

831 459 777 - 993 266 397 1 737 801 872 70 249 840 711 228 974 - 103 695 5 337 419 77 369 922 298 - 756 511 82 - 804 879 1 997

54

55 456 187 - 508 - 168 972 141 885 - 779 856 2 097 441 454 737 827 950 - 880 231 635 700 696 4 791 830 421 496 937 638 - 97 320 545 - 408 153 3 835

367 956 997 - 565 - 60 - 146 651 67 787 515 3 569 794 329 79 816 169 495 299 - 130 364 343 3 558 607 702 138 997 - 73 - 290 551 298 - 146 501 3 285

776 666 600 137 329 893 170 992 702 856 6 121 181 404 996 - 651 614 680 456 331 248 219 3 478 12 156 548 - 75 - 50 - 93 479 - 849 116 433 677

864 205 348 769 - 438 - 865 659 - 755 - 616 537 708 120 337 982 - 581 - 490 761 297 - 116 - 457 415 1 268 349 381 644 - 426 - 447 - 63 708 - 969 389 936 1 502

806 601 411 447 - 610 276 998 352 - 100 289 3 470 37 380 668 716 757 - 719 280 366 - 213 665 2 937 584 164 323 698 387 - 320 247 681 - 422 821 3 163

786 756 601 - 873 399 - 329 754 - 15 993 250 3 322 875 383 13 - 115 - 582 820 301 704 789 133 3 321 451 311 624 538 - 901 - 905 792 292 269 757 2 228

55

820 983 141 901 - 342 - 110 10 279 538 766 3 986 49 853 980 527 - 261 - 626 78 372 462 443 2 877 312 561 85 - 239 804 - 822 86 - 583 - 406 435 233

344 351 665 - 274 231 118 225 - 162 924 219 2 641 674 135 996 970 93 159 647 - 570 976 575 4 655 38 370 91 521 158 484 113 254 - 745 61 1 345

435 625 459 952 - 315 - 983 924 - 465 - 410 554 1 776 325 819 117 - 136 - 254 - 481 34 218 663 853 2 158 821 668 155 - 740 23 613 598 - 307 - 870 532 1 493

656 72 885 608 - 899 940 274 - 320 212 886 3 314 723 759 216 14 629 127 411 926 732 29 4 566 804 348 62 - 283 - 153 - 845 756 - 834 691 900 1 446

94 733 279 723 62 305 286 - 905 138 364 2 079 165 203 383 - 669 885 720 435 - 105 - 351 399 2 065 158 340 533 369 - 489 916 379 661 422 282 3 571

249 675 805 - 313 740 887 365 - 978 - 56 511 2 885 908 812 455 346 - 105 - 394 748 - 163 - 596 518 2 529 872 831 864 - 512 224 385 97 - 69 - 754 819 2 757

56

282 532 892 169 391 - 920 564 711 - 420 935 3 136 910 34 246 - 431 - 561 - 495 153 938 - 215 703 1 282 995 180 981 - 778 201 151 692 459 458 310 3 649

726 458 54 - 992 64 - 357 615 - 734 - 225 502 111 472 975 285 670 - 831 489 938 450 - 217 483 3 714 868 342 447 665 - 366 - 494 343 853 409 648 3 715

936 894 571 - 513 766 - 926 935 - 952 - 130 869 2 450 936 589 469 - 97 - 519 894 243 - 488 - 677 987 2 337 954 316 257 748 - 928 785 394 556 461 936 4 479

179 635 75 - 11 - 352 904 843 180 - 302 714 2 865 373 280 382 793 583 - 616 866 - 393 - 472 74 1 870 901 842 274 361 - 845 853 765 - 833 - 24 235 2 529

623 634 146 646 291 948 783 449 965 977 6 462 408 243 441 - 782 780 - 179 674 705 - 443 133 1 980 940 291 660 218 362 - 590 469 295 - 127 263 2 781

511 574 800 - 677 - 707 - 88 762 270 492 473 2 410 325 601 567 - 85 971 630 303 940 881 749 5 882 655 362 759 - 456 356 124 185 - 626 295 413 2 067

57

152 435 960 - 939 938 - 167 904 428 - 501 84 2 294 940 843 660 445 223 120 369 - 242 - 448 101 3 011 284 126 422 - 79 505 769 619 - 39 598 886 4 091

642 347 270 148 - 995 - 252 458 459 - 454 39 662 508 873 258 - 126 518 185 823 139 237 857 4 272 791 128 896 326 - 391 - 125 789 - 632 - 540 328 1 570

86 65 294 - 863 346 734 313 873 22 100 1 970 923 956 323 - 869 436 717 504 735 454 728 4 907 946 74 200 602 - 993 - 758 700 843 263 853 2 730

575 460 606 - 438 912 - 637 377 - 344 824 80 2 415 588 230 546 - 175 597 211 103 670 761 96 3 627 294 853 777 - 693 871 566 15 87 911 982 4 663

853 229 886 86 187 - 439 724 - 500 - 549 26 1 503 955 73 708 524 - 784 - 515 674 - 686 335 232 1 516 581 236 565 62 - 647 - 612 335 872 - 53 531 1 870

347 115 801 306 - 457 - 452 192 226 - 997 351 432 80 684 232 - 91 - 532 - 601 984 568 - 85 790 2 029 448 363 718 689 - 866 379 28 489 467 302 3 017

58

151 263 723 875 586 - 730 9 888 - 216 294 2 843 528 161 136 755 78 583 167 - 392 - 685 200 1 531 162 295 289 - 293 864 302 433 - 546 - 568 641 1 579

343 320 130 - 31 720 - 482 955 - 370 970 35 2 590 558 170 341 373 264 726 793 - 434 - 888 554 2 457 622 673 747 - 218 - 599 - 680 27 618 669 68 1 927

290 274 451 - 236 438 - 351 516 59 - 366 620 1 695 471 135 84 615 - 960 - 729 502 185 766 263 1 332 664 489 758 - 182 210 - 426 956 - 476 - 210 297 2 080

680 453 788 62 522 135 526 464 381 566 4 577 314 86 566 - 210 834 250 529 - 940 741 394 2 564 487 438 181 480 - 273 - 26 340 - 105 113 70 1 705

624 354 276 547 - 485 - 274 288 683 644 620 3 277 385 741 866 390 - 386 - 242 204 - 440 612 251 2 381 65 202 613 315 534 - 244 112 201 542 723 3 063

674 537 310 - 758 - 519 10 19 769 883 829 2 754 432 472 223 - 437 346 322 768 - 735 - 729 741 1 403 155 13 696 178 - 960 - 769 174 870 410 93 860

59

679 286 491 - 107 698 - 840 314 961 - 558 921 2 845 543 151 366 - 877 499 638 20 13 - 462 632 1 523 984 465 558 197 178 - 885 261 382 892 307 3 339

521 399 412 657 - 815 981 795 - 175 67 627 3 469 196 48 760 25 963 - 97 122 - 922 821 727 2 643 67 218 321 - 106 697 - 695 207 400 858 828 2 795

441 636 893 - 444 352 - 777 752 78 251 906 3 088 507 633 20 - 50 624 - 793 848 886 405 497 3 577 644 980 370 - 871 929 - 45 297 - 700 - 80 611 2 135

238 294 30 - 909 41 173 757 - 193 587 377 1 395 379 47 964 288 994 - 177 848 - 536 - 91 649 3 365 762 425 583 - 860 971 - 640 789 424 - 733 192 1 913

875 940 528 - 341 - 11 - 608 332 879 - 84 650 3 160 341 536 332 460 681 260 589 - 962 506 819 3 562 423 43 501 457 - 38 171 109 - 84 297 570 2 449

100 837 767 919 143 580 766 - 732 928 967 5 275 571 924 784 649 - 576 - 547 348 - 461 - 487 181 1 386 626 745 975 - 731 624 - 412 841 - 39 11 297 2 937

60

927 492 543 - 611 - 934 - 350 530 398 292 995 2 282 623 267 168 282 - 720 - 94 139 799 - 872 517 1 109 60 40 536 412 400 - 432 85 - 201 276 527 1 703

502 444 188 - 492 489 - 549 305 - 732 184 749 1 088 946 429 541 962 - 550 - 168 135 415 - 684 555 2 581 95 394 664 - 872 397 939 709 - 648 876 416 2 970

36 973 849 - 349 879 72 242 193 - 305 504 3 094 314 267 995 50 346 - 761 834 - 434 - 506 836 1 941 831 199 902 97 - 724 - 978 158 - 821 - 328 480 - 184

503 187 919 - 251 - 264 219 578 - 668 152 392 1 767 168 469 120 - 731 844 786 528 - 956 471 335 2 034 617 796 821 - 139 - 107 474 237 - 126 599 75 3 247

27 374 972 837 316 - 162 467 987 288 827 4 933 655 648 347 99 - 814 - 167