คณิตศำสตร์ -...

คณตศำสตร ตำมมำตรฐำนกำรเรยนรและตวชวดกลมสำระกำรเรยนรคณตศำสตร (ฉบบปรบปรง พ.ศ. 2560)ตำมหลกสตรแกนกลำงกำรศกษำขนพนฐำน พทธศกรำช 2551

ชนมธยมศกษำปท 2 เลม 1

ผเรยบเรยงนำงกนกวลอษณกรกล

นำงสำวปำจรยวชชวลค

ดร.สเทพบญซอน

ผตรวจนำงจนดำอยเปนสข

นำยรณชยมำเจรญทรพย

นำยสกจพทธชำตเสว

บรรณาธการรศ.ดร.อ�ำพลธรรมเจรญ

หนงสอเรยนรำยวชำพนฐำน

ม.2เลม 1

สงวนลขสทธตามพระราชบญญตปทพมพ 2562

พมพครงท 1จานวนพมพ 30,000 เลมISBN : 978-616-203-819-8

รหสสนคา 2216011

จากขอ 1) - 3) สรปเปนไปตามสมบตของเลขยกกาลงได ดงน

สมบต 7กาหนดให a และ b แทนจานวนใด ๆ ทไมเทากบศนย และ m, n, k แทนจานวนเตม

(am

bn)k = a

m × k

bn × k

จงหาผลลพธของ 6(a5b6)2

24(a-3b2)3 × a-3b-2

2(ab)0 -2

เมอ a และ b แทนจานวนใด ๆ ทไมเทากบศนย

ใหอยในรปอยางงาย

ลองทาด


21(a-2b3)3 × a-2b-1

7(ab)0 -1 เมอ a และ b แทนจานวนใด ๆ ทไมเทากบศนย


วธทา 3(a3b2)3

21(a-2b3)3 × a-2b-1

7(ab)0 -1 = 3

21 × a9b6

a-6b9 × a2b7-1 × 1

= 17 × a9 - (-6)b6 - 9 × 7a2b

= a15b-3 × a2b

= a15 + 2 b(-3) + 1

= a17 b-2

= a17

b2 ตอบ

ตวอยางท 12

นกเรยนคดวา ประโยคในแตละขอตอไปน เปนจรงหรอไม เพราะเหตใด

1) 10m × 10n < 1 เมอ m และ n แทนจานวนเตมท m + n < 0

2) 10m × 10n = 1 เมอ m และ n เทากบศนย เทานน

3) 10m ÷ 10n > 1 เมอ m และ n แทนจานวนเตมท m - n < 0

คาถามทาทายการคดขนสง

เลขยกกาลง 23

แบบฝกทกษะ 2.5ระดบ พนฐาน

1. วงกลมหนงมพนทประมาณ 1,386 ตารางเซนตเมตร วงกลมวงนมรศมยาวกเซนตเมตร

(กาหนดให π ≈ 227 )

2. กลองทรงลกบาศกมความจ 2,744 ลกบาศกเซนตเมตร กลองใบนมแตละดานยาวกเซนตเมตร

ระดบ กลาง

3. ลวดเสนหนงนามาดดเปนรปสเหลยมจตรสมพนท 289 ตารางเซนตเมตร ถานาลวดเสนน

มาดดเปนรปสเหลยมผนผาใหมความกวาง 10 เซนตเมตร แลวรปสเหลยมผนผารปนจะม

ความยาวกเซนตเมตร

4. กลองทรงลกบาศกใบหนงมความจ 5,832 ลกบาศกเซนตเมตร จงหาพนทผวของกลองใบน

หลงจากเรยนจบหนวยนแลว ใหนกเรยนบอกสญลกษณทตรงกบระดบความสามารถของตนเอง

1. สามารถเขยนเศษสวนในรปทศนยมซาได

2. สามารถเขยนทศนยมซาในรปเศษสวนได

3. สามารถหารากทสองและรากทสามของจานวนจรง

โดยใชวธการแยกตวประกอบได


โดยการประมาณคาได


โดยการเปดตารางได

6. สามารถใชสมบตของจานวนจรงในการแกปญหาคณตศาสตร

และปญหาในชวตจรงได

ตรวจสอบตนเอง

ด พอใชควร

ปรบปรง

90

QR Code รองรบการเรยนร ผานสอดจทล

คณตนำร เสรมความร หรอขอสงเกต ทไดจากเนอหา

สรปแนวคดหลก โดยรวมของทงหนวยการเรยนร เพอทบทวนความรใหแกผเรยน

กจกรรมคณตศำสตร เพอสงเสรมการเรยนรแบบ Active Learning

แนะแนวคด เทคนคตาง ๆ ทชแนะวธการ แกโจทยทางคณตศาสตร

แบบฝกทกษะประจ�ำหนวย กำรเรยนร เพอประเมนความรความเขาใจของผเรยนประจาหนวยการเรยนร

แนวขอสอบ O-NET เพอใหผเรยนไดศกษาแนวคด กอนสอบจรง

9. จากรป กาหนดให AB // CD EAB = 45 องศา และ DCG = 40 องศา จงหาคาของ a∧ ∧

ระดบ ทาทาย

7. กาหนดให AC // DE, AD // BF และ CD // FE ถา ADC = 65 องศา, DEF = 120 องศา

และ FBH = 56 องศา ดงรป

D E

F

HBCA

120 65

56

จงหาขนาดของมมในแตละขอตอไปน

1) BCD 2) CDE 3) BFE

8. กาหนดให CE // DB และ CD = DB ถา CDB = 120 องศา, ACD = 100 องศา

และ AEC = 55 องศา ดงรป

จงหาขนาดของมมในแตละขอตอไปน

1) CAE 2) DBE 3) ECB

∧ ∧

∧

∧ ∧ ∧

∧ ∧

∧

∧ ∧ ∧

ผลบวกของมมภายในของรปหาเหลยม เทากบ 540

á¹Ðá¹Ç¤Ô´

D

BE

A

C GFa

45

40

B

D120

55 E

A

C

100

270

คณตศาสตรในชวตจรง

นกเรยนเคยสงเกตหรอไมวา รานตดผมบางรานนอกจากจะมกระจกทอยดานหนาใหคน

ทมาตดผมไดเหนทรงผมของตวเอง ยงมกระจกทอยดานหลงอกบาน ทาใหเมอมองกระจกดาน

หนา กระจกนนกจะสะทอนภาพทอยดานหนาของกระจกทงหมด รวมไปถงกระจกดานหลงดวย

ซงในขณะนนกระจกดานหลงกกาลงสะทอนภาพทอยหนาของกระจกทงหมด ทาใหสามารถเหน

ภาพสะทอนดานหนาและดานหลงของผทมาตดผมได ในขณะเดยวกน

ใหนกเรยนยกตวอยาง การนาความรเกยวกบการแปลงทางเรขาคณตไปประยกต ใช ในชวต

ประจาวนมา 3 เรอง

ภาพทปรากฏบนกระจกดานหนา ภาพทปรากฏบนกระจกดานหลง

ทมา : คลงภาพ อจท.

การแปลงทางเรขาคณต 199

จากรปท 4 จะพบวา

1) จด A′ กบจด A เปนจดทสมนยกนและจด B′ กบจด B เปนจดทสมนยกน

2) จด A′ อยหางจากจด A ไปทางขวา 4 หนวยและจด B′ อยหางจากจด B ไปทางขวา

4 หนวย

จากขอ 1) และขอ 2) สามารถสรปไดวา AB = A′B′ และ AA′ // BB′

เมอเลอกจดใด ๆ บน AB จะมจดบน A′B′ ซงมระยะหางไปทางขวา 4 หนวย เพยงหนง

จดซงเปนจดทสมนยกน กลาวไดวา จดทกจดบน A′B′ อยหางจากจดทกจดทสมนยกนจดตอจด

ไปทางขวาของ AB เปนระยะทาง 4 หนวย

กจกรรม คณตศาสตร

ãËŒ¹Ñ¡àÃÕÂ¹·Ó¡Ô ¡ÃÃÁµ‹Íä»¹Õé â´Â·ÓÅ§ã¹ÊÁØ

1. เลอนจดยอดมมของรปสามเหลยม ABC ไดแก

จด A, จด B และจด C ไปทางซาย 4 หนวย

และขนไปดานบน 3 หนวย โดยกาหนด

1) จดทเกดจากเลอนจด A ไปทางซาย 4 หนวย

และขนไปดานบน 3 หนวย เปนจด A′

2) จดทเกดจากเลอนจด B ไปทางซาย 4 หนวย

และขนไปดานบน 3 หนวย เปนจด B′

3) จดทเกดจากเลอนจด C ไปทางซาย 4 หนวย

และขนไปดานบน 3 หนวย เปนจด C′

2. ลาก A′B′, B′C′ และ A′C′ จะไดรปสามเหลยม A′B′C′

3. วดความยาวดานแตละดานของรปสามเหลยม ABC และรปสามเหลยม A′B′C′

4. เปรยบเทยบความยาวดาน AB กบ A′B′, BC กบ B′C′ และ AC กบ A′C′ แลวตรวจสอบวา

รปสามเหลยม ABC และรปสามเหลยม A′B′C′ เหมอนหรอแตกตางกนอยางไร

5. ลาก AA′, BB′ และ CC′ แลววดและเปรยบเทยบความยาวของเสนทงสาม

6. ตรวจสอบวา AA′, BB′ และ CC′ ขนานกนหรอไม

7. จากกจกรรมนสรปไดวาอยางไร

การเลอนขนาน156

C

A

B

สรปแนวคดหลก

สมบตของเสนขนาน

เสนขนานและรปสามเหลยม

1. ขนาดของมมภายในทงสามของรปสามเหลยมใด ๆ

รวมกนได 180 จะไดวา x + y + z = 180 2. มมภายนอกของรปสามเหลยมจะมขนาดเทากบ

ผลบวกของขนาดของมมภายในทไมใชมมประชด

ของมมภายนอกนน จากรป จะไดวา x + y = w

1. เสนขนานและมมภายใน

• 4 และ 5 เปนมมภายในทอยบนขางเดยวกนของเสนตด EF

• 3 และ 6 เปนมมภายในทอยบนขางเดยวกนของเสนตด EF

• 4 + 5 = 180 และ 3 + 6 = 180

2. เสนขนานและมมแยง

• 4 และ 6 เปนมมแยง • 3 และ 5 เปนมมแยง • 4 = 6 และ 3 = 5

3. เสนขนานและมมภายนอกกบมมภายใน

• 1 กบ 5 และ 4 กบ 8 เปนมมภายในและมมภายนอกทอยตรงขามบนขางเดยวกน

ของเสนตด EF

• 2 กบ 6 และ 3 กบ 7 เปนมมภายในและมมภายนอกทอยตรงขามบนขางเดยวกน

ของเสนตด EF

• 1 = 5, 4 = 8, 2 = 6 และ 3 = 7

∧ ∧

∧ ∧

∧ ∧ ∧ ∧

∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧

∧ ∧ ∧ ∧

∧ ∧ ∧ ∧

∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧

การใชเหตผลและการแกปญหาโดยใชสมบตของเสนขนานและความเทากนทกประการของรปสามเหลยม นกเรยนสามารถนาความรเกยวกบสมบตของเสนขนาน และทฤษฎบททเกยวกบ

ผลบวกของขนาดมมภายในของรปสามเหลยมไปใชพสจนความเทากน

ทกประการของรปสามเหลยม

A

B C Dz w

y

x

D5 6

31 2

4

78C

BA E

F

เสนขนาน 277

1 พงศธร นนทธเนศ และคณะ. หนงสอเรยนรายวชาเพมเตม เคม ชนมธยมศกษาปท 4-6 เลม 2. พมพครงท 2

(นนทบร : ไทยรมเกลา),11.2 Lunar Recession. Retrieved August 23, 2018, from https://www.centauri-dreams.org/2018/02/08/lunar-recession-implications-for-the-early-earth/

ดวงจนทรอยหางจากโลกเปนระยะทางประมาณ 3.8 × 105 กโลเมตร

นกดาราศาสตรพบวา ดวงจนทรจะโคจรหางจากโลกออกไปอก

ปละประมาณ 4 เซนตเมตร จงหาวาตองใชเวลาประมาณกปดวงจนทร

จงจะโคจรหางออกไปจากโลกอก 3.8 × 105 กโลเมตร


ออกซเจนหนงอะตอมมมวลประมาณ 2.66 × 10-26 กโลกรม1 ออกซเจน 2.5 × 103 อะตอม

มมวลกกโลกรม

ลองทาด

ดวงจนทรอยหางจากโลกเปนระยะทางประมาณ 3.8 × 105 กโลเมตร นกดาราศาสตร

พบวา ดวงจนทรจะโคจรหางจากโลกออกไปอกปละประมาณ 4 เซนตเมตร จงหาวา

ตองใชเวลาประมาณกปดวงจนทรจงจะโคจรหางออกไปจากโลกอก 1.5 × 106 กโลเมตร

ลองทาด

วธทา ระยะทาง 1 กโลเมตร เทากบ 102 × 103 = 105 เซนตเมตร

จะไดวา ระยะทาง 3.8 × 105 กโลเมตร

เทากบ 3.8 × 105 × 105 เซนตเมตร

= 3.8 × 1010 เซนตเมตร

เนองจากดวงจนทรโคจรหางออกจากโลกประมาณ 4 เซนตเมตร โดยใชเวลา 1 ป

จะไดวา ดวงจนทรโคจรหางออกจากโลกประมาณ 3.8 × 1010 เซนตเมตร

จะใชเวลาประมาณ 1 × 3.8 × 1010

4 ป

= 9.5 × 109 ป

ดงนน ดวงจนทรโคจรหางออกจากโลกไปอกประมาณ 3.8 × 105 กโลเมตร

จะใชเวลาประมาณ 9.5 × 109 ป ตอบ

เรยกปรากฏการณท

ดวงจนทรคอย ๆ โคจร

หางจากโลกปละประมาณ

4 เซนตเมตร และโลก

หมนรอบตวเองชาลงน

วา Lunar Recession2

เกรด นาร


แบบฝกทกษะประจาหนวยการเรยนรท 6

1. จากรปทกาหนดใหในแตละขอตอไปน จงหาคา x

1) 2)

3) 4)

2. กาหนดให XY // WZ

จงหาวา YRQ มขนาดเทากบ

ขนาดของมมใดบาง เพราะเหตใด

3. กาหนดให AB และ CD แบงครงซงกนและกน

ทจด O จงแสดงวา AD = BC และ AD // BC

∧

110

45 x

70 108

x

Y

ZP

Q

R

S

W

X

DA

O

BC

50 x

60

70

xE

278

H.O.T.S. ค�ำถำมทำทำย กำรคดขนสง

ตามทฤษฎการเรยนรของบลม (Bloom’s Taxonomy)

Thinking Timeคาถามกระตนใหผเรยน คดตอยอดจากเนอหาทเรยน

5) เนองจาก 0.343 = 0.7 × 0.7 × 0.7

= (0.7)3

ดงนน รากทสามของ 0.343 คอ 0.7

6) เนองจาก -0.729 = (-0.9) × (-0.9) × (-0.9)

= (-0.9)3

ดงนน รากทสามของ -0.729 คอ -0.9 ตอบ

จงหารากทสามของจานวนในแตละขอตอไปน

1) 1,331

4) -3,375

2) 216343

5) -27512

3) 1.728

6) -2.744

ลองทาด

พจารณาขอความตอไปนวาขอความใดเปนจรง

1) รากทสองของ 144 มสองคา ไดแก 12 และ -12

2) รากทสามของ 216 มสองคา ไดแก 6 และ -6

3) รากทสามของ -343 มหนงคา ไดแก -7

แนวคด 1) เนองจาก 144 = 12 × 12

= 122

และ 144 = (-12) × (-12)

= (-12)2

ดงนน รากทสองของ 144 คอ 12 และ -12

2) เนองจาก 216 = 6 × 6 × 6

= 63

ดงนน รากทสามของ 216 คอ 6

3) เนองจาก -343 = (-7) × (-7) × (-7)

= (-7)3

ดงนน รากทสามของ -343 คอ -7

จะไดวา จากขอความทกาหนด ขอความในขอ 1) และขอ 3) เปนจรง

แนวขอสอบ O-NET

จานวนจรง 79

แบบฝกทกษะ แบงระดบความยากงายเหมาะสมกบระดบการเรยนรของผเรยน

เกรดนำร เสรมความรทวไปทสอดคลองกบเนอหา

คณตศำสตรในชวตจรง เชอมโยงความรคณตศาสตร ไปใชในชวตจรง

ตรวจสอบตนเอง แบบประเมนเพอใหผเรยนสามารถตรวจสอบความรความเขาใจของตนเอง

จงเขยนผลคณในแตละขอตอไปนใหอยในรปอยางงาย

1) (-2)-9 × 2-6 2) 11-4 × (-11)-8 3) 81 × (-3)-7

ลองทาด

จงเขยนผลคณของ (-2)-3 × (-2)2 × 24 ใหอยในรปอยางงาย

Thinking Time

จงพจารณาผลคณของเลขยกกาลงตอไปน

1) (23)2 = 23 × 23

= 23 + 3 (สมบต 1)

= 26

= 23 × 2

2) [(-3)5]-3 = 1

(-3)5 3

= 1(-3)5 × (-3)5 × (-3)5

= 1(-3)5 + 5 + 5

(สมบต 1)

= (-3) -15

= (-3)5 × (-3)

3) [(0.5)-3]-2 = 1

(0.5)-3 2

= 1(0.5)-3 × (0.5)-3

= 1(0.5)(-3) + (-3)

(สมบต 1)

= (0.5)6

= (0.5)(-3) × (-2)


(23)2 เปนเลขยกกาลงทม 23

เปนฐาน และ 2 เปนเลขชกาลง

¤³Ôµ¹‹ÒÃÙŒ

สมบต 2กาหนดให a แทนจานวนใด ๆ ทไมเทากบศนย และ m, n แทนจานวนเตม

(am)n = am × n

12

หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 2 เลม 1จดท�ำขนส�ำหรบใชประกอบกำรเรยนกำรสอนชนมธยมศกษำปท2 โดยด�ำเนนกำรจดท�ำใหสอดคลอง

ตำมมำตรฐำนกำรเรยนรและตวชวดกลมสำระกำรเรยนรคณตศำสตร(ฉบบปรบปรงพ.ศ.2560)

ตำมหลกสตรแกนกลำงกำรศกษำขนพนฐำน พทธศกรำช2551 ทกประกำร เพอสงเสรมทกษะ

ทจ�ำเปนส�ำหรบกำรเรยนรในศตวรรษท21ทงทกษะดำนกำรคดวเครำะหกำรคดอยำงมวจำรณญำณ

กำรแกปญหำกำรคดสรำงสรรคกำรใชเทคโนโลยกำรสอสำรและกำรรวมมอเพอใหผเรยนรเทำทน

กำรเปลยนแปลงของระบบเศรษฐกจสงคมวฒนธรรมและสภำพแวดลอมสำมำรถแขงขนและ

อยรวมกบประชำคมโลกได

หนงสอเรยนกลมสำระกำรเรยนรคณตศำสตรในระดบชนมธยมศกษำปท2น

คณะผเรยบเรยงไดจดแบงออกเปน2เลมดงน

ขอควรระวง อธบำยในสงทผเรยนมกเขำใจผดหรอคลำดเคลอน

ควรรกอนเรยน ทบทวนควำมรเดมเพอเชอมโยงเขำสเนอหำใหม

ลองท�ำดเพอใหผเรยนไดฝกท�ำจนเกดควำมช�ำนำญ

มมเทคโนโลย ควำมรเกยวกบกำรใชเทคโนโลยเปนเครองมอเพอชวยตรวจสอบค�ำตอบ

จงเขยนพหนามในแตละขอตอไปนใหเปนพหนามในรปผลสาเรจและบอกดกรของพหนาม

1) 4x+x2+2y3-8y3-7x2

2) 4a2+9a6-2a6+9a2+4a6

3) 2m-n+m2-2mn+4m2+7n

วธทา 1) 4x+x2+2y3-8y3-7x2 = 4x+(x2-7x2)+(2y3-8y3)

= 4x-6x2-6y3

ดงนน4x+x2+2y3-8y3-7x2 มดกรเทำกบ3

2) 4a2+9a6-2a6+9a2+4a6 = (4a2+9a2)+(9a6-2a6+4a6)

= 13a2+11a6

ดงนน4a2+9a6-2a6+9a2+4a6มดกรเทำกบ6

3) 2m-n+m2-2mn+4m2+7n = 2m+(7n-n)+(m2+4m2)-2mn

= 2m+6n+5m2-2mn

ดงนน2m-n+m2-2mn+4m2+7n มดกรเทำกบ2 ตอบ


จงเขยนพหนามในแตละขอตอไปนใหเปนพหนามในรปผลสาเรจและบอกดกรของพหนาม

1) 3x-7y+4+5x+2y2) 8x3+4x4-x3+x4-5x3

3) 7pq-3p-2p3+2pq+4p3-10p

ลองทาด

8a3b+4cเปนพหนำมทมดกรเทำกบ4

¢ŒÍ¤ÇÃÃÐÇÑ§

116

ค�ำถำมประจ�ำหนวย กำรเรยนร ทครอบคลมตวชวดสงสดในหนวยกำรเรยนร

ตวชวด

• เขำใจและใชสมบตของเลขยกก�ำลงทมเลขชก�ำลงเปนจ�ำนวนเตมในกำรแกปญหำคณตศำสตรและปญหำในชวตจรง(ค 1.1 ม.2/1)

สาระการเรยนรแกนกลาง

• เลขยกก�ำลงทมเลขชก�ำลงเปนจ�ำนวนเตม•กำรน�ำควำมรเกยวกบเลขยกก�ำลงไปใชในกำรแกปญหำ

เซลลแบคทเรยชนดหนง มความยาวประมาณ 2 ไมโครเมตร

หรอ 2 × 10-6 เมตร ในสภาพทเหมาะสมเซลลแบคทเรยจะสามารถ

แบงตวทก ๆ 20 - 30 นาท และมจานวนเพมขนเปน 2 เทา

โดยมอตราการแบงตวทก 12 ชวโมง จาก 1 เซลล จะแบงตวไดเปน

2 เซลล1

แบคทเรยจานวน 1 เซลล

¨ÐµŒÍ§ãªŒàÇÅÒã¹¡ÒÃáº‹§à«ÅÅ�

กชวโมงจงจะไดเซลลแบคทเรย 262,144

เซลล

Q.

เลขยกกาลงหนวยการเรยนรท

1

1 แบคทเรย.สบคนเมอ12กนยำยน2561,จำกhttp://www.honestdocs.co/bacteria-disease


หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 2 เลม 1 หนวยการเรยนรท 1 - 6

หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 2 เลม 2 หนวยการเรยนรท 1 - 5

ค�ำแนะน�ำในกำรใชสอ

องคประกอบตำงๆ ในแตละหนวย

ตวชวด ทสอดคลองกบ

เนอหำในหนวย

กำรเรยนร

สำระกำรเรยนรแกนกลำง ขอบขำยเนอหำในหนวยกำรเรยนร

ความเทากนทกประการควรรกอนเรยน

มมตรงขาม

มมตรงขำมคอมม2มมทมขนำดเทำกนและ

เกดจำกเสนตรง2เสนตดกน

จำกรปจะพบวำ

AOCเปนมมตรงขำมกบBODจะไดAOC=BOD

AODเปนมมตรงขำมกบBOCจะไดAOD=BOC

รปสามเหลยม

∧ ∧ ∧ ∧

∧ ∧ ∧ ∧

• ดำนทกดำนยำวเทำกน• มมทกมมมขนำด60� เทำกน

• ดำนยำวเทำกนสองดำน• มมทฐำนมขนำดเทำกน

• มมภำยในมมหนงเปนมมฉำก

• ดำนตรงขำมมมฉำกเปนดำนทยำวทสด

แบบทดสอบพนฐานกอนเรยน

A C

B

A

C

B

A

CB

รปสำมเหลยมดำนเทำ รปสำมเหลยมหนำจว รปสำมเหลยมมมฉำก

ความเทากนทกประการ 207

การแปลงทางเรขาคณต

กำรเลอนขนำน กำรสะทอน กำรหมน

A

C

OB

D

L

วธทา 1) (8.53× 103)+(6.7× 102) = (85.3× 102)+(6.7× 102) = (85.3+6.7)× 102 = 92× 102

= 9.2 × 103

2) (1.44× 10-6)-(8.9× 10-8) = (1.44× 10-6)-(0.089× 10-6) = (1.44-0.089)× 10-6

= 1.351 × 10-6

3) (9.5× 106)×(1.2× 10-9) = (9.5×1.2)× 106+(-9)

= 11.4× 10-3

= 1.14 × 10-2

4) (3.2× 10-4)÷(4× 10-2) = 3.2× 10-4

4 × 10-2

= 0.8× 10-2

= 8 × 10-3 ตอบ

จากตวอยางท 14 นกเรยนสามารถใชเครองคดเลขเพอชวยตรวจสอบคาตอบได เชน

(8.53 × 103) + (6.7 × 102)

( 38 ). +5 3 (× 6 ∧7 1 01 0 . × 2∧ ) =

ในปจจบน มการผลตเครองคดเลขออกมาหลายรน ซงแตละรนจะมวธการใชทแตกตางกนใหอางองวธการ

ตามเครองคดเลขรนนน ๆ

เทคโนโลยÁØÁ

จงหาผลลพธในแตละขอตอไปนใหอยในรปสญกรณวทยาศาสตร

1) (1.53× 109)+(2.1× 108)

3) (1.255× 10-4)×(5× 106)

2) (3.48× 10-7)-(5.5× 10-5)

4) (9.125× 10-6)÷(2.5× 10-11)

ลองทาด

26

เลขยกก�ำลง 21.1เลขยกก�ำลงทมเลขชก�ำลงเปนจ�ำนวนเตม 4 1.2กำรคณและกำรหำรเลขยกก�ำลงเมอเลขชก�ำลง

เปนจ�ำนวนเตม 8 1.3สญกรณวทยำศำสตร 25 1.4กำรน�ำควำมรเกยวกบเลขยกก�ำลงไปใชในชวตจรง 28

คณตศาสตรในชวตจรง 37 สรปแนวคดหลก 38 แบบฝกทกษะประจาหนวยการเรยนรท 1 39

จ�ำนวนจรง 402.1กำรเขยนเศษสวนในรปทศนยมซ�ำ และกำรเขยนทศนยมซ�ำในรปเศษสวน 42 2.2จ�ำนวนจรง 582.3รำกทสองและกำรหำรำกทสองของจ�ำนวนจรง 632.4รำกทสำมและกำรหำรำกทสำมของจ�ำนวนจรง 772.5กำรน�ำควำมรเกยวกบจ�ำนวนจรงไปใชในชวตจรง 87


พหนำม 983.1เอกนำม 100 3.2กำรบวกและกำรลบเอกนำม 1053.3พหนำม 112 3.4กำรบวกและกำรลบพหนำม 1193.5กำรคณพหนำม 1293.6กำรหำรพหนำม 140


กจกรรมคณตศำสตรเชงสะเตม 280ภำคผนวก 282อภธำนศพท 285บรรณำนกรม 290

กำรแปลงทำงเรขำคณต 1504.1กำรแปลง 152 4.2กำรเลอนขนำนกำรสะทอนและกำรหมน 1544.3ควำมสมพนธของกำรเลอนขนำนกำรสะทอน และกำรหมน 1924.4กำรน�ำสมบตของกำรเลอนขนำนกำรสะทอน และกำรหมนไปใชในชวตจรง 196 คณตศาสตรในชวตจรง 199 สรปแนวคดหลก 200 แบบฝกทกษะประจาหนวยการเรยนรท 4 202

ควำมเทำกนทกประกำร 2065.1ควำมเทำกนทกประกำรของรปเรขำคณต 208 5.2ควำมเทำกนทกประกำรของรปสำมเหลยม 2165.3ควำมเทำกนทกประกำรของรปสำมเหลยมสองรป ทมควำมสมพนธแบบตำงๆ 222 5.4กำรน�ำควำมรเกยวกบควำมเทำกนทกประกำร ไปใชในกำรแกปญหำ 235 คณตศาสตรในชวตจรง 238 สรปแนวคดหลก 239 แบบฝกทกษะประจาหนวยการเรยนรท 5 240

เสนขนำน 2426.1เสนขนำน 244 6.2เสนขนำนและรปสำมเหลยม 2626.3กำรใหเหตผลและแกปญหำโดยใชสมบตของเสนขนำนและควำมเทำกนทกประกำรของรปสำมเหลยม 271 คณตศาสตรในชวตจรง 276 สรปแนวคดหลก 277 แบบฝกทกษะประจาหนวยการเรยนรท 6 278

หนวยกำรเรยนรท

4


5


6

QR Code หนา 72, 156, 174, 184

สำรบญ

เลขยกก�ำลง 21.1เลขยกก�ำลงทมเลขชก�ำลงเปนจ�ำนวนเตม 4 1.2กำรคณและกำรหำรเลขยกก�ำลงเมอเลขชก�ำลง

เปนจ�ำนวนเตม 8 1.3สญกรณวทยำศำสตร 25 1.4กำรน�ำควำมรเกยวกบเลขยกก�ำลงไปใชในชวตจรง 28


จ�ำนวนจรง 402.1กำรเขยนเศษสวนในรปทศนยมซ�ำ และกำรเขยนทศนยมซ�ำในรปเศษสวน 42 2.2จ�ำนวนจรง 582.3รำกทสองและกำรหำรำกทสองของจ�ำนวนจรง 632.4รำกทสำมและกำรหำรำกทสำมของจ�ำนวนจรง 772.5กำรน�ำควำมรเกยวกบจ�ำนวนจรงไปใชในชวตจรง 87


พหนำม 983.1เอกนำม 100 3.2กำรบวกและกำรลบเอกนำม 1053.3พหนำม 112 3.4กำรบวกและกำรลบพหนำม 1193.5กำรคณพหนำม 1293.6กำรหำรพหนำม 140




1


2

3

คณตศำสตร ชนมธยมศกษำปท 2 เลม 1

ควรรกอนเรยน

แบบทดสอบพนฐานกอนเรยน

การเขยนเลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนเตมบวก

การคณและการหารเลขยกกาลง เมอเลขชกาลงเปนจานวนเตมบวก

การคณและการหารเลขยกกาลงทมฐานเปนจานวนใด ๆ ทไมเทากบศนย และมเลขชกาลง

เปนจานวนเตมบวก ตองใชสมบตของเลขยกกาลงตอไปน

กาหนดให a, b แทนจานวนใด ๆ ท a ≠ 0, b ≠ 0 และ m, n, k แทนจานวนเตมบวกใด ๆ

1. am × an = am + n

3. (a × b)m = am × bm

5. am

an = am - n

7. (am

bn)k = a

m × k

bn × k

2. (am)n = am × n

4. (am × bn)k = am × k × bn × k

6. am

bm = (ab)m

การเขยนจานวนในรปสญกรณวทยาศาสตร

จานวนทเขยนในรปสญกรณวทยาศาสตร คอ จานวนทเขยนในรป A × 10n

เมอ 1 ≤ A < 10 และ n เปนจานวนเตม

บทนยามกาหนดให a แทนจานวนใด ๆ และ n แทนจานวนเตมบวก

“a ยกกาลง n” หรอ “a กาลง n” เขยนแทนดวย an มความหมาย ดงน

an = a × a × a × … × a

เรยก an วา เลขยกกาลงทม a เปนฐาน และ n เปนเลขชกาลง

n ตว


ตวชวด

• เขาใจและใชสมบตของเลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนเตมในการแกปญหาคณตศาสตรและปญหาในชวตจรง (ค 1.1 ม.2/1)

สาระการเรยนรแกนกลาง

• เลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนเตม• การนาความรเกยวกบเลขยกกาลงไปใชในการแกปญหา

เซลลแบคทเรยชนดหนง มความยาวประมาณ 2 ไมโครเมตร

หรอ 2 × 10-6 เมตร ในสภาพทเหมาะสมเซลลแบคทเรยจะสามารถ

แบงตวทก ๆ 20 - 30 นาท และมจานวนเพมขนเปน 2 เทา

โดยมอตราการแบงตวทก 12 ชวโมง จาก 1 เซลล จะแบงตวไดเปน

2 เซลล1

แบคทเรยจานวน 1 เซลล

¨ÐµŒÍ§ãªŒàÇÅÒã¹¡ÒÃáº‹§à«ÅÅ�

กชวโมงจงจะไดเซลลแบคทเรย 262,144

เซลล

Q.

เลขยกกาลงหนวยการเรยนรท

1

1 แบคทเรย. สบคนเมอ 12 กนยายน 2561, จาก http://www.honestdocs.co/bacteria-disease


จากกจกรรมคณตศาสตร จะเหนวา การหารเลขยกกาลงทมฐานเปนจานวนเดยวกน

ซงไมเทากบศนยและมเลขชกาลงเปนจานวนเตมบวกทเทากน จะไดผลหารเปนเลขยกกาลง

ทมเลขชกาลงเปนศนยซงมคาเทากบ 1 เปนไปตามบทนยามตอไปน


ãËŒ¹Ñ¡àÃÕÂ¹àµÔÁµÑÇàÅ¢Å§ã¹ª‹Í§Ç‹Ò§ãËŒÊÁºÙÃ³�áÅÐµÍº¤Ó¶ÒÁµ‹Íä»¹Õé â´Â·ÓÅ§ã¹ÊÁØ

1. จงหาผลหารในแตละขอตอไปน

1) 23 ÷ 25

วธท 1 ใชสมบตของเลขยกกาลง

23 ÷ 25 = 23

25

= 2 -

= 2

วธท 2 ใชบทนยามของเลขยกกาลง

23 ÷ 25 = 2 × 2 × 22 × 2 × 2 × 2 × 2

= 12

2) (-3)3 ÷ (-3)4


(-3)3 ÷ (-3)4 = (-3)3

(-3)4

= (-3) -

= (-3)


(-3)3 ÷ (-3)4 = (-3) × (-3) × (-3)(-3) × (-3) × (-3) × (-3)

= 1(-3)

3) a6 ÷ a6 เมอ a แทนจานวนใด ๆ ทไมเทากบศนย


a6 ÷ a6 = a6

a6

= a -

= a


a6 ÷ a6 = a × a × a × a × a × aa × a × a × a × a × a

=

2. ใหนกเรยนสรปผลหารทไดจากการคานวณของทงสองวธใน ขอ 1.

บทนยามกาหนดให a แทนจานวนใด ๆ ทไมเทากบศนย

a0 = 1


1.1 เลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนเตม

ในระดบชนมธยมศกษาปท 1 นกเรยนไดเรยนรเกยวกบเลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปน

จานวนเตมบวกและศนยมาแลว เชน 34, (-2)4, (12)2, (- 35)

3 และ 30 เปนตน หนวยการเรยนรน

จะกลาวถงเลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนเตม ซงเลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนศนยหรอ

จานวนเตมลบไมสามารถเขยนในรปของการคณซาตามบทนยาม an = a × a × a × … × a

เมอ a แทนจานวนใด ๆ และ n แทนจานวนเตมบวกได เพอใหนกเรยนไดเขาใจทมาของ

เลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนศนยหรอจานวนเตมลบ ใหนกเรยนทากจกรรมคณตศาสตรตอไปน


1. จงหาผลหารในแตละขอตอไปน

1) 35 ÷ 35


35 ÷ 35 = 35

35

= 3 -

= 3

2) (-2)3 ÷ (-2)3


(-2)3 ÷ (-2)3 = (-2)3

(-2)3

= (-2) -

= (-2)

ãËŒ¹Ñ¡àÃÕÂ¹àµÔÁµÑÇàÅ¢Å§ã¹ª‹Í§Ç‹Ò§ãËŒÊÁºÙÃ³�áÅÐµÍº¤Ó¶ÒÁµ‹Íä»¹Õé â´Â·ÓÅ§ã¹ÊÁØ


35 ÷ 35 = 3 × 3 × 3 × 3 × 33 × 3 × 3 × 3 × 3

=


(-2)3 ÷ (-2)3 = (-2) × (-2) × (-2)(-2) × (-2) × (-2)

=

4

จงเขยนเลขยกกาลงในแตละขอตอไปนใหอยในรปจานวนเตมหรอเศษสวน

1) 4-3 2) -3-4 3) (-3)-4 4) (0.7)-2 5) (- 12)-3


จงเขยนเลขยกกาลงในแตละขอตอไปนใหอยในรปจานวนเตมหรอเศษสวน

1) 3-5 2) -6-2 3) (-5)-3 4) (0.2)-4 5) (- 14)-2

ลองทาด

นกเรยนคดวา 1(-3)5

= ( 1-3)

5

หรอไม เพราะเหตใด

Thinking Time

วธทา 1) 4-3 = 143

= 14 × 4 × 4

= 164

3) (-3)-4 = 1(-3)4

= 1(-3) × (-3) × (-3) × (-3)

= 181

5) (- 12)-3 = 1

(- 12 )3

= 11

(-2)3

= (-2)3

= (-2) × (-2) × (-2)

= -8 ตอบ

2) -3-4 = - 134

= - ( 13 × 3 × 3 × 3)

= - 181

4) (0.7)-2 = 1(0.7)2

= 10.7 × 0.7

= 10.49

= 10049

= 2 249

-3-4 อ านว า “ลบของสาม

ยกกาลงลบส” หรอ “ลบของสาม

กาลงลบส”



3) a2 ÷ a7 เมอ a แทนจานวนใด ๆ ทไมเทากบศนย


a2 ÷ a7 = a2

a7

= a -

= a


a2 ÷ a7 = a × aa × a × a × a × a × a × a

= 1a

2. ใหนกเรยนสรปผลทไดจากการคานวณของทงสองวธใน ขอ 1.


ซงไมเทากบศนยและมเลขชกาลงของตวหารมากกวาเลขชกาลงของตวตง จะไดผลหารเปน

เลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนเตมลบเปนไปตามบทนยามตอไปน

เชน 3-4 อานวา “สามยกกาลงลบส” หรอ “สามกาลงลบส”

3-4 ม 3 เปนฐาน และม -4 เปนเลขชกาลง

(-2)-5 อานวา “ลบสองทงหมดยกกาลงลบหา” หรอ “ลบสองทงหมดกาลงลบหา”

(-2)-5 ม -2 เปนฐาน และม -5 เปนเลขชกาลง

(12)-3 อานวา “เศษหนงสวนสองทงหมดยกกาลงลบสาม” หรอ “เศษหนงสวนสอง

ทงหมดกาลงลบสาม”

(12)-3 ม 12 เปนฐาน และม -3 เปนเลขชกาลง

(1.2)-2 อานวา “หนงจดสองยกกาลงลบสอง” หรอ “หนงจดสองกาลงลบสอง”

(1.2)-2 ม 1.2 เปนฐาน และม -2 เปนเลขชกาลง

นกเรยนสามารถหาคาของ 00 และ 0-1 ไดหรอไม เพราะเหตใด

Thinking Time

บทนยามกาหนดให a แทนจานวนใด ๆ ทไมเทากบศนย และ n แทนจานวนเตมบวก

a-n = 1an

6


ãËŒ¹Ñ¡àÃÕÂ¹àµÔÁµÑÇàÅ¢Å§ã¹ª‹Í§Ç‹Ò§ãËŒÊÁºÙÃ³� â´Â·ÓÅ§ã¹ÊÁØ

ในหวขอนนกเรยนจะไดศกษาสมบตการคณของเลขยกกาลง เมอ m และ n แทนจานวนเตม

ใด ๆ เพอใหนกเรยนไดเขาใจทมาของสมบตดงกลาว ใหนกเรยนทากจกรรมคณตศาสตรตอไปน

1. 23 × 22 = (2 × 2 × 2) × ( )

= 2 × 2 × 2 × 2 × 2

= 2

= 23 +

2. (-3)5 × (-3)-2 = [ ] × [ 1(-3) × (-3)]

= (-3) × (-3) × (-3)

= (-3)

= (-3) + (-2)

3. (0.4)-4 × (0.4)0 = [ 1(0.4) × (0.4) × (0.4) × (0.4)] × ( )

= [ 1(0.4) × (0.4) × (0.4) × (0.4)]

= 1(0.4)

= (0.4)-4

= (0.4)(-4) +

4. ให a แทนจานวนใด ๆ ทไมเทากบศนย

a-2 × a-3 = ( ) × ( 1a × a × a)

= 1a × a × a × a × a

= 1a

= a-5

= a(-2) +



1. จงเขยนเลขยกกาลงในแตละขอตอไปนใหอยในรปจานวนเตมหรอเศษสวน

1) 53 2) -34 3) (-3)0 4) -5-2 5) -7-2

6) (-3)-5 7) (14)-4

8) (- 32)-4 9) (0.1)-3 10) (-2.5)-4



2. จงพจารณาวาจานวนในแตละขอตอไปนเทากนหรอไม เพราะเหตใด

1) -20 กบ 1

4) 3-2 กบ -3-2

2) (-3)0 กบ 1

5) (- 12)-4 กบ (12)

-4

3) (-5)-2 กบ -5-2

6) (- 14)-4 กบ -(0.25)-4

3. จงพจารณาวาขอความในแตละขอตอไปนเปนจรงหรอเทจ เพราะเหตใด

1) กาหนดให n เปนจานวนเตมบวก ถา n มคาเพมขน แลว (-2)n จะมคาเพมขน

2) กาหนดให n เปนจานวนเตมลบ ถา n มคาลดลง แลว (12)n จะมคาเพมขน

3) กาหนดให n เปนจานวนเตมบวก และ a เปนจานวนเตมบวก ถา n มคาเพมขน

แลว a-n จะมคาเพมขน

1.2 การคณและการหารเลขยกกาลง เมอเลขชกาลง เปนจานวนเตม

1. การคณเลขยกกาลง เมอเลขชกาลงเปนจานวนเตม นกเรยนทราบมาแลววา การคณเลขยกกาลงทมฐานเปนจานวนเดยวกนและมเลขชกาลง

เปนจานวนเตมบวก มสมบตการคณของเลขยกกาลง ดงน

กาหนดให a แทนจานวนใด ๆ และ m, n แทนจานวนเตมบวก

am × an = am + n

8


1) (-5)7 × (-5)-3 2) 7-6 × 711

3) (- 13)-9 × (- 13)

-4 4) b13 × b-6 เมอ b แทนจานวนใด ๆ ทไมเทากบศนย

ลองทาด


1) 4-3 × (-4)-4 2) (-5)-4 × 5-6 3) (-2)-3 × 64

วธทา 1) เนองจาก (-4)-4 = 1256

และ 4-4 = 1256

ดงนน (-4)-4 = 4-4

จะไดวา 4-3 × (-4)-4 = 4-3 × 4-4

= 4(-3) + (-4)

= 4-7

= 147

2) เนองจาก (-5)-4 = 5-4

จะไดวา (-5)-4 × 5-6 = 5-4 × 5-6

= 5(-4) + (-6)

= 5-10

= 1510

3) เนองจาก 64 = 26

และ 26 = (-2)6

จะไดวา (-2)-3 × 64 = (-2)-3 × (-2)6

= (-2)(-3) + 6

= (-2)3 ตอบ


จากตวอยางท 3 จะสงเกตเหนวา

สามารถใชเลขยกกาลงทมฐาน

ตางกน หรอเลขชกาลงตางกน

หรอจานวนทเขยนตางกนแตม

คาเทากน แทนเลขยกกาลงหรอ

จานวนทกาหนดในโจทยได เพอ

ใหงายตอการหาคาตอบ เชน

(-4)-4 = 4-4

5-4 = (-5)-4

64 = 26 หรอ (-2)6



จากกจกรรมคณตศาสตร จะเหนวา การคณเลขยกกาลงทมฐานเปนจานวนเดยวกน

และมเลขชกาลงเปนจานวนเตม ผลคณทไดจะเปนเลขยกกาลงทมฐานเปนจานวนเดม และม

เลขชกาลงเทากบผลบวกของเลขชกาลงของเลขยกกาลงทนามาคณกน ซงเปนไปตามสมบต

ของเลขยกกาลง ดงน


am × an = am + n


1) (-2)9 × (-2)-2 2) 3-6 × 3-3

3) (- 12)-2 × (- 12)

-5 4) a-3 × a8 เมอ a แทนจานวนใด ๆ ทไมเทากบศนย

วธทา 1) (-2)9 × (-2)-2 = (-2)9 + (-2)

= (-2)7

2) 3-6 × 3-3 = 3(-6) + (-3)

= 3-9

= 139

3) (- 12)-2 × (- 12)

-5 = (- 12)

(-2) + (-5)

= (- 12)

-7

= 1

(-2)-7

= (-2)7

4) a-3 × a8 = a(-3) + 8

= a5 ตอบ

รปอยางงาย เปนการจดรปของ

ผลลพธทไดจากการดาเนนการ

ของเลขยกกาลงใหอย ในรป

เลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปน

จานวนเตมบวก และฐานทเปน

จานวนเดยวกนจะมแคนพจน

เดยว เชน 2-3 × 2 เขยนใหอย

ในรปอยางงายไดเปน 122



10


1) (24)-5 × (22)-3 2) [(- 23)-2

]-6 × [(- 23)

-5

]-3

3) (p-3)7 × (p-8)4 เมอ p แทนจานวนใด ๆ ทไมเทากบศนย

วธทา 1) (24)-5 × (22)-3 = 24 × (-5) × 22 × (-3) (สมบต 2)

= 2-20 × 2-6

= 2(-20) + (-6) (สมบต 1)

= 2-26

= 1226

2) [(- 23)-2

]-6 × [(- 23)

-5

]-3 = (- 23)

(-2) × (-6) × (- 23)(-5) × (-3) (สมบต 2)

= (- 23)12 × (- 23)

15

= (- 23)12 + 15

(สมบต 1)

= (- 23)27

3) (p-3)7 × (p-8)4 = p(-3) × 7 × p(-8) × 4 (สมบต 2)

= p-21 × p-32

= p(-21) + (-32) (สมบต 1)

= p-53

= 1p53 ตอบ



1) (53)-2 × (52)-6 2) [(- 35)-7

]-3 × [(- 35)

-4

]-5

3) (s-9)4 × (s-3)3 เมอ s แทนจานวนใด ๆ ทไมเทากบศนย

ลองทาด



1) (-2)-9 × 2-6 2) 11-4 × (-11)-8 3) 81 × (-3)-7

ลองทาด

จงเขยนผลคณของ (-2)-3 × (-2)2 × 24 ใหอยในรปอยางงาย

Thinking Time


1) (23)2 = 23 × 23

= 23 + 3 (สมบต 1)

= 26

= 23 × 2

2) [(-3)5]-3 = 1

(-3)5 3

= 1(-3)5 × (-3)5 × (-3)5

= 1(-3)5 + 5 + 5

(สมบต 1)

= (-3) -15

= (-3)5 × (-3)

3) [(0.5)-3]-2 = 1

(0.5)-3 2

= 1(0.5)-3 × (0.5)-3

= 1(0.5)(-3) + (-3)

(สมบต 1)

= (0.5)6

= (0.5)(-3) × (-2)


(23)2 เปนเลขยกกาลงทม 23

เปนฐาน และ 2 เปนเลขชกาลง



(am)n = am × n

12



1) 25 × (-7)5 2) (-3)4 × (-5)4

3) a-7 × b-7 เมอ a, b แทนจานวนใด ๆ ทไมเทากบศนย

วธทา 1) 25 × (-7)5 = [2 × (-7)]5

= (-14)5 (สมบต 3)

2) (-3)4 × (-5)4 = [(-3) × (-5)]4

= 154 (สมบต 3)

3) a-7 × b-7 = (a × b)-7

= (ab)-7 (สมบต 3)

= 1(ab)7

ตอบ



1) 53 × (-11)3 2) (-4)7 × (-13)7

3) p-11 × q-11 เมอ p, q แทนจานวนใด ๆ ทไมเทากบศนย

ลองทาด

สมบต 3กาหนดให a และ b แทนจานวนใด ๆ ทไมเทากบศนย และ m แทนจานวนเตม

(a × b)m = am × bm

จงเขยน 215 ใหอยในรปเลขยกกาลงทมฐานเปนจานวนเฉพาะ

วธทา 215 = (3 × 7)5

= 35 × 75 (สมบต 3) ตอบ


จงเขยนจานวนในแตละขอตอไปนใหอยในรปเลขยกกาลงทมฐานเปนจานวนเฉพาะ

1) 397 2) 859

ลองทาด


จงหาผลคณของ 2433 × (-34)2 ในรปเลขยกกาลงทม 3 เปนฐาน

วธทา เนองจาก (-34)2 = (34)2

จะไดวา 2433 × (-34)2 = (35)3 × (34)2

= 35 × 3 × 34 × 2 (สมบต 2)

= 315 × 38

= 315 + 8 (สมบต 1)

= 323 ตอบ


นกเรยนคดวา (-54)3 มคาเทากบ

(-53)4 หรอไม เพราะเหตใด

Thinking Timeจงหาผลคณของ 6253 × (-53)4 ในรปเลขยกกาลง

ทม 5 เปนฐาน

ลองทาด


1) (2 × 3)2 = (2 × 3) × (2 × 3)

= (2 × 2) × (3 × 3)

= 22 × 32

2) [(-5) × 4]-3 = 1[(-5) × 4]3

= 1[(-5) × 4] × [(-5) × 4] × [(-5) × 4]

= 1[(-5) × (-5) × (-5)] × (4 × 4 × 4)

= 1(-5)3 × 43

= (-5)-3 × 4-3

3) (3 × 5)0 = 15 0

= 1 หรอ 30 × 50

14

จงเขยนผลคณของ 157 × (5-3 × 35)2 ใหอยในรปเลขยกกาลงทมฐานเปนจานวนเฉพาะ

วธทา 157 × (5-3 × 35)2 = (3 × 5)7 × (5-3 × 35)2

= 37 × 57 × 5(-3) × 2 × 35 × 2 (สมบต 3 และ 4)

= 37 × 57 × 5-6 × 310

= 37 + 10 × 57 + (-6) (สมบต 1)

= 317 × 5 ตอบ


จงเขยนผลคณในแตละขอตอไปนใหอยในรปเลขยกกาลงทมฐานเปนจานวนเฉพาะ

1) 144 × (27 × 7-2)3 2) 51-6 × (34 × 172)3

ลองทาด


1) [54 × (-7)5]6

2) [(-7)6 × (0.5)3]-8

3) (c-11 × d-4)-7 เมอ c, d แทนจานวนใด ๆ

ทไมเทากบศนย

ลองทาด

2. การหารเลขยกกาลง เมอเลขชกาลงเปนจานวนเตม นกเรยนทราบมาแลววา การหารเลขยกกาลงทมฐานเปนจานวนเดยวกนและมเลขชกาลง

เปนจานวนเตมบวก มสมบตการหารของเลขยกกาลงดงน

กาหนดให a แทนจานวนใด ๆ ทไมเทากบศนย และ m, n แทนจานวนเตมบวก

am ÷ an = am - n

เพอใหนกเรยนไดเขาใจทมาของสมบตการหารของเลขยกกาลง เมอ m และ n แทน

จานวนเตมใด ๆ ใหนกเรยนทากจกรรมคณตศาสตรตอไปน

ตะวนเขยน (4a2)3 ใหอยในรป

อยางงายได ดงน

(4a2)3 = 4(a2)3

= 4a2 × 3

= 4a6

ซงตะวนเขยนไมถกตอง นกเรยน

คดวาตะวนเขยนไมถกตองใน

ขนตอนใด

Thinking Time



1) (43 × 35)2 = (43)2 × (35)2 (สมบต 3)

= 43 × 2 × 35 × 2 (สมบต 2)

2) [(-2)6 × 72]-3 = [(-2)6]-3 × (72)-3 (สมบต 3)

= (-2)6 × (-3) × 72 × (-3) (สมบต 2)

3) [53 × (79)-2]-4

= (53)-4 × [(79)-2]-4 (สมบต 3)

= 53 × (-4) × (79)(-2) × (-4)

(สมบต 2)



(am × bn)k = am × k × bn × k


1) [76 × (-5)3]7 2) [(-5)3 × (0.6)4]-9

3) (a-2 × b-11)-8 เมอ a, b แทนจานวนใด ๆ ทไมเทากบศนย

วธทา 1) [76 × (-5)3]7 = 76 × 7 × (-5)3 × 7 (สมบต 4)

= 742 × (-5)21

2) [(-5)3 × (0.6)4]-9 = (-5)3 × (-9) × (0.6)4 × (-9) (สมบต 4)

= (-5)-27 × (0.6)-36

= 1(-5)27

× 1(0.6)36

3) (a-2 × b-11)-8 = a(-2) × (-8) × b(-11) × (-8) (สมบต 4)

= a16 × b88 ตอบ


16


am

an = am - n

จงหาผลลพธในแตละขอตอไปนใหอยในรปอยางงาย

1) (-3)8 × 37

3-5 × 38

2) x-8y-5

x-2y-3 เมอ x และ y แทนจานวนใด ๆ ทไมเทากบศนย

3) 3-5m × 32m

3-3m × 3m เมอ m แทนจานวนเตม

4) 0.125 × (-0.5)-4

(0.5)-7 × (12)-2

วธทา 1) (-3)8 × 37

3-5 × 38 = 38 × 37

3-5 × 38

= 38 + 7

3(-5) + 8 (สมบต 1)

= 315

33

= 315 - 3 (สมบต 5)

= 312

2) x-8 y-5

x-2 y-3 = x(-8) - (-2) y(-5) - (-3) (สมบต 5)

= x(-8) + 2 y(-5) + 3

= x-6 y-2

= 1x6 y2



และมเลขชกาลงเปนจานวนเตม ผลหารทไดจะเปนเลขยกกาลงทมฐานเปนจานวนเดม และ

มเลขชกาลงเทากบผลลบของเลขชกาลงของเลขยกกาลงทนามาหารกน ซงเปนไปตามสมบต

ของเลขยกกาลง ดงน

นกเรยนคดวา มจานวนใดบาง

ททาให -a2 = (-a)2 เมอ a เปน

จานวนใด ๆ

Thinking Time



ãËŒ¹Ñ¡àÃÕÂ¹àµÔÁµÑÇàÅ¢Å§ã¹ª‹Í§Ç‹Ò§ãËŒÊÁºÙÃ³� â´Â·ÓÅ§ã¹ÊÁØ

1. 25 ÷ 23 = (2 × 2 × 2 × 2 × 2) ÷

= 2 × 2 × 2 × 2 × 2

= 2

= 25 -

2. (-3)6 ÷ (-3)-2 = ÷ [ 1(-3) × (-3)]

= (-3) × (-3) × (-3) × (-3) × (-3) × (-3) ×

= (-3)

= (-3) - (-2)

3. (0.5)-4 ÷ (0.5)0 = [ 10.5 × 0.5 × 0.5 × 0.5] ÷ ( )

=

= 1(0.5)

= (0.5)

= (0.5)(-4) -

4. ให a แทนจานวนใด ๆ ทไมเทากบศนย

a-2 ÷ a-5 = ( 1a × a) ÷

= ( 1a × a) ×

= a

= a(-2) -

18

พจารณาผลหารของเลขยกกาลงตอไปน

1) (35)2 = 3

5 × 35

= 3 × 35 × 5

= 32

52

2) (47)-3 = 1

(47)3

= 147 × 47 × 47

= 143

73

= 73

43

= 4-3

7-3

3) ( 511)

0 = 1

= 50

110


สมบต 6กาหนดให a และ b แทนจานวนใด ๆ ทไมเทากบศนย และ m แทนจานวนเตม

(ab )m

= am

bm


3) 3-5m × 32m

3-3m × 3m = 3(-5m) + 2m

3(-3m) + m (สมบต 1)

= 3-3m

3-2m

= 3(-3m) - (-2m) (สมบต 5)

= 3-m

= 13m

4) เนองจาก 0.125 = (0.5)3, (-0.5)-4 = (0.5)-4 และ (12)-2 = (0.5)-2

จะไดวา 0.125 × (-0.5)-4

(0.5)-7 × (12)-2

= (0.5)3 × (0.5)-4

(0.5)-7 × (0.5)-2

= (0.5)3 + (-4)

(0.5)(-7) + (-2) (สมบต 1)

= (0.5)-1

(0.5)-9

= (0.5)(-1) - (-9) (สมบต 5)

= (0.5)(-1) + 9

= (0.5)8 ตอบ

นกเรยนคดวา -0.008 มคาเทากบ (0.2)3 หรอไม เพราะเหตใด

Thinking Time


1) (-5)4 × 56

5-5 × 58

2) p4q-3

p-7q-11 เมอ p และ q แทนจานวนใด ๆ ทไมเทากบศนย

3) 7-6n × 73n

7-5n × 7n เมอ n แทนจานวนเตม

4) 0.027 × (0.3)-5

(-0.3)-2 × (0.3)-9

ลองทาด

20



(am

bn)k = a

m × k

bn × k


24(a-3b2)3 × a-3b-2

2(ab)0 -2

เมอ a และ b แทนจานวนใด ๆ ทไมเทากบศนย


ลองทาด


21(a-2b3)3 × a-2b-1

7(ab)0 -1 เมอ a และ b แทนจานวนใด ๆ ทไมเทากบศนย


วธทา 3(a3b2)3

21(a-2b3)3 × a-2b-1

7(ab)0 -1 = 3

21 × a9b6

a-6b9 × a2b7-1 × 1

= 17 × a9 - (-6)b6 - 9 × 7a2b

= a15b-3 × a2b

= a15 + 2 b(-3) + 1

= a17 b-2

= a17

b2 ตอบ


นกเรยนคดวา ประโยคในแตละขอตอไปน เปนจรงหรอไม เพราะเหตใด

1) 10m × 10n < 1 เมอ m และ n แทนจานวนเตมท m + n < 0

2) 10m × 10n = 1 เมอ m และ n เทากบศนย เทานน

3) 10m ÷ 10n > 1 เมอ m และ n แทนจานวนเตมท m - n < 0

คาถามทาทายการคดขนสง



1) (25)3 × 2-3 × 5-2

2) ( 611)

-4 × 65 × 112

ลองทาด

จงหาผลลพธของ (37)5 × 3-2 × 7-3 ใหอยในรปอยางงาย

วธทา (37)5 × 3-2 × 7-3 = 35

75 × 3-2 × 7-3 (สมบต 6)

= 35 + (-2) × 7(-3) - 5 (สมบต 1 และ 5)

= 33 × 7-8

= 33

78 ตอบ


จงพจารณาผลหารของเลขยกกาลงตอไปน

1) (24

35 )2 = (24)2

(35)2 (สมบต 6)

= 24 × 2

35 × 2 (สมบต 2)

2) [(-2)4

57 ]-3 = [(-2)4]-3

(57)-3 (สมบต 6)

= (-2)4 × (-3)

57 × (-3) (สมบต 2)

3) [(27)6 ÷ (- 411)

-3]-5

= [(27)6]-5 ÷ [(- 411)

-3]-5 (สมบต 6)

= (27)6 × (-5)

÷ (- 411)(-3) × (-5)

(สมบต 2)

22

1.3 สญกรณวทยาศาสตร

นกเรยนทราบมาแลววา จานวนทมคามาก ๆ หรอมคานอย ๆ นยมเขยนในรปสญกรณ

วทยาศาสตร เชน

350,000,000 เขยนในรปสญกรณวทยาศาสตรไดเปน 3.5 × 108

0.0000000074 เขยนในรปสญกรณวทยาศาสตรไดเปน 7.4 × 10-9

จานวนทอยในรปสญกรณวทยาศาสตร คอ จานวนทเขยนอยในรป A × 10n


จงเขยนจานวนในแตละขอตอไปนใหอยใหรปสญกรณวทยาศาสตร

1) 315.4 × 103 2) 0.002 × 10-4 3) 16 พนลาน

วธทา 1) 315.4 × 103 = (3.154 × 102) × 103

= 3.154 × 105

2) 0.002 × 10-4 = (2 × 10-3) × 10-4

= 2 × 10-7

3) 16 พนลาน = (1.6 × 10) × 109

= 1.6 × 1010 ตอบ

จงหาผลลพธในแตละขอตอไปนใหอยในรปสญกรณวทยาศาตร

1) (8.53 × 103) + (6.7 × 102)

3) (9.5 × 106) × (1.2 × 10-9)

2) (1.44 × 10-6) - (8.9 × 10-8)

4) (3.2 × 10-4) ÷ (4 × 10-2)



จงเขยนจานวนในแตละขอตอไปนใหอยในรปสญกรณวทยาศาสตร

1) 220.5 × 105 2) 0.104 × 10-6 3) 625 ลาน

ลองทาด

1 พนลาน เทากบ1,000,000,000 หรอ 109

á¹Ðá¹Ç¤Ô´



1. จงเขยนผลลพธในแตละขอตอไปนใหอยในรปอยางงาย

1) 48 × 4-11 2) (0.3)-2 × (0.3)-7

3) 3-7 × 34

3-2 4) (72 × 73) ÷ (73 × 70)

5) 2-7 × 34 × 58

2-3 × 3 × 52 6) 5n × 52n × 5-n

50 เมอ n แทนจานวนเตม

2. จงเขยนผลลพธในแตละขอตอไปนใหอยในรปอยางงาย เมอ a และ b แทนจานวนใด ๆ


1) (2a3b2)-5

(2a-1b4)-3 2) [2(a0b-3)-2]3

3) (2-3a2b-2

3a-1b3 )-2

4) (2ab-1)(ab2)-2

(-2a5)-2(-2a-4)3

3. จงเขยนจานวนในแตละขอตอไปนใหอยในรปเลขยกกาลงทมฐานเปนจานวนเฉพาะ

1) 56 × 24

103 2) [(-0.2)4]2 × (-0.008)-3

3) (-64) × 3-5

81 × 2-4 4) 36 × (-5)4 × 8 × 2-3

25 × (-3)2

4. จงเขยนผลลพธในแตละขอตอไปนใหอยในรปอยางงาย เมอ a และ b แทนจานวนใด ๆ


1) 40a3 b-2

24ab4 × 8a

-2 b-3

27ab 2) 36a-4 b-3

125a2 b4 × 225b-5

9b-3

3) (0.2401a-2b × 710a

3b2) ÷ (-0.7)8a3b-2


5. จงหาจานวนเตมทมาแทน p, q และ r แลวทาใหประโยคในแตละขอตอไปนเปนจรง

1) 28 × 128 = 2p × 7q 2) 357 ÷ 157 = 3p × 5q × 7r


24

จงหาผลลพธของ 5.1 × 109 + 2.37 × 10-6

9 × 10-2 - 2.46 × 10-3 ในรปสญกรณวทยาศาสตร โดยใชเครองคดเลข

Thinking Time


1. จงเขยนจานวนในแตละขอตอไปนใหอยในรปสญกรณวทยาศาสตร

1) 862,010,000

3) 33.17 × 104

5) 637 × 10-5

7) 109 หมนลาน

2) 0.000040025

4) 62.5 × 10-7

6) 0.012 × 109

8) 89.9 ลานลาน

2. จงหาผลลพธในแตละขอตอไปนใหอยในรปสญกรณวทยาศาสตร

1) (3.6 × 103) + (4.5 × 105)

3) (5 × 10-5) × (1.7 × 109)

2) (4.2 × 10-11) - (6.7 × 10-12)

4) (3.4 × 10-4) ÷ (1.7 × 1012)

3. จงหาผลลพธในแตละขอตอไปนใหอยในรปสญกรณวทยาศาสตร โดยใชเครองคดเลข

1) (1.5 × 104)2

3) (3 × 10-5) × (9 × 107)(12 × 10-8)

2) (0.04 × 10-6)4

4) 1.6 × 10-4 + 1 × 10-5

5 × 106 + 5 × 105

4. กาหนดให x = 2 × 10-5 และ y = 7 × 10-7 จงหาคาของ 3x + 4y ในรปสญกรณวทยาศาสตร



วธทา 1) (8.53 × 103) + (6.7 × 102) = (85.3 × 102) + (6.7 × 102) = (85.3 + 6.7) × 102 = 92 × 102

= 9.2 × 103

2) (1.44 × 10-6) - (8.9 × 10-8) = (1.44 × 10-6) - (0.089 × 10-6) = (1.44 - 0.089) × 10-6

= 1.351 × 10-6

3) (9.5 × 106) × (1.2 × 10-9) = (9.5 × 1.2) × 106 + (-9)

= 11.4 × 10-3

= 1.14 × 10-2

4) (3.2 × 10-4) ÷ (4 × 10-2) = 3.2 × 10-4

4 × 10-2

= 0.8 × 10-2

= 8 × 10-3 ตอบ

จากตวอยางท 14 นกเรยนสามารถใชเครองคดเลขเพอชวยตรวจสอบคาตอบได เชน

(8.53 × 103) + (6.7 × 102)

( 38 ). +5 3 (× 6 ∧7 1 01 0 . × 2∧ ) =

ในปจจบน มการผลตเครองคดเลขออกมาหลายรน ซงแตละรนจะมวธการใชทแตกตางกนใหอางองวธการ

ตามเครองคดเลขรนนน ๆ

เทคโนโลยÁØÁ

จงหาผลลพธในแตละขอตอไปนใหอยในรปสญกรณวทยาศาสตร

1) (1.53 × 109) + (2.1 × 108)

3) (1.255 × 10-4) × (5 × 106)

2) (3.48 × 10-7) - (5.5 × 10-5)

4) (9.125 × 10-6) ÷ (2.5 × 10-11)

ลองทาด

26

1 Solar System Exploration. Retrieved August 23, 2018, from https://solarsystem.nasa.gov/

2 ผลการสารวจรปรางทวประเทศ. สบคนเมอ 23 สงหาคม 2561, จาก http://www.sizethailand.org/region_all.html

3 ยง. สบคนเมอ 23 สงหาคม 2561, จาก http://www.med.cmu.ac.th/dept/parasite/public/Mosquito.htm4 เมดเลอดแดง. สบคนเมอ 23 สงหาคม 2561, จาก http://www.mt.mahidol.ac.th/e-learning/AutomateReport/

Page2.html

ในชวตประจาวน นกเรยนจะพบการใชเลขยกกาลงเพอแสดงจานวนทมคามาก ๆ หรอ

มคานอย ๆ ดงตวอยางตอไปน

การใชเลขยกกาลงแสดงจานวนทพบในชวตประจาวน

1010

109

108

107

106

105

104

103

102

100

101

10-2

10-1

10-5

10-4

10-3

10-7

10-8

10-6

10-9

10-10

ยงมลาตวยาวประมาณ 5 × 10-3 เมตร หรอ 5 มลลเมตร3

ดวงอาทตย

มเสนผานศนยกลางประมาณ

1.39 × 109 เมตร

หรอ 1,390,000 กโลเมตร1

ดวงจนทร

มเสนผานศนยกลางประมาณ

3.47 × 106 เมตร

หรอ 3,470 กโลเมตร1

เซลลเมดเลอดแดงมเสนผานศนยกลางประมาณ 7 × 10-6 เมตร หรอ 7 ไมโครเมตร4

หวปากกามเสนผานศนยกลาง

ประมาณ 5 × 10-4 เมตร หรอ 0.5 มลลเมตร

คนไทยมสวนสงเฉลย

1.63 เมตร

หรอ 163 เซนตเมตร2

โลกมเสนผานศนยกลาง

ประมาณ

1.27 × 107 เมตร หรอ

12,700 กโลเมตร1


1.4 การนาความรเกยวกบเลขยกกาลงไปใชในชวตจรง

จากหวขอสญกรณวทยาศาสตรนกเรยนจะเหนวา การเขยนแสดงจานวนทมคามาก ๆ หรอ

มคานอย ๆ มกจะดยงยากและซบซอน เพอใหการเขยนแสดงจานวนเหลานนดสนและกระชบ

มากยงขน จงมการกาหนดคานาหนาหนวยในระบบเอสไอ โดยใชสญลกษณยอมาวางไวหนาหนวย

ของจานวนนน ดงตารางตอไปน

ตวคณทเทยบเทา

คาอานคานาหนาหนวยในระบบเอสไอ

สญลกษณยอ คาประจาหลก

1012 ลานลาน เทระ- T 1,000,000,000,000

109 พนลาน จกะ- G 1,000,000,000

106 ลาน เมกะ- M 1,000,000

103 พน กโล- k 1,000

10-3 สวนในพนสวน

มลล- m 0.001 = 11,000

10-6 สวนในลานสวน

ไมโคร- μ 0.000001 = 11,000,000

10-9 สวนในพนลานสวน

นาโน- n 0.000000001 = 11,000,000,000

10-12 สวนในลานลานสวน

พโก- p 0.000000000001 = 11,000,000,000,000

นกเรยนเคยเหนการใชคานาหนาหนวยในระบบเอสไอจากสถานการณใดบาง

Thinking Time

ทมา : www.cib-buu.com/index.php?lay=show&ac=article&ld=539095543&Ntype=5

28


(นนทบร : ไทยรมเกลา),11.2 Lunar Recession. Retrieved August 23, 2018, from https://www.centauri-dreams.org/2018/02/08/lunar-recession-implications-for-the-early-earth/

ดวงจนทรอยหางจากโลกเปนระยะทางประมาณ 3.8 × 105 กโลเมตร

นกดาราศาสตรพบวา ดวงจนทรจะโคจรหางจากโลกออกไปอก

ปละประมาณ 4 เซนตเมตร จงหาวาตองใชเวลาประมาณกปดวงจนทร

จงจะโคจรหางออกไปจากโลกอก 3.8 × 105 กโลเมตร


ออกซเจนหนงอะตอมมมวลประมาณ 2.66 × 10-26 กโลกรม1 ออกซเจน 2.5 × 103 อะตอม


ลองทาด

ดวงจนทรอยหางจากโลกเปนระยะทางประมาณ 3.8 × 105 กโลเมตร นกดาราศาสตร

พบวา ดวงจนทรจะโคจรหางจากโลกออกไปอกปละประมาณ 4 เซนตเมตร จงหาวา

ตองใชเวลาประมาณกปดวงจนทรจงจะโคจรหางออกไปจากโลกอก 1.5 × 106 กโลเมตร

ลองทาด

วธทา ระยะทาง 1 กโลเมตร เทากบ 102 × 103 = 105 เซนตเมตร

จะไดวา ระยะทาง 3.8 × 105 กโลเมตร

เทากบ 3.8 × 105 × 105 เซนตเมตร

= 3.8 × 1010 เซนตเมตร

เนองจากดวงจนทรโคจรหางออกจากโลกประมาณ 4 เซนตเมตร โดยใชเวลา 1 ป

จะไดวา ดวงจนทรโคจรหางออกจากโลกประมาณ 3.8 × 1010 เซนตเมตร

จะใชเวลาประมาณ 1 × 3.8 × 1010

4 ป

= 9.5 × 109 ป

ดงนน ดวงจนทรโคจรหางออกจากโลกไปอกประมาณ 3.8 × 105 กโลเมตร

จะใชเวลาประมาณ 9.5 × 109 ป ตอบ

เรยกปรากฏการณท

ดวงจนทรคอย ๆ โคจร

หางจากโลกปละประมาณ

4 เซนตเมตร และโลก

หมนรอบตวเองชาลงน

วา Lunar Recession2

เกรด นาร



นกเรยนสามารถเขยนจานวนในตารางโดยใชคานาหนาหนวยในระบบเอสไอไดวาอยางไรบาง

ãËŒ¹Ñ¡àÃÕÂ¹àµÔÁ¨Ó¹Ç¹Å§ã¹ª‹Í§Ç‹Ò§ãËŒ¶Ù¡µŒÍ§ áÅŒÇµÍº¤Ó¶ÒÁµ‹Íä»¹Õé â´Â·ÓÅ§ã¹ÊÁØ

ตวอยางทพบในชวตประจาวน

เขยนแสดงจานวนในรปปกต (โดยประมาณ)

เขยนแสดงจานวนในรปสญกรณวทยาศาสตร

จานวนประชากรของประเทศไทย ป พ.ศ. 25601 …………………………………………….. คน 6.62 × 107

คน

ระยะทางระหวางโลกกบดวงจนทร 2

…………………………………. กโลเมตร 3.844 × 105 กโลเมตร

ขนาดละอองหมอก3 0.000005 เมตร …………………………………….. เมตร

ขนาดฝนละอองขนาดเลก4………………………………………… เมตร 2.5 × 10-6 เมตร

ไฮโดรเจนหนงอะตอมมมวลประมาณ 1.67 × 10-27 กโลกรม5 ไฮโดรเจน 5 × 103 อะตอม


วธทา ไฮโดรเจน 1 อะตอม มมวลประมาณ 1.67 × 10-27 กโลกรม

ดงนน ไฮโดรเจน 5 × 103 อะตอม มมวล

ประมาณ (1.67 × 10-27)(5 × 103) กโลกรม

= 1.67 × 5 × 10-27 × 103 กโลกรม

= 8.35 × 10-24 กโลกรม

ดงนน ไฮโดรเจน 5 × 103 อะตอม มมวลประมาณ 8.35 × 10-24 กโลกรม ตอบ


1 จานวนประชากรแยกรายอาย. สบคนเมอ 23 สงหาคม 2561, จาก http://stat.dopa.go.th/stat/statnew/upstat_age_

disp.php2 Solar System Exploration. Retrieved August 23, 2018, from https://solarsystem.nasa.gov/

3 หยาดนาฟา. สบคนเมอ 23 สงหาคม 2561, จาก http://www.lesa.biz/earth/atmosphere/precipitation

4 PM 2.5 ฝนละอองขนาดเลกในอากาศ. สบคนเมอ 23 สงหาคม 2561, จาก https://thestandard.co/pm-2-5-environmental-nano-pollutants/


(นนทบร : ไทยรมเกลา),11.

30

ประชากรของประเทศไทย ป พ.ศ. 2560 มประมาณ 6.62 × 107 คน ถาประชากรหนงคน

บรโภคนมเฉลยปละประมาณ 1.4 × 104 มลลลตร1 จงหาปรมาณนมทประชากรไทยบรโภค

ในป พ.ศ. 2560

ลองทาด

1 สถานการณการบรโภคนม. สบคนเมอ 23 สงหาคม 2561, จาก http://www.bangkokbiznews.com/

news/detail/791923

การฝากเงนกบธนาคาร เมอครบกาหนดเวลากจะไดรบดอกเบย (interest) เปนผลตอบแทน

ในขณะเดยวกน การกยมเงนจากธนาคารกตองจายดอกเบยเปนคาใชจายในการกยมเงน ซงการ

คดดอกเบยจะมการกาหนดอตราดอกเบย (interest rates) ไวกอนการฝากหรอการกยมเงนจาก

ธนาคาร โดยคดจากจานวนเงนทนาไปฝากหรอจานวนเงนทกยมมา เรยกวา เงนตน (principal)

ซงจานวนเงนตนรวมกบดอกเบยจะเปนเงนรวม (total amount) ทจะไดรบหรอตองชาระเงนคน


ãËŒ¹Ñ¡àÃÕÂ¹ÊÑ§à¡µ¡ÒÃ¤Ô ´Í¡àºÕéÂ áÅŒÇµÍº¤Ó¶ÒÁµ‹Íä»¹Õé

นกเรยนคดวา การคดดอกเบยวธท 1 กบการคดดอกเบยวธท 2 ตางกนอยางไร

กาหนดให เงนตน 100 บาท อตราดอกเบย 3% ตอป

เงนตน 100 บาท


ดอกเบย เทากบ 3100 × 100

= 3 บาท

เงนรวม เทากบ 100 + 3

= 103 บาท



= 3 บาท


= 103 บาท



= 3 บาท


= 106 บาท



= 3.09 บาท

เงนรวม เทากบ 103 + 3.09

= 106.09 บาท

1 2 3

วธท 1

ตนปท 1 สนปท 1 หรอ ตนปท 2 สนปท 2 หรอ ตนปท 3

วธท 2

ปท



ดวงจนทรมเสนผานศนยกลางยาวประมาณ 3.47 × 106 เมตร จงหาปรมาตรของดวงจนทร

(กาหนดให π ≈ 227 และปรมาตรของทรงกลมเทากบ 43 πr3)

วธทา ดวงจนทรมเสนผานศนยกลางยาวประมาณ 3.47 × 106 เมตร

จะไดวา ดวงจนทรมรศมยาวประมาณ (3.47 × 106) ÷ 2 เมตร

= 1.735 × 106 เมตร

จาก ปรมาตรของทรงกลมเทากบ 43 πr3

จะไดวา ปรมาตรของดวงจนทรประมาณ 43 × 227 × (1.735 × 106)3 ลกบาศกเมตร

≈ 43 × 227 × 5.22 × 1018 ลกบาศกเมตร

≈ 2.19 × 1019 ลกบาศกเมตร

ดงนน ปรมาตรของดวงจนทรประมาณ 2.19 × 1019 ลกบาศกเมตร ตอบ

ประชากรของประเทศไทย ป พ.ศ. 2560 มประมาณ 6.62 × 107 คน ถาประชากรหนงคน

บรโภคขาวสารเฉลยปละประมาณ 90 กโลกรม1 จงหาปรมาณขาวสารทประชากรไทยบรโภค

ในป พ.ศ. 2560

วธทา ประชากรไทย 1 คน บรโภคขาวสารเฉลยปละประมาณ 90 กโลกรม

จะไดวา ประชากรไทย 6.62 × 107 คน บรโภคขาวสารเฉลยปละ

ประมาณ 6.62 × 107 × 90 กโลกรม

= 595.8 × 107 กโลกรม

= 5.958 × 109 กโลกรม

ดงนน ปรมาณขาวสารทประชากรไทยบรโภคในป พ.ศ. 2560 ประมาณ

5.958 × 109 กโลกรม ตอบ



ดวงอาทตยมเสนผานศนยกลางยาวประมาณ 1.39 × 109 เมตร จงหาปรมาตร

ของดวงอาทตย (กาหนดให π ≈ 227 และปรมาตรของทรงกลมเทากบ 43 πr3)

ลองทาด

1 สถานการณการบรโภคขาว. สบคนเมอ 23 สงหาคม 2561, จาก https://news.thaipbs.or.th/content/270616

32

มนตราฝากเงนกบธนาคาร 45,000 บาท โดยธนาคารใหดอกเบยเงนฝากในอตราดอกเบย

ทบตน 1.1% ตอป จงหาเงนรวมเมอมนตราฝากเงนกบธนาคารเปนระยะเวลา 5 ป

ลองทาด

5. ดวงอาทตย โลก และดวงจนทรมเสนผานศนยกลางยาวประมาณ 1.39 × 109, 1.27 × 107

และ 3.47 × 106 เมตร ตามลาดบ จงหา

1) ดวงอาทตยมเสนผานศนยกลางเปนกเทาของโลก

2) 1 ใน 4 ของพนทผวของโลกเปนพนดน สวนทเหลอเปนพนนา จงหาพนทผวของโลกท

เปนพนนา (กาหนดให π ≈ 227 และพนทผวของทรงกลมเทากบ 4πr2)

6. ตลยฝากเงนกบธนาคาร 150,000 บาท โดยธนาคารใหดอกเบยเงนฝากในอตราดอกเบย

ทบตน 0.1% ตอเดอน จงหาเงนรวมเมอตลยฝากเงนกบธนาคารเปนระยะเวลา 5 ป



1. เซลลของแบคทเรยชนดหนงยาวประมาณ 2 × 10-6 เมตร1 ถานาแบคทเรยชนดน

20,000 เซลล มาเรยงตอกนจะยาวกเมตร

2. แกสออกซเจน 32 กรม มจานวนโมเลกลประมาณ 6.02 × 1023 โมเลกล2 แกสออกซเจน

500 กรม มจานวนโมเลกลประมาณกโมเลกล

3. ชางมนาหนกสมองเปน 1.79 × 10-3 เทาของนาหนกตวโดยประมาณ3 จงหานาหนกสมอง

ของชางทหนก 3.714 ตน

4. กนยาฝากเงนไวกบธนาคาร 275,000 บาท เมอตอนตนป โดยธนาคารใหดอกเบยเงนฝาก

1.3% ตอป ซงคดดอกเบยแบบทบตน จงหาเงนรวมเมอกนยาฝากเงนไวกบธนาคาร

เปนระยะเวลา 7 ป

1 จลนทรย แบคทเรย ยสต. สบคนเมอ 23 สงหาคม 2561, จาก https://www.nstda.or.th/th/nstda-r-and-d/764


(นนทบร : ไทยรมเกลา),11.3 Thinking about Brain Size. Retrieved August 23, 2018, from http://serendipstudio.org/bb/kinser/Int3.html


จากกจกรรมคณตศาสตร จะเหนวา การคดดอกเบยวธท 1 จะคดจากเงนตนทเวลาเรมตนคณ

กบอตราดอกเบยเทานน ทาใหดอกเบยเทาเดมเสมอ เรยกวา ดอกเบยเชงเดยว (simple interest)

สวนการคดดอกเบยวธท 2 จะคดจากเงนรวมของปกอนหนาคณกบอตราดอกเบย ทาใหเมอเวลา

ผานไปดอกเบยจะเพมขนเรอย ๆ เรยกวา ดอกเบยทบตน (compound interest) ซงนกเรยนได

ศกษาจากชนมธยมศกษาปท 1 มาแลววา

เมอ A แทนเงนรวมเมอสนปท t

P แทนเงนตน

r แทนอตราดอกเบยตอครง

t แทนจานวนครงทคดดอกเบยทบตน

การคดดอกเบยทบตนเปนอกหนงในตวอยางของการนาเลขยกกาลงมาใชประโยชนในการ

แกปญหา ซงนกเรยนจะไดศกษาเพมเตมดงตวอยางตอไปน

วระฝากเงนกบธนาคาร 30,000 บาท โดยธนาคารใหดอกเบยเงนฝากในอตราดอกเบยทบตน

1.5% ตอป จงหาเงนรวมเมอวระฝากเงนกบธนาคารเปนระยะเวลา 4 ป

วธทา

เรมตน 1 2 3 4

เงนตน30,000 บาท

ดอกเบย 1.5% ดอกเบย 1.5% ดอกเบย 1.5% ดอกเบย 1.5%

จากสตรดอกเบยทบตน A = P (1 + r100)

t

จะได P = 30,000 บาท

r = 1.5

t = 4

นนคอ เงนรวมเมอวระฝากเงนกบธนาคารเปนระยะเวลา 4 ป

เทากบ 30,000 × (1 + 1.5100)4

= 30,000 × (1.015)4

≈ 30,000 × 1.06

= 31,800 บาท

ดงนน เงนรวมเมอวระฝากเงนกบธนาคารเปนระยะเวลา 4 ป

ประมาณ 31,800 บาท ตอบ


สตรดอกเบยทบตน

A = P (1 + r100)

t

34

คณตศาสตรในชวตจรง

ผลสารวจในประเทศไทยพบวา ปจจยททาใหเกดสารกอภมแพตดอนดบหนง คอ ไรฝน

รองลงมา คอ ภมแพจากแมลงสาบ ขนสตว รวมถงละอองเกสรและดอกหญา

ไรฝน เปนสตวชนดหนงทอยในพวก Phylum Arthopoda เชนเดยวกบแมลงและแมง เพราะ

มขา 4 ค รปรางกลมร มขนาดตวประมาณ 0.1 - 0.3 มลลเมตร ซงอาจมองไมเหนดวยตาเปลา

ลาตวมสขาวคลายฝน ชอบอาศยอยททมอณหภม 25 - 30 องศาเซลเซยส ในททมความชนสง

รอยละ 60 - 70 และไมชอบแสงสวาง จงมกพบไรฝนไดตามทนอน หมอน ผาหม พรม หรอ

เฟอรนเจอรททาดวยเสนใย

ผลการศกษาพบวา เมอพจารณาฝน 1 กรม จากทนอนททาจากนนจะพบไรฝนมากทสด

เฉลย 63 ตว อนดบตอมา คอ ทนอนฟองนาใยสงเคราะห พบไรฝนเฉลย 34 ตว และทนอน

ใยมะพราวพบไรฝนเฉลย 10 ตว

ทมา : http://nstda.or.th/rural/public/100%20articles-stkc/20.pdf

จากขอมลขางตน ใหนกเรยนตอบคาถามในแตละขอตอไปนในรปสญกรณวทยาศาสตร

1) ไรฝน 1 ตว มขนาดตวประมาณกเมตร

2) ถาฝน 1 กรม พบไรฝนเฉลย 63 ตว แลวฝนทมมวล 5 กโลกรม จะพบไรฝนประมาณ

กตว


7. ธนตนาเงนฝากธนาคารแหงหนง 50,000 บาท โดยไมไดฝากเพมหรอถอนออกเลย

ซงธนาคารใหดอกเบยเงนฝากแบบทบตนทก 6 เดอน ธนตนาสมดเงนฝากไปปรบ

ทธนาคารทกครงทไดรบดอกเบย ซงเปนไปตามตาราง ดงน

วนท ถอน ฝาก คงเหลอ

01/01/19 50,000.00 50,000.00

01/07/19 500.00 50,500.00

01/01/20 505.00 51,005.00

01/07/20 510.05 51,515.05

01/01/21 515.15 52,030.20

01/07/21 520.30 52,550.50

จงหาอตราดอกเบยทธนตไดรบตอป และยอดเงนคงเหลอเมอนาสมดเงนฝากไปปรบ

ทธนาคารในครงถดไป


หลงจากเรยนจบหนวยแลว ใหนกเรยนบอกสญลกษณทตรงกบระดบความสามารถของตนเอง

1. เขาใจความหมายของเลขยกกาลง เมอมเลขชกาลง

เปนจานวนเตม

2. สามารถใชสมบตการคณของเลขยกกาลง เมอมเลขชกาลง

เปนจานวนเตมไปใชในการแกปญหาทางคณตศาสตรได

3. สามารถใชสมบตการหารของเลขยกกาลง เมอมเลขชกาลง

เปนจานวนเตมไปใชในการแกปญหาทางคณตศาสตรได

4. สามารถเขยนจานวนทมคามาก ๆ หรอมคานอย ๆ ใหอย

ในรปสญกรณวทยาศาสตรได

5. สามารถใชความรเกยวกบเลขยกกาลง เมอมเลขชกาลง

เปนจานวนเตมไปใชในการแกปญหาในชวตจรงได

ตรวจสอบตนเอง

ด พอใชควร

ปรบปรง

36

แบบฝกทกษะประจาหนวยการเรยนรท 1

1. จงเขยนจานวนในแตละขอตอไปนใหอยในรปอยางงาย เมอ a, b แทนจานวนใด ๆ


1) (23 × 25 × 27

211 ) ÷ (212 × 24

214 )

2) (-214 × 510)[(-2)11 × 513 × (-5)7]-24 × 54 × (-2)13 × (-5)10

3) (211ab2)3 (24a5b6)4

[(210a3)2 b3]2

4) (33a2b3

9ab5 )-2

5) ( b2

a5 )-4

÷

( a2

b4 )-3

6) (-49a2

b-3 )-2

(14b5

a-3 )3

7) (15 a-2b-5)-2

(15a2b3)-3

8) (3-2a2)-1(81-1b3)-2

9) [ (3-2)-3 a-3

(27-1)-2 b-4]-1

10) ( ab-3

a-3b2)5

÷

( a-2ba3b-2)

-2

2. โรงงานนาไทยมเครองจกรผลตขวดนา 2 เครอง เครองทหนงผลตไดวนละ 4.725 × 106 ขวด

เครองทสองผลตไดวนละ 1.05 × 105 ขวด จงหาวาเครองจกรผลตขวดนาเครองทสอง มกาลง

การผลตคดเปนรอยละเทาใดของเครองจกรเครองทหนง

3. ปตฝากเงนกบธนาคารทกตนเดอนเดอนละ 3,000 บาท เปนระยะเวลา 6 เดอน โดยธนาคาร

ใหดอกเบยเงนฝากซงคดแบบทบตน 0.2% ตอเดอน จงหาวาตงแตเรมฝากเงนวนแรก

จนครบ 1 ป ปตจะมเงนรวมเทาไร


สรปแนวคดหลก

การเขยนเลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนเตมบวก

การเขยนจานวนเตมใหอยในรปเลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนเตมบวกมบทนยาม

ดงตอไปน

บทนยาม

กาหนดให a แทนจานวนใด ๆ และ n แทนจานวนเตมบวก “a ยกกาลง n” หรอ “a กาลง n”

เขยนแทนดวย an มความหมาย ดงน an = a × a × a × … × a

n ตว

การคณและการหารเลขยกกาลง เมอเลขชกาลงเปนจานวนเตม

การคณและการหารเลขยกกาลงทมฐานเปนจานวนใด ๆ ทไมเทากบศนย และมเลขชกาลง

เปนจานวนเตม ตองใชสมบตของเลขยกกาลงตอไปน

กาหนดให a, b แทนจานวนใด ๆ ท a ≠ 0, b ≠ 0 และ m, n, k แทนจานวนเตมใด ๆ

1. am × an = am + n

3. (a × b)m = am × bm

5. am

an = am - n

7. (am

bn)k = a

m × k

bn × k

2. (am)n = am × n

4. (am × bn)k = am × k × bn × k

6. am

bm = (ab)m

การเขยนจานวนในรปสญกรณวทยาศาสตร

จานวนทเขยนในรปสญกรณวทยาศาสตร คอ จานวนทเขยนในรป A × 10n


การนาความรเกยวกบเลขยกกาลงไปใชในชวตจรง

การนาความรเกยวกบเลขยกกาลงไปใชในชวตจรง เชน การคานวณหาดอกเบย

เงนฝากตอป และการคานวณจานวนอะตอมของธาต เปนตน

38

คณิตศำสตร์ -...

Documents