คณิตศาสตร์ -...

หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน

ชนมธยมศกษาปท ๔

ตามมาตรฐานการเรยนรและตวชวด กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร (ฉบบปรบปรง พ.ศ. ๒๕๖๐)

ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช ๒๕๕๑

สงวนลขสทธ

สำ�นกพมพ บรษทพฒน�คณภ�พวช�ก�ร (พว.) จำ�กด

พ.ศ. ๒๕๖๒

พมพครงท ๑ จำ�นวน ๒๐,๐๐๐ เลม

สถาบนพฒนาคณภาพวชาการ (พว.)

๑๒๕๖/๙ ถนนนครไชยศร แขวงถนนนครไชยศร เขตดสต กรงเทพฯ ๑๐๓๐๐

โทร. ๐-๒๒๔๓-๘๐๐๐ (อตโนมต ๑๕ ส�ย), ๐-๒๒๔๑-๘๙๙๙

แฟกซ : ทกหม�ยเลข, แฟกซอตโนมต : ๐-๒๒๔๑-๔๑๓๑, ๐-๒๒๔๓-๗๖๖๖

website : www.iadth.com

ดร.นฐจร� บศยด

ดร.คงรฐ นวลแปง

อ�จ�รยอภณหพร ม�นม

อ�จ�รยประวทย กนท�ทอง

รองศ�สตร�จ�รย ดร.นพพร แหยมแสง

ผเรยบเรยง

ผตรวจ

บรรณาธการ

คณตศาสตร

A U B

A BU

หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 4 เปนหนงสอทเรยบเรยงขน

ตามมาตรฐานการเรยนร ตวชวดและสาระการเรยนรแกนกลาง กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร

(ฉบบปรบปรง พ.ศ. 2560) ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551 ซงในเลมน

จดแบงเนอหาสาระเปน 4 หนวยการเรยนร คอ หนวยการเรยนรท 1 เซต หนวยการเรยนรท 2

ตรรกศาสตรเบองตน หนวยการเรยนรท 3 การนบเบองตน และหนวยการเรยนรท 4 ความนาจะเปน

เบองตน ในการนำาเสนอเนอหาสาระมงใหผเรยนมความรความสามารถตามมาตรฐานการเรยนรและ

ตวชวดทกำาหนดไว และมความสามารถเพยงพอทจะศกษาหาความรในระดบทสงขนไดอยางมประสทธภาพ

ในการจดกจกรรมการเรยนการสอน ผสอนควรเปดโอกาสใหผเรยนไดมสวนรวมในกจกรรม

การเรยนการสอนใหมากทสด จดกจกรรมการเรยนการสอนเพอใหผเรยนคนพบกฎเกณฑตาง ๆ

สงเสรมใหผเรยนคดและลงมอแกปญหาตาง ๆ ไดอยางมประสทธภาพ เชน ใชคำาถามทเหมาะสม กระตน

ใหผเรยนคดและแกปญหาไปตามลำาดบ จนสามารถสรปกฎเกณฑตาง ๆ ได นอกจากนนผเรยนจะตอง

ทำากจกรรมตรวจสอบความเขาใจ และทำาแบบฝกหดอยางสมำาเสมอ ซงจะชวยใหผเรยนเขาใจเนอหา

สาระตาง ๆ กระจางขน รวมทงเหนประโยชนและเหนคณคาของคณตศาสตร

หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน คณตศาสตรเลมน หากผเรยนมความมงมนทจะศกษาอยางจรงจง

หนงสอเลมนจะชวยใหผเรยนประสบความสำาเรจในการเรยนคณตศาสตรไดอยางแนนอน

ดร.นฐจรา บศยด

สถาบนพฒนาคณภาพวชาการ (พว.)

คานา

มกจกรรมทชวยสงเสรมนกเรยนใหมความเขาใจเนอหาในหวขอตาง ๆ ตามโครงสรางของ

แตละหนวยการเรยนรในรปแบบ Active Learning ไดแก

๏ การนำาเขาสบทเรยน โดยกจกรรม ใชความคด พชตดวย...

มเฉลยและคำาอธบายกจกรรมโดยละเอยดทายเลม

ตองร

ควรร

เสรมความร

ประเดนหลกในบทเรยนทนกเรยนตองร

ประเดนรองในบทเรยนทนกเรยนควรร

นยาม ทฤษฎบท หรอเรองทเกยวของในเนอหา

เพอใหมความเขาใจในเรองนน ๆ มากขน

เปนกจกรรมหรอคำาถามใหนกเรยนลงมอปฏบต

รวมกบเพอนหรอทำาคนเดยว

ใหความรเพมเตมนอกเหนอจากบทเรยน เชน

บคคลสำาคญทางคณตศาสตร

๏ ทบทวนแตละหนวยการเรยนรผานแบบฝกหดทครอบคลมเนอหาในหวขอตาง ๆ

โดยเรยงจากงายไปยาก

๏ กรอบเนนใจความสำาคญ สำาหรบการทบทวน

ทดสอบความเขาใจ

รไวใชวา

หนงสอเลมนมดอะไรบาง

1 เซต

หนวยกา

รเรยนรท

ตวชวด

แผนผงสาระการเรยนร

• เขาใจและใชความรเกยวกบเซตและตรรกศาสตรเบองตน ในการสอสารและสอความหมาย

ทางคณตศาสตร (ค 1.1 ม.4/1)

เซต

5. การดำาเนนการของเซต

อนเตอรเซกชนยเนยนคอมพลเมนตของเซตผลตางระหวางเซต

4. สบเซตและเพาเวอรเซต

สบเซตเพาเวอรเซต

6. การแกปญหาโดยใชการดำาเนนการของเซต

2. ประเภทของเซต

เซตจำากดเซตอนนตเซตวาง

3. การเปรยบเทยบเซต

เซตทเทากนทฤษฎบททเกยวของกบเซตทเทากน

1. การเขยนแสดงเซต

การเขยนเซตแบบแจกแจงสมาชกการเขยนเซตแบบบอกเงอนไขของสมาชกแผนภาพเวนน-ออยเลอร

หนาหนา

1หนวยการเรยนรท เซต 5

4หนวยการเรยนรท ความนาจะเปน

เบองตน 134

2หนวยการเรยนรท ตรรกศาสตร เบองตน 62

3หนวยการเรยนรทการนบเบองตน96

สารบญ

ใชความคดพชตดวย...เซต 6

1. การเขยนแสดงเซต 9

2. ประเภทของเซต 18

3. การเปรยบเทยบเซต 21

4. สบเซตและเพาเวอรเซต 23

5. การดำาเนนการของเซต 29

6. การแกปญหาโดยใชการดำาเนนการ

ของเซต 46

แบบฝกหดทายหนวยการเรยนรท 1 52

ใชความคดพชตดวย...ตรรกศาสตร 63

1. ประพจน 65

2. ตวเชอมหรอตวดำาเนนการ

ทางตรรกศาสตร 69

3. สมมลเชงตรรกศาสตร 81


ใชความคดพชตดวย...การนบ 97

1. หลกการนบเบองตน 99

2. การเรยงสบเปลยน 110

3. การจดหม 123


ใชความคดพชตดวย...ความนาจะเปน 135

1. การทดลองสม 137

2. ปรภมตวอยางหรอแซมเปลสเปซ 138

3. ความนาจะเปน 142


เฉลยกจกรรมสงทายหนวยการเรยนรท1-4 164

บรรณานกรม 168

คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 4 เซต6 7คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 46

ใชความคด พชตดวย...เซตรไวใชวา

ตองร


ทดสอบความเขาใจ (1)

ในชวตประจำ�วนนกเรยนจะพบก�รจดกลมของสงต�ง ๆ

รอบตวม�กม�ย

เชน ชดเครองครวชดเครองนอน

กลมของนกเรยนชนมธยมศกษ�ปท4

คณะครโรงเรยนสตรวทย�

ฝงนกฟล�มงโกในสวนสตวเปดเข�เขยว

นกรองวงBNK48

บ�งสงส�ม�รถจดอยไดหล�ยกลมขนอยกบเกณฑทกำ�หนด

เชนน�ยพพฒนเรยนอยชนมธยมศกษ�ปท4หอง5และน�ยพพฒน

เปนนกกฬ�แบดมนตน ดงนน น�ยพพฒนจงเปนสม�ชกไดทง

กลมนกเรยนช�ยกลมนกเรยนชนมธยมศกษ�ปท4กลมนกเรยน

ชนมธยมศกษ�ปท4หอง5และกลมนกกฬ�แบดมนตน

ในวช�คณตศ�สตรจะใชคำ�ว� เซต (set) ในก�รกล�วถง

กลมของสงต�ง ๆ เชน เซตของอกษรภ�ษ�องกฤษ เซตของ

สระภ�ษ�องกฤษ เซตของพยญชนะไทยและเรยกสงทอยในเซตว�

สมาชก (element or member)

เชน เซตของสระภ�ษ�องกฤษมสม�ชก ไดแก a, e, i, o

และ uมจำ�นวนสม�ชก 5 ตว เซตของพยญชนะไทยมสม�ชก

ไดแกก,ข,ฃ,ค,ฅ,ฆ,ง,จ,ฉ,ช,ซ,ฌ,ญ,ฎ,ฏ,ฐ,ฑ,ฒ,ณ,

ด,ต,ถ,ท,ธ,น,บ,ป,ผ,ฝ,พ,ฟ,ภ,ม,ย,ร,ล,ว,ศ,ษ,ส,ห,

ฬ,อและฮมจำ�นวนสม�ชก44ตว

นกเรยนพจ�รณ�ก�รจดกลมของผลไมตอไปนว�มผลไมใดบ�งอยในกลม

1. กลมของผลไมทไมมเมลด

2. กลมของผลไมทมเมลดเดยว

3. กลมของผลไมทมหล�ยเมลด

4. กลมของผลไมทมเมลดอยภ�ยนอกผล

5. กลมของผลไมทมเมลดอยภ�ยในผล

ผรเรมทฤษฎเซตคอGeorgCantor(เก-ออรกคน-ทอร)นกไวโอลนและนกคณตศ�สตรช�วเยอรมน

ในวช�คณตศ�สตรใชคำ�ว�เซต ในก�รกล�วถงกลมของสงต�งๆ และเมอกล�วถงกลมใดแลวส�ม�รถทร�บไดแนนอนว�มสงใดอยในกลมและสงใดไมอยในกลม

สมาชก(elementormember)เปนคำ�ทใชเรยกสงทอยในเซต

เซต

นกเรยนสามารถจดเปนกลมอน ๆ นอกจากนไดอกหรอไม

ใหนกเรยนแบงกลมกลมละ3-5คนยกตวอย�งก�รจดกลมสงต�งๆรอบตวม�5กลมจ�กนน

บอกสม�ชกทงหมดในกลมและจำ�นวนสม�ชกในกลม แลวบอกว� แตละกลมเปนเซตหรอไม

ถ�ไมเปนใหเหตผลประกอบ

คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 4 เซต8 9

ตองร

ควรร

1. การเขยนแสดงเซต ตวอย�งของเซตอกษรไทย

จ�กแผนภ�พจะเหนว� เซตของอกษรไทยเปนเซตทใหญทสดและครอบคลมเซตอนๆทสนใจ

ทงหมด ส�ม�รถระบประเภทของสม�ชกของเซตอกษรไทย ประกอบดวยเซต 4 เซต ไดแก เซตของ

พยญชนะ เซตของสระ เซตของวรรณยกต และเซตของตวเลข และส�ม�รถระบสม�ชกของเซตของ

อกษรไทยมสม�ชกเปนอกษรแตละตวจะนบไดว�เซตของอกษรไทยมสม�ชก79ตว

ในลกษณะเดยวกน ถ�ระบประเภทสม�ชกของเซตพยญชนะประกอบดวยเซต 3 เซต ไดแก

เซตของอกษรสง เซตของอกษรกล�ง และเซตของอกษรตำ� หรออ�จระบจำ�นวนสม�ชกของเซตเปน

ตวอกษรแตละตวจะนบไดว�มสม�ชก44ตว

วรรณยกต(4)

สระ(21)

ตำ�เดยว(10)

ตวเลข(10)

ก�รเขยนแสดงเซต ใชอกษรภ�ษ�องกฤษตวพมพใหญ

แทน เซต และเรยกสงทอยในเซตว�สมาชก ส�ม�รถเขยนได

2แบบคอแบบแจกแจงสม�ชกและแบบบอกเงอนไขของสม�ชก

1.1 การเขยนเซตแบบแจกแจงสมาชก ก�รเขยนเซตแบบแจกแจงสม�ชกใหเขยนสม�ชก

ทกตวของเซตลงในวงเลบปกก� และใชเครองหม�ยจลภ�ค (,)

คนระหว�งสม�ชกแตละตวเชน

A = {แอปเปล,กลวย,มะพร�ว,ทเรยน}จะแทน

เซตAซงมสม�ชก4ตวไดแก

แอปเปลกลวยมะพร�วและทเรยน

C = {ไมเอก,ไมโท,ไมตร,ไมจตว�}จะแทน

เซตCซงมสม�ชก4ตวไดแก

ไมเอกไมโทไมตรและไมจตว�

ในกรณทสม�ชกของเซตมจำ�นวนม�ก ก�รเขยนเซต

แบบแจกแจงสม�ชกนน จะใชจดส�มจด (...) เพอแสดงว�

มสม�ชกอน ๆ ซงเปนทเข�ใจกนทวไปว� มสม�ชกอะไรบ�ง

อยในเซตนนเชน

D = {๐,๑,๒,...,๙}จะแทนเซตDซงมสม�ชก10ตว

ไดแก๐,๑,๒,๓,๔,๕,๖,๗,๘และ๙

โดยทวไปเขยนแทนเซต

ดวยตวอกษรภ�ษ�องกฤษ

ตวพมพใหญเชนA,B,C

การเขยนเซตแบบแจกแจง

สมาชก (tabular form) เขยน

สม�ช ก ท ก ต วของ เ ซตลง ใน

เครองหม�ยวงเลบปกก� “{ }”

และใชเครองหม�ยจลภ�ค(,)คน

ระหว�งสม�ชกแตละตว และเซต

ทมจำ�นวนสม�ชกม�กมรปแบบ

ทชดเจนและมคว�มเข�ใจตรงกน

ว�มสม�ชกอะไรบ�ง จะใชจด

ส�มจด (...) เพอแสดงสม�ชก

ตวตอๆไป

อกษรไทย(79)

พยญชนะ(44)

อกษรสง(11)

อกษรตำ�(24)

อกษรกล�ง(9)

ตำ�ค(14)

จากเซตของอกษรไทย นกเรยนสามารถบอกเซตอน ๆและระบจำานวนสมาชกไดหรอไม

สญลกษณ...แสดงว�ม๓,๔,๕,๖,๗และ๘เปนสม�ชกของDดวย

L = {1,6,11,...,101}จะแทนเซตLซงม1,6,11,...,101เปนสม�ชก

พจ�รณ�รปแบบคว�มสมพนธของสม�ชกในLจะพบว�เปนแบบรปของจำ�นวนทเพมขนทละ5

1+5 = 6 6+5 = 11 11+5 = 16 16+5 = 21 21+5 = 26 91+5 = 96 96+5 = 101

ดงนน...แทน16,21,26,...,96


ตองร

ควรร


ถ�เซตมจำ�นวนสม�ชกม�กไมสนสด ใหเขยนสม�ชก 3 ตวแรก แลวเตม ... เชนN แทน

เซตของจำ�นวนนบจะไดN={1,2,3,…}

หรอใสสม�ชกจำ�นวนหนงททำ�ใหเหนแบบรปชดเจนแลวใส ... ทงกอนและหลง ในกรณท

ไมรจบทงสองท�งเชนใหIแทนเซตของจำ�นวนเตมจะไดI={…,-2,-1,0,1,2,…}

ก�รเขยนเซตแบบแจกแจงสม�ชกไมนยมเขยนสม�ชกซำ�กน จะเขยนสม�ชกแตละตว

เพยงครงเดยวเชนไมเขยน{3,3,3,4,4,5,5,5,6,6,}แตเขยน{3,4,5,6}หรอ{3,5,6,4}หรอ

{4,5,6,3}หรอยงเขยนเปนแบบอนไดอกแตเปนทเข�ใจตรงกนว�เซตนมสม�ชกสตวคอ3,4,5และ6

1.2 การเขยนเซตแบบบอกเงอนไขของสมาชก ใหนกเรยนพจ�รณ�เซตตอไปน

A = {x|xเปนอกษรไทยและxเปนพยญชนะ}

อ�นว�Aเปนเซตซงประกอบดวยสม�ชกx

โดยทxเปนอกษรไทยและเปนพยญชนะ

B = {x|xเปนสระในภ�ษ�ไทย}

อ�นว�Bเปนเซตซงประกอบดวยสม�ชกx

โดยทxเปนสระในภ�ษ�ไทย

C = {x | x เซตของอกษรไทยและxเปนวรรณยกต}

อ�นว�Cเปนเซตซงประกอบดวยสม�ชกxโดยทx

เปนสม�ชกของเซตของอกษรไทยและxเปนวรรณยกต

การเขยนเซตแบบบอกเงอนไขของสมาชก (set-builderform)นยมใชในกรณทสม�ชกมม�กไมส�ม�รถแจกแจงสม�ชกทงหมดไดหรอไมส�ม�รถเขยนเซตแบบแจกแจงสม�ชกได จงใชตวแปรแทนสม�ชกเชน x, y แลวบอกเงอนไขหรอบอกลกษณะของสม�ชกในรปของตวแปรสญลกษณ“|”แทนคำ�ว�“โดยท”

“ ” แทน “เปนสม�ชกของ”และ“ ”แทน“ไมเปนสม�ชกของ”

สญลกษณ“|”แทนคำ�ว�“โดยท”

คำ�ว�“เปนสม�ชกของ”เขยนแทนดวยสญลกษณ“”

คำ�ว�“ไมเปนสม�ชกของ”เขยนแทนดวยสญลกษณ“”

เชน กไมเปนสม�ชกของBหรอกไมอยในB

เขยนแทนดวยก B

ตวอยางท 1 เขยนเซตแบบแจกแจงสม�ชกจ�กเซตทกำ�หนดใหตอไปน

1) Aแทนเซตของสระภ�ษ�องกฤษ

2) Bแทนเซตของจำ�นวนเตมทยกกำ�ลงสองแลวได4

3) Cแทนเซตของจำ�นวนนบทนอยกว�สบ

ตอบ เขยนเซตในแตละขอแบบแจกแจงสม�ชกไดดงน

1) A = {a,e,i,o,u}

2) B = {-2,2}

3) C = {1,2,3,...,9}หรอC={1,2,3,4,5,6,7,8,9}

ใหนกเรยนจบคกบเพอนชวยกนพจ�รณ�ก�รเขยนเซตแบบบอกเงอนไขสม�ชกของA,BและCว�

มก�รใชขอคว�มและสญลกษณทแตกต�งกนแตใหคว�มหม�ยเดยวกนมขอคว�มและสญลกษณใดบ�ง

ในก�รเขยนเซตแบบบอกเงอนไขสม�ชกทเกยวของกบจำ�นวนต�ง ๆ จำ�เปนตองใชสญลกษณ

แสดงเซตของจำ�นวนซงนกเรยนไดรจกม�บ�งแลวในระดบมธยมศกษ�ตอนตนดงน

เซตของจำ�นวนต�งๆโดยทวไปใชตวอกษรภ�ษ�องกฤษตวพมพใหญแทนชอของเซตไดแก

N แทนเซตของจำ�นวนนบ

หรอ N = {1,2,3,...}

I แทนเซตของจำ�นวนเตม

หรอ I = {0,-1,1,-2,2,-3,3,...}

I+ แทนเซตของจำ�นวนเตมบวก

หรอ I+ = {1,2,3,...}

I- แทนเซตของจำ�นวนเตมลบ

หรอ I- = {-1,-2,-3,...}

P แทนเซตของจำ�นวนเฉพ�ะ

หรอ P = {2,3,5,7,11,13,...}

Q แทนเซตของจำ�นวนตรรกยะ

Q+ แทนเซตของจำ�นวนตรรกยะทเปนบวก

Q- แทนเซตของจำ�นวนตรรกยะทเปนลบ

R แทนเซตของจำ�นวนจรง

R+ แทนเซตของจำ�นวนจรงบวก

R- แทนเซตของจำ�นวนจรงลบ

ก�รเขยนเซตแบบบอกเงอนไขของสม�ชกทำ�ได2วธคอ

1.2.1 ใชคำ�บรรย�ยลวนเชนAแทนเซตของจำ�นวนนบทงหมดทไมเกน5

1.2.2 ใชตวแปรพรอมทงระบสมบตของตวแปรนนบรรจไวภ�ยในเครองหม�ยวงเลบปกก�เชน

A={x|xเปนจำ�นวนนบและxมค�ไมเกน5}

ซงอ�นไดว�Aเปนเซตซงประกอบดวยสม�ชกxโดยทxเปนจำ�นวนนบและxมค�ไมเกน5



ตองร

ควรร

ทดสอบความเขาใจ (3)รไวใชวา

ใหนกเรยนจบคกบเพอนชวยกนพจ�รณ�ว�นอกเหนอจ�กTแลวถ�พจ�รณ�เฉพ�ะE,F,G,HและIแลวมเซตใดอกทส�ม�รถเปนเอกภพสมพทธของเซตทงห�ได(พจ�รณ�แผนผงหน�8ประกอบ)

จ�กก�รทนกเรยนไดเรยนก�รเขยนแสดงเซตข�งตน

จะเหนไดว�ก�รระบถงสม�ชกของเซต แมอยภ�ยใตเงอนไข

เดยวกน อ�จไดสม�ชกของเซตทแตกต�งกน เพอใหเกด

คว�มเข�ใจตรงกนจงจำ�เปนตองกำ�หนดขอบเขตของสงทกล�วถง

นนคอเอกภพสมพทธ (relative universe)

ใหนกเรยนพจ�รณ�เซตตอไปน

T = {x|xเปนอกษรไทย}อ�นว�Tเปนเซต

ซงประกอบดวยสม�ชกxโดยทxเปนอกษรไทย

D = {x | x Tและxเปนตวเลข}อ�นว�Dเปนเซต

ซงประกอบดวยสม�ชกx

โดยทxเปนสม�ชกของเซตTและxเปนตวเลข

E = {x|xTและxเปนอกษรสง}

F = {x|xTและxเปนอกษรกล�ง}

G = {x|xTและxเปนอกษรตำ�}

H= {x|xTและxเปนอกษรตำ�ค}

I = {x|xTและxเปนอกษรตำ�เดยว}

ในทนTเปนเอกภพสมพทธ

กำ�หนดให คอเซตของอกษรไทย

A={x|xเปนพยญชนะ}

จะไดA={ก,ข,ค,...,ฮ}

D={x|xเปนตวเลข}

จะไดD={๐,๑,๒,๓,...,๙}

เอกภพสมพทธ (relativeuniverse)คอเซตทเปนขอบเขตของสงทกล�วถงเขยนแทนดวยสญลกษณ

จะเปนเซตของจำ�นวนจรงเมอมก�รกล�วถงเซตของจำ�นวนทไมมก�รระบเอกภพสมพทธ

แตห�กเปลยนคอเซตของอกษรโรมน(หรออกษรละตน)

จะไดA={A,a,,a,B,b,,b,C,c,,c,D,d,,d,E,e,,e,F,f,,f,G,g, ,g,H,h,,h,I,i,,i,J,j,,j,K,k,K,k,L,l,,l,M,m,,m,N,n,,n, O,o,,o,P,p,,p,Q,q,,q,R,r,,r,S,s,,s,T,t,,t,U,u,,u,V,v,,v, W,w,,w,X,x,,x,Y,y,,y,Z,z,,z}

จะไดD={I,V,X,L,C,D,M}

เหนไดว�สม�ชกของเซตทเขยนแบบแจกแจงสม�ชกเปลยนแปลงไปจ�กเดม

จะเหนไดว� เซตทกำ�หนดเงอนไขของสม�ชกอย�งเดยวกน แตกำ�หนดเอกภพสมพทธต�งกน

จะไดเซตทมสม�ชกต�งกนหรอไดเซตทมสม�ชกเหมอนกนกได ดงนนก�รกล�วถงเซตใด ๆ จะตอง

กำ�หนดเอกภพสมพทธเสมอ

ในกรณทกล�วถงเซตของจำ�นวนถ�ไมไดกำ�หนดเอกภพสมพทธในชนเรยนนใหถอว�เอกภพสมพทธนน

เปนเซตของจำ�นวนจรงเชน

A = {x | x2=9}หม�ยถงAเปนเซตของจำ�นวนจรงทยกกำ�ลงสองแลวเท�กบ9

เซตบ�งเซตส�ม�รถเขยนไดทงแบบแจกแจงสม�ชกและแบบบอกเงอนไขสม�ชกเชน

A={4,5,6}เขยนเซตAแบบบอกเงอนไขสม�ชกไดดงน

A = {x|xเปนจำ�นวนเตมและ3<x<7}

หรอ A = {x|x Iและ3<x<7}

RenèDescartes (อ�นว� เรอ-เน เด-ก�รต) นกปรชญ�และนกคณตศ�สตรช�วฝรงเศส เปนผทำ�ใหก�รใชxแทนตวแปรมใชอย�งแพรหล�ย โดยเดก�รตใชa,b,cแทนตวแปรทร�บค�และใชx,y,zแทนตวแปรไมทร�บค�

ใหนกเรยนพจ�รณ�เซตตอไปน

A = {x R | -2 ⩽ x ⩽2}

B = {xI+ | -2 ⩽ x ⩽2}

C = {x I- | -2 ⩽ x ⩽2}

D = {x N|-2 ⩽ x ⩽2}

สม�ชกของA คอจำ�นวนจรงทกจำ�นวนตงแต-2ถง2

สม�ชกของB คอ1และ2

สม�ชกของC คอ-1และ-2

สม�ชกของD คอ1และ2

ตวอยางท 2 เขยนเซตตอไปนแบบแจกแจงสม�ชก

1) A = {x|xเปนชอวนในสปด�ห}

2) B = {x|xเปนชอเดอนทลงท�ยดวยคำ�ว�“ยน„}

3) C = {x P | 2 ⩽ x ⩽13}

4) D = {x|xเปนจำ�นวนนบ}

5) E = {xI|-6<x<6และxเปนจำ�นวนค}

6) F = {x I|x<3}

7) G = {x I+|xเปนจำ�นวนค}

8) H = {x N|xเปนตวประกอบของ12}




9) I = {x|x2=25}

10) J = {x|(x+2)(x-1)(x-3)=0}

เขยนเซตในแตละขอแบบแจกแจงสม�ชกไดดงน

ตอบ 1) A = {จนทร,องค�ร,พธ,พฤหสบด,ศกร,เส�ร,อ�ทตย}

2) B = {เมษ�ยน,มถน�ยน,กนย�ยน,พฤศจก�ยน}

3) C = {2,3,5,7,11,13}

4) D = {1,2,3,4,...}

5) E = {-4,-2,0,2,4}

6) F = {2,1,0,-1,-2,...}

7) G = {2,4,6,...}

8) H = {1,2,3,4,6,12}

9) I = {-5,5}

10) J = {-2,1,3}

ใหนกเรยนจบคกบเพอนชวยกนคดว�มโจทยขอใดบ�งในตวอย�งท2ทส�ม�รถเขยนเซตแบบบอกเงอนไขของสม�ชกในแบบอนๆทไมตรงกบตวอย�งแลวออกม�นำ�เสนอหน�ชนเรยน

เขยนเซตแตละขอตอไปนแบบแจกแจงสม�ชก

1. A = {x|(x-2)(x+3)(x+1)=0}

2. B={x|x2=81}

3. C = {x | -6<x<6และxเปนจำ�นวนเตมค}

4.D={x|xเปนจำ�นวนนบทเปนตวประกอบของ24}

5.E={x|xเปนจำ�นวนเตมทนอยกว�5}

6.F ={x|xเปนจำ�นวนเตมลบทม�กกว�-1}

ตวอยางท 3 เขยนเซตตอไปนแบบบอกเงอนไขของสม�ชก

1) A = {1,2,3,4,5}

2) B = {5,4,3,...}

3) C = {1,-1,2,-2,3,-3,...}

4) D = {1,4,9}

5) E = {2,3,5,7}

เขยนเซตในแตละขอแบบบอกเงอนไขของสม�ชกไดดงน

ตอบ 1) A = {x N|x<6} หรอ A = {x I+|x<6}

หรอ A = {x N|x⩽5} หรอ A = {x I+ | x ⩽5}

2) B = {x I|x<6} หรอ B = {x I|x⩽5}

3) C = {x I|x≠0}

4) D = {x|x=y2,y Nและy<4} หรอ D = {x N|(x-1)(x-4)(x-9)=0}

5) E = {x P | 2 ⩽ x ⩽7}

หมายเหต เซตบ�งเซตอ�จเขยนแบบบอกเงอนไขของสม�ชกไดหล�ยแบบดงตวอย�งท3

ขอ1),2)และ4)

นอกจ�กนในตวอย�งท 2 กส�ม�รถเขยนเซตแบบบอกเงอนไขของสม�ชกแบบอน ๆ ไดอก

นกเรยนตอบไดไหมว�ขอใดบ�ง

นอกจ�กนนกเรยนส�ม�รถใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร

แสดงเซตทตองก�รศกษ�ไดซงจะไดเรยนรในหวขอตอไป



ควรร


ควรร 1.3 แผนภาพเวนน-ออยเลอร แผนภาพเวนน-ออยเลอร (Venn-Euler Diagram) นยมใชรปสเหลยมผนผ�หรอรปปด

ใดๆแทนขอบเขตของเอกภพสมพทธ สวนเซตอนๆทอยภ�ยใตขอบเขตของเอกภพสมพทธอ�จเขยน

แทนดวยวงกลมวงรหรอรปปดใดๆถ�มก�รซอนทบกนของวงกลมจะแสดงว�เซตดงกล�วมสม�ชกรวมกน

คว�มแตกต�งของแผนภ�พเวนนและแผนภ�พออยเลอรคอแผนภาพเวนนจะแสดงการตดกน

ของทกเซต แมว�จะมสม�ชกซำ�กนหรอไม สวนแผนภาพออยเลอรจะแสดงเซตตดกนเฉพาะเมอม

สมาชกรวมกนเพอใหเกดคว�มเข�ใจทชดเจนจงยกตวอย�งดงแผนภ�พท1.1–1.3ตอไปน

A

A

A

B

B

B

12

12

1

3

45

แผนภาพท 1.1 แผนภาพเวนน แสดง A และ B ทไมมสมาชกรวมกน

แผนภาพท 1.2 แผนภาพออยเลอร แสดง A และ B ทไมมสมาชกรวมกน

แผนภาพท 1.3 แผนภาพเวนนหรอแผนภาพออยเลอร แสดง A และ B ทมสมาชกรวมกน

34

5

23

45

แผนภาพเวนน-ออยเลอร(Venn-Euler Diagram) หรอแผนภ�พเวนน คดขนโดย John Venn(จอหน เวนน) นกคณตศ�สตรและนกปรชญ�ช�วองกฤษ โดยนำ�เอ�แนวคดของ Leonhard Euler(เล-ออน-ฮ�รดออย-เลอร)นกคณต-ศ�สตรและนกฟสกสช�วสวสม�ใชเพอสอนทฤษฎเซตพนฐ�น โดยเวนนเรยกแผนภ�พดงกล�วว�EulerianCircles (วงกลมของออยเลอร)

John Venn Leonhard Euler

คว�มแตกต�งของแผนภ�พเวนนและแผนภ�พออยเลอร คอแผนภ�พเวนนจะแสดงก�รตดกนของทกเซตแมว�จะมสม�ชกซำ�กนหรอไมสวนแผนภ�พออยเลอรจะแสดงเซตตดกนเฉพ�ะเมอมสม�ชกรวมกน

ในกรณท A และ B มสม�ชกรวมกน จะแสดงดวย

แผนภ�พเวนนหรอแผนภ�พออยเลอรกจะไดแผนภ�พทมลกษณะ

เดยวกน ในแบบเรยนนจะเรยกแผนภ�พแสดงเซตทกกรณว�

แผนภ�พเวนนเนองจ�กสะดวกในก�รพจ�รณ�รวมกบโจทยต�งๆ

ซงยงไมทร�บว�เซตทโจทยกำ�หนดใหมสม�ชกรวมกนหรอไม

แทนแผนภ�พแสดงเซตของอกษรไทย ในแผนภ�พ (หน� 8, 10

และ12)ส�ม�รถเขยนในรปแบบของแผนภ�พเวนนไดดงน

={x|xเปนอกษรไทย}

AE F

B D

C

G HI

ตวอยางท 4

เขยนแผนภ�พเวนนจ�กเซตทกำ�หนดใหตอไปน

={1,2,3,…,10}

A ={1,3,5,7}

B ={2,3,4,…,8}

จ�กเซตข�งตนเขยนเปนแผนภ�พเวนนไดดงน

A B

1

2468

357

9 10

ในกรณทAและBมสม�ชกรวมกน จะแสดงดวยแผนภ�พเวนนหรอแผนภ�พออยเลอร กจะไดแผนภ�พทมลกษณะเดยวกน ในแบบเรยนนจะเรยกว�แผนภ�พเวนน

เขยนแผนภ�พเวนนแสดงเซตA,B,C,D,EและFจ�กทดสอบคว�มเข�ใจ(5)หน�14เมอ =I

จากแผนภาพ จะเหนวา สมาชกบางตวของ A กบ B ซำากน คอ 3, 5 และ 7 วงกลมแทนเซต

ทงสองจงซอนทบกนบางสวน และมสมาชกของเอกภพสมพทธบางตวไมเปนสมาชกของ

ทง A และ B นนคอ 9 และ 10


ตองร






กอนทจะเรยนรประเภทของเซตซงแบงต�มจำ�นวนสม�ชกทอยในเซตนกเรยนควรมคว�มเข�ใจ

จำ�นวนสม�ชกของเซตดงน

n(A)แทนจำานวนสมาชก (cardinality)ของA

เซตจำากด (finiteset)เปนเซตทมจำ�นวนสม�ชกเปนจำ�นวนเตมบวกใดๆหรอศนยเซตอนนต (infiniteset)เปนเซตทไมใชเซตจำ�กดกล�วคอมจำ�นวนสม�ชกม�กม�ยนบไมถวน

จำานวนสมาชก (cardinality) ของAส�ม�รถเขยนแทน

ดวยสญลกษณ n(A)หรอ |A|หรอ #A ซงในแบบเรยนนจะใช

n(A)เชน

H = {กลวยหอม,สบปะรด}

จะไดn(H)=2คอเซตHมสม�ชก2ตว

G = {x|xเปนผลไมทไมมเปลอก}

จะไดn(G)=0คอเซตGมสม�ชก0ตว

เมอพจ�รณ�ต�มจำ�นวนของสม�ชกทอยในเซต จะส�ม�รถแบง

ประเภทของเซตไดดงน

2.1 เซตจำากด เซตทมจำ�นวนสม�ชกเปนจำ�นวนเตมบวกใดๆหรอ

ศนยเรยกว� เซตจำากด (finite set)

ตวอย�งของเซตจำ�กด

A={1,3,5,7}เปนเซตทมสม�ชก4ตว

เขยนแทนดวยn(A)=4

B ={a,e,i,o,u}เปนเซตทมสม�ชก5ตว

เขยนแทนดวยn(B)=5

C={1,2,3,…,30}เปนเซตทมสม�ชก30ตว

เขยนแทนดวยn(C)=30

เซตของจำ�นวนต�งๆเปนเซตอนนตทงสน

สญลกษณแทนเซตของจำ�นวนต�งๆ มดงน N แทนเซตของจำ�นวนนบ(naturalnumbers)

I แทนเซตของจำ�นวนเตม(integers)

P แทนเซตของจำ�นวนเฉพ�ะ(primenumbers)

Q แทนเซตของจำ�นวนตรรกยะ(rationalnumbers)

R แทนเซตของจำ�นวนจรง(realnumbers)

C แทนเซตของจำ�นวนเชงซอน(complexnumbers)

ในหนงสอเรยนบ�งเลมอ�จใชZแทนเซตของจำ�นวนเตม(“Zahlen”มคว�มหม�ยว�จำ�นวนในภ�ษ�เยอรมน)

2.3 เซตวาง เซตวาง (empty set or null set or void set) เปน

เซตทไมมสม�ชกหรอมจำ�นวนสม�ชกเปน 0 เขยนแทนเซตว�ง

ดวยสญลกษณ { } หรอ และเขยนแทนจำ�นวนสม�ชกของ

เซตว�งดวยn()เชน

ใหE={x|xเปนจำ�นวนเตมและ1<x<2}

จะไดE=,n(E)=0

ใหF={x|xเปนจำ�นวนจรงและx2+1=0}

จะไดF=,n(F)=0

เนองจ�กส�ม�รถบอกจำ�นวนสม�ชกในเซตว�งได

ดงนนเซตวางจงเปนเซตจำากด

ในแผนภ�พเวนนส�ม�รถแสดงเซตว�งโดยใชรปปดทไมมสม�ชก

ภ�ยในดงน

เซตวาง(emptysetornullsetorvoidset)คอเซตทไมมสม�ชกเขยนแทนเซตว�งดวยสญลกษณ{}หรอ

เซตของจำ�นวนนบในทนหม�ยถงเซตของจำ�นวนเตมบวกดงนนN={1,2,3,…}

โดยบ�งเซตส�ม�รถใสเครองหม�ยตวยก (superscript) ไวทด�นขว�บนของสญลกษณแทนเซต

โดยท + แสดงถงเซตของจำ�นวนทมสม�ชกเฉพ�ะจำ�นวนบวก

- แสดงถงเซตของจำ�นวนทมสม�ชกเฉพ�ะจำ�นวนลบ

และ* แสดงถงเซตของจำ�นวนทมสม�ชกเฉพ�ะจำ�นวนบวกหรอจำ�นวนลบนนคอไมรวม0เชน

I+ = {1,2,3,...} I- = {-1,-2,-3,...} I* = {1, -1,2,-2,...}

สญลกษณ ซ งมตนกำ�เนด

ม�จ�กอกษร ในภ�ษ�เดนม�รก

และภ�ษ�นอรเวย

2.2 เซตอนนต เซตทไมใชเซตจำ�กดเรยกว�เซตอนนต (infinite set)

ตวอย�งของเซตอนนต

D = {…,-2,-1,0,1,2,…}

E = {1,3,5,7,...}

F = {-2,-4,-6,-8,...}

A

A =

แตในแผนภ�พออยเลอรจะไมแสดงเซตว�ง



ควรร


ตวอยางท 1 ขอใดเปนเซตว�ง

1) A={} 2) B={0} 3) C={x N|x<1}

วธทำา 1) A

ดงนนAไมเปนเซตว�งนนคอA≠{}หรอA≠

2) 0 B

ดงนนBไมเปนเซตว�งนนคอB≠{}หรอB≠

3) ไมมจำ�นวนนบใดทนอยกว�1

ดงนนCเปนเซตว�งนนคอC={}หรอC=

ตวอยางท 2 พจ�รณ�ว�เซตทกำ�หนดใหตอไปนเปนเซตว�งหรอไม

1) {x x2+1=0} 2) {xx+2=x}

3) {xI0<x<1} 4) {x x2 - 3x -4=0}

วธทำา 1) x2+1= 0

x2 = -1

แตx2 ⩾0เสมอ

ดงนนไมมxซงx2 = -1

นนคอ {x x2+1=0}เปนเซตว�ง

2) x+2 = x

2 = 0 สมก�รไมเปนจรง

นนคอไมมจำ�นวนจรงxททำ�ใหx+2=x

ดงนน {x x+2=x}เปนเซตว�ง

3) พจ�รณ�ว�มจำ�นวนเตมทอยในชวง0<x<1หรอไมโดยใชเสนจำ�นวนดงน

0<x<1

จะเหนไดว�ไมมจำ�นวนเตมใดอยในชวง0<x<1

ดงนน{x I0<x<1}เปนเซตว�ง

4) x2 - 3x -4 = 0

(x-4)(x+1) = 0

จะได x -4=0 หรอ x+1=0

x=4 x=-1

ดงนน{x x2 - 3x -4=0}ไมเปนเซตว�ง

ตวอยางท 3 กำ�หนดใหA={x | (x - 1)(x - 2) =0}

เขยนเซตAแบบแจกแจงสม�ชกเมอกำ�หนดเอกภพสมพทธ ดงตอไปน

1) เปนเซตของจำ�นวนเตมบวก

2) เปนเซตของจำ�นวนเตมลบ

วธทำา จ�กสมก�ร (x-1)(x-2) = 0

จะได x-1 = 0 หรอx-2 = 0

x = 1 x = 2

ดงนน

1) A = {1,2}

2) A = {} หรอA=

เซตทเทากน AและBจะเปนเซตทเทากน (equal sets or identical

sets) กตอเมอสม�ชกทกตวของAเปนสม�ชกของBและสม�ชก

ทกตวของBเปนสม�ชกของAเขยนแทนดวยA=Bตวอย�งเชน

กำ�หนดให A={1,2,3,4,5}

และ B={x|xเปนจำ�นวนเตมบวกและx<6}

จะได B={1,2,3,4,5}

จะเหนว�AและBมสม�ชกเหมอนกนทกตวคอ1,2,3,4และ5

ดงนน A=B

เซตทเทากน(equalsetsoridentical sets)A=Bกตอเมอสม�ชกทกตวของAเปนสม�ชกของBและสม�ชกทกตวของBเปนสม�ชกของA

สม�ชกของเซตทซำ�กนถอเปนตวเดยวกนและก�รเรยงลำ�ดบสม�ชกในเซตไมทำ�ใหเซตแตกต�งกน

... -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ...





เซตทเทยบเทากน(equivalentsets)Aเทยบเท�กบBกตอเมอจำ�นวนสม�ชกของAเท�กบสม�ชกของBn(A)=n(B)เขยนแทนดวยA~B

A ไมเท�กบ B หม�ยคว�มว� มสม�ชกอย�งนอยหนงตวของA ทไมใชสม�ชกของ B หรอ

มสม�ชกอย�งนอยหนงตวของBทไมใชสม�ชกของAเขยนแทนดวยA≠Bตวอย�งเชน

กำ�หนดใหA={a,b,c,d}และB={a,b,c}

จะเหนว�d Aแตd B

ดงนนA≠B

ตวอยาง พจ�รณ�ว�เซตทกำ�หนดใหตอไปน

เซตใดเปนเซตทเท�กน

เซตใดเปนเซตทเทยบเท�กน

A = {2,3,5}

B = {x 2 ⩽ x ⩽5}

C = {x I(2x+5)(x-2)(x-3)(x-5)=0}

D = {x xเปนพยญชนะในคำ�ว�“MATH”}

E = {x xเปนพยญชนะในคำ�ว�“SOCIAL”}

วธทำา A = {2,3,5}, n(A)=3

B = {x 2 ⩽ x ⩽5}เปนเซตอนนต

C = {2,3,5}, n(C)=3

D = {M,T,H}, n(D)=3

E = {S,C,L}, n(E)=3

สรปไดว� 1) A=Cเพร�ะสม�ชกเหมอนกน

และ 2) A,C,D,Eเปนเซตทเทยบเท�กน

เพร�ะมจำ�นวนสม�ชกเท�กน

4.1 สบเซต A เปนสบเซต (subset) ของ B กตอเมอสม�ชก

ทกตวของAเปนสม�ชกของB

เขยนแทนAเปนสม�ชกของBดวยA B

A ไมเปนสบเซตของBกตอเมอมสม�ชกอย�งนอย

หนงตวของAทไมเปนสม�ชกของB

เขยนแทนAไมเปนสม�ชกของBดวยAB

กำ�หนดใหA={1,3,5}และB={2,3,4,5}

พจ�รณ�AและBจะเหนว�1 Aแต1 B

ดงนนA B

1) เซตทกเซตเปนสบเซตของ ตวเองนนคอถ�Aเปนเซต ใดๆแลวA A2) เซตว�งเปนสบเซตของทกเซต นนคอถ�A เปนเซตใดๆ แลว A

ตวอยางท 1 จ�กเซตทกำ�หนดใหในแตละขอบอกว�เซตท�งซ�ยเปนสบเซตของเซตท�งขว�

หรอไมโดยใชสญลกษณหรอ

1) {1,2}และ{1,2,3} 2) {1,2,3}และ{1,2,3}

3) {3,5,7}และ {5,7,9} 4) {1,2,{1,2}}และ{1,2,3}

5) NและI 6) {,0}และ{0,,{0,}}

ตอบ 1) {1,2}{1,2,3} 2) {1,2,3}{1,2,3}

3) {3,5,7} {5,7,9} 4) {1,2,{1,2}}{1,2,3}

5) NI 6) {,0}{0,,{0,}}

เมอเปนเซตว�งและAเปนเซตใดๆ

Aหรอไม

แนวคด สมมตว� Aแสดงว�

มสม�ชกอย�งนอยหนงตวของทไมเปนสม�ชกของA

แตเปนเซตทไมมสม�ชก

ดงนน Aจงเปนไปไมได

นนคอ A

เมอAเปนเซตใดๆ, A

ใหนกเรยนพจ�รณ�




ควรร

ทดสอบความเขาใจ (8)ทดสอบความเขาใจ (7)

ตวอยางท 2 ใหA={1,2,3}และB={a,b,c,d}

1) ห�สบเซตทงหมดของA

2) ห�สบเซตทงหมดของBกำ�หนดAและBเปนเซตใดๆ

ถ�A BและA≠Bแลว

AเปนสบเซตแทของB

เชนA={1,3},B={1,2,3}

จะเหนว�A BและA≠B

เพร�ะ2 Bแต2 A

ดงนนAเปนสบเซตแทของB

วธทำา 1) ในก�รห�สบเซตของAใหพจ�รณ�ดงน

(1) สบเซตของAทไมมสม�ชกเลยไดแก

(2) สบเซตของAทมสม�ชก1ตวไดแก

{1},{2},{3}

(3) สบเซตของAทมสม�ชก2ตวไดแก

{1,2},{1,3},{2,3}

(4) สบเซตของAทมสม�ชก3ตวไดแก{1,2,3}

ดงนน จำ�นวนสบเซตของAจะมทงหมด8เซตคอ

,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}

2) ในก�รห�สบเซตของBพจ�รณ�ดงน

(1) สบเซตของBทไมมสม�ชกเลยไดแก

(2) สบเซตของBทมสม�ชก1ตวไดแก {a},{b},{c},{d}

(3) สบเซตของBทมสม�ชก2ตวไดแก {a,b},{a,c},{a,d},

{b,c},{b,d},{c,d}

(4) สบเซตของBทมสม�ชก3ตวไดแก {a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},

{b,c,d}

(5) สบเซตของBทมสม�ชก4ตวไดแก {a,b,c,d}

ดงนน จำ�นวนสบเซตของBจะมทงหมด16เซตคอ

,{a},{b},{c},{d},{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d},

{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d},{a,b,c,d}

ตวอยางท 3 กำ�หนดใหC={0,1}ห�สบเซตทเปนไปไดทงหมดของC

วธทำา สบเซตทเปนไปไดทงหมดของCคอเซตทมสม�ชกเปนสม�ชกทงหมดของC

ไดแก,{0},{1}และ{0,1}

หรอเขยนแสดงสบเซตทเปนไปไดทงหมดของCคอ,{0},{1}และ{0,1}

ซงเท�กบ22=4เซต

ตวอยางท 5 กำ�หนดใหD={1,2,3}ห�สบเซตทเปนไปได

ทงหมดของD

วธทำา สบเซตทเปนไปไดทงหมดของ D คอ เซตทม

สม�ชกเปนสม�ชกทงหมดของD ไดแก, {1}, {2}, {3}, {1, 2},

{1,3},{2,3}และ{1,2,3}

หรอเขยนแสดงสบเซตทเปนไปไดทงหมดของD

คอ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}และ{1,2,3}

ซงเท�กบ23=8เซต

จ�กตวอย�งข�งตนจะเหนว�

➀เซตว�งเปนสบเซตของทกเซต

➁เซตใดๆเปนสบเซตของตวเอง

➂ถ�Aมสม�ชกnตวแลวAจะมสบเซตทงหมด2nเซต

ถ�ABและB AแลวA=B

นอกจ�กนไดว�เซตใดๆเปนสบเซตของเอกภพสมพทธ

ตวอยางท 4 เขยนสบเซตทงหมดของเซตตอไปน

1) A={a,b} 2) B={-1,0,1}

วธทำา 1) A={a,b}

สบเซตของAไดแก,{a},{b},{a,b}

2) B={-1,0,1}

สบเซตของBไดแก,{-1},{0},{1},

{-1,0},{-1,1},{0,1},{-1,0,1}

ขอสงเกต

1) {a,b}{a,b},{-1,0,1} {-1,0,1}

2) n(A)=2และจำ�นวนสบเซตทงหมดของA=4=22

3) n(B)=8และจำ�นวนสบเซตทงหมดของB=8=23

จำ�นวนสบเซตแทของAจะนอยกว�จำ�นวนสบเซตทงหมดของAอย1เสมอ

ถ�A,BและCเปนเซตใดๆ,เปนเซตว�งและเปนเอกภพสมพทธจะได1) A 2) A A3) A 4) ถ�ABและB C แลวA C5) ถ�Aเปนเซตจำ�กดและ

n(A)=kแลวจำ�นวนสบเซต

ทงหมดของเซตAเท�กบ2k

และจำ�นวนสบเซตแทของ

เซตAเท�กบ2k - 1

6) ถ�ABและB A

แลวA=B

7) {x}Aกตอเมอx A

กำ�หนดใหA={0,1,{1},{},{0,1}}

พจ�รณ�ว�ขอใดถกตองขอใดผดพรอมทงใหเหตผล

1. A 2. A 3. {} A 4. {} A 5. 1 A

6. {1} A 7. {0,1} A 8. {0,1} A 9. {0,1,{1}} A10. {0,1,{1}} A






ถ�Aไมใชเซตว�งแลวเซตว�งตองเปนสบเซตแทของA

ถ�Aมสม�ชกnตวแลวAจะมสบเซตแท(propersubsets)ทงหมด 2n - 1เซต

เขยนสบเซตทงหมดของเซตแตละขอตอไปนและห�จำ�นวนสบเซตแทของแตละเซต1. A = {{}} 2.B={,{}}3. C = {x | x2=2} 4.D={x|x3 -x=0}

4.2 เพาเวอรเซต เพาเวอรเซต (power set) ของ A เปนเซตทมสม�ชกเปนสบเซตทงหมดของA

เขยนแทนดวยP(A)

ตวอยางท 6 ห�จำ�นวนสบเซตแทของL={0,1}

วธทำา n(L)=2

จำ�นวนสบเซตทงหมดของLคอ22=4เซต

จำ�นวนสบเซตแทของLคอ22 -1=4-1=3เซต

ตวอยางท 7 กำ�หนดใหA={,a,b,{a,b}}

ห� 1) จำ�นวนสบเซตทงหมดของA

2) จำ�นวนสบเซตแทของA

วธทำา n(A)=4

ดงนน1)จำ�นวนสบเซตทงหมดของAคอ24=16เซต

2)จำ�นวนสบเซตแทของAคอ24 -1=15เซต

เชน A= {0,1,4}

สบเซตทงหมดของAคอ,{0},{1},{4},{0,1},{0,4},{1,4},{0,1,4}

เขยนเซตทมสม�ชกเปนสบเซตทงหมดของAไดดงน

{,{0},{1},{4},{0,1},{0,4},{1,4},{0,1,4}}

เซตทไดนเรยกว�เพ�เวอรเซตของAเขยนแทนดวยP(A)

ดงนน P(A)={,{0},{1},{4},{0,1},{0,4},{1,4},{0,1,4}}

ตวอยางท 8 ห�เพ�เวอรเซตและจำ�นวนสม�ชกของแตละเซตตอไปน

1) B={,5} 2) C={6,7,8}

วธทำา 1) B={,5}

สบเซตทงหมดของBคอ,{},{5},{,5}

P(B)={,{},{5},{,5}}

ใหn(P(B))แทนจำ�นวนสม�ชกของP(B)

n(P(B))=4

2) C={6,7,8}

สบเซตทงหมดของCคอ,{6},{7},{8},{6,7},{6,8},{7,8},{6,7,8}

P(C)={,{6},{7},{8},{6,7},{6,8},{7,8},{6,7,8}}

ใหn(P(C))แทนจำ�นวนสม�ชกของP(C)

n(P(C))=8

ตวอยางท 9 ถ�Aเปนเซตว�งแลวP(A)จะมสม�ชกกตว

วธทำา A =

สบเซตทงหมดของAคอ

ดงนน P(A)={}

นนคอn(P(A))=1


สม�ชกแตละตวของP(A)คอแตละสบเซตของA

ดงนนจำ�นวนสม�ชกของP(A)เท�กบจำ�นวนสบเซตทงหมดของA

นนคอถ�n(A)=kจะไดn(P(A))=2k

สมบตของเพาเวอรเซต

ถ�AและBคอเซตใดๆและP(A),P(B)แทนเพ�เวอรเซตของAและBต�มลำ�ดบแลว

1. P(A)เนองจ�ก A

จ�กสมบตดงกล�วจะไดว�P(A)≠

2. A P(A)เนองจ�กA A

3. ถ�ABแลวP(A)P(B)

เชนA={1,2},B={1,2,3}จะไดAB





ควรร


เสรมความรตอบคำ�ถ�มตอไปนพรอมระบเหตผลหรอยกตวอย�ง

1. A P(A)หรอไม

2. P(A)หรอไม

เขยนเพ�เวอรเซตของเซตในทดสอบคว�มเข�ใจ(8)หน�26

โดย P(A) = {,{1},{2},{1,2}}

P(B) = {,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}

จะเหนว�P(A) P(B)

4. {x}P(A)กตอเมอx A

เนองจ�ก {x}P(A)กตอเมอ{x} A

และ {x}A กตอเมอx A

เชน กำ�หนดA={1,{1,2},{3}}

จะได {1}P(A) เพร�ะ1 A

{3}P(A) เพร�ะ3 A

{1,2}P(A) เพร�ะ1,2 A

5. {{x}} P(A)กตอเมอx A

เนองจ�ก {{x}} P(A) กตอเมอ{x}P(A)

และ xA กตอเมอ{x} A

ดงนน {{x}}P(A) กตอเมอx A

เชน กำ�หนดA={1,{1,2},{3}}

จะได {{1}}P(A) เพร�ะ{1} A

{{1,{3}}}P(A) เพร�ะ{1,{3}} A

{{1,2}}P(A) เพร�ะ{1,2} A

การดำาเนนการของเซต(setoperation)เปนก�รสร�งเซตใหมซงมเอกภพสมพทธเดยวกนไดแก- อนเตอรเซกชน- ยเนยน- คอมพลเมนตของเซต- ผลต�งระหว�งเซต

การดำาเนนการของเซต (set operation) เปนก�ร

สร�งเซตใหมจ�กเซตทกำ�หนดใหซงมเอกภพสมพทธเดยวกน

ม�อนเตอรเซกชน ยเนยน คอมพลเมนตของเซต และผลต�ง

ระหว�งเซต

5.1 อนเตอรเซกชน อนเตอรเซกชน (intersection) ของ A กบ Bคอเซต

ทประกอบดวยสม�ชกทอยทงในAและBเขยนแทนดวยA B

อ�จเขยนแสดงA Bดวยแผนภ�พเวนนไดดงน

สวนทแรเงาแสดง A B

A B

เชนกำ�หนดให คอเซตของนกเรยนชนม.4ของโรงเรยนพฒน�คณภ�พวช�ก�ร

Aคอเซตของนกเรยนชนม.4ทชอบเรยนคณตศ�สตร

Bคอเซตของนกเรยนชนม.4ทชอบเรยนภ�ษ�องกฤษ

A Bคอเซตของนกเรยนชนม.4ทชอบเรยนทงคณตศ�สตรและภ�ษ�องกฤษ

แผนภ�พเวนน จะแสดงก�รตดกนของทกเซตแมว�จะมสม�ชกรวมกนหรอไมมสม�ชกรวมกนกต�ม

ตวอยางท 1 กำ�หนดให ={1,2,3,4,5},A={1,2,3}และB={2,3,4,5}

ห�A BพรอมเขยนแสดงA Bดวยแผนภ�พเวนน

วธทำา A={1,2,3} B={2,3,4,5}

AและBมสม�ชกรวมกนคอ2และ3

ดงนนA B={2,3}

เขยนแสดงA Bดวยแผนภ�พเวนนไดดงน

A B

1 23

45

อนเตอรเซกชนของAกบBเขยนแทนดวยA B={x|x Aและx B}


ตองร

ถ�AB=จะเรยกAและBว� เซตไมมสวนรวม(disjointsets)

A B12

3

4

5

ตวอยางท 2 กำ�หนดให ={1,2,3,4,5},A={1,2}

และB={3,4,5}ห�ABพรอมเขยนแสดง

A Bดวยแผนภ�พเวนน

วธทำา A={1,2} B={3,4,5}

จะเหนว�AและBไมมสม�ชกรวมกน

ดงนนAB=


จ�กแผนภ�พAและBไมมสม�ชกรวมกน

เรยกเซตทไมมสม�ชกรวมกนว�เซตไมมสวนรวม (disjoint sets)

ตวอยางท 3 ห�A Bจ�กแผนภ�พเวนน

AB

acd g

f

วธทำา จ�กแผนภ�พAและBมสม�ชกรวมกนคอa,eและi

ดงนนA B={a,e,i}

ตวอยางท 4 กำ�หนดให={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},A={1,3,5,7},B={1,2,4,6,8}

และC={0,1,2}ห�A B CพรอมเขยนแสดงA B C

ดวยแผนภ�พเวนน

วธทำา พจ�รณ�A,BและC

จะเหนว�A,BและCมสม�ชกรวมกนคอ1

ดงนนA B C={1}

เขยนแสดงA B Cดวยแผนภ�พเวนนไดดงน

A

A

B

B

C

C

357 1

0

2

468 9

10

ตวอยางท 5 กำ�หนดให={a,b,c,d,e,f,g,h,i, j,k},A={a,b,c,d},B={b,d,f,g}

และC={b,d,g,h}

ห� 1) (A B) C 2) A (B C)

วธทำา 1) (A B) C

A B = {a,b,c,d} {b,d,f,g}

= {b,d}

(A B) C = {b,d} {b,d,g,h}

= {b,d}

2) A (B C)

B C = {b,d,f,g} {b,d,g,h}

= {b,d,g}

A (B C) = {a,b,c,d} {b,d,g}

= {b,d}

เขยนแสดง(A B) CหรอA (B C)ดวยแผนภ�พเวนนไดดงน

สวนทแรเง�แสดง(A B) CหรอA (B C)

จะเหนว�(A B) C = A (B C)

ac

h

bd g

f eijk

ei






ควรร

ควรร


ยเนยนของAกบBเขยนแทนดวย

A B={x|x Aหรอx B}

จ�กแผนภ�พหน�8ใหAแทนเซตของพยญชนะและBแทนเซตของสระเขยนA B

โดยใชแผนภ�พเวนนพรอมระบสม�ชกของA Bและ แทนเซตใด

เขยนแผนภ�พเวนนแสดงอนเตอรเซกชนของเซตทกำ�หนดใหในแตละขอตอไปน

1.A=BและA,B≠ 2. A BและA,B≠

3.BAและA,B≠

เขยนแผนภ�พเวนนแสดงอนเตอรเซกชนของเซตทกำ�หนดใหในแตละขอตอไปน

1. A B 2.AC 3.B C

4.(AB)C 5.A(BC)

ถ�A,BและCเปนเซตใดๆ, เปนเซตว�งและเปนเอกภพสมพทธ

1. A A = A

2. A B=B A

3. (A B) C = A (B C)

4. A = = A

5. ถ�A BแลวA B=A

6. A = A

7. A B AและA B B

5.2 ยเนยน ยเนยน (union) ของ A กบ Bคอเซตทประกอบดวย

สม�ชกทอยในAหรอBเขยนแทนดวยA B

อ�จเขยนแสดงA Bดวยแผนภ�พเวนนไดดงน


A B

เขยนแผนภ�พเวนนแสดงยเนยนของเซตทกำ�หนดใหในแตละขอตอไปน1.A=BและA,B≠ 2. BAและA,B≠ 3. A = ,B≠ ยเนยนของAและBในแตละขอเหมอนหรอแตกต�งจ�กอนเตอรเซกชนของAและB ในทดสอบคว�มเข�ใจ(12)หน�32อย�งไร

ตวอยางท 6 กำ�หนดให={1,2,3,4,5},A={1,2,3}

และB={2,3,4,5}ห�AB

วธทำา A Bห�ไดจ�กนำ�สม�ชกของAและBเขยนไวดวยกน

ดงนนA B={1,2,3,4,5}


ในเซตมสวนรวมn(AB)=n(A)+n(B)-n(BA)

ตวอย�งเชนกำ�หนดให คอเซตของนกเรยนชนม.4ของโรงเรยนพฒน�คณภ�พวช�ก�ร

Aคอเซตของนกเรยนชนม.4ทไดรบร�งวลผลก�รเรยนยอดเยยม

Bคอเซตของนกเรยนชนม.4ทไดรบร�งวลกจกรรมดเดน

จะได A B คอ เซตของนกเรยนชน ม.4 ทไดรบร�งวลผลก�รเรยนยอดเยยม หรอ

นกเรยนชนม.4ทไดรบร�งวลกจกรรมดเดน

ในท�งคณตศ�สต ร “หรอ”หม�ยถงอย�งใดอย�งหนงหรอทงสองอย�ง

สวนทแรเงาแสดงยเนยนของเซตมสวนรวม สงเกต n(A) = 3, n(B) = 4 และ n(A B) = 5

A B1

45

2

3

สมบตของอนเตอรเซกชน “” ทนกเรยนควรร มดงน


ควรร


A B1

2 45

3

สวนทแรเงาแสดงยเนยนของเซตไมมสวนรวมสงเกต n(A) = 2, n(B) = 3 และ n(A B) = 5

ในเซตไมมสวนรวมn(AB)=n(BA)=n(A)+n(B)

ตวอยางท 7 กำ�หนดให={1,2,3,4,5},A={1,2}และ

B={3,4,5}ห�AB


ดงนนA B={1,2,3,4,5}


ตวอยางท 8 กำ�หนดให={a,b,c,d,e},A={a,b,c}และB={a,b,c,d}ห�A B


ดงนนA B={a,b,c,d}


สวนทแรเงาแสดง A Bสงเกต n(A) = 3, n(B) = 4, n(A B) = 4 และ A B

A B

abc

d

e

ตวอยางท 9 กำ�หนดให={1,2,3,…,10},A={1,2,4},B={2,4,6}และC={3,4,6,8}

ห� 1)(A B) C 2)A (B C)

วธทำา 1) (A B) C

A B = {1,2,4} {2,4,6}

= {1,2,4,6}

(A B) C = {1,2,4,6} {3,4,6,8}

= {1,2,3,4,6,8}

2) A (B C)

B C = {2,4,6} {3,4,6,8}

= {2,3,4,6,8}

A (B C) = {1,2,4} {2,3,4,6,8}

= {1,2,3,4,6,8}

เขยนแสดง(A B) CหรอA (B C)ดวยแผนภ�พเวนนไดดงน

A B

C

สวนทแรเงาแสดง (A B) C หรอ A (B C)

1 2

6

38

579

10

จะเหนว�(A B) C = A (B C)

4


1. A A = A

2. A B=B A

3. (A B) C = A (B C)

4. A = A = A

5. ถ�A BแลวA B=B

6. A =

7. A A BและB A B

เขยนแผนภ�พเวนนทแสดงก�รยเนยนของเซตทกำ�หนดใหในแตละขอตอไปน

1. A B 2.AC 3.B C

4.(AB)C 5.A(BC)

สมบตของยเนยน “” ทนกเรยนควรร มดงน


สวนทแรเงาแสดง A (B C) หรอ (A B) (A C)

A B

C

5

13 2

4

6

7

จะเหนว�A (B C)=(A B) (A C)

3) A (B C)

B C = {2,3,4,5} {1,2,3,4}

= {2,3,4}

A (B C) = {1,3,5} {2,3,4}

= {1,2,3,4,5}

A B

C

4) (A B) (A C)

A B = {1,3,5} {2,3,4,6}

= {1,2,3,4,5,6}

A C = {1,3,5} {1,2,3,4}

= {1,2,3,4,5}

(A B) (A C) = {1,2,3,4,5,6} {1,2,3,4,5}

= {1,2,3,4,5}

เขยนแสดงA (B C)หรอ(A B) (A C)ดวยแผนภ�พเวนนไดดงน

สวนทแรเงาแสดง A (B C) = (A B) (A C)

จะเหนว�A (B C)=(A B) (A C)

พจ�รณ�ก�รเขยนแผนภ�พเวนนแสดงA B CและA B Cดงน

A B

C

A B

C

สวนทแรเงาแสดง A B C สวนทแรเงาแสดง A B C

5

13 2

4

6

7

ตวอยางท 10 กำ�หนดให={1,2,3,4,5,6,7},A={1,3,5},B={2,3,4,6}

และC={1,2,3,4}

ห� 1) A (B C) 2) (A B) (A C)

3) A (B C) 4) (A B) (A C)

วธทำา 1) A (B C)

B C = {2,3,4,6} {1,2,3,4}

= {1,2,3,4,6}

A (B C) = {1,3,5} {1,2,3,4,6}

= {1,3}

2) (A B) (A C)

A B = {1,3,5} {2,3,4,6}

= {3}

A C = {1,3,5} {1,2,3,4}

= {1,3}

(A B) (A C) = {3} {1,3}

= {1,3}

เขยนแสดงA (B C)หรอ(A B) (A C)ดวยแผนภ�พเวนนไดดงน

จ�กแผนภ�พเวนนจะเหนว�

n(ABC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(AB)- n(BC)-n(AC)+n(ABC)


พจ�รณ�แผนภ�พเวนนของก�รดำ�เนนก�รระหว�งเซตA,BและCตอไปนพรอมทงสงเกตคว�มสมพนธ

ระหว�งA(BC)และ(AB)(AC)

A B

C

สวนทแรเงาแสดง B C สวนทแรเงาแสดง A (B C)

จะไดA(BC)

A B

C

จ�กB C

สวนทแรเงาแสดง A C

จ�กA C

A B

C


A

C

จ�กA B

B

สวนทแรเงาแสดง (A B) (A C)

A B

C

จะได(A B) (A C)

จะเหนไดว�สวนทแรเง�ของA (BC)กบสวนทแรเง�ของ(AB) (AC)

คอบรเวณเดยวกน

จงสรปไดว�A(BC)=(AB) (AC)

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

สวนทแรเงาแสดง B C


สวนทแรเงาแสดง A (B C)

สวนทแรเงาแสดง A C

สวนทแรเงาแสดง (A B) (A C)

พจ�รณ�ก�รเขยนแผนภ�พเวนนแสดงA (B C)และ(A B) (A C)

จ�กB C จะไดA (B C)

จ�กA B

จะได(A B) (A C)

จะเหนไดว�สวนทแรเง�ของA (B C)กบสวนทแรเง�ของ(A B) (A C)


จงสรปไดว�A (B C)=(A B) (A C)

จ�กA C



ควรร

ควรร

ควรร

ควรร


5.3 คอมพลเมนต คอมพลเมนต (complement) ของ A เมอเทยบกบ คอ เซตซงประกอบดวยสม�ชก

ทเปนสม�ชกของแตไมเปนสม�ชกของAเขยนแทนดวยA

สวนทแรเงาแสดง A

A

กำ�หนดใหA={0}เขยนA แบบแจกแจงสม�ชกเมอกำ�หนดในแตละขอตอไปน1. =N 2. = Q 3. =P(A) 4. ={0,10,20,…} 5. = {,0,1} 6. = {,{0},{1},{0,1}}

= และ =

(A) = A

A A = และ A A =

เชน กำ�หนดให คอ เซตของนกเรยนช�ยหองม.4/1

ของโรงเรยนพฒน�คณภ�พวช�ก�ร A คอ เซตของนกกฬ�

จะไดAคอเซตของนกเรยนช�ยหองม.4/1ทไมไดเปนนกกฬ�

ถงแมว�เ งอนไขของสม�ชก A จะระบเพยงว�เปนนกกฬ�

แตเอกภพสมพทธไดกำ�หนดขอบเขตเอ�ไว คอ สม�ชกของเซต

ทพจ�รณ�ตองอยในนกเรยนช�ยหอง ม.4/1 ของโรงเรยนพฒน�

คณภ�พวช�ก�ร

เขยนแสดงเปนแผนภ�พเวนนไดดงน

ตวอยางท 11 กำ�หนดให ={0,1,2,3,4}และA={0,1}

ห�A

วธทำา Aคอเซตทมสม�ชกอยในแตไมอยในA

จะไดA={2,3,4}

สงเกต A A={0,1,2,3,4}=

A A={}=

ตวอยางท 12 กำ�หนดให={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={2,4,6}และC={1,2,4}

ห� 1)A 2)B 3)C

วธทำา 1) Aคอเซตทมสม�ชกอยในแตไมอยในA

A={2,4,6}

2) Bคอเซตทมสม�ชกอยในแตไมอยในB

B={1,3,5}

3) Cคอเซตทมสม�ชกอยในแตไมอยในC

C={3,5,6}

จะเหนไดว�สม�ชกของเซตดงกล�วเหมอนกนกล�วคอ

เปนเซตทเท�กน

เขยนแสดงดวยแผนภ�พเวนนไดดงน

สวนทแรเงาแสดง (A B) = A B

A B

AugustusDeMorgan(ออ-กส-ตสเดอมอร-แกน)นกคณตศ�สตรช�วองกฤษผรเรมวธพสจนโดยอปนยเชงคณตศ�สตร(mathematicalinduction)และกฎของเดอมอรแกน(DeMorgan’slaws)

ตวอยางท 13 กำ�หนดให คอเซตของครผสอน

คณตศ�สตรของโรงเรยนพฒน�คณภ�พวช�ก�ร

Aคอเซตของครผสอนคณตศ�สตรทชอบ

ดมก�แฟ

Bคอเซตของครผสอนคณตศ�สตรทชอบดมช�

ห�(A B)และA Bแลวตรวจสอบว�

(A B) = A Bหรอไม

วธทำา A Bคอเซตของครผสอนคณตศ�สตรทชอบดม

ก�แฟหรอดมช�

ดงนน(AB)คอเซตของครผสอนคณตศ�สตร

ทไมชอบดมก�แฟหรอช�

A Bคอเซตของครผสอนคณตศ�สตรทชอบดม

ทงก�แฟและช�

ดงนนA B คอเซตของครผสอนคณตศ�สตร

ทไมชอบดมก�แฟและไมชอบดมช�

กฎของเดอมอรแกน (A B) = A B และ(AB) = A B


คอมพลเมนตของAเขยนแทนดวยA

A = {x | x แตx A}สญลกษณAในหนงสอบ�งเลมอ�จใชAcหรอA~หรอC(A)



ตวอยางท 14 กำ�หนดใหคอเซตของสตวในสวนสตวแหงหนง

Aคอเซตของสตวบก Bคอเซตของสตวสองเท�

ห�(A B)และA B

วธทำา A Bคอเซตของสตวทเปนสตวบกและสตวสองเท�

ดงนน(AB)คอเซตของสตวในสวนสตวทไมใชทงสตวบกและสตวสองเท�

Aคอเซตของสตวในสวนสตวทไมใชสตวบก

Bคอเซตของสตวในสวนสตวทไมใชสตวสองเท�

ดงนนA Bคอเซตของสตวในสวนสตวทไมใชสตวบกหรอไมใชสตวสองเท�

จะเหนไดว�สม�ชกของเซตดงกล�วเหมอนกนกล�วคอเปนเซตทเท�กน

(AB) = A Bแสดงก�รพสจนดวยแผนภ�พเวนนไดดงน

สวนทแรเงาแสดง A B สวนทแรเงาแสดง (A B)

A B A B

จะได(A B)

สวนทแรเงาแสดง A


สวนทแรเงาแสดง B

A B

A B

จ�กA

จะไดA B

จะเหนไดว�สวนทแรเง�ของ(A B)

กบสวนทแรเง�ของA B


จงสรปไดว�(A B) = A B

จ�กB

จ�กAB

A B

สมบตเพมเตมของอนเตอรเซกชน ยเนยน และคอมพลเมนต

1. A A = ,A A =

2. A (A B)=A,A (A B)=A

เนองจ�กA A B ดงนนA (A B)=A

และ A B A ดงนนA (A B)=A

3. A (B C) =(A B) (A C)

A (B C) =(A B) (A C)

เรยกว�“สมบตก�รแจกแจง”

และ (A B) = A B,(A B) = A B

เรยกว�“กฎของเดอมอรแกน”

5.4 ผลตางระหวางเซต ผลตางระหวางเซต (difference of sets) ของ A กบ B

คอ เมอA และ B เปนสบเซตของเอกภพสมพทธ ผลต�ง

ระหว�ง A และ B เปนเซตทประกอบดวยสม�ชกทอยใน A

แตไมอยในBเขยนแทนดวยA - B

ผลต�งระหว�งBและAเปนเซตทประกอบดวยสม�ชกทอยในB

แตไมอยในAเขยนแทนดวยB - A

สวนทแรเงาแสดง A - B

A B

เชนกำ�หนดให คอเซตของนกเรยนช�ยของโรงเรยนพฒน�คณภ�พวช�ก�ร

A คอเซตของนกกฬ�บ�สเกตบอลช�ย

B คอเซตของนกเรยนช�ยทมคว�มสงไมเกน175เซนตเมตร

ห�A-BและB- A

วธทำา จะไดA-Bคอเซตของนกกฬ�บ�สเกตบอลช�ยทมคว�มสงเกน175เซนตเมตร

เขยนแสดงA-Bดวยแผนภ�พเวนนไดดงน

ผลต�งระหว�งเซตของAกบBเขยนแทนดวยA -B={x|x Aแตx B}ผลต�งระหว�งเซตของBกบAเขยนแทนดวยB- A = {x | x Bแตx A}




สมบตทเกยวของกบผลตางระหวางเซต

กำ�หนดใหA,BและCเปนเซตใดๆจะไดว�

1. A - A = และA- = A 2. - A =

3. - A = Aและ - A=A 4.A-B=AB

จะไดB-Aคอเซตของนกเรยนช�ยทมคว�มสงไมเกน175เซนตเมตรและไมเปน

นกกฬ�บ�สเกตบอล

เขยนแสดงB-Aดวยแผนภ�พเวนนไดดงน

สวนทแรเงาแสดง B - A

A B

ตวอยางท 15 กำ�หนดใหA={1,2,3,4,6,7}และB={2,3,4,5}

ห� 1) A-B 2) B- A

วธทำา 1) A-B

2,3,4 Aและ2,3,4 Bดวย

A -Bคอเซตทมสม�ชกอยในAแตไมอยในB

ดงนนA-B={1,6,7}

2) B- A

2,3,4 Bและ2,3,4 Aดวย

B-Aคอเซตทมสม�ชกอยในBแตไมอยในA

ดงนนB-A={5}

A -B≠B- A

เขยนแผนภ�พเวนนแสดงA-Bจ�กเซตทกำ�หนดใหในแตละขอตอไปน1.A=BและA,B≠ 2. A BและA,B≠ 3.BAและA,B≠ผลต�งของAและBในแตละขอเหมอนหรอแตกต�งจ�กอนเตอรเซกชนและยเนยนของAและBในทดสอบคว�มเข�ใจ(12)หน�32และ(14)หน�33อย�งไร

เขยนแผนภ�พเวนนทประกอบไปดวยA,BและCแลวใชสหรอสญลกษณทแตกต�งกนแสดง

1. A -B 2.A-C 3.B-C 4.(A-B)-C 5.A-(B-C)

ตวอยางท 16 กำ�หนดใหA={1,3,5,7},B={2,3,4,5}และC={2,4,5,6}

ห� 1) (A-B)-C 2) A-(B-C)

วธทำา 1) (A-B)- C

ห�A-B={1,7} อยในAแตไมอยในB

ดงนน(A-B)-C={1,7} อยในA-BแตไมอยในC

2) A-(B-C)

ห�B-C={3} อยในBแตไมอยในC

ดงนนA-(B-C)={1,5,7} อยในAแตไมอยในB- C

ตวอยางท 17 กำ�หนดให={1,2,3,4,5,6,7,8}และA={2,3,5,7}

ห� 1) A 2) - A

วธทำา 1) A={1,4,6,8} อยในแตไมอยในA

2) -A={1,4,6,8} อยในแตไมอยในA

(A-B)- C≠A-(B-C)

A = - A



A B

30- x x 23 - x

จ�กแผนภ�พจะไดว�(30-x)+x+(23-x) = 50

53-x= 50

x = 3

ถ�ห�จำ�นวนนกเรยนทมปญห�ทงฟนผและฟนคดจ�ก

n(A B) = n(A)+n(B)-n(A B)

จะได 50 = 30+23-n(A B)

n(A B) = 53-50

n(A B) = 3

ดงนน1) จำ�นวนนกเรยนทมปญห�ทงฟนผและฟนคดม3คน

2) จำ�นวนนกเรยนทมปญห�ฟนผอย�งเดยวม30- 3=27คน

3) จำ�นวนนกเรยนทมปญห�ฟนคดอย�งเดยวม23-3=20คน

ตวอยางท 1 จ�กก�รสำ�รวจสขภ�พฟนของนกเรยนในโรงเรยนพฒน�คณภ�พวช�ก�ร พบนกเรยน

ทมปญห�สขภ�พฟนทงหมด 50 คน โดยส�ม�รถจำ�แนกปญห�สขภ�พฟนได ดงน

มนกเรยนทมปญห�ฟนผ30คนมนกเรยนทมปญห�ฟนคด23คนจงห�

1) จำ�นวนนกเรยนทมปญห�ทงฟนผและฟนคด

2) จำ�นวนนกเรยนทมปญห�ฟนผอย�งเดยว

3) จำ�นวนนกเรยนทมปญห�ฟนคดอย�งเดยว

ในก�รแกปญห�โดยใชก�รดำ�เนนก�รของเซต จะเปนก�รแกปญห�ในก�รห�จำ�นวนสม�ชกของ

เซตจำ�กดใด ๆ ซงอ�จจะใชก�รเขยนแผนภ�พเวนนประกอบในก�รแกปญห� หรอใชหลกเกณฑ

ก�รดำ�เนนก�รของเซตในก�รห�จำ�นวนสม�ชกของเซตดงน

จำ�นวนสม�ชกของเซตจำ�กดAใดๆจะเขยนแทนดวยn(A)

พจ�รณ�ตวอย�งดงตอไปน วธทำา ให คอเซตของนกเรยนทมปญห�สขภ�พฟนดงนนn()=50

Aคอเซตของนกเรยนทมปญห�ฟนผดงนนn(A)=30

Bคอเซตของนกเรยนทมปญห�ฟนคดดงนนn(B)=23

ถ�ใหนกเรยนทมปญห�ทงฟนผและฟนคดมxคน


A B

abc

def

A = {a,b,c} , n(A) = 3

B = {b,c,d,e,f} , n(B) = 5

A B = {a,b,c,d,e,f} , n(A B) = 6

A B = {b,c} , n(A B) = 2

ถ�AและBเปนเซตจำ�กดจำ�นวนสม�ชกของA B

ห�ไดจ�ก

n(A B)=n(A)+n(B)-n(A B)

จ�กตวอย�งข�งตน n(A B)=6

จะได n(A B) = n(A)+n(B)-n(A B)

= 3+5- 2

= 6

ในกรณทAและBไมมสม�ชกรวมกน

จะไดว� n(A B)=0

ดงนน n(A B=n(A)+n(B)


กรณเซตจำ�กด3เซตดงตวอย�งตอไปน

A B

C

ab

A = {a,b,c,d,e,f} , n(A) = 6

B = {c,e,g,i,j,k} , n(B) = 6

C = {d,e,f,h,j,k,l} , n(C) = 7

A B C = {a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l}, n(A B C) = 12

A B = {c,e} , n(A B) = 2

A C = {d,e,f} , n(A C) = 3

B C = {e,j,k} , n(B C) = 3

A B C = {e} , n(A B C) = 1

ถ�A,BและCเปนเซตจำ�กดจำ�นวนสม�ชกของA B C

ห�ไดจ�ก

n(A B C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A B)-n(A C)-n(B C)+n(A B C)

จ�กตวอย�งข�งตน n(A B C) = 12

จะได

n(A B C) = n(A)+n(B)+n(C)-n(A B)-n(A C)-n(B C)

+n(A B C)

= 6+6+7- 2 - 3 - 3 + 1

= 12

c

edf

h l

jk

g

i

ดงนนคนทชอบฟงเพลงไทยส�กลเพยงอย�งเดยวม20คน

ตวอยางท 2 จ�กก�รสำ�รวจผฟงเพลงจำ�นวน 180 คนพบว� มผชอบเพลงไทยส�กล 95 คน

เพลงไทยเดม92คน เพลงลกทง125คน เพลงไทยส�กลและเพลงไทยเดม52คน

เพลงไทยส�กลและเพลงลกทง 43คน เพลงไทยเดมและเพลงลกทง 57คนมคน

ทชอบฟงเพลงไทยส�กลเพยงอย�งเดยวกคน

วธทำา ใหคอเซตของผฟงเพลงทงหมด ดงนนn()=180

A คอเซตของผชอบเพลงไทยส�กล ดงนนn(A)=95

B คอเซตของผชอบเพลงไทยเดม ดงนนn(B)=92

C คอเซตของผชอบเพลงลกทง ดงนนn(C)=125

จะได A B เปนเซตของผชอบเพลงไทยส�กลและเพลงไทยเดม

ดงนนn(A B)=52

A Cเปนเซตของผชอบเพลงไทยส�กลและเพลงลกทง

ดงนนn(A C)=43

B Cเปนเซตของผชอบเพลงไทยเดมและเพลงลกทง

ดงนนn(B C)=57

และทง180คนจะชอบฟงเพลงอย�งนอยหนงประเภท

ดงนนn(A B C)=n()=180

ห�n(A B C)จ�ก

n(A B C) = n(A)+n(B)+n(C)-n(A B)-n(A C)- n(B C)

+n(A B C)

จะได 180 = 95+92+125-52-43-57+n(ABC)

n(A B C) = 180 -160

n(A B C) = 20


n()=180A B

C

20 32 3

2320

37

450



n()=180A B

C

45 19 41

10 15

33

ตวอยางท 3 จ�กก�รสอบถ�มคว�มชอบรบประท�นไอศกรมของนกเรยนจำ�นวน180คนพบว�

ม86คนชอบรสชอกโกแลต

ม87คนชอบรสว�นลล�

ม70คนชอบรสสตรอวเบอรร

ม31คนชอบรสชอกโกแลตและว�นลล�

ม27คนชอบรสว�นลล�และสตรอวเบอรร

ม22คนชอบรสชอกโกแลตและสตรอวเบอรร

และม5คนไมชอบทงส�มรส

มนกเรยนชอบทงส�มรสกคน

วธทำา ให คอ เซตของนกเรยนจำ�นวน180คน

A คอ เซตของนกเรยนทชอบรสชอกโกแลต ดงนนn(A)=86

B คอ เซตของนกเรยนทชอบรสว�นลล� ดงนนn(B)=87

C คอ เซตของนกเรยนทชอบรสสตรอวเบอรร ดงนนn(C)=70

n(A B)=31,n(B C)=27,n(A C)=22

และn[(A B C)]=5

ดงนนn(A B C)=180-5=175

โจทยถ�มจำ�นวนนกเรยนทชอบทงส�มรสนนคอn(A B C)ซงห�ไดจ�ก

n(A B C) = n(A)+n(B)+n(C)-n(A B)-n(B C)-n(A C)

+n(A B C)

จะได 175 = 86+87+70- 31 -27-22+n(A B C)

n(A B C) = 175-163

n(A B C) = 12


ดงนนนกเรยนทชอบไอศกรมทงส�มรสม12คน

5

12


1. A - A =

2. A - A = A

A - A = A

3. A - = A

- A =

4. ถ�A BแลวA-B=

5. A- =

- A = A

6. โดยทวไปA-B≠B- A

7. โดยทวไป(A-B)-C≠A-(B-C)

8. A-B=A B

9. A-(B C)= (A-B) (A-C)

A -(B C)= (A-B) (A-C)

10. (A B)-C= (A-C) (B-C)

(A B)-C= (A-C) (B-C)

จ�กก�รสอบถ�มคว�มชอบรบประท�นไอศกรมของนกเรยนจำ�นวน180คนพบว�

ม 86 คน ชอบรสชอกโกแลต

ม 87 คน ชอบรสว�นลล�

ม 70 คน ชอบรสสตรอวเบอรร

ม 31 คน ชอบรสชอกโกแลตและว�นลล�

ม 27 คน ชอบรสว�นลล�และสตรอวเบอรร

ม 22 คน ชอบรสชอกโกแลตและสตรอวเบอรร

และม5คน ไมชอบทงส�มรส

มนกเรยนชอบทงส�มรสกคนโดยใหแสดงวธก�รแกปญห�โดยใชแผนภ�พเวนน

สมบตอน ๆ ทนกเรยนควรรเกยวกบเซต มดงน


แบบฝกหดทายหนวยการเรยนรท 1

1. การเขยนแสดงเซต

1.2 เขยนเซตตอไปนแบบบอกเงอนไขของสม�ชก

1. A={1,3,5,7} 2. B={2,4,6,8,10}

3. C={1,4} 4. D={9,8,7,…}

5. E={5,10,15,20,25,30} 6. F={-50,-49,-48,…,-1}

7. G={ 12, 2

3, 34, 45

,..., 1920 } 8. H={1,3,5,…}

9. I={-1,-2,-3,-4,…} 10. J={1,-1,3,-3,5,-5,...}

1.1เขยนเซตตอไปนแบบแจกแจงสม�ชก

1. เซตของเดอนทลงท�ยดวย“คม”

2. เซตของพยญชนะในคำ�ว�“คณตศ�สตร”

3. เซตของจำ�นวนเตมบวกคทนอยกว�20

4. เซตของจำ�นวนเฉพ�ะทม�กกว�10แตนอยกว�30

5. {x R|(x-2)(2x+3)=0}

1.3 เตม หรอ ลงในชองว�งใหถกตอง

1. 1 {1,2,3} 2. {1} {1,2,3}

3. {1} {{1},2,3} 4. {1,2} {1,2,3}

5. 3 {1,2,{3}} 6. {{},{}}

7. {3} {{{3}},3} 8. 1,{2} {1,2,{2}}

9. {a,b} {a,b,c,{b,a}} 10. 1 I

11. 12. 0 {y I |y<1}

13. {p} {a,{p},q} 14. {2} {{1,{2,3}}}

15. π {x R|3<x<4}

พจ�รณ�ว�เซตทกำ�หนดใหตอไปนเซตใดเปนเซตจำ�กดเซตใดเปนเซตอนนต

ถ�เปนเซตจำ�กดใหบอกจำ�นวนสม�ชกของเซต


1. A = {x|xเปนชอปนกษตร}

2. B={x|xเปนชอเดอนทม30วน}

3. C = {x N|xเปนตวประกอบของ18}

4. D={x|xเปนจำ�นวนนบทห�รดวย4ลงตว}

5. E={x P | 2 ⩽ x ⩽29}

6. เซตของจำ�นวนคทม�กกว�10

7. {x|x+1=x}

8. {x| 2 ⩽ x ⩽ 6}

9. {x N|-2 ⩽ x ⩽ 5}

10. {y||y+1|=4}

11. F={3456}

12. G={xI|x2 - 3x -4=0}

13. H={xN|3x>2}

14. I={xI-|x>-12}

15. J={x R | 2 ⩽ x<3}

16. K={y|yเปนจำ�นวนคทอยระหว�ง-9กบ9}

17. L=เซตของจำ�นวนเตมทสอดคลองกบสมก�รx+x=x2

18. M=เซตของจำ�นวนเฉพ�ะทอยระหว�ง24กบ28

พจ�รณ�ว�ในแตละขอตอไปนเซตใดบ�งทเท�กนและในกรณทไมเท�กน

เปนเซตทเทยบเท�กนหรอไม

1. Aคอเซตของพยญชนะในคำ�ว�“ไมกว�ด”

Bคอเซตของพยญชนะในคำ�ว�“กรม”

Cคอเซตของพยญชนะในคำ�ว�“กวดขน”

Dคอเซตของพยญชนะในคำ�ว�“กรรมกร”



4.1เขยนสบเซตทงหมดและเพ�เวอรเซต

1. A={ก,ข} 2. B={0,1}

3. C={p,q,r} 4. D={ab,cd,e}

5. E= 6. F={a,{a}}

7. G={} 8. H={,{1,2}}

9. I={จำ�นวนนบทนอยกว�3} 10. J={x|x Pและ0<x<7}

11. K={x|xเปนจำ�นวนคบวกและx<5} 12. L = {,{},{{}},{{{}}},{{{}}}}

4.2เขยนสบเซตของเซตAทมจำ�นวนสม�ชก2ตว

1. A={2,4,6,8}

2. A={11,12,13,14}


4.3พจ�รณ�ว�จ�กเซตทกำ�หนดใหในแตละขอขอใดถกตองขอใดผดพรอมระบเหตผล

1. กำ�หนดA={,{},1,{1},{1,2},2,3}

1) A 2) A

3) 1A 4) {} A

5) {}A 6) {1,2} A

7) {1,2,3}A 8) {1,2,3} A

5.1ห�ผลลพธของก�รดำ�เนนก�รของเซตในแตละขอตอไปน

กำ�หนดใหและAไมเปนเซตว�งและA

1. A A 2. A A

3. A - A 4. A- A

5. A A 6. A A

7. 8. A - A

9. A 10. A

5.2ระบว�เซตคใดในแตละขอตอไปนเท�กน

กำ�หนดให ={a,b,c,…,g}

A={f,e,d,g}

B={a,f,e}

C={b,d,a}

1. A BกบB A 2. A BกบB A

3. A กบ A 4. A กบ A

5. A(BC)กบ(A B) C


4.4พจ�รณ�ว�ขอคว�มตอไปนขอใดถกขอใดผด

1. ถ�A BและB CแลวA C 2. ถ�A≠BและB≠CแลวA=C

3. ถ�n(A)=3และn(B)=3แลวA=B 4. ถ�A=BแลวAเทยบเท�กบB

2. กำ�หนดB={0,1,2,3}

1) {1,2} B 2) B B

3) {1,{3}} B 4) {1,{1,2}} B

5) {} B 6) B

7) {1,{1,2},{3}} B 8) B

9) 0 B 10) {{0},{3}} B

2. A={x|x=1} B={1}

3. A = B={}

4. A={nN|n<36} B={mN|m⩽36}

5. A={3,5,7,9,11} B={9,3,11,7,5}

6. A={y|y3 -y=0} B={0,-1,1}

7. A={9,18,27,…,441} B={x|x=9nและn=1,2,3,…,49}


5.3แสดงเซตแตละขอตอไปนโดยใชแผนภ�พเวนนทกำ�หนดให

1. B- A 2. A

A AB B

5. (A B)-C 6. (A B) C

7. (A-B) C 8. B

A

A

A

A

A

A

B

B

B

B

C

C

C

C

BB

3. B 4. A B 5.4ห�เซตในแตละขอตอไปน

กำ�หนดให = {1,2,3,...,10}

A = {1,3,5,7,9}

B = {3,4,5,6,7}

C = {5,6,7,8,9}

1. A (B-C) 2. (A B)- C

3. A -B 4. (A-C) B

5.5ห�เซตในแตละขอตอไปน

กำ�หนดให = {x I | -10⩽ x ⩽ 10}

A = {x I | -10< x < 10}

B = {x I | -5< x ⩽ 3}

C = {x I | 3 ⩽ x<6}

1. (B C)-A 2. (A -C) (B-C)

5.6ห�เซตในแตละขอตอไปน

กำ�หนดใหA={0,1}และB={0,2}

1. P(A) P(B) 2. P(A B)

3. P(A) P(B) 4. P(A B)

5. P(A)-P(B) 6. P(A-B)

และสรปคว�มสมพนธระหว�งขอ1.กบ2.,ขอ3.กบ4.,และขอ5.กบ6.

A AB B

C C

9. (B C) 10. (A B)


5.7บรเวณทแรเง�ในแผนภ�พเวนนในแตละขอตอไปนแทนเซตในขอใด

1. 2.A B

C

P Q

R

1)(P Q) R 1) C (A B)

2)(P R)- Q 2) (C-A) B

3) (P R)Q 3) (A-C)B

4)(P R) Q 4) A-(B C)

5.8ห�จำ�นวนสม�ชกของเซตแตละขอตอไปน

1. กำ�หนดให n()=200

n(A)=80

n(B)=50

n(A B)=12

ห� 1) n(A-B)

2) n(B-A)

3) n(AB)

4) n(A)

5) n(B)

6) n(AB)

7) n(AB)


n(A)=40

n(B)=20

n(AB)=20

ห� 1) n(A-B)

2) n(B-A)

3) n(AB)

4) n(A B)

5) n(A)

6) n(B)

7) n(AB)


n(A)=20

n(B)=15

n(AB) =10

ห� 1) n(AB)

2) n(A-B)

3) n(A B)

4. กำ�หนดให n(A B)=80

n[(A-B) (B-A)]=67

n(A)=42

ห�n(B)

5.9เขยนเซตตอไปนแบบบอกเงอนไขของสม�ชก

กำ�หนดให A = {x R|0<x⩽ 20}

B={xR|15<x<30}

C = {x R|10<x<25}

1. A B 2. A C

3. BC 4. (A B) C

5. A B 6. A C

7. B C 8. (A B) C

9. A-B 10. B- C

5.10เขยนเซตตอไปนแบบแจกแจงสม�ชกบอกจำ�นวนสม�ชกและแสดงเปนแผนภ�พเวนน

1. กำ�หนดให = {x N|x<6}

A={1,2,3}

B={1,2,3,4}

1) AB 2) A B

3) A-B 4) A

5) B

2. กำ�หนดให = {x Z|-5<x<5}

A={1,2,3,4}

B={-1,0,1,2}

C = {-2,0,2}

1) ABC 2) AB C

3) A(B-C) 4) A(C-B)

5) (AB)(BC)(AC)



ลองทำาด?

แสดงวธทำ�

1. จ�กก�รสำ�รวจนกเรยนหองหนงจำ�นวน40คนพบว�ม8คนไมเลนกฬ�ชนดใดเลยม25คน

เลนฟตบอลและม20คนเลนบ�สเกตบอล

ห� 1) จำ�นวนนกเรยนทเลนฟตบอลอย�งเดยว

2) จำ�นวนนกเรยนเลนทงฟตบอลและบ�สเกตบอล

2. นกเรยนชนมธยมศกษ�ปท 4 ของโรงเรยนแหงหนง จำ�นวน 180 คน ม 108 คน เรยน

คณตศ�สตรเพมเตมม30คนเรยนทงคณตศ�สตรเพมเตมและชววทย�และม48คนไมเรยน

วช�ใดเลยในสองวช�นมนกเรยนกคนทเรยนชววทย�แตไมไดเรยนคณตศ�สตรเพมเตม


3. นกเรยนหองหนงม48คนทำ�ก�รสอบคณตศ�สตรภ�ษ�ต�งประเทศและภ�ษ�ไทย

ปร�กฏผลดงน

มนกเรยน สอบผ�นคณตศ�สตร 20 คน

สอบผ�นภ�ษ�ต�งประเทศ 15 คน

สอบผ�นภ�ษ�ไทย 25 คน

สอบผ�นคณตศ�สตรอย�งเดยว 10 คน

สอบตกทงส�มวช� 3 คน

มนกเรยนทสอบไดทงภ�ษ�ไทยและภ�ษ�ต�งประเทศกคน

4. โรงเรยนแหงหนงมนกเรยน80คนและมชมรมกฬ� 3 ชมรมคอฟตบอลกรฑ�และว�ยนำ�

โดยนกเรยนทกคนตองเปนสม�ชกอย�งนอย 1 ชมรมถ�มนกเรยน 30คนทไมเปนสม�ชก

ชมรมว�ยนำ� มนกเรยน 20คนทเปนสม�ชกชมรมว�ยนำ�แตไมเปนสม�ชกชมรมฟตบอลและ

มนกเรยน18คนทเปนสม�ชกทงชมรมฟตบอลและชมรมว�ยนำ�แตไมเปนสม�ชกชมรมกรฑ�

ห�จำ�นวนนกเรยนทเปนสม�ชกทงส�มชมรม

5. จ�กก�รสำ�รวจนกทองเทยวจำ�นวน150คนเกยวกบสนค�ของทระลกทพวกเข�ซอจ�กตล�ดนำ�

ดำ�เนนสะดวกพบว�มสนค�ทนกทองเทยวกลมนซอของทระลกอยดวยกน 3ประเภท ไดแก

สงทอเครองจกส�นและเครองปนดนเผ�พบว�มนกทองเทยวซอสงทอ81คนซอเครองจกส�น

77คนซอเครองปนดนเผ�94คนซอสงทอและเครองจกส�น36คนซอสงทอและเครองปน-

ดนเผ�37คนซอเครองจกส�นและเครองปนดนเผ�41คนและมนกทองเทยวทไมไดซอสนค�

ใดเลยในส�มประเภทนอย 10คน จะมนกทองเทยวทซอของทระลกครบทงส�มประเภทกคน

และมนกทองเทยวทซอของทระลกเพยงประเภทเดยวกคน

สอบผานวชา จำานวน (คน)

เคม 228

ฟสกส 205

ชววทย� 265

เคมและฟสกส 152

เคมและชววทย� 201

ฟสกสและชววทย� 183

เคมชววทย�และฟสกส 130

ห�จำ�นวนนกเรยนท

1) สอบผ�นวช�เคมอย�งเดยว

2) สอบผ�นวช�ชววทย�อย�งเดยว

3) สอบผ�นวช�ฟสกสอย�งเดยว

6. จ�กก�รสำ�รวจผสอบผ�นวช�เคมชววทย�และฟสกสของนกเรยนชนมธยมศกษ�ปท4

จำ�นวน300คนไดขอมลดงน

โรงเรยนช�ยลวนแหงหนงมกฎขอบงคบ2ขอดงน

1. นกเรยนทกคนตองเลนกฬ�ตอไปนเพยง1อย�งเท�นนคอรกบหรอฟตบอล

2. นกเรยนทกคนตองเรยนวช�ตอไปนเพยง1วช�เท�นนคอดนตรหรอว�ดเขยน

จ�กก�รสำ�รวจพบว� 30%ของนกเรยนทเลนฟตบอลเลอกเรยนว�ดเขยน

45%ของนกเรยนทเรยนว�ดเขยนเลอกเลนฟตบอล

ถ�มนกเรยนทเรยนดนตรและเลอกเลนฟตบอล84คนอย�กทร�บว�มนกเรยนทเรยนว�ดเขยน

และเลอกเลนรกบกคน

คณิตศาสตร์ -...

Documents