manual uso abaco japones

Manual de uso del baco japons Soroban, http://es.geocities.com/abacosoroban

Manual de uso del

baco japons

S o r o b a nDe Fernando tejn

Editerio krayonoPonferrada - espaa

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Manual de uso del baco japons

S o r o b a n

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Ttulo:Manual de uso del baco japons Soroban.

Autor: Fernando [email protected]

Editorial: Editerio Krayono, Claveles 6, B; E-24400 Ponferrada Espaa.

Ao:2006

Licencia:Este libro esta acogido a la licencia Creative Commons. Sepermite la copia, modificacin y difusin no comercial citandoliteralmente todos los datos incluidos en esta pgina.

http://creativecommons.org/licenses/by-nc/2.5/es/

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Indice

Tema 1: Introduccin................. 7

Tema 2: Cifras y notacin............ 9

Tema 3: La suma....................... 13

Tema 4: La resta....................... 19

Tema 5: La multiplicacin............ 29

Tema 6: La divisin.................... 39

Tema 7: Las potencias................ 45

Tema 8: Races cuadradas............ 47

Tema 9: Otras operaciones........... 55

Tema 10: Ejercicios.................... 63

Tema 11: Informaciones tiles...... 111

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Tema 1: Introduccin

Un baco no slo es un instrumento para facilitar los clculos matemticos, que seran degran complejidad, o incluso imposibles, mentalmente. Adems del uso matemtico pararealizar las operaciones de suma, resta, multiplicacin, divisin, clculo de races ypotencias, en pleno siglo XXI el baco, lejos de ser un obsoleto instrumento de clculo,presenta innumerables ventajas: su uso habitual fomenta la habilidad numrica, mejora lacapacidad de concentracin, de razonamiento lgico, la memoria, la agilidad mental, elprocesamiento de informacin de forma ordenada y la atencin visual. Se podra considerarque el uso del baco es una excelente forma de ejercitar el cerebro, mantenindolo activo ygil a cualquier edad. Por si fueran pocas ventajas, en muchos casos los clculosmatemticos con el baco son ms rpidos que con una moderna calculadora electrnica...

Ya en la antigua Grecia se utilizaron rudimentarios bacos, quesimplemente eran tableros espolvoreados con finas capas de arena,sobre los que se escriban smbolos numricos con el dedo, o con unavara de madera. Posteriormente se utilizaron los tableros derecuento, que eran tablas de madera o de mrmol, en las que sobrelneas paralelas pintadas o vaciadas se desplazaban cuentas paraefectuar los clculos. Estos tableros eran llamados por los griegosabakion, y por los romanos, abacus. Las cuentas que se utilizaban

eran simplemente pequeas piedras redondeadas; llamadas en latn calculus, palabra que daorigen a la moderna clculo. En la Edad Media se usaba en Europa la mesa de baco, que erauna mesa sobre la que se pona un pao en el que se dibujaban lneas con una tiza, aunque aveces se empleaban paos con las lneas bordadas. Sobre estas lneas se movan las cuentas.

El baco actual es en esencia un marco de madera oplstico en el que se insertan un nmero no fijo de varillas porlas que deslizan cuentas perforadas. Hoy se utilizanprincipalmente tres tipos de baco, que se diferencianprincipalmente en el nmero de cuentas o bolas por varilla.Ello no afecta a su capacidad de clculo, que slo depende delnmero de varillas que posea el baco.

El baco chino, o Suan-pan, est formado por cuentas toroidales, que se deslizan a lolargo de varillas tradicionalmente de bamb. Cada una de las varillas tiene dos cuentas sobrela barra central y otras cinco bajo ella (disposicin 2-5). Se lleva usando desde hace ms demil aos.

El baco japons, o Soroban, tiene su origen en elsiglo XVI. Inicialmente tena una disposicin decuentas 2-5 como en el Suan-pan chino, del quederiva. Posteriormente se le elimin una de lascuentas superiores, quedando en disposicin 1-5. Aprincipios del siglo XX perdi una de las cuentasinferiores quedando en la actual disposicin 1-4 que es la ms adecuada al sistema decimalusado actualmente. Las cuentas del Soroban son de pequeo grosor y tienen los cantos vivos.Con esta forma se mejora notablemente la rapidez en los movimientos, y como consecuenciade los clculos. Es, sin duda, el baco ms evolucionado y con el que se realizan los clculoscon mayor rapidez.

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Soroban Japons

Abaco Romano

Suan-pan Chino


El baco ruso, o Schoty, est formado por varillas horizontales, condiez cuentas o bolas en cada una de ellas. En algunos modelos las doscuentas centrales son de diferente color para facilitar el manejo.

En la Amrica precolombina los Mayas tambin utilizaban un bacopara clculos principalmente calendricos, constituido por unacuadrcula hecha con varillas, o dibujado directamente en el suelo; yse utilizaban piedrecillas o semillas para representar los nmeros. Este

baco reciba el nombre de Nepohualtzintzin. El manejo era similar al del baco japonsSoroban, pero usando el sistema vigesimal en vez del decimal. En la parte superior de cadavarilla tiene tres cuentas, cada una de ellas con valor de cinco unidades, y en la parteinferior cuatro cuentas, cada una de ellas con valor de una unidad.

Como ejemplo de las potencia de clculo del baco est la famosacompeticin patrocinada por el peridico del ejrcito americano, Starsand Stripes (barras y estrellas) ocurrida en Tokyo el da 12 deNoviembre de 1946, entre el japons Kiyoshi Matsuzaki del MinisterioJapons de comunicaciones utilizando un Soroban y el americanoThomas Nathan Wood de la armada de ocupacin de los E.U.A. con unacalculadora electromecnica. El vencedor fue Matsuzaki usando elSoroban, que result vencedor en cuatro de las cinco pruebas, sloperdiendo en la prueba con operaciones de multiplicacin con nmerosgrandes.

Problema Nombre Prueba 1 Prueba 2 Prueba 3 Puntos

Sumar 50 nmerosde 3 a 6 cifras

Matsuzaki 1m 14.8sVence

1m 16sVence -

1

Wood 2m 0.2sPierde

1m 53sPierde -

0

Restas: 5problemas connmeros de 6 a 8cifras

Matsuzaki1m 0.4s5 bienVence

1m 0.8s4 bien Nulo

1m 0s5 bienVence

1

Wood1m 30s5 bienPierde

1m 36s4 bienNulo

1m 22s4 bienPierde

0

Multiplicacin:5 problemas connmeros de 5 a 12cifras

Matsuzaki1m 44.6s

4 bienPierde

1m 19s5 bienVence

2m 14.4s3 bienPierde

0

Wood2m 22s4 bienVence

1m 20s5 bienPierde

1m 53.6s4 bienVence

1

Divisiones: 5 problemas connmeros de 5 a 12cifras

Matsuzaki1m 36.6s

5 bienVence


1m 21s5 bienVence

1

Wood1m 48s5 bienPierde

1m 19s5 bienVence


0

Sumar 30 nmerosde 6 cifras, tresrestas de nmerosde 6 cifras, tresproductos y tresdivisiones denmeros de 5 a 12cifras.

Matsuzaki1m 21s5 bienVence - - 1

Wood1m 26.6s

4 bienPierde - - 0

Puntostotales

Matsuzaki - - - 4Wood - - - 1

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Nepohualtzintzin

Schoty Ruso


Tema 2: Cifras y notacin

El Soroban tiene un nmero variable de varillas por las que deslizan las cuentas,generalmente con trece es suficiente para operaciones comunes de suma y resta, pero puedequedarse pequeo para multiplicaciones y divisiones con nmeros grandes. En este manual seusar un Soroban de 17 varillas etiquetadas con las letras del alfabeto latino de derecha aizquierda, para facilitar la anotacin de los movimientos.

Cada varilla se divide en dos partes por una barra horizontal. En la parte superior hay unacuenta con un valor de cinco unidades, mientras que en la inferior hay cuatro cuentas con unvalor de una unidad cada una de ellas. Las cuentas slo tienen valor cuando se encuentrandesplazadas hacia la barra central.

Cuando todas las cuentas estn alejadas de la barra central el Soroban muestra la cifracero en cada varilla. Para anotar las distintas cifras se debe poner el Soroban sobre unasuperficie horizontal y mientras se sujeta con la mano izquierda se anotan las cifras quecomponen el nmero con el que se desea hacer un clculo con la mano derecha. Las cuentasinferiores se acercan a la barra central con el dedo pulgar. Con el dedo ndice se alejan de labarra las cuentas inferiores y se hacen todos los movimientos de la cuenta superior. Si seacercan a la vez a la barra, o se alejan a la vez, la cuenta superior y alguna de las inferioresse usan ambos dedos simultneamente, el pulgar para las cuentas inferiores y el ndice parala superior.

De momento asumiremos que la varilla A representa las unidades, la B las decenas, la Clas centenas, la D las unidades de millar, y as sucesivamente. En realidad se puede tomarcomo varilla de las unidades cualquiera de ellas, como veremos ms adelante al tratar connmeros decimales.

Anotemos el nmero 9.876.543.210. Los nmeros se escriben en el soroban de izquierdaa derecha.

Para anotar la cifra 9 en la varilla que marca las unidades de millar de milln se acercan ala barra la cuenta superior con el dedo ndice y las cuatro cuentas inferiores con el dedopulgar simultaneamente en la varilla J. La notacin de este movimiento ser J +5 +4.

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Anotaremos la cifra 8 en la varilla que marca las centenas de milln, acercando a la barrala cuenta superior con el dedo ndice y slo tres cuentas inferiores con el dedo pulgarsimultaneamente en la varilla I. Notacin: I +5 +3.

Se anotar la cifra 7 en la varilla que marca las decenas de milln, acercando a la barra lacuenta superior con el dedo ndice y slo dos cuentas inferiores con el dedo pulgarsimultaneamente en la varilla H. Notacin: H +5 +2.

De modo similar se anotar la cifra 6 en la varilla que marca las unidades de milln,acercando a la barra la cuenta superior con el dedo ndice y slo una cuenta inferiores con eldedo pulgar simultaneamente en la varilla G. Notacin: G +5 +1.

Para anotar la cifra 5 en la varilla que marca las centenas de millar, simplementeacercaremos a la barra central la cuenta superior con el dedo ndice en la varilla F. Notacin:F +5.

Se anota la cifra 4 en la varilla que marca las decenas de millar, acercando a la barracentral las cuatro cuentas inferiores con el dedo pulgar en la varilla E. Notacin: E +4.

Se anota la cifra 3 en la varilla que marca las unidades de millar, acercando a la barracentral tres cuentas inferiores con el dedo pulgar en la varilla D. Notacin: D +3.

Para anotar la cifra 2 en la varilla que marca las centenas, se acerca a la barra central doscuentas inferiores con el dedo pulgar en la varilla C. Notacin: C +2.

Anotamos la cifra 1 en la varilla que marca las decenas, acercando a la barra slo unacuenta inferior con el dedo pulgar en la varilla B. Notacin: B +1.

Por ltimo se anota la cifra 0 en la varilla que marca las unidades, simplemente noacercando a la barra ninguna cuenta en la varilla A. Notacin: ninguna ya que no hemosmovido ninguna cuenta.

Anotemos ahora el nmero 189.700.162. Mientras se anota en el soroban el nmero sedebe ir leyendo en voz alta correctamente, en este caso: ciento ochenta y nueve millonessetecientos mil ciento sesenta y dos. En ningn caso lea como hacen los principiantes: uno ocho nueve - siete cero cero uno seis dos. Es precisa la lectura correcta para laperfecta situacin mental de los nmeros. Acostmbrese a hacer bien las cosas desde elprincipio, es mejor progresar lentamente pero del modo adecuado que tratar de eliminarposteriormente vicios de uso debidos a un apresurado y deficiente aprendizaje.

I +1 H +5 +3 G +5 +4 F +5 +2 C +1 B +5 +1 A +2

Otro ejemplo: 762.503.755

I +5 +2 H +5 +1 G +2 F +5 D +3 C +5 +2 B +5 A +5

Y otro: 186.040.177.024

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L +1 K +5 +3 J +5 +1 H +4 F +1 E +5 +2 D +5 +2 B +2 A +4

Un ltimo ejemplo: 500.035.100

I +5 E +3 D +5 C+1

Ejercicios

Escriba en el soroban los siguientes numeros, leyndolos a la vez correctamente en vozalta mientras los escribe. Cuando el nmero est escrito en el soroban lalo y compruebe sise ha equivocado en alguna cifra. Escriba todos los nmeros siguientes tantas veces como seanecesario, hasta que pueda hacerlo con soltura.

89.539.407 28.994.935 7.701.028 49.424.19890.493.862 15.922.784 18.097.721 67.991.6833.695.349 52.130.291 5.823.524 91.183.046

78.103.893 50.513.187 51.764.218 89.195.32635.000.002 40.000.548 123.456.789 61.194.21910.000.000 5.314.735 3.002.658 43.513.07953.968.799 84.879.578 65.610.000 89.012.90759.000.001 61.280.009 505.105.001 18.652.60110.000.111 14.899.393 48.831.148 59.766.6664.587.930 1.355 86.229.981 200.001

35.2001.911 458.665 1.025.327 12.222.9776.251.028 1.223.588 694.009 3.581.117

633.999 32.154 31.999.158 3.654.66398.789.308 18.770.809 21.545.654 3.845.484

893.871 9.999.222 14.556.093 32.455.002

Puede tambin practicar escribiendo los nmeros de la factura de compra del supermercado,nmeros de telfono de su agenda o del listn telefnico, precios de artculos de folletospublicitarios, etc. La prctica debe ser regular, dedquele de 10 a 15 minutos diarios a estaprctica durante varios das hasta poder anotar nmeros en el soroban y leerlos sin dudar. Nopase al tema siguiente antes de dominar la anotacin y la lectura de nmeros en el soroban.

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Tema 3:La suma

Este tema es de capital importancia. Comprender perfectamente los mecanismos de lasuma le permitirn no slo sumar, tambin restar (operacin inversa), multiplicar (sumasrepetidas) y dividir (restas repetidas). Por lo tanto el estudio de este tema debe ser ordenadoy en profundidad; no se debera pasar al tema siguiente sin poder hacer cualquier suma consoltura y seguridad por compleja que pueda llegar a ser.

Sumas sencillas

Sumas sencillas son aquellas en las que al sumar cada cifra en su varilla correspondiente eltotal es igual o inferior a 9. La gran ventaja del Soroban es que al anotar un nmero sobreotro que ya est anotado se realiza la suma por si misma.

Ejemplo: 1.231 + 115 + 5.100 = 6 .446

En primer lugar ponga el Soroban a cero, separando todas las cuentas de la barra centraldeslizando sobre ella a la vez los dedos pulgar e ndice. Anote 1.231, leyendo el nmero alanotarlo. Al acercar a la barra una cuenta inferior en la varilla D, debe decir a la vez mil,al acercar a la barra central dos cuentas inferiores en la varilla C debe decir a la vezdoscientos, etc. Hgalo siempre del modo correcto.

D +1 C +2 B +3 A +1

Sobre el nmero anterior se suma 115, y se obteniene 1.346:

C +1 B +1 A +5

Sobre el subtotal anterior se aade 5.100 y se obtiene el resultado total de la suma:6.446:

D +5 C +1

Mueva las cuentas segn el mtodo indicado en el tema anterior. Al anotar las cifras de lossumandos lalas correctamente.

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Ejercicios de sumas sencillas

Haga las siguientes sumas tantas veces como necesite, no menos de diez, hasta que serealicen con rapidez y seguridad. No haga otro tipo de sumas hasta hacer con fluidez estassumas sencillas.

123.456 216.800 111.111 150.812 172.110 550.250 12.300155.011 100.006 200.560 100.071 100.666 102.102 650.001100.011 10.000 555.111 24.000 17.110 36.626 111.021

+510.510 +511.020 +120.107 +605.111 +500.000 +201.020 +106.561888.988 837.826 986.889 879.994 789.886 889.998 879.887

Sumas complejas

A veces al intentar sumar una cifra en una varilla del Soroban no se pueden acercar a labarra central el nmero de cuentas deseado, pero la solucin est en la siguiente tabla quenos permitir sumar en cualquier varilla la cifra deseada como una combinacin de sumas yrestas.

sumar es lo mismo que1 sumar 5 y restar 4 sumar 10 y restar 92 sumar 5 y restar 3 sumar 10 y restar 83 sumar 5 y restar 2 sumar 10 y restar 74 sumar 5 y restar 1 sumar 10 y restar 65 sumar 5 sumar 10 y restar 56 sumar 10, restar 5 y sumar 1 sumar 10 y restar 47 sumar 10, restar 5 y sumar 2 sumar 10 y restar 38 sumar 10, restar 5 y sumar 3 sumar 10 y restar 29 sumar 10, restar 5 y sumar 4 sumar 10 y restar 1

Como aplicacin se sumarn los nmeros 137.564 y 244.438 cuya suma es 382.002. Enprimer lugar anotamos el nmero 137.564:

F +1 E +3 D +5 +2 C +5 B +5 +1 A +4

Sumamos 2 (doscientos mil) en la varilla F con el dedo pulgar:

F +2

Ahora deberamos sumar 4 (cuarenta mil) en la varilla E, pero no se pueden acercar cuatrocuentas a la barra central directamente. Tras observar la tabla de sumas complejas secomprende que para sumar 4 puedo sumar 5 y restar 1. Para ello se acerca a la barra centralla cuenta superior con el dedo ndice y a la vez se aleja de la barra con el pulgar una cuentainferior:

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E +5 1

Para sumar 4 (cuatro mil) en la varilla D se deberan acercar cuatro cuentas a la barra obien, como en el caso anterior, acercar la cuenta superior (+5) y alejar una de las inferiores(-1), pero ninguna de esas dos opciones es posible. La tabla de la suma nos ofrece lasolucin: sumar 4 es lo mismo que sumar 10 y restar 6. Para ello sumo 10 en la varilla D, estoes, sumar 1 en la varilla que est a la izquierda de la varilla D, o sea en la varilla E, yposteriormente restamos 6 en la varilla E, separando de la barra central una cuenta superiorcon el dedo ndice y a la vez se separa una cuenta inferior con el dedo pulgar:

E +1 D 5 1

Sumar cuatro (cuatrocientos) en la varilla C y tres (treinta) en la varilla B es sencillo yaque disponemos de cuentas en la varilla donde sumamos:

C +4 B +3

Finalmente deberamos sumar 8 en la varilla A. No es posible hacerlo directamente, asque intentaramos sumar 10 (sumar 1 en B) y restar 2 en A segn la tabla de sumas. Tampocoello es posible ya que en la varilla inmediatamente a la izquierda de A est escrita la cifra 9.La solucin en estos casos es sencilla. Busque la primera varilla a la izquierda de la varilla Aque no tenga un 9. Esa varilla es en este caso D. Sume en ella 1 (el 10 que deberamoshaber sumado en B), ponga a cero todas las varillas con 9 entre D y A (las varillas B y C). Porltimo reste 2 en A:

D +1 C 5 4 B 5 4 A 2

D+1 se efecta con el dedo pulgar.C 5 4, B 5 4 se efectan a la vez, alejando de la barra central las cuatro cuentasinferiores de C y B con los dedos ndice y medio, que inmediatamente se usarn paraalejar las dos cuentas superiores.

A 2 se efecta con el dedo ndice.

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En el ejemplo anterior se pueden ver todos los tipos de suma. Practquelo varias veceshasta que lo realice con fluidez.

Como resumen de la suma se podra hacer un esquema explicativo. Cuando se quieresumar una cifra en cualquier varilla, genricamente etiquetada X, se intentar hacer lo queindica el primer punto, si ello no es posible pasaremos al punto siguiente y as sucesivamentehasta encontrar un punto aplicable:

1. Sumamos las cuentas directamente en la varilla X.2. Sumamos 5 y restamos el excedente en la varilla X.3. Sumamos 1 (10) en la varilla situada a la izquierda de la varilla X, y restamos el

excedente en la varilla X.4. Sumamos 1 en la primera varilla a la izquierda de la varilla X que no tenga un 9.

Ponemos a cero las varillas con 9 entre la varilla en la que hemos sumado 1 y la varillaX. Finalmente restamos el excedente en la varilla X.

Ejercicios de sumas complejas

A pesar de que los siguientes ejercicios le puedan parecer montonos por ningn motivodeje de hacerlos ya que aunque no parecen ser muy tiles son la base imprescindible en elbuen aprendizaje de la suma.

9.999+9.999

9.999+8.888

9.999+7.777

9.999+6.666

9.999+5.555

9.999+4.444

9.999+3.333

19.998 18.887 17.776 16.665 15.554 14.443 13.332

9.999+2.222

9.999+1.111

8.888+8.888

8.888+7.777

8.888+6.666

8.888+5.555

8.888+4.444

12.221 11.110 17.776 16.665 15.554 14.443 13.332

8.888+3.333

8.888+2.222

7.777+7.777

7.777+6.666

7.777+5.555

7.777+4.444

7.777+3.333

12.221 11.110 15.554 14.443 13.332 12.221 11.110

6.666+6.666

6.666+5.555

6.666+4.444

5.555+5.555

13.332 12.221 11.110 11.110

Sume ahora diez veces 111.111 para obtener 1.111.110. Haga lo mismo para los nmeros222.222, 333.333, etc. hasta 999.999 para dar 9.999.990. Ahora sume diez veces 123.456.789para obtener 1.234.567.890. Haga lo mismo para el nmero 987.654.321 para obtener9.876.543.210. Estos dos ltimos ejercicios son ideales para obtener agilidad en el clculo.Practquelos frecuentemente.

Ms ejercicios:

47.626.37194.493.37426.242.464

+59.816.753

16.751.13597.043.38287.450.467

+64.523.585

36.077.30136.447.52749.548.323

+37.377.548228.178.962 265.768.569 159.450.699

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123456789123456789123456

+789

741852963741852963741852

+963

111222333444555666777888

+999

25151464

863253350134

6+266

47749191041221897015585

+344

455594214570326773537861

+7994.104 7.668 4.995 2.701 4.062 5.129

Sume los nmeros de la factura de la compra en el supermercado, los nmeros telefnicosde su agenda, etc., o escriba nmeros al azar y smelos. La prctica diaria es la clave delxito en el aprendizaje.

Sumas abreviadas

Seguramente ya se habr dado cuenta de que algunas sumas son mucho ms fciles dehacer de modo indirecto. Por ejemplo, si queremos sumar 1.237 + 9.999 = 11.236 se puedehacer ms fcilmente en el Soroban sumando 10.000 y restando 1 en vez de sumardirectamente 9.999, as: 1.237 + 10.000 1 = 11.236. Otro ejemplo: 2.368 + 198 = 2.566 sepuede hacer mucho ms fcilmente sumando 200 y restando 2 en vez de sumar 198, as:2.368 + 200 2 = 2.566.

Pruebe a hacer las sumas anteriores en el Soroban de ambas formas. Cuando conozcaperfectamente la resta entonces podr abordar las sumas abreviadas, de modo provechoso.Tras adquirir la soltura que le permita hacer cualquier suma que se le presente por complejaque sea, podr pasar al tema siguiente.

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Tema 4:La resta

Esta operacin es justo la contraria de la suma, por lo que en vez de acercar las cuentas ala barra central, para restar las separaremos.

Restas sencillas

Una resta es sencilla si en cada una de las varillas del Soroban la cifra del minuendo esmayor que la del sustraendo y se puede hacer la resta con un simple movimiento de los dedosndice y pulgar alejando las cuentas necesarias de la barra central.

Ejemplo: 68.279 56.163 = 12.116

Tras poner el Soroban a cero anote el nmero 68.279:

E +5 +1 D +5 +3 C +2 B +5 +2 A +5 +4

Ahora restamos fcilmente 56.163:

E 5 D 5 1 C 1 B 5 1 A 3

A pesar de que en las varillas D y B hemos tenido que mover dos cuentas a la vez, la restaes sencilla ya que en ambos casos slo hemos movido cuentas en una varilla.

Ejercicios de restas sencillas

Repita las siguientes restas hasta hacerlas con fluidez:

21.658-11.502

82.891-51.790

34.569-13.057

68.984-55.582

92.353-71.251

14.993-11.861

10.156 31.101 21.512 13.402 21.102 3.132

Restas complejas

Una resta es compleja cuando no se puede efectuar simplemente separando cuentas de labarra central en cada varilla y debemos usar combinaciones de sumas y restas en variasvarillas para llevarlas a cabo. Como en el caso de las sumas complejas se resumirn en unatabla todas las operaciones para efectuar restas en cualquier varilla, sea cual sea el valor delsustraendo.

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restar es lo mismo que1 restar 5 y sumar 4 restar 10 y sumar 92 restar 5 y sumar 3 restar 10 y sumar 83 restar 5 y sumar 2 restar 10 y sumar 74 restar 5 y sumar 1 restar 10 y sumar 65 restar 5 restar 10 y sumar 56 restar 6 restar 10 y sumar 47 restar 7 restar 10 y sumar 38 restar 8 restar 10 y sumar 29 restar 9 restar 10 y sumar 1

Aclaremos el uso de la tabla con el ejemplo: 7.828.300 2.471.006 = 5.357.294

Lo primero que se hace es anotar en el Soroban el minuendo:

G +5 +2 F +5 +3 E +2 D +5 +3 C +3

Se restan 2 millones:

G -2

Ahora restamos 4 en la varilla F (cuatrocientos mil). Como no se pueden separardirectamente 4 cuentas de la barra central acudimos a la tabla de la resta, en la que vemosque restar 4 es lo mismo que restar 5 y sumar 1:

F 5 +1

Para restar 7 en la varilla E (setenta mil) tambin debemos acudir a la tabla. En este casose debe restar 1 en F y sumar 3 en E, con ello se han sumado 10 unidades en E (separandouna cuenta de la barra central en F) y sumado 3 unidades en E, lo que equivale a restar 7(-10 + 3 = -7):

F 1 E +5 2

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Para restar 1 en la varilla D (mil) simplemente separaremos una cuenta de la barracentral:

D 1

Por ltimo debemos restar 6 de la varilla de las unidades A. No se puede hacerdirectamente en la varilla A, ni tampoco usando la tabla de la resta y restando 1 en B ysumando 4 en A (-10 + 4 = +6) porque la varilla B est a cero. En estos casos la solucin essencilla:

A la izquierda de la varilla donde se est efectuando la resta se busca la primera varillacon alguna cuenta sobre la barra central, en nuestro ejemplo es la varilla C.

Se resta en esa varilla uno (C 1).Se ponen en nueve todas las varillas que entre las dos anteriores estaban a cero, ennuestro ejemplo slo ponemos a nueve la varilla B:

B +5 +4Finalmente se suma 4 en la varilla inicial A (A +4).

Lo que se ha hecho para sumar 6 es simplemente: -100 + 94 = +6 porque no hemos podidohacer lo ms sencillo: +6 10 + 4 = +6:

C 1 B +5 +4 A +4

En el Soroban podemos leer la solucin de la resta: 5.357.294

Otro ejemplo: 35.000 17 = 34.983

E +3 D +5

D 5 +4 C +5 +4 B +5 +4

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B 1 A +3

Se comprende perfectamente cada uno de los pasos?

Como en el caso de la suma se podra hacer un esquema explicativo para la resta. Cuandose quiere restar una cifra en cualquier varilla, genricamente etiquetada X, se intentarhacer lo que indica el primer punto, si ello no es posible pasaremos al punto siguiente y assucesivamente hasta encontrar un punto aplicable:

1. Restamos las cuentas directamente en la varilla X.2. Restamos 5 y sumamos lo que falta en la varilla X.3. Restamos 1 (10) en la varilla situada a la izquierda de la varilla X, y sumamos lo que

falta en la varilla X.4. Restamos 1 en la primera varilla a la izquierda de la varilla X que no tenga un 0.

Ponemos a nueve las varillas con 0 entre la varilla en la que hemos restado 1 y la varillaX. Finalmente sumamos lo que falta en la varilla X.

Ejercicios de restas complejas

Como ejercicios de restas tomaremos los ejercicios de sumas del tema anterior y trasanotar en el Soroban el resultado de la suma se le irn restando sucesivamente los sumandoshasta llegar al resultado final: cero. Un excelente ejercicio es efectuar la suma einmediatamente la resta, con lo que adems de practicar ambas operaciones se compruebafcilmente si se han cometido errores si el resultado final no es cero.

Restas abreviadas

Como ya ocurra en las sumas, algunas restas se pueden hacer de modo indirecto conmayor facilidad y por lo tanto con mayor rapidez. Por ejemplo, si se desea restar 989 de3.578 se puede hacer indirectamente restando mil y luego sumando once: 3.578 989 = 3.578 1.000 + 11 = 2.589. Otro ejemplo: 2.366 - 198 = 2.168, se puede hacer con mayor rapidezrestando 200 y luego sumando 2 en vez de restar directamente 198, as: 2.368 - 200 + 2 =2.168

Haga las restas anteriores en el Soroban directa e indirectamente. Acostmbrese a pensaren el nmero que va a restar, y decida en cada caso cmo hacer la resta, directa oindirectamente, para hacerla lo ms rpidamente posible. Slo la prctica continua permiteprogresar, por lo que debe realizar sumas y restas a diario para aumentar la habilidad ydisminuir el tiempo empleado en el clculo.

Restar del minuendo un sustraendo mayor

Seguro que ya se ha preguntado si es posible con un Soroban hacer restas en las que elsustraendo es mayor que el minuendo, es decir, las que dan como resultado un nmeronegativo. La respuesta es: s. Este tipo de problemas surgen diariamente por ejemplo alpagar la cuenta en un supermercado, ya que habitualmente se entrega una cantidad dedinero mayor que la solicitada, esperando la devolucin del excedente o cambio.

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Veamos un ejemplo: Un cliente compra varios objetos, por los que debe pagar en total8,73 euros (873 cntimos de euro). El cajero tiene anotado en su Soroban 873 tras sumar losprecios de los artculos. Si el cliente paga lo comprado con 10,00 euros (1.000 cntimos deeuro), el cajero calcula el excedente a devolver al cliente de modo inmediato:

Se mira en el Soroban el nmero de cuentas que no se han acercado a la barra central encada una de las varillas, en otras palabras, qu cuentas no tienen valor. En nuestro ejemplo,en la varilla C hay 1 cuenta sin valor. En la B hay 2 cuentas sin valor. En la ltima varilla, laA, hay 6 cuentas sin valor (la cuenta superior tiene valor cinco). El nmero obtenido, 126, esel complemento a 9 de 873 ya que ambos suman 999. Ahora la tcnica es sencilla. Sumementalmente uno al complemento a 9 y ya se tiene la respuesta: 126 + 1 = 127. Como estasolucin la hemos obtenido basndonos en el complemento a 9 se debe entender elresultado como un nmero negativo: 873 1.000 = -127, por lo que el cajero debe devolver alcliente 127 cntimos de euro (un euro y veintisiete cntimos). Lo ms importante es que seha calculado la cantidad a devolver al cliente simplemente mirando el Soroban y sumandomentalmente 1, sin siquiera mover una cuenta. Ninguna calculadora electrnica puede dar larespuesta ms rpidamente.

En este caso hemos podido hacer el clculo de modo tan simple porque el sustraendo estformado por un 1 seguido de tantos ceros como cifras tiene el minuendo. De no ser as an sepodra hacer con inmediatez si el sustraendo es un nmero mltiplo de 10, por ejemplo, si elcliente hubiera pagado con un billete de 20 euros el cambio debera ser 1,27 euros (segn elejemplo anterior) + 10 euros = 11,27 euros.

Si lo que se quiere hacer es restar al minuendo un sustraendo cualquiera mayor, elproceso ya no ser inmediato, pero tampoco complicado. Como norma general para restar unnmero con "n" cifras de otro nmero menor, antes de efectuar la resta se aadir al nmeromenor un nmero extra formado por un uno seguido de "n" ceros. El resultado de la resta serel "complemento a 9", con "n" cifras, del numero mostrado finalmente en el Soroban.

Como aplicacin prctica veamos la resta: 5 - 32 = -27

En primer lugar anotamos 5 en el Soroban. Seguidamente se tendra que restar 32 delnmero anterior, pero no es posible hacerlo directamente. Se suma como nmero extra ununo seguido de tantos ceros como cifras tiene el sustraendo, en este caso el sustraendo (32)tiene dos cifras, por lo que al 5 anotado inicialmente se le aade 100 (un uno seguido de dosceros). En el Soroban se muestra 105:

A +5 C +1

Ahora ya se puede restar 32. Tras la resta, en el Soroban se muestra el nmero 73.

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C 1 B +5 +2 A 5 +3

Pero lo que nos interesa son las cuentas sin valor, las que no estn apoyadas en la barracentral, es decir, el complemento a 9 (dos cifras). En la varilla B hay 2 y en la A 6. Sesuma mentalmente 1 a 26 y se obtiene la respuesta: 26 + 1 = 27. Luego 5 - 32 = -27.Abreviadamente: 5 32 = [comp ( 5 + 100 - 32)] + 1 = -27. Como C+1 y C-1 se anulanmutuamente, se pueden hacer mentalmente, sin mover cuentas en el Soroban, agilizandoseas el clculo.

A veces interesa calcular la suma de varios nmeros positivos y negativos (sumar unnmero negativo es restarlo positivo). Cuando en dicho clculo se deba sumar un nmeronegativo (restar el positivo) y no sea posible, entonces seguiremos la metodologaanteriormente mostrada, aadiendo antes de la resta un uno seguido de los ceros necesarios.Es posible que en una posterior resta debamos aadir otro nmero extra, en ese casoconviene que el nuevo nmero extra aadido, sumado con el aadido anteriormente de comoresultado una potencia de diez (100, 1.000, 10.000, etc.). Operando de esta manera elresultado final se obtiene directamente.

Pueden darse dos casos al finalizar la suma:

1. El nmero final mostrado en el Soroban es mayor que el nmero extra total aadido:Para obtener el resultado final de la suma se debe simplemente restar del nmeromostrado en el Soroban el nmero extra total aadido en el proceso de la suma.

2. El nmero final mostrado en el Soroban es menor que el nmero extra total aadido:En este caso el resultado final es el "complemento a 9" del nmero mostrado en elSoroban ms 1. El "complemento a 9" tendr tantas cifras como ceros tiene el nmeroextra total aadido.

Para aclarar la metodologa descrita se calcular la suma de varios nmeros positivos ynegativos (restas), mostrandose los resultados parciales que se obtienen con cada nmeroaadido y lgicamente tambin el resultado final: 63 - 81 + 45 - 654 + 822 = 195

Lo primero es anotar 63 en el Soroban:

B+5+1 A+3

Ahora debemos restar el nmero de dos cifras 81, que es mayor que el 63 anotado. Seaade a 63 un uno seguido de dos ceros (100) y posteriormente se resta 81. En el Soroban sepuede ver el resultado parcial de la suma: 63 - 81 = -18 (complementario ms uno de 82).

[ C+1 C-1 ] B+2 A-1

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El siguiente sumando es 45, que se suma al "82" (realmente -18) que se observa en elSoroban. Tras esta suma en el Soroban se muestra 127. Si no se debieran sumar ms nmerosentonces segn el caso 1 se tendra que restar de 127 el nmero extra aadido anteriormente(100) y el resultado sera 27 (63 - 81 + 45 = 27). En nuestro caso la suma contina, por lo quepodemos restar el 100 extra aadido o bien hacerlo en el resultado final de la suma. Elegimosla segunda opcin.

C+1 B-5-1 A+5

Seguidamente debemos restar 654 (o sumar -654). Es evidente que no es posible hacerlodirectamente. Al ser 654 un nmero de 3 cifras deberamos aadir como nmero extra 1.000(un uno seguido de tres ceros), pero como en un paso anterior ya aadimos un nmero extra,100, ahora conviene aadir 900 en vez de 1.000; as, el 100 aadido anteriormente con el 900que aadiremos ahora suman 1.000, que es un nmero extra total conveniente (potencia de10). Tras las operaciones en el Soroban se muestra el nmero 373, pero si quisieramos saberla suma parcial obtenida deberamos fijarnos en su complemento a 9, como se indica en elcaso 2 (63 - 81 + 45 - 654 = -627).

D+1 C-1 D-1 C+4 C-1 B+5 A-5+1

El ltimo sumando es 822, que se suma sin dificultad:

D+1 C-2 B+2 A+5-3

En el Soroban se muestra el nmero 1.195, que es mayor que el nmero extra totalaadido (1.000), por lo que para obtener el resultado final de la suma simplemente debemosrestar de 1.195 el nmero extra 1.000, obtenindose el resultado final 195.

D-1

Resultado final: 63 - 81 + 45 - 654 + 822 = 195

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Ejercicios de restas con complementos

45 100 = -55 (leyendo el complemento a 9 y sumando 1).654 1000 = -346 (leyendo el complemento a 9 y sumando 1).45 123 = [comp (45 + 1000 123)] + 1 = -78752 1268 = [comp (752 + 10000 1268)] + 1 = -516124 - 520 + 450 + 620 - 512 = 16225 - 80 + 120 - 726 = -661483 - 500 - 712 + 407 = -322190 - 234 + 523 - 1.589 + 310 = -800

Restar sumando

Con el uso de los complementos a 9 cualquier resta se puede trasformar en una sumafcilmente. El mtodo es el siguiente:

Sume al minuendo el complemento a 9 del sustraendo.Reste al resultado el nmero formado por un 1 seguido de tantos ceros como cifras tiene elsustraendo.

Sume uno al resultado.

El resultado se muestra en el Soroban. Veamos un ejemplo que aclarar la metodologa aseguir: 4.535 2.781 = 1.754

Anotamos en el Soroban el minuendo, en este caso 4.535:

D +4 C +5 B +3 A +5

Ahora sumamos al nmero anterior el complemento a 9 de 2.781, que es 7.218 ya queambos suman 9.999.

E +1 D 3 C+2 B+1 B +5 -4 A 5 +3

Ahora debemos restar el nmero formado por un uno seguido de tantos ceros como cifrastiene el sustraendo, que en este ejemplo tiene cuatro cifras. Luego debemos restar 10.000:

E -1

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Para finalizar, siguiendo el mtodo, se suma 1:

A +1

En el Soroban se puede leer la solucin: 1.754. Realmente lo que hemos hecho es 4.535 2.781 = 4.535 + 7.218 10.000 + 1 = 1.754.

En el caso de que el sustraendo sea mayor que el minuendo simplemente se debe sumar alminuendo el complemento a 9 del sustraendo, leyendo en el Soroban las cuentas sin valor (elcomplemento a 9), que son las que no estn desplazadas hacia la barra central. Comoejemplo se har la resta 234 317 = -83. En primer lugar se anota en el Soroban el nmero234:

C +2 B +3 A +4

Se suma el complemento a 9 de 317, que es 682:

C +5 +1 C +1 B 2 A +5 -3

En el Soroban se muestra 916, pero en este caso nos interesa la lectura de sucomplemento a 9, que son las cuentas sin valor: 083. Al haber ledo las cuentas sin valor elnmero 83 se entiende como negativo, -83. En forma abreviada se podra escribir: 234 317 =comp (234 + 682) = comp ( 234 + comp 317) = -83.

Ejercicios de restas sumando

Haga los siguientes ejercicios segn lo explicado y tambin segn los mtodos descritoscon anterioridad.

2.168-1.371

8.791-2.678

6.142-4.627

6.002-4.078

7.108-5.583

797 6.113 1.515 1.924 1.525

1.354-2.623

1.475-2.982

3.000-7.624

2.777-7.627

6.200-8.952

-1.269 -1.507 -4.624 -4.850 -2.752

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5.479-1.145

6.542-2.813

7.613-2.096

7.376-6.666

5.765-1.013

4.334 3.711 5.517 710 4.752

8.825-9.365

5.732-6.071

2.243-8.313

2.401-6.247

1.890-6.647

-540 -339 -6.070 -3.846 -4.757

Es imprescindible dominar la suma y la resta en el Soroban antes de iniciarse conoperaciones ms complejas. No intente comenzar el estudio de un tema en ningn caso hastadominar el tema anterior. El aprendizaje sin orden es una lastimosa forma de perderintilmente el tiempo sin lograr nada de provecho.

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Tema 5: La multiplicacin

Multiplicar es simplemente sumar repetidas veces el mismo nmero de modo abreviado. Esimprescindible el conocimiento a la perfeccin de la tabla de multiplicar siguiente:

multiplicador

mul

tipl

ican

do

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 01 02 03 04 05 06 07 08 092 02 04 06 08 10 12 14 16 183 03 06 09 12 15 18 21 24 274 04 08 12 16 20 24 28 32 365 05 10 15 20 25 30 35 40 456 06 12 18 24 30 36 42 48 547 07 14 21 28 35 42 49 56 638 08 16 24 32 40 48 56 64 729 09 18 27 36 45 54 63 72 81

Cualquier nmero de una cifra por otro tambin de una cifra da como resultado un nmerode dos cifras, de las que la primera puede ser cero. Piense siempre as mientras dure elaprendizaje de la multiplicacin, lo que le permitir situar sistemticamente en el Sorobanlos resultados parciales de la multiplicacin.

Existen varias formas diferentes de multiplicar en el Soroban, de las que se mostrarntres. La primera es la forma comn utilizada en Japn, la segunda es una variante quepermite multiplicaciones de varios factores y por ello es muy til para calcular potencias y latercera es otra variante til en facturacin y contabilidad para hacer varias multiplicacionesy sumar los resultados de todas.

Mtodo estndar Japons

Este mtodo es el ms empleado actualmente y es el que se ensea a los nios en lasescuelas en Japn.

Para multiplicar dos nmeros se anota el multiplicando en la parte izquierda del Soroban,dejando algunas varillas de separacin con el multiplicador que se anotar en la partederecha del Soroban dejando a su derecha tantas varillas a cero como cifras tiene elmultiplicando ms una. Posteriormente se van multiplicando las cifras del multiplicando porla cifra de las unidades del multiplicador y sumando los resultados. Se borra la cifra deunidades del multiplicador y se repite el proceso con la cifra de las decenas y assucesivamente hasta completar la operacin. En el Soroban se lee finalmente elmultiplicando y el producto, ya que el multiplicador desaparece en el clculo.

Ejemplo: 316 x 74 = 23.384

Anotamos 316 a la izquierda del Soroban, por ejemplo en las varillas L, K y J. Ahora seanota el multiplicador, 74, dejando a su derecha 4 varillas a cero ya que el multiplicandoconsta de tres cifras y hay que dejar a cero una ms. Por ello 74 se anota, el 7 en F y el 4 enE. En este caso se han dejado tres varillas a cero entre el multiplicando y el multiplicador, sepueden dejar las que se quieran, pero no conviene dejar slo una porque podran confundirseel multiplicando y el multiplicador:

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L +3 K +1 J +5 +1 F +7 E +4

Alguien se podra preguntar a la vista del Soroban cmo se sabe que se debe multiplicar316 x 74 y no 3.160 x 74? La respuesta est en las varillas a cero a la derecha de 74. En elsegundo caso habramos dejado cinco varillas a cero a la derecha del multiplicador y nocuatro. Anotar el multiplicador de esta manera permite colocar el multiplicando dnde sedesee, y poder leer el resultado final sin ninguna duda.

Se comienza la multiplicacin con las cifras del multiplicando de izquierda a derechaactuando sobre la cifra de unidades del multiplicador (4):

3 x 4 = 12 que se suma inmediatamente a la derecha de la varilla en la que est anotadoel 4, es decir, en D y C:

D +1 C +2

A partir de ahora la varilla en la que hemos anotado la segunda cifra del producto ser laprimera en la que anotaremos el siguiente. Seguimos multiplicando:

1 x 4 = 04 sumndose el 0 en C y el 4 en B. Lgicamente el 0 no se suma realmente, seha mostrado para que se vea el orden de anotacin de la metodologa usada. Obsrvese queel producto anterior se sum en D y C, y ste en C y B:

B +4

6 x 4 = 24 que se anota en B y A:

B +5 3 A +4

Ya se han efectuado todos los productos sobre la unidad (4) del multiplicador, por ello seborra el 4 del Soroban:

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E -4

Ahora se repite el proceso con la cifra de las decenas del multiplicador (7):

3 x 7 = 21 que se suma inmediatamente a la derecha de la varilla en la que est anotadoel 7 (F), es decir, se suma el 2 en E y el 1 en D:

E +2 D +1

1 x 7 = 07 que se suma en D y C:

C +5 +2

6 x 7 = 42 que se suma en C y B:

D +1 C 5 1 B +2

Para finalizar se borra del Soroban la cifra de las decenas del multiplicando, el 7, de lavarilla F:

F 5 -2

El resultado de la multiplicacin se puede leer fcilmente: 23.384

De haber querido efectuar el producto de dos nmeros con cifras decimales, por ejemplo3,16 x 0,74 la metodologa es exactamente la misma, multiplique 316 x 74 y el resultado(23.384) se leer como 2,3384 que tiene cuatro cifras decimales (dos de 3,16 y las otras dosde 0,74). Si lo desea, para no tener que memorizar el nmero de cifras decimales, se puedeanotar en una varilla libre a la izquierda del Soroban, por ejemplo en la varilla Q. As, en el

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caso de multiplicar 3,16 x 0,74 = 2,3384 el Soroban mostrara tras las operaciones (lasmismas que en el ejemplo anterior) el aspecto que muestra la siguiente imagen. Obsrveseque en Q est anotado 4, por lo que los valores anotados en las varillas D, C, B y A son cifrasdecimales, y en E se encuentra la cifra de unidades del nmero, que se debe leersimplemente como 2,3384.

Si el multiplicando o el multiplicador tienen alguna cifra 0 slo se debe recordar quecualquier nmero de una cifra por 0 es 00, lo que nos permite seguir con el orden correctode anotacin.

Ejercicios de multiplicaciones estndar

Realice las siguientes multiplicaciones primero en el orden mostrado y posteriormente enel inverso. El resultado ser el mismo en ambos casos porque el producto de nmeros tiene lapropiedad conmutativa, pero de esta manera podr hacer un nmero doble de ejercicios.

25x 37

91x 17

20x 50

79x 30

61x 35

56x 39

87x 96

98x 31

49x 78

925 1.547 1.000 2.370 2.135 2.184 8.352 3.038 3.822

954x 49

636x 71

890x 89

613x 27

798x 987

643x 762

809x 390

46.746 45.156 79.210 16.551 787.626 489.966 315.510

633x 18

307x 59

164x 99

732x 101

12,3x 1,2

1,24x 0,27

6,88x 1,23

11.394 18.113 16.236 73.932 14,76 0,3348 8,4624

Mtodo multifactorial

El mtodo anterior tiene la desventaja de que el producto est colocado algunas varillas ala derecha del multiplicador, por lo que si se desea multiplicar el producto obtenido por otronmero, no habr varillas libres a la derecha para hacerlo. El mtodo multifactorial permitehacer multiplicaciones sucesivas, de dos factores, y tambin de ms de dos factores, porquelos productos de cada multiplicacin se obtienen sobre el lugar donde est anotado elmultiplicador, manteniendo la colocacin de unidades, decenas, centenas, etc., por lo quees un mtodo ideal para calcular factoriales, potencias, y cualquier multiplicacin con variosfactores.

Para ver la metodologa a seguir se efectuar el producto de los nmeros 25 x 473 cuyoresultado es 11.825. Se anota a la izquierda del Soroban el multiplicando al que se le restasiempre una unidad y a la derecha el multiplicador. Obsrvese que en las varillas Q y P se haanotado 24 (25 1) y en las varillas C, B y A el nmero 473:

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Q +2 P +4 C +4 B +5 +2 A +3

Ahora se multiplican las cifras del multiplicando por cada una de las del multiplicador deizquierda a derecha, sumando el resultado sobre el mismo multiplicador. En primer lugar semultiplica la primera cifra de 24 por la primera de 473: 2 x 4 = 08. Como el multiplicando(25) tiene dos cifras se anota sumando la cifra de las decenas de 08 (el 0) dos varillas a laizquierda del 4 que est anotado en C, es decir, en la varilla E, y a continuacin el 8 sobreD:

D +8

El 0 lgicamente no se suma, slo se muestra en el ejemplo para comprender lametodologa en la colocacin de los productos.

La segunda de las varillas donde se suma cada producto es la primera varilla para sumar elproducto siguiente. El siguiente producto se forma multiplicando la segunda cifra de 24 porla primera de 473: 4 x 4 = 16, que se suma en las varillas D y C:

D +1 E +1 D 5 4 C -4

Ahora se hacen los productos de las cifras del multiplicando por la segunda cifra por laizquierda del multiplicador, que en este ejemplo es el 7 de la varilla B: 2 x 7 = 14, que sesuma en las varillas D y C:

D +1 C +4

4 X 7 = 28 que se suma en C y B:

C +5 3 C +1 B -2

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Por ltimo se hacen los productos de las cifras del multiplicando por la tercera cifra por laizquierda del multiplicador, que es el 3 de la varilla A: 2 x 3 = 06, que se suma en las varillasC y B:

C +1 B 5 +1

4 x 3 = 12 que se suma en B y A:

B +1 A +5 -3

En el Soroban se puede leer a la izquierda el multiplicador, y a la derecha la solucin delproducto de los factores 25 y 473, que es 11.825.

Realmente lo que se ha multiplicado es 24 (25 1) por 473, pero como el resultado se lesuma al multiplicador que ya estaba anotado en el Soroban, el resultado es el esperado si sehubiese multiplicado directamente los factores 25 y 473:

24 x 473 + 473 = (24 + 1) x 473 = 25 x 473 = 11.825

Ejemplo: Calcule del rea de un tringulo cuya base mide 12,7 cm. y la altura 8,5 cm.Solucin: El rea de un tringulo es la mitad del producto de la longitud de la base por la

de la altura. En vez de dividir entre 2 se puede multiplicar por 0,5 obtenindose el mismoresultado, por lo que el rea pedida ser: 0,5 x 8,5 x 12,7. En el Soroban el clculo serealizar multiplicando 5 x 85 x 127 teniendo en cuenta que en el resultado final las trescifras de la derecha son decimales.

Anotamos 3 en la varilla Q para recordar que el resultado final tendr 3 cifras decimales.En una varilla a la izquierda del Soroban, por ejemplo en la L se anota el 5, pero tras restarleuna unidad realmente se anota 4. Finalmente se anota el multiplicador, 127, en las varillasC, B y A.

Q +3 L +4 C +1 B +2 A +5 +2

Se comienza la multiplicacin:

4 x 1 = 04 y se suma en las varillas D y C (C +5 1).4 x 2 = 08 y se suma en las varillas C y B (C +1, B -2).4 x 7 = 28 y se suma en las varillas B y A (B +2, B +1, A 2).

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Se borra el 4 de la varilla L y se anota el factor que queda por multiplicar, el 85, peroanotamos 84, una unidad menos, en las varillas M y L. Seguimos multiplicando:

8 x 6 = 48 y se suma en las varillas E y D (E +4, D +5 +3).4 x 6 = 24 y se suma en las varillas D y C (E+54, D53, D+1, C51).8 x 3 = 24 y se suma en las varillas D y C (D +2, C +4).4 x 3 = 12 y se suma en las varillas C y B (C +5 4, B +5 -3).8 x 5 = 40 y se suma en las varillas C y B (C +4).4 x 5 = 20 y se suma en las varillas B y A (B +2).

Teniendo en cuenta, como se ve en la varilla Q, que las tres cifras de las varillas C, B y Ason decimales, el resultado (el rea del tringulo) se puede leer como 53,975 cm2.

Ejercicios de multiplicaciones multifactoriales

32 x 51 x 68= 110.976

5 x 59 x 453= 133.635

55 x 56 x 57=175.560

38 x 69 x 527= 1.381.794

0,35 x 1,55 x 3= 1,6275

1,96 x 32 x 0,055= 3,4496

75 x 63 x 1,8= 8505

23,8 x 1,1 x 59= 1544,62

- Se compra un lote de 25 piezas a 8,5 euros cada unidad. Si se debe abonar adems un16% de impuestos, qu cantidad se debe pagar por el lote? (Solucin: 25 x 8,5 x 1,16 = 246,5euros).

- Una habitacin de una casa mide 5,5 m de largo, 4,7 m de ancho y 2,4 m de altura.Calcule el volumen de la habitacin. (Solucin: 5,5 x 4,7 x 2,4 = 62,04 m3).

- Un crculo tiene de radio 24cm. Calcule el rea de dicho crculo.(Solucin: el rea delcrculo es el producto del cuadrado del radio por p 3,142, luego: 24 x 24 x 3,142 =1.809,792cm2).

- Calcule el cubo de 72. (Solucin: 72 x 72 x 72 = 373.248).

Mtodo de multiplicaciones acumuladas

A veces es necesario sumar los resultados de varias multiplicaciones de nmeros escritosen un papel. El mtodo a usar es el mtodo multifactorial, ya visto anteriormente, peromodificado de manera que los factores no se anotarn en el Soroban y por ello almultiplicando no se le restar una unidad. Como ejemplo se determinar el importe a pagaren un supermercado tras la compra de varios artculos con un descuento debido a una ofertaespecial:

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- 12 litros de leche a 0,85 euros/litro- 2 cajas de galletas a 2,15 euros/caja- 1 paquete de azcar a 1,20 euros/paquete

Sobre el total el supermercado nos hace un descuento del 5%.Los precios los pondremos en cntimos de euro y as no habr problema con los decimales.

Por otro lado, aplicarle un descuento del 5% a una cantidad implica pagar slo el 95% deltotal. Las operaciones a realizar sern: 12 x 85 + 2 x 215 + 120 y al resultado de la suma se lemultiplicar por 0,95 obtenindose el total a pagar.

Para multiplicar 12 x 85 siguiendo el mtodo multifactorial modificado se haran losproductos:

1 x 8 = 08 que se suma en las varillas D y C (C +5 +3).2 x 8 = 16 que se suma en las varillas C y B (C +1, B +5 +1).1 x 5 = 05 que se suma en las varillas C y B (D +1,C 5 1, B -5).2 x 5 = 10 que se suma en las varillas B y A (B +1).

En el Soroban se puede leer el resultado parcial 1.020:

La siguiente multiplicacin, 2 x 215, se efecta de forma similar sumando los productossobre el resultado anterior:

2 x 2 = 04 que se suma en las varillas D y C (C +4).2 x 1 = 02 que se suma en las varillas C y B (B +2).2 x 5 = 10 que se suma en las varillas B y A (B +5 -4):

En el Soroban se puede leer el resultado parcial 1.450:

Se suma ahora 120 sobre el subtotal anterior y se obtiene el total a pagar: 1.570 (sinaplicar an el descuento).

C +5 4 B +2

Para aplicar el descuento del 5% se multiplica el valor mostrado en el Soroban por 0,95(realmente por 95 y en el resultado se consideran 2 cifras decimales) por el mtodomultifactorial obtenindose el resultado final:

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En el Soroban se puede leer:

- 2 en la varilla Q , que indica que el resultado final tiene dos cifras decimales,- 94 (95 1) en las varillas M y L,- 149150 en las varillas de la F a la A.

El resultado se debe leer como 1.491,50 cntimos (con dos cifras decimales) o como14,915 euros.

Ejercicios de multiplicaciones acumuladas

Los mejores ejercicios en este caso son las facturas de las compras habituales porque seusa el Soroban en clculos reales.

Otros ejercicios:

12 x 15 + 25 x 14 = 530 35 x 12 + 72 x 25 + 10 x 3 = 2.250

123 x 28 + 142 x 27 = 7.278 120 x 8 + 455 x 16 + 1.230 = 9.470

0,23 x 20 + 1,5 x 42 =67,6 635 x 15 + 48 x 18 + 9 x 12 = 10.497

Antes de pasar al tema siguiente, la divisin, se debe dominar la multiplicacin y lasoperaciones anteriores. Aplique sus conocimientos de clculo en el Soroban para realizaroperaciones comunes de la vida real, como ya se ha hecho con el ejemplo de factura decompra.

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Tema 6:La divisin

Si multiplicar era simplemente sumar repetidas veces, seguro que se comprende quedividir es restar repetidas veces un nmero (el divisor) de otro (el dividendo) anotandocuntas veces se hace (el cociente), pero se usar tambin la multiplicacin para reducir elnmero de restas a efectuar.

Mtodo estndar Japons

En el Soroban se anotar el divisor en la parte izquierda y el dividendo en la central,quedando el cociente entre los dos anteriores y el resto de la divisin, si lo hay, a suderecha. El lugar de anotacin del dividendo es importante. A medida que avanza el procesode la divisin, el dividendo va desapareciendo sustituido por el cociente. Observe las varillasen las que est anotado el dividendo, de ellas empezando a contar desde la derecha hacia laizquierda tantas como cifras tiene el divisor ms una sern ocupadas por la parte decimal delcociente, y a su izquierda la parte entera. Se puede ver como ejemplo la colocacin de 5.196como dividendo y de 24 como divisor:

Obsrvese 24 anotado en las varillas Q y P y 5.196 en las varillas J, I, H y G. Como eldivisor, 24, tiene dos cifras, tres (2+1) de las varillas del dividendo, de derecha a izquierda,sern ocupadas por la parte decimal del cociente: I, H y G, mientras que la parte delcociente anotada en la varilla J y en las de su izquierda sern su parte entera. Es comnanotar el dividendo en el Soroban de modo que sea siempre la misma varilla la que indica elinicio de la parte decimal del cociente (en este ejemplo la varilla I), y as se evita usar lamemoria para recordar en cada divisin la varilla de inicio de la parte decimal del cociente.

Una vez correctamente anotados en el Soroban el divisor y el dividendo ya se puede iniciarel proceso de la divisin que ser repetir los siguientes pasos hasta que desaparezcatotalmente el dividendo en las divisiones exactas o hasta lograr el nmero de cifrasdecimales que se deseen en el cociente:

1. Seleccionar un grupo desde la izquierda del dividendo con tantas cifras como tiene eldivisor de manera que el grupo sea mayor que el divisor. Si ello no es posible seseleccionar un grupo con una cifra ms que el divisor que desde luego ya es mayor quel.

2. Se anota el nmero de veces que se puede restar el divisor del grupo seleccionado, queser una de las cifras del cociente, a la izquierda del dividendo dejando una varilla libresi el grupo tiene tantas cifras como el cociente o inmediatamente a la izquierda si elgrupo tiene una cifra ms que el divisor.

3. Se multiplica la cifra del cociente anotada segn el paso anterior por el divisor y elproducto se le resta al grupo seleccionado del dividendo.

Si tras restar el producto obtenido segn el paso 3, el grupo seleccionado del dividendosigue siendo mayor que el divisor es que la cifra del cociente elegida es demasiado pequea.La fcil solucin es simplemente restar al grupo seleccionado 1 (o ms) vez el divisor ysumar 1 (o ms) a la cifra del cociente. Recurdese que la divisin es una serie de restasrepetidas y el uso de la multiplicacin es un modo de abreviar el proceso.

39


Siguiendo con la divisin (5.196 / 24) se selecciona desde la izquierda un grupo de doscifras del dividendo 51, que es mayor que el divisor. Del grupo seleccionado se le puedenrestar 2 veces el divisor (24). El 2 se anota en la varilla L. Multiplique 2 por 24 y reste elresultado, 48, de 51 quedando 03 que ya es menor que el divisor. Tambin se puede hacer lamultiplicacin y la resta paso a paso (se supone que ya se conocen perfectamente lasoperaciones tratadas en los temas anteriores):

2 x 2 = 04 que se resta de K y J2 x 4 = 08 que se resta de J y I

J -5 +1 J -1 I +2

El resultado se puede ver en el grfico anterior.

Seguidamente se selecciona un nuevo grupo del dividendo, el 39 que tambin es mayorque el divisor. De 39 se puede restar una vez 24, por lo que se anota 1 en la varilla K y seresta 24 x 1 = 24 de 39 quedando el grupo reducido a 15. Paso a paso se podra hacer:

1 x 2 = 02 que se resta de J y I1 x 4 = 04 que se resta de I y H

I -2 H -4

Obsrvese cmo el cociente avanza de izquierda a derecha a medida que el dividendo vadesapareciendo.

El nuevo grupo a seleccionar de dos cifras 15 es menor que el divisor, por lo que se debeseleccionar un grupo con una cifra ms, 156, del que se puede restar el divisor 6 veces, porlo que anotaremos 6 en J, inmediatamente a la izquierda del dividendo segn indica el punto2 del mtodo. Se multiplica 6 por 24 (6 x 24 = 144) y se resta el producto, 144, del gruposeleccionado, 156, quedando el grupo reducido a 12.

Paso a paso se podra hacer tambin:

6 x 2 = 12 que se resta de I y H6 x 4 = 24 que se resta de H y G

I -1 H -5 +3 H -2 G -5 +1

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Como en el caso anterior el nuevo grupo a seleccionar de dos cifras 12 es menor que eldivisor, por lo que de nuevo se debe seleccionar un grupo con una cifra ms, 3, que eldivisor, en este caso 120. A este grupo se le pueden restar exactamente 5 veces 24 (5 x 24= 120) por lo que se da por terminada la divisin al haberse eliminado totalmente eldividendo. Se anota 5 en I y se hace la resta. Paso a paso se efectuara:

5 x 2 = 10 que se resta de H y G5 x 4 = 20 que se resta de G y F

H -1 G -2

El resultado de la divisin se lee como 216,5 ya que la varilla I es la primera (y en estecaso la nica) de la parte decimal del cociente. Como el dividendo desapareci por completoel resto es cero. Resumiendo: 5.196 / 24 = 216,5 con resto cero.

Otro ejemplo: 362 / 451 = 0,8026607...

Se anota 451 en Q, P y O y 362 en H, G y F, dejando la varilla I como primera cifra de laparte decimal del cociente.

Como el divisor tiene tres cifras seleccionamos el primer grupo de tres cifras deldividendo, 362, pero al ser menor que el divisor se debe seleccionar un grupo de 4 cifras,3620. De este grupo se puede restar 451, el divisor, 8 veces. Se anota 8 en I,inmediatamente a la izquierda del dividendo, y se procede a hacer las multiplicaciones y lasrestas:

8 x 4 = 32 que se resta de H y G8 x 5 = 40 que se resta de G y F8 x 1 = 08 que se resta de F y E

Ahora se selecciona como grupo 1200, ya que el grupo 120 es menor que el divisor. De1200 se puede restar 2 veces el divisor, 451, por lo que se anota 2 en G y se hace como en elpaso anterior las multiplicaciones y las restas:

2 x 4 = 08 que se resta de F y E2 x 5 = 10 que se resta de E y D2 x 1 = 02 que se resta de D y C

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Del siguiente grupo 2980 se puede restar 6 veces el divisor, 451, luego se anota 6 en F yse hacen las restas:

6 x 4 = 24 que se resta de E y D6 x 5 = 30 que se resta de D y C6 x 1 = 06 que se resta de C y B

Por ltimo se selecciona el grupo 2740 del que se puede restar 6 veces el divisor. Seanota 6 en E y como en el paso anterior se hacen las restas:

6 x 4 = 24 que se resta de D y C6 x 5 = 30 que se resta de C y B6 x 1 = 06 que se resta de B y A

El resultado de la divisin se lee en las varillas de la I a la E, recordando que I es la varilladonde est anotada la primera cifra decimal del cociente: 362 / 451 = 0,80266. Incluso sepodra asegurar que la siguiente cifra del cociente sera un 0, quedando el cociente como0,802660. Puede ver la causa de ello sin hacer ninguna operacin?

A veces algunas divisiones se pueden simplificar antes de efectuarse utilizando potenciasde 10, por ejemplo: 5,196 / 2,4 = 5.196 / 2400 pero esta divisin es simplemente hacer 5.196/ 24 = 216,5 y correr la coma decimal dos lugares a la izquierda: 2,165. Otras veces sepueden hacer divisiones por medio de multiplicaciones, por ejemplo, dividir un nmero por 2es lo mismo que multiplicarlo por 0,5, lo que es multiplicar por 5 y dividir el resultado por 10(correr la coma decimal un lugar a la izquierda); dividir un nmero por 5 es multiplicarlo por2 y luego dividirlo por 10, etc. El uso continuo del Soroban har que el usuario descubra pors mismo mtodos abreviados para las divisiones ms comunes, apoyndosefundamentalmente en la multiplicacin.

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Ejercicios de divisiones

Exactas No exactas Simplificables2.139 / 23 = 931.798 / 31 = 582.664 / 72 = 371.176 / 8 = 147

15.688 / 148 = 10622.356 / 207 = 10816.920 / 94 = 180

782 / 147 = 5,319712.100 / 79 = 153,169.372 / 107 = 87,58813.000 / 71 = 183,09498 / 599 = 0,83138

17 / 2.143 = 0,0079328355 / 113* = 3,14159

800 / 24 = 33,33330,04 / 0,007 = 5,714297,5 / 4,2 = 23,21423,6 / 11,4 = 2,07016,973 / 0,8 = 8,7162

1.297 / 5 = 259,4248 / 24 = 10,3333

*El cociente 355 / 113 es una excelente aproximacin del nmero p.

- Un grupo de 34 personas se reparten un premio de 50.099 . Cunto debe recibir cadauno de ellos? (Solucin: 50.099 / 34 = 1.473,5).

- El marco de un Soroban es un rectngulo de lados 28 y 8 cm. Calcule sus dimensiones enpulgadas sabiendo que una pulgada equivale a 2,54 cm. (Solucin: 28 / 2,54 = 11,02 y 8 /2,54 = 3,149).

- Si por tres kilogramos de pescado debemos pagar 15,6 en la pescadera, cunto sedebera pagar por 8 kilogramos del mismo tipo de pescado? (Solucin: 15,6 x 8 /3 = 124,8 / 3= 41,6 )

- Cinco cajas iguales pequeas y una grande pesan en total 3.150 g. Calcule el peso decada caja si la grande tiene peso doble que una pequea. (Solucin: 3.150 / 7 = 450 g pesacada una de las cajas pequea; 2 x 450 = 900 g pesa la caja grande).

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Tema 7:Las potencias

El mtodo que se utilizar para el clculo de potencias de nmeros es simplemente elmtodo multifactorial de multiplicacin ya visto en el tema 5. Ello es consecuencia directade que cualquier potencia entera de un nmero no es ms que ese nmero multiplicado porsi mismo varias veces.

Usar el mtodo multifactorial para el clculo de potencias tiene varias ventajasimportantes:

1. Ya es conocido por haber sido estudiado con anterioridad en el tema 5.2. No es necesario memorizar frmulas, como las del binomio de Newton, ni hacer clculos

mentales como s se deben hacer siguiendo otros mtodos.3. El nico lmite del mtodo es el nmero de varillas disponibles en el Soroban.

Por ejemplo, si se desea calcular el cuadrado del nmero 35 slo es necesario multiplicar35 x 35 = 1.225. Primero se anotan los factores en el Soroban siguiendo el mtodomultifactorial:

Q +3 P +4 B +3 A +5

Y ahora se efecta la multiplicacin:3 x 3 = 09 que se suma en DC4 x 3 = 12 que se suma en CB3 x 5 = 15 que se suma en CB4 x 5 = 20 que se suma en BA

Tras efectuar la multiplicacin se lee en el Soroban el resultado, 1.225.

Si se desea calcular 353 se calcula primero 35 x 35 = 1.225 y posteriormente se multiplica35 x 1.225 = 42.875. La ventaja es que los factores ya estn anotados en el Soroban. Elresultado, 42.875, es el cubo de 35:

353 = 42.875

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Multiplicando ahora 35 x 42.875 se obtendra 1.500.625, la cuarta potencia del nmero 35.

354 = 1.500.625

Y as se podra seguir hasta agotar las varillas disponibles en el Soroban.

Ejercicios de potencias

1282 = 128 x 128 = 16.3844.5732 = 4.573 x 4.573 = 20.912.329 573 = 57 x 57 x 57 = 3.249 x 57 = 185.193253 = 25 x 25 x 25 = 625 x 25 = 15.6251203 = 120 x 120 x 120 = 14.400 x 120 = 1.728.000

Tambin se puede hacer como:

1203 = 123 x 103 = 12 x 12 x 12 x 103 = 144 x 12 x 103 = 1.728 x 103 = 1.728.000

Otro ejercicio:

624 = 62 x 62 x 62 x 62 = 3.844 x 62 x 62 = 238.328 x 62 = 14.776.336

Tambin se podra hacer:

624 = 622 x 622 = (62 x 62) x (62 x 62) = 3.844 x 3.844 = 14.776.336

Un ltimo ejercicio:

78 = 74 x 74 = (72 x 72) x (72 x 72) = (49 x 49) x (49 x 49) = 2.401 x 2.401 = 5.764.801

Problemas sencillos:

- Calcule el volumen de un cubo de lado 1.6 m. (Solucin: 1,63 = 1,6 x 1,6 x 1,6 = 16 x 16 x16 x 10-3 = 256 x 16 x 10-3 = 4.096 x 10-3 = 4,096 m3 ).

- Calcule el volumen de un hangar de 4,5 m de ancho, 4,5 m de alto y 45m de largo.(Solucin: 4,5 x 4,5 x 45 = 45 x 45 x 45 x 10-2 = 2.025 x 45 x 10-2 = 91.125 x 10-2 = 911,25 m3 ).

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Tema 8:Races cuadradas

Existen varios mtodos para calcular la raz cuadrada de un nmero, de los que semuestran dos. El mtodo Chino no exige clculo mental pero es lento; el mtodoalgebraico si exige clculo mental pero es muy rpido.

Mtodo estndar Chino

Se debe seguir la siguiente metodologa:

1. El radicando se anota en la parte derecha del Soroban, dejando entre el radicando y elborde derecho del Soroban el doble de varillas libres que cifras decimales deseamosobtener en el nmero raz. Separe mentalmente el radicando en grupos de 2 cifrascomenzando por el punto decimal de derecha a izquierda.

2. Se anota la cifra 1 en una varilla de la parte izquierda del Soroban. Al nmero anotado sele llama nmero raz y se resta del grupo situado ms a la izquierda del radicando ogrupo activo.

3. Se suma 2 al nmero raz y se resta el nuevo nmero raz obtenido al grupo activo delradicando. Este proceso, sumar 2 al nmero raz y restar el nuevo nmero raz obtenido algrupo activo se repite las veces necesarias hasta que el grupo activo sea menor que elnmero raz. Obsrvese que en cada paso el nmero raz aumenta y el grupo activodisminuye.

4. Seguidamente el grupo activo presente y el siguiente grupo de dos cifras del radicandoforman el nuevo grupo activo. Al nmero raz se le multiplica por 10 y se le suma 11, y seresta el valor obtenido del nuevo grupo activo. Se repite el proceso del punto 3 hasta quede nuevo el grupo activo sea menor que el nmero raz. En ese caso se aplica de nuevo elpunto 4 hasta que el radicando desaparezca o se tengan las cifras decimales deseadas.

5. A veces tras aadir el siguiente grupo de dos cifras a un grupo activo para formar elnuevo grupo activo, ste sigue siendo menor que el nmero raz. Entonces al nmero razse le multiplica por 100 (no por 10) y se le suma 101 (no 11) y al grupo activo se leaaden dos cifras ms. Tras ello se sigue con la mtodo segn los puntos 3 y 4.

6. Finalizadas las restas se le suma 1 al nmero raz final y al resultado se le multiplica por 4sumando el producto sobre el nmero raz, es decir, multiplicar por 5 segn el mtodomultifactorial. El resultado es la raz cuadrada del radicando con tantas cifras decimalescomo se indic en el punto 1.

Ejemplo 1: 28784 =

Como no sabemos si la raz cuadrada de 784 es exacta o no, anotamos 784 en el Sorobanen las varillas G, F y E, dejando libres las cuatro varillas D, C, B y A para calcular dos cifrasdecimales si fuera necesario.

Separamos mentalmente el nmero anotado en grupos de dos cifras comenzando desde lacoma decimal, segn el punto 1: 7-84-00-00. Hay 2 grupos a la izquierda de la coma decimal,por lo que el resultado de la raz cuadrada ser un nmero de dos cifras (unidades y decenas)y con dos cifras decimales (por los dos grupos 00) si las hubiera.

G +5 +2 F +5 +3 E +4

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Como indica el punto 2 se anota la cifra 1 en una varilla a la izquierda del Soroban, porejemplo en L y se resta del grupo activo 7:

L +1 G -1

Aplicando el punto 3 se suma 2 al nmero raz (1 + 2 = 3) y el resultado obtenido se restadel grupo activo:

L + 2 G 5 +2

Si se sumase 2 al nmero raz, ste ya sera mayor que el grupo activo, por lo queaplicando el punto 4 se multiplica el nmero raz por 10 y se le suma 11, y el resultado, 41,se resta del nuevo grupo activo 384 quedando el nuevo grupo activo como 343

L +1 K +1 F 5 +1 E 1

De nuevo se suma 2 al nmero raz y se resta la suma del grupo activo. Esto se hace variasveces hasta que se llega a la posicin siguiente:

En esta posicin tras sumar 2 al nmero raz y restar el resultado del grupo activo elradicando desaparece por completo, por lo que la raz cuadrada de 784 es un nmero entero,sin decimales:

K +5 3 F 5 E 5

Segn indica el punto 6 se le suma 1 al nmero raz (55 + 1 = 56) y se multiplica elresultado por 4 sumando el producto sobre el nmero raz:

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K +14 x 5 = 20 que se suma a M y L4 x 6 = 24 que se suma a L y K

El resultado se lee en las varillas M y L: 28784 =

Ejemplo 2: 6,08 37 =

Como en el ejemplo anterior dejamos libres las varillas D, C, B y A para hacer el clculocon dos cifras decimales. Segn el procedimiento se anota 37 en F y E y 1 en la varilla L.Seguimos las instrucciones del punto 3 hasta que el grupo activo sea menor que el nmeroraz.

Ahora el grupo activo debera ser 100, al nmero raz se le debera multiplicar por 10 ysumarle 11 obtenindose 121, pero este nuevo nmero raz sera mayor que el grupo activo,por lo que aplicando el punto 5 el grupo activo es 10000 y el nuevo nmero raz ser 11 x100 + 101 = 1.201, menor que el grupo activo. Se resta 1.201 de 10.000 y se sigue elprocedimiento del punto 3 hasta que el grupo activo sea menor que el nmero raz:

Como indica el punto 6 se suma 1 al nmero raz y se le multiplica por 4 sumando elproducto sobre el nmero raz:

El nmero 37 slo tena un grupo de dos cifras, por lo que el resultado de la raz tendruna cifra entera 6 y dos cifras decimales 08, luego 6,08 37 = .

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Mtodo algebraico

Este mtodo es una adaptacin al Soroban del mtodo manual usado en las escuelas. Lametodologa es la siguiente:

1. El radicando se anota en la parte derecha del Soroban, dejando a la derecha de la comadecimal del radicando un nmero de varillas que ser el doble del nmero de decimalesque tendr el resultado. Se separa mentalmente el radicando en grupos de dos cifrascomenzando por el punto decimal de derecha a izquierda.

2. Se anota de la parte izquierda del Soroban el nmero de una cifra ms grande cuyocuadrado sea menor o igual que el grupo de dos cifras del radicando que est ms a suizquierda, o "grupo activo". Al nmero anotado se le llama "nmero doble". Se resta del"grupo activo" del radicando el cuadrado del "nmero doble". Seguidamente duplique el"nmero doble".

3. El residuo del "grupo activo" anterior del radicando seguido del siguiente grupo de doscifras forman el nuevo grupo activo. En la varilla inmediatamente a la derecha del"nmero doble" se anota un nmero de manera que el nuevo "nmero doble" as formadomultiplicado por el nmero de una cifra recin anotado (la ltima cifra del nuevo"nmero doble") sea el mayor posible que se pueda restar del "grupo activo" delradicando. Hgase la multiplicacin y la resta.

4. Duplique la ltima cifra del "nmero doble".5. Sganse aplicando los puntos 3 y 4 hasta haber usado todos los grupos necesarios de dos

cifras del radicando.6. Finalmente la raz cuadrada del radicando se obtiene calculando la mitad del "nmero

doble". Se puede hacer mentalmente con facilidad o tambin se puede multiplicar por 0.5segn el mtodo multifactorial, tal como se hace en el punto 6 del mtodo Chino. Laparte entera del resultado est formada por tantas cifras como grupos de dos cifras tenael radicando a la izquierda de su coma decimal, el resto de cifras forman la parte decimaldel resultado.

Ejemplo 1: 28784 =

Se anota 784 en el Soroban en las varillas G, F y E, dejando libres las cuatro varillas D, C,B y A para calcular dos cifras decimales si fuera necesario. Separamos mentalmente elnmero anotado en grupos de dos cifras comenzando desde la coma decimal, segn el punto1: 7-84-00-00. Hay 2 grupos a la izquierda de la coma decimal, por lo que el resultado de laraz cuadrada ser un nmero con dos cifras en su parte entera (unidades y decenas) y lasdems cifras, si las hubiera, sern decimales.

G +5 +2 F +5 +3 E +4

El grupo activo del radicando es 7. El nmero 2 es el mayor cuyo cuadrado (4) es menor oigual que el grupo activo. Segn indica el punto 2 se anota 2 en la varilla L formando elprimer nmero doble y se resta su cuadrado (4) del grupo activo: 7; inmediatamente seduplica el 2 anotado en L:

50


L +2 G -5 +1 L +2

Segn el punto 3 el nuevo grupo activo es 384. Ahora se trata de buscar un nmero, queanotaremos en K, el cual formar con el 4 anotado en L el nuevo nmero doble, de talmanera que al multiplicarlo por lo anotado en K se obtenga el mximo producto que se puedarestar del grupo activo 384. Si se anotase 9 en K el nuevo nmero doble sera 49, quemultiplicado por 9 da como resultado 441 que no se puede restar del grupo activo.Anotamos 8 en K, as el nuevo nmero doble formado es 48 que multiplicado por 8 da comoproducto 384 que s se puede restar del grupo activo. De hecho el grupo activodesaparece totalmente, por lo que la raz cuadrada es exacta. La multiplicacin 48 x 8 sepuede hacer tambin paso a paso:

K +5 +38 x 4 = 32 que se resta de G y F (G -3 F -2)8 x 8 = 64 que se resta de F y E (F -5 -1 E -4)

Ahora se aplica el punto 4 y se obtiene el nmero doble final:

L +5 -4 K -2

Finalmente se calcula la mitad del nmero doble, segn indica el punto 6. En este caso esmuy sencillo hacerlo mentalmente: 56 / 2 = 28. Ese es el resultado de la raz cuadrada de784: 28784 =

Ejemplo 2: 18,761352 =

La raz cuadrada de 352 ser un nmero con dos cifras en su parte entera. Se anota 352 enlas varillas G, F y E:

G +3 F +5 E +2

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El grupo activo es 3, por lo que el nmero doble es 1, que se anota en L. Se resta elcuadrado del nmero doble del grupo activo y seguidamente se duplica el nmerodoble:

L +1 G -1 L +1

Se forma el nuevo nmero doble anotando 8 en K. El nmero doble as formado 28se multiplica por 8 y se resta el resultado 224 del grupo activo. Si esta multiplicacin, envez de hacerse mentalmente, se hace paso a paso puede ocurrir que alguna vez el nmeroanotado sea excesivamente grande o pequeo. En cualquier caso no es difcil deshacer lasoperaciones hechas y escoger el nmero adecuado.

K +5 +38 x 2 = 16 que se resta de G y F ( G -2 F +4)8 x 8 = 64 que se resta de F y E (F -5 -2 E +5 +1)

Se duplica la ltima cifra del nmero doble:

L +1 K -2

El nuevo grupo activo es, segn el punto 3, el grupo 2800. Anotamos 7 en J formndoseas el nuevo nmero doble 367. Este nmero se multiplica por 7 y se resta el resultado,2569, del grupo activo. Seguidamente se duplica la ltima cifra del nmero doble.

J +5 +27 x 3 = 21 que se resta de F y E ( F -2 E -1 )7 x 6 = 42 que se resta de E y D ( E -5 D +5 +3 )7 x 7 = 49 que se resta de D y C ( D -5 C +1 )K +1 J -5 +2

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El nuevo grupo activo es 23100. Anotamos 6 en la varilla I, formndose el nmero 3746que es el nuevo nmero doble. Multiplicamos 3746 por 6 y se resta el producto del grupoactivo. Seguidamente se duplica la ltima cifra del nmero doble:

I +5 +16 x 3 = que se resta de E y D ( E -2 D +5 -3 )6 x 7 = 42 que se resta de D y C ( D -5 C +5 +3 )6 x 4 = 24 que se resta de C y B ( C -3 B +5 +1 )6 x 6 = 36 que se resta de B y A ( B -5 +1 A +4 )J +5 -4 I -5 +1

Finalmente se calcula mentalmente la mitad del nmero doble 3752 y se obtiene1876. La raz cuadrada de 352 ser entonces 18,76. Adems, sin necesidad de hacer msclculos, se puede ver fcilmente en el Soroban que la siguiente cifra decimal es un 1, por loque an podemos dar un resultado ms exacto : 18,761 352 =

Con un poco de prctica, siempre se puede calcular mentalmente la ltima cifra delnmero doble, y as se consigue dar una cifra decimal ms en el resultado sin ms clculos.

Ejercicios de races cuadradas

Haga las siguientes races cuadradas segn los mtodos descritos anteriormente:

18 324 = 21 441 = 4,123 17 = 13,41 180 =36 1.296 = 106 11.236 = 5,916 35 = 72,85 5.308 =

- Una finca de forma cuadrada tiene de rea 268,96 m2. Calcule la longitud de sus lados.(Solucin: m 16,4 268,96 = )

- Una caja con forma de ortoedro tiene de altura 10 cm. y de volumen 202,5 cm3.Calcule las medidas de los lados de la base si son iguales.

(Solucin: cm) 4,520,2510

202,5==

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54


Tema 9:Otras operaciones

Este tema simplemente tiene la intencin de mostrar algunas de las posibilidades delSoroban para cualquier tipo de clculos, por complejos que sean.

Logaritmos

Si se cuenta con unas tablas de logaritmos el Soroban permite hacer prcticamentecualquier clculo. Para ello es preciso conocer qu es un logaritmo, sus propiedades, ascomo las propiedades de las funciones exponenciales:

Funciones exponenciales Funciones logartmicas

cbcb aaa += ( ) LogbLogabaLog +=

b-cc

b

aaa

= LogbLogaba

Log -=

cbb aac = ( ) LogabaLog b =

bc

b c aa = Logabc

aLogb c =

Ejemplo 1: 2516 = 2,32 x 1022

Se aplica la funcin logaritmo al nmero y tras simplificar mentalmente la expresincalculando los logaritmos de 2,5 y de 10 con la tabla, se hace la multiplicacin final con elSoroban:

( ) ( ) ( )( )

22220,36642222,366416

16

102,322,321010101025 :Luego

22,36641,39791610,397916

10log2,5Log16102,5Log1625Log1625Log

====

==+==+===

Ejemplo 2: 51,4 = 9,52

Como en el caso anterior:

( )9,52105 :Luego

0,97860,69901,45Log1,45Log0,97861,4

1,4

==

===

Ejemplo 3: 1,76175 =

( ) ( )

1,761017:Luego 0,24601,230451

10,230451

10Log1,7Log51

17Log51

17Log

0,24605

5

====

=+=+==

55


Ejemplo 4: Log3(8,31) = 1,927

( ) ( ) 1,92747719196

0,47710,9196

3Log8,31Log

8,31Log3 ====

Trigonometra

Como en el caso de los logaritmos, si se dispone de tablas adecuadas el Soroban permite laresolucin de cualquier problema en el que se utilicen las razones trigonomtricas.

Ejemplo 1: Dos de los lados de un tringulo miden 15,5 cm. y 24,3 cm., y el ngulo entreellos es 36 23. Calcule el rea del tringulo.

(Solucin: El rea de cualquier tringulo se puedecalcular multiplicando 0,5 por las longitudes de dos ladosy por el seno del ngulo entre ellos. En este caso el rease calculara: 0,5 x 15,5 x 24,3 x sen (36 23).Primeramente se calcula con ayuda de las tablas la razntrigonomtrica: sen (36 23) = 0,5925 + 0,0007 = 0,5932 yahora se procede a las multiplicaciones en el Soroban,multiplicando 5 x 155 x 243 x 5.932 con siete cifrasdecimales. Finalmente el valor del rea del tringulo quese puede leer en el Soroban es 111,7143900 cm2, valor quese puede redondear, incluso mientras se realizan lasmultiplicaciones en el Soroban, a 111,7 cm2.)

Ejemplo 2:

Calcule sec (78 51).

( )( )

( ) 0,1934)0,00030,19377851'cos :tabla la Usando

5,171.93410.000

0,19341

7851'cos1

7851'sec

:(Solucin

=-=

====

Ejemplo 3:

Desde el punto ms alto de un poste vertical de 3,1 m de altura se tiende un cable desujecin que forma 48 30 con la horizontal. Calcule la longitud del cable.

( )( ) 0,7490)30' 48sen :tabla la Usando

m4,138749

3.1007.49031.000

0,74903,1

30' 48sen3,1

:(Solucin

=

====

Mximo comn divisor MCD y mnimo comn mltiplo MCM.

El mtodo a utilizar ser el algoritmo de Euclides, por el que simplemente utilizando laresta se obtendr el MCD de dos nmeros anotados en el Soroban. Para dos nmeroscualesquiera a y b se cumple siempre que: MCM (a, b) x MCD (a, b) = a x b, por lo que elclculo posterior del MCM es sencillamente una divisin exacta y un producto.

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Anote uno de los nmeros en la parte derecha del Soroban y el otro en la parte izquierda.Reste el menor de ellos del mayor tantas veces como sea posible (puede apoyarse en lamultiplicacin para reducir el nmero de restas). Ahora tiene anotados en el Soroban uno delos nmeros iniciales y otro, que ahora es el menor. Repita el proceso de restar el menor delmayor las veces que sea posible hasta obtener otra nueva pareja de nmeros. Prosiga conesta metodologa hasta que uno de los dos nmeros se convierta en 0. El nmero que quedaes el MCD de los nmeros anotados inicialmente. Si es 1 se dice que los nmeros anotadosinicialmente son primos entre s, ya que no tienen ms divisores comunes que el 1. Si ahoradesea calcular el MCM deber dividir uno de los nmeros, por ejemplo a entre el recincalculado MCD. La divisin es exacta. El cociente de la divisin se multiplicar por b. Elresultado es el MCM de a y b.

Ejemplo 1:

Clculo del MCD y MCM de 150 y 125:

manual uso abaco japones

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